Pengertian garis sejajar. Sejajar adalah dua garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan di seluruh panjangnya.
Garis lurus AB dan CD (Gbr. 57) akan sejajar. Fakta bahwa mereka paralel kadang-kadang diungkapkan secara tertulis: AB || CD.
Teorema 34. Dua garis yang tegak lurus pada sepertiga yang sama adalah sejajar.
Diketahui garis lurus CD dan EF tegak lurus AB (Gbr. 58)
CD AB dan EF AB.
CD itu perlu dibuktikan || EF.
Bukti. Jika garis CD dan EF tidak sejajar, mereka akan berpotongan di suatu titik M. Dalam hal ini, dua garis tegak lurus akan dijatuhkan dari titik M ke garis AB, yang tidak mungkin (Teorema 11), maka garis CD || EF (CHTD).
Teorema 35. Dua garis, salah satunya tegak lurus dan yang lainnya miring ke yang ketiga, selalu berpotongan.
Diberikan dua garis EF dan CG, dimana EF AB dan CG miring terhadap AB (Gbr. 59).
Diperlukan pembuktian bahwa CG akan memenuhi garis EF atau CG tidak sejajar dengan EF.
Bukti. Dari titik C kita kembalikan tegak lurus CD ke garis AB, kemudian di titik C terbentuk sudut DCG, yang akan kita ulangi berkali-kali sehingga garis CK jatuh di bawah garis AB. Misalkan untuk ini kita ulangi sudut DCG n kali, sebagai
Dengan cara yang sama, kita plot garis CE pada garis AB juga n kali, sehingga CN = nCE.
Dari titik C, E, L, M, N kita bangun tegak lurus LL", MM", NN".Ruang yang terdapat di antara dua ruas sejajar CD, NN" dan ruas CN akan lebih besar n kali dari ruang yang terdapat di antara dua tegak lurus CD , EF dan segmen CE, jadi DCNN" = nDCEF.
Ruang yang dibatasi oleh sudut DCK berisi ruang DCNN", oleh karena itu,
DCK > CDNN" atau
nDCG > nDCEF, dari mana
DCG > DCEF.
Pertidaksamaan terakhir hanya dapat terjadi ketika garis CG meninggalkan ruang DCEF selama kelanjutannya, yaitu ketika garis CG bertemu dengan garis EF, maka garis CG tidak sejajar dengan CF (PTD).
Teorema 36. Sebuah garis yang tegak lurus pada salah satu paralel juga tegak lurus terhadap yang lain.
Diberikan dua garis sejajar AB dan CD dan garis EF tegak lurus terhadap CD (Gbr. 60).
AB || CD, EF CD
Perlu dibuktikan bahwa EF AB.
Bukti. Jika garis AB miring ke EF, maka dua garis CD dan AB akan berpotongan, karena CD EF dan AB miring ke EF (Teorema 35), dan garis AB dan CD tidak sejajar, yang akan bertentangan dengan kondisi ini, oleh karena itu, garis EF tegak lurus terhadap CD (PTD).
Sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua garis oleh garis ketiga. Pada perpotongan dua garis AB dan CD dengan garis ketiga EF (Gbr. 61), terbentuk delapan sudut , , , , , , , . Sudut-sudut ini menerima nama khusus.
Keempat sudut , , dan disebut luar.
Keempat sudut , , , disebut intern.
Keempat sudut , , , dan keempat sudut , , , disebut sepihak, karena terletak pada satu sisi garis EF.
Selain itu, sudut, ketika diambil berpasangan, menerima nama-nama berikut:
Sudut dan disebut relevan . Selain pasangan ini, sudut bersesuaian yang sama akan menjadi pasangan sudut: dan , dan , dan .
Pasangan sudut dan , serta dan disebut kebohongan silang internal .
Pasangan sudut dan , serta dan disebut berbaring silang eksternal .
Pasangan sudut dan , serta dan disebut sepihak internal .
Pasangan sudut dan , serta dan disebut sepihak eksternal .
Syarat dua garis sejajar
Teorema 37. Dua garis lurus dikatakan sejajar jika pada perpotongan garis ketiganya sama besar: 1) sudut-sudut yang bersesuaian, 2) letak bersilangan dalam, 3) letak silang luar, dan, akhirnya, jika 4) jumlah sisi-sisi dalam sama dua garis lurus, 5) jumlah garis luar sepihak sama dengan dua garis lurus.
Mari kita buktikan masing-masing bagian teorema ini secara terpisah.
kasus pertama. Sudut-sudut yang bersesuaian adalah(Gbr. 62).
Diberikan. Sudut dan sama besar.
Bukti. Jika garis AB dan CD berpotongan di titik Q, maka diperoleh segitiga GQH yang sudut luarnya sama dengan sudut dalam yang bertentangan dengan Teorema 22, sehingga garis AB dan CD tidak berpotongan atau AB || CD (ChTD).
kasus ke-2. Sudut-sudut penyeberangan internal adalah sama, yaitu = .
Bukti. = sebagai vertikal, = dengan asumsi, maka = . Artinya, sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama, dan dalam hal ini garis-garisnya sejajar (kasus pertama).
kasus ketiga. Sudut-sudut luar yang bersilangan adalah sama, yaitu = .
Bukti. = dengan syarat, = vertikal, maka = , karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Ini menyiratkan bahwa AB || CD (kasus pertama).
kasus ke-4. Jumlah satu sisi internal sama dengan dua garis lurus atau + = 2d.
Bukti. + = 2d sebagai jumlah dari yang berdekatan, + = 2d dengan asumsi. Oleh karena itu, + = + , dari mana = . Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka AB || CD.
kasus ke-5. Jumlah sisi luar satu sisi sama dengan dua garis lurus, yaitu, + = 2d.
Bukti. + = 2d sebagai jumlah dari yang berdekatan, + = 2d dengan asumsi. Oleh karena itu, + = + , dari mana = . Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka AB || CD.
Jadi, dalam semua kasus AB || CD (ChTD).
Teorema 38(balik 37). Jika dua garis sejajar, maka pada perpotongan garis ketiganya akan sama: 1) sudut sebidang dalam, 2) sebidang luar, 3) sudut-sudut yang bersesuaian dan sama dengan dua garis lurus 4) jumlah satu sisi internal dan 5) jumlah sudut satu sisi eksternal.
Diketahui dua garis sejajar AB dan CD, yaitu AB || CD (Gbr. 63).
Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa semua kondisi di atas terpenuhi.
kasus pertama. Mari kita potong dua garis sejajar AB dan CD dengan garis miring ketiga EF. Dilambangkan dengan G dan H titik potong garis AB dan CD dari garis EF. Dari titik O titik tengah garis GH kita turunkan sebuah garis tegak lurus terhadap garis CD dan teruskan sampai memotong garis AB di titik P. Garis OQ yang tegak lurus CD juga tegak lurus AB (Teorema 36). Segitiga siku-siku OPG dan OHQ adalah sama, karena OG = OH dengan konstruksi, ∠ HOQ = ∠ POG sebagai sudut vertikal, maka OP = OQ.
Maka dari ini bahwa = , yaitu, sudut silang internal adalah sama.
kasus ke-2. Jika AB || CD, maka = , dan karena = dan = , maka = , yaitu sudut luar bersilangan sama besar.
kasus ketiga. Jika AB || CD, maka = , dan karena = , maka = , maka, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
kasus ke-4. Jika AB || CD, maka = , dan karena + = 2d, maka + = 2d, mis. jumlah satu sisi internal sama dengan dua garis lurus.
kasus ke-5. Jika AB || CD, maka = .
Karena + = 2d, = = , maka + = 2d, mis. jumlah sisi terluar sama dengan dua garis lurus.
Dari teorema berikut konsekuensi. Melalui suatu titik, hanya satu garis yang dapat ditarik sejajar dengan garis lainnya.
Teorema 39. Dua garis yang sejajar dengan sepertiga adalah sejajar satu sama lain.
Diberikan tiga garis (Gbr. 64) AB, CD dan EF, di antaranya AB || EF, CD || EF.
Diperlukan pembuktian bahwa AB || CD.
Bukti. Mari kita potong garis ini dengan garis keempat GH.
Jika AB || EF, maka ∠ α = ∠ γ sewajarnya. Jika CD || EF, maka ∠ β = ∠ γ serta yang sesuai. Karena itu, ∠ α = ∠ β .
Jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka garis-garisnya sejajar, maka AB || CD (ChTD).
Teorema 40. Sudut-sudut yang bernama sama dengan sisi-sisi yang sejajar adalah sama besar.
Diberikan nama yang sama (keduanya lancip atau tumpul) sudut ABC dan DEF, sisi-sisinya sejajar, yaitu AB || DE, SM || EF (Gbr. 65).
Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa ∠ B = ∠ E.
Bukti. Kita lanjutkan sisi DE sampai memotong garis BC di titik G, maka
E = ∠ G sesuai dari perpotongan sisi sejajar BC dan EF dari garis ketiga DG.
B = ∠ G sesuai dengan perpotongan sisi sejajar AB dan DG dari garis BC, maka
E = ∠ B (RTD).
Teorema 41. Sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi sejajar saling melengkapi menjadi dua garis lurus.
Diberikan dua sudut yang berhadapan ABC dan DEF (Gbr. 66) dengan sisi-sisi yang sejajar, oleh karena itu, AB || DE dan SM || EF.
Buktikan bahwa ABC + DEF = 2d.
Bukti. Kami melanjutkan garis DE sampai memotong garis BC di titik G.
B+ DGB = 2d sebagai jumlah sudut satu sisi dalam yang dibentuk oleh perpotongan garis sejajar AB dan DG dari garis ketiga BC.
DGB = DEF sesuai, oleh karena itu,
B+ DEF = 2d (PTD).
Teorema 42. Sudut-sudut sebangun dengan sisi-sisi yang tegak lurus sama besar dan sudut-sudut yang berhadapan saling melengkapi menjadi dua garis lurus.
Pertimbangkan dua kasus: ketika A) sudut-sudutnya memiliki nama yang sama dan ketika B) mereka berlawanan.
kasus pertama. Sisi dari dua sudut yang identik DEF dan ABC (Gbr. 67) tegak lurus, yaitu DE AB, EF BC.
Buktikan bahwa DEF = ABC.
Bukti. Tarik garis BM dan BN dari titik B sejajar dengan garis DE dan EF sehingga
BM || DE, BN || EF.
Garis-garis ini juga tegak lurus dengan sisi sudut yang diberikan ABC, yaitu.
BM AB dan BN BC.
Sebagai NBC = d, MBA = d, maka
NBC= MBA(a)
Mengurangi dari kedua sisi kesetaraan (a) untuk sudut NBA, kami menemukan
∠ MBN = ABC
Karena sudut MBN dan DEF memiliki nama yang sama dan dengan sisi yang sejajar, mereka sama besar (Teorema 40).
∠ MBN = DEF(b)
Persamaan (a) dan (b) menyiratkan kesetaraan
∠ ABC = DEF (phd).
kasus ke-2. Sudut GED dan ABC dengan sisi tegak lurus berhadapan.
Diperlukan untuk membuktikan bahwa GED + ABC = 2d (Gbr. 67).
Bukti. Jumlah sudut GED dan DEF sama dengan dua sudut siku-siku.
GED + DEF = 2d
DEF = ABC, jadi
GED + ABC = 2d (pthd).
Teorema 43. Bagian garis sejajar antara garis sejajar lainnya sama besar.
Diberikan empat garis AB, BD, CD, AC (Gbr. 68), di antaranya AB || CD dan BD || AC.
Buktikan bahwa AB = CD dan BD = AC.
Bukti. Menghubungkan titik C dengan titik B melalui ruas BC, diperoleh dua buah segitiga yang sama besar ABC dan BCD, karena
SM - sisi umum,
∠ = (sebagai interior melintang dari perpotongan garis sejajar AB dan CD dari garis ketiga BC),
∠ = (sebagai garis lintang dalam dari perpotongan garis sejajar BD dan AC garis BC).
Jadi, segitiga memiliki sisi yang sama dan dua sudut yang sama terletak di atasnya.
Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan adalah sisi-sisi yang sama panjang AC dan BD, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan adalah sisi-sisi AB dan CD yang sama, oleh karena itu,
AC = BD, AB = CD (PTD).
Teorema 44. Garis-garis paralel berjarak sama satu sama lain di sepanjang panjangnya.
Jarak suatu titik dari sebuah garis ditentukan oleh panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik tersebut ke garis. Untuk menentukan jarak dua titik A dan B yang sejajar AB dari CD, kita turunkan garis tegak lurus AC dan BD dari titik A dan B.
Diketahui sebuah garis AB sejajar dengan CD, ruas garis AC dan BD tegak lurus terhadap garis CD, yaitu AB || CD, AC DC, BD CD (Gbr. 69).
Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa AC = BD.
Bukti. Garis AC dan BD, karena keduanya tegak lurus terhadap CD, adalah paralel, dan oleh karena itu AC dan BD, sebagai bagian dari paralel antara yang paralel, adalah sama, yaitu AC = BD (phd).
Teorema 45(balik 43). Jika bagian-bagian yang berlawanan dari empat garis berpotongan adalah sama, maka bagian-bagian ini sejajar.
Empat garis lurus berpotongan diberikan, bagian yang berlawanan sama besar: AB = CD dan BD = AC (Gbr. 68).
Diperlukan pembuktian bahwa AB || CD dan BD || AC.
Bukti. Hubungkan titik B dan C dengan garis BC. Segitiga ABC dan BDC sama besar karena
SM - sisi umum,
AB = CD dan BD = AC menurut kesepakatan.
Dari sini
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
Karena itu,
AC || BD, AB || CD (ChTD).
Teorema 46. Jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut siku-siku.
Segitiga ABC diberikan (Gbr. 70).
Buktikan bahwa A + B + C = 2d.
Bukti. Tarik garis CF dari titik C sejajar sisi AB. Di titik C, tiga sudut BCA, dan terbentuk. Jumlahnya sama dengan dua garis lurus:
BCA+ + = 2d
= B (sebagai sudut lintang internal pada perpotongan garis sejajar AB dan CF dengan garis BC);
β = A (sebagai sudut-sudut yang bersesuaian pada perpotongan garis AB dan CF dengan garis AD).
Mengganti sudut dan nilai-nilai mereka, kita mendapatkan:
BCA + A + B = 2d (phd).
Akibat wajar berikut mengikuti dari teorema ini:
Akibat wajar 1. Besar sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.
Bukti. Memang, dari menggambar 70,
BCD= ∠ α + ∠ β
Karena α = B, β = A, maka
BCD= A + B
Konsekuensi 2. Dalam segitiga siku-siku, jumlah sudut lancip sama dengan sudut siku-siku.
Memang, dalam segitiga siku-siku (Gbr. 40)
A + B + C = 2d, A = d, maka
B + C = d.
Akibat wajar 3. Segitiga tidak boleh memiliki lebih dari satu sudut siku-siku atau satu sudut tumpul.
Konsekuensi 4. Pada segitiga sama sisi, masing-masing sudutnya 2/3 d .
Memang, dalam segitiga sama sisi
A + B + C = 2d.
Karena A = B = C, maka
3A=2d, A=2/3d.
111*. Gambarlah garis tegak lurus dari titik A ke bidang yang diberikan oleh: a) segitiga BCD (Gbr. 109, a); b) jejak (Gbr. 109.6); c) segitiga BCD (Gbr. 109, c). Dalam semua kasus, bangun alas tegak lurus pada bidang tertentu.
Solusi, a) Melalui titik B (Gbr. 109, d) kita menggambar frontal B-1 dari bidang tertentu, dan melalui titik D - horizontal D-2. depan. proyeksi tegak lurus yang diinginkan melewati "tegak lurus ke b" 1 "dan yang horizontal - melalui tegak lurus terhadap d-2. Basis tegak lurus (Gbr. 109, e) didefinisikan sebagai titik persimpangan ini tegak lurus dengan bidang Kami melingkupinya dalam bidang horizontal yang memproyeksikan R (kami mengaturnya setelah R h) dan menemukan garis perpotongan
perpotongan bidang ini dengan bidang segitiga adalah garis lurus NM. Kami mendapatkan titik k "- proyeksi frontal dari dasar tegak lurus - dan dengan k" kami menemukan k.
b) Dalam gambar. 109, e depan. proyeksi tegak lurus digambar tegak lurus terhadap jejak P , dan proyeksi horizontal tegak lurus terhadap P h . Untuk membangun alas tegak lurus, kami menyimpulkannya (Gbr. 109, g) di bidang proyeksi depan R, kami membangun garis perpotongan bidang R dan P - garis lurus MN. Kami mendapatkan titik k - cakrawala. proyeksi alas tegak lurus; kami menemukan k dari itu.
c) Setelah menggambar B-1 horizontal (Gbr. 109, a), kita melihat bahwa garis lurus ini sejajar dengan sumbu x. Dari sini kita menyimpulkan bahwa bidang segitiga adalah proyeksi profil. Oleh karena itu, tegak lurus terhadapnya adalah profil lurus.
Kita membangun proyeksi profil segitiga dan titik A. Dari a "kita menggambar garis tegak lurus dengan c" d ". Titik k" adalah proyeksi profil alas tegak lurus. Dengan k" kita menemukan k" dan k pada proyeksi tegak lurus yang diinginkan dengan nama yang sama.
112. Temukan alas dari garis tegak lurus yang ditarik dari titik A:
a) ke bidang yang dibatasi oleh garis sejajar BC dan DE (Gbr. 110, a);
b) ke bidang permukaan SCD piramida SBCD (Gbr. 110, b);
c) ke bidang wajah SBD piramida SBCD (Gbr. 110, c).
113*. Bangun pada bidang yang diberikan oleh garis sejajar CD dan EF tempat kedudukan alas dari garis tegak lurus yang ditarik dari titik-titik garis AB ke bidang ini (Gbr. 111, a)
Keputusan. Tempat kedudukan titik yang diinginkan adalah (Gbr. 111, b) garis perpotongan bidang K 1 K 2, 1) diberikan dan 2) tegak lurus terhadapnya, ditarik melalui garis lurus AB.
Kami melakukan (Gbr. 111, c) di bidang tertentu C-1 horizontal dan C-2 frontal. depan. proyeksi tegak lurus terhadap c"2", dan proyeksi horizontal adalah untuk c-1.
Untuk menyusun lokus titik yang diinginkan, kita menemukan (rio. 111, d) titik K 1 dan K 2 dari perpotongan garis tegak lurus yang ditarik dengan bidang tertentu. Garis lurus K 1 K 2 adalah lokus yang diinginkan.
114. Bangun pada bidang yang diberikan oleh segitiga CDE, lokus alas dari garis tegak lurus yang ditarik dari titik-titik garis AB ke bidang ini (Gbr. 112).
115*. Dari titik sudut A, gambarlah sebuah tegak lurus terhadap bidang segitiga ABC (Gbr. 113, a) dan sisihkan segmen dengan panjang l di atasnya.
Keputusan. Untuk membangun tegak lurus, kita menggambar (Gbr. 113, 6) garis horizontal A-1 dan garis frayal A-2 dari bidang segitiga; depan. proyeksi tegak lurus adalah tegak lurus dengan "2", dan proyeksi horizontal adalah untuk a-1.
Konstruksi lebih lanjut (Gbr. 113, c) serupa dengan yang dilakukan pada soal 20. Garis a "d" dan iklan adalah proyeksi segmen yang diinginkan.
Masalah ini memiliki dua solusi. Dalam kasus kedua, perlu untuk melanjutkan tegak lurus ke sisi lain dari bidang yang diberikan.
116. Dari titik D, buat garis tegak lurus terhadap bidang yang diberikan oleh garis sejajar AB dan CD, dan sisihkan di atasnya sebuah segmen dengan panjang l (Gbr. 114).
117*. Bangun tempat kedudukan titik-titik pada jarak l dari suatu bidang. Berikan solusi untuk kasus di mana bidang diberikan oleh segitiga ABC (Gbr. 115, a) atau jejak (Gbr. 115, b).
Keputusan. Tempat kedudukan titik yang diinginkan adalah dua bidang yang sejajar dengan bidang yang diberikan dan terletak di kedua sisinya pada jarak l.
pada gambar. 115c menunjukkan satu bidang seperti itu. Untuk membangun bidang ini (Gbr. 115, d), kami menggambar tegak lurus dari titik mana pun dari bidang ini (misalnya, C)
ke bidang (perhatikan fakta bahwa dalam segitiga tertentu, sisi AC adalah horizontal, dan BC adalah frontal) dan sisihkan di atasnya segmen KS dengan panjang l. Kemudian melalui titik K (Gbr. 115, e) kita tarik garis lurus KN dan KM, minimal sejajar dengan sisi BC dan AC dari segitiga ABC.
Jika bidang diberikan oleh jejak (Gbr. 115, b), maka akan lebih mudah untuk mengambil titik pada salah satu jejak. pada gambar. 115, e, titik N diambil pada jejak P . Menggambar dari titik ini tegak lurus dengan bujur sangkar. P dan menyisihkan di atasnya segmen yang sama dengan l, kami menggambar melalui titik K (Gbr. 1 \ 5, g) CD horizontal dan AB frontal dari bidang yang diinginkan
118. Bangun tempat kedudukan titik-titik yang jauh dari bujur sangkar. P (Gbr. 116) pada jarak l. Berikan dua solusi.
119*. Gambarlah garis tegak lurus BC dari titik A sampai berpotongan dengan garis EF (Gbr. 117, a).
Keputusan. Tempat kedudukan garis BC yang ditarik dari titik A adalah persegi. P melalui titik A tegak lurus garis lurus BC (Gbr. 117, b). Titik K perpotongan bidang ini dengan garis EF adalah titik perpotongan tegak lurus yang diinginkan dengan garis EF.
dalam gambar. 117, di dalam kita mengatur sebuah bidang yang tegak lurus BC, frontal AM dan horizontal AN. Kami menentukan titik K dari perpotongan garis lurus EF dengan bidang ini (Gbr. 117, d), melampirkan EF di bidang proyeksi depan R (tetapkan sebagai jejak R ); k"a" dan ka - proyeksi tegak lurus yang diinginkan.
120. Gambarlah garis tegak lurus dari titik A ke garis BC sampai memotong garis EF (Gbr. 118).
121*. Gambarlah garis melalui titik A yang memotong garis BC dan ED (Gbr. 119, a).
Keputusan. Tempat kedudukan garis-garis yang melalui titik A dan memotong garis ED adalah bidang yang ditentukan oleh elemen-elemen ini (Gbr. 119, b). Jika kita membangun bidang seperti itu dan menemukan titik K dari perpotongannya dengan garis kedua (BC), maka garis yang diinginkan akan melewati titik A dan K. Konstruksi seperti itu dilakukan pada gambar. 119, c dan 119, d, di mana pertama bidang yang ditentukan oleh titik A dan garis ED dinyatakan oleh segitiga AED, dan kemudian titik K dari perpotongan garis kedua (BC) dengan bidang segitiga ini adalah ditemukan.
Garis yang diinginkan melalui titik A dan K dan memotong garis ED di titik M (gbr. 119.6). Tentu saja, dengan konstruksi proyeksi yang tepat, m dan m "harus berada pada garis sambungan m" m, tegak lurus terhadap sumbu x.
Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain: ambil dua bidang - satu ditentukan oleh titik A dan garis ED (seperti yang dilakukan pada Gambar 119, c), dan yang lainnya oleh titik A dan garis BC. Garis perpotongan kedua bidang n ini akan menjadi garis lurus yang diinginkan melalui titik A dan memotong BC di ED,
122. Tarik garis melalui titik A yang berpotongan:
a) tepi SD dan sisi BC alas piramid SBCD (Gbr. 120, a),
b) tepi BG dan sisi EF alas atas prisma (Gbr. 120.6).
123*. Bangun tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik A dan B (Gbr. 121, a).
Keputusan. Lokus yang diinginkan adalah bidang yang melalui titik tengah segmen AB yang tegak lurus terhadapnya.
Kami membagi proyeksi segmen AB menjadi dua (Gbr. 121, b). Melalui tengah (titik C) kita menggambar CD horizontal AB dan CE AB frontal (Gbr. 121, c) dari bidang yang diinginkan. Untuk mengekspresikan bidang ini dalam bentuk jejak, seseorang harus menentukan sumbu proyeksi dan membangun setidaknya sebuah front. jejak horizontal (titik N, Gambar 121, a) dan melaluinya gambar jejak yang sesuai pl. p. Jejak ϑ ⊥ a"b", dan jejak P h ⊥ ab (atau || nс).
124. Bangunlah kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik A dan B (Gbr. 122, a dan b). Dalam kasus pertama, berikan jawaban tanpa jejak, dan yang kedua - dalam jejak.
125*. Buatlah proyeksi titik K yang hilang, yang berjarak sama dari titik A dan B (Gbr. 123, a).
Keputusan. Karena lokus semua titik dalam ruang yang berjarak sama dari titik A dan B adalah sebuah bidang yang melalui titik tengah segmen AB yang tegak lurus terhadapnya, titik K harus termasuk dalam bidang ini.
pada gambar. 123b, bidang seperti itu ditentukan oleh CE frontal dan CD horizontal yang melewati tengah segmen AB.
Kami menggambar (Gbr. 123, c) melalui k "depan. proyeksi ke" 1 "bidang horizontal dan membangun proyeksi horizontalnya, di mana kami menandai titik k - proyeksi yang diinginkan dari titik K-
126. Buatlah proyeksi yang hilang dari segmen CD, yang masing-masing titiknya berjarak sama dari titik A dan B (Gbr. 124).
127*. Bangunlah pada bidang tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik A dan B yang diberikan: a) bidang tersebut diberikan oleh garis-garis sejajar (Gbr. 125, a); b) bidang diberikan oleh jejak (Gbr. 125, b).
Keputusan. Karena tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik A dan B adalah bidang yang melalui bagian tengah segmen AB yang tegak lurus terhadapnya (Gbr. 125, c), tempat yang diinginkan adalah garis perpotongan bidang ini dengan bidang yang diberikan ( garis lurus MN).
pada gambar. 125, d, bidang tegak lurus terhadap segmen AB di tengahnya dinyatakan oleh KS frontal dan TS horizontal.
Sekarang kita perlu mencari garis perpotongan dua bidang, yang dilakukan dengan mencari titik potong garis DE dan FG (Gbr. 125, e), mendefinisikan bidang tertentu, dengan bidang yang dinyatakan oleh TS horizontal dan KS frontal (lihat masalah 86).
pada gambar. 125, e bidang Q, tegak lurus dengan segmen AB di tengahnya, dinyatakan dengan jejak. Kami menemukan titik M dan N dari perpotongan jejak dengan nama yang sama dari bidang P dan Q dan menggambar garis MN yang diinginkan melalui mereka (Gbr. 125, g).
128. Bangun tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik A dan B:
a) pada bidang yang ditentukan oleh segitiga CDE (Gbr. 126, a);
b) di alun-alun. P (Gbr. 126, b).
129* Bidang segitiga CDE dan garis lurus AB diberikan (Gbr. 127, a). Gambarlah garis pada bidang ini yang memotong AB pada sudut siku-siku.
Keputusan. Garis yang diinginkan akan berubah (Gbr. 127, b) sebagai garis perpotongan bidang segitiga (P) dengan pl. Q tegak lurus AB dan melalui titik (K) perpotongan AB dengan bidang tertentu.
Oleh karena itu, kita menemukan (Gbr. 127, c) titik K dari perpotongan garis lurus AB dengan bidang segitiga CDE. Bidang proyeksi froial R, yang ditarik melalui garis lurus AB, diambil sebagai bidang bantu. Setelah menemukan proyeksi k dan k ", kami menggambar melalui mereka proyeksi horizontal dan bagian depan bidang yang tegak lurus terhadap AB (Gbr. 127, d). Untuk membuat garis perpotongan bidang yang diinginkan, kami menemukan (Gbr. 127, e) titik (m"; m) dari perpotongan sisi segitiga ED dengan bidang yang melalui titik K. Jalur MK (m "k"; mk) adalah jalur yang diinginkan
130. Diberikan sebuah garis AB dan sebuah bidang yang dibatasi oleh garis sejajar CD dan EF. Gambarlah pada bidang ini sebuah garis lurus yang memotong garis lurus AB pada sudut siku-siku (Gbr. 128).
131. Diberikan garis lurus AB dan pl. R. Gambarlah pada bidang ini sebuah garis lurus yang memotong garis lurus AB pada sudut siku-siku (Gbr. 129).
132*. Diketahui bidang segitiga LMN dan garis AE dan FG. Buatlah jajar genjang yang sisi AD terletak pada garis AE, sisi AB sejajar dengan bidang segitiga, titik B termasuk dalam garis FG, diagonal BD tegak lurus dengan sisi AD (Gbr. 130, a).
Keputusan. Mari kita buat garis besar rencana solusi (Gbr. 130, b dan c).
1. Melalui titik A, lewati sebuah bidang (P) yang sejajar dengan bidang segitiga LMN.
2. Tentukan titik potong (B) dari garis FG dengan pl. R.
3. Melalui titik B, buatlah sebuah bidang (Q) yang tegak lurus terhadap garis AE.
4. Temukan titik potong (D) dari garis AE dengan pl. Q.
5. Gambarlah segmen AB dan garis lurus yang sejajar dengannya melalui titik D, dan melalui B - garis lurus yang sejajar dengan AD.
pada gambar. 130, c dan d menunjukkan konstruksi persegi. P sejajar bidang segitiga LMN. Pl. P melalui titik A diberikan oleh dua garis berpotongan A-1 dan A-2, dimana A-1 sejajar dengan LM dan A-2 sejajar dengan LN.
Gambar yang sama menunjukkan menemukan titik B dari perpotongan garis FG dengan pl. P, di mana bidang S yang diproyeksikan ke depan ditarik melalui FG, diberikan oleh jejak S . cakrawala. proyeksi 1-2 dari garis perpotongan bidang P dan S melintasi cakrawala. proyeksi fg di titik b. Dari titik b kami menemukan proyeksi b" ke f"g".
pada gambar. 130, d menunjukkan konstruksi persegi. Q tegak lurus AE. Bidang ini digambar melalui titik B dan diekspresikan oleh horizontal B-4 dan frontal B-3, tegak lurus terhadap AE. Gambar yang sama menunjukkan konstruksi titik D, di mana garis AE berpotongan pl. Q diekspresikan oleh B-4 horizontal dan B-3 frontal.
Sebuah bidang proyeksi horizontal T ditarik melalui AE, dinyatakan dengan jejaknya T h , proyeksi 3-4 dan 3"4" dari garis perpotongan bidang T dan Q dan proyeksi d" dan d dibangun.
pada gambar. 130, e menunjukkan konstruksi jajaran genjang yang diinginkan, yang memproyeksikan "b" dan ab, "d" dan iklan dari dua sisi jajaran genjang, dan kemudian b "c" || iklan"; SM || iklan; d"c" || a "b dan dc || ab. Titik c" dan c harus berada pada garis penghubung cc", tegak lurus terhadap sumbu x.
133. Segitiga LMN dan garis AE dan FG diberikan. Buatlah jajar genjang yang sisi AD terletak pada garis AE, sisi AB sejajar dengan bidang segitiga, titik B termasuk dalam garis FG, diagonal BD tegak lurus dengan sisi AD (Gbr. 131).
134*. Melalui titik A, buatlah garis yang sejajar dengan bujur sangkar. P dan bidang segitiga CDE (Gbr. 132, a).
Keputusan. Jika garis yang diinginkan harus sejajar secara simultan dengan dua bidang, maka garis itu harus sejajar dengan garis perpotongan bidang-bidang ini
(nasi, 132, b). Dengan memperkenalkan dua bidang bantu T dan S, kami menemukan garis perpotongan bidang MN (Gbr. 132, c). Proyeksi garis yang diinginkan b "f" dan bf melewati a" dan sejajar dengan proyeksi garis MN dengan nama yang sama dengannya (Gbr. 132, d).
i3s. Melalui titik A, buatlah garis yang sejajar dengan bujur sangkar. P dan bidang yang diberikan oleh garis berpotongan DE dan DF (Gbr. 133).
136. Gambarlah garis lurus melalui titik A yang sejajar dengan bujur sangkar. P dan bidang yang diberikan oleh garis paralel DE dan FG (Gbr. 134).
137*. Gambarlah garis lurus, yang masing-masing dipisahkan dari bujur sangkar. P pada jarak l 1, dan dari bidang yang diberikan oleh garis lurus BC dan titik A, pada jarak l 2 (Gbr. 135, a).
Keputusan. Solusinya didasarkan pada gagasan tempat kedudukan garis-garis lurus yang berjarak dari bidang tertentu dengan jarak tertentu, yaitu, dari bidang yang sejajar dengan bidang yang diberikan.
Garis yang diinginkan adalah garis MN dari perpotongan dua bidang Q, sejajar dengan bujur sangkar. P dan terletak di kedua sisinya pada jarak l 1, dengan dua
bidang S sejajar dengan bidang kedua yang diberikan dan berjarak l 2 . Ada empat baris seperti itu secara total. pada gambar. 135b menunjukkan salah satunya.
pada gambar. 135, c menunjukkan: 1) menggambar tegak lurus persegi. P dari titik M 1 yang diambil di dalamnya dan konstruksi titik K 1 pada tegak lurus ini pada jarak M 1 K 1 \u003d l 1; 2) menggambar tegak lurus terhadap bidang yang diberikan oleh titik A dan garis lurus BC dari titik A (menggunakan garis horizontal A-2 dan garis depan A-3) dan membangun titik K 2 pada tegak lurus ini pada jarak AK 2 \u003d l 2
pada gambar. 135, d menunjukkan lintasan melalui titik K 1 pl.Q sejajar dengan pl. P dan melalui titik bidang K 2 yang dinyatakan oleh horizontal K 2 5 dan frontal K 2 6, berturut-turut, sejajar dengan horizontal A-2 dan frontal A-3, milik bidang yang diberikan oleh titik A dan garis lurus SM.
pada gambar. 135, d garis perpotongan pl. Q dan bidang S, dinyatakan oleh horizontal K 2 5 dan frontal K 2 6. Garis yang dihasilkan MN sejajar dengan kedua bidang yang diberikan.
138. Gambarlah salah satu garis lurus, berjarak dari bujur sangkar. P pada jarak l 1 dan dari bidang segitiga ABC pada jarak l 2 (Gbr. 136).
139*. Gambarlah garis yang memotong garis AB dan CD yang diberikan dan sejajar dengan garis EF (Gbr. 137, a).
Keputusan. Mari kita membuat garis besar rencana untuk memecahkan masalah (rns. 137, b).
1. Gambarlah sebuah bidang (Q) melalui garis CD yang sejajar dengan garis EF.
2. Temukan titik (K) di mana garis AB memotong persegi. Q.
3. Gambarlah garis (KM) melalui titik K sejajar dengan garis EF yang diberikan.
pada gambar. 137, dalam konstruksi alun-alun ditampilkan. Q melewati garis CD dan garis sejajar EF Pl. Q dinyatakan oleh garis CD dan garis DG yang memotongnya, ditarik melalui titik D yang sejajar dengan EF.
pada gambar. 137, c menunjukkan konstruksi titik K, di mana garis lurus AB memotong bujur sangkar. Q. Garis AB diapit oleh bidang proyeksi frontal R, yang dinyatakan dengan jejaknya R . Pl. R melintasi persegi. Q dalam garis lurus 1-2. Pada perpotongan 1-2 dan ab, diperoleh proyeksi k; pada titik k kita menemukan bagian depan. proyeksi k".
Akhirnya, pada gambar. 137, d menunjukkan proyeksi km dan k "m" dari garis yang diinginkan: k "m" || e"f" dan km || dst. Tentu saja, proyeksi m "dan m harus diperoleh pada garis sambungan m" m, tegak lurus terhadap sumbu x.
140. Gambarlah garis yang memotong garis AB dan CD yang diberikan dan sejajar dengan garis EF (Gbr. 138).
141. Gambarlah garis yang memotong garis AB dan CD yang diberikan, sejajar dengan garis EF (Gbr. 139).
142*. Diberikan garis EF, MN, KL dan HI. Buatlah persegi panjang ABCD, dengan sisi AB sejajar dengan garis EF, titik A terletak pada garis KL, titik B terletak pada garis MN dan titik C terletak pada garis HI (Gbr. 140, a).
Keputusan. Sisi AB harus memotong KL dan MN dan sejajar dengan EF (lihat soal 139).
Jika (Gbr. 140.6) menggambar setidaknya melalui titik G, terletak di KL, garis lurus sejajar dengan EF, maka kita mendapatkan pl. Q sejajar dengan EF. Selanjutnya, Anda perlu menemukan titik B dari perpotongan bidang ini dengan garis MN dan menggambar melalui titik B ke bujur sangkar. Q. Garis lurus sejajar EF. Garis AB ini memotong garis MN dan KL dan sejajar dengan EF.
Konstruksi ditunjukkan pada gambar. 140, c. Karena sisi BC dan AB harus saling tegak lurus, kita menggambar (Gbr. 140, panduan) melalui titik B pl. P, tegak lurus sisi AB, dan buat titik C dari perpotongannya dengan garis HI.
Tarik garis melalui titik A dan C (Gbr. 140, d dan e), sejajar dengan garis BC dan AB, sampai berpotongan di titik D.
143.. Diberikan piramida SEFG dan garis MN (Gbr. 141). Bangun persegi panjang ABCD dengan sisi AB sejajar dengan garis MN, titik A terletak di tepi SF, titik AB terletak di sisi alas EG, titik D terletak di tepi SE.
144. Piramida SEFG dan garis MN diberikan (Gbr. 142). Buatlah persegi panjang ABCD dengan sisi AB sejajar dengan garis MN, titik A terletak pada rusuk SG, titik B pada sisi alas EF, dan titik D pada rusuk SF.
145*. Gambarlah garis melalui titik A yang sejajar dengan bidang yang diberikan oleh garis sejajar ED dan FG dan memotong garis BC (Gbr. 143, a).
Keputusan. Anda dapat menyusun rencana berikut untuk memecahkan masalah (Gbr. 143, b):
1) menggambar bidang (P) melalui titik A sejajar dengan bidang tertentu;
2) temukan titik (K) perpotongan pesawat pada bujur sangkar. R;
3) menggambar garis AK yang diinginkan.
pada gambar. 143, dalam hal. P, yang ditarik melalui titik A, dinyatakan dengan garis lurus AM || ED (a "m" || e "d", am || ed) dan AN horizontal, untuk menahan cakrawala. proyeksi siapa
horizontal E-1 diambil pada bidang yang ditentukan oleh garis ED dan FG (an || ef). pada gambar. 143, d menunjukkan konstruksi titik K, di mana garis BC berpotongan dengan bujur sangkar. R: sebuah bidang yang menonjol ke depan ditarik melalui BC (dinyatakan
mengikuti R ), dibuat proyeksi 2 "3" dan 2-3 dari garis perpotongan bidang P dan R, titik k diperoleh pada perpotongan garis 2-3 dan bс. Dengan proyeksi k, proyeksi k ditemukan Proyeksi garis yang diinginkan a "k" dan ak.
146. Melalui titik A (Gbr. 144) buatlah garis lurus yang sejajar dengan bujur sangkar. P dan garis berpotongan BC.
147. Tarik garis melalui titik A (Gbr. 145) sejajar dengan bidang yang diberikan oleh garis berpotongan DE dan DF dan memotong garis BC.
148*. Bangun tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik-titik A, B dan C yang diberikan (Gbr. 146, a),
Keputusan. Tempat geometris yang diinginkan adalah garis perpotongan MN (Gbr. 146, b) dari bidang P dan Q, masing-masing, tegak lurus terhadap segmen AB dan BC dan melewati titik K 1 dan K 2 di titik tengah segmen ini. pada gambar. 146, ini
pesawat diekspresikan oleh jejaknya. Dengan menggunakan (Gbr. 146, d) titik persimpangan dari jejak dengan nama yang sama dari pesawat, kami membangun garis persimpangan mereka MN.
149. Bangunlah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik-titik A, B dan C yang diberikan (Gbr. 147).
150*. Segitiga ABC diberikan (Gbr. 148, a). Bangunlah sebuah piramida SABC, titik sudut S yang berjarak sama dari titik A, B dan C. Jarak dari titik S ke persegi. V adalah 1,7 kali jaraknya ke alun-alun. N.
Keputusan. Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik A, B dan C (lihat soal 148 *) adalah garis perpotongan bidang MN Q dan P, yang ditarik melalui titik tengah (K 1 dan K 2) segmen AB dan BC yang tegak lurus terhadapnya (Gbr. 148 , b dan c). Simpul S harus terletak pada garis ini. Tempat kedudukan titik-titik yang ordinatnya 1,7 kali penerapannya adalah bidang aksial T; jejak profilnya T lewat (Gbr. 148, c) melalui titik O dan titik, yang jaraknya ke
sumbu y adalah 10 unit, dan hingga sumbu z adalah 17 unit. Titik S milik pesawat ini. Proyeksi profil s "dari puncak piramida terletak di persimpangan m" n "dengan jejak T (pada gambar, untuk menyederhanakan gambar, proyeksi profil titik D yang terletak pada garis lurus MN dibangun ). Dari s" kita menemukan s "dan s. Pada Gambar 148, proyeksi d dari piramida yang diinginkan ditunjukkan.
151. Diberikan Segitiga ABC (Gbr. 149). Buatlah proyeksi piramida SABC, simpul S yang berjarak sama dari simpul alas ABC dan terletak di bujur sangkar. v.
152*. Diberikan titik A, L, M dan N (Gbr. 150, a). Buatlah jajar genjang ABCD yang simpul B terletak pada bujur sangkar. H, sisi CD - pada garis lurus yang berjarak sama dari titik L, M dan N, titik D berjarak sama dari bidang V dan H.
Keputusan. Karena CD sisi jajar genjang yang diinginkan harus terletak pada garis lurus yang berjarak sama dari tiga titik, kita mulai dengan membangun garis lurus ini. Konstruksi serupa telah ditemukan: garis lurus EF diperoleh sebagai garis perpotongan dua bidang (Gbr. 150, 6 dan c) P dan Q, ditarik tegak lurus terhadap segmen LM dan MN melalui titik tengahnya. Titik D pada garis ini didapat dari syarat bahwa
jaraknya sama dari alun-alun. V dan hal. H (Gbr. 150, d): kita menggambar garis bantu f "5 melalui titik f pada sudut yang sama terhadap sumbu x dengan garis lurus f" e ", kita mendapatkan titik d pada proyeksi ef, dan sepanjang itu d", apalagi, d " 6 = d-6.
Jadi, kami mendapatkan salah satu simpul dari jajaran genjang yang diperlukan (titik D) dan arah sisi yang melewati titik ini (garis lurus EF). Melewati yang diberikan
titik A adalah garis lurus sejajar dengan EF, kita mendapatkan sisi AB, mengetahui bahwa, dengan syarat, titik B harus persegi. N.
Tetap menyelesaikan konstruksi proyeksi jajaran genjang dengan menggambar "b" dan ab (Gbr. 150.6), b "c" || a"d" dan bc || iklan. Titik c" dan c harus berada pada garis komunikasi dengan" c, tegak lurus terhadap sumbu x.
153. Diberikan titik A, L, M dan N (Gbr. 151). Buatlah jajar genjang ABCD yang simpul B terletak pada bujur sangkar. H, sisi CD terletak pada garis lurus yang berjarak sama dari titik L, M dan N, titik D berjarak sama dari pl. V dan pl.H
154. Segitiga ABC diberikan (Gbr. 152). Buatlah proyeksi piramida SABC, simpul S yang berjarak sama dari titik A, B dan C dan pada jarak yang sama dari alun-alun. V dan hal. H.
PERSIMPANGAN GARIS DENGAN SATU BIDANG DAN PERSIMPANGAN DUA BIDANG
Konstruksi titik potong garis lurus dengan bidang proyeksi mengurangi untuk membangun proyeksi titik kedua pada diagram, karena proyeksi satu titik selalu terletak pada jejak bidang proyeksi, karena segala sesuatu yang ada di bidang proyeksi diproyeksikan ke salah satu jejak bidang. pada gambar. 224,a menunjukkan konstruksi titik potong garis lurus EF dengan bidang proyeksi depan segitiga ABC (tegak lurus bidang V) Pada bidang V, segitiga ABC diproyeksikan ke dalam segmen a "c" dari garis lurus, dan titik k” juga terletak pada garis ini dan berada pada titik perpotongan e”f” dengan a “c”. Proyeksi horizontal dibangun dengan menggunakan garis sambungan proyeksi. garis lurus relatif terhadap bidang segitiga ABC ditentukan oleh posisi relatif dari proyeksi segitiga ABC dan garis lurus EF pada bidang V. Arah pandang pada Gambar 224, a ditunjukkan oleh panah Bagian itu dari garis lurus akan terlihat proyeksi frontal yang berada di atas proyeksi segitiga. Di sebelah kiri titik k " proyeksi garis lurus berada di atas proyeksi segitiga, oleh karena itu, bagian ini terlihat pada bidang H.
pada gambar. 224, b, garis lurus EF memotong bidang horizontal P. Proyeksi frontal k "dari titik K - titik perpotongan garis lurus EF dengan bidang P - akan berada di titik perpotongan proyeksi e" f "dengan jejak bidang Pv, karena bidang horizontal adalah bidang proyeksi depan. Proyeksi horizontal k dari titik K ditemukan menggunakan garis sambungan proyeksi.
Konstruksi garis perpotongan dua bidang direduksi untuk menemukan dua titik yang sama untuk kedua bidang ini. Ini cukup untuk membangun garis persimpangan, karena garis persimpangan adalah garis lurus, dan garis lurus didefinisikan oleh dua titik. Ketika sebuah bidang proyeksi berpotongan dengan bidang pada posisi umum, salah satu proyeksi garis perpotongan bertepatan dengan jejak bidang yang terletak di bidang proyeksi di mana bidang proyeksi tegak lurus. pada gambar. 225, dan proyeksi frontal m "n" dari garis perpotongan MN bertepatan dengan jejak Pv dari bidang proyeksi depan P, dan dalam gambar. 225b, proyeksi horizontal kl bertepatan dengan jejak bidang proyeksi horizontal R. Proyeksi lain dari garis perpotongan dibangun dengan menggunakan garis sambungan proyeksi.
Konstruksi titik potong garis dengan bidang posisi umum (Gbr. 226, a) dilakukan dengan menggunakan bidang proyeksi tambahan R, yang ditarik melalui garis lurus EF yang diberikan. Sebuah garis persimpangan 12 dari bidang bantu R dengan bidang tertentu dari segitiga ABC dibangun, dua garis lurus diperoleh di bidang R: EF - garis yang diberikan dan 12 - garis perpotongan yang dibangun, yang berpotongan di titik K .
Menemukan proyeksi titik K ditunjukkan pada gambar. 226b. Konstruksi dilakukan dalam urutan berikut.
Sebuah bidang proyeksi horizontal bantu R ditarik melalui garis lurus EF. Jejaknya R H bertepatan dengan proyeksi horizontal ef dari garis lurus EF.
Proyeksi frontal 1"2" dari garis perpotongan 12 bidang R dengan bidang segitiga ABC yang diberikan dibangun menggunakan garis proyeksi, karena proyeksi horizontal dari garis perpotongan diketahui. Itu bertepatan dengan jejak horizontal RH bidang R.
Proyeksi frontal k" dari titik K yang diinginkan ditentukan, yang terletak di persimpangan proyeksi frontal dari garis lurus ini dengan proyeksi 1"2" dari garis persimpangan. Proyeksi horizontal titik tersebut dibangun menggunakan proyeksi jalur koneksi.
Visibilitas garis terhadap bidang segitiga ABC ditentukan dengan metode titik bersaing. Untuk menentukan visibilitas garis lurus pada bidang proyeksi frontal (Gbr. 226, b), kami membandingkan koordinat Y titik 3 dan 4, proyeksi frontal yang bertepatan. Koordinat Y titik 3 yang terletak pada garis BC lebih kecil dari koordinat Y titik 4 yang terletak pada garis EF. Akibatnya, titik 4 lebih dekat ke pengamat (arah pandang ditunjukkan oleh panah) dan proyeksi garis lurus digambarkan pada bidang tampak V. Garis lewat di depan segitiga. Di sebelah kiri titik K" garis tersebut ditutup oleh bidang segitiga ABC.
Visibilitas pada bidang proyeksi horizontal ditunjukkan dengan membandingkan koordinat Z titik 1 dan 5. Karena Z 1 > Z 5 , titik 1 terlihat. Oleh karena itu, di sebelah kanan titik 1 (sampai titik K), garis EF tidak terlihat.
Untuk membuat garis perpotongan dua bidang pada posisi umum, digunakan bidang potong bantu. Hal ini ditunjukkan pada gambar. 227 Satu bidang diberikan oleh segitiga ABC, yang lain diberikan oleh garis sejajar EF dan MN. Bidang yang diberikan (Gbr. 227, a) dilintasi oleh bidang bantu ketiga. Untuk kemudahan konstruksi, bidang horizontal atau frontal diambil sebagai bidang bantu. PADA kasus ini bidang bantu R adalah bidang horizontal. Ini memotong bidang-bidang yang diberikan sepanjang garis lurus 12 dan 34, yang di persimpangan memberikan titik K, yang termasuk dalam ketiga bidang, dan, akibatnya, ke dua bidang yang diberikan, yaitu, terletak di garis persimpangan bidang-bidang yang diberikan. Titik kedua ditemukan dengan menggunakan bidang bantu kedua Q. Dua titik K dan L yang ditemukan menentukan garis perpotongan kedua bidang tersebut.
pada gambar. 227b, bidang bantu R diberikan oleh bangun depan. Proyeksi frontal dari garis perpotongan 1 "2" dan 3"4 bidang R dengan bidang-bidang yang diberikan bertepatan dengan jejak frontal Rv bidang R, karena bidang R tegak lurus terhadap bidang V, dan segala sesuatu yang di dalamnya (termasuk garis perpotongan) diproyeksikan ke jejak frontalnya Rv. Proyeksi horizontal garis-garis ini dibangun menggunakan proyeksi garis sambungan yang ditarik dari proyeksi frontal titik 1", 2", 3", 4" ke persimpangan dengan proyeksi mendatar dari garis-garis yang bersesuaian di titik 1, 2, 3, 4. Dibangun proyeksi mendatar dari garis-garis perpotongan tersebut diperpanjang sampai berpotongan satu sama lain di titik k, yang merupakan penonjolan horizontal dari titik K milik garis perpotongan dua bidang. Proyeksi frontal dari titik ini adalah pada jejak Rv.
Untuk membangun titik kedua yang termasuk dalam garis perpotongan, dibuat bidang bantu kedua Q. Untuk memudahkan konstruksi, bidang Q digambar melalui titik C yang sejajar dengan bidang R. Kemudian, untuk membuat proyeksi horizontal garis-garis tersebut perpotongan bidang Q dengan bidang segitiga ABC dan dengan bidang yang diberikan oleh garis sejajar, cukup temukan dua titik: c dan 5 dan tarik garis lurus melalui mereka sejajar dengan proyeksi yang dibangun sebelumnya dari garis persimpangan 12 dan 34, karena bidang Q R. Melanjutkan garis-garis ini sampai berpotongan satu sama lain, diperoleh proyeksi horizontal l dari titik L yang termasuk dalam garis perpotongan bidang-bidang yang diberikan. Proyeksi frontal l" dari titik L terletak pada jejak Q v dan dibangun menggunakan garis sambungan proyeksi. Dengan menghubungkan proyeksi dengan nama yang sama dari titik K dan L, diperoleh proyeksi garis perpotongan yang diinginkan. .
Jika kita mengambil garis di salah satu bidang yang berpotongan dan membuat titik perpotongan garis ini dengan bidang lain, maka titik ini akan termasuk dalam garis perpotongan bidang-bidang ini, karena ia termasuk dalam kedua bidang yang diberikan. Mari kita membangun titik kedua dengan cara yang sama, kita dapat menemukan garis perpotongan dua bidang, karena dua titik cukup untuk membangun garis lurus. pada gambar. 228 menunjukkan konstruksi garis perpotongan dua bidang yang diberikan oleh segitiga.
Untuk konstruksi ini, salah satu sisi segitiga diambil dan titik perpotongan sisi ini dengan bidang segitiga lainnya dibangun. Jika ini gagal, ambil sisi lain dari segitiga yang sama, lalu yang ketiga. Jika ini tidak mengarah pada menemukan titik yang diinginkan, titik persimpangan sisi segitiga kedua dengan yang pertama dibangun.
pada gambar. 228 titik perpotongan garis EF dengan bidang segitiga ABC dibangun. Untuk melakukan ini, bidang bantu S yang diproyeksikan secara horizontal digambar melalui garis lurus EF dan proyeksi frontal 1 "2" dari garis perpotongan bidang ini dengan bidang segitiga ABC dibuat. Proyeksi frontal 1 "2" dari garis persimpangan, berpotongan dengan proyeksi frontal e "f" dari garis lurus EF, memberikan proyeksi frontal m "dari titik persimpangan M. Proyeksi horizontal m dari titik M ditemukan menggunakan garis sambungan proyeksi Titik kedua yang tergolong garis perpotongan bidang-bidang segitiga yang diberikan , - titik N - titik perpotongan garis BC dengan bidang segitiga DEF. Melalui garis BC, sebuah garis depan- bidang proyeksi R ditarik, dan pada bidang H, persimpangan proyeksi horizontal garis BC dan garis persimpangan 34 memberikan titik n - proyeksi horizontal titik yang diinginkan. Bagian yang terlihat dari segitiga yang diberikan ditentukan menggunakan titik bersaing untuk setiap bidang proyeksi secara terpisah.Untuk melakukan ini, pilih satu titik di salah satu bidang proyeksi, yang merupakan proyeksi dua titik yang bersaing. Visibilitas ditentukan dari proyeksi kedua titik-titik ini dengan membandingkan koordinatnya.
Misalnya, titik 5 dan 6 adalah titik potong dari proyeksi horizontal bc dan de. Pada bidang proyeksi frontal, proyeksi titik-titik ini tidak bertepatan. Membandingkan koordinat Z mereka, mereka menemukan bahwa titik 5 menutup titik 6, karena koordinat Z 5 lebih besar dari koordinat Z 6. Oleh karena itu, di sebelah kiri titik 5, sisi DE tidak terlihat.
Visibilitas pada bidang proyeksi frontal ditentukan dengan menggunakan titik bersaing 4 dan 7 yang termasuk dalam segmen DE dan BC, membandingkan koordinatnya Y 4 dan Y 7 Karena Y 4 > Y 7, sisi DE pada bidang V terlihat.
Perlu dicatat bahwa ketika membangun titik potong garis lurus dengan bidang segitiga, titik potong mungkin berada di luar bidang segitiga. Dalam hal ini, dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh dari garis persimpangan, hanya bagian yang termasuk dalam kedua segitiga yang diuraikan.
PERTANYAAN TINJAUAN
1. Koordinat titik manakah yang menentukan posisinya pada bidang V?
2. Berapakah koordinat Y dan koordinat Z suatu titik?
3. Bagaimana proyeksi segmen tegak lurus terhadap bidang proyeksi H terletak pada diagram? Tegak lurus dengan bidang proyeksi V?
4. Bagaimana letak proyeksi horizontal dan frontal pada diagram?
5. Merumuskan posisi utama tentang kepemilikan suatu titik terhadap garis lurus.
6. Bagaimana membedakan garis berpotongan dari yang berpotongan dalam diagram?
7. Poin apa yang disebut bersaing?
8. Bagaimana menentukan mana dari dua titik yang terlihat jika proyeksi mereka pada bidang proyeksi frontal bertepatan?
9. Merumuskan posisi utama tentang paralelisme garis lurus dan bidang.
10. Bagaimana prosedur untuk membuat titik potong garis dengan bidang pada posisi umum?
11. Bagaimana prosedur untuk membuat garis perpotongan dua bidang pada posisi umum?
