Задачи на движение по круговой трассе. Задачи на движение по круговой трассе.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 1.
которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости
другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км,
Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после
скорость
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он
еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился
мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал
велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал
его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы
равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по
кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут.
первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут?
Ответ дайте в км/ч.
один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут
км/ч меньше скорости второго.
трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 36
минут после встречи.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 2.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты
поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 10 км/ч
больше скорости другого?
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 101 км/ч, и через 20 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 минут
следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправ
ления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут
после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 50 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 68 кругов по
кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на
15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если
известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг
через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на
5км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 20
минут после встречи.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 3.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются
в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости
другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после
второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 21
минуту после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 35 км. Ответ дайте в км/ч.
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 94 круга по
кольцевой трассе протяжённостью 7,5 км. Оба гонщика стартовали
одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 18 минут.
Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что
первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 50 минут?
Ответ дайте в км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 6 минут
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6
км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к
моменту их встречи проходит на 300 метров больше, чем второе, и
возвращается в точку А через 5 минут после встречи. Найдите длину
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 4.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из
двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина
которой равна 40 км. Через сколько минут мотоциклисты
поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 25 км/ч
больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км,
одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля.
Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после
старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут
следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после
отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36
минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость
мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч.
Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе
протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на
финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась
средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик
в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в
км/ч.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и
того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя
один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого
круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минут
назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8
км/ч меньше скорости второго.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное
движение в противоположных направлениях два тела. К моменту их
встречи первое тело проходит на 200 м больше, чем второе, и
возвращается в точку А через 25 мин после встречи. Найдите длину
Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте со скоростями v 1 и v 2 (v 1 > v 2 ) и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью v 1 – v 2 . , получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку:
Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v 1 и v 2 соответственно (v 1 > v 2 соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v 1 — v 2 и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.
Задача 3 . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Пусть скорость второго автомобиля х км/ч. Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это - то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение
откуда 160 — 2х = 42, т. е. х = 59.
Ответ . 59 км/ч
Тренировочные задачи
Т3.1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 15 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч, скорость второго равна 80 км/ч. Сколько минут с момента старта пройдет, прежде чем первый автомобиль будет опережать второй ровно на 1 круг?
Т3.2. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Т3.3. Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?
Т3.4. Часы со стрелками показывают 9 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в третий раз поравняется с часовой?
Т3.5. Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг?
Т3.6. Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?
Т3.7. Две точки равномерно вращаются по окружности. Первая совершает оборот на 5 секунд быстрее второй и делает за минуту на 2 оборота больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает вторая точка?
Т3.8. Из точки А круговой трассы одновременно начина ют равномерное движение в противоположных направлениях два тела. В момент их встречи первое тело проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Продолжаем рассматривать задачи на движение. Есть группа задач, которая отличается от обычных задач на движение – это задачи на круговое движение (круговая трасса, движение стрелок часов). В этой статье мы с вами такие задачи и рассмотрим. Принципы решения те же самые, та же (формула закона прямолинейного движения). Но есть небольшие нюансы в подходах к решению.
Рассмотрим задачи:
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
На первый взгляд, кому-то задачи на круговое движение могут показаться сложными и какими-то запутанными в сравнении с обычными задачами на прямолинейное движение. Но это только на первый взгляд. Данная задача легко превращается в задачу на прямолинейное движение. Как?
Мысленно развернём круговую трассу в прямую. На ней стоят два мотоциклиста. Один из них отстаёт от другого на 11 км, так как сказано в условии, что длина трассы 22 километра.
Скорость отстающего на 20 километров в час больше (он догоняет того, кто впереди). Вот вам и задача на прямолинейное движение.
Итак, искомую величину (время, через которое они поравняются) примем за х часов. Скорость первого (находящегося впереди) обозначим у км/ч, тогда скорость второго (догоняющего) будет у + 20.
Занесем скорость и время в таблицу.
Заполняем графу «расстояние»:
Второй проезжает расстояние (до встречи) на 11 км больше, значит
11/20 часа это то же, что и 33/60 часа. То есть, до их встречи прошло 33 минуты. Как переводить часы в минуты, и наоборот, можете посмотреть в статье « » .
Как видим, сама скорость мотоциклистов в данном случае не имеет значения.
Ответ: 33
Решите самостоятельно:
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 25 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 112 км/ч, и через 25 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Данную задачу так же можно интерпретировать, то есть представить её, как задачу на прямолинейное движение. Как? Просто …
Два автомобиля одновременно начинают движение в одном направлении. Скорость первого равна 112 км/ч. Через 25 минут он опережает второго на 25 км (т.к. сказано, что на один круг). Найти скорость второго. Очень важно в задачах на движение представить сам процесс этого движения.
Сравнение произведем по расстоянию, так как нам известно, что один опередил другого на 25 километров.
За x принимаем искомую величину – скорость второго. Время движения 25 минут (25/60 часа) для обоих.
Заполним графу «расстояние»:
Расстояние, пройденное первым, больше расстояния, который прошёл второй на 25 км. То есть:
Скорость второго автомобиля 52 (км/ч).
Ответ: 52
Решите самостоятельно:
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Данная задача представляет относительную сложность. Что сразу стоит отметить? Это то, что мотоциклист проходит с велосипедистом одинаковое расстояние, догоняя его первый раз. Затем он снова догоняет его второй раз, при чём разница пройденных расстояний после первой встречи составляет 30 километров (длина круга). Таким образом, можно будет составить два уравнения и решить их систему. Нам не даны скорости участников движения, поэтому можно будет ввести две переменные. Система из двух уравнений с двумя переменными решается.
Итак, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч.
Сорок минут это 2/3 часа, 8 минут это 8/60 часа, 36 минут это 36/60 часа.
Скорости участников обозначим за х км/ч (у велосипедиста) и у км/ч (у мотоциклиста).
В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 8 минут, то есть через 8/60 часа после старта.
До этого момента велосипедист был в пути уже 40+8=48 минут, то есть 48/60 часа.
Запишем эти данные в таблицу:
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть
Затем мотоциклист второй раз догнал велосипедиста. Произошло это через 36 минут, то есть через 36/60 часа после первого обгона.
Составим вторую таблицу, заполним графу «расстояние»:
Так как сказано, что через 36 минут мотоциклист снова догнал велосипедиста. Значит, он (мотоциклист) проехал расстояние равное 30 километрам (один круг) плюс расстояние, которое за это время проехал велосипедист. Это ключевой момент для составления второго уравнения.
Один круг - это длина трассы, она равна 30 км.
Получаем второе уравнение:
Решаем систему их двух уравнений:
Значит у = 6 ∙10 = 60.
То есть скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.
Ответ: 60
Решите самостоятельно:
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Следующий тип задач на круговое движение, можно сказать, «уникален». Есть задания, которые решаются устно. И есть такие, которые без понимания и внимательности при рассуждениях решить крайне сложно. Речь идёт о задачах про стрелки часов.
Вот пример простейшей задачи:
Часы со стрелками показывают 11 часов 20 минут. Через сколько минут минутная стрелка в первый раз поравняется с часовой?
Ответ очевиден, через 40 минут, когда будет ровно двенадцать. Даже если сразу не смогли понять, то нарисовав циферблат (сделав эскиз) на листке, вы без труда определите ответ.
Примеры других задач (непростых):
Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой? Ответ: 325
Часы со стрелками показывают 2 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в десятый раз поравняется с часовой? Ответ: 600
Решить самостоятельно:
Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Вы убедились, что запутаться очень легко?
Вообще, я не сторонник давать подобные советы, но здесь он нужен, так как на ЕГЭ с такой задачей можно легко запутаться, вычислить неверно или просто потерять много времени на решение.
Вы можете решить данную задачу за одну минуту. Как? Просто!
*Дальнейшая информация в статье закрыта и доступна только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.
На этом всё. Успехов Вам!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Движение по окружности
Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут
следом за ним отправился мотоциклист.Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз.
Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/
Решение. Пусть х - скорость велосипедиста. Т.к. до первой встречи велосипедист ехал 30+10=40 мин, а мотоциклист 10 мин, то скорость мотоциклиста будет в четыре раза больше, т.е. 4х.
0,5х - это расстояние, которое проехал велосипедист после первой встречи до второй встречи за полчаса.30+0,5х - проехал мотоциклист после первой встречи до второй встречи. Это же расстояние равно 4х*0,5 км.Уравнение: 30 + 0,5x = 4x*0,5
30+0,5x=2x1,5x=30
x = 20 км/ч - скорость велосипедиста 4·20 = 80 км/ч - скорость мотоциклиста.
Ответ: 20 и 80.
Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?
Решение. Пусть скорость первого тела х м/мин, а второго у м/мин, и пусть длина окружности равна L.Тела начинают двигаться одновременно из одной точки.
За 112 мин первое тело пройдет дугу 112х, а второе 112у.
Причем, второе проходит окружность + дугу 112х. Уравнение 112у - 112х =L (1)
При движении в противоположных направлениях: 16у + 16х = L (2)
40 - 26 = 14 метров тела прошли навстречу друг другу за 12сек=1/5 мин: 12(х + у) = 14 (3)
Вычтем из (1) - (2). Получим 96у -128х = 0 -- 3у = 4х -- х= 3у/4.
Подставим в (3): 1/5 *(3у/4 +у) =14 у=40, х=30 - скорости тел.
Из (2) найдем L: 16(у+х) = 16(40 + 30) = 1120 - длина окружности.
Лыжные соревнования проходят на круговой лыжне. Первый лыжник проходит один круг на 2 минуты быстрее второго и через час опережает второго ровно на один круг. За сколько минут второй лыжник проходит один круг.
Пусть длина окружности равна S метров (в этой задаче и спорте её называют круговой лыжней и кругом).Пусть первый лыжник проходит 1 круг за х минут, тогда второй - за х+2 минуты. Скорость первого лыжника S/x м/мин, а второго S/(x+2) м/мин.
За 1 час первый проходит 60*S/x метров, а второй 60*S/(x+2) метров. А т.к. первый проходит на 1 круг больше, т.е. на S метров, то получаем уравнение:
60·S/x - 60·S/(x+2) = S, разделим обе части на S.
60/x - 60(x+2) =1 -- x2 + 2x - 120 = 0 -- x=10 (х=–12 не удовл. усл.)
Первый проходит круг за 10 минут, а второй за 12. Ответ: 12.
Два тела движутся по окружности в одну сторону. Первое проходит круг на 3 минуты быстрее второго и догоняет второе каждые полтора часа. За сколько минут первое тело проходит один круг?
Решение. Пусть длина окружности S.
Пусть первое тело проходит 1 круг за t минут, тогда за 1 минуту тело проходит путь S/t, аналогично второе - за минуту S/ (t+3) за 90 минут первое - 90*S/t, второе 90*S/(t+3).
составим уравнение:90S/t = 90S/(t+3) + S
90/t - 90/(t+3) = 1
t2 +3t - 270 = 0
t=15, t=-18 (не подходит)Ответ: 15.
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?
Решение.Изначально расстояние между мотоциклистами равно 20:2 = 10 км.
Пусть второй догонит первого через t часов (первый раз). У первого скорость х км/ч, а у второго х+12 км/ч.
Разница пройденного пути 10 км. t(x+12) - tx = 10 tx +12t - tx = 10
12t = 10; t=10/12 часа = 10*60/12 минут = 50 минут.
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Решение. Пусть второе тело проходит до встречи х км, тогда первое проходит х+100 км. После встречи первое за 9 минут пройдет х метров со скоростью v1=x/9, а второе за 16 минут пройдет х+100 метров со скоростью v2=(х+100)/16.
До встречи время первого (х+100)/v1 = 9(x+100)/x, время второго до встречи х/v2= 16x/(x+100).
Приравняем 9(х+100)/х = 16х/(х+100)
9(х+100)2 = 16х2
3х+300=4х х=300
Весь путь равен х+х+100=700 Ответ: 700.
