მათემატიკასთან ჩვენი გაცნობა არითმეტიკით, რიცხვების მეცნიერებით იწყება. ერთ-ერთი პირველი რუსული არითმეტიკული სახელმძღვანელო, რომელიც დაწერა ლ. ფ. მაგნიტსკიმ 1703 წელს, იწყებოდა სიტყვებით: ”არითმეტიკა, ანუ მრიცხველი, არის პატიოსანი, შესაშური ხელოვნება და ყველასთვის მოსახერხებელი, ყველაზე სასარგებლო და დიდებული, უძველესიდან. ხოლო უახლესი, რომელიც ცხოვრობდა ყველაზე სამართლიანი არითმეტიკების სხვადასხვა დროს, გამოიგონა და განმარტა“. არითმეტიკით ჩვენ შევდივართ, როგორც M.V. ლომონოსოვმა თქვა, "სწავლის კარიბჭეში" და ვიწყებთ სამყაროს გაგების გრძელ და რთულ, მაგრამ მომხიბვლელ გზას.
სიტყვა "არითმეტიკა" მომდინარეობს ბერძნული arithmos-დან, რაც ნიშნავს "რიცხვს". ეს მეცნიერება სწავლობს რიცხვებთან მოქმედებებს, მათ დამუშავების სხვადასხვა წესებს და ასწავლის როგორ ამოხსნას ამოცანები, რომლებიც მთავრდება რიცხვების შეკრებაზე, გამოკლებაზე, გამრავლებაზე და გაყოფაზე. არითმეტიკა ხშირად წარმოსახულია, როგორც მათემატიკის ერთგვარი პირველი ეტაპი, რომლის საფუძველზეც შეიძლება შეისწავლოს მისი უფრო რთული მონაკვეთები - ალგებრა, მათემატიკური ანალიზი და ა.შ. მთელი რიცხვებიც კი - არითმეტიკის მთავარი ობიექტი - მოხსენიებულია, როდესაც განიხილება მათი ზოგადი თვისებები და ნიმუშები, უმაღლეს არითმეტიკაში, ანუ რიცხვთა თეორიაში. არითმეტიკის ამ შეხედულებას, რა თქმა უნდა, აქვს საფუძველი - ის ნამდვილად რჩება "დათვლის ანბანად", მაგრამ ანბანი "ყველაზე სასარგებლო" და "ადვილი გასაგებია".
არითმეტიკა და გეომეტრია ადამიანის დიდი ხნის თანამგზავრია. ეს მეცნიერებები მაშინ გაჩნდა, როცა საჭირო გახდა საგნების დათვლა, მიწის ნაკვეთების გაზომვა, ნადავლის გაყოფა და დროის თვალყურის დევნება.
არითმეტიკა წარმოიშვა ძველი აღმოსავლეთის ქვეყნებში: ბაბილონი, ჩინეთი, ინდოეთი, ეგვიპტე. მაგალითად, ეგვიპტური რინდის პაპირუსი (მისი მფლობელის გ. რინდის სახელის მიხედვით) მე-20 საუკუნით თარიღდება. ძვ.წ. სხვა ინფორმაციასთან ერთად, ის შეიცავს წილადის დაშლას წილადების ჯამად ერთის ტოლი მრიცხველით, მაგალითად:
ძველი აღმოსავლეთის ქვეყნებში დაგროვილი მათემატიკური ცოდნის საგანძური შეიმუშავეს და განაგრძეს ძველი საბერძნეთის მეცნიერებმა. ისტორიამ შემოინახა მრავალი მეცნიერის სახელი, რომლებიც არითმეტიკას ეწეოდნენ ძველ სამყაროში - ანაქსაგორა და ზენონი, ევკლიდე (იხ. ევკლიდე და მისი ელემენტები), არქიმედესი, ერატოსთენე და დიოფანტე. პითაგორას სახელი (ძვ. წ. VI ს.) აქ კაშკაშა ვარსკვლავივით ანათებს. პითაგორეელები (პითაგორას სტუდენტები და მიმდევრები) თაყვანს სცემდნენ რიცხვებს, თვლიდნენ, რომ ისინი შეიცავდნენ სამყაროს მთელ ჰარმონიას. ცალკეულ ნომრებსა და რიცხვთა წყვილებს მიენიჭათ სპეციალური თვისებები. 7 და 36 ნომრებს დიდ პატივს სცემდნენ და ამავდროულად ყურადღება ექცეოდა ეგრეთ წოდებულ სრულყოფილ რიცხვებს, მეგობრულ ნომრებს და ა.შ.
შუა საუკუნეებში არითმეტიკის განვითარება ასევე დაკავშირებული იყო აღმოსავლეთთან: ინდოეთთან, არაბული სამყაროს ქვეყნებთან და შუა აზიასთან. ინდიელებისგან ჩვენთან მოვიდა რიცხვები, რომლებსაც ვიყენებთ, ნული და პოზიციური რიცხვების სისტემა; ალ-კაშისგან (XV ს.), რომელიც მუშაობდა ულუგბეკის სამარკანდის ობსერვატორიაში, - ათობითი წილადები.
მე-13 საუკუნიდან ვაჭრობის განვითარებისა და აღმოსავლური კულტურის გავლენის წყალობით. არითმეტიკის მიმართ ინტერესი ევროპაშიც იზრდება. უნდა გვახსოვდეს იტალიელი მეცნიერის ლეონარდო პიზას (ფიბონაჩის) სახელი, რომლის ნაშრომმა "აბაკუსის წიგნი" ევროპელებს გააცნო აღმოსავლური მათემატიკის მთავარი მიღწევები და იყო მრავალი კვლევის დასაწყისი არითმეტიკასა და ალგებრაში.
ბეჭდვის გამოგონებასთან ერთად (XV საუკუნის შუა ხანები) გამოჩნდა პირველი დაბეჭდილი მათემატიკური წიგნები. პირველი ნაბეჭდი წიგნი არითმეტიკაზე იტალიაში 1478 წელს გამოიცა. გერმანელი მათემატიკოსის მ.შტიფელის "სრულ არითმეტიკაში" (მე-16 საუკუნის დასაწყისი) უკვე არის უარყოფითი რიცხვები და ლოგარითმიზაციის იდეაც კი.
დაახლოებით მე-16 საუკუნიდან. წმინდა არითმეტიკული კითხვების შემუშავება ალგებრის მეინსტრიმში მიედინებოდა - როგორც მნიშვნელოვანი ეტაპი, შეიძლება აღინიშნოს ფრანგი მეცნიერის ფ. ვიეტას ნამუშევრების გამოჩენა, რომელშიც რიცხვები ასოებით არის მითითებული. ამ დროიდან, ძირითადი არითმეტიკული წესები საბოლოოდ გასაგები ხდება ალგებრის პოზიციიდან.
არითმეტიკის მთავარი ობიექტი რიცხვია. ნატურალური რიცხვები, ე.ი. რიცხვები 1, 2, 3, 4, ... და ა.შ. წარმოიშვა კონკრეტული ობიექტების დათვლის შედეგად. მრავალი ათასი წელი გავიდა, სანამ ადამიანმა გაიგო, რომ ორი ხოხობი, ორი ხელი, ორი ადამიანი და ა.შ. შეიძლება ეწოდოს იგივე სიტყვა "ორი". არითმეტიკის მნიშვნელოვანი ამოცანაა ისწავლოს დასათვლელი საგნების სახელების სპეციფიკური მნიშვნელობის დაძლევა, მათი ფორმის, ზომის, ფერის და ა.შ. ყურადღების გადატანა. ფიბონაჩის უკვე აქვს დავალება: „შვიდი მოხუცი ქალი მიდის რომში. თითოეულს აქვს 7 ჯორი, თითოეული ჯორი ატარებს 7 ჩანთას, თითო ტომარა შეიცავს 7 პურს, თითოეულ პურს შეიცავს 7 დანა, თითოეულ დანას აქვს 7 გარსი. Რამდენია იქ?" პრობლემის გადასაჭრელად მოგიწევთ მოხუცი ქალების, ჯორების, ჩანთების და პურის შეკრება.
რიცხვის კონცეფციის განვითარება - ნულოვანი და უარყოფითი რიცხვების გამოჩენა, ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები, რიცხვების ჩაწერის გზები (ციფრები, აღნიშვნები, რიცხვითი სისტემები) - ამ ყველაფერს აქვს მდიდარი და საინტერესო ისტორია.
”რიცხვების მეცნიერება ეხება ორ მეცნიერებას: პრაქტიკულ და თეორიულს. პრაქტიკული სწავლობს რიცხვებს იმდენად, რამდენადაც ჩვენ ვსაუბრობთ თვლად რიცხვებზე. ეს მეცნიერება გამოიყენება ბაზარზე და სამოქალაქო საქმეებში. რიცხვების თეორიული მეცნიერება სწავლობს ციფრებს აბსოლუტური გაგებით, გონებით აბსტრაქტული სხეულებიდან და ყველაფერი, რისი დათვლაც შესაძლებელია მათში“. ალ-ფარაბი
არითმეტიკაში რიცხვები ემატება, აკლდება, მრავლდება და იყოფა. ამ მოქმედებების ნებისმიერ რიცხვზე სწრაფად და ზუსტად შესრულების ხელოვნება დიდი ხანია განიხილება არითმეტიკის ყველაზე მნიშვნელოვან ამოცანად. დღესდღეობით, ჩვენს თავში ან ფურცელზე, ჩვენ მხოლოდ უმარტივეს გამოთვლებს ვაკეთებთ, უფრო და უფრო რთულ გამოთვლით სამუშაოს ვანდობთ მიკროკალკულატორებს, რომლებიც თანდათან ცვლიან მოწყობილობებს, როგორიცაა აბაკუსი, დამამატებელი მანქანა (იხ. კომპიუტერული ტექნოლოგია) და სლაიდი. წესი. თუმცა, ყველა კომპიუტერის მუშაობა - მარტივი და რთული - ეფუძნება უმარტივეს ოპერაციას - ნატურალური რიცხვების დამატებას. გამოდის, რომ ყველაზე რთული გამოთვლები შეიძლება შემცირდეს დამატებით, მაგრამ ეს ოპერაცია უნდა გაკეთდეს მრავალ მილიონჯერ. მაგრამ აქ ჩვენ შევდივართ მათემატიკის სხვა სფეროში, რომელიც სათავეს იღებს არითმეტიკაში - გამოთვლითი მათემატიკაში.
რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებები მრავალფეროვანი თვისებაა. ეს თვისებები შეიძლება აღწერილი იყოს სიტყვებით, მაგალითად: „ჯამობა არ იცვლება ტერმინების ადგილების შეცვლით“, შეიძლება დაიწეროს ასოებით: , შეიძლება გამოიხატოს სპეციალური ტერმინებით.
მაგალითად, მიმატების ამ თვისებას შემცვლელი ან შემცვლელი კანონი ეწოდება. ჩვენ ვიყენებთ არითმეტიკის კანონებს ხშირად ჩვევის გამო, ამის გაცნობიერების გარეშე. ხშირად სკოლის მოსწავლეები სვამენ კითხვას: „რატომ ვისწავლოთ ყველა ეს შემცვლელი და კომბინირებული კანონი, რადგან უკვე გასაგებია, როგორ შევკრიბოთ და გავამრავლოთ რიცხვები?“ მე-19 საუკუნეში მათემატიკამ მნიშვნელოვანი ნაბიჯი გადადგა - მან სისტემატურად დაიწყო არა მხოლოდ რიცხვების, არამედ ვექტორების, ფუნქციების, გადაადგილების, რიცხვების ცხრილების, მატრიცების და მრავალი სხვა და თუნდაც მხოლოდ ასოების, სიმბოლოების სისტემატური დამატება და გამრავლება, მათ კონკრეტულ მნიშვნელობაზე ზრუნვის გარეშე. აქ კი აღმოჩნდა, რომ მთავარია, რა კანონებს ემორჩილება ეს ოპერაციები. თვითნებურ ობიექტებზე (აუცილებლად არა ციფრებზე) მითითებული მოქმედებების შესწავლა უკვე ალგებრის სფეროა, თუმცა ეს დავალება ეფუძნება არითმეტიკას და მის კანონებს.
არითმეტიკა შეიცავს პრობლემების გადაჭრის ბევრ წესს. ძველ წიგნებში შეგიძლიათ იპოვოთ პრობლემები "სამმაგ წესზე", "პროპორციულ გაყოფაზე", "სასწორის მეთოდზე", "ცრუ წესზე" და ა.შ. ამ წესების უმეტესობა ახლა მოძველებულია, თუმცა პრობლემები, რომლებიც მათი დახმარებით მოგვარდა, არანაირად არ შეიძლება ჩაითვალოს მოძველებულად. ცნობილი პრობლემა რამდენიმე მილით სავსე საცურაო აუზის შესახებ, სულ მცირე, ორი ათასი წლისაა და ეს ჯერ კიდევ არ არის ადვილი სკოლის მოსწავლეებისთვის. მაგრამ თუ ადრე ამ პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელი იყო სპეციალური წესის ცოდნა, დღეს უმცროსი სკოლის მოსწავლეებს ასწავლიან ასეთი პრობლემის გადაჭრას სასურველი რაოდენობის ასოების აღნიშვნის გზით. ამრიგად, არითმეტიკული ამოცანები განაპირობებდა განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობას და ეს ისევ ალგებრის პრობლემაა.
|
პითაგორა
პითაგორა სამოსის შესახებ წერილობითი დოკუმენტები არ შემორჩენილა და შემდგომი მტკიცებულებებით ძნელია მისი ცხოვრებისა და მიღწევების ნამდვილი სურათის აღდგენა. ცნობილია, რომ პითაგორამ დატოვა მშობლიური კუნძული სამოსი ეგეოსის ზღვაში, მცირე აზიის სანაპიროსთან, მმართველის ტირანიის წინააღმდეგ პროტესტის ნიშნად და უკვე ზრდასრულ ასაკში (ლეგენდის თანახმად, 40 წლის ასაკში) გამოჩნდა საბერძნეთის ქალაქ კროტონეში სამხრეთ იტალიაში. პითაგორამ და მისმა მიმდევრებმა - პითაგორელებმა - შექმნეს საიდუმლო ალიანსი, რომელმაც მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა იტალიაში ბერძნული კოლონიების ცხოვრებაში. პითაგორაელებმა ერთმანეთი ვარსკვლავის ფორმის ხუთკუთხედით - პენტაგრამით იცნეს. პითაგორას სწავლებაზე დიდი გავლენა მოახდინა აღმოსავლეთის ფილოსოფიასა და რელიგიაზე. მან ბევრი იმოგზაურა აღმოსავლეთის ქვეყნებში: იყო ეგვიპტეში და ბაბილონში. იქ პითაგორაც გაეცნო აღმოსავლურ მათემატიკას. მათემატიკა გახდა მისი სწავლების ნაწილი და ყველაზე მნიშვნელოვანი ნაწილი. პითაგორაელებს სჯეროდათ, რომ სამყაროს საიდუმლო ციფრულ ნიმუშებში იმალებოდა. რიცხვების სამყარო პითაგორასთვის განსაკუთრებული ცხოვრებით ცხოვრობდა; ციფრებს ჰქონდათ თავისი განსაკუთრებული ცხოვრებისეული მნიშვნელობა. მათი გამყოფების ჯამის ტოლი რიცხვები აღიქმებოდა სრულყოფილად (6, 28, 496, 8128); მეგობრული იყო რიცხვების წყვილი, რომელთაგან თითოეული ტოლი იყო მეორის გამყოფების ჯამისა (მაგალითად, 220 და 284). პითაგორა იყო პირველი, ვინც დაყო რიცხვები ლუწ და კენტებად, მარტივ და შედგენილად და შემოიტანა ფიგურული რიცხვის ცნება. მის სკოლაში დეტალურად იქნა გამოკვლეული ნატურალური რიცხვების პითაგორას სამეული, რომლებშიც ერთის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორის კვადრატების ჯამს (იხ. ფერმას ბოლო თეორემა). პითაგორას მიაწერენ: „ყველაფერი რიცხვია“. მას სურდა მთელი სამყარო და განსაკუთრებით მათემატიკა რიცხვებამდე დაეყვანა (და მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს გულისხმობდა). მაგრამ თავად პითაგორას სკოლაში გაკეთდა აღმოჩენა, რომელიც არღვევდა ამ ჰარმონიას. დადასტურდა, რომ ეს არ არის რაციონალური რიცხვი, ე.ი. არ შეიძლება გამოხატული იყოს ნატურალური რიცხვებით. ბუნებრივია, პითაგორას გეომეტრია დაექვემდებარა არითმეტიკას; ეს აშკარად გამოიხატებოდა თეორემაში, რომელიც მის სახელს ატარებს და რომელიც მოგვიანებით გახდა გეომეტრიაში რიცხვითი მეთოდების გამოყენების საფუძველი. (მოგვიანებით, ევკლიდემ გეომეტრია კვლავ წინა პლანზე წამოიყვანა, მას ალგებრა დაუქვემდებარა.) როგორც ჩანს, პითაგორეელებმა იცოდნენ სწორი მყარი ნაწილები: ტეტრაედონი, კუბი და დოდეკაედონი. პითაგორას მიეწერება გეომეტრიაში მტკიცებულებების სისტემატური დანერგვა, სწორხაზოვანი ფიგურების პლანიმეტრიის შექმნა და მსგავსების დოქტრინა. პითაგორას სახელს უკავშირდება არითმეტიკული, გეომეტრიული და ჰარმონიული პროპორციების, საშუალოების დოქტრინა. უნდა აღინიშნოს, რომ პითაგორა დედამიწას მზის გარშემო მოძრავ ბურთად თვლიდა. როცა XVI საუკუნეში ეკლესიამ დაიწყო კოპერნიკის სწავლებების სასტიკი დევნა; ამ სწავლებას ჯიუტად პითაგორას უწოდებდნენ. |
|
არქიმედეს
არქიმედეს, დიდი მათემატიკოსისა და მექანიკოსის შესახებ უფრო მეტია ცნობილი, ვიდრე სხვა უძველესი მეცნიერების შესახებ. უპირველეს ყოვლისა, მისი გარდაცვალების წელი საიმედოა - სირაკუზის დაცემის წელი, როდესაც მეცნიერი რომაელი ჯარისკაცის ხელში გარდაიცვალა. თუმცა, ძველმა ისტორიკოსებმა პოლიბიუსმა, ლივიმ და პლუტარქემ ცოტა რამ თქვეს მის მათემატიკური დამსახურების შესახებ; მათგან, მეცნიერის მშვენიერი გამოგონებების შესახებ, რომლებიც მეფე იერონ II-სთან მსახურობდა, ჩვენს დრომდე მოაღწია. მეფის ოქროს გვირგვინის შესახებ ცნობილი ამბავია. არქიმედესმა შეამოწმა მისი შემადგენლობის სისუფთავე მან აღმოაჩინა ბორბლის ძალის კანონის გამოყენებით და მისი ძახილი „ევრიკა!“, ე.ი. "იპოვეს!". კიდევ ერთი ლეგენდა ამბობს, რომ არქიმედესმა ააშენა ბლოკების სისტემა, რომლის დახმარებით ერთმა ადამიანმა შეძლო უზარმაზარი გემის სირაკოსიას გაშვება. შემდეგ არქიმედეს ნათქვამი სიტყვები ფრთიანი გახდა: „მომეცი საყრდენი წერტილი და მე მოვაქცევ დედამიწას“. არქიმედეს საინჟინრო გენიალურობამ განსაკუთრებული ძალით გამოიჩინა თავი სირაკუზის, მდიდარი სავაჭრო ქალაქის კუნძულ სიცილიის ალყის დროს. რომის კონსულის მარცელუსის ჯარისკაცები დიდი ხნის განმავლობაში იკავებდნენ ქალაქის კედლებს უპრეცედენტო მანქანებით: მძლავრი კატაპულტები ქვის ბლოკებს უმიზნებდნენ, ბურღულებში დამონტაჟდა სასროლი მანქანები, ტყვიის ტყვიების სროლა, კედლების გარეთ შემობრუნებული სანაპირო ამწეები და ესროდნენ ქვის და ტყვიის ბლოკებს მტრის ხომალდებს, კაუჭებმა აიღეს გემები და ჩამოაგდეს დიდი სიმაღლიდან, ჩაზნექილი სარკეების სისტემები (ზოგიერთ მოთხრობაში - ფარები) გემებს ცეცხლს უკიდებდნენ. „მარცელუსის ისტორიაში“ პლუტარქე აღწერს საშინელებას, რომელიც სუფევდა რომაელი ჯარისკაცების რიგებში: „როგორც კი შენიშნეს, რომ ციხის კედლის უკან თოკი ან მორი ჩანდა, გაიქცნენ და ყვიროდნენ, რომ არქიმედემ გამოიგონა. ახალი მანქანა მათი განადგურებისთვის. ” დიდი იყო არქიმედეს წვლილი მათემატიკის განვითარებაშიც. არქიმედეს სპირალი (იხ. სპირალები), რომელიც აღწერილია მბრუნავ წრეში მოძრავი წერტილით, განსხვავებულად იდგა მისი თანამედროვეებისთვის ცნობილი მრავალი მრუდისგან. შემდეგი კინემატიკურად განსაზღვრული მრუდი - ციკლოიდი - გამოჩნდა მხოლოდ მე -17 საუკუნეში. არქიმედესმა ისწავლა თავის სპირალზე ტანგენტის პოვნა (და მისმა წინამორბედებმა შეძლეს ტანგენტების დახატვა მხოლოდ კონუსურ მონაკვეთებზე), იპოვა მისი მოხვევის არე, ასევე ელიფსის ფართობი, კონუსის ზედაპირი და სფერო, სფეროს მოცულობები და სფერული სეგმენტი. ის განსაკუთრებით ამაყობდა სფეროს მოცულობისა და მის ირგვლივ შემოხაზული ცილინდრის აღმოჩენილი თანაფარდობით, რომელიც უდრის 2:3-ს (იხ. წარწერიანი და შემოხაზული ფიგურები). არქიმედეს ასევე ბევრი მუშაობდა წრის კვადრატის პრობლემაზე (იხ. ანტიკურობის ცნობილი პრობლემები). მეცნიერმა გამოთვალა წრეწირის შეფარდება დიამეტრთან (რიცხვთან) და დაადგინა, რომ ის იყო და. მეთოდი, რომელიც მან შექმნა ფიგურის გარშემოწერილობისა და ფართობის გამოსათვლელად, მნიშვნელოვანი ნაბიჯი იყო დიფერენციალური და ინტეგრალური კალკულუსის შექმნისკენ, რომელიც მხოლოდ 2000 წლის შემდეგ გამოჩნდა. არქიმედესმა ასევე აღმოაჩინა უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი მნიშვნელთან. მათემატიკაში ეს იყო უსასრულო სერიის პირველი მაგალითი. მათემატიკის განვითარებაში დიდი როლი ითამაშა მისმა ესესმა "პსამიტმა" - "ქვიშის მარცვლების რაოდენობაზე", რომელშიც ის გვიჩვენებს, თუ როგორ შეიძლება არსებული რიცხვების სისტემის გამოყენებით თვითნებურად დიდი რიცხვების გამოხატვა. მისი მსჯელობის საფუძვლად ის იყენებს ხილულ სამყაროში ქვიშის მარცვლის რაოდენობის დათვლის პრობლემას. ამრიგად, იმდროინდელი მოსაზრება იდუმალი "ყველაზე დიდი რიცხვების" არსებობის შესახებ უარყო. |
არითმეტიკის შემოღებულ მნიშვნელოვან ცნებებს შორის არის პროპორციები და პროცენტები. არითმეტიკის ცნებებისა და მეთოდების უმეტესობა ეფუძნება რიცხვებს შორის სხვადასხვა დამოკიდებულების შედარებას. მათემატიკის ისტორიაში არითმეტიკისა და გეომეტრიის შერწყმის პროცესი მრავალი საუკუნის განმავლობაში მიმდინარეობდა.
აშკარად შეიძლება მივაკვლიოთ არითმეტიკის „გეომეტრიზაციას“: ფორმულებით გამოხატული რთული წესები და ნიმუშები უფრო ნათელი ხდება, თუ მათი გეომეტრიულად გამოსახვა შესაძლებელია. თავად მათემატიკაში და მის გამოყენებაში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს საპირისპირო პროცესი - ვიზუალური, გეომეტრიული ინფორმაციის თარგმნა რიცხვების ენაზე (იხ. გრაფიკული გამოთვლები). ეს თარგმანი ეფუძნება ფრანგი ფილოსოფოსისა და მათემატიკოსის რ. დეკარტის იდეას სიბრტყეზე წერტილების კოორდინატებით განსაზღვრის შესახებ. რა თქმა უნდა, ეს იდეა მასზე ადრე უკვე გამოიყენებოდა, მაგალითად, საზღვაო საქმეებში, როცა საჭირო იყო გემის ადგილმდებარეობის განსაზღვრა, ასევე ასტრონომიასა და გეოდეზიაში. მაგრამ სწორედ დეკარტისა და მისი სტუდენტებისგან მოდის მათემატიკაში კოორდინატების ენის თანმიმდევრული გამოყენება. ჩვენს დროში კი, რთული პროცესების მართვისას (მაგალითად, კოსმოსური ხომალდის ფრენა), მათ ურჩევნიათ ყველა ინფორმაცია ჰქონდეს რიცხვების სახით, რომელსაც ამუშავებს კომპიუტერი. საჭიროების შემთხვევაში, მანქანა ეხმარება ადამიანს დაგროვილი ციფრული ინფორმაცია ნახატის ენაზე თარგმნოს.
თქვენ ხედავთ, რომ არითმეტიკაზე საუბრისას, ჩვენ ყოველთვის გავდივართ მის საზღვრებს - ალგებრაში, გეომეტრიაში და მათემატიკის სხვა დარგებში.
როგორ შეგვიძლია გამოვყოთ თავად არითმეტიკის საზღვრები?
რა გაგებით გამოიყენება ეს სიტყვა?
სიტყვა "არითმეტიკა" შეიძლება გავიგოთ შემდეგნაირად:
აკადემიური საგანი, რომელიც პირველ რიგში ეხება რაციონალურ რიცხვებს (მთლიან რიცხვებს და წილადებს), მათზე მოქმედებებს და ამ მოქმედებების დახმარებით გადაწყვეტილ ამოცანებს;
მათემატიკის ისტორიული შენობის ნაწილი, სადაც დაგროვილია სხვადასხვა ინფორმაცია გამოთვლების შესახებ;
„თეორიული არითმეტიკა“ არის თანამედროვე მათემატიკის ნაწილი, რომელიც ეხება სხვადასხვა რიცხვითი სისტემის აგებას (ბუნებრივი, მთელი, რაციონალური, რეალური, რთული რიცხვები და მათი განზოგადება);
„ფორმალური არითმეტიკა“ არის მათემატიკური ლოგიკის ნაწილი (იხ. მათემატიკური ლოგიკა), რომელიც ეხება არითმეტიკის აქსიომატური თეორიის ანალიზს;
„უმაღლესი არითმეტიკა“, ანუ რიცხვების თეორია, მათემატიკის დამოუკიდებლად განვითარებადი ნაწილი.
ერთის მხრივ, ეს ძალიან მარტივი კითხვაა. მეორეს მხრივ, სკოლის მოსწავლეები და ბევრი ზრდასრული, ხშირად არითმეტიკასა და მათემატიკას ერთმანეთში ურევს და ნამდვილად არ იციან რა განსხვავებაა ამ ორ საგანს შორის. მათემატიკა არის ყველაზე ვრცელი კონცეფცია, რომელიც მოიცავს ნებისმიერ ოპერაციას რიცხვებთან. არითმეტიკა მათემატიკის მხოლოდ ერთ-ერთი დარგია. არითმეტიკა მოიცავს რიცხვების შესავალს, მარტივ დათვლას და რიცხვით მოქმედებებს. ადრე სკოლებში გაკვეთილებს არითმეტიკას ეძახდნენ და მხოლოდ დროთა განმავლობაში მათ დაიწყეს სახელის მათემატიკა, რომელიც შეუფერხებლად მიედინება ალგებრაში. არსებითად, ალგებრა იწყება მაშინ, როდესაც უცნობი რიცხვები გამოჩნდება მაგალითებში და მათ ნაცვლად გამოიყენება ასოები. ანუ მარტივი გზით ოპერაციები xდა წ.
ვადა "არითმეტიკა"მომდინარეობს ბერძნული სიტყვიდან "არითმოსი", რაც ნიშნავს "ნომერს". მე-14-15 საუკუნეებში ეს ტერმინი ინგლისში არასწორად ითარგმნა - „მეტრული ხელოვნება“, რაც არსებითად ნიშნავდა „მეტრულ ხელოვნებას“, უფრო შესაფერისი გეომეტრიისთვის, ვიდრე მარტივი დათვლა და რიცხვებით მარტივი მოქმედებები.
ერთ-ერთი მიზეზი, რის გამოც ცნება „არითმეტიკა“ არ გამოიყენება სკოლებში არის ის, რომ დაწყებითი სკოლის გაკვეთილებზეც კი, რიცხვების გარდა, სწავლობენ გეომეტრიულ ფორმებს და საზომ ერთეულებს (სანტიმეტრი, მეტრი და ა.შ.) და ეს ასეა. ჩვეულებრივი ანგარიშის მიღმა. თუმცა, გონებრივი არითმეტიკის სწავლა გარკვეულწილად ბუნებრივად ხდება ბავშვის ცხოვრებაში, მის გარშემო არსებული სამყაროს შეცნობის პროცესში. ვადა "გონებრივი არითმეტიკა"ნიშნავს გონებრივი მათემატიკის უნარს. დამეთანხმებით, თითოეული ჩვენგანი ამას ცხოვრების გარკვეულ ეტაპზე სწავლობს და არა მხოლოდ სკოლის გაკვეთილებით.
დღეს არსებობს ბავშვების სიჩქარის გონებრივი არითმეტიკული უნარების განვითარების მთელი მეთოდები. მაგალითად, განსაკუთრებით პოპულარულია უძველესი აბაკუსის ვარჯიში, რომელიც ეფუძნება სპეციალურ აბაკუსებზე დათვლის უნარს (განსხვავებული ჩვეულებრივი ათობით). აბაკუსიინგლისურიდან თარგმნილია "აბაკუსი", ამიტომ ტექნიკის სახელი ერთნაირად ჟღერს. იაპონელები ამ ტექნიკას სორობანის ვარჯიშს უწოდებენ, რადგან... მათ ენაზე „აბაკს“ „სორობანი“ ჰქვია.
არითმეტიკა იყენებს ოთხ ელემენტარულ ოპერაციას - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. არ აქვს მნიშვნელობა მაგალითში გამოყენებული იქნება მთელი რიცხვები თუ ათწილადები და წილადები. თქვენ შეგიძლიათ გააცნოთ თქვენს შვილს რიცხვები ადრეული ბავშვობიდან და ეს გააკეთოთ მარტივად და თამაშის საშუალებით. მშობლებს ამაში დაეხმარება არა მხოლოდ მათი ფანტაზია, არამედ სხვადასხვა სპეციალური საგანმანათლებლო მასალა, რომელიც ნებისმიერ მაღაზიაშია შესაძლებელი.
პირველი კლასის თანამედროვე მოთხოვნების თანახმად, ბავშვმა უკვე უნდა დათვალოს მინიმუმ ათამდე (და სასურველია 20-მდე), ასევე განახორციელოს ძირითადი მოქმედებები ნაცნობი რიცხვებით - მათი შეკრება და გამოკლება. ასევე მნიშვნელოვანია, რომ ბავშვმა შეძლოს შედარება რომელი რიცხვებია უფრო დიდი, რომელი უფრო მცირე და რომელი რიცხვები ტოლია. ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ არითმეტიკაა, რაც ბავშვმა სკოლაში შესვლამდეც უნდა იცოდეს.
ასეთი მოთხოვნები წარმოდგენილია არა მხოლოდ რუსეთში, არამედ მთელ მსოფლიოში, რადგან ცხოვრების ტემპი ჩქარდება და ცოდნის მოცულობა ყოველდღიურად იზრდება. ის, რაც საკმარისი იყო სასკოლო სასწავლო გეგმაში 20-30 წლის წინ ვიცოდეთ, დღეს მასწავლებლების მიერ ნასწავლი ინფორმაციის არაუმეტეს 50%-ს იკავებს. როგორც არ უნდა იყოს, არითმეტიკა ყოველთვის დარჩება რიცხვების სწავლისა და დათვლის საფუძვლად, ისევე როგორც მათემატიკის საწყისი დონე, რომლის გარეშეც შეუძლებელია უფრო რთული ამოცანებისა და უნარების სწავლა.
არითმეტიკა
არითმეტიკა და.
1.
მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის რიცხვების უმარტივეს თვისებებს, მათ ჩაწერის გზებს და მათზე მოქმედებებს.
2.
აკადემიური საგანი, რომელიც შეიცავს მათემატიკის ამ განყოფილების საფუძვლებს.
3. დაშლა
სახელმძღვანელო, რომელიც ასახავს მოცემული აკადემიური საგნის შინაარსს.
ეფრემოვას განმარტებითი ლექსიკონი. ტ.ფ. ეფრემოვა. 2000 წ.
სინონიმები:
ნახეთ, რა არის "არითმეტიკა" სხვა ლექსიკონებში:
- (ბერძნული არითმოსის რიცხვიდან და ტოჩე ხელოვნებადან). მეცნიერება, რომელიც ეხება რიცხვებს. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. Chudinov A.N., 1910. არითმეტიკა ბერძნულიდან. არითმოსი, რიცხვი და ტექნიკა, ხელოვნება. რიცხვების მეცნიერება....... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი
ქალი, ბერძენი მოძღვრება დათვლის შესახებ, მეცნიერება აღნიშვნის შესახებ; ყველა მათემატიკის საფუძველი (მეცნიერება რაოდენობებზე, გაზომვის შესახებ); ძველი დათვლა ან რიცხვითი სიბრძნე; დათვლა, გამოთვლა, რიცხვითი გამოთვლა, გამოთვლა. არითმეტიკული, არითმეტიკული, მასთან დაკავშირებული. არითმეტიკოსი...... დალის განმარტებითი ლექსიკონი
ციფრული ბიზნესი, ციფრული მეცნიერება, ციფრული, რუსული სინონიმების დათვლის ლექსიკონი. არითმეტიკული ციფირი (მოძველებული) რუსული ენის სინონიმების ლექსიკონი. პრაქტიკული სახელმძღვანელო. მ.: რუსული ენა. Z. E. ალექსანდროვა. 2011… სინონიმური ლექსიკონი
- (ბერძნული სიტყვებიდან ariJmoV რიცხვი და tecnh art) მათემატიკის ნაწილი, რომელიც ეხება გარკვეული კონკრეტული სიდიდის თვისებების შესწავლას; უფრო ახლო გაგებით, არითმეტიკა არის რიცხვებით გამოხატული მეცნიერება და ეხება რიცხვებზე მოქმედებებს. Შემიძლია… … ბროკჰაუზისა და ეფრონის ენციკლოპედია
თანამედროვე ენციკლოპედია
- (ბერძნული არითმოსი რიცხვიდან) მათემატიკის ნაწილი; სწავლობს რიცხვების, უპირველეს ყოვლისა, ბუნებრივ (დადებითი მთელი რიცხვები) და წილადების უმარტივეს თვისებებს და მათზე მოქმედებებს. არითმეტიკის განვითარებამ გამოიწვია მისგან ალგებრისა და რიცხვების თეორიის გამოყოფა... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი
არითმეტიკა, გამოთვლის მეთოდი შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის გამოყენებით. ამ ოპერაციების ფორმალური აქსიომატური საფუძველი მე-19 საუკუნის ბოლოს ჯუზეპე პეანომ შექმნა. ზოგიერთი პოსტულატის საფუძველზე, მაგალითად, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი... ... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი
არითმეტიკა, არითმეტიკა, ბევრი. არა, ქალი (ბერძნული არითმეტიკა). ციფრებით გამოხატული რიცხვებისა და მათზე მოქმედებების შესწავლა. უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი. დ.ნ. უშაკოვი. 1935 1940... უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი
არითმეტიკა და, ქალი. 1. მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის რიცხვების უმარტივეს თვისებებს, რომლებიც გამოხატულია ციფრებით და მათზე მოქმედებებით. 2. გადაცემა იგივეა, რაც დათვლა (2 ციფრით) (სასაუბრო). ჩვენ გადავამოწმეთ ხარჯები და იმედგაცრუებული აღმოჩნდა. | ადგ. არითმეტიკა, აჰ,...... ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი
არითმეტიკა- - [A.S. Goldberg. ინგლისურ-რუსული ენერგეტიკული ლექსიკონი. 2006] ენერგიის თემები ზოგად EN არითმეტიკაში ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი
არითმეტიკა- (ბერძნული არითმოსის რიცხვიდან), მათემატიკის ნაწილი, რომელიც სწავლობს მთელი რიცხვების და წილადების უმარტივეს თვისებებს და მათზე მოქმედებებს. იგი წარმოიშვა ძველ დროში დათვლის, მანძილების გაზომვის, დროის და ა.შ პრაქტიკული მოთხოვნილებებიდან. გაუმჯობესება... ... ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი
წიგნები
- არითმეტიკა, კისელევი ანდრეი პეტროვიჩი. 2017 წელს აღინიშნება A.P. კისელიოვის დაბადებიდან 165 წელი. მისი პირველი სასკოლო სახელმძღვანელო არითმეტიკის შესახებ 1884 წელს გამოიცა, 1938 წელს დამტკიცდა არითმეტიკის სახელმძღვანელოდ 5-6...
არითმეტიკა არის მათემატიკის დარგი, რომლის შესწავლის საგანია რიცხვები, მათი თვისებები და მიმართებები.
მისი სახელი ბერძნული წარმოშობისაა: ძველი ელადის ენაზე სიტყვა " არითმოსი"(ის ასევე გამოითქმის როგორც" არითმოსი") ნიშნავს " ნომერი».
არითმეტიკასწავლობს გამოთვლების წესებს და რიცხვთა უმარტივეს თვისებებს. იმ განყოფილებაში, რომელსაც ეწოდება რიცხვების თეორია (ან უფრო მაღალი არითმეტიკა), შესწავლილია ცალკეული მთელი რიცხვების თვისებები.
არითმეტიკაყველაზე მჭიდროდ არის დაკავშირებული რიცხვების თეორიასთან, ალგებრასთან და გეომეტრიასთან და არის ერთ-ერთი მთავარი მათემატიკური მეცნიერება, ასევე მათგან უძველესი.
არითმეტიკის ძირითადი საგნებია მოქმედებები რიცხვებზე, მათ თვისებებზე, აგრეთვე რიცხვითი სიმრავლეების შესახებ. გარდა ამისა, არითმეტიკა სწავლობს ისეთ საკითხებს, როგორიცაა რიცხვების კონცეფციის წარმოშობა და განვითარება, საზომი და დათვლის ტექნიკა.
რიცხვითი მოქმედებები, რომლებიც არითმეტიკის საგანია, არის შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და გამრავლება. ეს ასევე მოიცავს ისეთ ოპერაციებს, როგორიცაა ფესვის ამოღება, გაძლიერება და სხვადასხვა რიცხვითი განტოლებების ამოხსნა.
გარდა ამისა, ისტორიულად განვითარდა, რომ არითმეტიკული მოქმედებები გამრავლების გარდა მოიცავს გაორმაგებას; გარდა გაყოფისა, გაყოფა ნაშთით და ორზე; ჩეკი; გეომეტრიული და არითმეტიკული პროგრესიების ჯამის გამოთვლა. უფრო მეტიც, ყველა არითმეტიკულ ოპერაციას აქვს საკუთარი იერარქია, რომელშიც უმაღლესი დონე იკავებს ფესვების ამოღებას და გაძლიერებას, ქვედა დონეს გამრავლებითა და გაყოფით, შემდეგ კი შეკრებითა და გამოკლებით.
უნდა აღინიშნოს, რომ ის გაზომვები და მათემატიკური გამოთვლები, რომლებიც ფართო პრაქტიკულ გამოყენებას პოულობენ (მაგალითად, პროცენტები, პროპორციები და ა.შ.) მიეკუთვნება ეგრეთ წოდებულ ქვედა არითმეტიკას, ხოლო რიცხვის ცნება და მისი ლოგიკური ანალიზი - თეორიულ არითმეტიკას.
არითმეტიკაძალიან მჭიდრო კავშირშია ალგებრასთან, რომლის შესწავლის ძირითად საგანს წარმოადგენს სხვადასხვა მოქმედებები რიცხვებთან, რომლებიც არ ითვალისწინებენ მათ თვისებებს და თვისებებს. ამავდროულად, ფესვების ამოღება და გაძლიერება ალგებრის ტექნიკური ნაწილია.
რადგან ყოველდღიურ ცხოვრებაში არითმეტიკაგამოიყენება თითქმის ყველგან, მაშინ აბსოლუტურად ყველას სჭირდება გარკვეული ცოდნა ამ მეცნიერებაში. მთელი ცხოვრების განმავლობაში, ოპერაციები, როგორიცაა დათვლა, მოცულობების გამოთვლა, ფართობები, სიჩქარეები, დროის ინტერვალები და სიგრძე უნდა შესრულდეს ძალიან ხშირად.
ნებისმიერი პროფესიის დასაუფლებლად უნდა გქონდეს საბაზისო არითმეტიკული ცოდნა და ეს განსაკუთრებით ეხება იმ სპეციალობებს, რომლებიც დაკავშირებულია ეკონომიკასთან, ტექნოლოგიასთან და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებთან.
არითმეტიკა (ბერძნული არითმეტიკა, არითმისიდან - რიცხვი)
მეცნიერება რიცხვების შესახებ, უპირველეს ყოვლისა, ბუნებრივი (დადებითი მთელი რიცხვების) რიცხვების და (რაციონალური) წილადების და მათზე მოქმედებების შესახებ. ნატურალური რიცხვების საკმარისად განვითარებული კონცეფციის ფლობა და რიცხვებთან მოქმედებების შესრულების უნარი აუცილებელია ადამიანის პრაქტიკული და კულტურული საქმიანობისთვის. მაშასადამე, ბავშვების სკოლამდელი აღზრდის ელემენტი და სასკოლო სასწავლო გეგმის სავალდებულო საგანია ა. ბევრი მათემატიკური ცნება აგებულია ნატურალური რიცხვების გამოყენებით (მაგალითად, მათემატიკური ანალიზის ძირითადი კონცეფცია არის რეალური რიცხვი). ამ მხრივ, მათემატიკა ერთ-ერთი მთავარი მათემატიკური მეცნიერებაა. როდესაც აქცენტი კეთდება რიცხვის ცნების ლოგიკურ ანალიზზე (იხ. რიცხვი), ზოგჯერ გამოიყენება ტერმინი თეორიული არითმეტიკა. ალგებრა მჭიდრო კავშირშია ალგებრასთან (იხ. ალგებრა), რომელშიც, კერძოდ, რიცხვებზე მოქმედებები შეისწავლება მათი ინდივიდუალური თვისებების გათვალისწინების გარეშე. რიცხვების თეორიის საგანს მთელი რიცხვების ინდივიდუალური თვისებები ქმნიან (იხ. რიცხვთა თეორია).
ისტორიული ცნობა.ძველ დროში წარმოშობილი დათვლისა და მარტივი გაზომვების პრაქტიკული მოთხოვნილებებიდან, არითმეტიკა განვითარდა ეკონომიკური აქტივობისა და სოციალური ურთიერთობების მზარდ სირთულესთან, ფულად გამოთვლებთან, მანძილების, დროის, ფართობების გაზომვის პრობლემებთან და სხვა მეცნიერებებთან დაკავშირებულ მოთხოვნებთან დაკავშირებით. ის. დათვლის გაჩენა და არითმეტიკული ცნებების ჩამოყალიბების საწყისი ეტაპები, როგორც წესი, განიხილება პირველყოფილი ხალხების დათვლის პროცესთან დაკავშირებული დაკვირვებებით და, ირიბად, კულტურული ხალხების ენებში შემონახული და დაკვირვებული მსგავსი ეტაპების კვალის შესწავლით. ბავშვების მიერ ამ ცნებების შეძენისას. ეს მონაცემები მიუთითებს, რომ გონებრივი აქტივობის იმ ელემენტების განვითარება, რომლებიც საფუძვლად უდევს დათვლის პროცესს, გადის რიგ შუალედურ ეტაპებს. მათ შორისაა: ერთი და იგივე ობიექტის ამოცნობისა და დასათვლელი ობიექტების ერთობლიობაში ობიექტების გარჩევის უნარი; ამ მთლიანობის ამომწურავი დაშლის დადგენის უნარი ერთმანეთისგან განსხვავებულ და იმავდროულად თანაბარ დათვლაში ელემენტებად (დასახელებული დათვლის „ერთეულის“ გამოყენებით); ორი კომპლექტის ელემენტებს შორის კორესპონდენციის დამყარების შესაძლებლობა, ჯერ პირდაპირ, შემდეგ კი მათი შედარება ობიექტების ერთხელ და სამუდამოდ შეკვეთილი კოლექციის ელემენტებთან, ანუ გარკვეული თანმიმდევრობით მდებარე ობიექტების კრებულთან. ასეთი სტანდარტული მოწესრიგებული ნაკრების ელემენტებია სიტყვები (რიცხვები), რომლებიც გამოიყენება ნებისმიერი თვისებრივი ხასიათის ობიექტების დათვლისას და შეესაბამება რიცხვის აბსტრაქტული კონცეფციის ფორმირებას. სხვადასხვა პირობებში შეიძლება დაფიქსირდეს ჩამოთვლილი უნარებისა და მათ შესაბამისი არითმეტიკული ცნებების თანდათანობითი გაჩენისა და გაუმჯობესების მსგავსი ნიშნები. თავდაპირველად, დათვლა შესაძლებელია მხოლოდ შედარებით მცირე რაოდენობის ობიექტების აგრეგატებისთვის, რომელთა მიღმა ბუნდოვნად არის რეალიზებული რაოდენობრივი განსხვავებები და ხასიათდება სიტყვებით, რომლებიც სინონიმია სიტყვა „ბევრთან“; ამ შემთხვევაში, დამთვლელი ხელსაწყოებია ხეზე ნაკვეთები („ტეგების“ რაოდენობა), კენჭების, როზინის მძივების დათვლა, თითები და ა.შ., აგრეთვე ელემენტების მუდმივი რაოდენობის შემცველი ნაკრები, მაგალითად: „თვალები“ - როგორც რიცხვის "ორი" სინონიმი, ხელი ("metacarpus") - როგორც სინონიმი და რიცხვის "ხუთი" რეალური საფუძველი და ა.შ. სიტყვიერი რიგობითი დათვლა (ერთი, ორი, სამი და ა.შ.), რომლის პირდაპირი დამოკიდებულება თითების დათვლაზე (თითების სახელების თანმიმდევრული გამოთქმა, ხელის ნაწილები) ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება პირდაპირ მიკვლეული იყოს, შემდგომში ასოცირდება დათვლის ჯგუფებთან. შეიცავს გარკვეული რაოდენობის ობიექტებს. ეს რიცხვი ქმნის შესაბამისი რიცხვების სისტემის საფუძველს, როგორც წესი, ორი ხელის თითებზე დათვლის შედეგად, რომელიც უდრის 10-ს. თუმცა, ასევე არსებობს 5, 20 დაჯგუფებები (ფრანგ. 80 „quatre-vingt“ = 4 × 20. ), 40, 12 ("ათეული"), 60 და თუნდაც 11 (ახალი ზელანდია). განვითარებული სავაჭრო ურთიერთობების ეპოქაში ნუმერაციის მეთოდები (როგორც ზეპირი, ასევე წერილობითი) ბუნებრივად ავლენდა ერთგვაროვნების ტენდენციას ერთმანეთთან მოკავშირე ტომებსა და ეროვნებებს შორის; ამ გარემოებამ გადამწყვეტი როლი ითამაშა დღევანდელობაში გამოყენებული სისტემის ჩამოყალიბებასა და გავრცელებაში. ნუმერაციის სისტემის დრო (ნოტაცია (იხ. ნოტაცია)), რიცხვების ადგილის (ბიტური) მნიშვნელობის პრინციპი და არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების მეთოდები. როგორც ჩანს, მსგავსი მიზეზები ხსნის რიცხვითი სახელების ცნობილ მსგავსებას სხვადასხვა ენაში: მაგალითად, ორი - dva (სანსკრიტი), 2 (ბერძნული), დუო (ლათინური), ორი (ინგლისური). უძველესი ცივილიზაციების ეპოქაში არითმეტიკული ცოდნის მდგომარეობის შესახებ პირველი სანდო ინფორმაციის წყაროა დოქტორის წერილობითი დოკუმენტები. ეგვიპტე (მათემატიკური პაპირუსი), დაწერილი დაახლოებით 2 ათასი წლის წინ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე. ე. ეს არის ამოცანების კრებული, სადაც მითითებულია მათი გადაწყვეტილებები, მთელ რიცხვებზე და წილადებზე მოქმედების წესები დამხმარე ცხრილებით, ყოველგვარი თეორიული ახსნა-განმარტების გარეშე. ამ კრებულში ზოგიერთი პრობლემა მოგვარებულია არსებითად განტოლებების დაყენებითა და ამოხსნით; ასევე გვხვდება არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიები. ბაბილონელების არითმეტიკული კულტურის საკმაოდ მაღალი დონის შესახებ ძვ.წ 2-3 ათასი წლის განმავლობაში. ე. ლურსმული ფორმის მათემატიკური ტექსტების განსჯის საშუალებას იძლევა. ბაბილონელთა წერილობითი ნუმერაცია ლურსმული ტექსტებით არის ათობითი სისტემის (60-ზე ნაკლები რიცხვებისთვის) თავისებური კომბინაცია სქესობრივ სისტემასთან, ციფრული ერთეულებით 60, 60 2 და ა.შ. არითმეტიკის მაღალი დონის ყველაზე მნიშვნელოვანი მაჩვენებელია სქესობრივი წილადების გამოყენება, მათზე გამოყენებული იგივე ნუმერაციის სისტემით, თანამედროვე ათობითი წილადების მსგავსი. ბაბილონელთა არითმეტიკული ტექნიკა, რომელიც თეორიულად მსგავსი იყო ათობითი სისტემის ჩვეულებრივი ტექნიკისა, გართულდა ვრცელი გამრავლების ცხრილების გამოყენების აუცილებლობით (1-დან 59-მდე რიცხვებისთვის). შემორჩენილ ლურსმულ მასალებში, რომლებიც, როგორც ჩანს, სასწავლო დამხმარე მასალას წარმოადგენდა, ასევე არის საპასუხო რიცხვების შესაბამისი ცხრილები (ორნიშნა და სამნიშნა, ე.ი. 1/60 2 და 1/60 3 სიზუსტით), რომლებიც გამოყენებული იყო ქ. დაყოფა. ძველ ბერძნებს შორის არქიტექტურის პრაქტიკულმა მხარემ შემდგომი განვითარება არ მიუღია; წერილობითი ნუმერაციის სისტემა, რომელიც მათ იყენებდნენ ანბანის ასოების გამოყენებით, გაცილებით ნაკლებად შესაფერისი იყო რთული გამოთვლებისთვის, ვიდრე ბაბილონური (განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია, რომ ძველი ბერძენი ასტრონომები ამჯობინებდნენ სექსუალური სისტემის გამოყენებას). მეორე მხრივ, ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსებმა საფუძველი ჩაუყარეს არითმეტიკის თეორიულ განვითარებას ნატურალური რიცხვების დოქტრინის, პროპორციების თეორიის, რაოდენობების გაზომვის და, იმპლიციტური ფორმით, ასევე ირაციონალური რიცხვების თეორიის თვალსაზრისით. ევკლიდეს ელემენტებში (ძვ. წ. III ს.) არის მარტივი რიცხვების უსასრულობის მტკიცებულებები, გაყოფის ძირითადი თეორემები და ორი სეგმენტის საერთო ზომისა და ორი რიცხვის საერთო უდიდესი გამყოფის პოვნის ალგორითმები, რომლებმაც შეინარჩუნეს თავიანთი მნიშვნელობა. და ჯერ კიდევ მნიშვნელოვანი (იხ. ევკლიდეს ალგორითმი), რაციონალური რიცხვის არარსებობის დადასტურება, რომლის კვადრატი არის 2 (რიცხვის ირაციონალურობა √2) და გეომეტრიული ფორმით გამოხატული პროპორციების თეორია. განხილული რიცხვების თეორიული ამოცანები მოიცავს ამოცანებს სრულყოფილ რიცხვებზე (იხ. სრულყოფილი რიცხვები) (ევკლიდე), პითაგორას რიცხვებზე (იხ. პითაგორას რიცხვები),
და ასევე - უკვე გვიანდელ ეპოქაში - მარტივი რიცხვების იზოლირების ალგორითმი (ერატოსთენეს საცერი) და მე-2 და უმაღლესი ხარისხის არაერთი განუსაზღვრელი განტოლების ამოხსნის (დიოფანტი). რიცხვთა უსასრულო ბუნებრივი რიგის კონცეფციის ჩამოყალიბებაში მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა არქიმედეს „ფსამიტმა“ (ძვ. წ. III საუკუნე), რომელიც ადასტურებს თვითნებურად დიდი რიცხვების დასახელებისა და აღნიშვნის შესაძლებლობას. არქიმედეს ნამუშევრები მიუთითებს საკმაოდ მაღალ უნარზე სასურველი რაოდენობების მიახლოებითი მნიშვნელობების მისაღებად: მრავალნიშნა რიცხვების ფესვის ამოღება, რაციონალური მიახლოებების პოვნა ირაციონალური რიცხვებისთვის, მაგალითად. რომაელებმა არ დააწინაურეს გამოთვლების ტექნოლოგია; თუმცა, მათ დატოვეს ნუმერაციის სისტემა, რომელიც დღემდე შემორჩა (რომაული ციფრები), რომელიც ცუდად არის შესაფერისი ოპერაციებისთვის და ახლა გამოიყენება თითქმის ექსკლუზიურად რიგითი რიცხვების აღსანიშნავად. ძნელია მათემატიკის განვითარების უწყვეტობის მიკვლევა წინა, უფრო ძველ კულტურებთან მიმართებაში; თუმცა, აფრიკის განვითარების უაღრესად მნიშვნელოვანი ეტაპები დაკავშირებულია ინდოეთის კულტურასთან, რომელმაც გავლენა მოახდინა როგორც დასავლეთ აზიისა და ევროპის ქვეყნებზე, ასევე აღმოსავლეთის ქვეყნებზე. აზია (ჩინეთი, იაპონია). არითმეტიკული შინაარსის ამოცანების გადასაჭრელად ალგებრის გამოყენების გარდა, ინდიელების ყველაზე მნიშვნელოვანი მიღწევა იყო პოზიციური რიცხვების სისტემის შემოღება (ათი ციფრის გამოყენებით, ნულის ჩათვლით რომელიმე ციფრში ერთეულების არარსებობის მითითებით), რომელიც შესაძლებელი გახდა ძირითადი არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების შედარებით მარტივი წესების შემუშავება. შუა საუკუნეების აღმოსავლეთის მეცნიერებმა არა მხოლოდ შეინარჩუნეს ძველი ბერძენი მათემატიკოსების მემკვიდრეობა თარგმანებში, არამედ ხელი შეუწყეს ინდიელთა მიღწევების გავრცელებასა და შემდგომ განვითარებას. არითმეტიკული ოპერაციების შესრულების მეთოდები, ძირითადად ჯერ კიდევ შორს არის თანამედროვესგან, მაგრამ უკვე იყენებს პოზიციური რიცხვების სისტემის უპირატესობებს, მე-10 საუკუნიდან. ნ. ე. დაიწყო თანდათანობით შეღწევა ევროპაში, პირველ რიგში იტალიასა და ესპანეთში. არქიტექტურის შედარებით ნელი პროგრესი შუა საუკუნეებში ადგილს უთმობს XVII საუკუნის დასაწყისს. გაანგარიშების მეთოდების სწრაფი გაუმჯობესება გამოთვლითი ტექნოლოგიების გაზრდილ პრაქტიკულ მოთხოვნებთან დაკავშირებით (საზღვაო ასტრონომიის პრობლემები, მექანიკა, სულ უფრო რთული კომერციული გამოთვლები და ა.შ.). წილადები 10 მნიშვნელით, რომლებსაც იყენებდნენ ინდიელები (კვადრატული ფესვების ამოღებისას) და არაერთხელ მიიპყრო ევროპელი მეცნიერების ყურადღება, პირველად გამოიყენებოდა იმპლიციტური ფორმით ტრიგონომეტრიულ ცხრილებში (მთელი რიცხვების სახით, რომლებიც გამოხატავენ ხაზების სიგრძეს. სინუსის, ტანგენტის და ა.შ. რადიუსით აღებული 10 5). პირველად (1427) ალ-კაშიმ დეტალურად აღწერა ათობითი წილადების სისტემა და მათთან მუშაობის წესები.
ათობითი წილადების აღნიშვნა, რომელიც არსებითად ემთხვევა თანამედროვეს, გვხვდება ს. სტევინის 1585 წლის ნაშრომებში და მას შემდეგ ფართოდ გავრცელდა. მე-17 საუკუნის დასაწყისში ლოგარითმების გამოგონება იმავე ეპოქით თარიღდება. J. Napier om.
მე-18 საუკუნის დასაწყისში. თანამედროვე ფორმას იღებს გამოთვლების შესრულებისა და ჩაწერის ტექნიკა. რუსეთში მე -17 საუკუნის დასაწყისამდე. გამოყენებული იყო ბერძნულის მსგავსი ნუმერაცია; ზეპირი ნუმერაციის სისტემა კარგად და ცალსახად იყო განვითარებული და მიაღწია 50-ე ციფრს. მე -18 საუკუნის დასაწყისის რუსული არითმეტიკული სახელმძღვანელოებიდან. უდიდესი მნიშვნელობა ჰქონდა ლ.ფ. მაგნიტსკის არითმეტიკას, რომელსაც ძალიან აფასებდა მ.ვ.ლომონოსოვი (იხ. მაგნიტსკი) (1703). იგი შეიცავს ა-ს შემდეგ განმარტებას: „არითმეტიკა, ანუ მრიცხველი, არის პატიოსანი, შეუსაბამო და ყველასთვის ადვილად გასაგები ხელოვნება, ყველაზე სასარგებლო და საქებარი, გამოგონილი და ახსნილი უძველესი და თანამედროვე არითმეტოლოგების მიერ, რომლებიც ცხოვრობდნენ სხვადასხვა დროს. ჯერ.” ნუმერაციის კითხვებთან ერთად, გამოთვლის ტექნიკის პრეზენტაციას მთელი რიცხვებითა და წილადებით (მათ შორის ათწილადები) და მასთან დაკავშირებულ ამოცანებთან ერთად, ეს სახელმძღვანელო ასევე შეიცავს ალგებრის, გეომეტრიისა და ტრიგონომეტრიის ელემენტებს, ასევე უამრავ პრაქტიკულ ინფორმაციას კომერციულ გამოთვლებთან და ნავიგაციის პრობლემებთან. ა-ს პრეზენტაცია მეტ-ნაკლებად თანამედროვე ფორმას იღებს ლ.ეილერისა და მისი სტუდენტებისგან. არითმეტიკის თეორიული კითხვები.რიცხვების დოქტრინასთან და რაოდენობების გაზომვის დოქტრინასთან დაკავშირებული კითხვების თეორიული განვითარება არ შეიძლება განშორდეს მათემატიკის განვითარებას მთლიანობაში: მისი გადამწყვეტი ეტაპები დაკავშირებულია მომენტებთან, რომლებიც თანაბრად განსაზღვრავენ ალგებრის, გეომეტრიის და ანალიზის განვითარებას. ყველაზე მნიშვნელოვანი უნდა ჩაითვალოს რაოდენობების ზოგადი დოქტრინის, რიცხვების შესაბამისი აბსტრაქტული დოქტრინის (იხ. რიცხვი) (მთლიანი, რაციონალური და ირაციონალური) და ალგებრის ანბანური აპარატის შექმნა. არითმეტიკის ფუნდამენტური მნიშვნელობა, როგორც მეცნიერება, რომელიც საკმარისია სხვადასხვა სახის უწყვეტი რაოდენობების შესასწავლად, მხოლოდ მე-17 საუკუნის ბოლოს იქნა გაცნობიერებული. რაციონალური მიახლოებათა თანმიმდევრობით განსაზღვრული ირაციონალური რიცხვის ცნების არითმეტიკაში ჩართვასთან დაკავშირებით. ამაში მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა ათობითი წილადების აპარატმა და ლოგარითმების გამოყენებამ, რამაც გააფართოვა საჭირო სიზუსტით შესრულებული მოქმედებების დიაპაზონი რეალურ რიცხვებზე (ირაციონალური და რაციონალური).
გრასმანის მშენებლობა შემდგომში დასრულდა G. Peano-ს შრომით,
რომელშიც ნათლად არის ხაზგასმული ძირითადი (სხვა ცნებებით არ განსაზღვრული) ცნებების სისტემა, კერძოდ: ნატურალური რიცხვის ცნება, ერთი რიცხვის ცნება ბუნებრივ სერიაში მეორის უშუალოდ შემდეგ და ნატურალურის საწყისი წევრის კონცეფცია. სერია (რომელიც შეიძლება იქნას მიღებული როგორც 0 ან 1). ეს ცნებები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული ხუთი აქსიომით, რომლებიც შეიძლება ჩაითვალოს ამ ძირითადი ცნებების აქსიომატიურ განმარტებად. პეანოს აქსიომები: 1) 1 ნატურალური რიცხვია; 2) შემდეგი ნატურალური რიცხვი ნატურალური რიცხვია; 3) 1 არცერთ ნატურალურ რიცხვს არ მოსდევს; 4) თუ ნატურალური რიცხვია ამიჰყვება ბუნებრივ რიცხვს ბდა ნატურალური რიცხვის მიღმა თან, ეს ბდა თანიდენტურია; 5) თუ რომელიმე წინადადება დადასტურდა 1-ისთვის და თუ ვარაუდიდან გამომდინარე, რომ ის ჭეშმარიტია ნატურალური რიცხვისთვის ნ, აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს მართალია შემდეგში პნატურალური რიცხვი, მაშინ ეს წინადადება მართალია ყველა ნატურალური რიცხვისთვის. ეს აქსიომა - სრული ინდუქციის აქსიომა - შესაძლებელს ხდის გრასმანის მოქმედებების განმარტებების შემდგომ გამოყენებას და ნატურალური რიცხვების ზოგადი თვისებების დამტკიცებას. ეს კონსტრუქციები, რომლებიც გადაწყვეტენ არითმეტიკის ფორმალური დებულებების დასაბუთების პრობლემას, გვერდით ტოვებენ ნატურალური რიცხვების არითმეტიკის ლოგიკური სტრუქტურის საკითხს სიტყვის ფართო გაგებით, მათ შორის იმ ოპერაციების ჩათვლით, რომლებიც განსაზღვრავენ არითმეტიკის გამოყენებას როგორც მათემატიკაში. თავად და პრაქტიკულ გამოყენებაში.ცხოვრება. საკითხის ამ მხარის ანალიზმა, კარდინალური რიცხვის ცნების შინაარსის გარკვევით, ამავე დროს აჩვენა, რომ არითმეტიკის დასაბუთების საკითხი მჭიდრო კავშირშია მათემატიკური დისციპლინების მეთოდოლოგიური ანალიზის უფრო ზოგად ფუნდამენტურ პრობლემებთან. თუ მათემატიკის უმარტივესი წინადადებები, რომლებიც ეხება საგნების ელემენტარულ დათვლას და წარმოადგენს კაცობრიობის მრავალსაუკუნოვანი გამოცდილების განზოგადებას, ბუნებრივად ჯდება უმარტივეს ლოგიკურ სქემაში, მაშინ მათემატიკა, როგორც მათემატიკური დისციპლინა, რომელიც სწავლობს ნატურალური რიცხვების უსასრულო კრებულს. , მოითხოვს აქსიომების შესაბამისი სისტემის თანმიმდევრულობის შესწავლას და მისი ზოგადი წინადადებებიდან მიღებული მნიშვნელობის უფრო დეტალურ ანალიზს. ნათ.:კლაინ ფ., დაწყებითი მათემატიკა უმაღლესი თვალსაზრისით, ტრანს. მასთან. ტ.3 გამოცემა, ტ.1, M.-L., 1935; არნოლდ I.V., თეორიული არითმეტიკა, მე-2 გამოცემა, მ., 1939; Bellustin V.K., როგორ მიაღწიეს ადამიანებმა თანდათან რეალურ არითმეტიკას, M., 1940; გრებენჩა მ.კ., არითმეტიკა, მე-2 გამოცემა, მ., 1952; ბერმან გ.ნ., რიცხვი და მისი მეცნიერება, მე-3 გამოცემა, მ., 1960; Deptyaan I. Ya., არითმეტიკის ისტორია, 2nd ed., M., 1965; Vygodsky M. Ya., არითმეტიკა და ალგებრა ძველ სამყაროში, 2nd ed., M., 1967 წ. I. V. არნოლდი.
დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .
სინონიმები:ნახეთ, რა არის "არითმეტიკა" სხვა ლექსიკონებში:
- (ბერძნული არითმოსის რიცხვიდან და ტოჩე ხელოვნებადან). მეცნიერება, რომელიც ეხება რიცხვებს. რუსულ ენაში შეტანილი უცხო სიტყვების ლექსიკონი. Chudinov A.N., 1910. არითმეტიკა ბერძნულიდან. არითმოსი, რიცხვი და ტექნიკა, ხელოვნება. რიცხვების მეცნიერება....... რუსული ენის უცხო სიტყვების ლექსიკონი
