ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი

შენიშვნა. ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობების ეს ცხრილი იყენებს √ ნიშანს კვადრატული ფესვის წარმოსადგენად. წილადის აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო "/".

იხილეთ ასევესასარგებლო მასალები:

ამისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაიპოვეთ ის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მითითების წრფის გადაკვეთაზე. მაგალითად, სინუსი 30 გრადუსი - ჩვენ ვეძებთ სვეტს სათაურით sin (sine) და ვპოულობთ ამ ცხრილის სვეტის კვეთას მწკრივით "30 გრადუსი", მათ კვეთაზე ვკითხულობთ შედეგს - ერთი ნახევარი. ანალოგიურად ვპოულობთ კოსინუსი 60გრადუსი, სინუსი 60გრადუსი (კიდევ ერთხელ, sin სვეტისა და 60 გრადუსიანი ხაზის გადაკვეთაზე ვპოულობთ მნიშვნელობას sin 60 = √3/2) და ა.შ. სხვა "პოპულარული" კუთხეების სინუსების, კოსინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობები ანალოგიურად არის ნაპოვნი.

სინუს პი, კოსინუსი პი, ტანგენსი პი და სხვა კუთხეები რადიანებში

კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების ქვემოთ მოცემული ცხრილი ასევე შესაფერისია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელთა არგუმენტი არის მოცემულია რადიანებში. ამისათვის გამოიყენეთ კუთხის მნიშვნელობების მეორე სვეტი. ამის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ პოპულარული კუთხეების მნიშვნელობა გრადუსიდან რადიანამდე. მაგალითად, ვიპოვოთ 60 გრადუსიანი კუთხე პირველ სტრიქონში და წავიკითხოთ მისი მნიშვნელობა რადიანებში მის ქვეშ. 60 გრადუსი უდრის π/3 რადიანს.

რიცხვი pi ცალსახად გამოხატავს წრეწირის დამოკიდებულებას კუთხის ხარისხის ზომაზე. ამრიგად, პი რადიანები უდრის 180 გრადუსს.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოხატულია pi-ში (რადიანი) ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხებად პი (π) 180-ით ჩანაცვლებით..

მაგალითები:
1. სინე პი.
sin π = sin 180 = 0
ამგვარად, pi-ს სინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის სინუსი და ის ნულის ტოლია.

2. კოსინუსი პი.
cos π = cos 180 = -1
ამრიგად, pi-ს კოსინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის კოსინუსი და უდრის მინუს ერთს.

3. ტანგენტი პი
tg π = tg 180 = 0
ამრიგად, ტანგენტი pi იგივეა, რაც ტანგენსი 180 გრადუსი და ის ნულის ტოლია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის მნიშვნელობების ცხრილი კუთხეებისთვის 0 - 360 გრადუსი (საერთო მნიშვნელობები)

კუთხის α მნიშვნელობა (გრადუსები)	კუთხის α მნიშვნელობა რადიანებში (pi-ს მეშვეობით)	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	ტგ (ტანგენტი)	ctg (კოტანგენსი)	წმ (სეკანტი)	კოსეკი (თანამედროვე)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში მითითებულია ტირე ფუნქციის მნიშვნელობის ნაცვლად (ტანგენსი (tg) 90 გრადუსი, კოტანგენსი (ctg) 180 გრადუსი), მაშინ კუთხის ხარისხის გაზომვის მოცემული მნიშვნელობისთვის ფუნქცია. არ აქვს კონკრეტული ღირებულება. თუ ტირე არ არის, უჯრედი ცარიელია, რაც ნიშნავს, რომ ჯერ არ შეგვიყვანია საჭირო მნიშვნელობა. ჩვენ გვაინტერესებს რა კითხვებზე მოდიან მომხმარებლები ჩვენთან და ავსებენ ცხრილს ახალი მნიშვნელობებით, მიუხედავად იმისა, რომ არსებული მონაცემები ყველაზე გავრცელებული კუთხის მნიშვნელობების კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობების შესახებ სავსებით საკმარისია უმრავლესობის გადასაჭრელად. პრობლემები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი sin, cos, tg ყველაზე პოპულარული კუთხისთვის
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 გრადუსი
(რიცხობრივი მნიშვნელობები "ბრედისის ცხრილების მიხედვით")

კუთხის α მნიშვნელობა (გრადუსები)	კუთხის α მნიშვნელობა რადიანებში	ცოდვა (სინუსი)	cos (კოსინუსი)	tg (ტანგენსი)	ctg (კოტანგენსი)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

სინუსების (sin), კოსინუსების (cos), ტანგენტების (tg), კოტანგენტების (ctg) მნიშვნელობების ცხრილები არის მძლავრი და სასარგებლო ინსტრუმენტი, რომელიც ეხმარება მრავალი პრობლემის გადაჭრაში, როგორც თეორიულ, ასევე გამოყენებითი. ამ სტატიაში ჩვენ შემოგთავაზებთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილს (სინუსები, კოსინუსები, ტანგენტები და კოტანგენტები) 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხებისთვის (0, π 6, π 3, π. 2,... ., 2 π რადიანი). ასევე ნაჩვენები იქნება ბრედისის ცალკეული ცხრილები სინუსებისა და კოსინუსებისთვის, ტანგენტებისა და კოტანგენტებისთვის, ახსნით, თუ როგორ გამოვიყენოთ ისინი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების საპოვნელად.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილი 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 გრადუსიანი კუთხეებისთვის

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის განმარტებებზე დაყრდნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების მნიშვნელობები 0 და 90 გრადუსიანი კუთხისთვის.

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, ნულოვანი კოტანგენსი არ არის განსაზღვრული,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, ოთხმოცდაათი გრადუსიანი ტანგენტი არ არის განსაზღვრული.

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობები გეომეტრიის კურსში განისაზღვრება, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობა, რომლის კუთხეებია 30, 60 და 90 გრადუსი, ასევე 45, 45 და 90 გრადუსი.

მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრა

სინუსი- მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

კოსინუსი- მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

ტანგენტი- მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან.

კოტანგენსი- მიმდებარე მხარის თანაფარდობა მოპირდაპირე მხარეს.

განმარტებების შესაბამისად, ნაპოვნია ფუნქციების მნიშვნელობები:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, ცოდვა 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.

მოდით ჩავდოთ ეს მნიშვნელობები ცხრილში და ვუწოდოთ მას სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილი.

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილი

α °	0	30	45	60	90
sin α	0	1 2	2 2	3 2	1
cos α	1	3 2	2 2	1 2	0
t g α	0	3 3	1	3	განუსაზღვრელი
c t g α	განუსაზღვრელი	3	1	3 3	0
α, რ ა დ ი ა ნ	0	π 6	π 4	π 3	π 2

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისებაა პერიოდულობა. ამ თვისებიდან გამომდინარე, ეს ცხრილი შეიძლება გაფართოვდეს შემცირების ფორმულების გამოყენებით. ქვემოთ წარმოგიდგენთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გაფართოებულ ცხრილს 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ..., 360 გრადუსიანი (0, π 6, π 3) კუთხეებისთვის. , π 2, ... , 2 π რადიანი).

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილი

α °	0	30	45	60	90	120	135	150	180	210	225	240	270	300	315	330	360
sin α	0	1 2	2 2	3 2	1	3 2	2 2	1 2	0	- 1 2	- 2 2	- 3 2	- 1	- 3 2	- 2 2	- 1 2	0
cos α	1	3 2	2 2	1 2	0	- 1 2	- 2 2	- 3 2	- 1	- 3 2	- 2 2	- 1 2	0	1 2	2 2	3 2	1
t g α	0	3 3	1	3	-	- 1	- 3 3	0	0	3 3	1	3	-	- 3	- 1		0
c t g α	-	3	1	3 3	0	- 3 3	- 1	- 3	-	3	1	3 3	0	- 3 3	- 1	- 3	-
α, რ ა დ ი ა ნ	0	π 6	π 4	π 3	π 2	2 π 3	3 π 4	5 π 6	π	7 π 6	5 π 4	4 π 3	3 π 2	5 π 3	7 π 4	11 π 6	2π

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენტის პერიოდულობა საშუალებას გაძლევთ გააფართოვოთ ეს ცხრილი თვითნებურად დიდ კუთხის მნიშვნელობებამდე. ცხრილში შეგროვებული მნიშვნელობები ყველაზე ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადაჭრისას, ამიტომ რეკომენდებულია მათი დამახსოვრება.

როგორ გამოვიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი მნიშვნელობების ცხრილი

სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენების პრინციპი ნათელია ინტუიციურ დონეზე. მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთა იძლევა ფუნქციის მნიშვნელობას კონკრეტული კუთხისთვის.

მაგალითი. როგორ გამოვიყენოთ სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების და კოტანგენტების ცხრილი

უნდა გავარკვიოთ, რის ტოლია ცოდვა 7 π 6

ცხრილში ვპოულობთ სვეტს, რომლის ბოლო უჯრედის მნიშვნელობა არის 7 π 6 რადიანი - იგივე 210 გრადუსი. შემდეგ ვირჩევთ ცხრილის ტერმინს, რომელშიც წარმოდგენილია სინუსების მნიშვნელობები. მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთაზე ვპოულობთ სასურველ მნიშვნელობას:

sin 7 π 6 = - 1 2

ბრედის მაგიდები

ბრედისის ცხრილი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის ან კოტანგენტის მნიშვნელობა 4 ათობითი ადგილის სიზუსტით კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენების გარეშე. ეს არის ერთგვარი ჩანაცვლება საინჟინრო კალკულატორისთვის.

მითითება

ვლადიმერ მოდესტოვიჩ ბრადისი (1890 - 1975) - საბჭოთა მათემატიკოსი-პედაგოგი, 1954 წლიდან სსრკ პედაგოგიურ მეცნიერებათა აკადემიის წევრ-კორესპონდენტი. ბრედისის მიერ შემუშავებული ოთხნიშნა ლოგარითმებისა და ბუნებრივი ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ცხრილები პირველად 1921 წელს გამოქვეყნდა.

პირველ რიგში, წარმოგიდგენთ ბრედისის ცხრილს სინუსებისა და კოსინუსებისთვის. ეს საშუალებას გაძლევთ საკმაოდ ზუსტად გამოთვალოთ ამ ფუნქციების სავარაუდო მნიშვნელობები კუთხეებისთვის, რომლებიც შეიცავს გრადუსებისა და წუთების რიცხვს. ცხრილის მარცხენა სვეტი წარმოადგენს გრადუსებს, ხოლო ზედა მწკრივი წარმოადგენს წუთებს. გაითვალისწინეთ, რომ ბრედისის ცხრილის ყველა კუთხის მნიშვნელობა არის ექვსი წუთის ჯერადი.

ბრედის მაგიდა სინუსებისა და კოსინუსებისთვის

ცოდვა	0"	6"	12"	18"	24"	30"	36"	42"	48"	54"	60"	cos	1"	2"	3"
											0.0000	90°
0°	0.0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0.0872	85°	3	6	9
5°	0.0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0.1736	80°	3	6	9
10°	0.1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0.2588	75°	3	6	8
15°	0.2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0.3420	70°	3	5	8
20°	0.3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°	3	5	8
24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0.4226	65°	3	5	8
25°	0.4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0.5000	60°	3	5	8
30°	0.5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0.5736	55°	2	5	7
35°	0.5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0.5878	54°	2	5	7
36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52°	2	5	7
38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51°	2	5	7
39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0.6428	50°	2	4	7
40°	0.6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49°	2	4	7
41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48°	2	4	7
42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	8909	6921	6934	6947	46°	2	4	6
44°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0.7071	45°	2	4	6
45°	0.7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44°	2	4	6
46°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
47°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42°	2	4	6
48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41°	2	4	6
49°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0.7660	40°	2	4	6
50°	0.7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
51°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
52°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
53°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36°	2	3	5
54°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0.8192	35°	2	3	5
55°	0.8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34°	2	3	5
56°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33°	2	3	5
57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31°	2	3	5
59°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0.8660	30°	1	3	4
60°	0.8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29°	1	3	4
61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28°	1	3	4
62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27°	1	3	4
63°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0.9063	25°	1	3	4
65°	0.9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23°	1	2	3
67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9256	9272	22°	1	2	3
68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21°	1	2	3
69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9383	9391	0.9397	20°	1	2	3
70°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0.9455	19°	1	2	3
71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	1	2	3
73°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
74°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0.9659	15°	1	2	2
75°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0.9848	10°	1	1	2
80°	0.9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6°	0	1	1
84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1
85°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4°	0	0	1
86°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0.9998	1°	0	0	0
89°	9998	9999	9999	9999	9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0°	0	0	0
90°	1.0000
ცოდვა	60"	54"	48"	42"	36"	30"	24"	18"	12"	6"	0"	cos	1"	2"	3"

ცხრილში არ არის წარმოდგენილი კუთხეების სინუსებისა და კოსინუსების მნიშვნელობების საპოვნელად, საჭიროა გამოვიყენოთ შესწორებები.

ახლა წარმოგიდგენთ ბრედის ცხრილს ტანგენტებისა და კოტანგენტებისთვის. იგი შეიცავს კუთხეების ტანგენტების მნიშვნელობებს 0-დან 76 გრადუსამდე და კუთხეების კოტანგენტებს 14-დან 90 გრადუსამდე.

ბრედის მაგიდა ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის

ტგ	0"	6"	12"	18"	24"	30"	36"	42"	48"	54"	60"	ctg	1"	2"	3"
											0	90°
0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85°	3	6	9
5°	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9
10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9
15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74°	3	6	9
16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10
20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	7	10
21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11
25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62°	4	7	11
28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12
30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13
35°	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14°
37°	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
39°	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15
40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	11	16
43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46°	6	11	17
44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45°	6	11	17
45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43°	6	12	18
47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42°	6	13	19
48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40°	7	14	21
50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39°	7	14	22
51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
54°	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26
55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34
60°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28°	1	3	4
62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
63°	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26°	1	3	4
64°	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5
65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
68°	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20°	2	5	7
70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18°	3	6	9
72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
73°	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
							3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
74°	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
							3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
75°	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
ტგ	60"	54"	48"	42"	36"	30"	24"	18"	12"	6"	0"	ctg	1"	2"	3"

როგორ გამოვიყენოთ ბრედის ცხრილები

განვიხილოთ ბრედის ცხრილი სინუსებისა და კოსინუსებისთვის. ყველაფერი რაც დაკავშირებულია სინუსებთან არის ზედა და მარცხნივ. თუ ჩვენ გვჭირდება კოსინუსები, შეხედეთ მარჯვენა მხარეს ცხრილის ბოლოში.

კუთხის სინუსის მნიშვნელობების მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მწკრივის კვეთა, რომელიც შეიცავს გრადუსების საჭირო რაოდენობას მარცხენა უჯრედში და სვეტი, რომელიც შეიცავს წუთების საჭირო რაოდენობას ზედა უჯრედში.

თუ ზუსტი კუთხის მნიშვნელობა არ არის ბრედისის ცხრილში, მივმართავთ შესწორებებს. ერთი, ორი და სამი წუთის შესწორებები მოცემულია ცხრილის მარჯვენა სვეტში. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ კუთხის სინუსის მნიშვნელობა, რომელიც არ არის ცხრილში, ჩვენ ვიპოვით მასთან ყველაზე ახლოს. ამის შემდეგ ვამატებთ ან ვაკლებთ კუთხეებს შორის სხვაობის შესაბამისი შესწორებას.

თუ ჩვენ ვეძებთ 90 გრადუსზე მეტი კუთხის სინუსს, ჯერ უნდა გამოვიყენოთ შემცირების ფორმულები და მხოლოდ ამის შემდეგ ბრედისის ცხრილი.

მაგალითი. როგორ გამოვიყენოთ ბრედის მაგიდა

ვთქვათ, უნდა ვიპოვოთ 17 ° 44" კუთხის სინუსი. ცხრილის გამოყენებით ვხვდებით, თუ რას უდრის 17 ° 42" სინუსი და მის მნიშვნელობას დავამატოთ ორი წუთის შესწორება:

17°44" - 17°42" = 2" (აუცილებელი შესწორება) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046

კოსინუსებთან, ტანგენტებთან და კოტანგენტებთან მუშაობის პრინციპი მსგავსია. თუმცა, მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს ცვლილებების ნიშანი.

Მნიშვნელოვანი!

სინუსების მნიშვნელობების გამოთვლისას კორექტირებას აქვს დადებითი ნიშანი, ხოლო კოსინუსების გამოთვლისას კორექტირება უნდა იქნას მიღებული უარყოფითი ნიშნით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

როგორც ხედავთ, ეს წრე აგებულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. წრის რადიუსი უდრის ერთს, ხოლო წრის ცენტრი დევს კოორდინატების საწყისთან, რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია ფიქსირდება ღერძის დადებითი მიმართულებით (ჩვენს მაგალითში ეს არის რადიუსი).

წრის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი: ღერძის კოორდინატი და ღერძის კოორდინატი. რა არის ეს კოორდინატთა რიცხვები? და საერთოდ, რა შუაშია ისინი განსახილველ თემასთან? ამისათვის ჩვენ უნდა გვახსოვდეს განხილული მართკუთხა სამკუთხედი. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში შეგიძლიათ იხილოთ ორი მთელი მართკუთხა სამკუთხედი. განვიხილოთ სამკუთხედი. ის მართკუთხაა, რადგან ღერძის პერპენდიკულარულია.

რის ტოლია სამკუთხედი? Სწორია. გარდა ამისა, ჩვენ ვიცით, რომ არის ერთეული წრის რადიუსი, რაც ნიშნავს . მოდით ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა ჩვენს ფორმულაში კოსინუსისთვის. აი რა ხდება:

რის ტოლია სამკუთხედი? Რა თქმა უნდა, ! ჩაანაცვლეთ რადიუსის მნიშვნელობა ამ ფორმულაში და მიიღეთ:

მაშ, შეგიძლიათ თქვათ, რა კოორდინატები აქვს წრეს მიკუთვნებულ წერტილს? ისე, არანაირად? რა მოხდება, თუ ამას ხვდები და მხოლოდ რიცხვებია? რომელ კოორდინატს შეესაბამება? რა თქმა უნდა, კოორდინატები! და რომელ კოორდინატს შეესაბამება? მართალია, კოორდინატები! ამრიგად, პერიოდი.

რისი ტოლია მაშინ? ასეა, გამოვიყენოთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შესაბამისი განმარტებები და მივიღოთ, ა.

რა მოხდება, თუ კუთხე უფრო დიდია? მაგალითად, როგორც ამ სურათზე:

რა შეიცვალა ამ მაგალითში? მოდი გავარკვიოთ. ამისათვის მოდით კვლავ მივუბრუნდეთ მართკუთხა სამკუთხედს. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი: კუთხე (კუთხის მიმდებარედ). რა არის სინუსის, კოსინუსის, ტანგენსის და კოტანგენსის მნიშვნელობები კუთხისთვის? მართალია, ჩვენ ვიცავთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესაბამის განმარტებებს:

ისე, როგორც ხედავთ, კუთხის სინუსის მნიშვნელობა მაინც შეესაბამება კოორდინატს; კუთხის კოსინუსის მნიშვნელობა - კოორდინატი; და ტანგენტისა და კოტანგენტის მნიშვნელობები შესაბამის თანაფარდობებთან. ამრიგად, ეს ურთიერთობები ვრცელდება რადიუსის ვექტორის ნებისმიერ ბრუნზე.

უკვე აღინიშნა, რომ რადიუსის ვექტორის საწყისი პოზიცია არის ღერძის დადებითი მიმართულების გასწვრივ. აქამდე ჩვენ ვატრიალებთ ამ ვექტორს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაგრამ რა მოხდება, თუ მას საათის ისრის მიმართულებით მოვატრიალებთ? არაფერი განსაკუთრებული, თქვენ ასევე მიიღებთ გარკვეული მნიშვნელობის კუთხეს, მაგრამ მხოლოდ ის იქნება უარყოფითი. ამრიგად, რადიუსის ვექტორის მობრუნებისას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, ვიღებთ დადებითი კუთხეებიდა საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვისას - უარყოფითი.

ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ რადიუსის ვექტორის მთელი რევოლუცია წრის გარშემო არის ან. შესაძლებელია თუ არა რადიუსის ვექტორის როტაცია? კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! ამრიგად, პირველ შემთხვევაში, რადიუსის ვექტორი გააკეთებს ერთ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

მეორე შემთხვევაში, ანუ რადიუსის ვექტორი გააკეთებს სამ სრულ ბრუნს და გაჩერდება პოზიციაზე ან.

ამრიგად, ზემოთ მოყვანილი მაგალითებიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ კუთხეები, რომლებიც განსხვავდებიან ან (სად არის რომელიმე მთელი რიცხვი) შეესაბამება რადიუსის ვექტორის ერთსა და იმავე პოზიციას.

ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა გვიჩვენებს კუთხეს. იგივე სურათი შეესაბამება კუთხეს და ა.შ. ეს სია შეიძლება გაგრძელდეს განუსაზღვრელი ვადით. ყველა ეს კუთხე შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმულით ან (სად არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი)

ახლა, იცოდეთ ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებები და ერთეული წრის გამოყენებით, შეეცადეთ უპასუხოთ რა არის მნიშვნელობები:

აქ არის ერთეულის წრე, რომელიც დაგეხმარებათ:

გაქვთ სირთულეები? მერე გავარკვიოთ. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ:

აქედან განვსაზღვრავთ კუთხის გარკვეული ზომების შესაბამისი წერტილების კოორდინატებს. მოდით, დავიწყოთ თანმიმდევრობით: კუთხე შეესაბამება კოორდინატებით წერტილს, ამიტომ:

Არ არსებობს;

გარდა ამისა, იმავე ლოგიკის დაცვით, აღმოვაჩენთ, რომ კუთხეები შეესაბამება წერტილებს კოორდინატებით. ამის ცოდნა ადვილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების დადგენა შესაბამის წერტილებში. ჯერ თვითონ სცადე და მერე გადაამოწმე პასუხები.

პასუხები:

Არ არსებობს

Არ არსებობს

Არ არსებობს

Არ არსებობს

ამრიგად, შეგვიძლია შევქმნათ შემდეგი ცხრილი:

არ არის საჭირო ყველა ამ მნიშვნელობის დამახსოვრება. საკმარისია გავიხსენოთ შესაბამისობა ერთეულ წრეზე წერტილების კოორდინატებსა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობებს შორის:

მაგრამ კუთხეების ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები და, ქვემოთ მოცემულ ცხრილში, უნდა ახსოვდეს:

ნუ გეშინია, ახლა ერთ მაგალითს გაჩვენებთ საკმაოდ მარტივია შესაბამისი მნიშვნელობების დამახსოვრება:

ამ მეთოდის გამოსაყენებლად სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს სინუსის მნიშვნელობები კუთხის სამივე საზომისთვის (), ისევე როგორც კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა. ამ მნიშვნელობების ცოდნით, საკმაოდ მარტივია მთელი ცხრილის აღდგენა - კოსინუსური მნიშვნელობები გადადის ისრების შესაბამისად, ანუ:

ამის გაცნობიერებით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მნიშვნელობები. მრიცხველი " " ემთხვევა და მნიშვნელი " " ემთხვევა. კოტანგენტების მნიშვნელობები გადაიცემა ფიგურაში მითითებული ისრების შესაბამისად. თუ გესმით ეს და გახსოვთ დიაგრამა ისრებით, მაშინ საკმარისი იქნება ცხრილიდან ყველა მნიშვნელობის დამახსოვრება.

წერტილის კოორდინატები წრეზე

შესაძლებელია თუ არა წერტილის (მისი კოორდინატების) პოვნა წრეზე, წრის ცენტრის კოორდინატების, მისი რადიუსის და ბრუნვის კუთხის ცოდნა?

კარგი, რა თქმა უნდა, შეგიძლია! მოდი ამოვიღოთ წერტილის კოორდინატების პოვნის ზოგადი ფორმულა.

მაგალითად, აქ არის წრე ჩვენს წინ:

გვეძლევა, რომ წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. საჭიროა წერტილის გრადუსით ბრუნვით მიღებული წერტილის კოორდინატების პოვნა.

როგორც ნახატიდან ჩანს, წერტილის კოორდინატი შეესაბამება სეგმენტის სიგრძეს. სეგმენტის სიგრძე შეესაბამება წრის ცენტრის კოორდინატს, ანუ ის ტოლია. სეგმენტის სიგრძე შეიძლება გამოიხატოს კოსინუსის განმარტებით:

შემდეგ ჩვენ გვაქვს ეს წერტილის კოორდინატისთვის.

იმავე ლოგიკის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ y კოორდინატთა მნიშვნელობას წერტილისთვის. ამრიგად,

ასე რომ, ზოგადად, წერტილების კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით:

წრის ცენტრის კოორდინატები,

წრის რადიუსი,

ვექტორული რადიუსის ბრუნვის კუთხე.

როგორც ხედავთ, ჩვენ განხილული ერთეული წრისთვის ეს ფორმულები მნიშვნელოვნად შემცირებულია, ვინაიდან ცენტრის კოორდინატები ნულის ტოლია და რადიუსი უდრის ერთის:

აბა, მოდით ვცადოთ ეს ფორმულები წრეზე ქულების პოვნის პრაქტიკით?

1. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.

2. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.

3. იპოვეთ წერტილის კოორდინატები ერთეულ წრეზე, რომელიც მიღებულია წერტილის ბრუნვით.

4. წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც მიღებულია საწყისი რადიუსის ვექტორის მიერ.

5. წერტილი არის წრის ცენტრი. წრის რადიუსი ტოლია. აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები, რომელიც მიღებულია საწყისი რადიუსის ვექტორის მიერ.

გიჭირთ წრეზე წერტილის კოორდინატების პოვნა?

ამოხსენით ეს ხუთი მაგალითი (ან ისწავლეთ მათი ამოხსნა) და ისწავლით მათ პოვნას!

1.

თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ეს. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის სრულ რევოლუციას. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის საჭირო კოორდინატებს:

2. ერთეული წრე ორიენტირებულია წერტილზე, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:

თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ეს. ჩვენ ვიცით, რა შეესაბამება საწყისი წერტილის ორ სრულ რევოლუციას. ამრიგად, სასურველი წერტილი იქნება იმავე მდგომარეობაში, როგორც მობრუნებისას. ამის ცოდნა, ჩვენ ვპოულობთ წერტილის საჭირო კოორდინატებს:

სინუსი და კოსინუსი არის ცხრილის მნიშვნელობები. ჩვენ ვიხსენებთ მათ მნიშვნელობებს და ვიღებთ:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

3. ერთეული წრე ორიენტირებულია წერტილზე, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია გამოვიყენოთ გამარტივებული ფორმულები:

თქვენ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ ეს. მოდით ასახოთ მოცემული მაგალითი ფიგურაში:

რადიუსი ქმნის კუთხეებს ღერძის ტოლი და მასთან. იმის ცოდნა, რომ კოსინუსისა და სინუსის ცხრილის მნიშვნელობები ტოლია და დავადგინეთ, რომ აქ კოსინუსი იღებს უარყოფით მნიშვნელობას, ხოლო სინუსი დადებით მნიშვნელობას, გვაქვს:

ასეთი მაგალითები უფრო დეტალურად განიხილება თემაში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულების შესწავლისას.

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

4.

ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე (პირობით)

სინუსის და კოსინუსის შესაბამისი ნიშნების დასადგენად, ჩვენ ვაშენებთ ერთეულ წრეს და კუთხეს:

როგორც ხედავთ, მნიშვნელობა, ანუ დადებითია, ხოლო მნიშვნელობა, ანუ უარყოფითი. შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილის მნიშვნელობების ცოდნა მივიღებთ, რომ:

მოდით, მიღებული მნიშვნელობები ჩავანაცვლოთ ჩვენს ფორმულაში და ვიპოვოთ კოორდინატები:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

5. ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულებს ზოგადი ფორმით, სადაც

წრის ცენტრის კოორდინატები (ჩვენს მაგალითში,

წრის რადიუსი (მდგომარეობით)

ვექტორის რადიუსის ბრუნვის კუთხე (პირობით).

მოდით ჩავანაცვლოთ ყველა მნიშვნელობა ფორმულაში და მივიღოთ:

და - ცხრილის მნიშვნელობები. გავიხსენოთ და ჩავანაცვლოთ ისინი ფორმულაში:

ამრიგად, სასურველ წერტილს აქვს კოორდინატები.

შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულები

კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე (შორს) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე (ახლო) ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან.

კუთხის ტანგენსი არის მოპირდაპირე (შორი) მხარის შეფარდება მიმდებარე (ახლო) მხარესთან.

კუთხის კოტანგენსი არის მიმდებარე (ახლო) მხარის შეფარდება მოპირდაპირე (შორს) მხარეს.

იპოვეთ კუთხე სინუსების მიხედვით

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს შესაძლებლობა გამოვთვალოთ ნებისმიერი კუთხის სინუსი 0-დან 90° e-მდე ორ ათობითი ადგილზე. არ არის საჭირო მზა მაგიდა; მიახლოებითი გამოთვლებისთვის, სურვილის შემთხვევაში ყოველთვის შეგვიძლია თავად შევადგინოთ იგი.

მაგრამ ტრიგონომეტრიული ამოცანების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა შეძლოთ პირიქით - გამოთვალოთ კუთხეები მოცემული სინუსიდან. ეს ასევე ადვილია. დავუშვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხე, რომლის სინუსი ტოლია 0,38-ის. ვინაიდან ეს სინუსი 0,5-ზე ნაკლებია, სასურველი კუთხე 30°-ზე ნაკლებია. მაგრამ ის 15°-ზე მეტია, რადგან ცოდვა 15°, როგორც ვიცით, უდრის 0,26-ს. ამ კუთხის საპოვნელად, რომელიც მდგომარეობს 15-დან 30°-მდე, ვაგრძელებთ ადრინდელ ახსნას:

ასე რომ, სასურველი კუთხე არის დაახლოებით 22.5°. კიდევ ერთი მაგალითი: იპოვეთ კუთხე, რომლის სინუსი არის 0,62.

საჭირო კუთხე არის დაახლოებით 38,6°.

და ბოლოს, მესამე მაგალითი: იპოვეთ კუთხე, რომლის სინუსი არის 0,91.

ვინაიდან ეს სინუსი მდგომარეობს 0,71-დან 1-მდე, სასურველი კუთხე 45°-დან 90°-მდეა. On: ნახ. 91 მზეარის L კუთხის სინუსი თუ VA= 1. იცის მზე,მარტივი კუთხის სინუსის პოვნა IN:

ახლა ვიპოვოთ კუთხე IN,რომლის სინუსი არის 0,42; ამის შემდეგ ადვილი იქნება A კუთხის პოვნა 90°-ის ტოლი - IN.

ვინაიდან 0.42 დევს 0.26-დან 0.5-მდე, მაშინ კუთხე INმდებარეობს 15°-დან 30°-მდე, იგი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

და, შესაბამისად, კუთხე A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.

ჩვენ ახლა სრულად ვართ აღჭურვილი ტრიგონომეტრიული ამოცანების დაახლოებით გადასაჭრელად, რადგან შეგვიძლია ვიპოვოთ სინუსები კუთხიდან და კუთხეები სინუსებიდან საველე მიზნებისთვის საკმარისი სიზუსტით.

მაგრამ საკმარისია მხოლოდ სინუსი ამისთვის? არ გვჭირდება დანარჩენი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები - კოსინუსი, ტანგენსი და ა.შ. ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ რამდენიმე მაგალითით, რომ ჩვენი გამარტივებული ტრიგონომეტრიისთვის ჩვენ შეგვიძლია სრულად გავუმკლავდეთ მხოლოდ სინუსს.

მაგალითები:

\(\sin(⁡30^°)=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\sin⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\sin⁡2=0.909…\)

არგუმენტი და მნიშვნელობა

მწვავე კუთხის სინუსი

მწვავე კუთხის სინუსიშეიძლება განისაზღვროს მართკუთხა სამკუთხედის გამოყენებით - ის უდრის მოპირდაპირე მხარის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან.

მაგალითი :

1) მიეცით კუთხე და თქვენ უნდა განსაზღვროთ ამ კუთხის სინუსი.

2) დავასრულოთ ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედი ამ კუთხით.

3) საჭირო გვერდების გაზომვის შემდეგ შეგვიძლია გამოვთვალოთ \(sinA\).

რიცხვის სინუსი

რიცხვების წრე საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ნებისმიერი რიცხვის სინუსი, მაგრამ, როგორც წესი, თქვენ აღმოაჩენთ, რომ რიცხვების სინუსი გარკვეულწილად არის დაკავშირებული: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

მაგალითად, რიცხვისთვის \(\frac(π)(6)\) - სინუსი ტოლი იქნება \(0.5\). ხოლო რიცხვისთვის \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ტოლი იქნება \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (დაახლოებით \ (-0 ,71\)).

სინუსისთვის სხვა რიცხვებისთვის, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში, იხ.

სინუსური მნიშვნელობა ყოველთვის დევს \(-1\)-დან \(1\-მდე) დიაპაზონში. უფრო მეტიც, ის შეიძლება გამოითვალოს აბსოლუტურად ნებისმიერი კუთხისთვის და რიცხვისთვის.

ნებისმიერი კუთხის სინუსი

ერთეული წრის წყალობით შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დადგენა არა მხოლოდ მწვავე კუთხით, არამედ ბლაგვი, უარყოფითი და კიდევ უფრო მეტი ვიდრე \(360°\) (სრული რევოლუცია). როგორ გავაკეთოთ ეს უფრო ადვილია ერთხელ ნახოთ, ვიდრე \(100\) ჯერ მოსმენა, ასე რომ შეხედეთ სურათს.

ახლა ახსნა: მოდით განვსაზღვროთ \(sin∠KOA\) ხარისხის საზომით \(150°\). წერტილის შერწყმა შესახებწრის ცენტრით და გვერდით კარგი– \(x\) ღერძით. ამის შემდეგ დააყენეთ \(150°\) საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. შემდეგ წერტილის ორდინატი აგვაჩვენებს \(\sin⁡∠KOA\).

თუ ჩვენ გვაინტერესებს კუთხე, რომელსაც აქვს გრადუსი, მაგალითად, \(-60°\) (კუთხე KOV), ჩვენც იგივეს ვაკეთებთ, მაგრამ ვაყენებთ \(60°\) საათის ისრის მიმართულებით.

და ბოლოს, კუთხე მეტია \(360°\) (კუთხეზე CBS) - ყველაფერი სისულელის მსგავსია, მხოლოდ საათის ისრის მიმართულებით სრულ შემობრუნების შემდეგ მივდივართ მეორე წრეზე და „მივიღებთ ხარისხების ნაკლებობას“. კონკრეტულად, ჩვენს შემთხვევაში, კუთხე \(405°\) გამოსახულია როგორც \(360° + 45°\).

ადვილი მისახვედრია, რომ კუთხის გამოსათვლელად, მაგალითად, \(960°\-ში), საჭიროა ორი შემობრუნება (\(360°+360°+240°\)), ხოლო კუთხისთვის \(2640). °\) - მთელი შვიდი.

როგორც თქვენ შეგიძლიათ შეცვალოთ, რიცხვის სინუსიც და თვითნებური კუთხის სინუსიც თითქმის იდენტურად არის განსაზღვრული. იცვლება მხოლოდ წერტილის აღმოჩენის გზა წრეზე.

სხვა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან კავშირი:

ფუნქცია \(y=\sin⁡x\)

თუ კუთხეებს რადიანებში გამოვსახავთ \(x\) ღერძის გასწვრივ და ამ კუთხეების შესაბამისი სინუსების მნიშვნელობებს \(y\) ღერძის გასწვრივ, მივიღებთ შემდეგ გრაფიკს:

ამ გრაფიკს ეწოდება სინუსუსური ტალღა და აქვს შემდეგი თვისებები:

განმარტების დომენი არის x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა: \(D(\sin⁡x)=R\)
- მნიშვნელობების დიაპაზონი - \(-1\)-დან \(1\) ჩათვლით: \(E(\sin⁡x)=[-1;1]\)
- კენტი: \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)
- პერიოდული პერიოდით \(2π\): \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)
- გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებით:
აბსცისის ღერძი: \((πn;0)\), სადაც \(n ϵ Z\)
Y ღერძი: \((0;0)\)
- ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები:
ფუნქცია დადებითია ინტერვალებზე: \((2πn;π+2πn)\), სადაც \(n ϵ Z\)
ფუნქცია უარყოფითია ინტერვალებზე: \((π+2πn;2π+2πn)\), სადაც \(n ϵ Z\)
- გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები:
ფუნქცია იზრდება ინტერვალებით: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\ ), სადაც \(n ϵ Z\)
ფუნქცია მცირდება ინტერვალებზე: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\) , სადაც \(n ϵ Z\)
- ფუნქციის მაქსიმუმები და მინიმუმები:
ფუნქციას აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა \(y=1\) წერტილებში \(x=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), სადაც \(n ϵ Z\)
ფუნქციას აქვს მინიმალური მნიშვნელობა \(y=-1\) წერტილებში \(x=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), სადაც \(n ϵ Z\) .