Школа Юрия Окунева

Всем привет! С вами Юрий Окунев.

Умеете ли вы рисовать? Можете представить предмет с закрытыми глазами во всех деталях? Умение «видеть объемно» − это одна из ключевых позиций высокоразвитого интеллекта. Именно это качество позволяет хорошо считать в уме и быть экспертом в литературе. Разберем сегодня упражнения на развитие пространственного мышления.

Если у вас всегда под рукой навигатор GPS – это не значит, что вам не нужно развивать умение пространственно мыслить. Почему?

Заглянем в словарь:

Говоря простым языком, пространственное мышление – это то, что позволяет нам создавать объёмную картинку в голове, изменять и трансформировать её по нашему усмотрению.

Что это значит?

1. Художник рисует картину. Чтобы его рисунок был убедительным, он должен соотнести реальные размеры объектов с нарисованными размерами, то есть, создать иллюзию ПРОСТРАНСТВА на бумаге. Этот же принцип действует в черчении.
2. Писатель пишет роман. Он создает образы героев, размещает их в воображаемом ПРОСТРАНСТВЕ. Продумывает линию сюжета, заполняет пространство событиями.
3. Шеф-повар, прежде чем готовить очередное произведение кулинарного искусства, должен его представить мысленно во всех деталях: как будет выглядеть, какой у блюда будет вкус, в каком соотношении лучше взять продукты – создать ОБРАЗ будущего творения.
4. Математические расчеты тоже связаны для нас с понятиями ПРОСТРАНСТВА и образами. Это касается не только геометрии. Ученик, способный представить «мультик» с условиями задачи, справиться с ней гораздо легче и быстрей.
5. Процесс запоминания любой информации заключается в создании понятного ОБРАЗА и размещении его во внутреннем ПРОСТРАНСТВЕ мыслей. Если образ не создать, то информация быстро забудется.

Как видите, область применения пространственного мышления довольно обширна. Любой вид деятельности человека связан с ней в большей или меньшей степени.

Типы операций над образами

Пространственное мышление – это довольно сложный процесс, включающий в себя как умение мыслить логически, так и способность переводить реальное изображение в графическую схему и наоборот, а также умение представить объект в воображении во всех деталях. Существует три типа операций над образами в пространстве:

1. Изменение местоположения (мысленное перемещение объекта без изменения его внешнего вида)
2. Метафорфозы объекта (мысленное изменение внешнего вида объекта без перемещения)
3. Комбинированное изменение (меняются и вид, и местоположение)

Способность человека производить данные действия определяет его степень успешности в жизни, насколько быстро он может сориентироваться в новых условиях, может ли реализовать свои цели.

Простая закономерность

В университете штата Мичиган в США проводилось исследование. Детей в возрасте от 6 до 8 лет обучали собирать объемные фигуры из кубиков. Оказалось, что как только ребенок начинает понимать принципы построения фигур, его способности производить арифметические действия резко улучшаются.

Корреляция прослеживается не только в математике. При чтении художественной литературы, в воображении создается целый кинофильм, оживляющий события книги. Это позволяет производить глубокий анализ произведения, и, конечно, процесс чтения становится более интересным.

Без этого вида мышления становится невозможным процесс запоминания, так как запоминаем мы не что иное, как образы.

В повседневной жизни прежде, чем приступать к какой-либо деятельности, мы четко представляем себе результат, раскладывая по полочкам все детали. В противном случае на выходе может получиться совсем не то, что задумывалось.

Упражнения для малышей

Пространственное мышление активно развивается у малышей уже с 2-месячного возраста. Ребенок сначала ищет взглядом маму, фокусирует взгляд на игрушке, затем, ползая, исследует мир всеми возможными способами – в цвете и в объеме.

2-3-летнему малышу не надо запрещать залезать под стол или в шкаф, сооружать пирамиду из папиных книжек и раскрашивать себя, изображая индейца. Ваш ребенок неосознанно пытается развить в себе задатки гения-математика, способности к логике.

Поучаствуйте с ним вместе в этих играх – залезьте вместе с ним под стол, будьте в роли гостя. Ребенок будет в восторге. Купите специальные краски и порисуйте вместе с малышом руками – пальцем или ладошкой.

Детям 5-6 лет доступны более сложные элементы тренинга. В этом возрасте надо научиться различать, что такое «право», «лево» и «верх» – «низ».

• Поставьте на листе бумаги несколько отпечатков от ладони, пусть ребенок догадается, где правая, а где левая рука;
• Выложите перед ним предметы одежды, развернув как лицевой, так и задней стороной, и попросите определить правый и левый рукав (штанину);
• Читая сказку, заостряйте внимание дошкольника на предлогах «в», «на», «перед». Возьмите в руки игрушку и покажите ребенку, как это будет: «зайчик сел на пенек», «спрятался за кустом»;
• Поиграйте в путаные фразы. Например: «На стене лежит перина, на кровати же – картина»
• Развивайте мелкую моторику: лепка, оригами, пальчиковые игры, плетение кос.

Упражнения для школьников

Согласно выводам ученых, пик развития пространственного мышления приходится на возраст 9-11 лет. А в целом, активное развитие этого вида мышления длится до достижения возраста 15 лет.

В наших школах предмет «Геометрия» обычно преподают с 7 класса при достижении детьми возраста 12-13 лет, когда развитие данного вида мышления начинает замедляться. Наверно, поэтому для большинства ребят геометрия является таким нелюбимым предметом, а преподаватели бьют тревогу о низком уровне пространственных знаний учащихся.

Если вы хотите, чтобы у вашего ребенка проблем с геометрией и пространственными навыками не было, начинайте заниматься с ним с первых классов школы. Приведу несколько заданий, разместив их в порядке возрастания сложности:

• Складывание фигурок оригами из бумаги;
• Работа с 3D-пазлами, конструирование из лего;
• Составление плана местности или помещения, свободное владение понятием масштаб;
• Получение стереометрической фигуры путем вращения плоской фигуры;
• Работа с кубиком Рубика;
• Определить стереофигуру по ее проекции, составление изображения-развертки;
• Получить новую сложную фигуру путем объединения 2-3 простых сереометрических фигур. Найти, что получится, если из одной фигуры вычесть другую.

Также весьма полезным будет учить ребенка составлять рассказ по картинке, при этом четко обозначая эмоции каждого персонажа и выстраивая причинно-следственную линию; решать логические задачки, анаграммы, а также различные планиметрические и объемные головоломки.

Кстати, такие головоломки в большом количестве можно найти на сайте Брайнаппс . Не забывайте также уделять достаточно времени развитию памяти ребенка. Упражнения . И поощрять его занятия рисованием и лепкой.

Методики для взрослых

Пространственное мышление развивается и совершенствуется в течение жизни постоянно, поэтому взрослые тоже могут достичь успехов в освоении данных навыков.

1. Читая книгу, остановитесь и отложите ее в сторону. Закройте глаза и представьте героев сюжета в объеме: кто и где размещается, если идет, то в какую сторону, представьте картинку местности;
2. Придя из гостей, вспомните до деталей маршрут, по которому добирались, обстановку дома, где вы были, лица гостей и места, где они сидели за столом;
3. Размещая вещи в багажнике машины, укладывайте их максимально компактно;
4. Разгадывайте словесные головоломки, занимайтесь развитием памяти;
5. Займитесь созданием модели ручного изготовления – модель парусника, например, в масштабе 1:20 или макет трамвайного депо.
6. Направляясь по незнакомому адресу, используйте бумажную карту вместо привычного GPS-навигатора или вообще займитесь спортивным ориентированием.

На этом я, пожалуй, закончу рассказ о пространстве. Как видите, этот навык весьма полезен. Пространственное мышление – это основа, на которой строится понимание любых предметов и явлений от «сколько будет 2+2» до определения .

На этом все. Желаю вам успехов и жду ваших отзывов в комментариях. Подписывайтесь на новости, приглашайте друзей.
До свидания! Ваш Юрий Окунев.

Если спросить родителей, что должен уметь ребенок при поступлении в школу, то многие ответят: читать, писать, рисовать. И мало кто из них задумается о таком необходимом навыке, как ориентировка в пространстве, который имеет большое значение для успешного обучения. Специалисты отмечают: дети, у которых плохо развиты пространственные представления, испытывают трудности при обучении письму и математике. Что могут сделать родители, чтобы своевременно развивать у ребенка пространственное мышление? На помощь приходит специальная методика, помогающая подготовить к учебе будущего первоклассника.

Что надо знать родителям о пространственном мышлении?

В основе пространственного мышления лежат представления о формах и размерах объектов, их расположении, взаимодействии и движении в пространстве. Прежде чем начинать домашние занятия по развитию пространственных представлений, родителям нужно четко понимать, какие умения необходимы ребенку и как методика помогает их сформировать.

Совет! Развитие пространственного мышления идет поэтапно, в каждом возрастном периоде имея свои особенности. Поэтому не надо сразу загружать ребенка большим объемом знаний, пространственные представления должны накапливаться постепенно.

Для правильной организации домашних занятий родителям важно знать, что для дошколят ориентировка в пространстве предполагает развитие таких умений, как:

• свободно ориентироваться по отношению к себе и напротив находящемуся человеку (левая и правая сторона);
• определять движения вперед - назад, вверх - вниз, вправо - влево.
• обозначать стороны горизонта: север, юг, запад, восток;
• моделировать положение объектов в пространстве;
• понимать заданное направление, чтобы перемещаться в соответствии с ним;
• ориентироваться в двухмерном пространстве (плоскость с длиной и шириной);
• графически воспроизводить различные направления.

Поэтапное формирование пространственных представлений

Зачастую родителям кажется, что нет ничего проще, чем обучить малыша ориентироваться в пространстве. Однако развитие пространственных представлений у детей дошкольного возраста идет по определенным правилам:

• знания ‒ по возрасту;
• качество восприятия знаний зависит от обучения.

Методика определяет круг знаний о пространственных представлениях в каждой возрастной группе:

• Главным содержанием домашних занятий для малышей становятся знания о левой - правой стороне тела. Идет знакомство с понятиями справа - слева, впереди - сзади, вверх - вниз.
• На занятиях с детьми 4-5 лет происходит закрепление умения ориентироваться в пространстве. Добавляется обучение умению ориентироваться относительно других объектов, перемещаться в соответствии с заданным направлением, в двухмерном пространстве.
• У старших дошкольников вплоть до школы идет дальнейшее развитие пространственного мышления на основе имеющихся знаний и приобретение новых пространственных представлений: графическое изображение, моделирование предметов, знание о сторонах горизонта.

Совет! Специалисты подсчитали, что достаточно 5-10 минут в день для занятий с ребенком, чтобы получить хорошие результаты. Главное, чтобы знания закреплялись в повседневной жизни: при умывании, питании, во время прогулки.

Какие игры и упражнения помогут освоить умение ориентироваться в пространстве?

Развитие пространственного мышления интенсивно происходит в дошкольном возрасте, для которого игра является ведущей деятельностью. Поэтому методика предполагает опору на игровые задания и упражнения, что принесет больший эффект, чем просто заучивание специальных терминов. В методике накоплено много словесных игр, упражнений с движениями, игр с предметами. Основой всех действий взрослого и ребенка послужит главная для данного возраста задача.

Игры для малышей

Развивающие задания для малышей должны быть направлены на восприятие собственного тела (левая и правая сторона), определения положения предмета вверху - внизу. Учитывая стремление детишек этого возраста к большой двигательной активности, методика предлагает подвижные игры, упражнения с предметами.

«Если нравится тебе, то делай так»

• Привычные движения для закрепления понятий верх-низ, лево - право интересно выполнять под известную песенку «Если нравится тебе, то делай так…». Необязательно сразу начинать со сложных упражнений, пусть они будут простые, например, по команде взрослого ребенок поднимает руки вверх - вниз, в стороны, поочередно влево - вправо. Движения можно взять из комплекса утренней гимнастики, чтобы не вызвать затруднений у малышей при их выполнении под мелодию.

Совет! На первых порах малышу потребуется зеркальное отражение движений, так как он еще только усваивает пространственные представления относительно своего тела.

• Аналогично выполняются движения для ног: «Отставить ножку влево (вправо), постоять на одной ножке (правой, левой) ».
• Как усложненный вариант, после усвоения простых движений, предложить прыжки на двух ногах вперед - назад, влево - вправо.

Игры с мячом

Задания с мячом помогают детям легко ориентироваться в пространстве. Например, можно предложить бросать мяч вверх - вниз или поочередно левой, правой рукой, толкать мяч левой или правой ногой. Взрослый четко называет руку или ногу, которой производится движение.

Игрушки - помощники

Широко используются игрушки, которые помогут закрепить пространственные представления: «Машина поехала влево, а мячик покатился вправо», «Бери веревочку в левую ручку, а лопаточку ‒ в правую», «Какой игрушки не стало с правой стороны? »

Стихи и потешки в обучении

Большую пользу и удовольствие маленьким деткам доставят стихи и шутки - прибаутки, которые могут сопровождать упражнения. Взрослый читает стихотворение, а ребенок выполняет движения.

Стихи Е. Благининой :

Я умею обуваться,
Если только захочу.
Я и маленького братца
Обуваться научу.
Вот они ‒ сапожки.
Этот ‒ с левой ножки, (ребенок показывает ножки и сапожки)
Этот ‒ с правой ножки.
Если дождичек пойдёт,
Наденем галошки. (Объяснить, что галошки - это очень низкие сапожки, показать рукой на детском сапоге)
Эта ‒ с правой ножки,
Эта ‒ с левой ножки.
Вот как хорошо!

Стихотворение И. Токмаковой :

(Взрослый читает) Аист, аист длинноногий,
Покажи домой дорогу.
(Ребенок выполняет движение ножкой) Топай правою ногой,
Топай левою ногой.
Снова ‒ правою ногой,
Снова ‒ левою ногой,
После ‒ правою ногой,
После ‒ левою ногой.
Вот тогда придешь домой!

«Графический диктант»

Родители могут использовать для диктанта уже готовые тетради с заданиями. Но детям гораздо интереснее выполнять упражнения, которые придумали сами родители, например, нарисованные по клеточкам изображения предметов или животных. Ребенку предлагается на листе бумаги обводить клеточки в соответствии с инструкцией: «четыре клеточки прямо, три клеточки вниз, одна клеточка вправо и т. д. (до тех пор, пока не получится изображение предмета) ». Потом изображение можно раскрасить. Кроме того, графические диктанты являются прекрасным средством , необходимой при обучении письму.

Совет! Для развития пространственных представлений, которые необходимы при обучении письму и математике, нужно закрепить в графических диктантах умение находить части, углы, центр листа.

Настольные игры

Классикой в методике являются настольные игры для ориентировки в пространстве.

Важное место занимают игры в ограниченном пространстве: шахматной доске, столе, журнале. Например, популярны «Ход конем», «Колумбово яйцо», «Разрезные картинки», «Сложи узор», головоломки.

Игра «Регулировщик»

• Поле для такой игры можно изготовить вместе с ребенком. Вычерчивается дорога, идущая в разных направлениях к определенному зданию (магазин игрушек, зоопарк), подбираются машинки. Ведущий (взрослый или ребенок) указывает путь «водителю»: прямо до светофора, вправо и т. д.
• Аналогично проводится игра на игровом поле «Пройди по улице, перейди дорогу» с мелкими игрушками.

«Лабиринт»

• Задание направлено на восприятие и нахождение предмета в двухмерном пространстве. Так же, как и в предыдущих играх, изготавливается поле с начерченным лабиринтом, внутри которого находится игрушка. Игрок должен рисовать правильный путь с комментариями.
• Как вариант, можно усложнить задание: «Найди самый короткий путь».

«Зеркало наоборот»

Играющие садятся напротив друг друга, ведущий объясняет, что все движения, которые он покажет, надо делать наоборот. Например, он прикасается левой рукой к правой щеке, игрок должен повторить наоборот; поднимает левую руку, ребенок ‒ правую.

Словесные игры

Чтобы дошкольник активно пользовался ориентировочными понятиями, их нужно ввести в его активный словарь. Для этого предлагаются словесные игры:

• «Скажи наоборот: вверх-..., влево-..., север-... » (как вариант проводится игра с мячом),
• «Я начинаю, а ты продолжай» (взрослый начинает предложение с обозначения пространственного отношения, дошкольник продолжает, например, белые медведи живут на севере...).

В методике развития пространственного мышления представлено много заданий, которые родители с успехом могут использовать для домашних занятий. Наиболее ценными будут игры, изобретенные взрослыми совместно с дошколятами, так как лучше всего запоминается то, что придумано самостоятельно.

Знаете ли вы людей, которые очень легко и быстро ориентируются в незнакомом месте, не используя карту? Завидовали ли тем, кто умеет хорошо рисовать? Изучали ли с воодушевлением и восторгом жизнь и работы Леонардо да Винчи? Все эти черты свойственны тем, кто обладает развитым визуально-пространственным мышлением.

Пространственное мышление – вид умственной деятельности, обеспечивающий создание пространственных образов, мышление в терминах изображений и оперирование ними в процессе решения практических и творческих задач.

Какие преимущества имеет этот навык? Он критически важен для дизайнеров и архитекторов. Они имеют непосредственное отношение к пространству и расположению в нем объектов. Математики используют его, чтобы представлять мысленно геометрический объект, который в уме можно измерять, вращать и перемещать для облегчения геометрического расчета.

Геофизик мысленно манипулирует движением тектонических плит, чтобы увидеть процесс земного образования. Нейрохирург визуализирует различные области мозга, чтобы предсказать результат операции. Инженер представляет в голове, как различные силы могут влиять на конструкцию объекта. Режиссеры и операторы проводят огромную мысленную работу, «располагая» актеров и объекте на сцене. Писатели просто вынуждены развивать пространственное мышление, потому что имеют дело исключительно со своей собственной фантазией.

В целом, существует небольшое количество профессий, где пространственное мышление не имеет особого значения. И даже в этом случае есть смысл его развивать – для повседневной жизни. Но начнем с того, как развивать пространственное мышление у детей.

Пространственное мышление у детей

Развитие пространственных навыков дошкольников поможет им преуспеть в будущем в области математики и визуальных искусств.

Помните, что никогда не рано учить ребенка пространственному мышлению, даже если он еще не умеет ходить. Нейрофизиологи обнаружили, что в раннем детстве развиваются специфические области мозга, ответственные за размышления о расположении предметов в пространстве. Младенцы в возрасте от 4 месяцев демонстрируют способности, связанные с умственным вращением предметов.

Кроме того, навыки пространственного мышления являются кумулятивными и долговечными. Тот, кто овладевает навыками в раннем детстве, будет иметь больше возможностей использовать их для приобретения и организации дополнительной информации на протяжении всей своей жизни.

Поощряйте использование пространственного словаря в повседневных взаимодействиях

Родители могут помочь ребенку улучшить пространственный интеллект, используя более специфические термины. Например, дети учатся лучше, когда начинают осознавать значения пространственных слов.

Дошкольники, родители которых часто используют пространственные слова (например, треугольник, большой, высокий или согнутый), лучше выполняют пространственные тесты, чем те, родители которых не используют такой язык.

Вот еще слова, которым вы должны научить своего ребенка: квадрат, круг, сфера, маленький, высокий, крошечный, высокий, прямой, угловой, заостренный, острый, внутри, снаружи, сверху, снизу, впереди, позади, по диагонали, поперек.

Попросите своего ребенка повторить слова и объясните, что они означают. Применяйте их в играх.

Научите ребенка использовать жесты

Жест – мощный инструмент общения и обучения. Исследования показывают, что дети учатся лучше, когда учителя задействуют жестикуляцию при объяснении.

Когда дети используют жесты для обозначения движений объектов, их способность к пространственному мышлению улучшается. Причем даже в том случае, если им предлагают дополнить свой словесный ответ при помощи жестов.

Учите визуализировать

Запустите дрона

Управлять летающим объектом в пространстве с помощью нескольких джойстиков сложнее, чем кажется. Направление, в котором летит беспилотный летательный аппарат, постоянно меняется, заставляя вас одновременно им управлять и отслеживать положение дрона, чтобы правильно ориентировать его. Это тест на вращение предмета в реальном времени.

Разгадывайте головоломки

Попробуйте собрать кубик Рубика или поиграйте в многочисленные игры-головоломки, которые сейчас доступны и в виде приложений для телефона. Собрать пазл – тоже хороший вариант.

Делайте наброски

Попробуйте нарисовать трехмерный объект с разных ракурсов и перспектив. Если тяжело, просто рисуйте, что в голову взбредет. Чем больше тренируетесь, тем лучше становитесь – здесь настойчивость является самой верной стратегией.

Исследуйте физический мир

Исследование реального мира научит вас визуализировать пространство и расстояние наилучшим образом.

Будьте осознанны. Оценивайте расстояние, которое проходите, сопоставляйте с реальными показателями. Обращайте внимание на дороги, мосты, горы, постройки – все, что вас окружает. Это улучшит память и внимательность, поможет избавиться от информационной перегрузки и прокачает пространственное мышление.

Научитесь мысленно вращать предметы

Мысленное вращение – это способность мысленно представлять и поворачивать 2D и 3D объекты в пространстве быстро и точно, в то время как функции объекта остаются неизменными.

Пройдитесь по квартире или офису, найдите один объект, который будете мысленно вращать. В идеале его нужно взять в руки и рассмотреть со всех сторон. Запомните каждую мелочь.

А теперь закройте глаза и мысленно вращайте его. Добейтесь того, чтобы объект не терял объема, не уменьшался, не увеличивался и не искривлялся. Теперь представьте, как на него падает солнце или капли дождя. «Разбейте» его на маленькие кусочки, а затем «соберите».

К примеру, выгляньте из окна и внимательно осмотрите один из автомобилей. Запомните его. Теперь закройте глаза и представьте следующее:

• Как этот автомобиль стоит у дерева в лесу.
• Как он едет по дороге.
• Как он будет выглядеть, если перевернется.
• Представьте его на берегу моря.
• А теперь «утопите» в море. Прошел один год. Как он будет выглядеть под водой со всех ракурсов? Что с ним сделают обитатели моря?
• Представьте его в темноте с мигающими фарами.
• Как он обгоняет другой автомобиль.
• Как он выглядит без колес.
• Представьте, как он медленно удаляется.
• Представьте десять таких же автомобилей, стоящих в ряд.
• А теперь – те же автомобили, стоящие друг на друге.

Не спешите. Выделите на это упражнение достаточно времени. Чем больше деталей и подробностей, тем лучше.

Играйте в видеоигры

Разумеется, не во все. Однако вы сможете найти несколько хороших популярных видеоигр, которыми увлекаются многие люди. К примеру:

• Minecaft
• Цивилизация (Civilization)
• Starcraft

Отлично подойдут и игры для мобильных телефонов:

• Monument Valley
• Har-mo-ny
• Thomas was alone

Играйте в настольные игры

Безусловно, лучше всего обучаться, если делать это при помощи игры. Если же говорить про настольные, то здесь еще есть возможность подключить своих друзей или родственников. Всем от этого будет огромная польза.

Преимущества настольных игр в том, что они повышают , улучшают память, заставляют мыслить стратегически, а также позволяют проводить десятки образных операций в голове.

Причем делается это не бесцельно, а для того, чтобы победить соперников. То есть уровень мотивации повышается в несколько раз, причем без дополнительных усилий.

Настольные игры выгодно отличаются от видеоигр еще и тем, что позволяют проводить физические манипуляциями с предметами. Вы можете взять кубик в руки, перемещать фигурки, соединять объекты и ощущать карты в своих руках. Когнитивные психологи считают, что когда к визуальному образу добавляется еще и физический, пространственное мышление развивается быстрее.

Вот настольные игры, на которые стоит обратить внимание:

• Манчкин
• Монополия
• Карксассон
• Дженга
• Ундервуд
• Диксит
• Цитадели
• Токайдо
• Ужас Аркхэма
• Древний ужас.
• Робинзон Крузо
• Колонизаторы
• Пандемия
• Доминион
• Билет на поезд

Отличительная особенность большинства настольных игр в том, что в них можно играть бесконечное количество раз. Поэтому тренировать пространственное мышление вы сможете в любое удобное время.

Желаем вам удачи!

Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Наглядность, воображение принадлежат больше к искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – “лед и пламень не столь различны меж собой”. Так геометрия соединяет в себе эти две противоположности. Так ее и надо изучать, соединяя живость воображения с логикой, наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами.

Поэтому основное правило изучения геометрии состоит в том, что встречаясь с определением, теоремой или задачей, нужно прежде всего представить и понять их содержание: представить наглядно, нарисовать или, еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.

Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным воображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.

Все психологические процессы, в том числе и пространственное воображение, развивается и совершенствуется в результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, т.е. необходима система упражнений.

За годы работы в школе, я пришел к выводу, что пространственное воображение учеников следует развивать с первых уроков математики в пятом классе.

В настоящее время разработаны различные системы развития пространственного воображения у младших школьников, в том числе и компьютерные. Мною на протяжении ряда лет используется более простая система, которую я называю курсом “Введение в геометрию”, рассчитанного на преподавание в 5 – 6 классах. Его цель – подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии.

При определении содержания “Введения” нужно было понять, что именно наиболее трудно дается детям в начале систематического курса. Этот курс догматичен. В нем почти отсутствует мотивация, его логика скрыта от детей. В самом деле, он начинается с точек и прямых, потом идут углы, потом треугольники и т.д. Но ученики не знают, что будет впереди, не ведают ни о цилиндрах, ни о пирамидах.

Разъединенность планиметрии и стереометрии – весьма вредная для дела особенность курса. У учащихся подавляется пространственное воображение. Последние издания учебника “Геометрия”, 10 – 11 классы авторов Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. пытаются сгладить переход от планиметрии к стереометрии, изображая объемные тела цветными, но при переходе учащихся от учебника к рабочим тетрадям эта попытка сходит на нет. Изображение фигуры в тетради становится бесцветным, и учащиеся испытывают затруднения в чтении и изображении таких рисунков. (Не заставлять же старшеклассников рисовать цветными карандашами!)

В поисках преодоления этого недостатка уместно обратиться к истокам геометрии. Первоначальные геометрические сведения, дошедшие до нас, содержатся в египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах, имеющих более чем четырехтысячелетнюю давность. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса, который впервые применил движения: перегибание чертежа, поворот части фигуры и т.д. Постепенно геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой подавляющее большинство фактов устанавливается путем вывода, доказательства. Вершиной древнегреческой геометрии была книга “Начала”, написанная Евклидом (III в. до н.э.), содержащая свойства параллелограммов и трапеций, подобие многоугольников, теорему Пифагора и т.д.

В нынешнем курсе представлен, лишь, евклидов этап истории геометрии, а доевклидов не рассматривается вовсе. Не отражено в нем то время, когда ученые еще не владели методами строгих доказательств, но знали уже практически все, что входит в нынешнюю школьную геометрию. Почему бы ни познакомить учащихся перед систематическим курсом со всеми объектами изучения, используя для этого часть часов, отведенных на повторение изученного материала в 5 – 6 классах. Тогда в 7 классе можно четко поставить задачу – выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, еще неизвестных. При такой постановке вопроса изживается догматизм, а те умения, которые удается сформировать в 5 – 6 классах, делают дальнейшее изучение геометрии не таким трудным.

Измерение длин известно из начальной школы, а при изучении измерения площадей, объемов и углов легче разъяснить практическую необходимость измерения объемов. Поэтому введение в геометрию удобно начать с изготовления литровой емкости – куба с ребром 1 дм. При этом внимание учащихся обращается на то, что для изготовления этого куба нужно иметь шесть квадратов со стороной 1 дм и при склеивании их нужно прикладывать друг к другу определенным образом. Учащиеся получают очень важный опыт, который недостижим в нынешних условиях, ведь измерение объемов изучается в кусе стереометрии Х – ХI классов. (Не заставлять же старшеклассников клеить кубы!) Уже на этом примере просматриваются определенные навыки: дети измеряют, чертят, вырезают, клеят. В дальнейшем добавляются вычисления по формулам.

Следующий вопрос – измерение объема полулитровой емкости, весьма распространенной в торговле и в быту. Можно разрезать литровый куб пополам горизонтальной (вертикальной) плоскостью, проходящей через середины сторон, или вертикальной (горизонтальной) плоскостью, проходящей по диагоналям оснований.

В первом случае мы делили пополам высоту куба, а основание не трогали. Вообще, если не изменять основание, а изменять высоту, то объем изменится во столько же раз. Во втором случае мы не трогали высоту, но в два раза уменьшили площадь его основания. Так мы приходим к объяснению формулы объема призмы. Учащиеся применяют полученные знания при выполнении практической работы.

Заметим, что для решения многих задач не надо специальных знаний, т. е. их можно предлагать учащимся уже в пятом классе.

Первую серию задач условно можно назвать “выходом в пространство”. Это устные задачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот, упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении и монет в задаче 3 (читатель сразу думает, что монеты должны лежать на плоскости) навязывает “плоскостные” образы. Нужно преодолеть это, “вывести” свою мысль “в пространство”, чтобы правильно выполнить предложенные задания.

Например:

1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на восемь частей.

2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка.

3. Расположите пять одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных.

4. Можно ли расположить шесть одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? (Ответы смотри в приложении1)

Часто приходится сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображением многогранников, решением задач на построение сечений и т.д. Но ученики должны “видеть” этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии уместно предложить задачи с кубом, параллелепипедом, некоторыми другими геометрическими телами. Эта группа заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами .

На этом рисунке <Рисунок1> любой математик видит куб, а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты… Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивительно: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа <Рисунок2>, а другой – снизу и слева <Рисунок3>. Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение, той реальности, о которой говорится в конкретной задаче.

Но многие учащиеся не могут сразу научиться видеть в плоской фигуре выпуклые тела. Помочь им еще в средних классах наша задача. Предлагая ряд плоскостных рисунков, попробуем преодолеть трудности восприятия.

Например:

5. Закройте листом цветной бумаги переднюю грань куба и опишите свои впечатления. (Более четко просматривается такой куб, как на рисунке 2)

6. Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления рисунком. На что похож ваш рисунок: на шкафчик? полочку?

7. Попробуйте представить, глядя на рисунок, сначала коридор <Рисунок4> (трубу <Рисунок5>, по которому вы движетесь, затем перевернутое детское ведерко, на кторое вы смотрите сверху. (В первом случае больший квадрат (окружность) находится ближе к нам, во втором – дальше).

Третья серия заданий использует развертки куба, призмы, цилиндра и конуса.

8. Сколько граней у шестигранного карандаша? (Восемь, если карандаш не заточен. Часто отвечают “шесть”).

9. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть равных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? (Нетрудно доказать, что фигура состоящая из объединения треугольников передней и верхней граней, расположенных в одной плоскости, есть квадрат). <Рисунок6>

10. На рисунке изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой этим куском бумаги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? (Можно, если грань куба такая, как выделенная цветом). <Рисунок7>

Следующая серия заданий – это задания на проекции. Дети очень часто играют, изображая различные тени на стене, столе и т.д. В качестве примера приведу следующую задачу:

11. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей света, параллельных этой диагонали? (Правильный шестиугольник).

В заданиях на проекции фигур, широко могут использоваться задачи на изображение фигур, согнутых из проволоки, когда луч света направляется на куб под разными углами. Эти задачи ценны тем, что предметы, о которых в них говорится, учащиеся могут изготовить сами. Не вызовет технических затруднений и изготовление бумажных разверток куба. Однако следует заметить: во всех случаях модели желательно делать после решения, а не для решения. Если начинать рассмотрение предлагаемых задач с моделей, то именно воображение учащихся не задействуется и стимул для его развития получается слабым.

Особое место в развитии мышления занимает обучение сравнению, в частности сравнению факта, выраженного словесно, с его интерпретацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказывания. Учась опровергать неверные высказывания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. А это необходимый вид деятельности при изучении геометрии.

Итак, разносторонняя работа с рисунком, чертежом не только способствует общему умственному развитию школьников, но развивает пространственное воображение, обеспечивая более полное и продуктивное изучение геометрии, и начинать эту работу необходимо в 5 – 6 классах при изучении математики.