Pertimbangkan simetri aksial dan pusat sebagai sifat dari beberapa angka geometris; Pertimbangkan simetri aksial dan pusat sebagai sifat dari beberapa angka geometris; Mampu membangun titik-titik simetris dan mampu mengenali bangun-bangun yang simetris terhadap suatu titik atau garis; Mampu membangun titik-titik simetris dan mampu mengenali bangun-bangun yang simetris terhadap suatu titik atau garis; Meningkatkan keterampilan pemecahan masalah; Meningkatkan keterampilan pemecahan masalah; Lanjutkan pekerjaan pada keakuratan merekam dan melakukan gambar geometris; Lanjutkan pekerjaan pada keakuratan merekam dan melakukan gambar geometris;

Karya lisan "Jajak pendapat yang lembut" Karya lisan "Jajak pendapat yang lembut" Titik apa yang disebut titik tengah segmen? Segitiga manakah yang disebut segitiga sama kaki? Sifat apa yang dimiliki oleh diagonal-diagonal belah ketupat? Rumuskan sifat-sifat garis bagi segitiga sama kaki. Garis manakah yang disebut tegak lurus? Apa itu segitiga sama sisi? Sifat apa yang dimiliki oleh diagonal-diagonal persegi? Angka apa yang disebut sama?

Konsep baru apa yang Anda pelajari di kelas? Konsep baru apa yang Anda pelajari di kelas? Apa yang telah Anda pelajari tentang bentuk geometris? Apa yang telah Anda pelajari tentang bentuk geometris? Berikan contoh bangun ruang dengan simetri aksial. Berikan contoh bangun ruang dengan simetri aksial. Berikan contoh bangun datar dengan simetri pusat. Berikan contoh bangun datar dengan simetri pusat. Berikan contoh benda-benda dari kehidupan sekitar yang memiliki satu atau dua jenis simetri. Berikan contoh benda-benda dari kehidupan sekitar yang memiliki satu atau dua jenis simetri.

"Titik simetri" - Simetri dalam arsitektur. Contoh simetri bangun datar. Dua titik A dan A1 disebut simetris terhadap O jika O adalah titik tengah segmen AA1. Contoh bangun datar simetri pusat adalah lingkaran dan jajar genjang. Titik C disebut pusat simetri. Simetri dalam ilmu pengetahuan dan teknologi.

"Konstruksi bentuk geometris" - Aspek pendidikan. Kontrol dan koreksi asimilasi. Studi tentang teori yang menjadi dasar metode. Dalam stereometri - konstruksi tidak ketat. Konstruksi stereometrik. metode aljabar. Metode transformasi (kesamaan, simetri, terjemahan paralel, dll.). Misalnya: lurus; garis bagi sudut; median tegak lurus.

"Human Figure" - Bentuk dan pergerakan tubuh manusia sangat ditentukan oleh kerangka. Adil dengan pertunjukan teater. Apakah Anda pikir ada pekerjaan untuk seorang seniman di sirkus? Kerangka memainkan peran bingkai dalam struktur gambar. Tubuh Utama (perut, dada) Tidak memperhatikan Kepala, wajah, tangan. A. Mathis. Proporsi. Yunani kuno.

"Simetri tentang garis" - Simetri tentang garis disebut simetri aksial. Garis lurus a adalah sumbu simetri. Simetri tentang garis lurus. Bulavin Pavel, kelas 9B. Berapa banyak sumbu simetri yang dimiliki masing-masing bangun tersebut? Suatu bangun dapat memiliki satu atau lebih sumbu simetri. simetri sentral. Trapesium sama kaki. Empat persegi panjang.

"Kuadrat angka geometri" - teorema Pythagoras. Daerah berbagai angka. Menyelesaikan puzzle. Gambar dengan luas yang sama disebut luas yang sama. Satuan wilayah. Luas segitiga. Persegi panjang, segitiga, jajaran genjang. sentimeter persegi. Angka-angka dengan luas yang sama. Angka yang sama b). milimeter persegi. di). Berapa luas bangun yang terdiri dari gambar A dan D.

"Batas fungsi pada suatu titik" - Kemudian dalam kasus ini. Saat berusaha. Batas suatu fungsi di suatu titik. Kontinu pada suatu titik. Sama dengan nilai fungsi di. Namun saat menghitung limit fungsi pada. Setara dengan nilai. Ekspresi. Aspirasi. Atau Anda dapat mengatakan ini: di lingkungan titik yang cukup kecil. Dikompilasi dari. Keputusan. Kontinu pada interval. Diantara.

Kesamaan dan kesamaan.Homothety - transformasi di mana setiap titik M (bidang atau ruang) diberi titik M", berbaring di OM (Gbr. 5.16), dan rasio OM":OM= sama untuk semua poin selain HAI. titik pasti HAI disebut pusat homotetis. Sikap OM": OM dianggap positif jika M" dan M berbaring di satu sisi HAI, negatif - di sisi yang berlawanan. Nomor X disebut koefisien homogenitas. Pada X< 0 homothety disebut invers. Padaλ = - 1 homothety menjadi transformasi simetri tentang suatu titik HAI. Dengan homothety, garis lurus masuk ke garis lurus, garis paralel dan bidang dipertahankan, sudut (linier dan dihedral) dipertahankan, setiap gambar melewatinya serupa (Gbr. 5.17).

Kebalikannya juga benar. Homotety dapat didefinisikan sebagai transformasi affine di mana garis-garis yang menghubungkan titik-titik yang bersesuaian melewati satu titik - pusat homothety. Homothety digunakan untuk memperbesar gambar (lampu proyeksi, bioskop).

Simetri pusat dan cermin.Simetri (dalam pengertian luas) - properti dari sosok geometris , yang mencirikan kebenaran tertentu dari bentuknya, invariansnya di bawah aksi gerakan dan refleksi. Gambar dikatakan simetri (simetris) jika terdapat transformasi ortogonal yang tidak identik yang memasukkan bangun tersebut ke dalam dirinya sendiri. Himpunan semua transformasi ortogonal yang menggabungkan gambar dengan dirinya sendiri adalah grup dari gambar ini. Jadi, bangun datar (Gbr. 5.18) dengan titik M, mengubah-

Xia dalam diri Anda dengan cermin refleksi, simetris terhadap sumbu lurus AB. Di sini kelompok simetri terdiri dari dua elemen - titik M dikonversi ke M".

Jika gambar pada bidang sedemikian rupa sehingga berotasi terhadap suatu titik HAI melalui sudut 360°/n, di mana n > 2 adalah bilangan bulat, ubah menjadi dirinya sendiri, maka gambar memiliki simetri orde ke-n terhadap titik HAI - pusat simetri. Contoh dari gambar tersebut adalah poligon beraturan, misalnya, berbentuk bintang (Gbr. 5.19), yang memiliki simetri orde delapan di sekitar pusatnya. Gugus simetri di sini disebut grup siklik orde ke-n. Lingkaran memiliki simetri dengan keteraturan tak terbatas (karena lingkaran itu digabungkan dengan dirinya sendiri dengan memutar melalui sudut mana pun).

Jenis simetri spasial yang paling sederhana adalah simetri pusat (inversi). Dalam hal ini, sehubungan dengan poin HAI gambar digabungkan dengan dirinya sendiri setelah pemantulan berturut-turut dari tiga bidang yang saling tegak lurus, yaitu titik HAI - bagian tengah ruas yang menghubungkan titik-titik simetris F. Jadi, untuk kubus (Gbr. 5.20) titik HAI adalah pusat simetri. poin kubus M dan M"

simetri ANGKA SPASIAL

Menurut ahli matematika terkenal Jerman G. Weyl (1885-1955), "simetri adalah gagasan yang melaluinya manusia telah berusaha selama berabad-abad untuk memahami dan menciptakan keteraturan, keindahan, dan kesempurnaan."
Gambar indah simetri ditunjukkan oleh karya seni: arsitektur, lukisan, patung, dll.
Konsep simetri angka di pesawat dipertimbangkan dalam perjalanan planimetri. Secara khusus, konsep simetri pusat dan aksial didefinisikan. Untuk gambar spasial, konsep simetri didefinisikan dengan cara yang sama.
Pertimbangkan terlebih dahulu simetri pusat.
simetris terhadap suatu titik Oh, disebut pusat simetri, jika O adalah titik tengah segmen AA". Titik O dianggap simetris dengan dirinya sendiri.
Transformasi ruang di mana setiap titik A dikaitkan dengan titik A yang simetris dengannya (terhadap titik O tertentu) disebut simetri pusat. Titik O disebut pusat simetri.
Dua angka F dan F" disebut simetris sentral, jika ada transformasi simetri yang membawa salah satunya ke yang lain.
Gambar F disebut simetris sentral jika pusatnya simetris dengan dirinya sendiri.
Misalnya, sebuah kotak simetris terpusat di sekitar titik perpotongan diagonal-diagonalnya. Bola dan bola simetris terpusat di sekitar pusatnya.
Dari polihedra biasa, kubus, oktahedron, ikosahedron, dan dodecahedron simetris terpusat. Tetrahedron bukanlah sosok simetris terpusat.
Pertimbangkan beberapa sifat simetri pusat.
Properti 1. Jika O 1 , O 2 adalah pusat simetri gambar , maka titik O 3 simetris dengan O 1 sehubungan dengan O 2 juga merupakan pusat simetri gambar ini.
Bukti. Biarkan A menjadi titik dalam ruang, A 2 adalah titik yang simetris terhadapnya terhadap O 2 , A 1 – titik simetris dengan A 2 relatif terhadap O 1 dan A 3 – titik simetris A 1 relatif terhadap O 2 (Gbr. 1).

Maka segitiga O 2 O 1 A 1 dan O 2 O 3 A 3, O 2 O 1 A 2 dan O 2 O 3 A adalah sama. Oleh karena itu, A dan A 3 simetris terhadap O 3 . Jadi simetri terhadap O 3 adalah komposisi simetri terhadap O 2 , O 1 dan O 2 . Akibatnya, dengan simetri ini, gambar berubah menjadi dirinya sendiri, yaitu. HAI 3 adalah pusat simetri F.

Konsekuensi.Setiap bangun tidak memiliki pusat simetri, atau memiliki satu pusat simetri, atau memiliki banyak pusat simetri

Memang, jika O 1 , O 2 adalah pusat simetri gambar , maka titik O 3 simetris dengan O 1 sehubungan dengan O 2 juga merupakan pusat simetri gambar ini. Demikian pula, titik O 4 O 2 simetris terhadap O 3 juga merupakan pusat simetri gambar , dll. Jadi, dalam hal ini gambar memiliki banyak pusat simetri tak terhingga.

Pertimbangkan sekarang konsepnya simetri aksial.
Titik A dan A" dari ruang disebut simetris terhadap garis lurus sebuah ditelepon sumbu simetri jika lurus sebuah melewati titik tengah segmen AA "dan tegak lurus terhadap segmen ini. Setiap titik dari garis sebuah dianggap simetris dengan dirinya sendiri.
Transformasi ruang di mana setiap titik A dikaitkan dengan titik A yang simetris dengannya (terhadap garis tertentu sebuah), disebut simetri aksial. Lurus sebuah itu disebut sumbu simetri.
Kedua tokoh tersebut disebut simetris terhadap garis lurus sebuah jika transformasi simetri tentang garis ini membawa salah satu dari mereka ke yang lain.
Sosok di luar angkasa disebut simetris terhadap garis lurus sebuah jika simetris dengan dirinya sendiri.
Misalnya, balok adalah simetris tentang garis lurus yang melalui pusat-pusat wajah yang berlawanan. Silinder lingkaran siku-siku simetris terhadap sumbunya, bola dan bola simetris terhadap setiap garis lurus yang melalui pusatnya, dll.
Kubus memiliki tiga sumbu simetri yang melalui pusat-pusat sisi yang berhadapan dan enam sumbu simetri yang melalui titik tengah sisi yang berlawanan.
Sebuah tetrahedron memiliki tiga sumbu simetri yang melalui titik tengah sisi yang berlawanan.
Oktahedron memiliki tiga sumbu simetri yang melalui titik-titik yang berlawanan dan enam sumbu simetri yang melalui titik-titik tengah sisi-sisi yang berlawanan.
Icosahedron dan dodecahedron masing-masing memiliki lima belas sumbu simetri yang melalui titik tengah sisi yang berlawanan.
Properti 3. Jika sebuahsebuah 1 , sebuah 2 - sumbu simetri gambar , lalu garis lurussebuah 3, simetris sebuah 1 relatif sebuah 2 juga merupakan sumbu simetri gambar ini.

Pembuktiannya sama dengan pembuktian Harta 1.

Properti 4.Jika dua garis tegak lurus yang berpotongan di ruang angkasa merupakan sumbu simetri dari gambar yang diberikan, maka garis yang melalui titik perpotongan dan tegak lurus bidang garis-garis tersebut juga akan menjadi sumbu simetri gambar .
Bukti. Perhatikan sumbu koordinat O x, O kamu, O z. Simetri di sekitar sumbu O x x, kamu, z) ke titik gambar dengan koordinat ( x, -y, -z). Demikian pula, simetri terhadap sumbu O kamu menerjemahkan titik gambar dengan koordinat ( x, –kamu, –z) ke titik pada gambar dengan koordinat (– x, -y, z) . Dengan demikian, komposisi simetri ini menerjemahkan titik gambar dengan koordinat ( x, y, z) ke titik pada gambar dengan koordinat (– x, -y, z). Oleh karena itu, sumbu O z adalah sumbu simetri F.

Konsekuensi.Setiap bangun ruang tidak boleh memiliki jumlah sumbu simetri genap (bukan nol).
Memang, kami memperbaiki beberapa sumbu simetri sebuah. Jika sebuah b- sumbu simetri tidak berpotongan sebuah atau memotongnya tidak tegak lurus, maka untuk itu ada satu sumbu simetri lagi b', simetris terhadap sebuah. Jika sumbu simetri b salib sebuah pada sudut siku-siku, maka untuk itu ada satu sumbu simetri lagi b' melalui titik potong dan tegak lurus bidang garis sebuah dan b. Oleh karena itu, selain sumbu simetri sebuah baik jumlah sumbu simetri genap atau tak terbatas adalah mungkin. Dengan demikian, jumlah sumbu simetri genap (bukan nol) total tidak mungkin.
Selain sumbu simetri yang didefinisikan di atas, kami juga mempertimbangkan sumbu simetri n-urutan ke-, n 2 .
Lurus sebuah ditelepon sumbu simetri n-urutan ke- angka , jika saat memutar angka di sekitar garis lurus sebuah pada suatu sudut, gambar digabungkan dengan dirinya sendiri.

Jelas bahwa sumbu simetri orde ke-2 hanyalah sumbu simetri.
Misalnya, di benar n-piramida bersudut, garis lurus yang melalui bagian atas dan tengah alasnya merupakan sumbu simetri n-urutan.
Mari kita cari tahu sumbu simetri mana yang memiliki polihedra beraturan.
Kubus memiliki tiga sumbu simetri orde 4 yang melalui pusat-pusat muka yang berhadapan, empat sumbu simetri orde 3 yang melalui simpul-simpul yang berlawanan, dan enam sumbu simetri orde 2 yang melalui titik tengah sisi-sisi yang berhadapan.
Tetrahedron memiliki tiga sumbu simetri orde kedua yang melalui titik tengah sisi yang berlawanan.
Ikosahedron memiliki enam sumbu simetri orde ke-5 yang melewati simpul yang berlawanan; sepuluh sumbu simetri orde ke-3 melalui pusat-pusat sisi yang berhadapan dan lima belas sumbu simetri orde ke-2 melalui titik tengah sisi-sisi yang berlawanan.
Dodecahedron memiliki enam sumbu simetri orde 5 yang melewati pusat wajah yang berlawanan; sepuluh sumbu simetri orde ke-3 melalui titik-titik yang berlawanan dan lima belas sumbu simetri orde ke-2 melalui titik-titik tengah sisi-sisi yang berlawanan.
Pertimbangkan konsepnya simetri cermin.
Titik A dan A" dalam ruang disebut simetris terhadap bidang, atau dengan kata lain, cermin simetris, jika bidang ini melewati titik tengah segmen AA "dan tegak lurus dengannya. Setiap titik bidang dianggap simetris dengan dirinya sendiri.
Transformasi ruang, di mana setiap titik A dikaitkan dengan titik A yang simetris dengannya (terhadap bidang yang diberikan), disebut simetri cermin. Pesawat itu disebut bidang simetri.
Kedua tokoh tersebut disebut cermin simetris terhadap suatu bidang jika transformasi simetri terhadap bidang tersebut membawa salah satu dari mereka ke yang lain.
Sosok di luar angkasa disebut cermin simetris jika cermin simetris dengan dirinya sendiri.
Misalnya, sebuah balok adalah cermin-simetris terhadap bidang yang melalui sumbu simetri dan sejajar dengan salah satu pasangan wajah yang berlawanan. Silinder adalah cermin-simetris terhadap setiap bidang yang melewati sumbunya, dll.
Di antara polihedra biasa, kubus dan segi delapan masing-masing memiliki sembilan bidang simetri. Tetrahedron memiliki enam bidang simetri. Icosahedron dan dodecahedron masing-masing memiliki lima belas bidang simetri yang melalui pasangan sisi yang berlawanan.
Properti 5. Komposisi dua simetri cermin terhadap bidang-bidang paralel adalah terjemahan paralel oleh vektor yang tegak lurus terhadap bidang-bidang ini dan sama besarnya dengan dua kali jarak antara bidang-bidang ini.
Konsekuensi. Transportasi paralel dapat direpresentasikan sebagai komposisi dua simetri cermin.
Properti 6. Komposisi dua simetri cermin terhadap bidang-bidang yang berpotongan dalam garis lurus adalah rotasi di sekitar garis lurus ini dengan sudut yang sama dengan dua kali sudut dihedral antara bidang-bidang ini. Secara khusus, simetri aksial adalah komposisi dua simetri cermin tentang bidang tegak lurus.
Konsekuensi. Rotasi dapat dianggap sebagai komposisi dua simetri cermin.
Properti 7. Simetri pusat dapat direpresentasikan sebagai komposisi tiga simetri cermin.
Mari kita buktikan properti ini menggunakan metode koordinat. Biarkan titik A dalam ruang memiliki koordinat ( x, y, z). Simetri cermin terhadap bidang koordinat mengubah tanda koordinat yang sesuai. Misalnya, simetri cermin terhadap bidang O xy menerjemahkan titik dengan koordinat ( x, y, z) ke suatu titik dengan koordinat ( x, y, –z). Komposisi tiga simetri cermin tentang bidang koordinat menerjemahkan titik dengan koordinat ( x, y, z) ke suatu titik dengan koordinat (– x, -y, -z), yang simetris terpusat ke titik awal A.
Gerakan-gerakan yang menerjemahkan sosok F ke dalam dirinya sendiri membentuk suatu kelompok dengan memperhatikan komposisinya. Itu disebut kelompok simetri angka F
Mari kita cari orde kelompok simetri kubus.
Jelas bahwa setiap gerakan yang membawa kubus ke dalam dirinya sendiri meninggalkan pusat kubus di tempatnya, memindahkan pusat-pusat wajah ke pusat-pusat wajah, titik tengah tepi ke titik tengah tepi, dan simpul ke simpul.
Jadi, untuk mengatur pergerakan kubus, cukup menentukan di mana pusat wajah, tengah tepi wajah ini, dan titik ujung tepi.
Pertimbangkan untuk membagi sebuah kubus menjadi tetrahedra, simpul masing-masing adalah pusat kubus, pusat wajah, titik tengah tepi wajah ini, dan titik tepi. Ada 48 tetrahedra seperti itu.Karena gerakan sepenuhnya ditentukan oleh tetrahedra mana tetrahedron yang diberikan ditransfer, urutan kelompok simetri kubus adalah 48.
Demikian pula, urutan kelompok simetri dari tetrahedron, oktahedron, ikosahedron, dan dodecahedron ditemukan.
Tentukan kelompok simetri lingkaran satuan S 1 . Grup ini dilambangkan dengan O(2). Ini adalah grup topologi tak terbatas. Kami mewakili lingkaran satuan sebagai sekelompok bilangan kompleks modulo satu. Ada epimorfisme alami p:O(2) --> S 1 , yang menetapkan ke elemen u dari grup O(2) sebuah elemen u(1) di S 1 . Inti dari pemetaan ini adalah grup Z 2 , yang dihasilkan oleh simetri lingkaran satuan terhadap sumbu Ox. Oleh karena itu, O(2)/Z 2S1 . Selain itu, jika struktur kelompok tidak diperhitungkan, maka ada homeomorfisme O(2) dan produk langsung S 1 dan Z2.
Demikian pula, kelompok simetri bola dua dimensi S 2 dilambangkan dengan O(3), dan memenuhi isomorfisme O(3)/O(2) S 2 .
Kelompok simetri bola n-dimensi memainkan peran penting dalam cabang topologi modern: teori manifold, teori ruang serat, dll.
Salah satu manifestasi paling mencolok dari simetri di alam adalah kristal. Sifat-sifat kristal ditentukan oleh ciri-ciri struktur geometrisnya, khususnya oleh susunan atom-atom yang simetris dalam kisi kristal. Bentuk eksternal kristal adalah konsekuensi dari simetri internalnya.
Asumsi pertama yang masih samar-samar bahwa atom dalam kristal tersusun dalam urutan yang teratur, teratur, dan simetris diungkapkan dalam karya-karya berbagai ilmuwan alam pada saat konsep atom tidak jelas dan tidak ada bukti eksperimental struktur atom materi. Bentuk luar kristal yang simetris secara tidak sengaja menunjukkan bahwa struktur internal kristal harus simetris dan teratur. Hukum simetri bentuk luar kristal sepenuhnya ditetapkan pada pertengahan abad ke-19, dan pada akhir abad ini, hukum simetri yang mengatur struktur atom dalam kristal disimpulkan dengan jelas dan akurat.
Pendiri teori matematika tentang struktur kristal adalah ahli matematika dan kristalografi Rusia yang luar biasa - Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919). Matematika, kimia, geologi, mineralogi, petrografi, pertambangan - E.S. Fedorov memberikan kontribusi yang signifikan untuk masing-masing bidang ini. Pada tahun 1890, ia secara matematis secara ketat menyimpulkan semua hukum geometris yang mungkin untuk kombinasi elemen simetri dalam struktur kristal, dengan kata lain, simetri susunan partikel di dalam kristal. Ternyata jumlah undang-undang semacam itu terbatas. Fedorov menunjukkan bahwa ada 230 kelompok simetri ruang, yang kemudian, untuk menghormati ilmuwan, dinamai Fedorov. Itu adalah pekerjaan raksasa yang dilakukan 10 tahun sebelum penemuan sinar-X, 27 tahun sebelum mereka membuktikan keberadaan kisi kristal itu sendiri. Keberadaan 230 grup Fedorov adalah salah satu hukum geometris terpenting dari kristalografi struktural modern. "Prestasi ilmiah raksasa E.S. Fedorov, yang berhasil membawa semua "kekacauan" alami dari formasi kristal yang tak terhitung jumlahnya di bawah skema geometris tunggal, masih membangkitkan kekaguman. Penemuan ini mirip dengan penemuan tabel periodik D.I. Mendeleev." kerajaan kristal "adalah monumen yang tak tergoyahkan dan puncak kristalografi Fedorov klasik," kata Akademisi A.V. Shubnikov.

literatur
1. Hadamard J. Geometri dasar. Bagian II. Stereometri. - edisi ke-3. – M.: Uchpedgiz, 1958.
2. Weil G. Simetri. – M.: Nauka, 1968.
3. Wigner E. Etudes tentang simetri. – M.: Mir, 1971.
4. Gardner M. Dunia kanan, kiri ini. – M.: Mir, 1967.
5. Gilde V. Dunia cermin. – M.: Mir, 1982.
6. Kompaneets A.S. Simetri di dunia mikro dan makro. – M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Simetri dalam matematika. – M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Kursus geometri dasar. Bagian II. Geometri dalam ruang. - M.-L.: State ed. teknis-teoretis Sastra, 1949.
9. Sonin A.S. Pemahaman kesempurnaan (simetri, asimetri, disimetri, antisimetri). – M.: Pengetahuan, 1987.
10. Tarasov L.V. Dunia yang luar biasa simetris ini. – M.: Pencerahan, 1982.
11. Pola simetri. – M.: Mir, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Simetri di alam. - edisi ke-2. – L.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Simetri dalam sains dan seni. – M.: Nauka, 1972.