Sejarah penomoran. Pengurangan multi-digit

Dalam kursus dasar dalam matematika penomoran kita akan memahami totalitas metode untuk menunjuk dan menamai bilangan asli.

Bilangan asli dipelajari dengan konsentrasi. Konsentrasi adalah wilayah angka yang dipertimbangkan, disatukan oleh fitur umum. Dalam kursus awal, konsentrasi berikut dibedakan: sepuluh, seratus (2 tahap - dari 11 hingga 20; dari 21 hingga 100); ribu, beberapa digit.

Tujuan akhir mempelajari penomoran adalah asimilasi sejumlah prinsip umum yang mendasari sistem bilangan desimal, penomoran lisan dan tertulis, mengarahkan siswa ke generalisasi sistematis, kemampuan untuk menyoroti dan menekankan umum yang ditemukan di area baru angka, dan pertimbangan yang baru atas dasar dan dibandingkan dengan yang dipelajari sebelumnya.

Tugas pendidikan utama mempelajari penomoran dapat disebut:

1. Membentuk sistem pengetahuan:

Pada bilangan asli dan bilangan "0";

Pada suksesi alami;

Tentang penomoran lisan dan tulisan.

2. Memperkenalkan teknik komputasi berdasarkan pengetahuan bilangan.

Saat mempelajari topik ini, siswa harus mengembangkan keterampilan berikut:

Tunjukkan nomor secara tertulis;

Bandingkan angka apa pun dengan cara yang berbeda;

Ganti nomor dengan jumlah istilah bit;

Jelaskan nomor apa saja.

Pertimbangkan metode pengenalan dengan konsep matematika dasar yang dipelajari dalam topik ini.

Konsep bilangan asli diberikan pada tingkat empiris.

Angka tersebut ditunjukkan dalam urutan membangun korespondensi satu-ke-satu antara objek dari himpunan yang diberikan dan kata-kata - angka.

Di sekolah dasar:

Bilangan adalah karakteristik kuantitatif dari kelas himpunan yang ekuivalen.

Bilangan adalah elemen dari himpunan terurut, anggota dari barisan alami.

Saat mempelajari tindakan, nomor bertindak sebagai objek di mana operasi aritmatika dilakukan.

Siswa perlu mengembangkan pengetahuan dan keterampilan berikut:

Pilih nomor dari konsep lain;

Beri nama nomor dengan benar;

Mengetahui cara membentuk angka (sebagai hasil penghitungan; sebagai hasil pengukuran; sebagai hasil dari melakukan operasi aritmatika);

Tahu bagaimana menunjuk angka menggunakan angka; digit adalah tanda untuk nomor;

Mengetahui macam-macam fungsi suatu bilangan (fungsi besaran, fungsi urutan, fungsi ukur).

Angka dan angka "0".

Nol dianggap sebagai karakteristik kuantitatif dari kelas himpunan kosong (2-2, 4-4), mis. himpunan yang tidak mengandung elemen.

Nol dianggap sebagai angka yang menunjukkan awal pengukuran (pengukuran) pada penggaris.

Nol dianggap sebagai komponen tindakan langkah I dan II (5+0, 05).

4. Angka nol digunakan jika tidak ada satuan dari sembarang angka (tetapi tidak ada angka).

Misalnya pada bilangan 300 tidak ada satuan kategori I dan II yaitu unit dan puluhan, kami menunjukkan jumlah unit dan puluhan dengan nol.

Urutan bilangan alami.

Menurut program tradisional, urutan alami dimasukkan sebagai serangkaian angka, yang dengannya skor disimpan.

Sifat-sifat segmen deret natural:

Deret bilangan asli dimulai dengan satu.

Setiap nomor memiliki tempatnya. Setiap nomor berikutnya adalah satu lebih dari yang sebelumnya; masing-masing sebelumnya kurang dari yang berikutnya.

Semua nomor sebelum nomor yang dipilih kurang dari itu; berdiri setelah - lebih dari jumlah yang dipelajari.

Tak terhingga dari deret bilangan asli.

Dalam deret bilangan asli, siswa harus dapat mengidentifikasi barisan berhingga: bilangan satu digit, dua digit, n-digit.

9, 99, 999, 9999… - bilangan satu-digit, dua-digit, tiga-digit, empat-digit, n-digit terbesar.

Mengapa? Jika kita menambahkan 1 ke masing-masing dari mereka, kita mendapatkan jumlah terkecil dari urutan berikutnya.

10, 100, 1000, 10000 ... - bilangan dua digit, tiga digit, n-digit terkecil, karena saat mengurangkan dari setiap unit, kami mendapatkan yang paling banyak lagi urutan sebelumnya.

Membedakan penomoran lisan dan tulisan.

Penomoran lisan adalah seperangkat aturan yang memungkinkan, dengan bantuan beberapa kata, untuk membuat nama untuk banyak angka. Dalam mempelajari penomoran lisan, perlu untuk mengungkapkan aturan berhitung, membaca, dan membentuk angka; tahu angka dari 0 hingga 9, kata-angka-angka - empat puluh, sembilan puluh, seratus, ribu, juta, miliar. Aturan akun:

Saat menghitung, angka terakhir mengacu pada seluruh rangkaian.

Aturan untuk pembentukan nama dan angka bacaan.

1. Nama-nama angka dari 10 hingga 20 dibentuk menggunakan nama-nama yang diadopsi untuk sepuluh angka pertama, tetapi memiliki kekhasan tersendiri - saat membaca, angka yang lebih rendah pertama kali dipanggil, kemudian sisanya (satu lawan dua puluh; dua -pada-dua puluh).

2. Nama-nama angka yang tersisa dibentuk sesuai dengan prinsip bit; membaca angka dimulai dengan satuan angka tertinggi.

3. Saat membentuk dan membaca angka multi-digit, prinsip membaca menurut kelas diperhatikan.

Penomoran tertulis adalah seperangkat aturan yang memungkinkan untuk menunjuk nomor apa pun dengan bantuan beberapa karakter.

Selama mempelajari penomoran tertulis, konsep "angka" diperkenalkan.

Digit adalah lambang suatu bilangan. Pekerjaan sistematis yang bertujuan sedang dilakukan untuk membedakan antara konsep "angka" dan "angka".

Tanda (angka) dimasukkan untuk menunjukkan sembilan angka pertama. Semua angka lain ditulis menggunakan sepuluh angka yang sama (dari 0 sampai 9), tetapi menggunakan dua angka atau lebih, yang nilainya tergantung pada tempat yang ditempati oleh angka dalam entri angka (yaitu nilai lokal angka atau angka prinsip posisi penulisan angka).

Penomoran angka secara lisan dan tertulis didasarkan pada pengetahuan tentang sistem angka desimal. Dalam matematika, sistem bilangan adalah seperangkat tanda, aturan operasi, dan urutan penulisan tanda-tanda ini ketika membentuk bilangan. Ada dua jenis sistem bilangan:

Sistem non-posisi, yang dicirikan oleh fakta bahwa setiap karakter, terlepas dari bentuk penulisan angka, diberi satu nilai yang terdefinisi dengan baik (misalnya, penomoran Romawi).

Sistem posisi (misalnya, sistem bilangan desimal), yang dicirikan oleh sifat-sifat berikut:

Setiap digit memiliki arti yang berbeda tergantung pada posisinya dalam notasi angka (prinsip notasi posisi).

Setiap digit, tergantung pada posisinya, disebut unit bit; satuan bit adalah sebagai berikut: satuan, puluhan, ratusan, dst.

10 unit satu digit membentuk satu unit digit berikutnya, mis. rasio unit bit adalah sepuluh (10 unit = 1 dec; 10 dec = seratus, dst.).

Mulai dari kanan ke kiri dan berturut-turut, setiap 3 bit membentuk kelas bit (satuan, ribuan, jutaan, dll).

Menambahkan satu unit lagi dari kategori tertentu ke sembilan unit menghasilkan unit kategori berikutnya yang lebih tinggi (senior).

Penting untuk menyoroti konsep dasar sistem bilangan desimal:

Unit akun adalah apa yang kami ambil sebagai dasar akun. Setiap unit penghitungan berikutnya adalah 10 kali lebih besar dari yang sebelumnya.

Digit adalah tempat digit dalam entri nomor.

3. Satuan kategori I, II, III, dst. - unit berdiri di tempat pertama (satuan), kedua (puluhan), ketiga (ratusan) dalam catatan angka, dihitung dari kanan ke kiri.

4. Angka digit - angka yang terdiri dari satuan satu digit.

5. Angka bukan angka - angka yang terdiri dari satuan angka yang berbeda.

6. Kelas - penyatuan unit tiga kategori menurut kriteria tertentu. Setiap unit kelas berikutnya lebih dari seribu kali lipat dari yang sebelumnya. (Jadi, unit pertama dari kelas satuan adalah 1000 kali lebih kecil dari unit pertama dari kelas ribuan, dll.)

Urutan mempelajari penomoran dapat tercermin dalam tabel:

Teknik untuk mempelajari pencacahan bilangan bulat non-negatif menunjukkan kemungkinan berbagai pendekatan.

Dalam metodologi pendidikan dasar, adalah tradisional untuk mempelajari penomoran berdasarkan konsentrasi. Pendekatan ini tercermin dalam buku teks matematika yang dikembangkan oleh Bantova M.A., Beltyukova G.V. dan sebagainya.

Perluasan area numerik secara bertahap menciptakan kondisi yang baik untuk pembentukan pengetahuan, keterampilan dalam penomoran: pengetahuan tentang angka dan cara menentukannya secara bertahap diperkaya; tindakan praktis dengan angka menjadi lebih rumit (pembentukan, nama, pencatatan, perbandingan, transformasi, dll).

Ada tiga tahap utama dalam studi penomoran: persiapan, pengenalan materi baru, konsolidasi pengetahuan dan keterampilan.

Pada tahap persiapan, siswa perlu membentuk sikap psikologis untuk mempelajari bilangan, mengaktifkan pengalaman mereka sebelumnya dan pengetahuan yang ada, untuk membangkitkan minat pada bilangan baru. Untuk tujuan ini, diusulkan untuk memasukkan latihan sebelumnya untuk mengulangi masalah utama penomoran angka konsentrasi sebelumnya: rasio unit penghitungan yang dipelajari, komposisi angka desimal, urutan alami, aturan penulisan dan cara untuk membandingkan angka; teknik penjumlahan dan pengurangan berdasarkan pengetahuan bilangan. Juga, latihan telah dikembangkan dalam menghitung objek atau dalam penamaan angka dalam urutan alami dengan akses ke konsentrasi baru, ini membantu siswa memahami bahwa ada angka di luar konsentrasi yang dipelajari dan mereka agak mirip dengan angka yang sudah dikenal anak-anak.

Saat berkenalan dengan penomoran, latihan membantu siswa untuk menyoroti fitur penting dari konsep yang dibentuk, untuk menguasai metode tindakan yang dipelajari.

Pemilihan soal dilakukan dan ditentukan urutan kajian pada masing-masing konsentrasi:

pertama, pembentukan unit hitung dipertimbangkan, jumlah benda disimpan menggunakan unit hitung ini;

berdasarkan akun, nomor bit baru diperkenalkan, formasi dan namanya terungkap;

atas dasar akun dengan bantuan semua unit penghitungan yang diketahui, formasi dan penunjukan lisan angka non-digit ditampilkan; komposisi mereka dari bit;

latihan termasuk dalam menghitung objek menggunakan angka baru; urutan alami angka berasimilasi;

berdasarkan pengetahuan tentang komposisi desimal dan arti lokal angka, penomoran angka yang tertulis terungkap;

di semua konsentrasi, bersama dengan akun, pengukuran jumlah seperti panjang, massa, biaya dipertimbangkan; unit pengukuran jumlah ini dan rasionya dipelajari dibandingkan dengan unit penghitungan yang sesuai dan membantu mengasimilasinya (misalnya, 1 dm \u003d 10 cm; 1 r. \u003d 100 k.; 1 kg \u003d 1000 g , dll.);

metode untuk membandingkan angka diperkenalkan berdasarkan:

prinsip pembentukan urutan alami;

membangun korespondensi satu-satu antara elemen-elemen himpunan;

pengetahuan tentang komposisi bit angka;

pengetahuan tentang komposisi kelas;

di setiap konsentrasi, teknik komputasi diperkenalkan berdasarkan pengetahuan tentang penomoran:

a) prinsip pembentukan barisan alami, kasus berbentuk a + 1, di mana a adalah bilangan asli apa pun;

b) komposisi bit bilangan (latihan penjumlahan bilangan bit dan latihan kebalikan penggantian bilangan non bit dengan penjumlahan bilangan bit, serta pengurangan bilangan bit individu dengan bilangan non bit) misalnya:

400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;

842-800=42; 842-2=840.

Saat membiasakan dengan penomoran, perlu mengandalkan tindakan subjek siswa. Untuk melakukan ini, diusulkan untuk menggunakan berbagai alat bantu pengajaran: bahan berhitung, yang dengannya mudah untuk menggambarkan pengelompokan desimal objek saat menghitung (tongkat, seikat tongkat, bujur sangkar, garis bujur sangkar, segitiga dengan 10 lingkaran); alat bantu visual yang membentuk ide tentang urutan angka alami (penggaris, pita pengukur, pita dengan sentimeter yang disorot, desimeter, meter); alat bantu visual yang membantu memahami prinsip posisi penulisan angka (menomori tabel kategori dan kelas, sempoa).

Setelah pengenalan, pekerjaan yang bertujuan dilakukan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan dan mengembangkan keterampilan. Latihan latihan dikombinasikan dengan latihan kreatif.

Tugas diberikan untuk menganalisis kesalahan tipikal, membandingkan, mengklasifikasikan, menggeneralisasi, mengkarakterisasi angka apa pun. Skema (rencana) penguraian bilangan, mulai dari yang bernilai tunggal hingga yang bernilai banyak, secara bertahap akan berkembang, diperdalam, dan diperkaya dengan materi teori baru. Pada tahap awal, dapat disusun atas dasar generalisasi dari jawaban yang dirumuskan siswa dan mencakup pertanyaan-pertanyaan berikut:

Membaca sebuah angka.

Tempat bilangan dalam menghitung.

Komposisi desimal.

Menulis angka menggunakan angka.

Saat mempelajari penomoran angka multi-digit, skema penguraian akan mencakup lebih banyak tugas.

Pekerjaan ini akan memungkinkan untuk menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan siswa tentang penomoran bilangan bulat non-negatif.

Pendekatan lain untuk mempelajari penomoran dimungkinkan, yang tercermin dalam program dan buku teks yang dikembangkan oleh Istomina N.B.

Sehubungan dengan struktur tematik kursus, itu tidak membedakan konsentrasi, tetapi tema: "Bilangan satu digit", "Angka dua digit", "Angka tiga digit", "Angka empat digit", "Lima- digit dan angka enam digit”, dalam proses belajar dimana anak-anak membentuk keterampilan membaca dan menulis secara sadar.

Menyoroti topik yang namanya berorientasi pada jumlah karakter dalam suatu angka membantu anak memahami perbedaan antara angka dan angka.

Pada tahap pertama, pada topik “Bilangan satu digit”, siswa membentuk gagasan tentang bilangan kuantitatif dan urut, keterampilan berhitung; mereka berkenalan dengan notasi angka dan dengan segmen deret alami angka satu digit. Kemudian mereka belajar arti penjumlahan dan pengurangan serta komposisi bilangan satu digit. Pekerjaan asimilasi penomoran dimulai dengan kesadaran bahwa angka dua digit terdiri dari puluhan dan satu.

Pekerjaan selanjutnya, yang bertujuan untuk menguasai sistem bilangan desimal dan untuk mengembangkan kemampuan membaca dan menulis angka dua digit, dikaitkan dengan membangun korespondensi antara model objek angka dan notasi simbolisnya. Alat peraga berbentuk segitiga dengan 10 lingkaran digunakan sebagai model sepuluh objek.

Pekerjaan yang ditawarkan:

Mengidentifikasi tanda-tanda persamaan dan perbedaan antara bilangan dua angka dan angka tiga angka;

Untuk menulis angka dalam angka tertentu;

Untuk membandingkan angka;

Untuk mengidentifikasi aturan (pola) untuk membangun serangkaian angka.

Jenis tugas ini juga digunakan dalam studi topik lain.

Latihan: Bandingkan latihan dalam proses pelaksanaannya, di mana siswa belajar penomoran angka secara lisan dan tertulis dalam berbagai buku teks matematika untuk kelas dasar. Apa fitur dari latihan ini di setiap buku teks?

Tujuan dari penomoran apa pun adalah untuk menggambarkan bilangan asli apa pun menggunakan sejumlah kecil karakter individu. Hal ini dapat dicapai dengan satu tanda - 1 (satu). Setiap bilangan asli kemudian akan ditulis dengan mengulang simbol satuan sebanyak yang ada dalam bilangan tersebut. Penambahan akan direduksi menjadi hanya menganggap unit, dan mengurangi untuk menghapus (menghapus). Ide yang mendasari sistem seperti itu sederhana, tetapi sistem ini sangat tidak nyaman. Praktis tidak cocok untuk menulis angka besar, dan hanya digunakan oleh orang-orang yang perhitungannya tidak lebih dari satu atau dua puluh.

Dengan berkembangnya masyarakat manusia, pengetahuan masyarakat meningkat dan kebutuhan untuk menghitung dan mencatat hasil berhitung set yang cukup besar, mengukur jumlah yang besar menjadi semakin banyak.

Orang primitif tidak memiliki bahasa tertulis, tidak ada huruf atau angka, setiap hal, setiap tindakan digambarkan dengan gambar. Ini adalah gambar nyata yang menunjukkan kuantitas ini atau itu. Lambat laun mereka menjadi lebih sederhana, menjadi lebih dan lebih nyaman untuk ditulis. Kita berbicara tentang menulis angka dalam hieroglif. angka. Namun, untuk lebih meningkatkan akun, perlu untuk beralih ke notasi yang lebih nyaman yang memungkinkan angka dilambangkan dengan tanda (angka) khusus yang lebih nyaman.Asal usul angka untuk setiap orang berbeda.

Angka pertama ditemukan lebih dari 2 ribu tahun SM di Babel. Orang Babilonia menulis dengan tongkat di lempengan tanah liat lunak dan kemudian mengeringkan catatan mereka. Tulisan orang Babilonia kuno disebut runcing. Irisan ditempatkan baik secara horizontal maupun vertikal, tergantung pada nilainya.Baji vertikal menunjukkan satuan, dan horizontal, yang disebut puluhan, satuan dari digit kedua.

Beberapa budaya menggunakan huruf untuk menulis angka. Alih-alih angka, mereka menulis huruf awal kata angka. Penomoran seperti itu, misalnya, ada di antara orang Yunani kuno. Dengan nama ilmuwan yang mengusulkannya, ia memasuki sejarah budaya dengan nama gerodian Penomoran Jadi, dalam penomoran ini, angka "lima" disebut "pinta" dan dilambangkan dengan huruf "P", dan angka sepuluh disebut "deka" dan dilambangkan dengan huruf "D". Saat ini, tidak ada yang menggunakan penomoran ini. Berbeda dengan itu Roma penomoran telah diawetkan dan telah turun ke zaman kita. Meskipun sekarang angka Romawi tidak begitu umum: pada jam tangan, untuk menunjukkan bab dalam buku, abad, pada bangunan tua, dll. Ada tujuh tanda kunci dalam penomoran Romawi: I, V, X, L, C, D, M.

Anda bisa menebak bagaimana tanda-tanda ini muncul. Tanda (1) - satu - adalah hieroglif yang menggambarkan jari (kama), tanda V adalah gambar tangan (pergelangan tangan dengan ibu jari dijulurkan), dan untuk angka 10, gambar dua balita (X ) bersama-sama Untuk menuliskan angka II, III, IV, gunakan tanda yang sama, tunjukkan tindakan dengannya. Jadi, angka II dan III mengulangi unit yang sesuai beberapa kali. Untuk menuliskan bilangan IV, I diletakkan di depan lima. Dalam notasi ini, satuan yang ditempatkan sebelum lima dikurangkan dari V, dan satuan yang ditempatkan setelah V adalah

ditambahkan ke dalamnya. Dan dengan cara yang sama, satuan yang ditulis sebelum sepuluh (X) dikurangi dari sepuluh, dan yang di sebelah kanan ditambahkan ke dalamnya. Angka 40 dilambangkan dengan XL. Dalam hal ini, 10 dikurangkan dari 50. Untuk menulis angka 90, 10 dikurangkan dari 100 dan XC ditulis.

Penomoran Romawi sangat nyaman untuk menulis angka, tetapi hampir tidak cocok untuk perhitungan. Hampir tidak mungkin melakukan tindakan apa pun secara tertulis (perhitungan dengan "kolom" dan metode perhitungan lainnya) dengan angka Romawi. Ini adalah kelemahan penomoran Romawi yang sangat besar.

Untuk beberapa orang, angka dicatat menggunakan huruf alfabet, yang digunakan dalam tata bahasa.Catatan ini terjadi di antara orang Slavia, Yahudi, Arab, dan Georgia.

alfabetis sistem penomoran pertama kali digunakan di Yunani. Catatan tertua yang dibuat menurut sistem ini dikaitkan dengan pertengahan abad ke-5. SM. Dalam semua sistem alfabet, angka dari 1 hingga 9 ditunjuk oleh karakter individu menggunakan huruf alfabet yang sesuai. Dalam penomoran Yunani dan Slavia, tanda hubung “titlo” (~) ditempatkan di atas huruf yang menunjukkan angka untuk membedakan angka dari angka biasa kata-kata. Sebagai contoh, a, b,<Г иТ -Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с черточкой слева внизу,например, @ , q; dll.

Jejak sistem abjad telah bertahan hingga zaman kita.Jadi, kita sering memberi nomor paragraf laporan, resolusi, dll dengan huruf. Namun, kami telah mempertahankan metode penomoran abjad hanya untuk menunjuk nomor urut.Kami tidak pernah menunjuk nomor kardinal dengan huruf, apalagi kami tidak pernah beroperasi dengan angka yang ditulis dalam sistem abjad.

Penomoran Rusia kuno juga berdasarkan abjad.Penunjukan angka berdasarkan abjad Slavia muncul pada abad ke-10.

Sekarang ada sistem India entri nomor. Itu dibawa ke Eropa oleh orang Arab, itulah sebabnya ia mendapat nama Arab penomoran Penomoran Arab telah menyebar ke seluruh dunia, menggantikan semua entri nomor lainnya. Dalam penomoran ini, 10 ikon digunakan untuk menulis angka, yang disebut angka. Sembilan di antaranya mewakili angka dari 1 hingga 9.

2 Pesan1391

Ikon kesepuluh - nol (0) - berarti tidak adanya digit angka tertentu. Dengan bantuan sepuluh karakter ini, Anda dapat menulis angka besar apa pun yang Anda suka. Hingga abad ke-18. di Rusia, tanda-tanda tertulis, kecuali nol, disebut tanda.

Jadi, orang-orang dari berbagai negara memiliki penomoran tertulis yang berbeda: hieroglif - di antara orang Mesir; runcing - di antara orang Babilonia; Herodian - di antara orang Yunani kuno, Fenisia; alfabet - di antara orang Yunani dan Slavia; Romawi - di negara-negara barat Eropa; Arab - di Timur Tengah Harus dikatakan bahwa penomoran Arab sekarang digunakan hampir di mana-mana.

Menganalisis sistem penulisan angka (penomoran) yang terjadi dalam sejarah budaya masyarakat yang berbeda, kita dapat menyimpulkan bahwa semua sistem penulisan dibagi menjadi dua kelompok besar: sistem angka posisional dan non-posisional.

Sistem nomor non-posisional meliputi: penulisan angka dalam hieroglif, alfabet, Romawi dan beberapa sistem lain. Sistem bilangan non-posisional adalah sistem penulisan angka ketika konten setiap karakter tidak bergantung pada tempat penulisannya. Karakter-karakter ini, seolah-olah, angka nodal, dan angka algoritmik adalah gabungan dari huruf-huruf tersebut, misalnya angka 33 pada penomoran romawi nonposisi ditulis sebagai berikut: XXXIII, di sini digunakan tanda X (sepuluh) dan I (satu) dalam notasi angka masing-masing tiga kali. Selain itu, setiap kali tanda ini menunjukkan nilai yang sama: X adalah sepuluh unit, saya adalah satu, terlepas dari tempat mereka berdiri di deretan tanda lainnya.

Dalam sistem posisi, setiap tanda memiliki arti yang berbeda tergantung di mana berdirinya dalam entri nomor.Misalnya, pada nomor 222, angka "2" diulang tiga kali, tetapi digit pertama di sebelah kanan menunjukkan dua unit, kedua - dua puluhan, dan yang ketiga - dua ratus. Dalam hal ini yang kami maksud sistem bilangan desimal. Seiring dengan sistem bilangan desimal dalam sejarah perkembangan matematika, ada biner, lima kali lipat, dua desimal, dll.

Sistem nomor posisional nyaman karena memungkinkan untuk menulis angka besar menggunakan jumlah karakter yang relatif kecil. Keuntungan penting dari sistem posisi adalah kesederhanaan dan kemudahan melakukan operasi aritmatika pada angka yang ditulis dalam sistem ini.

Munculnya sistem posisi untuk menunjuk angka adalah salah satu tonggak utama dalam sejarah budaya. Harus dikatakan bahwa ini tidak terjadi secara kebetulan, tetapi sebagai langkah alami dalam perkembangan budaya masyarakat.Hal ini ditegaskan oleh munculnya independen sistem posisi pada orang yang berbeda: di antara orang Babilonia - lebih dari 2 ribu tahun SM; di antara suku Maya (Amerika Tengah) - di awal era baru; di antara orang India - pada abad IV-VI.

Asal usul prinsip posisi pertama-tama harus dijelaskan dengan munculnya bentuk notasi perkalian. Jadi, dalam notasi perkalian, angka 154 dapat ditulis: 1xYu 2 + 5x10 + 4. Seperti yang Anda lihat, catatan ini menunjukkan fakta bahwa ketika menghitung beberapa angka unit dari digit pertama, dalam hal ini sepuluh unit, adalah diambil untuk satu unit digit berikutnya, sejumlah unit dari digit kedua diambil, pada gilirannya, sebagai unit dari digit ketiga, dan seterusnya. Ini memungkinkan Anda untuk menggunakan simbol numerik yang sama untuk menampilkan jumlah unit dari angka yang berbeda. Notasi yang sama dimungkinkan saat menghitung elemen himpunan hingga.

Dalam sistem lima kali lipat, penghitungan dilakukan dengan "tumit" - masing-masing lima. Jadi, orang kulit hitam Afrika mengandalkan kerikil atau kacang dan meletakkannya di tumpukan masing-masing lima item. Mereka menggabungkan lima tumpukan tersebut menjadi tumpukan baru, dan seterusnya. Pada saat yang sama, kerikil pertama dihitung, lalu tumpukan, lalu tumpukan besar. Dengan metode penghitungan ini, fakta ditekankan bahwa operasi yang sama harus dilakukan dengan tumpukan kerikil seperti dengan kerikil individu. Pelancong Rusia Miklukho-Maclay menggambarkan teknik penghitungan menurut sistem ini. Dengan demikian, mencirikan proses penghitungan barang oleh penduduk asli New Guinea, tulisnya, bahwa untuk menghitung jumlah potongan kertas, yang menunjukkan jumlah hari sebelum kembalinya korvet Vityaz, orang Papua melakukan hal berikut: sepuluh, yang kedua mengulangi kata yang sama , tetapi pada saat yang sama dia menekuk jari-jarinya, pertama di satu, lalu di sisi lain. Setelah menghitung sampai sepuluh dan menekuk jari-jari kedua tangan, orang Papua itu menurunkan kedua tinjunya ke lutut, mengucapkan "iben kare" - dua tangan. Orang Papua ketiga pada saat yang sama menekuk satu jari di tangannya, dengan sepuluh jari lainnya, itu

hal yang sama dilakukan, dengan orang Papua ketiga menekuk jari kedua, dan untuk sepuluh ketiga, jari ketiga, dst. Akun serupa juga terjadi di antara negara-negara lain. Untuk akun seperti itu, setidaknya diperlukan tiga orang. Satu menghitung satuan, yang lain - puluhan, yang ketiga - ratusan. Jika kita mengganti jari mereka yang menghitung dengan kerikil yang ditempatkan di tempat yang berbeda ceruk papan tanah liat atau digantung di ranting, maka alat penghitung paling sederhana akan muncul.

Seiring waktu, nama-nama digit mulai dilewati saat menulis angka.Namun, untuk melengkapi sistem posisi, langkah terakhir hilang - pengenalan nol. Dengan basis penghitungan yang relatif kecil, yaitu angka 10, dan beroperasi dengan angka yang relatif besar, terutama setelah nama-nama satuan bit mulai dilewati, pengenalan angka nol menjadi sangat diperlukan, tempat angka yang terlewat. Namun, dengan satu atau lain cara, pengenalan nol adalah tahap yang benar-benar tak terhindarkan dalam proses perkembangan alami, yang mengarah pada penciptaan sistem posisi modern.

Sistem bilangan dapat didasarkan pada bilangan apa saja kecuali 1 (satu) dan 0 (nol). Di Babel, misalnya, ada angka 60. Jika sistem angka didasarkan pada jumlah besar, maka notasi bilangan akan menjadi sangat pendek, tetapi pelaksanaan operasi aritmatika akan lebih sulit. Jika sebaliknya, ambil angka 2 atau 3, maka operasi aritmatika dilakukan dengan sangat mudah, tetapi notasi itu sendiri akan menjadi tidak praktis. Mungkin untuk mengganti sistem desimal dengan yang lebih nyaman, tetapi transisi itu akan dikaitkan dengan kesulitan besar: pertama-tama, perlu untuk mencetak ulang semua buku ilmiah lagi, untuk membuat ulang semua instrumen penghitungan dan mesin. Tidak mungkin penggantian seperti itu tepat. Sistem desimal telah menjadi akrab, dan karenanya nyaman.

Latihan untuk introspeksi diri

Serangkaian angka berurutan ditentukan

memudar secara bertahap. Peran utama dalam penciptaan ... angka dimainkan oleh ... penambahan. Selain itu, ... digunakan, serta perkalian.

algoritmik

operasi

pengurangan

tanda-tanda

hieroglif cuneiform abjad

Untuk menulis angka, orang yang berbeda menemukan yang berbeda .... Jadi, sebelum kita

hari, jenis catatan berikut telah tiba :,

Gerodianov, ..., Romawi, dll.

Dan sekarang orang kadang-kadang
menggunakan abjad dan .., penomoran, Roma

paling sering ketika menunjukkan nomor urut.

Dalam masyarakat saat ini, sebagian besar
orang-orang menggunakan angka Arab (...)- Hindu

Penomoran tertulis (sistem) de
jatuh ke dalam dua kelompok besar: posisi
nye dan ... sistem bilangan. non-posisional

6. Menghitung instrumen

Perangkat paling kuno untuk memfasilitasi penghitungan dan perhitungan adalah tangan manusia dan kerikil. Berkat penghitungan dengan jari, sistem angka lima digit dan desimal (desimal) muncul. Itu dicatat dengan benar oleh ilmuwan matematikawan N.N. kami tidak memiliki sepuluh jari di tangan kita, tapi delapan, maka umat manusia akan menggunakan sistem oktal.

Dalam kegiatan praktis, ketika menghitung benda, orang menggunakan kerikil, tag dengan takik, tali dengan simpul, dll. Perangkat pertama dan lebih maju yang dirancang khusus untuk komputasi adalah sempoa sederhana, dari mana perkembangan teknologi komputer dimulai. Akuntansi dengan bantuan sempoa, sudah dikenal di Cina, Mesir Kuno dan Yunani Kuno jauh sebelum zaman kita, ada selama ribuan tahun ketika perhitungan tertulis menggantikan sempoa.Perlu dicatat bahwa sempoa berfungsi tidak begitu banyak untuk memfasilitasi perhitungan yang sebenarnya , tetapi untuk mengingat hasil antara .

Beberapa jenis sempoa diketahui: Yunani, yang dibuat dalam bentuk tablet tanah liat, di mana garis digambar dengan benda padat dan kerikil ditempatkan di ceruk (alur) yang dihasilkan. Bahkan yang lebih sederhana adalah sempoa Romawi, di mana kerikil tidak bisa bergerak di sepanjang alur, tetapi hanya di sepanjang garis yang digambar di papan tulis.

Di Cina, alat seperti sempoa disebut suan-pan, dan di Jepang disebut soroban. Dasar dari perangkat ini adalah bola

ki digantung di ranting; meja hitung, terdiri dari garis horizontal yang sesuai dengan satuan, puluhan, ratusan, dll., Dan garis vertikal yang dimaksudkan untuk istilah dan faktor individu. Token diletakkan pada garis ini - hingga empat.

Nenek moyang kita juga memiliki sempoa - sempoa Rusia. Mereka muncul pada abad 16-17, mereka masih digunakan sampai sekarang. Kelebihan utama penemu sempoa adalah penggunaan sistem angka posisi.

Langkah penting berikutnya dalam perkembangan teknologi komputer adalah penciptaan mesin penambah dan mesin penambah.Mesin tersebut dirancang secara independen oleh penemu yang berbeda.

Dalam manuskrip ilmuwan Italia Leonardo da Vinci (1452-1519) ada sketsa perangkat penambah 13-bit.Sketsa 6-bit dikembangkan oleh ilmuwan Jerman V. Schickard (1592-1636), dan mesin sendiri dibangun sekitar tahun 1623. Perlu dicatat bahwa penemuan ini baru diketahui pada pertengahan abad ke-20, sehingga tidak berpengaruh pada perkembangan teknologi komputer. Diyakini bahwa mesin penambah pertama (8-bit) dirancang pada tahun 1641, dan dibuat pada tahun 1645 oleh B. Pascal. Oleh karena itu, proyek ini meluncurkan produksi serial mereka. Beberapa salinan mesin ini bertahan hingga hari ini. Keuntungannya adalah mereka memungkinkan Anda untuk melakukan keempat operasi aritmatika: penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Istilah "teknologi komputer" dipahami sebagai seperangkat sistem teknis, yaitu komputer, alat matematika, metode dan teknik yang digunakan untuk memfasilitasi dan mempercepat penyelesaian tugas padat karya yang terkait dengan pemrosesan informasi (perhitungan), serta cabang teknologi yang terlibat dalam pengembangan dan pengoperasian komputer. Elemen fungsional utama komputer modern, atau komputer, dibuat pada perangkat elektronik, oleh karena itu disebut komputer elektronik - komputer Menurut metode penyajian informasi, komputer dibagi menjadi tiga kelompok;

Komputer analog (AVM), di mana informasi disajikan dalam bentuk variabel yang terus berubah, dinyatakan dengan beberapa kuantitas fisik;

komputer digital (DCM), di mana:
informasi disajikan dalam bentuk nilai diskrit
sabuk (angka) dinyatakan sebagai kombinasi nilai diskrit
nilai kuantitas fisik apa pun (angka);
komputer hibrida (HVM)
ryh, kedua cara penyajian informasi digunakan.

Perangkat komputasi analog pertama muncul pada abad ke-17. Itu adalah aturan slide.

Pada abad XVIII-XIX. peningkatan lanjutan dari aritmometer mekanik dengan penggerak listrik. Peningkatan ini murni mekanis di alam dan kehilangan signifikansinya dengan transisi ke elektronik. Satu-satunya pengecualian adalah mesin ilmuwan Inggris Ch. Be-bidzha: perbedaan (1822) dan analitis (1830).

Mesin perbedaan dimaksudkan untuk mentabulasi polinomial dan, dari sudut pandang modern, adalah komputer khusus dengan program tetap (keras).Mesin memiliki "memori" - beberapa register untuk menyimpan angka. Ketika sejumlah langkah perhitungan dilakukan, penghitung jumlah operasi dipicu - bel terdengar. Hasilnya dicetak dengan alat cetak, apalagi pada waktunya operasi ini digabungkan dengan perhitungan.

Saat mengerjakan mesin perbedaan, Bebidge muncul dengan ide untuk membuat komputer digital untuk melakukan berbagai perhitungan ilmiah dan teknis. Bekerja secara otomatis, mesin ini melakukan program yang diberikan. Penulis menyebut mesin ini analitis. Mesin ini merupakan prototipe dari komputer modern. Mesin analitik Bebidzh termasuk perangkat berikut:

untuk menyimpan informasi digital (sekarang disebut
disimpan oleh perangkat penyimpanan);
untuk melakukan operasi pada angka (sekarang ini
perangkat aritmatika);
perangkat yang Babyj tidak berikan namanya
dan yang mengontrol urutan tindakan ma
ban (sekarang ini adalah perangkat kontrol);
untuk input dan output informasi.

Sebagai pembawa informasi untuk input dan output, Bebidge dimaksudkan untuk menggunakan kartu berlubang (punched card) dari jenis yang digunakan dalam kontrol alat tenun.Bebidge menyediakan input tabel nilai fungsi dengan kontrol ke dalam mesin.

yang memungkinkan, jika perlu, untuk memasukkannya kembali ke dalam mobil.

Dengan demikian, mesin analitik Bebidzh adalah komputer yang dikendalikan program pertama di dunia. Untuk mesin ini, program pertama di dunia juga dikompilasi. Pemrogram pertama adalah putri penyair Inggris Byron, Augusta Ada Lovelace (1815-1852). Untuk menghormatinya, salah satu bahasa pemrograman modern disebut "Ada".

Komputer elektronik pertama dianggap sebagai mesin yang dikembangkan di University of Pennsylvania, AS. Mesin ENIAC ini dibuat pada tahun 1945, memiliki kontrol program otomatis.Kekurangan dari mesin ini adalah tidak adanya perangkat memori untuk menyimpan perintah.

Komputer pertama dengan semua komponen mesin modern adalah mesin EDSAK Inggris, dibangun pada tahun 1949 di Universitas Cambridge. Perangkat memori mesin ini berisi angka (ditulis dalam kode biner) dan program itu sendiri. Berkat bentuk numerik penulisan program perintah, mesin dapat melakukan berbagai operasi.

Di bawah kepemimpinan S.A. Lebedev (1902-1974), komputer domestik pertama (komputer elektronik) dikembangkan. MESM hanya melakukan 12 perintah, kecepatan nominal tindakan adalah 50 operasi per detik. RAM MESM dapat menyimpan 31 angka biner tujuh belas bit dan 64 perintah dua puluh bit. Selain itu, ada perangkat penyimpanan eksternal.Pada tahun 1966, di bawah bimbingan desainer yang sama, mesin penghitung elektronik besar (BESM) dikembangkan.

Komputer elektronik menggunakan berbagai bahasa pemrograman - ini adalah sistem notasi untuk menggambarkan data informasi dan program (algoritma).

Program dalam bahasa mesin berbentuk tabel angka, setiap baris sesuai dengan satu perintah operator-mesin. Pada saat yang sama, dalam perintah, misalnya, beberapa digit pertama adalah kode operasi, yaitu mereka memberi tahu mesin apa yang harus dilakukan (menambahkan, mengalikan, dll.), Dan sisa angka menunjukkan dengan tepat di mana angka yang diperlukan terletak di memori mesin (istilah, faktor) dan di mana Anda harus mengingat hasil operasi (jumlah produk, dll.).

Sebuah bahasa pemrograman didefinisikan oleh tiga komponen: alfabet, sintaks, dan semantik.

Sebagian besar bahasa pemrograman (BASIC, FORTRAN, PASCAL, ADA, COBOL, LISP) yang dikembangkan hingga saat ini bersifat sekuensial. Program-program yang tertulis di dalamnya merupakan urutan perintah (instruksi). oleh mesin ketika bantuan yang disebut penerjemah.

Kinerja komputer akan meningkat karena eksekusi operasi paralel (simultan), sementara sebagian besar bahasa pemrograman yang ada dirancang untuk eksekusi operasi berurutan. Oleh karena itu, masa depan, tampaknya, milik bahasa pemrograman semacam itu yang memungkinkan untuk menggambarkan masalah yang sedang diselesaikan, dan bukan urutan eksekusi operator.

Latihan Tes Diri

Pengembangan ... instrumen dalam sejarah matematika perhitungan
matics terjadi secara bertahap
penggunaan bagian tubuh sendiri - jari
... - untuk penggunaan berbagai spesial sempoa
perangkat yang dibuat alno: ... secara linier logaritma
ka, sempoa, ... , mesin analitik dan komputasi
elektronik... mobil.

Program untuk ... mesin adalah komputasi elektronik

tabel angka. telepon

Komponen bahasa pemrograman
niya adalah alfabet, ... dan semantik. sintaksis

7. Formasi, keadaan saat ini dan prospek

metodologi yang dikembangkan untuk mengajar anak-anak elemen matematika

usia prasekolah

Masalah perkembangan matematika anak-anak prasekolah berakar pada pedagogi klasik dan rakyat. Berbagai pantun berhitung, peribahasa, ucapan, teka-teki, sajak anak-anak adalah bahan yang baik dalam mengajar anak-anak berhitung, memungkinkan anak untuk membentuk konsep tentang angka, bentuk, ukuran, ruang dan waktu. Sebagai contoh,

Murai sisi putih memasak bubur, memberi makan anak-anak.

Saya memberikan ini, saya memberikan ini Dan saya memberikan ini, Tapi saya tidak memberikan ini:

Kamu tidak membawa air, Kamu tidak memotong kayu bakar, Kamu tidak memasak bubur - Tidak ada apa-apa untukmu.

Buku teks cetakan pertama oleh I. Fedorov "Primer" (1574) mencakup pemikiran tentang perlunya mengajar anak-anak berhitung dalam proses berbagai latihan.karya pedagogis Ya.A. Comenius, M.G. Pestalozzi, K.D. Ushinsky, F. Frebel, L.N. Tolstoy, dan lainnya.

Jadi, Y.A. Komensky (1592-1670) dalam buku "Sekolah Ibu" merekomendasikan bahkan sebelum sekolah untuk mengajar seorang anak berhitung dalam waktu dua puluh, kemampuan untuk membedakan antara besar-kecil, bilangan genap-ganjil, membandingkan benda berdasarkan ukuran, mengenali dan sebutkan beberapa figur geometris, gunakan dalam praktik satuan pengukuran: inci, rentang, langkah, pon, dll.

Sistem klasik pembelajaran sensorik oleh F. Frebel (1782-1852) dan M. Montessori (1870-1952) menyajikan metodologi untuk memperkenalkan anak-anak pada bentuk geometris, ukuran, pengukuran dan penghitungan. "Hadiah" yang diciptakan oleh Froebel masih digunakan sebagai bahan didaktik untuk mengenalkan anak-anak dengan jumlah, bentuk, ukuran dan hubungan spasial.

KD Ushinsky (1824-1871) berulang kali menulis tentang pentingnya mengajar anak-anak berhitung sebelum sekolah. Ia menganggap penting untuk mengajari anak menghitung benda individu dan kelompoknya, melakukan penjumlahan dan pengurangan, membentuk konsep sepuluh sebagai satuan hitungan, namun semua itu hanyalah keinginan yang tidak memiliki justifikasi ilmiah.

Yang paling penting adalah masalah metodologi pengembangan matematika dalam literatur pedagogis sekolah dasar pada pergantian abad ke-19-20. Penulis rekomendasi metodologis pada waktu itu adalah guru dan ahli metodologi tingkat lanjut.Pengalaman pekerja praktik tidak selalu dibuktikan secara ilmiah.

nym, tapi itu diuji dalam praktek. Seiring waktu, itu meningkat, lebih kuat dan lebih lengkap, pemikiran pedagogis progresif terungkap di dalamnya. Pada akhir abad ke-19 - awal abad ke-20, para ahli metodologi perlu mengembangkan landasan ilmiah untuk metodologi aritmatika.Kontribusi yang signifikan terhadap pengembangan metodologi dibuat oleh para guru dan ahli metodologi Rusia tingkat lanjut P.S. Guryev, A. I.Goldenberg, D.F.Egorov, VAEvtushevsky, D.D.Galanin dan lainnya.

Alat bantu pengajaran pertama tentang metodologi mengajar anak-anak prasekolah untuk menghitung, sebagai suatu peraturan, ditujukan secara bersamaan kepada guru, orang tua dan pendidik Berdasarkan pengalaman kerja praktek dengan anak-anak, percakapan V.A., permainan, latihan praktis ditawarkan dengan metode kerja dengan anak-anak.Penulis menganggap perlu untuk memperkenalkan anak-anak dengan konsep-konsep seperti: satu, banyak, beberapa, pasangan, lebih, kurang, sama, sama, sama, sama dan lain-lain. Tugas utamanya adalah mempelajari angka dari 1 hingga 10, dengan masing-masing angka dipertimbangkan secara terpisah. Pada saat yang sama, anak-anak belajar tindakan pada angka-angka ini. Materi visual banyak digunakan.

Dalam percakapan dan kelas, anak-anak memperoleh pengetahuan tentang bentuk, ruang dan waktu, tentang membagi keseluruhan menjadi bagian-bagian, tentang besaran dan ukurannya.

Pertanyaan tentang metode, isi mengajar anak-anak untuk menghitung dan perkembangan matematika secara umum, yang dapat menjadi dasar keberhasilan pendidikan lanjutan mereka di sekolah, telah menjadi perdebatan sengit dalam pedagogi prasekolah sejak penciptaan jaringan luas pendidikan prasekolah publik.

Posisi paling ekstrem adalah melarang pengajaran matematika yang bertujuan.Hal ini paling jelas tercermin dalam karya-karya K. Flebedintsev.anak-anak berdasarkan kelompok pembeda objek, persepsi himpunan. Dan lebih jauh, di luar kelompok-kelompok kecil ini, peran utama dalam pembentukan konsep bilangan adalah milik akun, yang menggantikan persepsi himpunan (holistik) secara simultan. Pada saat yang sama, ia menganggap diinginkan bahwa anak memperoleh pengetahuan selama periode ini "tanpa disadari", secara mandiri K.F. Lebedintsev sampai pada kesimpulan ini berdasarkan pengamatan anak-anak yang mempelajari representasi numerik pertama dan menguasainya

Faktanya, anak-anak yang sangat awal mulai mengisolasi beberapa kelompok kecil objek homogen dan, meniru orang dewasa, menyebutnya angka. Namun pengetahuan ini masih dangkal, belum cukup disadari.Kemampuan anak menyebutkan angka tidak selalu merupakan indikator objektif kemampuan matematika. Namun, di tahun 20-an, banyak ahli metodologi, pendidik mengadopsi sudut pandang K.F. Lebedintsev. Menurut pendapat mereka, representasi numerik muncul pada anak terutama karena persepsi holistik kelompok kecil benda homogen yang terletak di meja lingkungan, roda mobil , dll.). Atas dasar ini, dianggap opsional untuk mengajar anak-anak berhitung.

Namun, para guru terkemuka - "anak-anak prasekolah" di tahun 20-30-an (E.I. Tikheeva, L.K. Shleger, dan lainnya) mencatat bahwa proses pembentukan representasi numerik pada anak-anak sangat kompleks, dan oleh karena itu perlu dengan sengaja mengajari mereka berhitung. Bermain diakui sebagai cara utama mengajar anak-anak untuk berhitung. Jadi, penulis buku "Bilangan Hidup, Pikiran dan Tangan yang Hidup di Tempat Kerja" (Kyiv, 1920) E. Gorbunov-Pasadov dan I. Tsunzer menulis bahwa anak itu mencoba memperkenalkan ke dalam permainan aktivitasnya apa yang menarik baginya Oleh karena itu, pengenalan unsur-unsur matematika harus didasarkan pada aktivitas aktif anak. Diyakini bahwa saat bermain, anak-anak belajar akun dengan lebih baik, lebih mengenal angka dan tindakan pada mereka.

Sebagian besar guru tahun 1920-an dan 1930-an memiliki sikap negatif terhadap perlunya membuat program untuk taman kanak-kanak, menuju pembelajaran yang berorientasi pada tujuan. Secara khusus, L.K. Schleger berpendapat bahwa anak-anak harus bebas memilih kegiatan mereka sendiri, atas permintaan mereka sendiri, yaitu setiap orang dapat melakukan apa yang ada dalam pikirannya, memilih bahan yang sesuai, menetapkan tujuan untuk dirinya sendiri dan mencapainya. Program ini, menurutnya, harus didasarkan pada kecenderungan dan aspirasi alami anak-anak. Peran pendidik hanya akan menciptakan kondisi yang kondusif bagi pendidikan mandiri anak-anak. L.K. Schleger percaya bahwa akun harus dihubungkan dengan berbagai aktivitas anak, dan pendidik harus menggunakan berbagai momen dari kehidupan anak-anak untuk melatihnya di akun.

Dalam karya E. I. Tikheeva, M. Ya. Morozova dan lainnya, ditekankan bahwa anak harus belajar pengetahuan tentang sepuluh angka pertama bahkan sebelum sekolah dan pada saat yang sama mempelajarinya “tanpa kelas yang sistematis dan metode pengajaran khusus.

sifat yang berbeda." Dalam karya "Modern Kindergarten, Its Significance and Equipment" (Petersburg, 1920), penulis mencatat bahwa kehidupan taman kanak-kanak, aktivitas anak-anak, permainan memberikan sejumlah besar momen yang dapat digunakan bagi anak-anak untuk belajar akun dalam batas-batas yang tersedia usia mereka, dan asimilasi benar-benar dibatasi.Dasar pemikiran matematika mudah diletakkan dalam jiwa seorang anak, yang sangat diperlukan baik untuk siswa dan guru jika sekolah (TK ) berusaha untuk pendidikan ilmiah dan sistematis.

E. I. Tikheeva dengan jelas membayangkan konten membiasakan anak-anak prasekolah dengan angka dan berhitung dan berulang kali menekankan bahwa metodologi modern berusaha mengarahkan anak-anak ke asimilasi pengetahuan sendiri, menciptakan kondisi bagi anak yang memberinya pencarian independen untuk materi kognitif dan penggunaan miliknya. Dia menulis bahwa anak-anak tidak boleh diajari berhitung, tetapi anak harus belajar sepuluh yang pertama, tentu saja, sebelum sekolah. Semua representasi numerik yang tersedia untuk anak-anak usia ini, mereka harus mengambil dari kehidupan di mana mereka mengambil bagian aktif. Dan partisipasi anak dalam kehidupan dalam kondisi normal harus diekspresikan hanya dalam satu hal - bekerja, bermain, i. Artinya, saat bermain, bekerja, hidup, anak pasti akan belajar menghitung sendiri, jika orang dewasa pada saat yang sama adalah asisten dan pemimpin yang tidak mencolok baginya.

Dalam karya "Akun dalam Kehidupan Anak Muda" (1920), E. I. Tikheeva juga menentang "penindasan dan kekerasan" dalam perkembangan matematika anak, tetapi juga keberatan dengan pengasuhan spontan anak. Cukup tepat, dia menganggap persepsi sensorik sebagai sumber utama pengetahuan matematika. Konsep bilangan seharusnya memasuki kehidupan anak hanya dalam "kesatuan yang tidak terpisahkan dengan benda-benda" yang ada di sekitar anak.Dalam hal ini, penulis menarik perhatian pada ketersediaan bahan visual yang diperlukan di taman kanak-kanak dan di rumah. Setelah representasi numerik tertentu diterima oleh anak, Anda dapat menggunakan pelajaran permainan Penulis merekomendasikan pelajaran permainan khusus dengan materi didaktik untuk membiasakan dan mengkonsolidasikan ide-ide ini, memperdalam keterampilan yang diperlukan dalam berhitung.

Menyadari bahwa penguasaan spontan representasi numerik tidak dapat memiliki urutan yang tepat, konsistensi, E. I. Tikheeva menawarkan set khusus materi didaktik sebagai sarana untuk mensistematisasikan pengetahuan.Dia merekomendasikan menggunakan bahan alami sebagai bahan penghitungan: kerikil, daun, kacang, kerucut, dll Dia menciptakan materi didaktik seperti gambar berpasangan dan lotre, mengembangkan tugas untuk mengkonsolidasikan representasi kuantitatif dan spasial.

Isi pengetahuan matematika E. I. Tikheeva diwakili cukup luas. Ini adalah kenalan dengan nilai, pengukuran, angka, bahkan pecahan. E. I. Tikheeva memberikan tempat yang signifikan dalam konten pengajaran matematika untuk pembentukan ide-ide anak-anak tentang besaran dan ukuran.Dia menganggap penting untuk mengungkapkan kepada anak-anak hubungan fungsional antara hasil pengukuran dan besaran ukuran. Semua jenis pengukuran harus sesuai, terkait dengan tugas-tugas praktis, misalnya, bermain di toko ("toko").

Sayangnya, E. I. Tikheeva sama sekali tidak menghargai peran kegiatan kolektif, mengingat mereka dipaksakan pada anak dari luar, dia berasumsi bahwa di TK pengetahuan anak-anak akan berbeda; tingkat perkembangan mereka tidak sama, tetapi ini "seharusnya tidak menakuti guru." Meskipun penulis tidak memberikan rekomendasi khusus di mana pun tentang cara bekerja dengan anak-anak dengan tingkat perkembangan yang berbeda.

E. I. Tikheeva memberikan kontribusi tertentu pada pengembangan metode mengajar anak-anak berhitung, setelah menentukan jumlah pengetahuan yang tersedia untuk "anak-anak prasekolah." Dia menaruh banyak perhatian untuk membiasakan anak-anak dengan hubungan antara objek dengan ukuran berbeda: lebih-kurang, lebih lebar-sempit, lebih pendek-lebih lama dan lain-lain Seorang praktisi master yang sangat baik yang mengenal anak itu secara mendalam, dia merasa perlu untuk pelatihan, komplikasi yang konsisten dari materi pendidikan, meskipun pada dasarnya dia hanya mengenali pelatihan individu. Faktanya, E. I. Tikheeva tidak mengembangkan dan secara teoritis mendukung metodologi pengajaran berhitung, tidak menunjukkan cara utama bagi anak-anak untuk menguasai pengetahuan matematika awal, namun, materi didaktik dan permainan didaktik yang dibuat olehnya juga digunakan dalam praktik pedagogis modern. .

Pada akhir tahun 1930-an, terjadi perpindahan dari pendidikan yang tidak terorganisir di taman kanak-kanak, dan sejak saat itu, muncul masalah terkait dengan penentuan isi dan metode pengajaran anak-anak dari kelompok usia yang berbeda di taman kanak-kanak.

Tahap penting dalam pengembangan metode untuk pengembangan representasi matematis adalah karya F.N. Bleher. Menjadi seorang inovator-praktisi pada waktunya di bidang pendidikan prasekolah, ia mengembangkan, menguji, dan menawarkan kepada para guru program yang luas untuk mengajar anak-anak prasekolah pengetahuan dasar dalam matematika.ukuran, kuantitas, ruang, waktu, dan pengukuran.Sementara Belajar Menghitung umumnya dirancang untuk penggunaan individu, ada banyak bahan untuk menyatukan anak-anak. Untuk memudahkan guru dalam mendistribusikan materi, seluruh isi manual dibagi menjadi pelajaran (81 pelajaran) - begitulah penulis menyebut kelas.

Gambar bilangan asli apa pun dimungkinkan dengan bantuan sejumlah kecil karakter individu. Hal ini dapat dicapai dengan satu tanda - 1 (satu). Setiap bilangan asli kemudian akan ditulis dengan mengulang simbol satuan sebanyak yang ada dalam bilangan tersebut. Penambahan akan direduksi menjadi atribusi unit yang sederhana, dan pengurangan - untuk penghapusan (penghapusan) unit tersebut. Ide di balik sistem seperti itu sederhana, tetapi sistem ini sangat merepotkan. Praktis tidak cocok untuk merekam jumlah besar, dan hanya digunakan oleh orang-orang yang hitungannya tidak lebih dari satu atau dua lusin.

Orang primitif tidak memiliki bahasa tertulis, tidak ada huruf atau angka, setiap hal, setiap tindakan digambarkan dengan gambar. Ini adalah gambar nyata yang menunjukkan kuantitas ini atau itu. Secara bertahap mereka disederhanakan, menjadi lebih dan lebih nyaman untuk merekam. Kita berbicara tentang menulis angka dalam hieroglif. Hieroglif orang Mesir kuno bersaksi bahwa seni berhitung sangat berkembang di antara mereka, dengan bantuan hieroglif sejumlah besar digambarkan. Namun, untuk lebih meningkatkan akun, perlu untuk beralih ke notasi yang lebih nyaman yang memungkinkan angka dilambangkan dengan tanda (angka) khusus yang lebih nyaman. Asal usul angka tiap bangsa berbeda-beda.

Angka pertama ditemukan lebih dari 2 ribu tahun SM. di Babel. Orang Babilonia menulis dengan tongkat di lempengan tanah liat yang lembut dan kemudian mengeringkan catatan mereka. Alfabet Babilonia kuno disebut runcing. Irisan ditempatkan baik secara horizontal maupun vertikal, tergantung pada nilainya. Irisan vertikal menunjukkan unit, dan horizontal, yang disebut puluhan, unit kategori kedua.

Beberapa budaya menggunakan huruf untuk menulis angka. Alih-alih angka, mereka menulis huruf awal kata-angka. Penomoran seperti itu, misalnya, ada di antara orang Yunani kuno. Dengan nama ilmuwan yang mengusulkannya, dia memasuki sejarah budaya dengan nama gerodian penomoran. Jadi, dalam penomoran ini, angka "lima" disebut "pinta" dan dilambangkan dengan huruf "P", dan angka sepuluh disebut "deka" dan dilambangkan dengan huruf "D". Saat ini, tidak ada yang menggunakan penomoran ini. Tidak seperti dia Roma penomoran telah dilestarikan dan telah turun ke zaman kita. Meskipun sekarang angka Romawi tidak begitu umum: pada jam tangan, untuk menunjukkan bab dalam buku, abad, pada bangunan tua, dll. Ada tujuh tanda kunci dalam penomoran Romawi: I, V, X, L, C, D, M.

Anda bisa menebak bagaimana tanda-tanda ini muncul. Tanda (1) - satuan - adalah hieroglif yang menggambarkan jari I (kama), tanda V adalah gambar tangan (pergelangan tangan dengan ibu jari dijulurkan), dan untuk angka 10 - gambar dua balita (X) bersama. Untuk menuliskan angka II, III, IV, gunakan tanda yang sama, tunjukkan tindakan dengannya. Jadi, angka II dan III mengulangi unit yang sesuai beberapa kali. Untuk menulis angka IV, lima didahului dengan I. Dalam notasi ini, satuan yang ditempatkan sebelum lima dikurangkan dari V, dan satuan yang ditempatkan setelahnya ditambahkan. Dan dengan cara yang sama, satuan yang ditulis sebelum sepuluh (X) dikurangi dari sepuluh, dan yang di sebelah kanan ditambahkan ke dalamnya. Angka 40 dilambangkan dengan XL. Dalam hal ini, 10 dikurangkan dari 50. Untuk menulis angka 90, 10 dikurangkan dari 100 dan XC ditulis.

Penomoran Romawi sangat nyaman untuk menulis angka, tetapi hampir tidak cocok untuk perhitungan. Hampir tidak mungkin untuk melakukan tindakan apa pun secara tertulis (perhitungan dengan "kolom" dan metode perhitungan lainnya) dengan angka Romawi. Ini adalah kelemahan yang sangat besar dari penomoran Romawi.

Untuk beberapa orang, angka dicatat menggunakan huruf alfabet, yang digunakan dalam tata bahasa. Catatan ini terjadi di antara orang Slavia, Yahudi, Arab, Georgia.

alfabetis sistem penomoran pertama kali digunakan di Yunani. Catatan tertua yang dibuat menurut sistem ini dikaitkan dengan pertengahan abad ke-5 SM. SM. Dalam semua sistem alfabet, angka dari 1 hingga 9 ditunjuk oleh karakter individu menggunakan huruf alfabet yang sesuai. Dalam penomoran Yunani dan Slavia, di atas huruf yang menunjukkan angka, untuk membedakan angka dari kata-kata biasa, tanda hubung "titlo" (~) ditempatkan. Sebagai contoh, a B C dll. Semua angka dari 1 hingga 999 ditulis berdasarkan prinsip penambahan 27 karakter individu untuk angka.

Jejak sistem alfabet telah bertahan hingga zaman kita. Jadi, kita sering menomori paragraf laporan, resolusi, dll dengan huruf. Namun, metode penomoran abjad telah dipertahankan bersama kami hanya untuk menunjukkan nomor urut. Kami tidak pernah menunjuk angka kuantitatif dengan huruf, terutama karena kami tidak pernah beroperasi dengan angka yang ditulis dalam sistem abjad.

Penomoran Rusia kuno juga berdasarkan abjad. Penunjukan angka berdasarkan abjad Slavia muncul pada abad ke-10.

Sekarang ada sistem India entri nomor. Itu dibawa ke Eropa oleh orang Arab, itulah sebabnya ia mendapat nama Arab penomoran. Penomoran Arab telah menyebar ke seluruh dunia, menggantikan semua entri nomor lainnya. Dalam penomoran ini, 10 ikon digunakan untuk menulis angka, yang disebut angka, sembilan di antaranya mewakili angka dari 1 hingga 9.

Ikon kesepuluh - nol (0) - berarti tidak adanya digit angka tertentu. Dengan bantuan sepuluh karakter ini, Anda dapat menulis angka besar yang Anda suka. Sampai abad ke-18 di Rusia, tanda-tanda tertulis, kecuali nol, disebut tanda.

Jadi, orang-orang dari berbagai negara memiliki penomoran tertulis yang berbeda: hieroglif - di antara orang Mesir; runcing - di antara orang Babilonia; gerodian - di antara orang Yunani kuno, Fenisia; alfabet - di antara orang Yunani dan Slavia; Romawi - di negara-negara Barat Eropa; Arab - di Timur Tengah. Harus dikatakan bahwa sekarang penomoran bahasa Arab digunakan hampir di mana-mana.

Sistem bilangan non posisional antara lain: penulisan angka dalam hieroglif, alfabetis, Romawi dan beberapa sistem lainnya. Sistem bilangan non-posisional adalah sistem penulisan angka ketika isi setiap karakter tidak bergantung pada tempat penulisannya. Simbol-simbol ini seperti angka nodal, dan angka algoritmik digabungkan dari simbol-simbol ini. Misalnya, angka 33 dalam penomoran Romawi non-posisi ditulis seperti ini: XXXIII. Di sini, tanda X (sepuluh) dan I (satu) digunakan masing-masing tiga kali dalam penulisan suatu bilangan. Selain itu, setiap kali tanda ini menunjukkan nilai yang sama: X - sepuluh unit, I - satu, terlepas dari tempat mereka berdiri di sejumlah tanda lainnya.

Dalam sistem posisional, setiap tanda memiliki arti yang berbeda, tergantung di mana ia berdiri dalam notasi angka. Misalnya, pada angka 222, angka "2" diulang tiga kali, tetapi angka pertama di sebelah kanan menunjukkan dua satuan, yang kedua dua puluhan, dan yang ketiga dua ratus. Dalam hal ini, yang kami maksud adalah sistem bilangan desimal. Seiring dengan sistem bilangan desimal dalam sejarah perkembangan matematika, ada biner, lima kali lipat, dua puluh desimal, dll.

Munculnya sistem posisi untuk menunjuk angka adalah salah satu tonggak utama dalam sejarah budaya. Harus dikatakan bahwa ini tidak terjadi secara kebetulan, tetapi sebagai langkah alami dalam pengembangan budaya masyarakat. Ini dikonfirmasi oleh kemunculan independen sistem posisi di antara orang-orang yang berbeda: di antara orang Babilonia - lebih dari 2 ribu tahun SM; di antara suku Maya (Amerika Tengah) - di awal era baru; di antara umat Hindu - pada abad IV-VI. IKLAN

Asal usul prinsip posisi, pertama-tama, harus dijelaskan dengan munculnya notasi perkalian. Notasi perkalian adalah notasi yang menggunakan perkalian. Ngomong-ngomong, catatan ini muncul bersamaan dengan penemuan alat penghitung pertama, yang oleh Slavia disebut sempoa. Jadi, dalam notasi perkalian, angka 154 dapat ditulis: 1 x 104 - 5 x 10 + 4. Seperti yang Anda lihat, notasi ini mencerminkan fakta bahwa ketika menghitung, beberapa unit dari digit pertama, dalam hal ini sepuluh unit, diambil untuk satu unit peringkat berikutnya, sejumlah unit peringkat kedua diambil, secara bergantian, sebagai unit peringkat ketiga, dan seterusnya. Ini memungkinkan Anda untuk menggunakan simbol numerik yang sama untuk menampilkan jumlah unit dari angka yang berbeda. Notasi yang sama dimungkinkan saat menghitung elemen himpunan hingga.

Teknik penghitungan menurut sistem ini diilustrasikan oleh pengelana Rusia Miklukho-Maclay. Dengan demikian, mencirikan proses penghitungan barang oleh penduduk asli New Guinea, ia menulis bahwa untuk menghitung jumlah potongan kertas yang menunjukkan jumlah hari sebelum kembalinya korvet Vityaz, orang Papua melakukan hal berikut: (satu ), "persegi" (dua) dan seterusnya hingga sepuluh, yang kedua mengulangi kata yang sama, tetapi pada saat yang sama menekuk jarinya terlebih dahulu pada satu, lalu di sisi lain. Setelah menghitung sampai sepuluh dan menekuk jari-jari kedua tangan, orang Papua itu menurunkan kedua tinjunya ke lutut, mengucapkan "iben kare" - dua tangan. Orang Papua ketiga sekaligus menekuk satu jari di tangannya. Hal yang sama dilakukan dengan sepuluh lainnya, dengan orang Papua ketiga menekuk jari kedua, dan untuk sepuluh ketiga - jari ketiga, dan seterusnya. Kisah serupa terjadi di antara orang-orang lain. Untuk akun seperti itu, setidaknya diperlukan tiga orang. Satu menghitung unit, yang lain menghitung puluhan, yang ketiga menghitung ratusan. Jika kita mengganti jari-jari mereka yang menghitung dengan kerikil yang ditempatkan di ceruk yang berbeda dari papan tanah liat atau digantung di ranting, maka kita akan mendapatkan alat hitung yang paling sederhana.

Seiring waktu, nama-nama angka mulai dilewati saat menulis angka. Namun, untuk melengkapi sistem posisi, langkah terakhir hilang - pengenalan nol. Dengan basis penghitungan yang relatif kecil, yaitu angka 10, dan beroperasi dengan jumlah yang relatif besar, terutama setelah nama-nama satuan bit mulai diabaikan, pengenalan angka nol menjadi sangat diperlukan. Simbol nol pertama-tama dapat berupa gambar token sempoa kosong atau titik sederhana yang dimodifikasi yang dapat menggantikan pelepasan yang terlewat. Namun, dengan satu atau lain cara, pengenalan nol adalah tahap yang benar-benar tak terhindarkan dalam proses perkembangan alami, yang mengarah pada penciptaan sistem posisi modern.

Sistem bilangan dapat didasarkan pada bilangan apa saja kecuali 1 (satu) dan 0 (nol). Di Babilonia, misalnya, ada bilangan 60. Jika bilangan besar dijadikan dasar sistem bilangan, maka pencatatan bilangan tersebut akan sangat singkat, tetapi kinerja operasi aritmatika akan lebih sulit. Sebaliknya, jika kita mengambil angka 2 atau 3, maka operasi aritmatika dilakukan dengan sangat mudah, tetapi notasi itu sendiri akan menjadi rumit. Adalah mungkin untuk mengganti sistem desimal dengan yang lebih nyaman, tetapi transisi ke sana akan dikaitkan dengan kesulitan besar: pertama-tama, semua buku ilmiah harus dicetak ulang, semua instrumen dan mesin penghitung akan dibuat ulang. Tidak mungkin penggantian seperti itu tepat. Sistem desimal telah menjadi akrab, dan karena itu nyaman.

Orang primitif tidak memiliki bahasa tertulis, tidak ada huruf atau angka, setiap hal, setiap tindakan digambarkan dengan gambar. Ini adalah gambar nyata yang menunjukkan kuantitas ini atau itu. Secara bertahap mereka disederhanakan, menjadi lebih dan lebih nyaman untuk merekam. Kita berbicara tentang menulis angka dalam hieroglif. Namun, untuk lebih meningkatkan akun, perlu untuk beralih ke notasi yang lebih nyaman yang memungkinkan angka dilambangkan dengan tanda (angka) khusus yang lebih nyaman. Asal usul angka tiap bangsa berbeda-beda.

Angka pertama ditemukan lebih dari 2 ribu tahun SM. di Babel. Orang Babilonia menulis dengan tongkat di lempengan tanah liat yang lembut dan kemudian mengeringkan catatan mereka.

Beberapa budaya menggunakan huruf untuk menulis angka. Alih-alih angka, mereka menulis huruf awal kata-angka. Penomoran seperti itu, misalnya, ada di antara orang Yunani kuno. Jadi, dalam penomoran ini, angka "lima" disebut "pinta" dan dilambangkan dengan huruf "P". Saat ini, tidak ada yang menggunakan penomoran ini. Tidak seperti dia Roma penomoran telah dilestarikan dan telah turun ke zaman kita. Meskipun sekarang angka Romawi tidak begitu umum: pada jam tangan, untuk menunjukkan bab dalam buku, abad, pada bangunan tua, dll. Ada tujuh tanda kunci dalam penomoran Romawi: I, V, X, L, C, D, M.

Untuk beberapa orang, angka dicatat menggunakan huruf alfabet, yang digunakan dalam tata bahasa. Catatan ini terjadi di antara orang Slavia, Yahudi, Arab, Georgia.

alfabetis sistem penomoran pertama kali digunakan di Yunani. Sebagai contoh, a B C dll.

Penomoran Rusia kuno juga berdasarkan abjad. Penunjukan angka berdasarkan abjad Slavia muncul pada abad ke-10.

Untuk beberapa orang, angka dicatat menggunakan huruf alfabet, yang digunakan dalam tata bahasa.Catatan ini terjadi di antara orang Slavia, Yahudi, Arab, dan Georgia.

Penomoran Rusia kuno juga berdasarkan abjad.Penunjukan angka berdasarkan abjad Slavia muncul pada abad ke-10.

2 Pesan1391

Sistem bilangan dapat didasarkan pada bilangan apa saja kecuali 1 (satu) dan 0 (nol). Di Babilonia misalnya ada bilangan 60. Jika bilangan besar dijadikan dasar sistem bilangan, maka pencatatan bilangan tersebut akan sangat singkat, tetapi pelaksanaan operasi aritmatika akan lebih sulit. sebaliknya, ambil angka 2 atau 3, maka operasi aritmatika dilakukan dengan sangat mudah, tetapi catatan itu sendiri akan menjadi rumit. Dimungkinkan untuk mengganti sistem desimal dengan yang lebih nyaman, tetapi transisi ke sana akan dikaitkan dengan kesulitan besar: pertama-tama, semua buku ilmiah harus dicetak ulang, semua instrumen dan mesin hitung akan dikerjakan ulang. Tidak mungkin penggantian seperti itu tepat.Sistem desimal telah menjadi akrab, dan karena itu nyaman.

Latihan untuk introspeksi diri

Serangkaian angka berurutan ditentukan

memudar secara bertahap. Peran utama dalam penciptaan ... angka dimainkan oleh ... penambahan. Selain itu, ... digunakan, serta perkalian.

algoritmik

operasi

pengurangan

tanda-tanda

hieroglif cuneiform abjad

Untuk menulis angka, orang yang berbeda menemukan yang berbeda .... Jadi, sebelum kita

hari, jenis catatan berikut telah tiba :,

Gerodianov, ..., Romawi, dll.

Dan saat ini orang terkadang menggunakan alfabet dan .., penomoran, Roma

paling sering ketika menunjukkan nomor urut.

Dalam masyarakat modern, kebanyakan orang menggunakan angka Arab (...)- Hindu

Penomoran tertulis (sistem) dibagi menjadi dua kelompok besar: posisi dan ... sistem bilangan. non-posisional

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

ARTIKEL TERKAIT