Рассмотрим небольшую задачу, которая часто встречаются в различных журналах и фокусах.

Фокусник предлагает загадать вам некоторое число. Далее просит умножить его на три, а к полученному результату прибавить шесть. Затем он просит разделить полученную сумму на три и вычесть из результата полученное число. Далее он говорит вам верный ответ.

Как же так происходит, неужто это магия?

Нет, на самом деле все проще. Пускай мы задумали число 5. Теперь выполним все действия которые предлагал нам фокусник.

• 1. 5*3=15.
• 2. 15+6=21.
• 3. 21:3=7.
• 4. 7-5=2.

Получили в ответе двойку. Это же решение мы могли бы записать в виде числового выражения (5*3+6):3 - 5. А его значением было бы число 2.

Теперь, допустим мы задумали число 3. Получилось бы числовое выражение (3*3+6):3 - 3. А его значением было бы число 2.

Снова двойка. Возникает мысль, что никакого фокуса тут нет, и в любом случае будет получаться число 2. Попытаемся это проверить. Обозначим число, задуманное нами, буквой х, и запишем все действия, которые просил сделать фокусник в необходимом порядке.

• Получим (х*3+6):3 -х.

• (х*3+6):3 –х = х+2-х=2.

Получается, что задуманное нами число вообще не играет никакой роли, оно в любом случае сократится.

В разборе задачи мы получили выражение (х*3+6):3 –х, которое записано с помощью буквы, обозначающей любое число, чисел 3 и 6, скобок и знаков действий. Такое выражение называется алгебраическим выражением или выражением с переменной.

Определение выражения с переменным

• Алгебраическое выражение или выражение с переменной называется, любая имеющая смысл запись, состоящая из букв, обозначающих любое число, чисел и знаков действий.

Например, следующие записи будут алгебраическими выражениями:

• 2*(х+у),
• 34*а-13*а*х,
• (123-65*а):3 +4.

Если вместо каждой буквы, которая входит в алгебраическое выражение подставить некоторое числовое значение, а потом выполнить все действия, то в результате получится некоторое число. Это число называют значением алгебраического выражения.

Например, значением алгебраического выражения 5*а+2*х-7 при а=2 и х=3 будет являться число 9, так как 5*2+2*3 -7 = 9.

В задаче, которую мы рассматривали в начале, значением алгебраического выражения (х*3+6):3 – х будет являться число 2, при любом значении переменной х.

Решение задач и некоторых выражений не всегда приводит к чистым числовым ответам. Даже в случае тривиальных расчетов, можно прийти к определенной конструкции, именуемой выражением с переменной.

Например, рассмотрим две практические задачи. В первом случае у нас есть некий завод, вырабатывающий 5 тонн молока каждый день. Необходимо найти, сколько молока вырабатывается заводом за р дней.

Во втором случае есть прямоугольник, ширина которого равна 5 см, а длина р см. Найти площадь фигуры.

Разумеется, если завод вырабатывает пять тонн в день, то за р дней, по простейшей математической логике, он выдаст 5р тонн молока. С другой стороны, площадь прямоугольника равна произведению его сторон - то есть, в данном случае, это 5р. Иными словами, в двух тривиальных задачах с разными условиями, ответом является одно целое выражение - 5р. Подобные одночлены именуются выражением с переменной, так как помимо числовой части они содержат некоторую букву, именуемую неизвестной, или переменной. Обозначается такой элемент строчными буквами латинского алфавита, чаще всего, х или у, хотя это не принципиально.

Особенностью переменной является то, что она может принимать любые значения на практике. Подставляя разные числа, мы будем получать итоговое решение для наших задач, например, для первой:

р = 2 дня, завод выдает 5р = 10 тонн молока;

р = 4 дня, завод выдает 5р = 20 тонн молока;

Или для второй:

р = 10 см, площадь фигуры равна 5р = 50 см2

р = 20 см, площадь фигуры равна 5р = 100 см2

Важно понимать, что р - это не набор некоторых отдельных значений, а все множество, которое будет математически соответствовать условию задачи. Основная роль переменной - это заменить недостающий элемент в условии. Любая математическая задача должна включать некоторые конструкции и отображать взаимосвязь между этими конструкциями в условии. Если значения какого-либо объекта не хватает, то вместо него и вводится переменная. При этом она является абстрактной заменой именно самого элемента условия (количества чего-либо, представленного числом, или выражением), а не функциональных связей.

Если рассматривать выражение вида 5р, как нейтральный и независимый объект, то значение р в нем может принимать какие угодно значения, фактически р тут равен множеству всех действительных чисел.

Но в наших задачах на ответ в виде 5р накладываются определенные математические ограничения, которые вытекают из условий. Например, дни и сутки не могут быть отрицательными, поэтому р в обеих задачах всегда равен нулю или больше его. Кроме того, дни не могут быть дробными - для первой задачи действительны только те значения р, которые являются целыми положительными числами.

В первой задаче: р равно конечному множеству всех положительных целых чисел;

Во второй задаче: р равно конечному множеству всех положительных чисел.

Выражения могут включать и сразу две переменные, например:

В данном случае, бином представлен двумя одночленами, каждый из которых имеет переменную в составе, причем эти переменные являются разными, то есть - независимыми друг от друга. Значение этого выражения может быть рассчитано полностью только при наличии значения обеих переменных. Например, если х = 2, а у = 4, то:

2х + 3у = 4 + 12 = 16 (при х = 2, у = 4)

Стоит отметить, что в этом выражении нет математических, или логических ограничений на значения переменной - и х, и у принадлежат всему множеству действительных чисел.

В общем плане, множество всех чисел, при подстановке которых вместо переменной выражение сохраняет смысл и действительность, называется областью определения (или значения) переменной.

В абстрактных примерах, не связанных с реальными задачами, область определения переменной чаще всего либо равна всему множеству действительных чисел либо ограничивается некоторыми конструкциями, например, дробью. Как известно, при нулевом значении делителя вся дробь теряет смысл. Поэтому переменная в выражении вида:

не может быть равна пяти, так как тогда:

7х/(х - 5) = 7х/0 (при х = 5)

И дробь потеряет смысл. Поэтому для этого выражения переменная х имеет область определения - множество всех чисел за исключением 5.

В нашем видеоуроке отмечен также особый случай применения переменных, когда они обозначают число одного порядка. Например, числа 54, 30, 78 можно задать через переменную а, либо же через конструкцию аb (с горизонтальной чертой сверху, для отличия от произведения), где b задает единицы (соответственно 4, 0, 8), а - десятки (соответственно, 5, 3, 7).

Записи 2а + 8, 3а + 5b , а 4 – bс называют выражениями с переменными. Поставляя вместо букв числа, получим числовые выражения. Общее понятие выражения с переменными определяется точно так же, как и понятие числового выражения, только, кроме чисел, выражения с переменными могут содержать и буквы.

Для выражений с переменной тоже применяются упрощения: не ставят скобок, содержащих лишь число или букву, не ставят знака умножения между буквами, между числами и буквами и т.д.

Различают выражения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными. Обозначают А (х ), В (х, у ) и т.д.

Выражение с переменной нельзя назвать ни высказыванием, ни предикатом. Например, о выражении 2а + 5 нельзя сказать, истинно оно или ложно, следовательно, высказыванием оно не является. Если вместо переменной а подставить числа, то получим различные числовые выражения, которые тоже высказываниями не являются, следовательно, данное выражение предикатом тоже не является.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Пример . 8: (4 – х ) – область определения R \{4}, т.к. при х = 4 выражение 8: (4 – 4) не имеет смысла.

Если выражение содержит несколько переменных, например, х и у , то под областью определения этого выражения понимают множество пар чисел (а ; b ) таких, что при замене х на а и у на b получается числовое выражение, имеющее значение.

Пример . , область определения множество пар (а ; b ) │а ≥ b.

Определение . Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значения. Переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Т.о. два выражения А (х ), В (х ) тождественно равны на множестве Х , если

1) множества допустимых значений переменной в этих выражениях совпадают;

2) для любого х 0 их множества допустимых значений, значения выражений при х 0 совпадают, т.е. А (х 0) = В (х 0) – верное числовое равенство.

Пример. (2х + 5) 2 и 4х 2 + 20х + 25 – тождественно равные выражения.

Обозначают А (х ) º В (х ). Заметим, что если два выражения тождественно равны на каком-то множестве Е , то они тождественно равны и на любом подмножестве Е 1 Ì Е. Также следует отметить, что утверждение о тождественном равенстве двух выражений с переменной является высказыванием.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Тождествами считают и верные числовые равенства. Тожествами являются законы сложения и умножения действительных чисел, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы на число и др. Тождествами также являются правила действий с нулем и единицей.

Замена выражения другим, тожественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Пример. 7х + 2 + 3х = 10 х + 2 - тождественное преобразование, не является тождественным преобразованием на R .

§ 5. Классификация выражений с переменной

1) Выражение, составленное из переменных и чисел с помощью только операций сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, называется целым выражением или многочленом.

Пример . (3х 2 + 5) ∙ (2х – 3у )

2) Рациональным называется выражение, построенное из переменных и чисел с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Рациональное выражение можно представить в виде отношения двух целых выражений, т.е. многочленов. Заметим, что целые выражения являются частным случаем рациональных.

Пример . .

3) Иррациональным называется выражение, построенное из переменных и чисел с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, а также операциии извлечения корня п -ой степени.

На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.

Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.

Навигация по странице.

Одночлены и многочлены

Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены . На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.

Определение.

Одночленами называются числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Определение.

Многочлены – это сумма одночленов.

Например, число 5 , переменная x , степень z 7 , произведения 5·x и 7·x·2·7·z 7 – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7 , то получим многочлен.

Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень , в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.

На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами .

Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен , а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители .

Рациональные (алгебраические) дроби

В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби , которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями .

Определение.

Рациональная (алгебраическая) дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, в частности, одночлены и числа.

Приведем несколько примеров рациональных дробей: и . К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.

На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями .

Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей , наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.

Рациональные выражения

Определение.

Выражения со степенями (степенные выражения) – это выражения, содержащие степени в своей записи.

Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2 3 , . Также имеют место степенные выражения с переменными: и т.п.

Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями .

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Определение.

Выражения, содержащие логарифмы называют логарифмическими выражениями .

Примерами логарифмических выражений являются log 3 9+lne , log 2 (4·a·b) , .

Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .

В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений .

Дроби

В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.

Дробь расширяет понятие . Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.

Итак, дадим определение дроби.

Определение.

Дробь – это выражение, состоящее из разделенных дробной чертой числителя и знаменателя, которые представляют собой некоторые числовые или буквенные выражения или числа.

Данное определение позволяет привести примеры дробей.

Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4 , , (−15)/(−2) . В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

А вот выражения 2/5−3/7 , дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.

Выражения общего вида

В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, или . Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида , а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.

Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Найдем значение выражения х+5, если х=0, х=3, х=16, х=35

Рассуждаем так:

если х=0, то значение суммы равняется 5, так как 0+5=5

если х=3, то значение суммы равняется 8, так как 3+5=8

если х=16, то значение суммы равняется 21, так как 16+5=21

если х=35, то значение суммы равняется 40, так как 35+5=40

Какие еще значения может принимать х?

Х может быть равен 43 или 68. Вообще можно сказать, что х может принимать любые значения.

Как бы вы назвали букву, которая может принимать любые значения?

Можно назвать ее по-разному: изменчивая, переменчивая.

Правильный ответ: в математике ее называют переменной.

Обратите внимание: в математике переменная позволяет записывать несколько выражений одним.

Рассмотрим выражения. Что можно сказать о них?

Правильный ответ: уменьшаемые одинаковые, а вычитаемые меняются. Значит, можно записать так:

Рассмотрим выражения с переменной.

Что общего? Чем отличаются?

Правильный ответ: во всех выражениях одно действие, во всех выражениях имеется число 2. Отличия: разные действия, разные буквы обозначают переменную.

Какие значения может принимать переменная в этих выражениях?

В выражении 2+х, х может быть любым числом.

В выражении 2*y, у может быть любым числом.

В выражении 2-z, z может принимать только несколько значений: z=2, z=1, z=0.

Сегодня на уроке мы повторили отличия простой и составной задачи, вспомнили, как складывать и вычитать двузначные числа столбиком.

Найдем значение этих выражений, если х=5, у=3, z=2.

Рассуждаем так: подставим данные числа в выражения.

Если х=5, то 2+х=2+5=7

Если у=3, то 2*y=2*3=6

Если z=2, то 2-z=2-2=0

Прочитаем и сравним задачи.

1. У Тани 3 розы и 6 пионов. Сколько цветков у Тани?

2. У Тани 3 розы и 4 пиона. Сколько цветков у Тани?

3. У Тани 3 розы и 2 пиона. Сколько цветков у Тани?

Обратим внимание на то, что в задаче меняется количество цветков пионов. Заменим все три задачи одной задачей с переменной. Тогда задача будет звучать так: у Тани 3 розы и k пионов. Сколько цветков у Тани?

Чтобы узнать, сколько цветков у Тани, надо к 3 прибавить k.

Подставим значения в буквенное выражение.

если k=6 3+6=9 (цв.)

если k=4 3+4=7 (цв.)

если k=2 3+2=5 (цв.)

Важно отметить, что иногда в выражении бывают две переменные.

Тогда выражения могут выглядеть так:

Определим, какая переменная больше и на сколько.

Правильный ответ:

в первом равенстве сравниваем переменные b и а, а - результат сложения, поэтому a>b на 18;

во втором равенстве сравниваем переменные n и m, n - уменьшаемое, значит n>m на 4;

в третьем равенстве сравниваем переменные c и d, c - это слагаемое, d - значение суммы, значит d>c на 7;

в четвертом равенстве k-t =5 сравниваем уменьшаемое и вычитаемое, уменьшаемое больше, поэтому k>t на 5.

Сегодня на уроке мы учились составлять выражения с переменной, находили значения выражений при данном значении переменной.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Найди значение выражения 36 - а, если а = 15, а = 16, а = 20, а = 35.

2. Найди значение выражения 12 + х, если х = 10, х = 34, х = 48, х = 59

3. Сравни выражения с переменной и поставь знак сравнения. 36 + к …37 + к

4. Замени данные выражения одним общим с переменной.