თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

როგორც ძველი ფილოსოფოსები ამბობდნენ, „სიბრძნე არის ცოდნის სიყვარული, სიყვარული კი ყველაფრის საზომია“. "გაზომვა" ლათინურად არის "modulus", საიდანაც მოდის სიტყვა "მოდული". დღეს კი ჩვენ ვიმუშავებთ მოდულის შემცველ განტოლებებთან. იმედი მაქვს, რომ ყველაფერი გამოგვივა და გაკვეთილის ბოლოს გავხდებით უფრო ბრძენი.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

პიროგოვა ტატიანა ნიკოლაევნა, ტაგანროგი, მე-10 საშუალო სკოლა.

თემა: "განტოლებების ამოხსნა მოდულითა და პარამეტრით"

მე-10 კლასი, არჩევითი კურსის „ფუნქციის თვისებები“ გაკვეთილი.

Გაკვეთილის გეგმა.

1. Მოტივაცია.
2. ცოდნის განახლება.
3. წრფივი განტოლების ამოხსნა მოდულით სხვადასხვა გზით.
4. მოდულის ქვეშ მოდულის შემცველი განტოლებების ამოხსნა.
5. Კვლევაგანტოლების ფესვების რაოდენობის დამოკიდებულების განსაზღვრით

| | x| - a |= in a და b მნიშვნელობებიდან.

1. ანარეკლი.

გაკვეთილების დროს.

Მოტივაცია. როგორც ძველი ფილოსოფოსები ამბობდნენ, „სიბრძნე არის ცოდნის სიყვარული, სიყვარული კი ყველაფრის საზომია“."გაზომე" ლათინურად -„მოდული“, საიდანაც მოვიდა სიტყვა"მოდული". დღეს კი ჩვენ ვიმუშავებთ მოდულის შემცველ განტოლებებთან. იმედი მაქვს, რომ ყველაფერი გამოგვივა და გაკვეთილის ბოლოს გავხდებით უფრო ბრძენი.

ცოდნის განახლება.ასე რომ, გავიხსენოთ ის, რაც უკვე ვიცით მოდულის შესახებ.

• მოდულის განმარტება.რეალური რიცხვის მოდული არის თავად რიცხვი, თუ ის არაუარყოფითია, და მისი საპირისპირო რიცხვი, თუ ის უარყოფითია.

• მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.რეალური რიცხვის მოდულია უდრის მანძილს საწყისიდან კოორდინატის მქონე წერტილამდეა რიცხვთა ხაზზე.

- 0 ა

|– ა | = | a | | a | x

• სიდიდის სხვაობის მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.სიდიდის სხვაობის მოდული| a - in | არის მანძილი წერტილებს შორის კოორდინატებთანა და გ რიცხვთა ხაზზე

იმათ. სეგმენტის სიგრძე [ in]

1) თუ ა ბ 2) თუ a > b

ა ბ ბ ა

S = b - a S = a - b

3) თუ a \u003d b, მაშინ S \u003d a - b \u003d b - a \u003d 0

• მოდულის ძირითადი თვისებები

1. რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი, ე.ი.| x | ≥ 0 ნებისმიერი x-ისთვის
2. საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია, ე.ი.| x | = |– x | ნებისმიერი x-ისთვის
3. მოდულის კვადრატი უდრის ქვემოდულის გამოხატვის კვადრატს, ე.ი.| x | 2 = x 2 ნებისმიერი x-ისთვის

4. ორი რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის მოდულების ნამრავლსფაქტორები, ანუ | a b | = | a | · | ბ |

5. თუ წილადის მნიშვნელი არ არის ნულოვანი, მაშინ წილადის მოდული უდრის მრიცხველის მოდულის მნიშვნელის მოდულზე გაყოფის კოეფიციენტს, ე.ი. b ≠ 0-სთვის

6. ნებისმიერი რიცხვის ტოლობისთვისა და ბ უთანასწორობები:

| | a | – | ბ | | ≤ | a+b | ≤ | a | + | ბ |

| | a | – | ბ | | ≤ | a-b | ≤ | a | + | ბ |

• მოდულის გრაფიკი y = | x | - მართი კუთხე საწყისთან წვერით, რომლის გვერდებია 1-ლი და მე-2 კვადრატების ბისექტრები.
• როგორ დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკები? y = | x –4|, y = | x +3|, y = | x –3|, y = | x | + 1,
• y = | x | – 3, y = | x | – 5, y = | x - 3 | + 3, y = | x - 3 | – 2, y = | x + 2 | – 5. y = || x| – a |

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა.

მეთოდი 1. მოდულების გახსნის მეთოდი ხარვეზებით.

მეთოდი 2. მოდულის პირდაპირი გაფართოება.

თუ რიცხვის მოდული არის 3, მაშინ ეს რიცხვი არის 3 ან -3.

მეთოდი 3 . მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გამოყენება.

რიცხვის ღერძზე უნდა მოიძებნოს ისეთი x მნიშვნელობები, რომლებიც ამოღებულია 2-დან 3-ის ტოლი მანძილით.

მეთოდი 4. განტოლების ორივე მხარის კვადრატი.

ეს იყენებს მოდულის თვისებას

და ის, რომ განტოლების ორივე მხარე არაუარყოფითია.

მეთოდი 5. განტოლების გრაფიკული ამოხსნა.

აღნიშნეთ. მოდით ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკებიდა:

გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები ფესვებს მისცემს

2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5

დამოუკიდებელი მუშაობა

ამოხსენით განტოლებები:

| x – 1| = 3 | x – 5| = 3 | x –3| = 3 | x + 3| = 3 | x + 5| = 3

(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2)

ახლა დაამატეთ სხვა მოდული პირობებს და ამოხსენით განტოლებები:

| | x| – 1| = 3 | | x| -5| = 3 | | x | – 3| = 3 | | x | + 3| = 3 | | x | + 5| = 3

(ძირების გარეშე)

მაშ ასე, რამდენ ფესვს შეუძლია ფორმის განტოლება | | x | – a |= in? რაზეა ეს დამოკიდებული?

კვლევითი სამუშაო თემაზე

«განტოლების ფესვთა რაოდენობის დამოკიდებულების განსაზღვრა | | x | – a |= b a-დან და მდე »

ვიმუშავებთ ჯგუფურად, ამოხსნის ანალიტიკური, გრაფიკული და გეომეტრიული მეთოდების გამოყენებით.

მოდით განვსაზღვროთ, რა პირობებში აქვს ამ განტოლებას 1 ფესვი, 2 ფესვი, 3 ფესვი, 4 ფესვი და არ აქვს ფესვები.

1 ჯგუფი (განმარტებით)

2 ჯგუფი (მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობის გამოყენებით)

3 ჯგუფი (ფუნქციის გრაფიკების გამოყენებით)

A > 0
	1 ჯგუფი	2 ჯგუფი	3 ჯგუფი
ფესვების გარეშე	ვ c ≥ 0 c + a	ვ c ≥ 0 a + b	ვ c ≥ 0 ვ ა
ზუსტად ერთი ფესვი	b > 0 და b + a = 0	b > 0 და b + a = 0	c > 0 და c = - a
ზუსტად ორი ფესვი	b > 0 და b + a > 0 – in + a	b > 0 და b + a > 0 – in + a	> 0-ში და > | a |
ზუსტად სამი ფესვი	c > 0 და - c + a = 0	c > 0 და - c + a = 0	b > 0 და b = a
ზუსტად ოთხი ფესვი	c > 0 და – c + a > 0	c > 0 და – c + a > 0	> 0-ში და in ა

შეადარეთ შედეგები, გამოიტანეთ ზოგადი დასკვნა და შეადგინეთ ზოგადი სქემა.

რა თქმა უნდა, არ არის აუცილებელი ეს სქემადაიმახსოვრე . ჩვენი კვლევის მთავარი აქცენტი იყოიხილეთ ეს დამოკიდებულება სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით, და ახლა არ გაგვიჭირდება მსჯელობის გამეორება ასეთი განტოლებების ამოხსნისას.

ბოლოს და ბოლოს, პარამეტრით ამოცანის ამოხსნა ყოველთვის გარკვეულ კვლევას გულისხმობს.

განტოლებების ამოხსნა ორი მოდულით და პარამეტრით.

1. იპოვეთ ღირებულებები p, x| - R - 3| = 7-ს აქვს ზუსტად ერთი ფესვი.

გამოსავალი: | | x| – (p + 3)| = 7

p +3= -7, p = -10. ან გეომეტრიულად

p + 3 – 7 p + 3 p + 3+7 p + 3+7=0, p = -10

7 7 სქემის მიხედვით, ამ ფორმის განტოლებას აქვს ზუსტად ერთი ფესვი, თუ c \u003d - a, სადაც c \u003d 7, a \u003d p +3

2. იპოვეთ ღირებულებები R, რომელთაგან თითოეული განტოლება | | x| - R - 6| = 11 აქვს ზუსტად ორი ფესვი.

გამოსავალი: | | x| – (p + 6)| = 11 გეომეტრიულად

P + 6 - 11 p + 6 p + 6 + 11 p + 6-11 რ p + 6+11>0, p > -17

11 11

სქემის მიხედვით, ამ ფორმის განტოლებას აქვს ზუსტად ორი ფესვი, თუ in + a > 0 და - in + a სადაც a = 11, a = p +6. -17 რ 5.

3. იპოვეთ ღირებულებები R, რომელთაგან თითოეული განტოლება | | x| - 4 r | = 5 გვ -9 აქვს ზუსტად ოთხი ფესვი.

ამოხსნა: სქემის მიხედვით, ამ ტიპის განტოლებას აქვს ზუსტად ოთხი ფესვი თუ

0p -9 p, p > და p

იმათ. 1 რ 9.

პასუხი: 1 რ 9.

4 . . იპოვეთ p მნიშვნელობები, რომელთაგან თითოეული განტოლება | | x| – 2 r | = 5 გვ +2-ს ფესვები არ აქვს.გამოსავალი: 5 r +2 p +2 =0 და –2 p >0, ან 5 p +2 >0 და 5 p +2 რ.

რ p = –0.4, ან p > –0.4 და p . პასუხი: გვ

5. p პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე არის განტოლება | | x –4 | – 3| + 2 რ = 0 აქვს სამი ფესვი.იპოვე ეს ფესვები.

გადავიყვანოთ განტოლება ფორმაში:

| | x –4 | – 3|= – 2 რ.

სქემის მიხედვით, ამ ტიპის განტოლებას სამი ფესვი აქვს,

თუ –2 р =3>0,

იმათ. p = -1,5.

|| x –4|–3| = 3,

| x –4|=0, x = 4,

|| x –4|=6, x = –2, x =10.

პასუხი: რ = -1.5 განტოლებას სამი ფესვი აქვს: x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 4, x 3 \u003d 10.

გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი.

მითხარით, რას გამოყოფდით გაკვეთილის მთავარ სიტყვებს? (მოდული, პარამეტრი)

რა გავაკეთეთ დღეს? (მოდულის განმარტება, რიცხვთა რიცხვისა და სხვაობის მოდულის გეომეტრიული მნიშვნელობა, მოდულის თვისებები, განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა ხერხები)

რა გავაკეთეთ დღეს?

Საშინაო დავალება.

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

პასუხი: 1; 2.

§6. განტოლებების ამოხსნა მოდულებითა და პარამეტრებით

განვიხილოთ რამდენიმე განტოლება, რომლებშიც ცვლადი x არის მოდულის ნიშნის ქვეშ. გავიხსენოთ რომ

x , თუ x ≥ 0,

x = − x თუ x< 0.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება:

ა) x - 2 = 3; ბ) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X=1; დ) x 2 −

6; ე) 6x 2 −

x+1

x − 1

ა) თუ რიცხვის მოდული არის 3, მაშინ ეს რიცხვი არის 3 ან (− 3),

ანუ x − 2 = 3, x = 5 ან x − 2 = − 3, x = − 1.

ბ) მოდულის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ

x+1

X + 1, x + 1 ≥ 0-ისთვის,

ანუ x ≥ − 1-ისთვის და

x+1

= − x − 1 x-ისთვის< − 1. Выражение

2x - 3

2x − 3 თუ x ≥ 3

და ტოლია − 2 x + 3 თუ x< 3 .

x< −1

განტოლება

უდრის

განტოლება

- x -1 -

(− 2 x + 3 ) = 1, რაც გულისხმობს იმას

x = 5. მაგრამ რიცხვი 5 არ არის

აკმაყოფილებს x პირობას< − 1, следовательно,

x-ზე< − 1 данное

განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

−1 ≤ x<

განტოლება

უდრის

განტოლება

x + 1− (2x + 3) = 1, რაც გულისხმობს, რომ x = 1;

ნომერი 1 აკმაყოფილებს -

არ არის პირობა − 1 ≤ x<

2010-2011 სასწავლო წელი წელ., No5, 8 საკნი. მათემატიკა. კვადრატული განტოლებები

x ≥

განტოლება

უდრის

განტოლება

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, რომელსაც აქვს ამონახსნი x = 3. და რადგან რიცხვი 3

აკმაყოფილებს x ≥ პირობას

მაშინ ეს არის განტოლების ამონახსნი.

x+2

გ) თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი

აქვთ იგივე

x − 1

ნიშნები, მაშინ წილადი დადებითია, ხოლო თუ განსხვავებულია, მაშინ უარყოფითია, ე.ი.

x+2

x+2

თუ x ≤ − 2, თუ x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

თუ - 2< x < 1.

−1

x ≤ − 2-ისთვის

ypre x > 1

თავდაპირველი განტოლება ტოლია განტოლების

x+2

X=1, x+2

X (x -1) = x -1, x 2 - x +3 =0.

x − 1

ბოლო განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

-2-ზე< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X \u003d 1, - x -2 + x 2 - x \u003d x -1, x 2 -3 x -1 \u003d 0.

x − 1

მოდი ვიპოვოთ ამ განტოლების ფესვები:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13.

უთანასწორობები

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Გაყოლა-

მაშასადამე, ეს რიცხვი არის განტოლების ამოხსნა.

x ≥ 0 მოცემულია

განტოლება

უდრის

განტოლება

x2 - x -6 = 0,

რომლის ფესვებია რიცხვები 3 და - 2. რიცხვი 3

აკმაყოფილებს x>0 პირობას,

და რიცხვი - 2 ამას არ აკმაყოფილებს

კანონი, შესაბამისად, მხოლოდ ნომერი 3 არის ორიგინალის გამოსავალი

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წელ., No5, 8 საკნი. მათემატიკა. კვადრატული განტოლებები
		x ≥ − 1 მოცემული	განტოლება	უდრის				განტოლება
6 x 2 − x − 1 = 0, იპოვეთ მისი ფესვები: x = 1 ±				25, x = 1, x				= −1 .
ორივე ფესვი აკმაყოფილებს x ≥ − 1 პირობას,					ამიტომ ისინი არიან
არის ამ განტოლების ამონახსნები. ზე				x< − 1 данное уравнение
უდრის 6 x 2 + x + 1 = 0 განტოლებას, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები.
მიეცით გამოთქმები f (x , a ) და g (x , a ),					ცვლილებაზე დამოკიდებული
x	და ა.	შემდეგ განტოლება	f (x, a) = g (x, a)		ცვლილებასთან დაკავშირებით -

noah x ჰქვია განტოლება პარამეტრითა. პარამეტრით განტოლების ამოხსნა ნიშნავს, პარამეტრის ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობისთვის, ამ განტოლების ყველა ამონახსნის პოვნა.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება a პარამეტრის ყველა მოქმედი მნიშვნელობისთვის:

ა) ცული 2 - 3 \u003d 4 a 2 - 2 x 2; ბ) (a - 3) x 2 = a 2 - 9;

გ) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	გამოთქმა 4 ა 2		3 > 0 ნებისმიერი a-სთვის; a > − 2-ისთვის გვაქვს
	a + 2
გვაქვს ორი ამონახსნი: x =			4a 2 + 3	და x = −	4a 2		თუ	a + 2< 0, то
			a + 2		a + 2

გამოთქმა 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	პასუხი: x = ±	4a 2 + 3	> − 2-ისთვის;	≤ − 2-ისთვის არ არის ამონახსნები.
		a + 2
				მაშინ x 2 = a + 3. თუ a + 3 = 0,
	ბ) თუ a = 3, მაშინ x. თუ a ≠ 3,
	იმათ. თუ a = - 3,	მაშინ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი x = 0.

თუ არა ა< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 და a ≠ 3, მაშინ განტოლებას აქვს ორი ამონახსნი: x 1 = a + 3 და x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წელ., No5, 8 საკნი. მათემატიკა. კვადრატული განტოლებები

a = 1 ეს განტოლება იღებს ფორმას

4x − 1 = 0,

x=1

არის მისი გამოსავალი. ზე

a ≠ 1 ეს განტოლება არის

კვადრატი, მისი დისკრიმინანტი D 1 არის

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

თუ 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

მაშინ ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

თუ a =

მაშინ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი

a+1

x = −

a - 1

−1

თუ ა >

და a ≠ 1,

მაშინ ამ განტოლებას ორი ამონახსნი აქვს:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a - 1

−(a +1 ) ±

1 საათზე

a = 1; x=3

თვის

; x=

5a − 1

a - 1

> 1-ისთვის

და a ≠ 1; თვის< 1

განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

§7. განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. ამოცანების ამოხსნა, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე

ამ განყოფილებაში განვიხილავთ სისტემებს, რომლებიც შეიცავს მეორე ხარისხის განტოლებებს.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

2x + 3y = 8

xy = 2.

ამ სისტემაში განტოლება 2 x + 3 y = 8 არის პირველი ხარისხის განტოლება, ხოლო განტოლება xy = 2 არის მეორე. ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით მეთოდით

© 2011, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წელ., No5, 8 საკნი. მათემატიკა. კვადრატული განტოლებები

ჩანაცვლებები. სისტემის პირველი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ x-ს y-ით და ამ გამოსახულებას x-ით ვცვლით სისტემის მეორე განტოლებაში:

	8 − 3 წ	4 −
				y 4			y y = 2.

ბოლო განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

მისი ფესვების პოვნა:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2, y

x = 4 − პირობიდან

ვიღებთ x = 1, x

პასუხი: (1;2) და

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

x 2 + y 2 \u003d 41,

xy = 20.

გაამრავლეთ მეორე განტოლების ორივე მხარე 2-ზე და დაამატეთ პირველს

სისტემის განტოლება:	x 2 + y 2 + 2xy \u003d 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, საიდანაც
აქედან გამომდინარეობს, რომ x + y = 9 ან x + y = − 9.
თუ x + y = 9 მაშინ	x = 9 − y . ჩაანაცვლეთ ეს გამონათქვამი x in-ით
სისტემის მეორე განტოლება:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y				4, x=4, x=5.
x + y = − 9 პირობიდან ვიღებთ ამონახსნებს (− 4; − 5) და (− 5; − 4 ) .
პასუხი: (± 4; ± 5) , (± 5; ± 4) .
მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:
		y=1
	x -
	x − y

სისტემის მეორე განტოლებას ვწერთ ფორმაში

( x − y )( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წელ., No5, 8 საკნი. მათემატიკა. კვადრატული განტოლებები

x − y = 1 განტოლების გამოყენებით ვიღებთ: x + y = 5. ამრიგად, ვიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებათა სისტემას.

	x -	y=1
		y=5.

ჩვენ ვამატებთ ამ განტოლებებს, ვიღებთ: 2 x \u003d 6,		x=3, x=9.
x = 9 მნიშვნელობის ჩანაცვლება პირველ განტოლებაში			სისტემები, მიმღები
გვაქვს 3 − y = 1, რაც ნიშნავს, რომ y = 4.
პასუხი: (9;4) .	(x + y) (x		Y −4 ) = −4,
მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა: (x 2 + y 2 ) xy \u003d - 160.
				xy=v;
შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
სისტემა დაყვანილია ფორმამდე (u 2 − 2 v ) v = − 160.
ჩვენ ვხსნით განტოლებას:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
ჩვენ ამ მნიშვნელობას ვცვლით თქვენ განტოლებაში:
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2v ) v = - 160, 2v 2 - 4v - 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, ვ= 10, ვ						= −8.
ჩვენ ვხსნით განტოლების ორ სისტემას:
	x + წ = 2,
x + წ = 2,
	და
xy = 10	xy = − 8.
ორივე სისტემას ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდით. პირველი სისტემისთვის გვაქვს:
x= 2 − წ, ( 2 − წ) წ= 10, წ2 − 2 წ+ 10 = 0.

მიღებულ კვადრატულ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. მეორე სისტემისთვის გვაქვს: x= 2 − წ, (2 − წ) წ= − 8, წ2 − 2 წ− 8 = 0.

წ= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, წ1 = 4, წ2 = − 2. მერეx1 = − 2 დაx2 = 4. პასუხი: (− 2;4 ) და(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

გამრავლებული 3-ზე, მივიღებთ:

2010-2011 სასწავლო წელი წელ., No5, 8 საკნი. მათემატიკა. კვადრატული განტოლებები

მაგალითი 5ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

x 2 + 4 xy = 3,

წ 2 + 3 xy = 2.

2-ზე გამრავლებული პირველი განტოლებიდან გამოვაკლოთ მეორე განტოლებას,

2 x 2 − xy − 3 წ 2 = 0.

თუ წ= 0, შემდეგ და x= 0, მაგრამ რამდენიმე ნომერი (0;0 ) არ არის გამოსავალი ორიგინალური სისტემისთვის. ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე ნაწილს მიღებულ განტოლებაში

ხელმძღვანელობაზე წ2 ,

1 ± 5 , x = 2 წ და x = − წ .

−3

= 0,

წ

შემცვლელი

მნიშვნელობა

x =

3წ

პირველი განტოლება

9 წ2 + 6 წ2 = 3, 11წ2 = 4, წ=

, x=

, x= −

ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას x= − წსისტემის პირველ განტოლებაში: წ2 − 4 წ2 = 3, − 3 წ2 = 3.

გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

მაგალითი 9იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც განტოლებათა სისტემა

x 2 + (წ − 2 ) 2 = 1,

წ = ნაჯახი 2 .

აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი.

ამ სისტემას ეწოდება სისტემა პარამეტრით. მათი ამოხსნა შესაძლებელია ანალიტიკურად, ე.ი. ფორმულების გამოყენებით, ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ ე.წ. გრაფიკული მეთოდი.

გაითვალისწინეთ, რომ პირველი განტოლება განსაზღვრავს წრეს, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე (0;2 ) რადიუსით 1. მეორე განტოლება ამისთვის ა≠ 0 განსაზღვრავს პარაბოლას სათავეში წვეროთი.

თუ ა 2

ა შემთხვევაში პარაბოლა ეხება წრეს. სისტემის მეორე განტოლებიდან,

ემ რა x2 = წ/ ა,

შეცვალეთ ეს მნიშვნელობები

x 2

პირველ განტოლებაში:

1

+(წ−2 )

= 1,

+ წ

− 4 წ+ 4 = 1, წ

4 − აწ+ 3

= 0.

ტანგენციის შემთხვევაში, სიმეტრიის გამო, არსებობს უნიკალური მნიშვნელობა წ, ამიტომ მიღებული განტოლების დისკრიმინანტი უნდა იყოს

არის 0. ვინაიდან ორდინატი წშეხების წერტილი დადებითია და იმიტომ

წ = 2

− ა

ვიღებთ

> 0; დ

1 2

4 − ა

4 − ა

− 12 = 0,

4 − ა

> 0

ჩვენ ვიღებთ: 4

= 2

= 4 −2

ა =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

თუ ა> 2 + 2 3 , მაშინ პარაბოლა გადაკვეთს წრეს 4 წერტილით

© 2011, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წელ., No5, 8 საკნი. მათემატიკა. კვადრატული განტოლებები

ამიტომ, სისტემას აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი თუ

ა≥ 2 + 2 3 .

მაგალითი 10ზოგიერთი ბუნებრივი ორნიშნა რიცხვის ციფრების კვადრატების ჯამი 9-ით მეტია ამ ციფრების ნამრავლზე ორჯერ. ამ ორნიშნა რიცხვის მისი ციფრების ჯამზე გაყოფის შემდეგ კოეფიციენტი არის 4, ნაშთი არის 3. იპოვეთ ეს ორნიშნა რიცხვი.

იყოს ორნიშნა რიცხვი 10 ა+ ბ, სად ადა ბარის ამ რიცხვის ციფრები. შემდეგ პრობლემის პირველი პირობიდან ვიღებთ: ა2 + ბ2 = 9 + 2 აბ, და მეორე პირობიდან ვიღებთ: 10 ა+ ბ= 4 (ა+ ბ) + 3.

ა 2 + ბ 2 = 9 + 2 აბ ,

ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას: 6 ა− 3 ბ= 3.

სისტემის მეორე განტოლებიდან ვიღებთ

6ა− 3ბ= 3, 2ა− ბ= 1, ბ= 2ა− 1.

ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობას ბსისტემის პირველ განტოლებაში:

ა2 + ( 2ა− 1) 2 = 9 + 2ა( 2ა− 1) , 5ა2 − 4ა+ 1 = 9 + 4ა2 − 2ა,

ა2 − 2ა− 8 = 0, დ1 = 1 + 8 = 9, ა= 1 ± 3, ა1 = 4, ა2 = − 2 < 0, ბ1 = 7.

პასუხი: 47.

მაგალითი 11.ორი ხსნარის შერევის შემდეგ, რომელთაგან ერთი შეიცავდა 48 გ, ხოლო მეორე 20 გ, უწყლო კალიუმის იოდიდს, მიიღეს 200 გ ახალი ხსნარი. იპოვეთ თითოეული საწყისი ხსნარის კონცენტრაცია, თუ პირველი ხსნარის კონცენტრაცია 15%-ით მეტი იყო მეორეს კონცენტრაციაზე.

აღნიშნეთ მიერ x% არის მეორე ხსნარის კონცენტრაცია და მეშვეობით (x+ 15 ) % არის პირველი ხსნარის კონცენტრაცია.

(x+ 15 )%			x %
მე გამოსავალი			II გამოსავალი

პირველ ხსნარში არის 48 გ (x+ 15 ) % მთლიანი ხსნარის წონის მიხედვით,

ასე რომ, ხსნარის წონაა x48 + 15 100. მეორე ხსნარში 20 გ კო-

© 2011, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

10x - 5y - 3z = - 9,

6 x + 4 y - 5 z = - 1.3 x - 4 y - 6 z = - 23.

პირველ და მეორე განტოლებაში x-ზე ვატოლებთ კოეფიციენტებს, ამისათვის ვამრავლებთ პირველი განტოლების ორივე ნაწილს 6-ზე, ხოლო მეორე განტოლებას 10-ზე, მივიღებთ:

60x - 30 y - 18z = - 54.60x + 40 y - 50z = - 10.

მიღებული სისტემის მეორე განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას

ვიღებთ: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.

გამოვაკლოთ 2-ზე გამრავლებული მესამე განტოლება საწყისი სისტემის მეორე განტოლებას, მივიღებთ: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12y + 7z = 45.

ახლა ჩვენ ვხსნით განტოლებების ახალ სისტემას:

35y − 16z = 22.12y + 7z = 45.

ახალი სისტემის პირველ განტოლებას, გამრავლებული 7-ზე, ვუმატებთ მეორე განტოლებას, გამრავლებული 16-ზე, მივიღებთ:

35 7წ + 12 16წ = 22 7 + 45 16,

ახლა ჩვენ ვცვლით y = 2, z = 3 თავდაპირველი სისტემის პირველ განტოლებაში

თემებს, ვიღებთ: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

პასუხი: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. სისტემების ამოხსნა პარამეტრით და მოდულებით

ცული + 4y = 2a,

განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა

x + ay = a.

2010-2011 სასწავლო წელი წ., No3, 8 საკნი. მათემატიკა. განტოლებათა სისტემები.

ამ სისტემაში, ფაქტობრივად, არის სამი ცვლადი, კერძოდ: a , x , y . უცნობი არის x და y, ხოლო a ეწოდება პარამეტრი. საჭიროა ამ სისტემის ამონახსნების (x, y) პოვნა a პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისთვის.

მოდით ვაჩვენოთ, როგორ წყდება ასეთი სისტემები. გამოვსახოთ x ცვლადი სისტემის მეორე განტოლებიდან: x = a − ay . ჩვენ ვცვლით ამ მნიშვნელობას x-ს სისტემის პირველ განტოლებაში, მივიღებთ:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

თუ a = 2, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0 y = 0. ნებისმიერი რიცხვი y აკმაყოფილებს ამ განტოლებას და შემდეგ x = 2 − 2 y, ანუ, a = 2-ისთვის, რიცხვების წყვილი (2 − 2 y ; y ) არის სისტემის გამოსავალი. რადგან y შეიძლება იყოს

ნებისმიერი რიცხვი, მაშინ სისტემა a = 2-ს აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.

თუ a = − 2, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0 y = 8. ამ განტოლებას ამონახსნი არ აქვს.

თუ ახლა a ≠ ± 2,				მაშინ y =		a (2 − a)
						(2 − a )(2 + a )		2 + ა
x = a − ay = a −
				2 + ა

პასუხი: a = 2-სთვის სისტემას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები ფორმის (2 − 2 y ; y ) , სადაც y არის ნებისმიერი რიცხვი;

a = − 2-ისთვის სისტემას არ აქვს ამონახსნები;
≠ ± 2-ისთვის სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა						. ▲
		2 + ა		2 + ა

ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს სისტემა და დავადგინეთ, რომელი პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის აქვს სისტემას ერთი ამონახსნი, როცა აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები და პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზე a არ აქვს ამონახსნები.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

© 2010, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წ., No3, 8 საკნი. მათემატიკა. განტოლებათა სისტემები.

−3

y - 1

3x − 2y = 5.

სისტემის მეორე განტოლებიდან გამოვხატავთ x-ს y-ით, ვიღებთ

2 წელი + 5

ჩვენ ამ მნიშვნელობას ვცვლით x-ს სი-ის პირველ განტოლებაში

თემებს, ვიღებთ:

2წ+5

−3

y - 1

−3

−1

5 = 0

გამოხატულება

y = −

y > −

; თუ

−5

= −y

გამოხატულება y − 1 = 0,

თუ y = 1. თუ

y > 1, მაშინ

y - 1

Y − 1 და

თუ არა y< 1, то

y - 1

1 − y.

თუ y ≥ 1 მაშინ

y - 1

Y −1 და

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

−3 (წ

− 1) = 3,

−3 წ

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. რიცხვი 2 > 1, ამიტომ წყვილი (3;2) ხელახლა არის

სისტემა.

მოდით ახლა

5 ≤ წ<1,

y - 1

− y;

მოძიება

ვიღებთ

განტოლება

3წ−3

4წ + 10

3წ=6

13წ=8

© 2010, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წ., No3, 8 საკნი. მათემატიკა. განტოლებათა სისტემები.

(2წ + 5) =

მაგრამ იმაზე ნაკლები

ასე რომ, რამდენიმე ნომერი

არის სისტემის გამოსავალი.

წ< −

მაშინ მივიღებთ განტოლებას:

3წ−3

4 წელი -

3წ=6

5წ=

28, y = 28.

მნიშვნელობა

ასე რომ არ არსებობს გადაწყვეტილებები.

ამრიგად, სისტემას აქვს ორი გამოსავალი (3;2) და 13 27; 13 8 . ▲

§ 4. ამოცანების ამოხსნა განტოლებათა სისტემების დახმარებით

მაგალითი 1. მანქანა ქალაქიდან სოფელში მიდის 2,5 საათში. თუ სიჩქარეს 20 კმ/სთ-ით გაზრდის, მაშინ 2 საათში ქალაქიდან სოფელამდე მანძილს 15 კმ-ით მეტს დაფარავს. იპოვეთ ეს მანძილი.

S-ით ანიშნეთ მანძილი ქალაქსა და სოფელს შორის და V-ით მანქანის სიჩქარე. შემდეგ, S-ის საპოვნელად, ვიღებთ ორი განტოლების სისტემას

2.5V=S

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

2010-2011 სასწავლო წელი წ., No3, 8 საკნი. მათემატიკა. განტოლებათა სისტემები.

მეორე განტოლებაში:		S+202	S+15,		S=25	S = 125.

პასუხი: 125 კმ. ▲

მაგალითი 2. ორნიშნა რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. თუ ეს ციფრები ერთმანეთს ენაცვლება, მიიღებთ რიცხვს, რომელიც 27-ით მეტია ორიგინალზე. იპოვეთ ეს ნომრები.

მოდით მოცემული რიცხვი ab , ე.ი. ათეულების რიცხვი არის a , ხოლო ერთეულების რაოდენობა არის b . ამოცანის პირველი პირობიდან გვაქვს: a + b = 15. თუ ab რიცხვს გამოვაკლებთ ba რიცხვს, მაშინ მივიღებთ 27, აქედან მივიღებთ მეორე განტოლებას: 10 b + a − (10 a + b. ) = 27. x

2010-2011 სასწავლო წელი წ., No3, 8 საკნი. მათემატიკა. განტოლებათა სისტემები.

გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე 20-ზე, მივიღებთ: x + 8 y = 840. x და y-ს საპოვნელად მივიღეთ განტოლებათა სისტემა.

პასუხი: 40 ტონა, 100 ტონა ▲

მაგალითი 4. კომპიუტერის ოპერატორი მოსწავლესთან ერთად ამუშავებს დავალებას 2 საათსა და 24 წუთში. თუ ოპერატორი იმუშავებს 2 საათი, სტუდენტი კი 1 საათი, მაშინ

ბავშვებმა დაასრულეს ყველა სამუშაოს 2 3. რამდენი დრო დასჭირდება ოპერატორს

ru და მოსწავლე ცალკე დავამუშაოთ დავალება?

მოდით აღვნიშნოთ ყველა სამუშაო როგორც 1, ოპერატორის შესრულება როგორც x და სტუდენტის შესრულება როგორც y. ჩვენ ამას გავითვალისწინებთ

2 საათი 24 წუთი = 2 5 2 საათი = 12 5 საათი.

ამოცანის პირველი პირობიდან გამომდინარეობს, რომ (x+y ) 12 5 = 1. ამოცანის მეორე პირობიდან გამომდინარეობს, რომ 2 x + y = 2 3 . მიიღეთ განტოლებათა სისტემა

(x+y)

2 x + y =

ჩვენ ამ სისტემას ვხსნით ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით:

− 2 x ;

−2 x

-x

− 1;

; x=

; y=

© 2010, FZFTSH MIPT-ში. შემდგენელი: იაკოვლევა თამარა ხარიტონოვნა

სლაიდი 2

.

განტოლებების ამოხსნა პარამეტრებით და მოდულებით, ფუნქციების თვისებების გამოყენება მოულოდნელ სიტუაციებში და ამოცანების ამოხსნის გეომეტრიული ტექნიკის დაუფლება. არასტანდარტული განტოლებები გაკვეთილის მიზანი.

სლაიდი 3

რიცხვის a აბსოლუტური მნიშვნელობა ან მოდული არის რიცხვი a თუ a>0, რიცხვი -a თუ a 0 ׀ a ׀=( 0 თუ a=0 -a თუ a 0) უდრის ორმაგ უტოლობას -a 0. უტოლობა ׀ x ׀>a, (თუ a>0) უდრის ორ უტოლობას - უტოლობა׀ x׀>a, (თუ a

სლაიდი 4

პარამეტრებით განტოლების ამოხსნა ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ამონახსნები და რა არის ისინი. ა) განსაზღვრავს უცნობის დასაშვებ მნიშვნელობებს და პარამეტრებს; ბ) პარამეტრის მნიშვნელობათა თითოეული დასაშვები სისტემისთვის იპოვეთ განტოლების ამონახსნების შესაბამისი კომპლექტები. ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორიული მასალის გამეორება თემაზე "განტოლების ამოხსნა პარამეტრებით"

სლაიდი 5

1. ამოხსენით განტოლება ׀ x-2 ׀ =5; პასუხი 7;-3 ׀ x-2 ׀ =-5; გადაწყვეტილების პასუხია არა ׀ x-2 ׀ =x+5; ; პასუხი არის არა; 1,5 ׀ x-2 ׀ \u003d ׀ x + 5 ׀; პასუხი არის არა; -1,5; გამოსავალი არ არის; -1,5; ზეპირი ვარჯიშები.

სლაიდი 6

2. ამოხსენით განტოლებები=1; უპასუხე. თუ a=0, მაშინ გამოსავალი არ არის, თუ a=0, მაშინ x=1/ a 1.3. ამოხსენით განტოლება (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; მაშინ განტოლება იღებს Ox = 2 ფორმას და არ აქვს ამონახსნი 2) a = 1; ვიღებთ Ox = O და აშკარად x არის ნებისმიერი. 1 3) თუ a \u003d ± 1, მაშინ x \u003d - a-1 პასუხი. თუ a \u003d -1, მაშინ x არის ნებისმიერი; თუ a \u003d 1, მაშინ არ არის გამოსავალი 1, თუ a \u003d ± 1, მაშინ x \u003d - a-1

სლაიდი 7

2. ამოხსენით განტოლება ׀ x + 3 ׀ + ׀ y -2 ׀ = 4; . 2 3. 4. 1

სლაიდი 8

3 3 2 x y 0 1 პასუხი: (-3; 2).

სლაიდი 9

2. ამოხსენით განტოლებები ax=1;

უპასუხე. თუ a=0, მაშინ გამოსავალი არ არის; თუ a=0, მაშინ x=1/ a 1.3. ამოხსენით განტოლება (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; მაშინ განტოლება იღებს Ox = 2 ფორმას და არ აქვს ამონახსნი 2) a = 1; ვიღებთ Ox = O და აშკარად x არის ნებისმიერი. 1 3) თუ a \u003d ± 1, მაშინ x \u003d - a-1 პასუხი. თუ a \u003d -1, მაშინ x არის ნებისმიერი; თუ a \u003d 1, მაშინ არ არის გამოსავალი 1, თუ a \u003d ± 1, მაშინ x \u003d - a-1

სლაიდი 10

3 ფუნქციის გრაფიკის აგება

y x Y=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I + 3