Pada bab sebelumnya, telah ditunjukkan bahwa, dengan memilih sistem koordinat tertentu pada bidang, kita dapat secara analitik menyatakan sifat geometris yang mencirikan titik-titik garis yang ditinjau dengan persamaan antara koordinat arus. Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan garis. Pada bab ini akan dibahas persamaan garis lurus.

Untuk merumuskan persamaan garis lurus dalam koordinat Cartesian, Anda perlu mengatur kondisi yang menentukan posisinya relatif terhadap sumbu koordinat.

Pertama, kami perkenalkan konsep kemiringan garis lurus, yang merupakan salah satu besaran yang mencirikan posisi garis lurus pada bidang.

Sebut saja sudut kemiringan garis ke sumbu Kerbau sebagai sudut di mana sumbu Kerbau harus diputar sehingga bertepatan dengan garis yang diberikan (atau ternyata sejajar dengannya). Seperti biasa, kami akan mempertimbangkan sudut dengan mempertimbangkan tanda (tanda ditentukan oleh arah rotasi: berlawanan arah jarum jam atau searah jarum jam). Karena rotasi tambahan sumbu Kerbau dengan sudut 180 ° akan menggabungkannya lagi dengan garis lurus, sudut kemiringan garis lurus ke sumbu dapat dipilih secara ambigu (hingga kelipatan ).

Garis singgung sudut ini ditentukan secara unik (karena mengubah sudut menjadi tidak mengubah garis singgungnya).

Garis singgung sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu x disebut kemiringan garis lurus.

Kemiringan mencirikan arah garis lurus (di sini kita tidak membedakan antara dua arah garis lurus yang saling berlawanan). Jika kemiringan garis adalah nol, maka garis tersebut sejajar dengan sumbu x. Dengan kemiringan positif, sudut kemiringan garis lurus ke sumbu Kerbau akan menjadi tajam (di sini kami mempertimbangkan nilai positif terkecil dari sudut kemiringan) (Gbr. 39); dalam hal ini, semakin besar kemiringannya, semakin besar sudut kemiringannya terhadap sumbu Kerbau. Jika kemiringannya negatif, maka sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu x akan menjadi tumpul (Gbr. 40). Perhatikan bahwa garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu x tidak memiliki kemiringan (garis singgung suatu sudut tidak ada).

Secara numerik sama dengan garis singgung sudut (merupakan rotasi terkecil dari sumbu Ox ke sumbu Oy) antara arah positif sumbu x dan garis lurus yang diberikan.

Garis singgung suatu sudut dapat dihitung sebagai rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. k selalu sama dengan , yaitu turunan dari persamaan garis lurus terhadap X.

Dengan nilai positif dari koefisien sudut k dan nilai nol dari koefisien pergeseran B baris akan terletak di kuadran pertama dan ketiga (di mana X Dan y baik positif maupun negatif). Pada saat yang sama, nilai koefisien sudut yang besar k garis lurus yang lebih curam akan sesuai, dan yang lebih kecil - yang lebih rata.

Garis dan tegak lurus jika , dan sejajar jika .

Catatan

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Lereng Garis" di kamus lain:

lereng (lurus)- — Topik kemiringan industri minyak dan gas bumi … Buku Panduan Penerjemah Teknis

- (matematis) angka k dalam persamaan garis lurus pada bidang y \u003d kx + b (lihat Geometri analitik), mencirikan kemiringan garis lurus relatif terhadap sumbu absis. Dalam sistem koordinat persegi panjang U. to.k \u003d tg φ, di mana φ adalah sudut antara ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Cabang geometri yang mempelajari objek geometri paling sederhana melalui aljabar dasar berdasarkan metode koordinat. Penciptaan geometri analitik biasanya dikaitkan dengan R. Descartes, yang menguraikan fondasinya di bab terakhir dari ... ... Ensiklopedia Collier

Pengukuran waktu reaksi (RT) mungkin merupakan subjek yang paling dihormati dalam psikologi empiris. Itu berasal dari bidang astronomi, pada tahun 1823, dengan pengukuran perbedaan individu dalam tingkat di mana sebuah bintang dianggap melintasi garis pandang teleskop. Ini … Ensiklopedia Psikologis

Cabang matematika yang memberikan metode untuk studi kuantitatif dari berbagai proses perubahan; berkaitan dengan studi tentang laju perubahan (kalkulus diferensial) dan penentuan panjang kurva, luas dan volume gambar yang dibatasi oleh kontur melengkung dan ... Ensiklopedia Collier

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Langsung (makna). Garis lurus adalah salah satu konsep dasar geometri, yaitu tidak memiliki definisi universal yang tepat. Dalam penyajian geometri yang sistematis, garis lurus biasanya dianggap sebagai satu ... ... Wikipedia

Representasi Garis Lurus Dalam Sistem Koordinat Persegi Panjang Garis lurus adalah salah satu konsep dasar geometri. Dalam penyajian geometri yang sistematis, garis lurus biasanya diambil sebagai salah satu konsep awal, yang hanya ditentukan secara tidak langsung ... ... Wikipedia

Representasi Garis Lurus Dalam Sistem Koordinat Persegi Panjang Garis lurus adalah salah satu konsep dasar geometri. Dalam penyajian geometri yang sistematis, garis lurus biasanya diambil sebagai salah satu konsep awal, yang hanya ditentukan secara tidak langsung ... ... Wikipedia

Jangan bingung dengan istilah "Ellipsis". Elips dan fokusnya Ellipse (kerugian ἔλλειψις Yunani lainnya, dalam arti kurangnya eksentrisitas hingga 1) lokus titik M bidang Euclidean, yang jumlah jaraknya dari dua titik tertentu F1 ... ... Wikipedia

Belajar mengambil turunan dari fungsi. Derivatif mencirikan laju perubahan suatu fungsi pada titik tertentu yang terletak pada grafik fungsi ini. Dalam hal ini, grafik dapat berupa garis lurus atau garis lengkung. Artinya, turunan mencirikan laju perubahan fungsi pada titik waktu tertentu. Ingat aturan umum pengambilan turunan, dan baru kemudian lanjutkan ke langkah berikutnya.

• Baca artikel.
• Cara mengambil turunan yang paling sederhana, misalnya turunan dari persamaan eksponensial, dijelaskan. Perhitungan yang disajikan dalam langkah-langkah berikut akan didasarkan pada metode yang dijelaskan di sana.

Belajar membedakan antara soal-soal yang kemiringannya perlu dihitung dalam bentuk turunan dari suatu fungsi. Dalam tugas, tidak selalu disarankan untuk menemukan kemiringan atau turunan dari suatu fungsi. Misalnya, Anda mungkin diminta untuk mencari laju perubahan fungsi di titik A(x, y). Anda juga mungkin diminta mencari gradien garis singgung di titik A(x, y). Dalam kedua kasus, perlu untuk mengambil turunan dari fungsi tersebut.

Ambil turunan dari fungsi yang diberikan. Anda tidak perlu membuat grafik di sini - Anda hanya perlu persamaan fungsinya. Dalam contoh kita, ambil turunan dari fungsi tersebut f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Ambil turunan sesuai dengan metode yang diuraikan dalam artikel yang disebutkan di atas:

Gantikan koordinat titik yang diberikan kepada Anda ke dalam turunan yang ditemukan untuk menghitung kemiringan. Turunan dari fungsi sama dengan kemiringan pada titik tertentu. Dengan kata lain, f "(x) adalah kemiringan fungsi di titik mana pun (x, f (x)). Dalam contoh kita:

Misalkan pada bidang yang terdapat sistem koordinat Cartesian berbentuk persegi panjang, berupa garis lurus l melewati titik M 0 sejajar dengan vektor arah A (Gbr. 96).

Jika lurus l melintasi sumbu O X(pada titik N), lalu pada sudut garis lurus l dengan sumbu O X kita akan memahami sudut α yang diperlukan untuk memutar sumbu O X mengelilingi titik N dengan arah berlawanan dengan putaran jarum jam, sehingga sumbu O X bertepatan dengan garis l. (Hal ini mengacu pada sudut kurang dari 180°.)

Sudut ini disebut sudut kemiringan lurus. Jika lurus l sejajar dengan sumbu O X, maka sudut kemiringan diasumsikan nol (Gbr. 97).

Garis singgung kemiringan garis lurus disebut kemiringan garis lurus dan biasanya dilambangkan dengan huruf k:

tgα = k. (1)

Jika α = 0, maka k= 0; ini berarti bahwa garis sejajar dengan sumbu o X dan kemiringannya nol.

Jika α = 90°, maka k= tg α tidak masuk akal: ini berarti garis tegak lurus terhadap sumbu O X(yaitu sejajar dengan sumbu O pada), tidak memiliki kemiringan.

Kemiringan garis lurus dapat dihitung jika koordinat dari dua titik mana pun dari garis lurus ini diketahui. Biarkan dua titik garis lurus diberikan: M 1 ( X 1 ; pada 1) dan M2 ( X 2 ; pada 2) dan biarkan, misalnya, 0< α < 90°, а X 2 > X 1 , pada 2 > pada 1 (Gbr. 98).

Kemudian dari segitiga siku-siku M 1 RM 2 kita temukan

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Demikian pula, kami membuktikan bahwa rumus (2) juga benar dalam kasus 90°< α < 180°.

Rumus (2) kehilangan artinya jika X 2 - X 1 = 0, yaitu jika garis l sejajar dengan sumbu O pada. Untuk garis seperti itu, kemiringannya tidak ada.

Tugas 1. Tentukan kemiringan prima yang melewati titik-titik tersebut

M 1 (3; -5) dan M 2 (5; -7).

Mengganti koordinat titik M 1 dan M 2 ke dalam rumus (2), kita peroleh

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3) \) atau k = -1

Tugas 2. Tentukan kemiringan garis lurus yang melewati titik M 1 (3; 5) dan M 2 (3; -2).

Karena X 2 - X 1 = 0, maka persamaan (2) kehilangan artinya. Untuk kemiringan langsung ini tidak ada. Garis lurus M 1 M 2 sejajar dengan sumbu O pada.

Tugas 3. Tentukan kemiringan garis lurus yang melewati titik asal dan titik M 1 (3; -5)

Dalam hal ini, titik M 2 bertepatan dengan titik asal. Menerapkan rumus (2), kami memperoleh

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Susunlah persamaan garis lurus dengan kemiringan k melewati titik

M 1 ( X 1 ; pada 1). Menurut rumus (2), kemiringan garis lurus dicari dari koordinat kedua titiknya. Dalam kasus kami, titik M 1 diberikan, dan sebagai titik kedua, Anda dapat mengambil titik mana saja M( X; pada) dari baris yang diinginkan.

Jika titik M terletak pada garis lurus yang melalui titik M 1 dan memiliki kemiringan k, maka dengan rumus (2) kita punya

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Jika titik M tidak terletak pada garis, persamaan (3) tidak berlaku. Jadi, persamaan (3) adalah persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 ( X 1 ; pada 1) dengan kemiringan k; persamaan ini biasanya ditulis sebagai

y- y 1 = k(X - X 1). (4)

Jika garis memotong sumbu O pada di beberapa titik (0; B), maka persamaan (4) berbentuk

pada - B = k (X- 0),

y = kx + b. (5)

Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan k dan ordinat awal b.

Tugas 4. Tentukan sudut kemiringan garis lurus √3 x + 3pada - 7 = 0.

Kami membawa persamaan ini ke formulir

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Karena itu, k= tg α = - 1 / √ 3 , dimana α = 150°

Tugas 5. Susunlah persamaan garis lurus yang melalui titik P (3; -4), dengan kemiringan k = 2 / 5

Mengganti k = 2 / 5 , X 1 = 3, y 1 = - 4 dalam persamaan (4), kita dapatkan

pada - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) atau 2 X - 5pada - 26 = 0.

Tugas 6. Susunlah persamaan garis lurus yang melalui titik Q (-3; 4) dan komponen yang arah sumbu O-nya positif X sudut 30°.

Jika α = 30°, maka k= tan 30° = √ 3 / 3 . Substitusikan ke persamaan (4) nilai-nilainya X 1 , y 1 dan k, kita mendapatkan

pada -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) atau √3 X-3y + 12 + 3√3 = 0.

Topik “Koefisien sudut garis singgung sebagai garis singgung sudut kemiringan” pada ujian sertifikasi diberikan beberapa tugas sekaligus. Bergantung pada kondisinya, lulusan mungkin diminta untuk memberikan jawaban lengkap dan jawaban singkat. Saat mempersiapkan ujian matematika, siswa harus mengulang tugas yang mengharuskan menghitung kemiringan garis singgung.

Portal pendidikan Shkolkovo akan membantu Anda melakukan ini. Pakar kami telah menyiapkan dan menyajikan materi teoretis dan praktis semudah mungkin. Setelah mengenalnya, lulusan dengan tingkat pelatihan apa pun akan berhasil memecahkan masalah yang berkaitan dengan turunan, di mana diperlukan untuk menemukan garis singgung dari kemiringan garis singgung.

Momen dasar

Untuk menemukan solusi yang benar dan rasional untuk tugas-tugas tersebut dalam USE, perlu diingat definisi dasar: turunannya adalah laju perubahan fungsi; itu sama dengan garis singgung kemiringan garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi pada titik tertentu. Sama pentingnya untuk menyelesaikan gambar. Ini akan memungkinkan Anda untuk menemukan solusi yang tepat untuk masalah USE pada turunan, di mana diperlukan untuk menghitung garis singgung dari kemiringan garis singgung. Untuk kejelasan, yang terbaik adalah memplot grafik pada bidang OXY.

Jika Anda sudah membiasakan diri dengan materi dasar pada topik turunan dan siap untuk mulai memecahkan masalah menghitung garis singgung kemiringan garis singgung, mirip dengan tugas USE, Anda dapat melakukannya secara online. Untuk setiap tugas, misalnya tugas dengan topik "Hubungan turunan dengan kecepatan dan percepatan benda", kami menuliskan jawaban yang benar dan algoritme penyelesaiannya. Dalam hal ini, siswa dapat berlatih melakukan tugas dari berbagai tingkat kerumitan. Jika perlu, latihan dapat disimpan di bagian "Favorit", sehingga nanti Anda dapat mendiskusikan keputusan tersebut dengan guru.