"Prisma tubuh geometris" - paralelepiped persegi panjang. Empat persegi panjang. Bagian diagonal. Teori Pitagoras. Jumlah daerah. Sudut. dasar prisma. Apa nama prisma yang ditunjukkan pada gambar. Pertarungan matematika. Keputusan. Prisma. Apa itu prisma lurus. Pengetahuan yang diterima. Diagonal prisma segitiga beraturan.
"Gambar prisma" - Definisi prisma. Prisma miring dan lurus. Mari kita buktikan dulu teorema prisma segitiga. Jenis prisma. Volume prisma miring. Prisma. Luas permukaan lateral prisma. Total luas permukaan prisma. Mari kita buktikan teorema untuk prisma sembarang. prisma yang benar.
"Volume prisma" - Area S dari dasar prisma asli. Solusi dari masalah. tujuan pelajaran. Volume prisma asli sama dengan hasil kali S · h. Volume prisma lurus. Prisma dapat dibagi menjadi prisma segitiga lurus dengan tinggi h. Konsep prisma. Gambarlah tinggi segitiga ABC. pertanyaan. Mempelajari teorema volume prisma. Langkah-langkah dasar dalam membuktikan teorema prisma langsung?
"Konsep prisma" - Luas total permukaan prisma. prisma langsung. Luas permukaan lateral prisma. Poligon. bagian prisma. prisma yang benar. Prisma ditemui dalam kehidupan. prisma segitiga. Bukti. Volume prisma miring. Pengertian prisma. Prisma miring dan lurus. Jenis prisma. Prisma.
"Sifat prisma" - Apakah ada prisma miring di mana bola dapat ditulisi. sifat prisma. Kondisi yang dirumuskan untuk prisma lurus. Silinder. Prisma. Penampang silinder. Rumus tiga kosinus. Basis. prisma segitiga. Teorema sinus untuk sudut trihedral. Ujung prisma segitiga. Di sekitar jenis prisma mana Anda selalu dapat menggambarkan sebuah bola.
"Konsep polihedron prisma" - Jajaran genjang terbentuk di bagian tersebut. Konsekuensi. sifat prisma. Istilah "prisma" berasal dari bahasa Yunani dan secara harfiah berarti "digergaji" (tubuh). Luas permukaan prisma dan luas permukaan lateral prisma. Bagian seperti itu disebut bagian diagonal prisma. Diketahui: Sisi alas prisma segitiga beraturan adalah 8 cm, sisi sisinya adalah 6 cm.
"Volume tubuh" - (x). F(x1). Volume prisma miring, limas dan kerucut. (хi). F(x2). axbx. Ketika a = x dan b = x, suatu titik dapat mengalami degenerasi menjadi suatu bagian, misalnya pada x = a.
"Ruang lingkup konsep" - 1. Luas permukaan total kubus adalah 6 m2. Atau volume paralelepiped persegi panjang sama dengan produk dari luas alas dan tingginya. Volume silinder sama dengan produk dari luas alas dan tinggi. Selama pelajaran, pekerjaan tes yang dibedakan dilakukan dengan menggunakan tes. Volume benda geometris.
"Volume" - Latihan 7. Latihan 8 *. Rusuk samping sama dengan 3 dan membentuk sudut 45o dengan bidang alas. Volume prisma miring adalah 3. Wajah paralelepiped adalah belah ketupat dengan sisi 1 dan sudut lancip 60°. Volume prisma miring 1. Jawaban: Sebuah bidang yang melalui pusat-pusat simetri tulang rusuk sejajar. Prinsip Cavalieri.
"Volume tubuh" - Volume piramida sama dengan sepertiga dari produk alas dan tingginya. Volume piramida. Volume silinder. 2010 j. V=1/3S*j. Volume badan serupa. V=a*b*c. Volume prisma lurus. Volume telepon Konsekuensi. Volume prisma miring. Volume prisma miring sama dengan produk luas alas dan tinggi. Volume silinder sama dengan produk dari luas alas dan tinggi.
TEKS PENJELASAN PELAJARAN:
Hari ini kita akan menurunkan rumus volume prisma miring menggunakan integral.
Ingat apa itu prisma dan prisma jenis apa yang disebut miring?
PRISM adalah polihedron yang dua wajah (alas) adalah poligon yang sama terletak di bidang paralel, dan wajah (sisi) lainnya adalah jajaran genjang.
Jika tepi sisi prisma tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka prisma itu lurus, jika tidak prisma disebut miring.
Volume prisma miring sama dengan produk luas alas dan tinggi.
1) Pertimbangkan prisma miring segitiga VSEB2C2E2. Volume prisma ini adalah V, luas alasnya adalah S, dan tingginya adalah h.
Mari kita gunakan rumus: volume sama dengan integral dari 0 hingga h S dari x de x.
V= , dimana adalah luas penampang yang tegak lurus sumbu Ox. Kami memilih sumbu Ox, dan titik O adalah titik asal koordinat dan terletak di bidang ALL (dasar bawah prisma miring). Arah sumbu Ox tegak lurus terhadap bidang ALL. Kemudian sumbu Ox memotong bidang di titik h, dan kita menggambar bidang E1 sejajar dengan alas prisma miring dan tegak lurus terhadap sumbu Ox. Karena bidang-bidang itu sejajar dan sisi-sisinya jajar genjang, maka BE=, CE=C1E1=C2E2; BC=B1C1=B2C2
Maka segitiga ALL = E2 sama besar pada ketiga sisinya. Jika segitiga-segitiga itu kongruen, maka luasnya sama. Luas bagian sembarang S (x) sama dengan luas alas Son.
PADA kasus ini luas dasar tetap. Kami mengambil 0 dan h sebagai batas integrasi. Kita mendapatkan rumus: volume sama dengan integral dari 0 ke h S dari x de x atau integral dari 0 ke h luas alas dari x de x, luas alas adalah konstanta (nilai konstan), kita dapat keluarkan dari tanda integral dan ternyata integral dari 0 ke h de x sama dengan abu dikurangi 0:
Ternyata volume prisma miring sama dengan produk luas alas dan tingginya.
2) Mari kita buktikan rumus ini untuk prisma miring n-gonal sewenang-wenang. Untuk membuktikannya, mari kita ambil prisma miring segi lima. Mari kita bagi prisma miring menjadi beberapa prisma segitiga, dalam hal ini menjadi tiga (seperti dalam pembuktian teorema volume prisma lurus). Mari kita nyatakan volume prisma miring sebagai V. Maka volume prisma miring akan terdiri dari jumlah volume tiga prisma segitiga (sesuai dengan sifat volume).
V \u003d V1 + V2 + V3, dan kami mencari volume prisma segitiga dengan rumus: volume prisma miring sama dengan produk luas alas dan tinggi.
Ini berarti bahwa volume prisma miring sama dengan jumlah produk dari luas alas dan tinggi, kami menempatkan tinggi h dari tanda kurung (karena itu sama untuk tiga prisma) dan kami mendapatkan:
Teorema telah terbukti.
Panjang rusuk prisma miring adalah 4 cm, membentuk sudut 30° dengan bidang alas. Sisi segitiga yang terletak di alas adalah 12, 12, dan 14 cm. Hitung volume prisma miring tersebut.
Diketahui: - prisma miring,
AB = 12 cm, BC = 12 cm, AC = 14 cm, B = 4 cm, BK = 30°.
Temukan: V - ?
Konstruksi tambahan: Dalam prisma miring, kami menggambar ketinggian H.
Kita tahu bahwa volume prisma miring sama dengan produk luas alas dan tinggi.
Segitiga sewenang-wenang terletak di dasar prisma miring, yang semua sisinya diketahui, yang berarti bahwa kita menerapkan rumus Heron: luas segitiga sama dengan akar kuadrat dari produk pe kali selisih pe dan a, selisih pe dan be, selisih pe dan ce, di mana pe adalah segitiga semiperimeter, yang kita cari dengan rumus: setengah jumlah semua sisi a, b dan c:
pertimbangkan setengah keliling:
Substitusikan nilai setengah keliling ke dalam rumus luas alas, sederhanakan dan dapatkan jawabannya: tujuh akar dari 95.
Pertimbangkan B H. Ini adalah persegi panjang, karena H adalah tinggi prisma miring. Dari definisi sinus, kaki sama dengan produk dari sisi miring dan sinus dari sudut yang berlawanan
nilai sinus 30 ° sama dengan satu detik, yang berarti
Kami belajar itu
Dan tinggi H - tinggi prisma miring - sama dengan 2.
Jadi, volumenya adalah
Kemampuan untuk menentukan volume bangun ruang penting untuk memecahkan masalah geometris dan praktis. Salah satunya adalah prisma. Mari kita pertimbangkan dalam artikel apa itu, dan tunjukkan cara menghitung volume prisma miring.
Apa yang dimaksud dengan prisma dalam geometri?
Kita berbicara tentang polihedron biasa (polihedron), yang dibentuk oleh dua pangkalan identik yang terletak di bidang paralel, dan beberapa jajaran genjang yang menghubungkan pangkalan yang ditandai.
Alas prisma dapat berupa poligon sembarang, seperti segitiga, segiempat, segi enam, dan sebagainya. Selain itu, jumlah sudut (sisi) poligon menentukan nama gambar.
Setiap prisma dengan alas n-gon (n adalah jumlah sisi) terdiri dari n+2 sisi, 2 × n titik, dan 3 × n sisi. Dari angka-angka yang diberikan dapat dilihat bahwa jumlah elemen prisma sesuai dengan teorema Euler:
3 x n = 2 x n + n + 2 - 2
Gambar di bawah menunjukkan seperti apa bentuk prisma segitiga dan segi empat yang terbuat dari kaca.
Jenis figur. prisma miring
Telah dikatakan di atas bahwa nama prisma ditentukan oleh jumlah sisi poligon di alasnya. Namun, ada fitur lain dalam strukturnya yang menentukan sifat-sifat gambar. Jadi, jika semua jajaran genjang yang membentuk permukaan lateral prisma diwakili oleh persegi panjang atau bujur sangkar, maka gambar seperti itu disebut garis lurus. Untuk jarak antara alasnya sama dengan panjang sisi sisi persegi panjang apa pun.
Jika beberapa atau semua sisinya adalah jajaran genjang, maka kita berbicara tentang prisma miring. Tingginya sudah kurang dari panjang rusuk samping.
Kriteria lain yang digunakan untuk mengklasifikasikan bangun-bangun yang sedang dipertimbangkan adalah panjang sisi-sisinya dan sudut-sudut poligon pada alasnya. Jika mereka sama satu sama lain, maka poligon akan benar. Sosok lurus dengan poligon beraturan di alasnya disebut beraturan. Lebih mudah untuk bekerja dengannya saat menentukan luas permukaan dan volume. Prisma miring dalam hal ini menghadirkan beberapa kesulitan.
Gambar di bawah menunjukkan dua buah prisma yang alasnya berbentuk segi empat. Sudut 90° menunjukkan perbedaan mendasar antara prisma lurus dan miring.
Rumus untuk menentukan volume suatu bangun
Bagian ruang yang dibatasi oleh tepi prisma disebut volumenya. Untuk angka yang dipertimbangkan dari jenis apa pun, nilai ini dapat ditentukan dengan rumus berikut:
Di sini, simbol h menunjukkan ketinggian prisma, yang merupakan ukuran jarak antara dua alas. Simbol S o - satu area dasar.
Area dasar mudah ditemukan. Mengingat fakta apakah poligon beraturan atau tidak, dan juga mengetahui jumlah sisinya, Anda harus menerapkan rumus yang sesuai dan mendapatkan S o . Misalnya, untuk n-gon beraturan dengan panjang sisi a, luasnya adalah:
S n \u003d n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)
Sekarang mari kita beralih ke ketinggian h. Untuk prisma lurus, menentukan tingginya tidak sulit, tetapi untuk prisma miring, ini bukan tugas yang mudah. Ini dapat diselesaikan dengan berbagai metode geometris, mulai dari kondisi awal tertentu. Namun, ada cara universal untuk menentukan ketinggian sosok. Mari kita uraikan secara singkat.
Idenya adalah untuk menemukan jarak dari suatu titik di ruang angkasa ke pesawat. Misalkan pesawat diberikan oleh persamaan:
A × x + B × y + C × z + D = 0
Maka dari titik dengan koordinat (x 1; y 1; z 1) pesawat akan berada pada jarak:
h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / (A 2 + B 2 + C 2)
Jika sumbu-sumbu koordinat disusun sedemikian rupa sehingga titik (0; 0; 0) terletak pada bidang alas bawah prisma, maka persamaan bidang alas dapat ditulis sebagai berikut:
Ini berarti bahwa rumus untuk tinggi akan ditulis seperti ini:
Cukup dengan menemukan koordinat z dari setiap titik di alas atas untuk menentukan ketinggian gambar.
Contoh solusi masalah
Pada gambar di bawah, alas sebuah prisma miring adalah persegi dengan panjang sisi 10 cm, maka perlu dihitung volumenya jika diketahui panjang sisi sisinya adalah 15 cm, dan sudut lancip sisi depan jajaran genjang adalah 70 °.
Karena tinggi h dari gambar juga merupakan tinggi jajar genjang, kami menggunakan rumus untuk menentukan luasnya untuk menemukan h. Kami menunjukkan sisi jajar genjang sebagai berikut:
Kemudian kita dapat menulis rumus berikut untuk menentukan luas S p:
S p \u003d a × b × sin (α);
Di mana kita mendapatkan:
Di sini adalah sudut lancip dari jajaran genjang. Karena alasnya persegi, rumus volume prisma miring akan berbentuk:
V = a 2 × b × sin(α)
Kami mengganti data dari kondisi ke dalam rumus dan mendapatkan jawabannya: V 1410 cm 3.
Volume adalah karakteristik dari setiap gambar yang memiliki dimensi bukan nol di ketiga dimensi ruang. Pada artikel ini, dari sudut pandang stereometri (geometri gambar spasial), kami akan mempertimbangkan prisma dan menunjukkan bagaimana menemukan volume prisma dari berbagai jenis.
Stereometri memiliki jawaban yang tepat untuk pertanyaan ini. Prisma di dalamnya dipahami sebagai sosok yang dibentuk oleh dua wajah poligonal yang identik dan beberapa jajaran genjang. Gambar di bawah menunjukkan empat prisma yang berbeda.
Masing-masing dapat diperoleh sebagai berikut: Anda perlu mengambil poligon (segitiga, segi empat, dan sebagainya) dan segmen dengan panjang tertentu. Kemudian setiap simpul poligon harus ditransfer menggunakan segmen paralel ke bidang lain. Di bidang baru, yang akan sejajar dengan yang asli, poligon baru akan diperoleh, mirip dengan yang dipilih pada awalnya.
Prisma dapat dari berbagai jenis. Jadi, mereka bisa lurus, miring dan benar. Jika tepi lateral prisma (segmen yang menghubungkan bagian atas alas) tegak lurus dengan alas gambar, maka yang terakhir adalah garis lurus. Dengan demikian, jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka kita berbicara tentang prisma miring. Bangun beraturan adalah prisma siku-siku dengan alas sama sisi dan alas sama sisi.
Volume prisma beraturan
Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana. Kami memberikan rumus untuk volume prisma beraturan dengan alas n-gonal. Rumus volume V untuk setiap bangun ruang kelas yang ditinjau memiliki bentuk sebagai berikut:
Artinya, untuk menentukan volume, cukup menghitung luas salah satu alas S o dan mengalikannya dengan tinggi h gambar.
Dalam kasus prisma biasa, kami menyatakan panjang sisi alasnya dengan huruf a, dan tinggi, yang sama dengan panjang sisi samping, dengan huruf h. Jika alas n-gon benar, maka cara termudah untuk menghitung luasnya adalah dengan menggunakan rumus universal berikut:
S n \u003d n / 4 * a2 * ctg (pi / n).
Dengan mensubstitusi nilai jumlah sisi n dan panjang salah satu sisi a dengan persamaan, Anda dapat menghitung luas alas n-batubara. Perhatikan bahwa fungsi kotangen di sini dihitung untuk sudut pi/n, yang dinyatakan dalam radian.
Dengan mempertimbangkan persamaan yang ditulis untuk S n, kita memperoleh rumus akhir untuk volume prisma beraturan:
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Untuk setiap kasus tertentu, seseorang dapat menuliskan rumus yang sesuai untuk V, tetapi semuanya mengikuti dengan jelas dari ekspresi umum yang tertulis. Misalnya, untuk prisma segi empat biasa, yang dalam kasus umum adalah paralelepiped persegi panjang, kita mendapatkan:
V 4 \u003d 4/4 * a2 * h * ctg (pi / 4) \u003d a2 * h.
Jika kita mengambil h=a dalam ekspresi ini, maka kita mendapatkan rumus untuk volume kubus.
Volume prisma lurus
Kami segera mencatat bahwa untuk angka lurus tidak ada rumus umum untuk menghitung volume, yang diberikan di atas untuk prisma biasa. Saat menemukan kuantitas yang dipertimbangkan, ekspresi asli harus digunakan:
Di sini h adalah panjang tepi samping, seperti pada kasus sebelumnya. Adapun luas dasar S o , dapat mengambil berbagai nilai. Tugas menghitung volume prisma lurus direduksi menjadi menemukan luas alasnya.
Perhitungan nilai S o harus dilakukan berdasarkan karakteristik basa itu sendiri. Misalnya, jika itu adalah segitiga, maka luasnya dapat dihitung sebagai berikut:
Di sini h a adalah apotema segitiga, yaitu tingginya diturunkan ke alas a.
Jika alasnya adalah segi empat, maka itu bisa berupa trapesium, jajaran genjang, persegi panjang, atau tipe yang sepenuhnya arbitrer. Untuk semua kasus ini, Anda harus menggunakan rumus planimetri yang sesuai untuk menentukan luas. Misalnya, untuk trapesium, rumus ini terlihat seperti:
S o4 \u003d 1/2 * (a 1 + a 2) * h a .
Dimana h a adalah tinggi trapesium, a 1 dan a 2 adalah panjang sisi sejajarnya.
Untuk menentukan luas poligon dengan urutan yang lebih tinggi, seseorang harus memecahnya menjadi angka-angka sederhana (segitiga, segi empat) dan menghitung jumlah luas yang terakhir.
Volume prisma miring
Ini adalah kasus yang paling sulit untuk menghitung volume prisma. Rumus umum untuk angka-angka tersebut juga berlaku:
Namun, pada kerumitan menemukan luas alas yang mewakili jenis poligon yang berubah-ubah, masalah menentukan ketinggian gambar ditambahkan. Dalam prisma miring, panjangnya selalu lebih kecil dari panjang sisinya.
Cara termudah untuk menemukan ketinggian ini adalah jika Anda mengetahui sudut mana pun dari bangun tersebut (datar atau dihedral). Jika sudut tersebut diberikan, maka salah satu harus menggunakannya untuk membangun sebuah segitiga siku-siku di dalam prisma, yang akan berisi tinggi h sebagai salah satu sisi dan, menggunakan fungsi trigonometri dan teorema Pythagoras, menemukan nilai h.
Masalah volume geometris
Diketahui sebuah prisma beraturan dengan alas segitiga memiliki tinggi 14 cm dan panjang sisi 5 cm. Berapa volume prisma segitiga?
Karena kita berbicara tentang angka yang benar, kita memiliki hak untuk menggunakan rumus yang terkenal. Kita punya:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = 3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Prisma segitiga adalah sosok yang cukup simetris, dalam bentuk yang sering menampilkan berbagai struktur arsitektur. Prisma kaca ini digunakan dalam optik.
