რა უნდა იცოდეთ უთანასწორობის ხატების შესახებ? ხატის უთანასწორობა მეტი (> ), ან ნაკლები (< ) უწოდებენ მკაცრი.ხატებით მეტი თუ თანაბარი (≥ ), ნაკლები ან თანაბარი (≤ ) უწოდებენ არა მკაცრი.Ხატი არ უდრის (≠ ) მარტო დგას, მაგრამ მაგალითების ამოხსნაც გიწევს ყოველთვის ასეთი ხატით. და ჩვენ გავაკეთებთ.)

თავად ხატი დიდად არ მოქმედებს გადაწყვეტის პროცესზე. მაგრამ ამოხსნის ბოლოს, საბოლოო პასუხის არჩევისას, ხატის მნიშვნელობა მთელი ძალით ჩნდება! როგორც ქვემოთ დავინახავთ, მაგალითებში. რაღაც ხუმრობებია...

უთანასწორობა, ისევე როგორც თანასწორობა, არის ერთგული და ორგული.აქ ყველაფერი მარტივია, ხრიკების გარეშე. ვთქვათ 5 > 2 არის სწორი უტოლობა. 5 < 2 არასწორია.

ასეთი მომზადება მუშაობს უთანასწორობებზე ნებისმიერი სახისდა მარტივი საშინელებამდე.) თქვენ უბრალოდ უნდა სწორად შეასრულოთ ორი (მხოლოდ ორი!) ელემენტარული მოქმედება. ეს მოქმედებები ყველასთვის ნაცნობია. მაგრამ, რაც დამახასიათებელია, ამ მოქმედებებში ჯამები არის უთანასწორობის ამოხსნის მთავარი შეცდომა, დიახ... ამიტომ ეს მოქმედებები უნდა განმეორდეს. ამ ქმედებებს ასე ეწოდება:

უტოლობების იდენტობის გარდაქმნები.

უტოლობების იდენტობის გარდაქმნები ძალიან ჰგავს განტოლებათა იდენტურ გარდაქმნებს. სინამდვილეში, ეს არის მთავარი პრობლემა. განსხვავებები თავში სცდება და ... ჩამოვიდა.) ამიტომ, მე განსაკუთრებით გამოვყოფ ამ განსხვავებებს. ასე რომ, უტოლობების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია:

1. უტოლობის ორივე ნაწილს შეიძლება დაემატოს (გამოკლდეს) ერთი და იგივე რიცხვი ან გამოსახულება. ნებისმიერი. ეს არ შეცვლის უთანასწორობის ნიშანს.

პრაქტიკაში, ეს წესი გამოიყენება როგორც ტერმინების გადატანა უტოლობის მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს (და პირიქით) ნიშნის ცვლილებით. ტერმინის ნიშნის ცვლილებით და არა უთანასწორობით! ერთი-ერთზე წესი იგივეა, რაც განტოლებების წესი. მაგრამ შემდეგი იდენტური გარდაქმნები უტოლობაში მნიშვნელოვნად განსხვავდება განტოლებისგან. ამიტომ მე მათ წითლად გამოვყოფ:

2. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთზედადებითინომერი. ნებისმიერისთვისდადებითი არ შეიცვლება.

3. უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს) ერთზეუარყოფითინომერი. ნებისმიერისთვისუარყოფითინომერი. უთანასწორობის ნიშანი აქედანშეიცვლება პირიქით.

გახსოვთ (იმედია...) რომ განტოლება შეიძლება გამრავლდეს/გაყოთ ნებისმიერზე. და ნებისმიერი რიცხვისთვის და x-ით გამოსახულებისთვის. სანამ ნული არ არის. ის, განტოლება, აქედან არც ცხელია და არც ცივი.) არ იცვლება. მაგრამ უტოლობები უფრო მგრძნობიარეა გამრავლების/გაყოფის მიმართ.

გრძელი მეხსიერების საილუსტრაციო მაგალითი. ჩვენ ვწერთ უთანასწორობას, რომელიც არ იწვევს ეჭვებს:

5 > 2

გავამრავლოთ ორივე მხარე +3, ჩვენ ვიღებთ:

15 > 6

არის რაიმე წინააღმდეგობა? წინააღმდეგობები არ არის.) ხოლო თუ თავდაპირველი უტოლობის ორივე ნაწილს გავამრავლებთ -3, ჩვენ ვიღებთ:

15 > -6

და ეს არის პირდაპირი ტყუილი.) სრული სიცრუე! ხალხის მოტყუება! მაგრამ როგორც კი უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებულია, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება:

15 < -6

ტყუილისა და მოტყუების შესახებ - უბრალოდ არ ვფიცავ.) "დამავიწყდა უთანასწორობის ნიშნის შეცვლა..."- ეს არის სახლშიშეცდომა უტოლობების ამოხსნისას. ამ წვრილმანმა და გაურთულებელმა წესმა უამრავი ადამიანი დააზარალა! ვისაც დაავიწყდა...) ასე რომ ვფიცავ. იქნებ გახსოვდეს...)

ისინი, ვინც განსაკუთრებით ყურადღებიანი არიან, შეამჩნევენ, რომ უტოლობა არ შეიძლება გამრავლდეს x-ით გამოსახულებით. პატივი ეცით ყურადღებას!) და რატომაც არა? პასუხი მარტივია. ჩვენ არ ვიცით ამ გამოხატვის ნიშანი x-ით. ეს შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი... ამიტომ არ ვიცით, რა უტოლობის ნიშანი დავაყენოთ გამრავლების შემდეგ. შევცვალო თუ არა? უცნობი. რა თქმა უნდა, ეს შეზღუდვა (უტოლობის გამრავლების/გაყოფის აკრძალვა x-ით გამოსახულებით) შეიძლება გვერდის ავლით. თუ მართლა გჭირდება. მაგრამ ეს სხვა გაკვეთილების თემაა.

ეს არის უთანასწორობის ყველა იდენტური ტრანსფორმაცია. კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ისინი მუშაობენ ნებისმიერიუთანასწორობები. ახლა კი შეგიძლიათ გადახვიდეთ კონკრეტულ ტიპებზე.

წრფივი უტოლობა. გამოსავალი, მაგალითები.

წრფივ უტოლობას უწოდებენ უტოლობას, რომლებშიც x არის პირველ ხარისხში და არ არის გაყოფა x-ზე. ტიპი:

x+3 > 5x-5

როგორ წყდება ეს უთანასწორობები? მათი გადაჭრა ძალიან მარტივია! კერძოდ: დახმარებით ვამცირებთ ყველაზე დაბნეულ წრფივ უტოლობას პირდაპირ პასუხზე.ეს არის მთელი გამოსავალი. მე გამოვყოფ გადაწყვეტის მთავარ პუნქტებს. სულელური შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.)

ჩვენ ამ უტოლობას ვხსნით:

x+3 > 5x-5

ჩვენ ვხსნით ისევე, როგორც წრფივი განტოლება. ერთადერთი განსხვავებით:

ყურადღება მიაქციეთ უთანასწორობის ნიშანს!

პირველი ნაბიჯი ყველაზე გავრცელებულია. x-ით - მარცხნივ, x-ის გარეშე - მარჯვნივ... ეს არის პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია, მარტივი და უპრობლემო.) მხოლოდ გადაყვანილი წევრების ნიშნების შეცვლა არ დაგავიწყდეთ.

უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:

x-5x > -5-3

წარმოგიდგენთ მსგავსებს.

უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:

4x > -8

რჩება ბოლო იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენება: გაყავით ორივე ნაწილი -4-ზე.

გაყავით უარყოფითინომერი.

უთანასწორობის ნიშანი შებრუნებული იქნება:

X < 2

ეს არის პასუხი.

ასე იხსნება ყველა წრფივი უტოლობა.

ყურადღება! წერტილი 2 დახატულია თეთრი, ე.ი. შეუღებავი. შიგნით ცარიელი. ეს ნიშნავს, რომ ის არ შედის პასუხში! განზრახ დავხატე ასე ჯანმრთელი. ასეთი წერტილი (ცარიელი, არა ჯანსაღი!)) მათემატიკაში ე.წ დარტყმული წერტილი.

ღერძზე დარჩენილი რიცხვების მონიშვნა შესაძლებელია, მაგრამ არა აუცილებელი. ზედმეტი რიცხვები, რომლებიც არ არის დაკავშირებული ჩვენს უთანასწორობასთან, შეიძლება დამაბნეველი იყოს, დიახ... უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ რიცხვების ზრდა ისრის მიმართულებით მიდის, ე.ი. ნომრები 3, 4, 5 და ა.შ. არიან მარჯვნივორები და რიცხვები 1, 0, -1 და ა.შ. - მარცხნივ.

უტოლობა x < 2 - მკაცრი. X მკაცრად ნაკლებია ორზე. როდესაც ეჭვი გეპარებათ, შემოწმება მარტივია. ჩვენ ვცვლით საეჭვო რიცხვს უტოლობაში და ვფიქრობთ: "ორი ნაკლებია ორზე? რა თქმა უნდა არა!" ზუსტად. უტოლობა 2 < 2 არასწორი.დიუსი არ არის კარგი პასუხისთვის.

ერთი საკმარისია? Რა თქმა უნდა. ნაკლები ... და ნული კარგია და -17 და 0.34... დიახ, ყველა რიცხვი, რომელიც ორზე ნაკლებია, კარგია! და კიდევ 1,9999 .... ცოტა მაინც, მაგრამ ნაკლები!

ასე რომ, ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა ამ რიცხვს რიცხვის ღერძზე. Როგორ? აქ არის ვარიანტები. პირველი ვარიანტი არის გამოჩეკვა. მაუსის სურათს ვახვევთ (ან ვეხებით სურათს ტაბლეტზე) და ვხედავთ, რომ x-ების ის ნაწილი, რომელიც ემთხვევა x-ის მდგომარეობას, დაჩრდილულია. < 2 . Სულ ეს არის.

განვიხილოთ მეორე ვარიანტი მეორე მაგალითში:

X ≥ -0,5

ვხატავთ ღერძს, აღვნიშნავთ რიცხვს -0.5. Ამგვარად:

შენიშნე განსხვავება?) ჰო, ძნელია არ შეამჩნიო... ეს წერტილი შავია! მოხატული. ეს ნიშნავს, რომ -0.5 პასუხში შედის.აი, სხვათა შორის, ვიღაცას ამოწმებს და აბნევს. ჩვენ ვცვლით:

-0,5 ≥ -0,5

Როგორ თუ? -0,5 სხვა არაფერია, თუ არა -0,5! მეტი ხატია...

Ყველაფერი კარგადაა. არამკაცრ უთანასწორობაში, ყველაფერი, რაც შეესაბამება ხატს, შესაფერისია. და უდრისმორგებული და მეტიკარგი. ამიტომ პასუხში შედის -0.5.

ასე რომ, ჩვენ აღვნიშნეთ -0.5 ღერძზე, რჩება აღვნიშნოთ ყველა რიცხვი, რომელიც მეტია -0.5-ზე. ამჯერად მე აღვნიშნავ შესაფერისი x მნიშვნელობების დიაპაზონს ბორკილი(სიტყვიდან რკალი) ვიდრე გამოჩეკვა. გადაიტანეთ სურათზე და ნახეთ ეს მშვილდი.

გამოჩეკვასა და თაღებს შორის განსაკუთრებული განსხვავება არ არის. გააკეთე ისე, როგორც მასწავლებელი ამბობს. თუ მასწავლებელი არ არის, დახაზეთ მკლავები. უფრო რთულ ამოცანებში გამოჩეკვა ნაკლებად აშკარაა. შეიძლება დაიბნე.

ასე იხაზება წრფივი უტოლობა ღერძზე. გადავდივართ უტოლობათა შემდეგ სინგულარულობაზე.

დაწერეთ პასუხი უტოლობაზე.

განტოლებებში კარგი იყო.) ვიპოვეთ x და ჩავწერეთ პასუხი, მაგალითად: x = 3. უტოლობებში არსებობს პასუხების წერის ორი ფორმა. ერთი - საბოლოო უტოლობის სახით. კარგია მარტივი შემთხვევებისთვის. Მაგალითად:

X< 2.

ეს არის სრული პასუხი.

ზოგჯერ საჭიროა ერთი და იგივეს დაწერა, მაგრამ განსხვავებული ფორმით, რიცხვითი ხარვეზებით. შემდეგ ჩანაწერი ძალიან მეცნიერულად გამოიყურება):

x ∈ (-∞; 2)

ხატის ქვეშ ∈ სიტყვის დამალვა "ეკუთვნის".

ჩანაწერი ასე იკითხება: x ეკუთვნის ინტერვალს მინუს უსასრულობიდან ორამდე არ მოიცავს. საკმაოდ ლოგიკური. X შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ყველა შესაძლო რიცხვიდან მინუს უსასრულობიდან ორამდე. ორმაგი X არ შეიძლება იყოს, რასაც სიტყვა გვეუბნება "არ მოიცავს".

სად წერია პასუხში "არ მოიცავს"? ეს ფაქტი პასუხშია აღნიშნული. მრგვალიფრჩხილები დუსის შემდეგ დაუყოვნებლივ. თუ დუისი შედიოდა, ფრჩხილები იქნებოდა კვადრატი.Აქ არის: ]. შემდეგი მაგალითი იყენებს ასეთ ფრჩხილს.

ჩავწეროთ პასუხი: x ≥ -0,5 ინტერვალებით:

x ∈ [-0,5; +∞)

კითხულობს: x ეკუთვნის ინტერვალს მინუს 0,5-დან, მათ შორის,პლუს უსასრულობამდე.

უსასრულობა ვერასოდეს ირთვება. ეს არ არის რიცხვი, ეს სიმბოლოა. ამიტომ, ასეთ ჩანაწერებში უსასრულობა ყოველთვის თანაარსებობს ფრჩხილებთან.

ჩაწერის ეს ფორმა მოსახერხებელია კომპლექსური პასუხებისთვის, რომლებიც შედგება რამდენიმე ხარვეზისგან. მაგრამ - მხოლოდ საბოლოო პასუხებისთვის. შუალედურ შედეგებში, სადაც შემდგომი გამოსავალია მოსალოდნელი, უმჯობესია გამოვიყენოთ ჩვეულებრივი ფორმა, მარტივი უტოლობის სახით. ამას შევეხებით შესაბამის თემებში.

პოპულარული ამოცანები უთანასწორობით.

თავად წრფივი უტოლობა მარტივია. ამიტომ, დავალებები ხშირად რთულდება. ასე რომ, საჭირო იყო. ეს თუ ჩვევის გამო არ არის ძალიან სასიამოვნო.) მაგრამ სასარგებლოა. მე გაჩვენებთ ასეთი დავალებების მაგალითებს. არა იმისთვის, რომ ისწავლო ისინი, ეს ზედმეტია. და იმისათვის, რომ არ შეგეშინდეთ მსგავს მაგალითებთან შეხვედრისას. ცოტა ფიქრი - და ყველაფერი მარტივია!)

1. იპოვეთ ნებისმიერი ორი ამონახსნები 3x - 3 უტოლობაზე< 0

თუ არ არის ძალიან ნათელი რა უნდა გააკეთოს, გახსოვდეთ მათემატიკის მთავარი წესი:

თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია!

X < 1

Მერე რა? Არაფერი განსაკუთრებული. რას გვეკითხებიან? ჩვენ გვთხოვენ ვიპოვოთ ორი კონკრეტული რიცხვი, რომლებიც გამოსავალია უტოლობისთვის. იმათ. შეესაბამება პასუხს. ორი ნებისმიერინომრები. სინამდვილეში, ეს უხერხულია.) რამდენიმე 0 და 0.5 შესაფერისია. წყვილი -3 და -8. დიახ, ამ წყვილების უსასრულო რაოდენობაა! რა არის სწორი პასუხი?!

მე ვპასუხობ: ყველაფერი! რიცხვების ნებისმიერი წყვილი, რომელთაგან თითოეული ერთზე ნაკლებია, სწორი პასუხი იქნება.დაწერე რაც გინდა. მოდით წავიდეთ უფრო შორს.

2. ამოხსენით უტოლობა:

4x - 3 ≠ 0

ასეთი სამუშაოები იშვიათია. მაგრამ, როგორც დამხმარე უტოლობა, მაგალითად, ODZ-ის პოვნისას, ან ფუნქციის დომენის პოვნისას, ისინი ყოველთვის გვხვდება. ასეთი წრფივი უტოლობა შეიძლება გადაწყდეს როგორც ჩვეულებრივი წრფივი განტოლება. მხოლოდ ყველგან, გარდა "=" ნიშნისა ( უდრის) დადეთ ნიშანი " ≠ " (არ უდრის). ასე რომ, თქვენ მიხვალთ პასუხამდე, უთანასწორობის ნიშნით:

X ≠ 0,75

უფრო რთულ მაგალითებში, სჯობს საქმეები სხვაგვარად გააკეთოთ. გაუტოლეთ უტოლობას. Ამგვარად:

4x - 3 = 0

მშვიდად მოაგვარეთ ის, როგორც ასწავლეს და მიიღეთ პასუხი:

x = 0.75

მთავარია, ბოლოს და ბოლოს, საბოლოო პასუხის ჩაწერისას, არ დაგვავიწყდეს, რომ ჩვენ ვიპოვეთ x, რომელიც იძლევა თანასწორობა.და ჩვენ გვჭირდება - უთანასწორობა.ამიტომ, ჩვენ უბრალოდ არ გვჭირდება ეს X.) და ჩვენ უნდა ჩავწეროთ ის სწორი ხატით:

X ≠ 0,75

ეს მიდგომა იწვევს ნაკლებ შეცდომებს. ვინც ხსნის განტოლებებს მანქანაზე. და მათთვის, ვინც არ ხსნის განტოლებებს, უტოლობები, ფაქტობრივად, უსარგებლოა ...) პოპულარული დავალების კიდევ ერთი მაგალითი:

3. იპოვეთ უტოლობის უმცირესი მთელი ამონახსნი:

3 (x - 1) < 5x + 9

პირველ რიგში, ჩვენ უბრალოდ ვხსნით უტოლობას. ვხსნით ფრჩხილებს, გადავიტანთ, ვაძლევთ მსგავსებს... ვიღებთ:

X > - 6

ასე არ გამოვიდა!? დაიცავი ნიშნები? და წევრების ნიშნების მიღმა და უთანასწორობის ნიშნის მიღმა ...

კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კონკრეტული რიცხვი, რომელიც შეესაბამება პასუხსაც და პირობასაც "უმცირესი მთელი რიცხვი".თუ მაშინვე არ გათენდა, შეგიძლიათ უბრალოდ აიღოთ ნებისმიერი რიცხვი და გაარკვიოთ. ორი მეტია მინუს ექვსი? Რა თქმა უნდა! არის შესაფერისი უფრო მცირე რიცხვი? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, ნული მეტია -6-ზე. და კიდევ უფრო ნაკლები? ჩვენ გვჭირდება რაც შეიძლება პატარა! მინუს სამი მეტია მინუს ექვსზე! თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაიჭიროთ ნიმუში და შეწყვიტოთ რიცხვების სულელურად დალაგება, არა?)

ჩვენ ვიღებთ რიცხვს -6-სთან უფრო ახლოს. მაგალითად, -5. პასუხი გაკეთებულია, -5 > - 6. შეგიძლიათ იპოვოთ სხვა რიცხვი -5-ზე ნაკლები, მაგრამ -6-ზე მეტი? შეგიძლიათ, მაგალითად, -5,5... გაჩერდით! ჩვენ გვითხრეს მთლიანიგამოსავალი! არ ტრიალებს -5.5! რაც შეეხება მინუს ექვსი? ეეე! უტოლობა მკაცრია, მინუს 6 არ არის მინუს 6-ზე ნაკლები!

ასე რომ, სწორი პასუხია -5.

ვიმედოვნებ, რომ ყველაფერი ნათელია ზოგადი გადაწყვეტილების ღირებულების არჩევით. Სხვა მაგალითი:

4. ამოხსენით უტოლობა:

7 < 3x+1 < 13

Როგორ! ასეთ გამოთქმას ე.წ სამმაგი უთანასწორობა.მკაცრად რომ ვთქვათ, ეს არის უტოლობების სისტემის შემოკლებული აღნიშვნა. მაგრამ თქვენ მაინც უნდა ამოხსნათ ასეთი სამმაგი უტოლობები ზოგიერთ ამოცანებში... ის წყდება ყოველგვარი სისტემის გარეშე. იგივე იდენტური გარდაქმნებით.

აუცილებელია ამ უთანასწორობის გამარტივება, სუფთა X-მდე მიყვანა. მაგრამ... სად გადავიტანოთ!? აი, დროა გვახსოვდეს, რომ მარცხნივ-მარჯვნივ გადაადგილება არის შემცირებული ფორმაპირველი იდენტური ტრანსფორმაცია.

და სრული ფორმა ასე გამოიყურება: განტოლების ორივე ნაწილს (უტოლობა) შეგიძლიათ დაამატოთ/გამოაკლოთ ნებისმიერი რიცხვი ან გამოთქმა.

აქ სამი ნაწილია. ასე რომ, ჩვენ გამოვიყენებთ იდენტურ გარდაქმნებს სამივე ნაწილზე!

მაშ ასე, მოვიშოროთ უტოლობის შუა ნაწილი. გამოვაკლოთ ერთი მთელ შუა ნაწილს. რომ უტოლობა არ შეიცვალოს, დანარჩენ ორ ნაწილს გამოვაკლებთ ერთს. Ამგვარად:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

უკვე უკეთესია, არა?) რჩება სამივე ნაწილის სამად დაყოფა:

2 < X < 4

Სულ ეს არის. ეს არის პასუხი. X შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ორიდან (არ მოიცავს) ოთხამდე (არ მოიცავს). ეს პასუხიც იწერება ინტერვალებით, ასეთი ჩანაწერები იქნება კვადრატულ უტოლობაში. იქ ისინი ყველაზე გავრცელებულია.

გაკვეთილის ბოლოს გავიმეორებ ყველაზე მნიშვნელოვანს. წრფივი უტოლობების ამოხსნის წარმატება დამოკიდებულია წრფივი განტოლებების გარდაქმნისა და გამარტივების უნარზე. თუ ამავე დროს მიჰყევით უთანასწორობის ნიშანს,პრობლემები არ იქნება. რასაც გისურვებ. არანაირი პრობლემა.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მაგალითად, გამოხატულება \(x>5\) არის უტოლობა.

უტოლობების სახეები:

თუ \(a\) და \(b\) რიცხვებია ან , მაშინ უტოლობა იწოდება რიცხვითი. სინამდვილეში, ეს მხოლოდ ორი რიცხვის შედარებაა. ეს უტოლობები იყოფა ერთგულიდა ურწმუნოები.

Მაგალითად:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) არასწორი რიცხვითი უტოლობაა, რადგან \(17+3=20\) და \(20\) ნაკლებია \(115\) (არა მეტი ან ტოლი).

თუ \(a\) და \(b\) არის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ცვლადს, მაშინ გვაქვს უთანასწორობა ცვლადთან. ასეთი უტოლობები იყოფა ტიპებად, შინაარსიდან გამომდინარე:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				ცვალებადია მხოლოდ პირველ ხარისხზე
\(3x^2-x+5>0\)				არის ცვლადი მეორე ხარისხში (კვადრატში), მაგრამ არ არის უფრო მაღალი (მესამე, მეოთხე და ა.შ.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... და ასე შემდეგ.

რა არის უთანასწორობის გამოსავალი?

თუ რომელიმე რიცხვი ჩანაცვლებულია უტოლობით ცვლადის ნაცვლად, მაშინ ის გადაიქცევა რიცხვით.

თუ x-ის მოცემული მნიშვნელობა აქცევს თავდაპირველ უტოლობას ჭეშმარიტ რიცხვად, მაშინ მას უწოდებენ უთანასწორობის ამოხსნა. თუ არა, მაშინ ეს მნიშვნელობა არ არის გამოსავალი. და რომ უთანასწორობის ამოხსნა- თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ყველა გამოსავალი (ან აჩვენოთ, რომ ისინი არ არსებობს).

Მაგალითად,თუ ვიმყოფებით წრფივ უტოლობაში \(x+6>10\), x-ის ნაცვლად ვცვლით რიცხვს \(7\), მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას: \(13>10\). და თუ ჩავანაცვლებთ \(2\), იქნება არასწორი რიცხვითი უტოლობა \(8>10\). ანუ, \(7\) არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა, მაგრამ \(2\) არა.

თუმცა, უტოლობას \(x+6>10\) აქვს სხვა ამონახსნები. მართლაც, ჩვენ მივიღებთ სწორ რიცხვობრივ უტოლობას და \(5\), და \(12\), და \(138\) ჩანაცვლებისას... და როგორ ვიპოვოთ ყველა შესაძლო ამონახსნები? ამისათვის გამოიყენეთ ჩვენი საქმისთვის, ჩვენ გვაქვს:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

ანუ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ოთხზე მეტი ნებისმიერი რიცხვი. ახლა პასუხი უნდა ჩავწეროთ. უტოლობების ამონახსნები, როგორც წესი, იწერება რიცხობრივად, დამატებით აღნიშნავენ მათ რიცხვით ღერძზე გამოჩეკით. ჩვენი საქმისთვის გვაქვს:

პასუხი: \(x\in(4;+\infty)\)

როდის იცვლება ნიშანი უთანასწორობაში?

არის ერთი დიდი ხაფანგი უთანასწორობებში, რომელშიც სტუდენტებს ნამდვილად "მოწონთ" ჩავარდნა:

უტოლობის უარყოფით რიცხვზე გამრავლებისას (ან გაყოფისას) იგი უკუგდება ("უფრო მეტი" "ნაკლებით", "მეტი ან ტოლი" "ნაკლები ან ტოლი" და ა.შ.)

Რატომ ხდება ეს? ამის გასაგებად გადავხედოთ \(3>1\) რიცხვითი უტოლობის გარდაქმნებს. მართალია, სამეული მართლაც ერთზე მეტია. პირველ რიგში, ვცადოთ მისი გამრავლება ნებისმიერ დადებით რიცხვზე, მაგალითად, ორზე:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

როგორც ხედავთ, გამრავლების შემდეგ უტოლობა ჭეშმარიტი რჩება. და რა დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ, ყოველთვის მივიღებთ სწორ უტოლობას. ახლა კი შევეცადოთ გავამრავლოთ უარყოფით რიცხვზე, მაგალითად, მინუს სამი:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

აღმოჩნდა, რომ არასწორი უტოლობა იყო, რადგან მინუს ცხრა ნაკლებია მინუს სამზე! ანუ, იმისთვის, რომ უტოლობა გახდეს ჭეშმარიტი (რაც ნიშნავს, რომ უარყოფითზე გამრავლების გარდაქმნა იყო „კანონიერი“), თქვენ უნდა გადაატრიალოთ შედარების ნიშანი ასე: \(−9<− 3\).
გაყოფით, ანალოგიურად გამოვა, შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ.

ზემოთ დაწერილი წესი ვრცელდება ყველა სახის უტოლობაზე და არა მხოლოდ რიცხვით.

მაგალითი: ამოხსენით უტოლობა \(2(x+1)-1<7+8x\)
გამოსავალი:

\(2x+2-1<7+8x\)	გადავიტანოთ \(8x\) მარცხნივ, ხოლო \(2\) და \(-1\) მარჯვნივ, არ დაგვავიწყდეს ნიშნების შეცვლა
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	გაყავით უტოლობის ორივე მხარე \(-6\-ზე), არ დაგავიწყდეთ გადაცვალოთ "ნაკლები"-დან "დიდზე"
	მოდი აღვნიშნოთ რიცხვითი ინტერვალი ღერძზე. უთანასწორობა, ასე რომ, მნიშვნელობა \(-1\) არის "გაწყვეტილი" და ჩვენ არ ვიღებთ მას საპასუხოდ
	დავწეროთ პასუხი ინტერვალის სახით

პასუხი: \(x\in(-1;\infty)\)

უთანასწორობები და DHS

უტოლობას, ისევე როგორც განტოლებებს, შეიძლება ჰქონდეს შეზღუდვები ზე, ანუ x-ის მნიშვნელობებზე. შესაბამისად, ის მნიშვნელობები, რომლებიც მიუღებელია ODZ-ის მიხედვით, უნდა გამოირიცხოს ამოხსნის ინტერვალიდან.

მაგალითი: ამოხსენით უტოლობა \(\sqrt(x+1)<3\)

გამოსავალი: ნათელია, რომ იმისათვის, რომ მარცხენა მხარე იყოს \(3\)-ზე ნაკლები, ძირეული გამოხატულება უნდა იყოს \(9\)-ზე ნაკლები (ბოლოს და ბოლოს, \(9\)-დან მხოლოდ \(3\)). ჩვენ ვიღებთ:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\ (x<8\)

ყველა? ნებისმიერი x მნიშვნელობა \(8\)-ზე ნაკლები იქნება ჩვენთვის? არა! რადგან თუ ავიღებთ, მაგალითად, მნიშვნელობას \(-5\), რომელიც, როგორც ჩანს, შეესაბამება მოთხოვნას, ეს არ იქნება საწყისი უტოლობის ამოხსნა, რადგან მიგვიყვანს უარყოფითი რიცხვის ფესვის გამოთვლამდე.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

ამიტომ, ჩვენ ასევე უნდა გავითვალისწინოთ x-ის მნიშვნელობებზე შეზღუდვები - არ შეიძლება იყოს ისეთი, რომ ფესვის ქვეშ იყოს უარყოფითი რიცხვი. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მეორე მოთხოვნა x-სთვის:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

და იმისათვის, რომ x იყოს საბოლოო ამონახსნი, ის ერთდროულად უნდა აკმაყოფილებდეს ორივე მოთხოვნას: ის უნდა იყოს \(8\)-ზე ნაკლები (რომ იყოს ამონახსნი) და მეტი \(-1\) (პრინციპში მოქმედი იყოს). რიცხვების ღერძზე დაყენებით, ჩვენ გვაქვს საბოლოო პასუხი:

პასუხი: \(\მარცხნივ[-1;8\მარჯვნივ)\)

ლოგარითმული უტოლობების მთელ მრავალფეროვნებას შორის ცალკე შესწავლილია ცვლადი ფუძის მქონე უტოლობა. ისინი წყდება სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რომელსაც რატომღაც იშვიათად ასწავლიან სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

ყაბას "∨"-ის ნაცვლად შეგიძლიათ დააყენოთ ნებისმიერი უთანასწორობის ნიშანი: მეტ-ნაკლებად. მთავარი ის არის, რომ ორივე უტოლობაში ნიშნები ერთნაირია.

ასე რომ, ჩვენ გავთავისუფლდებით ლოგარითმებისგან და პრობლემას რაციონალურ უთანასწორობამდე ვამცირებთ. ამ უკანასკნელის ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას შეიძლება დამატებითი ფესვები გამოჩნდეს. მათი გათიშვის მიზნით, საკმარისია იპოვოთ დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი. თუ დაგავიწყდათ ლოგარითმის ODZ, გირჩევთ გაიმეოროთ იგი - იხილეთ „რა არის ლოგარითმი“.

მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონთან დაკავშირებული ყველაფერი ცალკე უნდა ჩაიწეროს და გადაწყდეს:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1.

ეს ოთხი უტოლობა წარმოადგენს სისტემას და უნდა შესრულდეს ერთდროულად. როდესაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი იპოვება, რჩება მისი გადაკვეთა რაციონალური უთანასწორობის გადაწყვეტით - და პასუხი მზად არის.

Დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

ჯერ დავწეროთ ლოგარითმის ODZ:

პირველი ორი უტოლობა შესრულებულია ავტომატურად, ხოლო ბოლო უნდა ჩაიწეროს. ვინაიდან რიცხვის კვადრატი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი არის ნული, გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

გამოდის, რომ ლოგარითმის ODZ არის ყველა რიცხვი ნულის გარდა: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). ახლა ჩვენ ვხსნით მთავარ უტოლობას:

ჩვენ ვასრულებთ გადასვლას ლოგარითმული უტოლობიდან რაციონალურზე. თავდაპირველ უტოლობაში არის "ნაკლები" ნიშანი, ამიტომ მიღებული უტოლობა ასევე უნდა იყოს "ნაკლები" ნიშნით. Ჩვენ გვაქვს:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

ამ გამოთქმის ნულები: x = 3; x = -3; x = 0. უფრო მეტიც, x = 0 არის მეორე სიმრავლის ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ მასში გავლისას ფუნქციის ნიშანი არ იცვლება. Ჩვენ გვაქვს:

ვიღებთ x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). ეს ნაკრები მთლიანად შეიცავს ლოგარითმის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უტოლობების ტრანსფორმაცია

ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ მოყვანილისგან. ამის გამოსწორება ადვილია ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების მიხედვით - იხილეთ „ლოგარითმების ძირითადი თვისებები“. კერძოდ:

1. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით მოცემული ფუძით;
2. ერთნაირი ფუძის მქონე ლოგარითმების ჯამი და სხვაობა შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითმით.

ცალკე მინდა შეგახსენოთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი, საჭიროა თითოეული მათგანის DPV-ის პოვნა. ამრიგად, ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის ზოგადი სქემა ასეთია:

1. იპოვეთ უტოლობაში შემავალი თითოეული ლოგარითმის ODZ;
2. უტოლობის შემცირება სტანდარტულამდე ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების ფორმულების გამოყენებით;
3. მიღებული უტოლობა ამოხსენით ზემოთ მოცემული სქემის მიხედვით.

Დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

იპოვეთ პირველი ლოგარითმის განმარტების დომენი (ODZ):

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. მრიცხველის ნულების პოვნა:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

შემდეგ - მნიშვნელის ნულები:

x − 1 = 0;
x = 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ ნულებს და ნიშნებს კოორდინატულ ისარზე:

ვიღებთ x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). ODZ-ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. თუ ჩემი არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნით მეორე ლოგარითმს ისე, რომ საფუძველი იყოს ორი:

როგორც ხედავთ, სამეულები ფუძესთან და ლოგარითმამდე შემცირდა. მიიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით. მოდით გავაერთიანოთ ისინი:

ჟურნალი 2 (x − 1) 2< 2;
ჟურნალი 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

ჩვენ მივიღეთ სტანდარტული ლოგარითმული უტოლობა. ლოგარითმებს ფორმულით ვაშორებთ. ვინაიდან თავდაპირველ უტოლობაში არის ნიშანიზე ნაკლები, შედეგად მიღებული რაციონალური გამოხატულება ასევე უნდა იყოს ნულზე ნაკლები. Ჩვენ გვაქვს:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

მივიღეთ ორი კომპლექტი:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. უპასუხეთ კანდიდატს: x ∈ (−1; 3).

რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთა - ვიღებთ ნამდვილ პასუხს:

ჩვენ გვაინტერესებს კომპლექტების გადაკვეთა, ამიტომ ვირჩევთ ორივე ისრზე დაჩრდილულ ინტერვალებს. ვიღებთ x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - ყველა წერტილი პუნქციაა.