დიფერენციალური განტოლებები ჯამურ დიფერენციალებში. განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში მრუდი ინტეგრალები მთლიანი დიფერენციალის აღდგენა

აქვს სტანდარტული ფორმა $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, რომელშიც მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი $F ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი. \left( x,y\right)$ ეწოდება მთლიანი დიფერენციალური განტოლება.

განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში ყოველთვის შეიძლება გადაიწეროს $dF\left(x,y\right)=0$, სადაც $F\left(x,y\right)$ არის ისეთი ფუნქცია, რომ $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

მოდით გავაერთიანოთ განტოლების ორივე მხარე $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; ნულოვანი მარჯვენა მხარის ინტეგრალი $C$-ის თვითნებური მუდმივის ტოლია. ამრიგად, ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნი იმპლიციტური ფორმით არის $F\left(x,y\right)=C$.

იმისათვის, რომ მოცემული დიფერენციალური განტოლება იყოს განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში, აუცილებელია და საკმარისია პირობა $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $. იყოს კმაყოფილი. თუ მითითებული პირობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ არის ფუნქცია $F\left(x,y\right)$, რომლისთვისაც შეგვიძლია დავწეროთ: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, საიდანაც ვიღებთ ორ მიმართებას : $\frac(\ ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი x) =P\left(x,y\მარჯვნივ)$ და $\frac(\ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი y) =Q\მარცხნივ(x,y\მარჯვნივ )$.

ჩვენ ვაერთიანებთ პირველ მიმართებას $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$$x$-ზე და მივიღებთ $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, სადაც $U\left(y\right)$ არის $y$-ის თვითნებური ფუნქცია.

ავირჩიოთ ისე, რომ მეორე მიმართება $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ დაკმაყოფილდეს. ამისათვის ჩვენ განვასხვავებთ $F\left(x,y\right)$-ის მიღებულ მიმართებას $y$-თან მიმართებაში და მივატოლებთ შედეგს $Q\left(x,y\right)$-თან. ვიღებთ: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\მარცხნივ (x,y\მარჯვნივ)$.

შემდგომი გამოსავალი არის:

ბოლო ტოლობიდან ვპოულობთ $U"\left(y\right)$;
გააერთიანეთ $U"\left(y\right)$ და იპოვეთ $U\left(y\right)$;
ჩაანაცვლეთ $U\left(y\right)$ ტოლობით $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ და ბოლოს მივიღებთ ფუნქციას $F\left(x,y\right)$.

ჩვენ ვპოულობთ განსხვავებას:

ჩვენ ვაერთიანებთ $U"\left(y\right)$ $y$-ზე და ვპოულობთ $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

იპოვეთ შედეგი: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

ჩვენ ვწერთ ზოგად ამოხსნას $F\left(x,y\right)=C$ სახით, კერძოდ:

იპოვეთ კონკრეტული ამონახსნი $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, სადაც $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

ნაწილობრივ ამოხსნას აქვს ფორმა: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

ზოგიერთი ფუნქცია. თუ ფუნქციას აღვადგენთ მისი მთლიანი დიფერენციალიდან, ვიპოვით დიფერენციალური განტოლების ზოგად ინტეგრალს. ქვემოთ ვისაუბრებთ ფუნქციის სრული დიფერენციალიდან აღდგენის მეთოდი.

დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის სრული დიფერენციალი U(x, y) = 0თუ პირობა დაკმაყოფილებულია.

იმიტომ რომ სრული დიფერენციალური ფუნქცია U(x, y) = 0ეს , რაც ნიშნავს, რომ პირობის დაკმაყოფილებისას მითითებულია, რომ .

შემდეგ, .

სისტემის პირველი განტოლებიდან ვიღებთ . ჩვენ ვიპოვით ფუნქციას სისტემის მეორე განტოლების გამოყენებით:

ამ გზით ჩვენ ვიპოვით საჭირო ფუნქციას U(x, y) = 0.

მაგალითი.

მოდი ვიპოვოთ DE-ს ზოგადი გადაწყვეტა .

გამოსავალი.

ჩვენს მაგალითში. პირობა დაკმაყოფილებულია, რადგან:

შემდეგ, საწყისი დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის მთლიანი დიფერენციალი U(x, y) = 0. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ეს ფუნქცია.

იმიტომ რომ არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი U(x, y) = 0, ნიშნავს:

ჩვენ ვაერთიანებთ xსისტემის 1 განტოლება და დიფერენცირება მიმართ წშედეგი:

სისტემის მე-2 განტოლებიდან ვიღებთ . ნიშნავს:

სად თან- თვითნებური მუდმივი.

ამრიგად, მოცემული განტოლების ზოგადი ინტეგრალი იქნება .

არის მეორეც ფუნქციის გამოთვლის მეთოდი მისი მთლიანი დიფერენციალიდან. იგი შედგება ფიქსირებული წერტილის წრფის ინტეგრალის აღებით (x 0 , y 0)ცვლადი კოორდინატების მქონე წერტილამდე (x, y): . ამ შემთხვევაში, ინტეგრალის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია ინტეგრაციის გზიდან. მოსახერხებელია ინტეგრაციის გზად მივიღოთ გატეხილი ხაზი, რომლის ბმულები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია.

მაგალითი.

მოდი ვიპოვოთ DE-ს ზოგადი გადაწყვეტა .

გამოსავალი.

ჩვენ ვამოწმებთ პირობის შესრულებას:

ამრიგად, დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის გარკვეული ფუნქციის სრული დიფერენციალი U(x, y) = 0. ვიპოვოთ ეს ფუნქცია წერტილის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლით (1; 1) ადრე (x, y). როგორც ინტეგრაციის გზა, ჩვენ ვიღებთ გაწყვეტილ ხაზს: გატეხილი ხაზის პირველი მონაკვეთი გადის სწორი ხაზის გასწვრივ y = 1წერტილიდან (1, 1) ადრე (x, 1), როგორც ბილიკის მეორე მონაკვეთი წერტილიდან ვიღებთ სწორი ხაზის სეგმენტს (x, 1)ადრე (x, y):

ასე რომ, დისტანციური მართვის ზოგადი გადაწყვეტა ასე გამოიყურება: .

მაგალითი.

მოდით განვსაზღვროთ DE-ს ზოგადი გადაწყვეტა.

გამოსავალი.

იმიტომ რომ , რაც ნიშნავს, რომ პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არ იქნება ფუნქციის სრული დიფერენციალი და თქვენ უნდა გამოიყენოთ ამოხსნის მეორე მეთოდი (ეს განტოლება არის დიფერენციალური განტოლება გამყოფი ცვლადებით).

ამ თემაში განვიხილავთ ფუნქციის რეკონსტრუქციის მეთოდს მისი მთლიანი დიფერენციალიდან და მივცემთ ამოცანების მაგალითებს ამოხსნის სრული ანალიზით.

ხდება, რომ P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 ფორმის დიფერენციალური განტოლებები (DE) შეიძლება შეიცავდეს მარცხენა მხარეს ზოგიერთი ფუნქციის სრულ დიფერენციალებს. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ინტეგრალი, თუ ჯერ ფუნქციის რეკონსტრუქციას გავაკეთებთ მისი მთლიანი დიფერენციალურიდან.

მაგალითი 1

განვიხილოთ განტოლება P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. მარცხენა მხარე შეიცავს გარკვეული ფუნქციის დიფერენციალს U(x, y) = 0. ამისათვის უნდა დაკმაყოფილდეს პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

U (x, y) = 0 ფუნქციის ჯამურ დიფერენციალს აქვს ფორმა d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. პირობის გათვალისწინებით ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ვიღებთ:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

პირველი განტოლების გარდაქმნით განტოლებათა სისტემისგან, შეგვიძლია მივიღოთ:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ფუნქცია φ (y) ადრე მიღებული სისტემის მეორე განტოლებიდან:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

ასე ვიპოვეთ სასურველი ფუნქცია U (x, y) = 0.

მაგალითი 2

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

გამოსავალი

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

შევამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

ჩვენი პირობა შესრულებულია.

გამოთვლების საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თავდაპირველი დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი U (x, y) = 0. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ეს ფუნქცია.

ვინაიდან (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y არის U ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი (x, y) = 0, მაშინ

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

მოდით გავაერთიანოთ სისტემის პირველი განტოლება x-ის მიმართ:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

ახლა ჩვენ განვასხვავებთ მიღებულ შედეგს y-ის მიმართ:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

სისტემის მეორე განტოლების გარდაქმნით მივიღებთ: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ეს ნიშნავს, რომ
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

ვიღებთ: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. საწყისი განტოლების ზოგადი ინტეგრალია x 3 3 - x y 2 + C = 0.

მოდით შევხედოთ ფუნქციის პოვნის სხვა მეთოდს ცნობილი მთლიანი დიფერენციალის გამოყენებით. იგი მოიცავს მრუდი ინტეგრალის გამოყენებას ფიქსირებული წერტილიდან (x 0, y 0) წერტილამდე ცვლადი კოორდინატებით (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

ასეთ შემთხვევებში, ინტეგრალის ღირებულება არანაირად არ არის დამოკიდებული ინტეგრაციის გზაზე. ინტეგრაციის გზად შეგვიძლია ავიღოთ გატეხილი ხაზი, რომლის ბმულები განლაგებულია კოორდინატთა ღერძების პარალელურად.

მაგალითი 3

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

გამოსავალი

შევამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

გამოდის, რომ დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე წარმოდგენილია ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალით U (x, y) = 0. ამ ფუნქციის საპოვნელად აუცილებელია წერტილის წრფივი ინტეგრალის გამოთვლა (1 ; 1) ადრე (x, y). ინტეგრაციის გზად ავიღოთ გატეხილი ხაზი, რომლის მონაკვეთები გაივლის სწორ ხაზზე y = 1(1, 1) წერტილიდან (x, 1) და შემდეგ (x, 1) წერტილიდან (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

ჩვენ მივიღეთ x y - x y 2 + C = 0 ფორმის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნი.

მაგალითი 4

განსაზღვრეთ y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები.

გამოსავალი

შევამოწმოთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

ვინაიდან ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, მაშინ პირობა არ დაკმაყოფილდება. ეს ნიშნავს, რომ დიფერენციალური განტოლების მარცხენა მხარე არ არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი. ეს არის დიფერენციალური განტოლება განცალკევებული ცვლადებით და სხვა ამონახსნები შესაფერისია მის ამოსახსნელად.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

დიფერენციალური ფორმის განტოლებას უწოდებენ

პ(x, y)dx + ქ(x, y)დი = 0 ,

სადაც მარცხენა მხარე არის ორი ცვლადის ნებისმიერი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი.

მოდი ავღნიშნოთ ორი ცვლადის უცნობი ფუნქცია (ეს არის ის, რაც უნდა მოიძებნოს განტოლებების ჯამურ დიფერენციალებში ამოხსნისას) ფდა ჩვენ მას მალე დავუბრუნდებით.

პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ არის ის, რომ განტოლების მარჯვენა მხარეს უნდა იყოს ნული, ხოლო მარცხენა მხარეს ორი წევრის დამაკავშირებელი ნიშანი უნდა იყოს პლუსი.

მეორეც, გარკვეული თანასწორობა უნდა იყოს დაცული, რაც ადასტურებს, რომ ეს დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება მთლიან დიფერენციალებში. ეს შემოწმება არის ალგორითმის სავალდებულო ნაწილი ჯამური დიფერენციალებში განტოლებების ამოხსნისათვის (ეს არის ამ გაკვეთილის მეორე აბზაცში), ასე რომ, ფუნქციის პოვნის პროცესი ფსაკმაოდ შრომატევადი და მნიშვნელოვანია საწყის ეტაპზე დავრწმუნდეთ, რომ დრო არ დავკარგოთ.

ასე რომ, უცნობი ფუნქცია, რომელიც უნდა მოიძებნოს, აღინიშნება ფ. ყველა დამოუკიდებელი ცვლადის ნაწილობრივი დიფერენციალური ჯამი იძლევა მთლიან დიფერენციალს. ამიტომ, თუ განტოლება არის მთლიანი დიფერენციალური განტოლება, განტოლების მარცხენა მხარე არის ნაწილობრივი დიფერენციალთა ჯამი. მაშინ განსაზღვრებით

dF = პ(x, y)dx + ქ(x, y)დი .

გავიხსენოთ ორი ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალური გამოთვლის ფორმულა:

ბოლო ორი ტოლობის ამოხსნით შეგვიძლია დავწეროთ

ჩვენ განვასხვავებთ პირველ ტოლობას ცვლადის "y" მიმართ, მეორე - ცვლადის "x" მიმართ:

რაც არის პირობა იმისა, რომ მოცემული დიფერენციალური განტოლება ნამდვილად იყოს მთლიანი დიფერენციალური განტოლება.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ჯამურ დიფერენციალებში

Ნაბიჯი 1.დარწმუნდით, რომ განტოლება არის მთლიანი დიფერენციალური განტოლება. გამოთქმის მიზნით იყო ზოგიერთი ფუნქციის სრული დიფერენციალი ფ(x, y) აუცილებელი და საკმარისია იმისათვის, რომ . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა აიღოთ ნაწილობრივი წარმოებული xდა ნაწილობრივ წარმოებულის მიმართ წსხვა ტერმინი და, თუ ეს წარმოებულები ტოლია, მაშინ განტოლება არის მთლიანი დიფერენციალური განტოლება.

ნაბიჯი 2.ჩამოწერეთ ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებათა სისტემა, რომლებიც ქმნიან ფუნქციას ფ:

ნაბიჯი 3.სისტემის პირველი განტოლების ინტეგრირება - მიერ x (წ ფ:

,
წ.

ალტერნატიული ვარიანტი (თუ ამ გზით ინტეგრალის პოვნა უფრო ადვილია) არის სისტემის მეორე განტოლების ინტეგრირება - წ (xრჩება მუდმივი და ამოღებულია ინტეგრალური ნიშნიდან). ამ გზით ფუნქციაც აღდგება ფ:

,
სად არის ჯერ უცნობი ფუნქცია X.

ნაბიჯი 4.მე-3 ნაბიჯის შედეგი (ნაპოვნი ზოგადი ინტეგრალი) დიფერენცირებულია წ(ალტერნატიულად - მიხედვით x) და უტოლდება სისტემის მეორე განტოლებას:

ხოლო ალტერნატიულ ვერსიაში - სისტემის პირველ განტოლებამდე:

მიღებული განტოლებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ (ალტერნატიულად)

ნაბიჯი 5.მე-4 ნაბიჯის შედეგია ინტეგრირება და პოვნა (ალტერნატიულად, პოვნა).

ნაბიჯი 6.ჩაანაცვლეთ მე-5 ნაბიჯის შედეგი მე-3 ნაბიჯის შედეგით - ნაწილობრივი ინტეგრაციით აღდგენილ ფუნქციაში ფ. თვითნებური მუდმივი Cხშირად იწერება ტოლობის ნიშნის შემდეგ - განტოლების მარჯვენა მხარეს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ დიფერენციალური განტოლების ზოგად გადაწყვეტას მთლიან დიფერენციალებში. მას, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, აქვს ფორმა ფ(x, y) = C.

დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების მაგალითები მთლიან დიფერენციალებში

მაგალითი 1.

Ნაბიჯი 1. განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში xერთი ტერმინი გამოხატვის მარცხენა მხარეს

და ნაწილობრივ წარმოებულის მიმართ წსხვა ტერმინი
განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში .

ნაბიჯი 2. ფ:

ნაბიჯი 3.ავტორი x (წრჩება მუდმივი და ამოღებულია ინტეგრალური ნიშნიდან). ამრიგად, ჩვენ აღვადგენთ ფუნქციას ფ:

სად არის ჯერ უცნობი ფუნქცია წ.

ნაბიჯი 4. წ

ნაბიჯი 5.

ნაბიჯი 6. ფ. თვითნებური მუდმივი C :
.

რა შეცდომის ალბათობაა აქ ყველაზე მეტად? ყველაზე გავრცელებული შეცდომები არის ნაწილობრივი ინტეგრალის აღება ერთ-ერთ ცვლადზე ფუნქციების ნამრავლის ჩვეულებრივი ინტეგრალისთვის და ინტეგრირების მცდელობა ნაწილების ან შემცვლელი ცვლადის მიხედვით, ასევე ორი ფაქტორის ნაწილობრივი წარმოებულის აღება ფუნქციის წარმოებულად. ფუნქციების პროდუქტი და მოძებნეთ წარმოებული შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით.

ეს უნდა გვახსოვდეს: ერთ-ერთ ცვლადთან მიმართებაში ნაწილობრივი ინტეგრალის გამოთვლისას, მეორე არის მუდმივი და ამოღებულია ინტეგრალის ნიშნიდან, ხოლო ნაწილობრივი წარმოებულის გამოთვლისას ერთ-ერთ ცვლადთან მიმართებაში, მეორე. ასევე მუდმივია და გამოთქმის წარმოებული გვხვდება მუდმივზე გამრავლებული „მოქმედი“ ცვლადის წარმოებული.

მათ შორის განტოლებები მთლიან დიფერენციალებში იშვიათი არაა ექსპონენციალური ფუნქციის მქონე მაგალითების პოვნა. ეს არის შემდეგი მაგალითი. ასევე აღსანიშნავია ის ფაქტი, რომ მისი გადაწყვეტა იყენებს ალტერნატიულ ვარიანტს.

მაგალითი 2.დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

Ნაბიჯი 1.დავრწმუნდეთ, რომ განტოლება არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში . ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულს მიმართ xერთი ტერმინი გამოხატვის მარცხენა მხარეს

და ნაწილობრივ წარმოებულის მიმართ წსხვა ტერმინი
. ეს წარმოებულები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში .

ნაბიჯი 2.მოდით დავწეროთ ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემა, რომლებიც ქმნიან ფუნქციას ფ:

ნაბიჯი 3.გავაერთიანოთ სისტემის მეორე განტოლება - მიერ წ (xრჩება მუდმივი და ამოღებულია ინტეგრალური ნიშნიდან). ამრიგად, ჩვენ აღვადგენთ ფუნქციას ფ:

სად არის ჯერ უცნობი ფუნქცია X.

ნაბიჯი 4.ჩვენ განვასხვავებთ მე-3 ნაბიჯის (ნაპოვნი ზოგადი ინტეგრალის) შედეგს X

და უტოლდება სისტემის პირველ განტოლებას:

შედეგად მიღებული განტოლებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ:
.

ნაბიჯი 5.ჩვენ ვაერთიანებთ მე-4 ნაბიჯის შედეგს და ვპოულობთ:
.

ნაბიჯი 6.ჩვენ ვცვლით მე-5 ნაბიჯის შედეგს მე-3 ნაბიჯის შედეგში - ნაწილობრივი ინტეგრაციის შედეგად აღდგენილ ფუნქციაში ფ. თვითნებური მუდმივი Cდაწერეთ ტოლობის ნიშნის შემდეგ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ჯამს დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა მთლიან დიფერენციალებში :
.

შემდეგ მაგალითში ალტერნატიული ვარიანტიდან მთავარს ვუბრუნდებით.

მაგალითი 3.დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

Ნაბიჯი 1.დავრწმუნდეთ, რომ განტოლება არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში . ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულს მიმართ წერთი ტერმინი გამოხატვის მარცხენა მხარეს

და ნაწილობრივ წარმოებულის მიმართ xსხვა ტერმინი
. ეს წარმოებულები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში .

ნაბიჯი 3.მოდით გავაერთიანოთ სისტემის პირველი განტოლება - ავტორი x (წრჩება მუდმივი და ამოღებულია ინტეგრალური ნიშნიდან). ამრიგად, ჩვენ აღვადგენთ ფუნქციას ფ:

სად არის ჯერ უცნობი ფუნქცია წ.

ნაბიჯი 4.ჩვენ განვასხვავებთ მე-3 ნაბიჯის (ნაპოვნი ზოგადი ინტეგრალის) შედეგს წ

და უტოლდება სისტემის მეორე განტოლებას:

შედეგად მიღებული განტოლებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ:
.

ნაბიჯი 5.ჩვენ ვაერთიანებთ მე-4 ნაბიჯის შედეგს და ვპოულობთ:

მაგალითი 4.დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

Ნაბიჯი 1.დავრწმუნდეთ, რომ განტოლება არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში . ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულს მიმართ წერთი ტერმინი გამოხატვის მარცხენა მხარეს

და ნაწილობრივ წარმოებულის მიმართ xსხვა ტერმინი
. ეს წარმოებულები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლება არის მთლიანი დიფერენციალური განტოლება.

სად არის ჯერ უცნობი ფუნქცია წ.

შედეგად მიღებული განტოლებიდან ჩვენ განვსაზღვრავთ:
.

ნაბიჯი 5.ჩვენ ვაერთიანებთ მე-4 ნაბიჯის შედეგს და ვპოულობთ:

მაგალითი 5.დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

განმარტება 8.4.ფორმის დიფერენციალური განტოლება

სად
ეწოდება მთლიანი დიფერენციალური განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ ასეთი განტოლების მარცხენა მხარე არის ზოგიერთი ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი
.

ზოგადად, განტოლება (8.4) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

განტოლების ნაცვლად (8.5) შეგვიძლია განვიხილოთ განტოლება

რომლის ამონახსნი არის (8.4) განტოლების ზოგადი ინტეგრალი. ამრიგად, (8.4) განტოლების ამოსახსნელად აუცილებელია ფუნქციის პოვნა
. განტოლების (8.4) განმარტების შესაბამისად გვაქვს

(8.6)

ფუნქცია
ჩვენ ვეძებთ ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს ერთ-ერთ ამ პირობას (8.6):

სად - დამოუკიდებელი ფუნქცია .

ფუნქცია
განისაზღვრება ისე, რომ დაკმაყოფილებულია გამოხატვის მეორე პირობა (8.6).

(8.7)

გამოსახულებიდან (8.7) განისაზღვრება ფუნქცია
. მისი ჩანაცვლება გამოთქმაში
და მიიღეთ საწყისი განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

პრობლემა 8.3.განტოლების ინტეგრირება

Აქ
.

მაშასადამე, ეს განტოლება მიეკუთვნება დიფერენციალური განტოლებების ტიპს მთლიან დიფერენციალებში. ფუნქცია
ჩვენ ვეძებთ მას ფორმაში

Მეორეს მხრივ,

ზოგიერთ შემთხვევაში მდგომარეობა
შეიძლება არ შესრულდეს.

შემდეგ ასეთი განტოლებები მცირდება განსახილველ ტიპზე გამრავლებით ე.წ. ინტეგრირებულ ფაქტორზე, რომელიც, ზოგად შემთხვევაში, მხოლოდ ფუნქციაა ან .

თუ რომელიმე განტოლებას აქვს ინტეგრირების ფაქტორი, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ , მაშინ იგი განისაზღვრება ფორმულით

სად არის ურთიერთობა მხოლოდ ფუნქცია უნდა იყოს .

ანალოგიურად, ინტეგრირების ფაქტორი დამოკიდებულია მხოლოდ , განისაზღვრება ფორმულით

სად არის ურთიერთობა
მხოლოდ ფუნქცია უნდა იყოს .

მოცემულ მიმართებაში, პირველ შემთხვევაში, ცვლადის არარსებობა , ხოლო მეორეში - ცვლადი , არის მოცემული განტოლებისთვის ინტეგრაციული ფაქტორის არსებობის ნიშანი.

პრობლემა 8.4.შეამცირეთ ეს განტოლება განტოლებამდე მთლიან დიფერენციალებში.

განვიხილოთ ურთიერთობა:

თემა 8.2. წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

განმარტება 8.5. დიფერენციალური განტოლება
წრფივი ეწოდება, თუ ის წრფივია სასურველი ფუნქციის მიმართ , მისი წარმოებული და არ შეიცავს სასურველი ფუნქციის ნამრავლს და მის წარმოებულს.

წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ფორმა წარმოდგენილია შემდეგი მიმართებით:

(8.8)

თუ მიმართებაში (8.8) მარჯვენა მხარეს
, მაშინ ასეთ განტოლებას წრფივი ერთგვაროვანი ეწოდება. იმ შემთხვევაში, როდესაც მარჯვენა მხარე
, მაშინ ასეთ განტოლებას წრფივი არაჰომოგენური ეწოდება.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ განტოლება (8.8) შეიძლება ინტეგრირებული იყოს კვადრატებში.

პირველ ეტაპზე განვიხილავთ წრფივ ერთგვაროვან განტოლებას.

ასეთი განტოლება არის განტოლება განცალკევებული ცვლადებით. მართლაც,

;

ბოლო მიმართება განსაზღვრავს წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას.

წრფივი არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამოხსნის საპოვნელად გამოიყენება მუდმივის წარმოებულის ცვალებადობის მეთოდი. მეთოდის იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ წრფივი არაჰომოგენური განტოლების ზოგადი ამონახსნები იგივე ფორმითაა, როგორც შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნა, მაგრამ თვითნებური მუდმივია. შეცვალა გარკვეული ფუნქციით
იყო მონდომებული. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს:

(8.9)

ჩანაცვლება მიმართებაში (8.8) შესაბამისი გამონათქვამებით
და
, ვიღებთ

ბოლო გამოხატვის ჩანაცვლებით მიმართებაში (8.9), მივიღებთ წრფივი არაჰომოგენური განტოლების ზოგად ინტეგრალს.

ამრიგად, წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამოხსნა განისაზღვრება ორი კვადრატით: წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნები და წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლების კონკრეტული ამონახსნები.

პრობლემა 8.5.განტოლების ინტეგრირება