Rasa jumlah, keterampilan berhitung minimal adalah elemen yang sama dari budaya manusia seperti berbicara dan menulis. Dan jika Anda dengan mudah menghitung dalam pikiran Anda, maka Anda merasakan tingkat kendali yang berbeda atas kenyataan. Selain itu, keterampilan semacam itu mengembangkan kemampuan mental: konsentrasi pada objek dan benda, ingatan, perhatian terhadap detail, dan beralih di antara aliran pengetahuan. Dan jika Anda tertarik untuk mempelajari cara menghitung dengan cepat dalam pikiran Anda, rahasianya sederhana: Anda harus terus-menerus berlatih.

Pelatihan memori: mitos atau kenyataan?

Matematika mudah bagi orang-orang pintar yang memunculkan persamaan seperti biji. Orang lain merasa lebih sulit untuk belajar Tapi tidak ada yang tidak mungkin, semuanya mungkin jika Anda banyak berlatih. Ada operasi matematika berikut: pengurangan, penambahan, perkalian, pembagian. Masing-masing dari mereka memiliki karakteristiknya sendiri. Untuk memahami semua kesulitan, Anda perlu memahaminya sekali, dan kemudian semuanya akan jauh lebih mudah. Jika Anda berlatih selama 10 menit setiap hari, maka dalam beberapa bulan Anda akan mencapai tingkat yang layak dan mempelajari kebenaran menghitung angka matematika.

Banyak orang tidak mengerti bagaimana Anda dapat memvariasikan angka dalam pikiran Anda. Bagaimana menjadi master angka agar tidak terlihat bodoh dan tidak terlihat dari luar? Ketika tidak ada kalkulator di tangan, otak mulai memproses informasi secara intensif, mencoba menghitung angka-angka yang diperlukan dalam pikiran. Tetapi tidak semua orang berhasil mencapai hasil yang diinginkan, karena masing-masing dari kita adalah individu dengan batasannya sendiri. Jika Anda ingin memahami dalam pikiran Anda, maka Anda harus mempelajari semua informasi yang diperlukan, berbekal pena, buku catatan, dan kesabaran.

Tabel perkalian akan menghemat hari

Kami tidak akan berbicara tentang orang-orang yang memiliki tingkat IQ di atas 100, ada persyaratan khusus untuk individu tersebut. Mari kita bicara tentang rata-rata orang yang, dengan bantuan tabel perkalian, dapat mempelajari banyak manipulasi. Jadi, bagaimana cara cepat menghitung dalam pikiran tanpa kehilangan kesehatan, kekuatan dan waktu? Jawabannya sederhana: hafalkan tabel perkalian! Faktanya, tidak ada yang sulit di sini, yang utama adalah memiliki tekanan dan kesabaran, dan angka-angka itu sendiri akan menyerah sebelum tujuan Anda.

Untuk usaha yang begitu menarik, Anda akan membutuhkan mitra cerdas yang dapat memeriksa Anda dan menemani Anda dalam proses yang sabar ini. Seorang pria yang tahu ada di benak siswa yang paling malas sekalipun. Setelah Anda dapat mengalikan dengan cepat, penghitungan mental akan menjadi rutinitas untuk Anda. Sayangnya, tidak ada metode ajaib. Seberapa cepat Anda dapat menguasai keterampilan baru terserah Anda. Anda dapat melatih otak Anda tidak hanya dengan bantuan tabel perkalian, ada aktivitas yang lebih mengasyikkan - membaca buku.

Buku dan tidak ada kalkulator melatih otak Anda

Untuk mempelajari cara melakukan aktivitas komputasi secara lisan secepat mungkin, Anda perlu terus-menerus meredam otak Anda dengan informasi baru. Tapi bagaimana cara belajar berhitung cepat di umeza dalam waktu singkat? Anda dapat melatih ingatan Anda hanya dengan buku-buku yang bermanfaat, berkat itu tidak hanya kerja otak Anda yang bersifat universal, tetapi juga, sebagai bonus, meningkatkan daya ingat dan memperoleh pengetahuan yang bermanfaat. Tetapi membaca buku bukanlah batas pelatihan. Hanya ketika Anda bisa melupakan kalkulator, otak Anda akan mulai memproses informasi lebih cepat. Cobalah untuk menghitung dalam pikiran Anda dalam hal apa pun, pikirkan contoh matematika yang rumit. Tetapi jika sulit bagi Anda untuk melakukan semua ini sendiri, mintalah dukungan dari seorang profesional yang akan dengan cepat mengajari Anda segalanya.

Mungkin sulit bagi Anda untuk memahami cara belajar menghitung cepat dalam pikiran Anda ketika Anda tidak berteman dengan matematika dan tidak ada guru yang baik yang dapat mempermudah tugas tersebut. Tapi jangan menyerah pada kesulitan. Setelah mempelajari semua rekomendasi yang diperlukan, Anda dapat dengan mudah mempelajari cara menghitung di kepala Anda dan mengejutkan rekan-rekan Anda dengan kemampuan baru.

• Kemampuan untuk bekerja dengan jumlah besar berada di luar cakupan pengembangan umum.
• Mengetahui "trik" berhitung akan membantu Anda mengatasi semua rintangan dengan cepat.
• Keteraturan lebih penting daripada intensitas.
• Jangan terburu-buru, cobalah untuk menangkap ritme Anda.
• Fokus pada jawaban yang benar, bukan kecepatan menghafal.
• Ucapkan tindakan dengan lantang.
• Jangan berkecil hati jika itu tidak berhasil untuk Anda, karena yang utama adalah memulai.

Jangan pernah menyerah dalam menghadapi kesulitan

Selama pelatihan, Anda mungkin memiliki banyak pertanyaan yang Anda tidak tahu jawabannya. Ini seharusnya tidak membuat Anda takut. Lagi pula, pada awalnya Anda tidak dapat mengetahui cara menghitung dengan cepat tanpa persiapan sebelumnya. Hanya orang yang selalu maju yang akan menguasai jalan. Kesulitan seharusnya hanya membuat Anda marah, dan tidak memperlambat keinginan untuk bergabung dengan orang-orang dengan peluang non-standar. Kalaupun sudah berada di garis finis, kembalilah ke yang paling mudah, latih otakmu, jangan beri kesempatan untuk santai. Dan ingat, semakin Anda mengucapkan informasi dengan lantang, semakin cepat Anda akan mengingatnya.

Tidak sulit untuk mempelajari cara menghitung cepat dalam pikiran Anda, itu hanya membutuhkan pengalaman dan pelatihan. Kemampuan untuk beroperasi dengan bilangan kompleks meningkatkan tingkat kontrol atas banyak proses kehidupan, membuat seseorang lebih terkumpul dan terorganisir. Juga, hitungan cepat dalam pikiran memungkinkan Anda untuk melarikan diri dari pikiran sedih, meningkatkan daya ingat, perhatian, dan rasa percaya diri.

Fitur dan Manfaat Penghitungan Mental Cepat

Praktis setiap orang terpelajar sekarang dapat mengoperasikan pikiran dengan angka hingga 20. Namun, sudah sulit untuk membuat perhitungan mental dengan nilai yang memiliki tiga angka atau lebih. Ini hanya dapat dilakukan oleh mereka yang secara teratur melakukan operasi matematika dalam pikirannya, seperti matematikawan, ilmuwan, akuntan, dll.

Bagaimana cara menguasai keterampilan menghitung cepat yang sama dengan para spesialis ini? Ini bukan sesuatu yang mustahil. Masing-masing dari kita memiliki kemampuan alami untuk melakukan ini. Untuk beberapa, mereka dikembangkan ke tingkat yang lebih besar, yang lain perlu dilatih sedikit. Tugas untuk pelatihan dapat ditemukan tersedia secara bebas di Internet. Anda dapat mengembangkan metodologi Anda sendiri yang akan mempertimbangkan semua karakteristik pribadi dan membantu Anda dengan cepat menguasai keterampilan yang diperlukan.

Agar berhasil dalam bisnis ini, aturan dasar berikut harus diperhatikan:

• olahraga teratur

Pertama, Anda perlu mengembangkan rejimen pelatihan Anda sendiri, dan kemudian, jika Anda benar-benar ingin mencapai hasil yang mengesankan, ikuti dengan ketat. Selama bulan pertama, pelatihan harus dilakukan sekali sehari selama 10-15 menit. Tidak disarankan untuk melakukannya lebih lama, karena Anda bisa sangat lelah dan mendinginkan aktivitas ini.

Jika sulit, maka Anda bisa istirahat selama satu atau dua hari. Luangkan waktu Anda, pelajari tekniknya dengan kecepatan Anda sendiri. Belajar berhitung cepat seperti belajar puisi. Jika sesuatu tidak segera berhasil, maka jangan mundur, terus berlatih dan kesuksesan tidak akan membuat Anda menunggu.

• perhatian dan konsentrasi

Ini adalah poin yang sangat penting ketika mempelajari teknik penghitungan cepat. Pertama-tama, Anda perlu mengingat algoritme untuk bekerja dengan bilangan kompleks. Kemudian, dalam proses latihan, dia akan diingat, dan tidak akan sulit untuk melakukan suatu tindakan dalam pikiran bahkan dengan angka tiga dan empat digit.

Cobalah untuk tidak terganggu oleh hal-hal asing agar tidak membebani otak dengan informasi yang tidak perlu dan dengan cepat menguasai keterampilan yang diperlukan.

• kepatuhan dengan rejimen pelatihan

Ini adalah salah satu fondasi kesuksesan. Hanya kesabaran dan kerja teratur pada diri sendiri yang akan memungkinkan Anda mendapatkan apa yang Anda inginkan. Buatlah jadwal untuk jam berapa Anda akan berlatih. Anda bahkan dapat menandai di sana informasi tentang latihan yang dilakukan setiap hari.

• motivasi

Ini juga salah satu kunci sukses, ketika seseorang melihat tujuan di depannya, dia akan berusaha keras untuk mencapainya, bahkan jika itu membutuhkan penguasaan keterampilan dan kemampuan tertentu.

• kesabaran

Dalam bisnis apa pun, untuk mencapai kesuksesan, Anda membutuhkan kesabaran dan ketekunan, bahkan jika semuanya tidak segera berhasil. Semua orang berbeda, seseorang membutuhkan lebih banyak waktu untuk memperoleh keterampilan ini, seseorang lebih sedikit. Hal utama adalah jangan menyerah setelah kemunduran pertama.

Juga, sebelum memulai pelatihan, Anda harus mempertimbangkan poin-poin penting berikut:

• kemampuan alami

Tidak semua orang secara alami diberkahi dengan pola pikir matematis, sehingga mereka membutuhkan waktu lebih lama untuk menguasai algoritme penghitungan kecepatan. Hanya saja, jangan jadikan fakta ini sebagai alasan utama untuk tidak mempelajari tekniknya.

• pengetahuan dan pemahaman tentang algoritma matematika

Ini diperlukan untuk lebih membuat perhitungan cepat dalam pikiran sesuai dengan skema yang dipelajari sebelumnya.

• nutrisi

Selama periode latihan mental yang intensif, Anda harus memasukkan dalam diet Anda produk-produk untuk menyehatkan otak, misalnya kenari, madu, dan buah-buahan yang baik.

Dengan menggunakan keterampilan ini, akan sangat menyenangkan untuk melakukan operasi penghitungan mental tanpa menggunakan kalkulator dan alat perhitungan lainnya.

Teknik dasar

Ada banyak cara untuk mengembangkan keterampilan menghitung mental. Setiap orang dapat memilih yang paling nyaman untuk diri mereka sendiri. Ada empat operasi dengan angka: penambahan, perkalian, pengurangan, pembagian.

Cukup memahami algoritma sekali untuk mengembangkan keterampilan yang diperlukan nanti. Ini akan cukup untuk melatih 10-15 menit sehari, dan kemudian secara berkala mempertahankan kemampuan yang diperoleh dengan pelatihan episodik. Hasil pertama akan terlihat dalam setengah bulan, dan dalam dua atau tiga bulan Anda akan dapat mencapai tingkat akun yang layak.

• teknik penambahan cepat

Ini adalah level termudah untuk memulai saat berlatih. Sebaiknya mulai dengan angka dua digit. Misalnya, Anda perlu menambahkan angka 23 dan 51. Pertama, tambahkan puluhan: 20+50 = 70, lalu tambahkan sisanya 3+1=4 ke jumlah yang dihasilkan. Hasilnya, kami mendapatkan angka 74.

Menguasai penjumlahan angka multi digit juga tidak sulit. Sebagai contoh, mari kita tambahkan 342 dan 741. Untuk melakukannya, kita membagi angka-angka ini menjadi angka 300, 40, 2 dan 700, 40 dan 1. Kemudian, dengan analogi dengan angka dua digit, kita mulai menambahkan dalam pikiran kita: 300 + 700 = 1000, 40 + 40 = 80, 2 + 1 = 3, lalu tambahkan 1000 + 80 + 3 = 1083.

• teknik pengurangan cepat

Sama seperti penjumlahan, pengurangan dua nilai tidaklah sulit. Mari kita mulai dengan angka dua digit, misalnya, kita perlu mengurangi angka 23 dari 35. Mari kita juga mulai dengan angka: 30-20 \u003d 10, 5-3 \u003d 2, lalu tambahkan nilai yang dihasilkan​ 10 + 2 dan dapatkan angka 12 yang diinginkan.

Pengurangan angka multi-digit juga mudah, misalnya, kurangi angka 154 dari 377. Untuk melakukan ini, kami membagi nilai digital menjadi angka 300, 70, 7 dan 100, 50 dan 4, masing-masing.

Kurangi 300-100 = 200, 70-50 = 20, 7-4 = 3, lalu jumlahkan angka yang dihasilkan: 200+20+3 = 223.

Dengan cara yang sama, Anda dapat mengurangi angka l dalam pikiran Anda dengan kedalaman bit yang lebih tinggi.

• teknik perkalian cepat

Prosedur ini dapat sangat difasilitasi dengan mempelajari tabel perkalian. Kita tahu bahwa perkalian adalah penyederhanaan operasi penjumlahan. Misalnya, 3 * 6 = 18, tetapi sebenarnya ini adalah jumlah dari tiga enam. Saat mengalikan, Anda juga dapat menggunakan teknik kedalaman bit, misalnya, Anda perlu menemukan produk dari 42 * 3. 2*3 pertama = 6, 4*3 =12, lalu kami menggabungkan angka-angka ini, menempatkan yang terakhir sebelum yang pertama, mis. kita mendapatkan angka 126. Algoritma ini cocok untuk menghitung produk dari angka dua digit.

Saat mengalikan angka tiga digit dalam pikiran, tekniknya akan sedikit berbeda. Misalnya, kita perlu mengalikan 421 dan 372. Di sini kita harus menerapkan penjumlahan. Kami mengalikan 421 secara bergantian dengan setiap digit angka kedua: 421 * 2 = 842, 421 * 7 = 2942, 421 * 3 = 1263, kemudian menambahkan angka-angka ini, mengamati kedalaman bit dengan offset: 2000 + 1000 = 120000, 800 + 900 + 200 = 29800 , 40+40+60=6440, 2+7+3 = 372, sebagai hasilnya kita mendapatkan angka 156612.

Saat mengalikan angka tiga digit, Anda harus sangat berhati-hati agar tidak membuat kesalahan dengan penambahan angka dalam pikiran Anda.

• teknik pembagian cepat

Pembagian angka satu dan dua digit dalam pikiran dilakukan sesuai dengan prinsip sederhana menggunakan tabel perkalian. Misalnya, kita perlu membagi 35 dengan 5, mengingat tabel perkalian, kita tahu sebelumnya bahwa hasilnya adalah 7.

Membagi angka multi-digit sedikit lebih sulit. Misalnya, kami membagi 345 dengan 5, kami juga melakukan ini dengan mempertimbangkan kedalaman bit: 300/5 \u003d 60, 45/5 \u003d 9, lalu tambahkan 60 + 9 dan dapatkan angka yang diinginkan 69.

Sejauh yang Anda lihat, prinsip membuat perhitungan apa pun dalam pikiran didasarkan pada prinsip kedalaman bit.

Perlu diketahui

Memperoleh kemampuan untuk menghitung dengan cepat dalam pikiran adalah keuntungan yang signifikan bagi individu, karena hanya sejumlah kecil orang yang memiliki keterampilan seperti itu. Namun, poin-poin berikut harus diperhitungkan:

• secara teratur mempertahankan keterampilan yang diperoleh;
• berbicara dengan lantang operasi matematika selama pelatihan;
• jangan berlebihan.

Jalan akan dikuasai oleh yang berjalan. Hanya dengan kesabaran dan motivasi yang memadai, kemampuan untuk menghitung cepat dalam pikiran dapat disimpan untuk waktu yang lama.

Belajar menghitung dengan cepat dalam pikiran Anda bukanlah tugas yang mustahil. Setiap orang dapat menguasai teknik perhitungan matematis cepat, hal ini membutuhkan ketekunan, konsentrasi dan latihan yang teratur. Ada banyak cara untuk mendapatkan keterampilan ini, setiap orang dapat memilih sendiri yang paling mereka sukai. Implementasi operasi komputasi cepat dalam pikiran didasarkan pada prinsip kedalaman bit.

bart dalam matematika sederhana atau cara belajar menghitung cepat dalam pikiran Anda.

Tidak bisa membayangkan hidup Anda tanpa kalkulator lagi? Sangat sia-sia, para ilmuwan telah membuktikan bahwa orang yang secara teratur menghitung dalam pikiran mereka diasuransikan terhadap kegilaan pikun dan demensia dini. Jadi berlatihlah lebih sering, dan saya akan memberi tahu Anda beberapa trik sederhana untuk penghitungan mental yang mudah dan cepat.

1. Kalikan dengan 11
Kita semua tahu cara cepat mengalikan angka dengan 10, Anda hanya perlu menambahkan angka nol di akhir, tetapi tahukah Anda bahwa ada trik untuk mengalikan angka dua digit dengan 11 dengan mudah?
Katakanlah kita perlu mengalikan 63 dengan 11. Ambil dua digit angka yang perlu dikalikan dengan 11 dan bayangkan sebuah tempat di antara dua digitnya:
6_3
Sekarang tambahkan digit pertama dan kedua dari nomor ini dan tempatkan di lokasi ini:
6_(6+3)_3
Dan hasil perkalian kita sudah siap:
63*11=693
Jika hasil penjumlahan digit pertama dan kedua adalah bilangan dua digit, masukkan hanya digit kedua, dan tambahkan satu ke digit pertama dari bilangan asli:
79*11=
7_(7+9)_9
(7+1)_6_9
79*11=869

2. Pengkuadratan cepat dari angka yang diakhiri dengan 5
Jika Anda perlu membingkai angka dua digit yang diakhiri dengan 5, maka Anda dapat melakukannya dengan sangat sederhana dalam pikiran Anda. Kalikan digit pertama dari angka itu sendiri ditambah satu dan tambahkan 25 di akhir dan hanya itu:
45*45=4*(4+1)_25=2025

3. Kalikan dengan 5
Bagi kebanyakan orang, mengalikan dengan 5 mudah untuk angka kecil, tetapi bagaimana Anda dengan cepat menghitung secara mental angka besar dikalikan dengan 5?
Anda perlu mengambil angka ini dan membaginya dengan 2. Jika hasilnya adalah bilangan bulat, tambahkan 0 di akhir, jika tidak, buang sisanya dan tambahkan 5 di akhir:
1248*5=(1248/2)_(0 atau 5)=624_(0 atau 5)=6240 (hasil pembagian dengan 2 adalah bilangan bulat)
4469*5=(4469/2)_(0 atau 5)=(2234.5)_(0 atau 5)=22345 (hasil pembagian 2 dengan sisa)

4. Kalikan dengan 4
Ini adalah fitur yang sangat sederhana dan, pada pandangan pertama, jelas untuk mengalikan angka apa pun dengan 4, tetapi meskipun demikian, orang tidak mengetahuinya pada waktu yang tepat. Untuk mengalikan angka apa pun dengan 4, Anda perlu mengalikannya dengan 2, lalu mengalikannya dengan 2 lagi:
67*4=67*2*2=134*2=268

5. Hitung 15%
Jika Anda perlu menghitung secara mental 15% dari angka berapa pun, maka ada cara mudah untuk melakukannya. Ambil 10% dari angka (bagi angka dengan 10) dan tambahkan setengah dari 10% yang dihasilkan ke angka itu.
15% dari 884 rubel \u003d (10% dari 884 rubel) + ((10% dari 884 rubel) / 2) \u003d 88,4 rubel + 44,2 rubel \u003d 132,6 rubel

6. Perkalian bilangan besar
Jika Anda perlu mengalikan bilangan besar dalam pikiran Anda dan salah satunya genap, maka Anda dapat menggunakan metode penyederhanaan faktor dengan mengurangi bilangan genap menjadi setengahnya, dan yang kedua dengan menggandakan:
32*125 adalah
16*250 adalah
8*500 adalah
4*1000=4000

7. Bagi dengan 5
Membagi angka besar dengan 5 di kepala Anda sangat mudah. Yang perlu Anda lakukan adalah mengalikan angka dengan 2 dan memindahkan titik desimal kembali satu:
175/5
Kalikan dengan 2: 175*2=350
Bergeser satu tanda: 35.0 atau 35
1244/5
Kalikan dengan 2: 1244*2=2488
Pergeseran satu tanda: 248.8

8. Pengurangan dari 1000
Untuk mengurangi angka besar dari seribu, ikuti teknik sederhana, kurangi semua angka dari 9 kecuali yang terakhir, dan kurangi angka terakhir dari 10:
1000-489=(9-4)_(9-8)_(10-9)=511
Tentu saja, untuk mempelajari cara cepat menghitung dalam pikiran Anda, Anda perlu berlatih menggunakan teknik ini berkali-kali untuk membawanya ke otomatisme, satu bacaan hanya akan meninggalkan nol di kepala Anda.

“Matematika seharusnya sudah dicintai karena menertibkan pikiran,” kata Mikhail Lomonosov. Kemampuan berhitung dalam pikiran tetap merupakan keterampilan yang berguna bagi orang modern, terlepas dari kenyataan bahwa ia memiliki semua jenis perangkat yang dapat menghitungnya. Kemampuan untuk melakukannya tanpa perangkat khusus dan pada waktu yang tepat untuk dengan cepat menyelesaikan masalah aritmatika yang ditetapkan bukanlah satu-satunya aplikasi dari keterampilan ini. Selain tujuan utilitarian, teknik penghitungan mental akan memungkinkan Anda untuk belajar bagaimana mengatur diri sendiri dalam berbagai situasi kehidupan. Selain itu, kemampuan berhitung dalam pikiran Anda tidak diragukan lagi akan memiliki efek positif pada citra kemampuan intelektual Anda dan membedakan Anda dari "kemanusiaan" di sekitarnya.

pelatihan penghitungan mental

Ada orang yang dapat melakukan operasi aritmatika sederhana dalam pikiran mereka. Kalikan angka dua digit dengan angka satu digit, kalikan dengan 20, kalikan dua angka kecil dua digit, dan seterusnya. - semua tindakan ini dapat mereka lakukan dalam pikiran dan cukup cepat, lebih cepat dari rata-rata orang. Seringkali keterampilan ini dibenarkan oleh kebutuhan untuk penggunaan praktis yang konstan. Sebagai aturan, orang yang menghitung dengan baik dalam pikiran mereka memiliki pendidikan matematika atau, menurut paling sedikit, pengalaman dalam memecahkan berbagai masalah aritmatika.

Tidak diragukan lagi, pengalaman dan pelatihan memainkan peran penting dalam pengembangan kemampuan apa pun. Namun keterampilan mental menghitung tidak didasarkan pada pengalaman saja. Ini dibuktikan oleh orang-orang yang, tidak seperti yang dijelaskan di atas, mampu menghitung dalam pikiran mereka contoh-contoh yang jauh lebih kompleks. Misalnya, orang-orang seperti itu dapat mengalikan dan membagi angka tiga digit, melakukan operasi aritmatika kompleks yang tidak dapat dihitung oleh setiap orang dalam satu kolom.

Apa yang perlu diketahui dan dapat dikuasai oleh orang biasa untuk menguasai kemampuan yang begitu fenomenal? Saat ini, ada berbagai teknik yang membantu Anda mempelajari cara menghitung dengan cepat dalam pikiran Anda. Setelah mempelajari banyak pendekatan untuk mengajarkan keterampilan berhitung secara lisan, kita dapat membedakan 3 komponen utama dari keterampilan ini:

1. Kemampuan. Kemampuan untuk memusatkan perhatian dan kemampuan untuk menyimpan beberapa hal dalam memori jangka pendek pada waktu yang sama. Predisposisi untuk matematika dan pemikiran logis.

2. Algoritma. Pengetahuan tentang algoritme khusus dan kemampuan untuk dengan cepat memilih algoritme yang diinginkan dan paling efektif dalam setiap situasi tertentu.

3. Pelatihan dan pengalaman, yang nilainya untuk keterampilan apa pun belum dibatalkan. Pelatihan konstan dan komplikasi tugas dan latihan bertahap akan memungkinkan Anda untuk meningkatkan kecepatan dan kualitas aritmatika mental.

Perlu dicatat bahwa faktor ketiga adalah kunci penting. Tanpa pengalaman yang diperlukan, Anda tidak akan dapat mengejutkan orang lain dengan skor cepat, bahkan jika Anda mengetahui algoritma yang paling nyaman. Namun, jangan meremehkan pentingnya dua komponen pertama, karena memiliki kemampuan dan serangkaian algoritme yang diperlukan di gudang senjata Anda, Anda bahkan dapat mengalahkan "pembukuan" yang paling berpengalaman sekalipun, asalkan Anda telah berlatih pada waktu yang sama.

Pelajaran di situs

Pelajaran berhitung lisan yang disajikan di situs ini justru ditujukan untuk pengembangan ketiga komponen ini. Pelajaran pertama menceritakan bagaimana mengembangkan kecenderungan untuk matematika dan aritmatika, serta dasar-dasar berhitung dan logika. Kemudian sejumlah pelajaran diberikan tentang algoritma khusus untuk melakukan berbagai operasi aritmatika dalam pikiran. Dan terakhir, pelatihan ini memberikan materi tambahan untuk membantu melatih dan mengembangkan kemampuan berhitung secara lisan, agar dapat mengaplikasikan bakat dan pengetahuan yang dimiliki dalam kehidupan.

Melatih kemampuan komputasi siswa pada pelajaran matematika dengan menggunakan teknik berhitung “cepat”.

Kudinova I.K., guru matematika

sekolah menengah MKOU Limanovskoy

Distrik kota Paninsky

Wilayah Voronezh

“Pernahkah Anda mengamati bagaimana orang dengan kemampuan menghitung alami rentan, bisa dikatakan, untuk semua ilmu? Bahkan semua orang yang lambat dalam berpikir, jika mereka mempelajari dan mempraktekkan ini, maka bahkan jika mereka tidak memperoleh manfaat apa pun darinya, mereka masih menjadi lebih reseptif daripada sebelumnya.

Plato

Tugas terpenting pendidikan adalah pembentukan kegiatan pendidikan universal yang membekali siswa dengan kemampuan belajar, kemampuan untuk pengembangan diri dan peningkatan diri. Kualitas asimilasi pengetahuan ditentukan oleh keragaman dan sifat dari jenis tindakan universal. Membentuk kemampuan dan kesiapan siswa untuk melaksanakan kegiatan pembelajaran universal memungkinkan untuk meningkatkan efektivitas proses pembelajaran. Semua jenis kegiatan pendidikan universal dipertimbangkan dalam konteks isi mata pelajaran akademik tertentu.

Peran penting dalam pembentukan kegiatan pendidikan universal dimainkan dengan mengajar anak-anak sekolah keterampilan perhitungan rasional.Tidak ada yang meragukan bahwa pengembangan kemampuan berhitung dan transformasi rasional, serta pengembangan keterampilan untuk memecahkan masalah paling sederhana "dalam pikiran" adalah elemen terpenting dalam persiapan matematika siswa. PADAPentingnya dan perlunya latihan semacam itu tidak perlu dibuktikan. Signifikansi mereka sangat besar dalam pembentukan keterampilan komputasi, dan peningkatan pengetahuan tentang penomoran, dan dalam pengembangan kualitas pribadi anak. Penciptaan sistem konsolidasi dan pengulangan tertentu dari materi yang dipelajari memberi siswa kesempatan untuk mengasimilasi pengetahuan pada tingkat keterampilan otomatis.

Pengetahuan tentang metode perhitungan lisan yang disederhanakan tetap diperlukan bahkan dengan mekanisasi lengkap dari semua proses komputasi yang paling padat karya. Perhitungan lisan memungkinkan tidak hanya untuk membuat perhitungan dalam pikiran dengan cepat, tetapi juga untuk mengontrol, mengevaluasi, menemukan, dan memperbaiki kesalahan. Selain itu, pengembangan keterampilan komputasi mengembangkan memori dan membantu anak sekolah untuk sepenuhnya menguasai mata pelajaran siklus fisik dan matematika.

Jelas bahwa metode penghitungan rasional adalah elemen penting dari budaya komputasi dalam kehidupan setiap orang, terutama karena signifikansi praktisnya, dan siswa membutuhkannya di hampir setiap pelajaran.

Budaya komputasi adalah dasar untuk studi matematika dan disiplin akademik lainnya, karena, selain fakta bahwa perhitungan mengaktifkan memori, perhatian, membantu mengatur kegiatan secara rasional dan secara signifikan mempengaruhi perkembangan manusia.

Dalam kehidupan sehari-hari, dalam sesi pelatihan, ketika setiap menit dihargai, sangat penting untuk melakukan perhitungan lisan dan tertulis dengan cepat dan rasional tanpa membuat kesalahan dan tanpa menggunakan alat komputasi tambahan.

Analisis hasil ujian di kelas 9 dan 11 menunjukkan bahwa siswa membuat kesalahan paling banyak saat melakukan tugas untuk perhitungan. Seringkali, bahkan siswa yang bermotivasi tinggi kehilangan keterampilan menghitung lisan mereka pada saat mereka memasuki penilaian akhir. Mereka menghitung dengan buruk dan tidak rasional, semakin menggunakan bantuan kalkulator teknis. Tugas utama guru tidak hanya mempertahankan keterampilan komputasi, tetapi juga mengajarkan cara menggunakan metode penghitungan lisan yang tidak standar, yang secara signifikan akan mengurangi waktu yang dihabiskan untuk tugas tersebut.

Mari kita pertimbangkan contoh spesifik dari berbagai metode perhitungan rasional cepat.

BERBEDA CARA PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN

TAMBAHAN

Aturan dasar untuk melakukan penjumlahan mental adalah:

Untuk menambahkan 9 ke angka, tambahkan 10 dan kurangi 1; untuk menambahkan 8, tambahkan 10 dan kurangi 2; menambah 7, menambah 10 dan mengurangi 3, dan seterusnya. Sebagai contoh:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

TAMBAHAN DALAM PIKIRAN ANGKA DUA DIGITAL

Jika jumlah unit dalam angka yang ditambahkan lebih besar dari 5, maka angka tersebut harus dibulatkan ke atas, dan kemudian kurangi kesalahan pembulatan dari jumlah yang dihasilkan. Jika jumlah unit lebih sedikit, maka kami menambahkan puluhan terlebih dahulu, lalu unit. Sebagai contoh:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

PENAMBAHAN ANGKA TIGA DIGIT

Kami menambahkan dari kiri ke kanan, yaitu, pertama ratusan, lalu puluhan, dan kemudian satuan. Sebagai contoh:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

PENGURANGAN

Untuk mengurangi dua angka di kepala Anda, Anda harus membulatkan yang dikurangi, dan kemudian memperbaiki jawaban yang dihasilkan.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

Perkalian angka multi-digit dengan 9

1. Tambah jumlah puluhan dengan 1 dan kurangi dari pengali

2. Kami menghubungkan hasil penambahan digit unit pengali hingga 10

Contoh:

576 9 = 5184 379 9 = 3411

576 - (57 + 1) = 576 - 58 = 518 . 379 - (37 + 1) = 341 .

Kalikan dengan 99

1. Dari jumlah kita kurangi dengan jumlah ratusannya, ditambah 1

2. Tentukan komplemen dari bilangan yang dibentuk oleh dua angka terakhir hingga 100

3. Kami menghubungkan penambahan ke hasil sebelumnya

Contoh:

27 99 = 2673 (ratusan - 0) 134 99 = 13266

27 - 1 = 26 134 - 2 = 132 (seratus - 1 + 1)

100 - 27 = 73 66

Kalikan dengan 999 angka apa saja

1. Dari dikalikan kurangi jumlah ribuan, ditambah 1

2. Temukan komplemen hingga 1000

23 999 = 22977 (seribu - 0 + 1 = 1)

23 - 1 = 22

1000 - 23 = 977

124 999 = 123876 (seribu - 0 + 1 = 1)

124 - 1 = 123

1000 - 124 = 876

1324.999 = 1322676 (seribu - 1 + 1 = 2)

1324 - 2 = 1322

1000 - 324 = 676

Kalikan dengan 11, 22, 33, ...99

Untuk mengalikan angka dua digit, jumlah digitnya tidak melebihi 10, dengan 11, Anda harus memisahkan angka-angka dari angka ini dan menempatkan jumlah angka-angka ini di antara mereka:

72 × 11= 7 (7+2) 2 = 792;

35 × 11 = 3 (3+5) 5 = 385.

Untuk mengalikan 11 dengan angka dua digit, jumlah digitnya adalah 10 atau lebih dari 10, Anda harus secara mental mendorong digit angka ini, menempatkan jumlah digit ini di antara mereka, dan kemudian menambahkan satu ke yang pertama digit, dan biarkan yang kedua dan terakhir (ketiga) tidak berubah:

94 × 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;

59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.

Untuk mengalikan angka dua digit dengan 22, 33. ...99, angka terakhir harus direpresentasikan sebagai produk dari angka satu digit (dari 1 hingga 9) dengan 11, mis.

44= 4 × 11; 55 = 5x11 dst.

Kemudian kalikan hasil kali bilangan pertama dengan 11.

48 x 22 = 48 x 2 x (22:2) = 96 x 11 = 1056;

24 x 22 = 24 x 2 x 11 = 48 x 11 = 528;

23 x 33 = 23 x 3 x 11 = 69 x 11 = 759;

18 x 44 = 18 x 4 x 11 = 72 x 11 = 792;

16 x 55 = 16 x 5 x 11 = 80 x 11 = 880;

16 x 66 = 16 x 6 x 11 = 96 x 11 = 1056;

14 x 77 = 14 x 7 x 11 = 98 x 11 = 1078;

12 x 88 = 12 x 8 x 11 = 96 x 11 = 1056;

8 x 99 = 8 x 9 x 11 = 72 x 11 = 792.

Selain itu, Anda dapat menerapkan hukum peningkatan simultan dalam jumlah yang sama dari satu faktor dan penurunan yang lain.

Kalikan dengan angka yang berakhiran 5

Untuk mengalikan bilangan genap dua digit dengan bilangan yang diakhiri dengan 5, terapkan aturan:jika salah satu faktor dinaikkan beberapa kali, dan faktor lainnya dikurangi dengan jumlah yang sama, produk tidak akan berubah.

44 × 5 = (44: 2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220;

28 x 15 = (28:2) x 15 x 2 = 14 x 30 = 420;

32 x 25 = (32:2) x 25 x 2 = 16 x 50 = 800;

26 x 35 = (26:2) x 35 x 2 = 13 x 70 = 910;

36 x 45 = (36:2) x 45 x 2 = 18 x 90 = 1625;

34 x 55 = (34:2) x 55 x 2 = 17 x 110 = 1870;

18 x 65 = (18:2) x 65 x 2 = 9 x 130 = 1170;

12 x 75 = (12:2) x 75 x 2 = 6 x 150 = 900;

14 x 85 = (14:2) x 85 x 2 = 7 x 170 = 1190;

12 x 95 = (12:2) x 95 x 2 = 6 x 190 = 1140.

Saat mengalikan dengan 65, 75, 85, 95, angkanya harus diambil kecil, dalam sepuluh kedua. Jika tidak, perhitungannya akan menjadi lebih rumit.

Perkalian dan pembagian dengan 25, 50, 75, 125, 250, 500

Untuk mempelajari cara mengalikan dan membagi dengan 25 dan 75 secara lisan, Anda perlu mengetahui tanda pembagian dan tabel perkalian dengan 4 dengan baik.

Yang habis dibagi 4 adalah bilangan-bilangan yang dua digit terakhirnya menyatakan bilangan yang habis dibagi 4.

Sebagai contoh:

124 habis dibagi 4, karena 24 habis dibagi 4;

1716 habis dibagi 4, karena 16 habis dibagi 4;

1800 habis dibagi 4 karena 00 habis dibagi 4

Aturan. Untuk mengalikan suatu bilangan dengan 25, bagilah bilangan tersebut dengan 4 dan kalikan dengan 100.

Contoh:

484 x 25 = (484:4) x 25 x 4 = 121 x 100 = 12100

124 x 25 = 124: 4 x 100 = 3100

Aturan. Untuk membagi angka dengan 25, bagi angka itu dengan 100 dan kalikan dengan 4.

Contoh:

12100: 25 = 12100: 100 × 4 = 484

31100:25 = 31100:100 × 4 = 1244

Aturan. Untuk mengalikan suatu bilangan dengan 75, bagilah bilangan tersebut dengan 4 dan kalikan dengan 300.

Contoh:

32 x 75 = (32:4) x 75 x 4 = 8 x 300 = 2400

48 x 75 = 48: 4 x 300 = 3600

Aturan. Untuk membagi angka dengan 75, bagi angka itu dengan 300 dan kalikan dengan 4.

Contoh:

2400: 75 = 2400: 300 × 4 = 32

3600: 75 = 3600: 300 × 4 = 48

Aturan. Untuk mengalikan angka dengan 50, bagi angka tersebut dengan 2 dan kalikan dengan 100.

Contoh:

432 x 50 = 432:2 x 50 x 2 = 216 x 100 = 21600

848 x 50 = 848: 2 x 100 = 42400

Aturan. Untuk membagi angka dengan 50, bagi angka itu dengan 100 dan kalikan dengan 2.

Contoh:

21600: 50 = 21600: 100 × 2 = 432

42400: 50 = 42400: 100 × 2 = 848

Aturan. Untuk mengalikan angka dengan 500, bagi angka itu dengan 2 dan kalikan dengan 1000.

Contoh:

428 x 500 = (428:2) x 500 x 2 = 214 x 1000 = 214000

2436 × 500 = 2436: 2 × 1000 = 1218000

Aturan. Untuk membagi angka dengan 500, bagi angka itu dengan 1000 dan kalikan dengan 2.

Contoh:

214000: 500 = 214000: 1000 × 2 = 428

1218000: 500 = 1218000: 1000 × 2 = 2436

Sebelum mempelajari cara mengalikan dan membagi dengan 125, Anda harus memiliki pengetahuan yang baik tentang tabel perkalian dengan 8 dan tanda pembagian dengan 8.

Tanda. Yang habis dibagi 8 adalah bilangan-bilangan yang tiga angka terakhirnya menyatakan suatu bilangan yang habis dibagi 8.

Contoh:

3168 habis dibagi 8, karena 168 habis dibagi 8;

5248 habis dibagi 8, karena 248 habis dibagi 8;

12328 habis dibagi 8 karena 324 habis dibagi 8.

Untuk mengetahui apakah bilangan tiga angka yang diakhiri dengan 2, 4, 6. 8. habis dibagi 8, Anda perlu menambahkan setengah angka satuan ke bilangan puluhan. Jika hasilnya habis dibagi 8, maka bilangan asli habis dibagi 8.

Contoh:

632:8, karena mis. 64:8;

712: 8, karena mis. 72:8;

304:8, karena mis. 32:8;

376:8, karena mis. 40:8;

208:8, karena mis. 24:8.

Aturan. Untuk mengalikan angka dengan 125, Anda harus membagi angka ini dengan 8 dan mengalikannya dengan 1000. Untuk membagi angka dengan 125, Anda harus membagi angka ini dengan 1000 dan mengalikannya

jam 8.

Contoh:

32 x 125 = (32: 8) x 125 x 8 = 4 x 1000 = 4000;

72 x 125 = 72: 8 x 1000 = 9000;

4000: 125 = 4000: 1000 × 8 = 32;

9000: 125 = 9000: 1000 × 8 = 72.

Aturan. Untuk mengalikan suatu bilangan dengan 250, bagilah bilangan tersebut dengan 4 dan kalikan dengan 1000.

Contoh:

36 x 250 = (36:4) x 250 x 4 = 9 x 1000 = 9000;

44 x 250 = 44: 4 x 1000 = 11000.

Aturan. Untuk membagi angka dengan 250, bagi angka itu dengan 1000 dan kalikan dengan 4.

Contoh:

9000: 250 = 9000: 1000 × 4 = 36;

11000: 250 = 11000: 1000 × 4 = 44

Perkalian dan pembagian dengan 37

Sebelum Anda mempelajari cara mengalikan dan membagi secara verbal dengan 37, Anda perlu mengetahui dengan baik tabel perkalian tiga dan tanda pembagian dengan tiga, yang dipelajari di kursus sekolah.

Aturan. Untuk mengalikan angka dengan 37, bagi angka itu dengan 3 dan kalikan dengan 111.

Contoh:

24 x 37 = (24:3) x 37 x 3 = 8 x 111 = 888;

27 x 37 = (27:3) x 111 = 999.

Aturan. Untuk membagi angka dengan 37, bagi angka itu dengan 111 dan kalikan dengan 3

Contoh:

999: 37 = 999:111 × 3 = 27;

888:37 = 888:111 × 3 = 24.

Kalikan dengan 111

Setelah mempelajari cara mengalikan dengan 11, mudah untuk mengalikan dengan 111, 1111. dll. angka yang jumlah digitnya kurang dari 10.

Contoh:

24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;

36 × 111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;

17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.

Kesimpulan. Untuk mengalikan angka dengan 11, 111, dll., seseorang harus secara mental memperluas angka dari angka ini dengan dua, tiga, dll. langkah, tambahkan angka dan tulis di antara angka yang dipisahkan.

Mengalikan dua bilangan yang berdekatan

Contoh:

1) 12 × 13 = ? 1x1 = 1 1 × (2+3) = 5 2 x 3 = 6 2) 23 × 24 =? 2 x 2 = 4 2 × (3+4) = 14 3 x 4 = 12 3) 32 × 33 =? 3 x 3 = 9 3 × (2+3) = 15 2 x 3 = 6 1056 4) 75 × 76 =? 7 x 7 = 49 7 × (5+6) = 77 5 x 6 = 30 5700

Penyelidikan: × 12 Penyelidikan: × 23 Penyelidikan: × 32 1056 Penyelidikan: × 75 525_ 5700

Kesimpulan. Saat mengalikan dua angka yang berdekatan, Anda harus terlebih dahulu mengalikan angka puluhan, lalu mengalikan angka puluhan dengan jumlah angka satuan, dan terakhir, Anda perlu mengalikan angka satuan. Dapatkan jawaban (lihat contoh)

Perkalian pasangan bilangan yang puluhan digitnya sama dan digit satuannya berjumlah 10

Contoh:

24 x 26 = (24 - 4) x (26 + 4) + 4 x 6 = 20 x 30 + 24 = 624.

Kami membulatkan angka 24 dan 26 menjadi puluhan untuk mendapatkan jumlah ratusan, dan menambahkan produk unit ke jumlah ratusan.

18 x 12 = 2 x 1 sel. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216;

16 x 14 = 2 x 1 x 100 + 6 x 4 = 200 + 24 = 224;

23 x 27 = 2 x 3 x 100 + 3 x 7 = 621;

34 x 36 = 3 x 4 sel. + 4 × 6 = 1224;

71 x 79 = 7 x 8 sel. + 1 × 9 = 5609;

82 x 88 = 8 x 9 sel. + 2 × 8 = 7216.

Anda dapat memecahkan secara verbal dan contoh yang lebih kompleks:

108 × 102 = 10 × 11 sel. + 8 × 2 = 11016;

204 × 206 = 20 × 21 sel. +4 × 6 = 42024;

802 × 808 = 80 × 81 sel. +2 × 8 = 648016.

Penyelidikan:

×802

6416

6416__

648016

Perkalian bilangan dua angka yang jumlah angka puluhannya adalah 10 dan angka satuannya sama.

Aturan. Saat mengalikan angka dua digit. di mana jumlah angka puluhan adalah 10, dan angka satuannya sama, Anda perlu mengalikan angka puluhan. dan menambahkan jumlah unit, kami mendapatkan jumlah ratusan dan menambahkan produk unit ke jumlah ratusan.

Contoh:

72 × 32 = (7 × 3 + 2) sel. + 2 × 2 = 2304;

64 x 44 = (6 x 4 + 4) x 100 + 4 x 4 = 2816;

53 x 53 = (5 x 5 + 3) x 100 + 3 x 3 = 2809;

18 x 98 = (1 x 9 + 8) x 100 + 8 x 8 = 1764;

24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016;

63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709;

35 x 75 = (3 x 7 + 5) x 100 + 5 x 5 = 2625.

Kalikan angka yang berakhiran 1

Aturan. Saat mengalikan angka yang diakhiri dengan 1, pertama-tama Anda harus mengalikan puluhan digit dan, di sebelah kanan produk yang dihasilkan, tulis jumlah puluhan digit di bawah angka ini, lalu kalikan 1 dengan 1 dan tulis lebih banyak lagi ke kanan. Menempatkannya di kolom, kami mendapatkan jawabannya.

Contoh:

1) 81 × 31 =? 8 x 3 = 24 8 + 3 = 11 1x1 = 1 2511 81 × 31 = 2511

2) 21 × 31 =? 2 x 3 = 6 2 +3 = 5 1x1 = 1 21 x 31 = 651

3) 91 × 71 =? 9 x 7 = 63 9 + 7 = 16 1x1 = 1 6461 91 × ​​71 = 6461

Kalikan angka dua digit dengan 101, angka tiga digit dengan 1001

Aturan. Untuk mengalikan angka dua digit dengan 101, Anda harus menambahkan angka yang sama di sebelah kanan angka ini.

648 1001 = 648648;

999 1001 = 999999.

Metode perhitungan rasional lisan yang digunakan dalam pelajaran matematika berkontribusi pada peningkatan tingkat perkembangan matematika secara umum;mengembangkan keterampilan siswa untuk membedakan dengan cepat dari hukum, rumus, teorema yang mereka ketahui yang harus diterapkan untuk memecahkan masalah, perhitungan, dan perhitungan yang diusulkan;mempromosikan pengembangan memori, mengembangkan kemampuan persepsi visual dari fakta matematika, meningkatkan imajinasi spasial.

Selain itu, berhitung rasional dalam pelajaran matematika berperan penting dalam meningkatkan minat kognitif anak terhadap pelajaran matematika, sebagai salah satu motif terpenting untuk aktivitas pendidikan dan kognitif, pengembangan kualitas pribadi anak.Membentuk keterampilan perhitungan rasional lisan, guru dengan demikian mendidik siswa dalam keterampilan asimilasi sadar dari materi yang dipelajari, mengajar mereka untuk menghargai dan menghemat waktu, mengembangkan keinginan untuk menemukan cara rasional untuk memecahkan masalah. Dengan kata lain, terbentuklah aktivitas belajar universal yang bersifat kognitif, termasuk logika, kognitif, dan simbolik.

Tujuan dan sasaran sekolah berubah secara dramatis, transisi sedang dibuat dari paradigma pengetahuan ke pembelajaran yang berorientasi pada pribadi. Oleh karena itu, penting tidak hanya untuk mengajarkan bagaimana memecahkan masalah dalam matematika, tetapi untuk menunjukkan pengaruh hukum matematika dasar dalam kehidupan, untuk menjelaskan bagaimana seorang siswa dapat menerapkan pengetahuan yang diperoleh. Dan kemudian hal utama akan muncul pada anak-anak: keinginan dan makna untuk belajar.

Bibliografi

Minskykh E.M. "Dari permainan ke pengetahuan", M., "Pencerahan" 1982.

Kordemsky B.A., Akhadov A.A. Dunia angka yang menakjubkan: Buku siswa, - M. Enlightenment, 1986.

Sovailenko VK. Sistem pengajaran matematika di kelas 5-6. Dari pengalaman.- M.: Pendidikan, 1991.

Cutler E. McShane R. "Sistem Penghitungan Cepat Trachtenberg" - M. Pencerahan, 1967.

Minaeva S.S. "Komputasi di kelas dan kegiatan ekstrakurikuler dalam matematika." - M.: Pencerahan, 1983.

Sorokin A.S. "Teknik Berhitung (Metode Perhitungan Rasional)", M, Pengetahuan, 1976

http://razvivajka.ru/ Pelatihan penghitungan lisan

http://gzomrepus.ru/exercises/production/ Latihan produktivitas dan penghitungan mental cepat