ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ რიცხვების დამატება სხვადასხვა ნიშნით. აქ ჩვენ ვაძლევთ წესს დადებითი და უარყოფითი რიცხვის დამატების შესახებ და განვიხილავთ ამ წესის გამოყენების მაგალითებს სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრებისას.

გვერდის ნავიგაცია.

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების დამატების წესი

სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების დამატების მაგალითები

განიხილეთ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების დამატების მაგალითებიწინა პუნქტში განხილული წესის მიხედვით. დავიწყოთ მარტივი მაგალითით.

მაგალითი.

დაამატეთ რიცხვები −5 და 2.

გამოსავალი.

უნდა დავამატოთ რიცხვები სხვადასხვა ნიშნით. მივყვეთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების შეკრების წესით გათვალისწინებული ყველა საფეხურს.

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ ტერმინების მოდულებს, ისინი უდრის 5 და 2, შესაბამისად.

−5 რიცხვის მოდული მეტია 2 რიცხვის მოდულზე, ამიტომ დაიმახსოვრეთ მინუს ნიშანი.

რჩება დამახსოვრებული მინუს ნიშნის დაყენება მიღებული რიცხვის წინ, მივიღებთ -3. ეს ასრულებს რიცხვების დამატებას სხვადასხვა ნიშნით.

პასუხი:

(−5)+2=−3 .

რაციონალური რიცხვების დასამატებლად სხვადასხვა ნიშნებით, რომლებიც არ არიან მთელი რიცხვები, ისინი უნდა იყოს წარმოდგენილი როგორც ჩვეულებრივი წილადები (შეგიძლიათ იმუშაოთ ათობითი წილადებით, თუ ეს მოსახერხებელია). მოდით შევხედოთ ამ საკითხს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი.

დაამატეთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვი −1,25.

გამოსავალი.

წარმოვადგენთ რიცხვებს ჩვეულებრივი წილადების სახით, ამისთვის შევასრულებთ გადასვლას შერეული რიცხვიდან არასწორ წილადზე: , და ათწილადი წილადი ჩვეულებრივად გადავთარგმნით: .

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების დამატების წესი.

დამატებული ნომრების მოდულებია 17/8 და 5/4. შემდგომი მოქმედებების შესრულების მოხერხებულობისთვის წილადებს ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე, შედეგად გვაქვს 17/8 და 10/8.

ახლა ჩვენ უნდა შევადაროთ საერთო წილადები 17/8 და 10/8. 17>10 წლიდან მერე . ამრიგად, პლუს ნიშნის მქონე ტერმინს აქვს უფრო დიდი მოდული, ამიტომ დაიმახსოვრეთ პლუს ნიშანი.

ახლა ჩვენ გამოვაკლებთ პატარას უფრო დიდ მოდულს, ანუ ვაკლებთ წილადებს იგივე მნიშვნელებით: .

რჩება დამახსოვრებული პლუსის ნიშანი მიღებული რიცხვის წინ, მივიღებთ, მაგრამ - ეს არის რიცხვი 7/8.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით რა არის უარყოფითი რიცხვი და რომელ რიცხვებს უწოდებენ საპირისპირო რიცხვებს. ასევე ვისწავლით უარყოფითი და დადებითი რიცხვების (სხვადასხვა ნიშნის მქონე რიცხვების) დამატებას და გავაანალიზებთ სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრების რამდენიმე მაგალითს.

შეხედეთ ამ მექანიზმს (იხ. სურ. 1).

ბრინჯი. 1. საათის მექანიზმი

ეს არ არის ისარი, რომელიც პირდაპირ აჩვენებს დროს და არა ციფერბლატი (იხ. სურ. 2). მაგრამ ამ დეტალის გარეშე საათი არ მუშაობს.

ბრინჯი. 2. მექანიზმი საათის შიგნით

რას ნიშნავს ასო Y? არაფერი გარდა ხმის Y. მაგრამ ამის გარეშე ბევრი სიტყვა არ იმუშავებს. მაგალითად, სიტყვა "მაუსი". ასეა უარყოფითი რიცხვებიც: ისინი არ აჩვენებენ არანაირ რაოდენობას, მაგრამ მათ გარეშე გაანგარიშების მექანიზმი გაცილებით რთული იქნებოდა.

ჩვენ ვიცით, რომ შეკრება და გამოკლება თანაბარი მოქმედებებია და მათი შესრულება შესაძლებელია ნებისმიერი თანმიმდევრობით. პირდაპირი თანმიმდევრობით შეგვიძლია გამოვთვალოთ: , მაგრამ გამოკლებით დაწყება არ არის, რადგან ჯერ არ შევთანხმდით, მაგრამ რა არის.

ცხადია, რომ რიცხვის გაზრდა და შემდეგ კლება ხდება, შედეგად, მცირდება სამით. რატომ არ მიუთითოთ ეს ობიექტი და არ დათვალოთ იგი ამ გზით: დამატება ნიშნავს გამოკლებას. მაშინ .

რიცხვი შეიძლება ნიშნავდეს, მაგალითად, ვაშლს. ახალი რიცხვი არ წარმოადგენს რაიმე რეალურ რაოდენობას. თავისთავად, ეს არაფერს ნიშნავს, ისევე როგორც ასო Y. ეს უბრალოდ ახალი ინსტრუმენტია გამოთვლების გასამარტივებლად.

დავასახელოთ ახალი ნომრები უარყოფითი. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვაკლოთ უფრო დიდი რიცხვი პატარა რიცხვს. ტექნიკურად, თქვენ მაინც უნდა გამოაკლოთ პატარა რიცხვი უფრო დიდ რიცხვს, მაგრამ პასუხში ჩადეთ მინუს ნიშანი: .

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს: . თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ყველა მოქმედება ზედიზედ:.

თუმცა, უფრო ადვილია გამოვაკლოთ მესამე რიცხვი პირველ რიცხვს და შემდეგ დაამატოთ მეორე რიცხვი:

უარყოფითი რიცხვები შეიძლება განისაზღვროს სხვა გზით.

თითოეული ნატურალური რიცხვისთვის, მაგალითად, შემოვიტანოთ ახალი რიცხვი, რომელსაც აღვნიშნავთ და განვსაზღვროთ, რომ მას აქვს შემდეგი თვისება: რიცხვის ჯამი და უდრის: .

რიცხვს დაერქმევა უარყოფითი, ხოლო რიცხვებს და - საპირისპირო. ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ უსასრულო რაოდენობის ახალი რიცხვები, მაგალითად:

რიცხვის საპირისპირო;

Საპირისპირო ;

Საპირისპირო ;

Საპირისპირო ;

გამოვაკლოთ უფრო დიდი რიცხვი პატარა რიცხვს: ამ გამოთქმას დავუმატოთ: . მივიღეთ ნული. თუმცა, თვისების მიხედვით: რიცხვი, რომელიც აერთიანებს ხუთს, იძლევა ნულს, აღინიშნება მინუს ხუთი:. მაშასადამე, გამოთქმა შეიძლება აღინიშნოს როგორც .

ყველა დადებით რიცხვს აქვს ტყუპი რიცხვი, რომელიც განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ წინ უსწრებს მინუს ნიშანი.ასეთ რიცხვებს უწოდებენ. საწინააღმდეგო(იხ. სურ. 3).

ბრინჯი. 3. საპირისპირო რიცხვების მაგალითები

საპირისპირო რიცხვების თვისებები

1. საპირისპირო რიცხვების ჯამი ნულის ტოლია:.

2. თუ დადებით რიცხვს გამოაკლებ ნულს, მაშინ შედეგი იქნება საპირისპირო უარყოფითი რიცხვი: .

1. ორივე რიცხვი შეიძლება იყოს დადებითი და ჩვენ უკვე ვიცით მათი დამატება: .

2. ორივე რიცხვი შეიძლება იყოს უარყოფითი.

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ასეთი რიცხვების დამატება წინა გაკვეთილზე, მაგრამ დავრწმუნდებით, რომ გავიგოთ, რა ვუყოთ მათ. Მაგალითად: .

ამ ჯამის საპოვნელად დაამატეთ საპირისპირო დადებითი რიცხვები და ჩადეთ მინუს ნიშანი.

3. ერთი რიცხვი შეიძლება იყოს დადებითი და მეორე უარყოფითი.

უარყოფითი რიცხვის დამატება, თუ ეს ჩვენთვის მოსახერხებელია, შეგვიძლია შევცვალოთ დადებითის გამოკლებით:.

კიდევ ერთი მაგალითი: . ისევ დაწერეთ ჯამი სხვაობის სახით. თქვენ შეგიძლიათ გამოაკლოთ უფრო დიდი რიცხვი პატარა რიცხვს, თუ გამოაკლებთ უფრო დიდ რიცხვს, მაგრამ მინუს ნიშნის დაყენებით.

ტერმინები შეიძლება შეიცვალოს: .

კიდევ ერთი მსგავსი მაგალითი: .

ყველა შემთხვევაში, შედეგი არის გამოკლება.

ამ წესების მოკლედ ჩამოსაყალიბებლად კიდევ ერთი ტერმინი გავიხსენოთ. საპირისპირო რიცხვები, რა თქმა უნდა, არ არის ერთმანეთის ტოლი. მაგრამ უცნაური იქნებოდა, რომ არ შეამჩნიოთ, რომ მათ აქვთ რაღაც საერთო. ეს საერთო ჩვენ დავარქვათ რიცხვის მოდული. საპირისპირო რიცხვების მოდული იგივეა: დადებითი რიცხვისთვის ის თავად რიცხვის ტოლია, უარყოფითისთვის კი პირიქით, დადებითი. Მაგალითად: , .

ორი უარყოფითი რიცხვის დასამატებლად, დაამატეთ მათი მოდული და დააყენეთ მინუს ნიშანი:

უარყოფითი და დადებითი რიცხვის დასამატებლად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ უფრო მცირე მოდული უფრო დიდ მოდულს და მიუთითოთ რიცხვის ნიშანი უფრო დიდი მოდულით:

ორივე რიცხვი უარყოფითია, ამიტომ დაამატეთ მათი მოდულები და დააყენეთ მინუს ნიშანი:

ორი რიცხვი განსხვავებული ნიშნით, შესაბამისად, რიცხვის მოდულს (უფრო დიდი მოდული) გამოვაკლებთ რიცხვის მოდულს და ვსვამთ მინუს ნიშანს (რიცხვის ნიშანი უფრო დიდი მოდულით):

ორი რიცხვი განსხვავებული ნიშნით, შესაბამისად, რიცხვის მოდულს (უფრო დიდი მოდული) გამოვაკლებთ რიცხვის მოდულს და ვსვამთ მინუს ნიშანს (რიცხვის ნიშანი დიდი მოდულით): .

ორი რიცხვი განსხვავებული ნიშნით, შესაბამისად, გამოაკლეთ რიცხვის მოდული რიცხვის მოდულს (უფრო დიდი მოდული) და ჩადეთ პლუს ნიშანი (რიცხვის ნიშანი დიდი მოდულით): .

პოზიტიურ და უარყოფით რიცხვებს ისტორიულად განსხვავებული როლები აქვთ.

პირველ რიგში, ჩვენ შემოვიღეთ ბუნებრივი რიცხვები ობიექტების დასათვლელად:

შემდეგ შემოვიღეთ სხვა დადებითი რიცხვები - წილადები, არამთლიანი სიდიდეების დასათვლელად, ნაწილები: .

უარყოფითი რიცხვები გამოჩნდა, როგორც გამოთვლების გასამარტივებელი ინსტრუმენტი. არ არსებობდა ისეთი რამ, რომ ცხოვრებაში იყო ისეთი რაოდენობები, რომლებსაც ვერ დავთვალეთ და უარყოფითი რიცხვები მოვიგონეთ.

ანუ უარყოფითი რიცხვები არ წარმოშობილა რეალური სამყაროდან. ისინი უბრალოდ ისეთი მოსახერხებელი აღმოჩნდა, რომ ზოგიერთ ადგილას მათ ცხოვრებაში იყენებდნენ. მაგალითად, ხშირად გვესმის უარყოფითი ტემპერატურის შესახებ. ამ შემთხვევაში არასდროს ვხვდებით ვაშლის უარყოფით რაოდენობას. Რა არის განსხვავება?

განსხვავება ისაა, რომ რეალურ ცხოვრებაში უარყოფითი მნიშვნელობები გამოიყენება მხოლოდ შედარებისთვის და არა რაოდენობებისთვის. თუ სასტუმროში სარდაფი იყო აღჭურვილი და იქ ლიფტი ამუშავდა, მაშინ ჩვეულებრივი სართულების ჩვეული ნუმერაციის დატოვების მიზნით შეიძლება გამოჩნდეს მინუს პირველი სართული. ეს მინუს ერთი ნიშნავს მხოლოდ ერთ სართულს მიწის დონიდან ქვემოთ (იხ. სურ. 1).

ბრინჯი. 4. მინუს პირველი და მინუს მეორე სართულები

უარყოფითი ტემპერატურა უარყოფითია მხოლოდ ნულთან შედარებით, რომელიც აირჩია სკალის ავტორმა ანდერს ცელსიუსმა. არის სხვა სასწორები და იგივე ტემპერატურა შეიძლება იქ აღარ იყოს უარყოფითი.

ამავდროულად, ჩვენ გვესმის, რომ შეუძლებელია ამოსავალი წერტილის შეცვლა ისე, რომ იყოს არა ხუთი, არამედ ექვსი ვაშლი. ამრიგად, ცხოვრებაში დადებითი რიცხვები გამოიყენება რაოდენობის დასადგენად (ვაშლი, ნამცხვარი).

ჩვენ ასევე ვიყენებთ მათ სახელების ნაცვლად. თითოეულ ტელეფონს შეიძლება მიენიჭოს საკუთარი სახელი, მაგრამ სახელების რაოდენობა შეზღუდულია და ნომრები არ არის. ამიტომ ვიყენებთ ტელეფონის ნომრებს. ასევე შეკვეთისთვის (საუკუნის შემდეგ საუკუნეში).

ცხოვრებაში უარყოფითი რიცხვები გამოიყენება ბოლო მნიშვნელობით (მინუს პირველი სართული ნულის ქვემოთ და პირველი სართულები)

1. ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკა 6. მ.: მნემოსინე, 2012 წ.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. მათემატიკა მე-6 კლასი. "გიმნაზია", 2006 წ.
3. დეპმენ ი.ია., ვილენკინ ნ.ია. მათემატიკის სახელმძღვანელოს გვერდების მიღმა. მოსკოვი: განათლება, 1989 წ.
4. რურუკინი A.N., ჩაიკოვსკი ი.ვ. დავალებები მათემატიკის კურსის 5-6 კლასი. M.: ZSh MEPhI, 2011 წ.
5. რურუკინი ა.ნ., სოჩილოვი ს.ვ., ჩაიკოვსკი კ.გ. მათემატიკა 5-6. სახელმძღვანელო MEPhI მიმოწერის სკოლის მე-6 კლასის მოსწავლეებისთვის. M.: ZSh MEPhI, 2011 წ.
6. შევრინ ლ.ნ., გეინ ა.გ., კორიაკოვი ი.ო., ვოლკოვი მ.ვ. მათემატიკა: სახელმძღვანელო-მოსაუბრე საშუალო სკოლის 5-6 კლასებისთვის. მ .: განათლება, მათემატიკის მასწავლებელთა ბიბლიოთეკა, 1989 წ.

1. Math-prosto.ru ().
2. youtube ().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Საშინაო დავალება

"ციფრების შეკრება სხვადასხვა ნიშნით" - მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-6 კლასი (ვილენკინი)

Მოკლე აღწერა:

ამ განყოფილებაში შეისწავლით სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების დამატების წესებს: ანუ ისწავლეთ უარყოფითი და დადებითი რიცხვების შეკრება.
თქვენ უკვე იცით, როგორ დაამატოთ ისინი კოორდინატთა ხაზზე, მაგრამ თითოეულ მაგალითში არ დახაზავთ ხაზს და არ ითვლით მის გასწვრივ? ამიტომ, თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ დაამატოთ მის გარეშე.
შევეცადოთ თქვენთან ერთად დავუმატოთ უარყოფითი რიცხვი დადებით რიცხვს, მაგალითად დავუმატოთ რვა გამოკლებული ექვსი: 8+(-6). თქვენ უკვე იცით, რომ უარყოფითი რიცხვის დამატება იწვევს თავდაპირველი რიცხვის შემცირებას უარყოფითი რიცხვის მნიშვნელობით. ეს ნიშნავს, რომ რვა უნდა შემცირდეს ექვსზე, ანუ ექვსი უნდა გამოკლდეს რვას: 8-6=2, გამოდის ორი. ამ მაგალითში, როგორც ჩანს, ყველაფერი ნათელია, რვას ვაკლებთ ექვსს.
და თუ ამ მაგალითს ავიღებთ: უარყოფით რიცხვს დავუმატოთ დადებითი რიცხვი. მაგალითად, რვას გამოკლებული დაუმატეთ ექვსი: -8+6. არსი იგივე რჩება: პოზიტიურ რიცხვს ვამცირებთ უარყოფითის მნიშვნელობით, მივიღებთ ექვსს გამოკლებული რვა იქნება გამოკლებული ორი: -8+6=-2.
როგორც შენიშნეთ, როგორც პირველ, ასევე მეორე მაგალითში გამოკლება ხდება რიცხვებით. რატომ? რადგან მათ აქვთ სხვადასხვა ნიშნები (პლუს და მინუს). იმისათვის, რომ არ დაუშვათ შეცდომები სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების დამატებისას, თქვენ უნდა შეასრულოთ მოქმედებების შემდეგი ალგორითმი:
1. რიცხვების მოდულების პოვნა;
2. გამოვაკლოთ პატარა მოდული უფრო დიდ მოდულს;
3. შედეგამდე ჩასვით რიცხვითი ნიშანი დიდი მოდულით (ჩვეულებრივ იდება მხოლოდ მინუს ნიშანი, ხოლო პლუს ნიშანი არ იდება).
თუ ამ ალგორითმის მიხედვით დაამატებთ რიცხვებს სხვადასხვა ნიშნით, მაშინ შეცდომის დაშვების გაცილებით ნაკლები შანსი გექნებათ.

ეს გაკვეთილი მოიცავს რაციონალური რიცხვების შეკრებას და გამოკლებას. თემა კლასიფიცირებულია, როგორც რთული. აქ აუცილებელია ადრე შეძენილი ცოდნის მთელი არსენალის გამოყენება.

მთელი რიცხვების შეკრებისა და გამოკლების წესები მოქმედებს რაციონალურ რიცხვებზეც. შეგახსენებთ, რომ რაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით, სადაც ა -არის წილადის მრიცხველი ბარის წილადის მნიშვნელი. სადაც, ბნული არ უნდა იყოს.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ სულ უფრო ხშირად მივმართავთ წილადებსა და შერეულ რიცხვებს, როგორც ერთ ჩვეულებრივ ფრაზას - რაციონალური რიცხვი.

გაკვეთილის ნავიგაცია:

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად. გავითვალისწინებთ, რომ პლიუსი, რომელიც მოცემულია გამონათქვამში, არის მოქმედების ნიშანი და არ ვრცელდება წილადებზე. ამ წილადს აქვს თავისი პლუს ნიშანი, რომელიც უხილავია იმის გამო, რომ არ არის ჩაწერილი. მაგრამ ჩვენ დავწერთ მას სიცხადისთვის:

ეს არის რაციონალური რიცხვების დამატება სხვადასხვა ნიშნით. სხვადასხვა ნიშნით რაციონალური რიცხვების დასამატებლად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ უფრო პატარა მოდული უფრო დიდ მოდულს და პასუხის წინ დააყენოთ რაციონალური რიცხვის ნიშანი, რომლის მოდული უფრო დიდია. და იმისთვის, რომ გაიგოთ, რომელი მოდული არის დიდი და რომელი ნაკლები, თქვენ უნდა შეძლოთ ამ წილადების მოდულების შედარება მათ გამოთვლამდე:

რაციონალური რიცხვის მოდული მეტია რაციონალური რიცხვის მოდულზე. ამიტომ, ჩვენ გამოვაკლეთ. მიიღო პასუხი. შემდეგ ამ წილადის 2-ით შემცირებით მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ზოგიერთი პრიმიტიული ქმედება, როგორიცაა რიცხვების ფრჩხილებში ჩასმა და მოდულების ჩამოგდება, შეიძლება გამოტოვოთ. ეს მაგალითი შეიძლება დაიწეროს მოკლედ:

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად. გავითვალისწინებთ, რომ რაციონალურ რიცხვებს შორის მინუსი არის მოქმედების ნიშანი და არ ვრცელდება წილადებზე. ამ წილადს აქვს თავისი პლუს ნიშანი, რომელიც უხილავია იმის გამო, რომ არ არის ჩაწერილი. მაგრამ ჩვენ დავწერთ მას სიცხადისთვის:

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით. შეგახსენებთ, რომ ამისათვის თქვენ უნდა დაამატოთ მინუენდს ქვეტრაჰენდის საპირისპირო რიცხვი:

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების შეკრება. უარყოფითი რაციონალური რიცხვების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მოდულები და დააყენოთ მინუსი პასუხის წინ:

Შენიშვნა.არ არის აუცილებელი ყველა რაციონალური რიცხვის ფრჩხილებში ჩასმა. ეს კეთდება მოხერხებულობისთვის, რათა ნათლად დავინახოთ რა ნიშნები აქვთ რაციონალურ რიცხვებს.

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ამ გამოთქმაში წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ. იმისთვის, რომ გაგვიადვილდეს, ეს წილადები მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან. ჩვენ არ განვიხილავთ დეტალებს, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს. თუ გაგიჭირდებათ, აუცილებლად გაიმეორეთ გაკვეთილი.

წილადების საერთო მნიშვნელამდე შემცირების შემდეგ გამოსახულება მიიღებს შემდეგ ფორმას:

ეს არის რაციონალური რიცხვების დამატება სხვადასხვა ნიშნით. დიდ მოდულს ვაკლებთ პატარა მოდულს და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ რაციონალური რიცხვის ნიშანს, რომლის მოდული უფრო დიდია:

მოდით ჩამოვწეროთ ამ მაგალითის ამოხსნა უფრო მოკლედ:

მაგალითი 4იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ გამოთქმას ვიანგარიშებთ შემდეგნაირად: ვამატებთ რაციონალურ რიცხვებს და , შემდეგ გამოვაკლებთ რაციონალურ რიცხვს მიღებულ შედეგს.

პირველი მოქმედება:

მეორე მოქმედება:

მაგალითი 5. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

მოდით წარმოვიდგინოთ მთელი რიცხვი −1 წილადად და შერეული რიცხვი გადავაქციოთ არასწორ წილადად:

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად:

მივიღეთ რაციონალური რიცხვების შეკრება სხვადასხვა ნიშნით. დიდ მოდულს ვაკლებთ პატარა მოდულს და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ რაციონალური რიცხვის ნიშანს, რომლის მოდული უფრო დიდია:

მიიღო პასუხი.

არის მეორე გამოსავალიც. იგი შედგება მთელი ნაწილების ცალკე შეკრებაში.

ასე რომ, დავუბრუნდეთ თავდაპირველ გამოთქმას:

ჩასვით თითოეული რიცხვი ფრჩხილებში. ამ შერეული რიცხვისთვის დროებით:

გამოვთვალოთ მთელი ნაწილები:

(−1) + (+2) = 1

მთავარ გამოსახულებაში, ნაცვლად (−1) + (+2), ვწერთ მიღებულ ერთეულს:

შედეგად მიღებული გამოხატულება. ამისათვის ჩაწერეთ ერთეული და წილადი:

მოდით დავწეროთ გამოსავალი ასე მოკლედ:

მაგალითი 6იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

შერეული რიცხვის გადაქცევა არასწორ წილადად. დანარჩენს გადავიწერთ ცვლილების გარეშე:

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად:

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

მოდით ჩამოვწეროთ ამ მაგალითის ამოხსნა უფრო მოკლედ:

მაგალითი 7იპოვნეთ ღირებულების გამოხატულება

მოდით წარმოვიდგინოთ მთელი რიცხვი −5 წილადად და შერეული რიცხვი გადავაქციოთ არასწორ წილადად:

მოდით მივიყვანოთ ეს წილადები საერთო მნიშვნელთან. საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის შემდეგ ისინი მიიღებენ შემდეგ ფორმას:

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად:

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების შეკრება. ამ რიცხვების მოდულებს ვამატებთ და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ მინუსს:

ამრიგად, გამოხატვის მნიშვნელობა არის .

ეს მაგალითი მეორე გზით გადავჭრათ. დავუბრუნდეთ თავდაპირველ გამოთქმას:

შერეული რიცხვი ჩავწეროთ გაფართოებული სახით. დანარჩენს ცვლილებების გარეშე ვწერთ:

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად:

გამოვთვალოთ მთელი ნაწილები:

მთავარ გამოსახულებაში, იმის ნაცვლად, რომ დაწეროთ მიღებული რიცხვი −7

გამოთქმა არის შერეული რიცხვის ჩაწერის გაფართოებული ფორმა. ერთად დავწეროთ რიცხვი −7 და წილადი და მივიღოთ საბოლოო პასუხი:

მოკლედ დავწეროთ ეს გამოსავალი:

მაგალითი 8იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად:

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების შეკრება. ამ რიცხვების მოდულებს ვამატებთ და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ მინუსს:

ამრიგად, გამოხატვის მნიშვნელობა არის

ეს მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს მეორე გზით. იგი შედგება მთლიანი და წილადი ნაწილების ცალკე დამატებაში. დავუბრუნდეთ თავდაპირველ გამოთქმას:

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად:

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების შეკრება. ამ რიცხვების მოდულებს ვამატებთ და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ მინუსს. მაგრამ ამჯერად ცალ-ცალკე ვამატებთ მთელ რიცხვებს (−1 და −2) და წილადებს და

მოკლედ დავწეროთ ეს გამოსავალი:

მაგალითი 9იპოვნეთ გამოხატვის გამონათქვამები

შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად:

რაციონალურ რიცხვს ვსვამთ ფრჩხილებში მის ნიშანთან ერთად. რაციონალურ რიცხვს არ სჭირდება ფრჩხილებში ჩასმა, რადგან ის უკვე არის ფრჩხილებში:

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების შეკრება. ამ რიცხვების მოდულებს ვამატებთ და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ მინუსს:

ამრიგად, გამოხატვის მნიშვნელობა არის

ახლა ვცადოთ იგივე მაგალითის ამოხსნა მეორე გზით, კერძოდ, მთელი და წილადი ნაწილების ცალ-ცალკე მიმატებით.

ამჯერად, მოკლე ამოხსნის მისაღებად, შევეცადოთ გამოვტოვოთ რამდენიმე მოქმედება, როგორიცაა შერეული რიცხვის დაწერა გაფართოებული ფორმით და გამოკლების ჩანაცვლება შეკრებით:

გაითვალისწინეთ, რომ წილადი ნაწილები შემცირდა საერთო მნიშვნელამდე.

მაგალითი 10იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

მიღებული გამოთქმა არ შეიცავს უარყოფით რიცხვებს, რომლებიც შეცდომების მთავარი მიზეზია. და რადგან არ არსებობს უარყოფითი რიცხვები, შეგვიძლია ამოვიღოთ პლიუსი სუბტრაჰენდის წინ და ასევე ამოვიღოთ ფრჩხილები:

შედეგი არის მარტივი გამოხატულება, რომლის გამოთვლაც ადვილია. მოდით გამოვთვალოთ ის ჩვენთვის მოსახერხებელი გზით:

მაგალითი 11.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს არის რაციონალური რიცხვების დამატება სხვადასხვა ნიშნით. გამოვაკლოთ უფრო მცირე მოდული უფრო დიდ მოდულს და მივიღოთ რაციონალური რიცხვის ნიშანი, რომლის მოდული უფრო დიდია, მიღებული პასუხების წინ:

მაგალითი 12.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გამოთქმა შედგება რამდენიმე რაციონალური რიცხვისგან. მიხედვით, პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეასრულოთ მოქმედებები ფრჩხილებში.

ჯერ გამოვთვალოთ გამოხატულება , შემდეგ გამოსახულებას ვამატებთ მიღებულ შედეგებს.

პირველი მოქმედება:

მეორე მოქმედება:

მესამე მოქმედება:

პასუხი:გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის

მაგალითი 13იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად:

რაციონალურ რიცხვს ვსვამთ ფრჩხილებში მის ნიშანთან ერთად. რაციონალურ რიცხვს არ სჭირდება ფრჩხილებში ჩასმა, რადგან ის უკვე არის ფრჩხილებში:

მივცეთ ეს წილადები საერთო მნიშვნელში. საერთო მნიშვნელამდე მიყვანის შემდეგ ისინი მიიღებენ შემდეგ ფორმას:

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

მივიღეთ რაციონალური რიცხვების შეკრება სხვადასხვა ნიშნით. გამოვაკლოთ უფრო მცირე მოდული უფრო დიდ მოდულს და მივიღოთ რაციონალური რიცხვის ნიშანი, რომლის მოდული უფრო დიდია, მიღებული პასუხების წინ:

ამრიგად, გამოხატვის ღირებულება უდრის

განვიხილოთ ათობითი წილადების შეკრება და გამოკლება, რომლებიც ასევე რაციონალური რიცხვებია და რომლებიც შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი.

მაგალითი 14იპოვეთ −3.2 + 4.3 გამოხატვის მნიშვნელობა

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად. ჩვენ გავითვალისწინებთ, რომ პლიუსი, რომელიც მოცემულია გამონათქვამში, არის მოქმედების ნიშანი და არ ვრცელდება ათობითი წილადზე 4.3. ამ ათწილადს აქვს თავისი პლუს ნიშანი, რომელიც უხილავია იმის გამო, რომ არ არის ჩაწერილი. მაგრამ ჩვენ დავწერთ მას სიცხადისთვის:

(−3,2) + (+4,3)

ეს არის რაციონალური რიცხვების დამატება სხვადასხვა ნიშნით. სხვადასხვა ნიშნით რაციონალური რიცხვების დასამატებლად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ უფრო პატარა მოდული უფრო დიდ მოდულს და პასუხის წინ დააყენოთ რაციონალური რიცხვი, რომლის მოდული უფრო დიდია. და იმისათვის, რომ გაიგოთ, რომელი მოდული არის უფრო დიდი და რომელი უფრო მცირე, თქვენ უნდა შეძლოთ ამ ათობითი წილადების მოდულების შედარება მათ გამოთვლამდე:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

4.3-ის მოდული მეტია −3.2-ის მოდულზე, ამიტომ 4.3-ს გამოვაკლეთ 3.2. მივიღე პასუხი 1.1. პასუხი არის დიახ, რადგან პასუხს წინ უნდა უსწრებდეს რაციონალური რიცხვის ნიშანი, რომლის მოდულიც მეტია. და 4.3-ის მოდული მეტია −3.2-ის მოდულზე

ამრიგად, −3.2 + (+4.3) გამოხატვის მნიშვნელობა არის 1.1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

მაგალითი 15იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 3.5 + (−8.3)

ეს არის რაციონალური რიცხვების დამატება სხვადასხვა ნიშნით. როგორც წინა მაგალითში, ჩვენ გამოვაკლებთ პატარას უფრო დიდ მოდულს და პასუხის წინ ვსვამთ რაციონალური რიცხვის ნიშანს, რომლის მოდული უფრო დიდია:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

ამრიგად, 3.5 + (−8.3) გამოხატვის მნიშვნელობა −4.8-ის ტოლია

ეს მაგალითი შეიძლება დაიწეროს უფრო მოკლედ:

3,5 + (−8,3) = −4,8

მაგალითი 16იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −7,2 + (−3,11)

ეს არის უარყოფითი რაციონალური რიცხვების დამატება. უარყოფითი რაციონალური რიცხვების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მოდულები და პასუხის წინ დააყენოთ მინუსი.

თქვენ შეგიძლიათ გამოტოვოთ ჩანაწერი მოდულებით, რათა თავიდან აიცილოთ გამოთქმის გადატვირთვა:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

ამრიგად, −7,2 + (−3,11) გამოხატვის მნიშვნელობა −10,31-ის ტოლია

ეს მაგალითი შეიძლება დაიწეროს უფრო მოკლედ:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

მაგალითი 17.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −0,48 + (−2,7)

ეს არის უარყოფითი რაციონალური რიცხვების დამატება. ვამატებთ მათ მოდულებს და მიღებულ პასუხამდე ვსვამთ მინუსს. თქვენ შეგიძლიათ გამოტოვოთ ჩანაწერი მოდულებით, რათა თავიდან აიცილოთ გამოთქმის გადატვირთვა:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

მაგალითი 18.იპოვეთ −4,9 − 5,9 გამოხატვის მნიშვნელობა

თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ფრჩხილებში ვსვამთ მის ნიშნებთან ერთად. გავითვალისწინებთ, რომ მინუსი, რომელიც მდებარეობს რაციონალურ რიცხვებს შორის -4.9 და 5.9 არის მოქმედების ნიშანი და არ ვრცელდება 5.9 რიცხვზე. ამ რაციონალურ რიცხვს აქვს თავისი პლუს ნიშანი, რომელიც უხილავია იმის გამო, რომ არ არის ჩაწერილი. მაგრამ ჩვენ დავწერთ მას სიცხადისთვის:

(−4,9) − (+5,9)

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

(−4,9) + (−5,9)

მივიღეთ უარყოფითი რაციონალური რიცხვების შეკრება. ჩვენ ვამატებთ მათ მოდულებს და მივიღებთ მინუსს მიღებულ პასუხამდე:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

ამრიგად, −4,9 − 5,9 გამოხატვის მნიშვნელობა −10,8-ის ტოლია

−4,9 − 5,9 = −10,8

მაგალითი 19.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 7 − 9.3

ფრჩხილებში ჩადეთ თითოეული რიცხვი მის ნიშნებთან ერთად

(+7) − (+9,3)

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

ამრიგად, 7 − 9.3 გამოხატვის მნიშვნელობა არის −2.3

მოდით ჩამოვწეროთ ამ მაგალითის ამოხსნა უფრო მოკლედ:

7 − 9,3 = −2,3

მაგალითი 20.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −0,25 − (−1,2)

გამოკლება შევცვალოთ მიმატებით:

−0,25 + (+1,2)

მივიღეთ რაციონალური რიცხვების შეკრება სხვადასხვა ნიშნით. უფრო დიდ მოდულს ვაკლებთ პატარა მოდულს და პასუხის წინ ვსვამთ იმ რიცხვის ნიშანს, რომლის მოდული უფრო დიდია:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

მოდით ჩამოვწეროთ ამ მაგალითის ამოხსნა უფრო მოკლედ:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

მაგალითი 21.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა -3.5 + (4.1 - 7.1)

შეასრულეთ მოქმედებები ფრჩხილებში, შემდეგ დაამატეთ მიღებული პასუხი რიცხვით −3.5

პირველი მოქმედება:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

მეორე მოქმედება:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

პასუხი:−3,5 + (4,1 − 7,1) გამოხატვის მნიშვნელობა არის −6,5.

მაგალითი 22.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1)

მოდით გავაკეთოთ ფრჩხილები. შემდეგ, პირველი ფრჩხილების შესრულების შედეგად მიღებული რიცხვიდან, გამოაკელი რიცხვი, რომელიც მიღებულია მეორე ფრჩხილების შესრულების შედეგად:

პირველი მოქმედება:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

მეორე მოქმედება:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

მესამე მოქმედება

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

პასუხი:გამოხატვის (3.5 - 2.9) - (3.7 - 9.1) მნიშვნელობა არის 6.

მაგალითი 23.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

ფრჩხილებში ჩადეთ ყველა რაციონალური რიცხვი მის ნიშნებთან ერთად

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

მოდით შევცვალოთ გამოკლება მიმატებით, სადაც ეს შესაძლებელია:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

გამოთქმა შედგება რამდენიმე ტერმინისგან. დამატების ასოციაციური კანონის თანახმად, თუ გამოთქმა შედგება რამდენიმე ტერმინისგან, მაშინ ჯამი არ იქნება დამოკიდებული მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. ეს ნიშნავს, რომ პირობები შეიძლება დაემატოს ნებისმიერი თანმიმდევრობით.

ჩვენ არ გამოვიგონებთ ბორბალს, მაგრამ დავამატებთ ყველა ტერმინს მარცხნიდან მარჯვნივ იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი გამოჩნდება:

პირველი მოქმედება:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

მეორე მოქმედება:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

მესამე მოქმედება:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

პასუხი:−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 გამოხატვის მნიშვნელობა 1-ის ტოლია.

მაგალითი 24.იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ათწილადი -1,8 გადავიყვანოთ შერეულ რიცხვად. დანარჩენს გადავიწერთ ცვლილების გარეშე:

მათემატიკის პრაქტიკულად მთელი კურსი ეფუძნება მოქმედებებს დადებითი და უარყოფითი რიცხვებით. ბოლოს და ბოლოს, როგორც კი ვიწყებთ კოორდინატთა ხაზის შესწავლას, რიცხვები პლიუს და მინუს ნიშნებით იწყებენ შეხვედრებს ყველგან, ყოველ ახალ თემაში. არაფერია მარტივი ვიდრე ჩვეულებრივი დადებითი რიცხვების შეკრება, არ არის რთული ერთის გამოკლება. ორი უარყოფითი რიცხვით არითმეტიკაც კი იშვიათად არის პრობლემა.

თუმცა, ბევრი ადამიანი იბნევა სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრებასა და გამოკლებაში. გაიხსენეთ წესები, რომლითაც ხდება ეს ქმედებები.

რიცხვების შეკრება სხვადასხვა ნიშნით

თუ ამოცანის გადასაჭრელად უნდა მივუმატოთ უარყოფითი რიცხვი „-b“ გარკვეულ „a“ რიცხვს, მაშინ უნდა ვიმოქმედოთ შემდეგნაირად.

• ავიღოთ ორივე რიცხვის მოდული - |a| და |ბ| - და შეადარეთ ეს აბსოლუტური მნიშვნელობები ერთმანეთთან.
• გაითვალისწინეთ, რომელი მოდული არის უფრო დიდი და რომელი უფრო პატარა, და გამოაკლეთ მცირე მნიშვნელობა უფრო დიდ მნიშვნელობას.
• მიღებული რიცხვის წინ ვსვამთ იმ რიცხვის ნიშანს, რომლის მოდულიც მეტია.

ეს იქნება პასუხი. უფრო მარტივად შეიძლება: თუ გამონათქვამში a + (-b) რიცხვის "b" მოდული მეტია "a"-ს მოდულზე, მაშინ "b"-ს გამოვაკლებთ "a"-ს და ვსვამთ "მინუსს". “ შედეგის წინ. თუ მოდული "a" მეტია, მაშინ "b" აკლდება "a" -ს და ამონახსნი მიიღება "პლუს" ნიშნით.

ასევე ხდება, რომ მოდულები თანაბარია. თუ ასეა, მაშინ შეგიძლიათ შეჩერდეთ ამ ეტაპზე - ჩვენ ვსაუბრობთ საპირისპირო რიცხვებზე და მათი ჯამი ყოველთვის იქნება ნული.

რიცხვების გამოკლება სხვადასხვა ნიშნით

ჩვენ გავარკვიეთ დამატება, ახლა განიხილეთ გამოკლების წესი. ის ასევე საკმაოდ მარტივია - და გარდა ამისა, იგი მთლიანად იმეორებს მსგავს წესს ორი უარყოფითი რიცხვის გამოკლებისთვის.

იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ გარკვეული რიცხვი "a" - თვითნებური, ანუ ნებისმიერი ნიშნით - უარყოფითი რიცხვი "c", თქვენ უნდა დაამატოთ ჩვენი თვითნებური რიცხვი "a"-ს საპირისპირო რიცხვი "c". Მაგალითად:

• თუ "a" არის დადებითი რიცხვი, და "c" არის უარყოფითი, და "c" უნდა გამოვაკლოთ "a"-ს, მაშინ ჩვენ ვწერთ მას ასე: a - (-c) \u003d a + c.
• თუ "a" უარყოფითი რიცხვია, ხოლო "c" დადებითია და "c" უნდა გამოვაკლოთ "a"-ს, მაშინ ჩვენ ვწერთ შემდეგნაირად: (- a) - c \u003d - a + (-c).

ამგვარად, სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების გამოკლებისას საბოლოოდ ვუბრუნდებით შეკრების წესებს, ხოლო სხვადასხვა ნიშნით რიცხვების შეკრებისას ვუბრუნდებით გამოკლების წესებს. ამ წესების დამახსოვრება საშუალებას გაძლევთ სწრაფად და მარტივად მოაგვაროთ პრობლემები.