Petunjuk

Gunakan pi untuk mencari jari-jari dari luas lingkaran yang diketahui. Konstanta ini menentukan proporsi antara diameter lingkaran dan panjang batasnya (lingkaran). Keliling lingkaran adalah luas maksimum bidang yang dapat ditutup dengan bantuannya, dan diameternya sama dengan dua jari-jari, oleh karena itu, luas dengan jari-jari juga berkorelasi satu sama lain dengan proporsi yang dapat dinyatakan dalam Pi. Konstanta ini (π) didefinisikan sebagai luas (S) dan jari-jari kuadrat (r) lingkaran. Dari sini dapat disimpulkan bahwa jari-jari dapat dinyatakan sebagai akar kuadrat dari hasil bagi pembagian luas dengan bilangan Pi: ​​r=√(S/π).

Untuk waktu yang lama, Erastofen mengepalai Perpustakaan Alexandria, perpustakaan paling terkenal di dunia kuno. Selain fakta bahwa dia menghitung ukuran planet kita, dia membuat sejumlah penemuan dan penemuan penting. Menemukan metode sederhana untuk menentukan bilangan prima, sekarang disebut "ayakan Erastothenes".

Dia menggambar "peta dunia", di mana dia menunjukkan semua bagian dunia yang dikenal pada waktu itu oleh orang Yunani kuno. Peta itu dianggap salah satu yang terbaik pada masanya. Dia mengembangkan sistem bujur dan lintang dan kalender yang mencakup tahun kabisat. Menemukan bola armillary, perangkat mekanis yang digunakan oleh para astronom awal untuk menunjukkan dan memprediksi pergerakan bintang di langit. Dia juga menyusun katalog bintang, yang mencakup 675 bintang.

Sumber:

• Ilmuwan Yunani Eratosthenes dari Kirene untuk pertama kalinya di dunia menghitung jari-jari Bumi
• Eratosthenes "Perhitungan Keliling Bumi"
• Eratostenes

• Panjang diameter - segmen yang melewati pusat lingkaran dan menghubungkan dua titik yang berlawanan dari lingkaran, atau jari-jari - segmen, salah satu titik ekstremnya terletak di pusat lingkaran, dan yang kedua - pada busur lingkaran. Jadi, diameter sama dengan panjang jari-jari dikalikan dua.
• Nilai bilangan . Nilai ini adalah konstanta - pecahan irasional yang tidak memiliki akhir. Namun, itu tidak berkala. Angka ini menyatakan rasio lingkar ke radiusnya. Untuk menghitung luas lingkaran dalam tugas kursus sekolah, nilai digunakan, diberikan ke perseratus terdekat - 3,14.

Rumus untuk mencari luas lingkaran, segmen atau sektornya

Bergantung pada spesifikasi kondisi masalah geometrik, dua rumus mencari luas lingkaran :

Untuk menentukan cara menemukan luas lingkaran dengan cara termudah, Anda perlu menganalisis kondisi tugas dengan cermat.

Kursus geometri sekolah juga mencakup tugas untuk menghitung luas segmen atau sektor yang menggunakan rumus khusus:

1. Sektor adalah bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh lingkaran dan sudut dengan titik sudut terletak di tengah. Luas sektor dihitung dengan rumus: S = (π*r 2 /360)*А;
   • r adalah jari-jari;
   • A adalah sudut dalam derajat.
   • r adalah jari-jari;
   • p adalah panjang busur.

Ada juga opsi kedua S = 0,5 * p * r;

2. Segmen - adalah bagian yang dibatasi oleh bagian lingkaran (chord) dan lingkaran. Luasnya dapat ditemukan dengan rumus S \u003d (π * r 2 / 360) * A ± S ;

• r adalah jari-jari;
• A adalah nilai sudut dalam derajat;
• S adalah luas segitiga, sisi-sisinya adalah jari-jari dan tali busur lingkaran; selain itu, salah satu simpulnya terletak di tengah lingkaran, dan dua lainnya terletak di titik kontak busur lingkaran dengan tali busur. Poin penting adalah bahwa tanda minus ditempatkan jika nilai A kurang dari 180 derajat, dan tanda plus ditempatkan jika lebih dari 180 derajat.

Untuk menyederhanakan solusi dari masalah geometri, seseorang dapat menghitung area lingkaran online. Program khusus akan dengan cepat dan akurat membuat perhitungan dalam beberapa detik. Bagaimana cara menghitung luas angka secara online? Untuk melakukan ini, Anda harus memasukkan data awal yang diketahui: radius, diameter, sudut.

Lingkaran adalah kumpulan banyak titik yang terlihat pada jarak yang sama dari pusat. Untuk mencari luasnya, Anda perlu mengetahui jari-jari, diameter, bilangan dan kelilingnya.

Besaran yang terlibat dalam menghitung luas lingkaran

Jarak yang dibatasi oleh titik pusat lingkaran dan salah satu titik lingkaran disebut jari-jari bangun geometri ini. Panjang semua jari-jari satu lingkaran adalah sama. Ruas garis antara 2 titik pada lingkaran yang melalui titik pusat disebut diameter. Panjang diameter sama dengan panjang jari-jari dikalikan 2.

Untuk menghitung luas lingkaran digunakan nilai bilangan . Nilai ini sama dengan rasio keliling dengan panjang diameter lingkaran dan memiliki nilai konstan. = 3.1415926. Keliling dihitung dengan menggunakan rumus L=2πR.

Temukan luas lingkaran menggunakan jari-jari

Oleh karena itu, luas lingkaran sama dengan hasil kali bilangan dan jari-jari lingkaran dipangkatkan ke-2. Misal panjang jari-jari lingkaran sama dengan 5 cm, maka luas lingkaran S akan sama dengan 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 meter persegi. cm.

Luas lingkaran dalam hal diameter

Luas lingkaran juga dapat dihitung dengan mengetahui diameter lingkaran. Dalam hal ini, S = (π/4)*d^2, di mana d adalah diameter lingkaran. Kita ambil contoh yang sama di mana jari-jarinya 5 cm, maka diameternya adalah 5*2=10 cm. Luas lingkaran adalah S=3.14/4*10^2=78.5 sq.cm. Hasilnya, yang sama dengan total perhitungan pada contoh pertama, menegaskan kebenaran perhitungan dalam kedua kasus.

Luas lingkaran dalam hal keliling

Jika jari-jari lingkaran dilambangkan melalui keliling, maka rumusnya akan terlihat seperti ini: R=(L/2)π. Substitusikan ekspresi ini ke dalam rumus luas lingkaran dan sebagai hasilnya kita mendapatkan S=(L^2)/4π. Perhatikan contoh keliling 10 cm, maka luas lingkaran adalah S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 meter persegi. cm.

Luas lingkaran dalam hal panjang sisi persegi bertulisan

Jika sebuah persegi ditulis dalam sebuah lingkaran, maka panjang diameter lingkaran sama dengan panjang diagonal persegi tersebut. Mengetahui ukuran sisi persegi, Anda dapat dengan mudah menemukan diameter lingkaran dengan rumus: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Dengan kata lain, diameter pangkat 2 sama dengan sisi persegi pangkat 2 kali 2.

Setelah menghitung nilai panjang diameter lingkaran, Anda juga dapat mengetahui jari-jarinya, dan kemudian menggunakan salah satu rumus untuk menentukan luas lingkaran.

Luas sektor lingkaran

Sektor adalah bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh 2 jari-jari dan busur di antara mereka. Untuk mengetahui luasnya, Anda perlu mengukur sudut sektor. Setelah itu, perlu untuk membuat pecahan, di pembilangnya akan ada nilai sudut sektor, dan di penyebut - 360. Untuk menghitung luas sektor, nilainya diperoleh sebagai hasil pembagian pecahan harus dikalikan dengan luas lingkaran yang dihitung menggunakan salah satu rumus di atas.

Bagaimana cara mencari luas lingkaran? Cari radiusnya dulu. Belajar memecahkan masalah sederhana dan kompleks.

Lingkaran adalah kurva tertutup. Setiap titik pada garis lingkaran akan memiliki jarak yang sama dari titik pusat. Lingkaran adalah bangun datar, jadi menyelesaikan masalah dengan mencari luas itu mudah. Pada artikel ini, kita akan melihat cara mencari luas lingkaran yang terdapat pada segitiga, trapesium, persegi, dan dijelaskan di sekitar angka-angka ini.

Untuk mencari luas bangun tertentu, Anda perlu mengetahui jari-jari, diameter, dan bilangan .

Radius R adalah jarak yang dibatasi oleh pusat lingkaran. Panjang semua jari-jari R dari satu lingkaran akan sama.

Diameter D adalah garis antara dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat. Panjang segmen ini sama dengan panjang R-radius dikali 2.

Nomor adalah nilai konstan, yaitu sebesar 3,1415926. Dalam matematika, angka ini biasanya dibulatkan menjadi 3,14.

Rumus untuk mencari luas lingkaran menggunakan jari-jari:

Contoh penyelesaian tugas untuk menemukan luas S lingkaran melalui jari-jari R:

Tugas: Hitunglah luas lingkaran jika jari-jarinya 7 cm.

Keputusan: S=πR², S=3.14*7², S=3.14*49=153.86 cm².

Menjawab: Luas lingkaran adalah 153,86 cm².

Rumus untuk mencari luas S dari lingkaran dalam hal diameter D adalah:

Contoh tugas penyelesaian untuk menemukan S, jika D diketahui:

————————————————————————————————————————-

Tugas: Tentukan S lingkaran jika D nya 10 cm.

Keputusan: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 cm².

Menjawab: Luas bangun datar bulat adalah 78,5 cm².

Menemukan lingkaran S jika keliling diketahui:

Pertama, cari tahu radiusnya. Keliling dihitung dengan rumus: L=2πR, masing-masing, jari-jari R akan sama dengan L/2π. Sekarang kita mencari luas lingkaran menggunakan rumus melalui R.

Pertimbangkan solusi pada contoh masalah:

———————————————————————————————————————-

Tugas: Temukan luas lingkaran jika keliling L diketahui - 12 cm.

Keputusan: Pertama kita cari jari-jarinya: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Sekarang kita cari luas yang melalui jari-jari: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 cm².

Menjawab: Luas sebuah lingkaran adalah 11,46 cm².

Menemukan luas lingkaran yang tertulis dalam bujur sangkar itu mudah. Sisi persegi adalah diameter lingkaran. Untuk menemukan jari-jari, Anda perlu membagi sisi dengan 2.

Rumus untuk mencari luas lingkaran yang terdapat pada bujur sangkar adalah:

Contoh pemecahan masalah dalam menemukan luas lingkaran yang tertulis dalam bujur sangkar:

———————————————————————————————————————

Tugas 1: Diketahui sisi bangun persegi, yang sama dengan 6 sentimeter. Temukan area S dari lingkaran bertulisan.

Keputusan: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 cm².

Menjawab: Luas bangun datar datar adalah 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Tugas #2: Tentukan S dari sebuah lingkaran pada bangun datar persegi dan jari-jarinya jika salah satu sisinya a=4 cm.

Putuskan seperti ini: Pertama cari R=a/2=4/2=2 cm.

Sekarang mari kita cari luas lingkaran S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm².

Menjawab: Luas bangun datar berbentuk bulat adalah 12,56 cm².

Sedikit lebih sulit untuk menemukan luas bangun datar yang dibatasi oleh bujur sangkar. Tetapi, mengetahui rumusnya, Anda dapat dengan cepat menghitung nilai ini.

Rumus untuk menemukan S dari lingkaran yang dibatasi oleh bangun persegi:

Contoh tugas penyelesaian untuk menemukan luas lingkaran yang dijelaskan di dekat gambar persegi:

Tugas

Lingkaran yang terdapat pada bangun datar segitiga adalah lingkaran yang menyentuh ketiga sisi segitiga. Sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam bentuk segitiga apa pun, tetapi hanya satu. Pusat lingkaran akan menjadi titik potong garis bagi sudut-sudut segitiga.

Rumus untuk mencari luas lingkaran pada segitiga sama kaki adalah:

Jika jari-jari diketahui, luasnya dapat dihitung menggunakan rumus: S=πR².

Rumus untuk mencari luas lingkaran pada segitiga siku-siku adalah:

Contoh tugas penyelesaian:

Tugas 1

Jika dalam soal ini Anda juga perlu mencari luas lingkaran dengan jari-jari 4 cm, maka ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus: S=πR²

Tugas #2

Keputusan:

Sekarang setelah Anda mengetahui jari-jarinya, Anda dapat menemukan luas lingkaran dalam bentuk jari-jari. Lihat rumus di atas.

Tugas #3

Luas lingkaran yang dibatasi tentang segitiga siku-siku dan sama kaki: rumus, contoh pemecahan masalah

Semua rumus untuk menemukan luas lingkaran bermuara pada fakta bahwa Anda harus mencari jari-jarinya terlebih dahulu. Jika jari-jarinya diketahui, maka mencari luasnya sederhana, seperti dijelaskan di atas.

Luas lingkaran yang dibatasi oleh segitiga siku-siku dan segitiga sama kaki ditemukan dengan rumus berikut:

Contoh pemecahan masalah:

Berikut adalah contoh lain untuk memecahkan masalah menggunakan rumus Heron.

Memecahkan masalah seperti itu sulit, tetapi mereka dapat dikuasai jika Anda tahu semua rumusnya. Siswa memecahkan masalah seperti itu di kelas 9.

Luas lingkaran yang tertulis dalam trapesium persegi panjang dan sama kaki: rumus, contoh pemecahan masalah

Trapesium sama kaki memiliki dua sisi yang sama panjang. Trapesium persegi panjang memiliki salah satu sudut yang besarnya 90º. Pertimbangkan cara menemukan luas lingkaran yang tertulis dalam trapesium persegi panjang dan sama kaki menggunakan contoh penyelesaian masalah.

Misalnya, sebuah lingkaran ditulis dalam trapesium sama kaki, yang pada titik kontak membagi satu sisi menjadi segmen m dan n.

Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu menggunakan rumus berikut:

Luas lingkaran yang ditulis dalam trapesium persegi panjang ditemukan menggunakan rumus berikut:

Jika sisi lateral diketahui, maka Anda dapat menemukan jari-jari melalui nilai ini. Tinggi sisi trapesium sama dengan diameter lingkaran, dan jari-jarinya setengah diameter. Dengan demikian, jari-jarinya adalah R=d/2.

Contoh pemecahan masalah:

Sebuah trapesium dapat dibuat melingkar jika jumlah sudut-sudutnya yang berhadapan adalah 180º. Oleh karena itu, hanya trapesium sama kaki yang dapat ditulisi. Jari-jari untuk menghitung luas lingkaran yang dibatasi di sekitar trapesium persegi panjang atau sama kaki dihitung menggunakan rumus berikut:

Contoh pemecahan masalah:

Keputusan: Pangkalan besar di kasus ini melewati pusat karena trapesium sama kaki tertulis di dalam lingkaran. Pusat membagi dasar ini tepat menjadi dua. Jika alas AB adalah 12, maka jari-jari R dapat dicari sebagai berikut: R=12/2=6.

Menjawab: Jari-jarinya adalah 6.

Dalam geometri, penting untuk mengetahui rumus. Tetapi tidak mungkin untuk mengingat semuanya, sehingga dalam banyak ujian pun diperbolehkan menggunakan formulir khusus. Namun, penting untuk dapat menemukan formula yang tepat untuk memecahkan masalah tertentu. Berlatih memecahkan berbagai masalah untuk menemukan jari-jari dan luas lingkaran untuk dapat mengganti rumus dengan benar dan mendapatkan jawaban yang akurat.

Video: Matematika | Menghitung luas lingkaran dan bagian-bagiannya

Lingkaran membutuhkan pendekatan yang lebih hati-hati dan jauh lebih jarang dalam tugas-tugas B5. Pada saat yang sama, skema solusi umum bahkan lebih sederhana daripada dalam kasus poligon (lihat pelajaran "Area poligon pada kisi koordinat").

Semua yang diperlukan dalam tugas tersebut adalah menemukan jari-jari lingkaran R . Kemudian Anda dapat menghitung luas lingkaran menggunakan rumus S = R 2 . Juga mengikuti dari rumus ini bahwa cukup untuk menemukan R 2 untuk solusinya.

Untuk menemukan nilai yang ditunjukkan, cukup dengan menunjukkan pada lingkaran sebuah titik yang terletak di persimpangan garis kisi. Dan kemudian gunakan teorema Pythagoras. Pertimbangkan contoh spesifik menghitung jari-jari:

Tugas. Tentukan jari-jari ketiga lingkaran pada gambar:

Mari kita lakukan konstruksi tambahan di setiap lingkaran:

Dalam setiap kasus, titik B dipilih pada lingkaran untuk terletak di perpotongan garis kisi. Titik C dalam lingkaran 1 dan 3 melengkapi gambar segitiga siku-siku. Tetap menemukan jari-jari:

Perhatikan segitiga ABC pada lingkaran pertama. Menurut teorema Pythagoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Untuk lingkaran kedua, semuanya jelas: R = AB = 2.

Kasus ketiga mirip dengan yang pertama. Dari segitiga ABC menurut teorema Pythagoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Sekarang kita tahu cara menemukan jari-jari lingkaran (atau setidaknya perseginya). Oleh karena itu, kita dapat menemukan daerah tersebut. Ada tugas di mana diperlukan untuk menemukan luas suatu sektor, dan bukan seluruh lingkaran. Dalam kasus seperti itu, mudah untuk mengetahui bagian lingkaran mana yang merupakan sektor ini, dan dengan demikian menemukan luasnya.

Tugas. Carilah luas S dari bidang yang diarsir. Tunjukkan S / dalam jawaban Anda.

Jelas, sektor ini adalah seperempat dari lingkaran. Jadi, S = 0,25 S lingkaran.

Tetap menemukan S lingkaran - luas lingkaran. Untuk melakukan ini, kami akan melakukan konstruksi tambahan:

Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Dengan teorema Pythagoras, kita memiliki: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Sekarang kita menemukan luas lingkaran dan sektor: S lingkaran = R 2 = 8π; S = 0,25 S lingkaran = 2π.

Akhirnya, nilai yang diinginkan sama dengan S /π = 2.

Area sektor dengan radius tidak diketahui

Ini adalah jenis tugas yang sama sekali baru, tidak ada yang seperti itu di 2010-2011. Dengan syarat, kita diberi lingkaran dengan luas tertentu (yaitu luas, bukan jari-jari!). Kemudian, di dalam lingkaran ini, sebuah sektor dialokasikan, area yang harus dicari.

Kabar baiknya adalah bahwa masalah ini adalah yang paling mudah dari semua masalah di alun-alun, yang ada di ujian matematika. Selain itu, lingkaran dan sektor selalu ditempatkan pada grid koordinat. Karena itu, untuk mempelajari cara menyelesaikan masalah seperti itu, lihat saja gambarnya:

Misalkan lingkaran asal memiliki luas S = 80. Kemudian lingkaran tersebut dapat dibagi menjadi dua sektor dengan luas masing-masing S = 40 (lihat langkah 2). Demikian pula, masing-masing sektor "setengah" ini dapat dibagi menjadi dua lagi - kita mendapatkan empat sektor dengan luas S = 20 masing-masing (lihat langkah 3). Akhirnya, Anda dapat membagi masing-masing sektor ini menjadi dua lagi - kami mendapatkan 8 sektor - "potongan kecil". Luas masing-masing "potongan" ini adalah S = 10.

Harap diperhatikan: tidak ada pembagian yang lebih kecil dalam tugas USE dalam matematika! Dengan demikian, algoritma untuk menyelesaikan masalah B-3 adalah sebagai berikut:

1. Potong lingkaran asli menjadi 8 sektor - "potongan". Luas masing-masing lingkaran tepat 1/8 dari luas seluruh lingkaran. Misalnya, jika menurut syarat lingkaran memiliki luas S lingkaran = 240, maka “benjolan” memiliki luas S = 240: 8 = 30;
2. Cari tahu berapa banyak "benjolan" yang muat di sektor asli, area yang ingin Anda temukan. Misalnya jika sektor kita berisi 3 “gumpalan” dengan luas 30, maka luas sektor yang diinginkan adalah S = 3 30 = 90. Ini akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Masalahnya diselesaikan secara praktis secara lisan. Jika Anda masih tidak mengerti sesuatu, belilah pizza dan potong menjadi 8 bagian. Setiap bagian tersebut akan menjadi sektor yang sama - "potongan" yang dapat digabungkan menjadi bagian yang lebih besar.

Dan sekarang mari kita lihat contoh dari ujian percobaan:

Tugas. Sebuah lingkaran dengan luas 40 digambar di atas kertas kotak-kotak.Temukan luas bangun yang diarsir.

Jadi, luas lingkaran adalah 40. Bagilah menjadi 8 sektor - masing-masing dengan luas S = 40:5 = 8. Kita peroleh:

Jelas, sektor yang diarsir terdiri dari dua sektor "kecil". Oleh karena itu, luasnya adalah 2 5 = 10. Itulah solusinya!

Tugas. Sebuah lingkaran dengan luas 64 digambar pada kertas kotak-kotak.Temukan luas bangun yang diarsir.

Sekali lagi, bagi seluruh lingkaran menjadi 8 sektor yang sama. Jelas, area salah satunya hanya perlu ditemukan. Jadi luasnya adalah S = 64 : 8 = 8.

Tugas. Sebuah lingkaran dengan luas 48 digambar di atas kertas kotak-kotak.Temukan luas bangun yang diarsir.

Sekali lagi, bagi lingkaran menjadi 8 sektor yang sama. Luas masing-masing sama dengan S = 48: 8 = 6. Di sektor yang diperlukan, tepat tiga sektor "kecil" ditempatkan (lihat gambar). Oleh karena itu, luas bidang yang diinginkan adalah 3 6 = 18.