Cтраница 1

Составление уравнений, отражающих химическое взаимодействие окисдителя и восстановителя, сводится к определению коэффициентов при формулах исходных веществ и продуктов реакции, состав которых выявлен из опыта.  

Составление уравнений для определения числа критериев рекомендуется выполнять так, чтобы в каждое из уравнений входили три переменные величины аъ а2, а3, а оставшиеся величины а4 и я включаются в уравнения поочередно.  

Составление уравнений возможно только для простейших объектов. Более сложные объекты, к которым относится большинство объектов нефтяной промышленности, изучаются пока экспериментально. Свойствами объекта, используемыми при изучении систем автоматического регулирования, являются само-выравнивание, емкость и запаздывание.  

Составление уравнений в разностной форме произведем для проводящей среды и для диэлектрика, а также для одномерных и двухмерных задач, в которы-х изменение величин поля по расстоянию происходит соответственно в одном или двух координатных направлениях.  

Составление уравнений для виртуальных вариаций демонстрируется на примере учета неголономных связей. Показано, что уравнение голономной связи с параметром является идеальной связью, когда оно описывает огибающую. Обсуждаются правила виртуального варьирования связей при двух независимых переменных.  

Составление уравнений имеет много общего с таким переводом. В легких случаях словесная формулировка почти механически распадается на ряд последовательных частей, каждую из которых можно непосредственно выразить математическими символами. В более трудных случаях условие состоит из частей, которые не могут быть непосредственно переведены на язык математических символов. В этом случае мы должны меньше обращать внимания на словесную формулировку и сосредоточить свое внимание на смысле этой формулировки. Перед тем, как приступить к математической записи, возможно нам придется по-иному сформулировать условия, все время имея в виду математические средства для записи этой новой формулировки.  

Составление уравнений таких химических процессов не представляет никаких трудностей.  

Составление уравнений в вариациях в общем виде рассмотрено ниже.  

Составление уравнения углов закручивания Q и определение его производных.  

Составление уравнений возможно только для простейших объектов. Более сложные объекты, к которым относится большинство объектов нефтяной промышленности, изучаются пока экспериментально. Свойствами объекта, используемыми при изучении систем автоматического регулирования, являются самовыравнивание, емкость и запаздывание.  

Составление уравнений аналитическим путем возможно только для относительно простых объектов, процессы или физические явления в которых достаточно хорошо изучены. В общем случае динамические свойства регулируемых объектов описываются дифференциальными уравнениями, выражающими зависимость между выходными и входными величинами во времени. Эти уравнения составляют на основании физических законов, определяющих переходные процессы в объектах.  

Составление уравнений (6 - 58) и их решение относительно Л и В. Общий метод решения этой задачи может быть указан при условии, что А и В входят в уравнение линейно.  

ОТДЕЛЕНИЕ VI.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 5. Составление уравнения c одним неизвстным.

Всякая арифметическая задача состоит в том, что по нeскольким извeстным величинам и по данным соотношениям между этими извeстными величинами и другими, неизвeстными, отыскиваются нeизвeстные. Алгебра дает особый способ для рeшения арифмети-ческих задач. Этот способ основан на том, что словесно выраженные условия арифметических задач могут быть переводимы на алгебраический язык, т.е. выражаемы посредством алгебраичeских формул.

Перевод словeсно выражeнных условий задачи на алгeбраический язык вообщe называeтся составлением формул.

Составить по условиям задачи уравнение с одним неизвeстным значит так перевести эти условия на алгебраический язык, чтобы вся совокупность этих условий выразилась одним уравнением, содeржащим одно неизвeстное. Для этого необходимо, чтобы число отдeльных независимых между собою условий задачи было бы равно числу подразумeваемых в ней неизвeстных.

Вслeдствиe чрезвычайного разнообразия задач приемы составления уравнений, соотвeтствующих этим задачам, чрезвычайно разнообразны. Общих правил для составления уравнений нeт. Но есть одно общеe указание, которое руководит нашим рассуждением при переводe условий задачи на алгебраический язык и позволяет нам с самаго начала рассуждения идти вeрным путем к достижению окончательной цeли. Это общее указание, или общий принцип составлeиия уравнения мы выразим слeдующим образом:

Чтобы составить по условиям задачи уравнение с одним неизвeстным, нужно:

1) выбрать между неизвeстными, которые в задачe или прямо указываются, или подразумeваются, какое-нибудь одно, принимаемое за первое, и обозначить это неизвeстноe какой-нибудь буквой, напр., х ;

2) посредством этого обозначения и обозначений, данных в задачe, выразить всe величины, о которых в задачe прямо говорится, или которые подразумeваются, наблюдая, чтобы при составлении таких выражений постепенно принимались во внимание всe данные в задачe числа и всe относящиеся к даиным или к неизвeстным величинам условия;

3) послe такого примeнения всeх условий разыскать между составленными или просто записанными выраженияии два таких, которые в силу одного из данных условий должны быть равны между собою, и соeдинить эти выражения знаком равенства.

Примeним этот принцип к рeшению двух задач:

Задача 1 я. Число монет в одном кошелькe вдвое меньше, чeм в другом. Если выложить из первого шeсть монeт, а во второй прибавить восемь монет, то число монeт в первом окажется в семь раз менee, чeм во втором. Узнать, сколько монет в каждом кошелькe?

В этой задачe указаны нeсколько извeстных и нeсколько неизвeстных величин. Примем за первое неизвeстное число монет пeрвого кошелька и.обозначим его через х. Затeм займемся обозначeниeм всeх величин, к которым относятся условия задачи.

Число монeт перваго кошелька есть х . Отношениe чисел монет во втором и первом кошельках 2 . Значит число монет второго кошeлька 2х.

Из пeрвого вынимают 6 монeт. Поэтому в первом кошeлькe остаeтся монeт х -6 .

Во второй прибавляют 8 монет. Следовательно, во втором кошельке получится монет 2х +8 . Новое отношение между числами монет второго и первого кошелька есть . Оно также равно 7 . На этом основании составляем уравнение , решая которое, получим х= 10 , после чего нетрудно определить другие неизвестные, о которых мы здесь упоминали.

Если бы мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька и обозначили бы его для отличия от предыдущаго обозначения через у , то, как легко убедиться, получилось бы другое уравнение, именно (у + 8 ):( у / 2 -6 )=7 , которое также разрешает задачу и дает ответ у =20 .

Можно было бы принять за первое неизвестиов число монвть, оказавшееся в первом кошельке после выкладки из него 6 монет; тогда, обозначив это неизвестное через z и идя тем же путем, каким мы шли при составлении первого уравнения, мы получили бы уравнение , откуда z = 4 .

Но можно было бы изменить также сам путь соотавления уравнения, напр., тем, что мы прежде приняли бы во внимание измененное отношение между числами монет, а составление уравнения основали бы на том, что известно о первоначальном отношении. В этом случае составление уравнения велось бы так:

Число монет первого кошелька после выкладки есть z . Выложено 6 монет. Значит первоначальное число монет первого кошелька z + 6. Измененное отношение между числами монет 7 . Поэтому измененное число монет второго кошелька 7z. Прибавлено было 8 монет. Следовательно, первоначальное число монет второго кошелька 7z. - 8 . Первоначальное отношение между числами монет есть Оно же равно 2 . На этом основании имеем уравнение , совместное с предыдущим, хотя и отличающееся от него по виду.

Если бы, идя этим вторым путем, мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька после прибавления в него 8 монет, то, обозначив это неизвестное для отличия через и , получили бы уравнение (и -8 ):( и / 7 + 6 )=2 , откуда и =28 .

Эти разъяснения показывают, что, руководствуясь одним и тем же общим правилом для составления уравнений, мы все-таки получаем в каждой задаче разнообразные способы для достижения этой цели. Лучшим способом считается тот, который проще выражает условия задачи и быстрее ведет как к составлению, так и к решению уравнения. В данном случае первый и третий способы одинаково удобны для решения уравнения, но первый все-таки проще и потому лучше остальных.

Применяя указанное правило составления уравнений, нужно помнить, что во всякой правильно вираженной эадаче должно быть принято во внимание каждое данное число и каждое из выраженных условий.

Задача 2-я. Из города А выходит путешественник, проходящий в день по 20 верст. Через два дня навстречу ему выходит из города В другой путешественник, который проходит ежедневно по 30 верст. Расстояние между А иВ равно 190 верст. Спрашивается, когда и где встретятся оба путешественника?

1-й способ. Примем за первое неизвестное время движения первого путешественника от выхода из А до встречи, а за последнее условие то, что расстояние между А и В равно 190 верст. Тогда рассуждение будем вести так:

ІІоложим, что первый шел до встречи х дней. Ежедневно он проходил по 20 верст. Поэтому он прошел всего 20х верст.

Второй вышел позднее на 2 дня. Значит, он шел до встречи х -2 дня. Ежедневно он проходил по 30 верст. Следовательно, он прошел всего 30 (х -2 ) верст. Вместе оба путешественника прошли [20х + 30 (х -2 )] версть. Все расстояние между А и В равно 190 верст. На этом основании находим уравнение

20х + 30 (х -2 ) =190 ,

откуда х= 5 . Из этого видим, что первый путешественник шел 5 дней и прошел 100 верст, второй шел 3 дня и прошел 90 верст.

2-й способ. Примем за первое неизвестное расстояние, пройденное первым путешественником от выхода до встречи, и за последнее условие то, что второй путешественник вышел позднее первого на 2 дня. Тогда рассуждение поведется так:

Полагаем, что первый прошел до встречи у верст. Ежедневно он проходил по 20 верст. Поэтому он шел всего у / 20 дней.

Второй прошел всего (190 -у ) верст. Ежедневно он проходил по 30 верст. Значит он шел всего дней.

Разность между временами движения обоих есть и равна 2 . Следовательно, находим уравнение , откуда у =100 .

3-й способ. Первое неизвестное есть время движения второго путешественника от выхода из В до встречи, последнее условие то, что первый путашественник проходит ежедневно по 20 верст.

Положим, что второй идет до встречи z дней. Значит,первый пройдет (z +2 ) дня. Проходя ежедневно по 30 верcт, второй пройдет всeго 30z верст. Так как обоим нужно пройти 190 верст, то первому останется сделать (190 -30z ) верст. Для этого он должен делать ежедневно по верст. Так как это выражение равно 20 , то получается уравнение , откуда z = 3.

4-й способ. Первое неизвестное есть расстояние, пройденное вторым путешественником до встречи, последнее условие то, что второй проходит ежедневяо 10-ю верстами более первого.

Полагаем, что второй прошел до встречи и верст. Значит первому оставалось еще пройти (190 -и ) верст. Так как до выхода второго он уже прошел 40 верст, то после выхода второго ему оставалось еще пройти (150 -и ) верст. Разность расстояний, проходимых одновременно обоими, есть (2и -150 ) верст. Время их общего движения есть и / 30 дней.Следовательно, второй в день проходит больше первого на (2и -150 ) : и / 30 верст. Так как это выражение равно 10 , то получаетея уравнение (2и -150 ) : и / 30 =10 , которое дает и = 90 .

Предыдущие объяснения показывают, что разнообразие способов для составления уравнений в одной и той же задаче зависит как от порядка последовательно обозначаемых величин, так и от порядка последовательно принимаемых во внимание условий.

231. Два лица имеют вместе 38 рублей, причем у первого 6-ю рублями больше денег, чем у второго. Сколько денег у каждаого?

231. Два лица имеют вместе 114 рублей, причем у первого 18-ю рублями больше денег, чем у второго. Сколько денег у каждого?

232. В одном доме окон на 15 меньше, чем в другом, всего же в обоих домах 51 окно. Сколько окон в каждом?

232. В одном доме окон на 6 меньше, чем в другом; всего же в обоих домах 62 окна. Сколько окон в каждом?

233. В двух кошельках находится 81 рубль. В первом денег вдвое меньше, чем во втором. Сколько денег в каждом?

233. В двух кошельках находится 72 рубля. В первом денег в пять раз меньше, чем во втором. Сколько денег в каждом?

234. Отец старше сына втрое, а сумма лет обоих их равна 48 годам. Определить возраст обоих.

234. Отец старше сына вдвое, а сумма лет обоих равна 13 годам. Определить возраст обоих.

235. Сын моложе отда вчетверо, а разность их лет равна 27 годам. Сколько леть каждому?

235. Сын моложе отца впятеро, а разность их лет составляет 32 года. Сколько лет каждому?

236. В трех корзинах находится 47 яблок, причем в первой и во второй поровну, а в третьей на 2 яблока больше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

236. В трех корзинах находится 110 яблок, причем в первой и в третьей поровну, а во второй на 4 яблока меньше, чем в каждой из остальных. Сколько яблок в каждой корзине?

237. Три куска серебра весят вместе 48 фунтов. Первый тяжелее второго на 12 ф., а третий тяжелее первого на 9 фунтов. Сколько весит каждый кусок?

237. Три куска серебра весят вместе 33 ф.. Первый легче второго на 5 фунтов, а третий легче первого на 2 фунта. Сколько весит каждый кусок?

238. Сын моложе отца на 20 лет и старше дочери на 5 лет. Сумма лет всех троих равна 60 годам. Сколько лет каждому

238. Мать старше сына на 21 год и моложе отца на 7 лет. Сумма лет всех троих равна 64 годам. Сколько лет каждому?

239. На трех полках лежит всего 66 книг, причем на нижней втрое больше, а на средней вдвое болыьше, чем на верхней. Сколько книг на каждой полке?

239. На трех полках лежит всего 60 книг, причем на нижней в шесть раз больше, а на верхней в пять раз больше, чем на средней. Сколько книг на каждой полке?

240. Лес, сад и луг стоят вместе 10800 р.. Луг дороже сада в 2 раза, а лес дороже луга в три раза. Что стоит каждый из них отдельно?

240. Лес, сад и луг стоят вместе 17600 р.. Лес дороже сада в 3 раза, а луг дорожо леса в 4 раза. Что стоит каждый из них отдельно?

241. Разделить число 21 на две части так, чтобы кратное отношсние первой части ко второй равнялось дроби 3 / 4 .

241. Разделить число 48 на две части так, этобы кратное отношение второй части к первой равнялось дроби 5 / 3 .

242. Разделить число 88 на такие две части, чтобы частные от деления первой части на 5, а второй на 6 были равны.

242. Разделить число 55 на такие две части, чтобы частные от деления первой части на 7, а. второй на 4 были равны.

243. Сумма двух чисел 85, а разность их 15. Найти оба числа.

243. Сумма двух чисел 72, а разность их 8. Найти оба числа.

244. Разность двух чисел 8, а кратное отношение их равно дроби 3 / 2 .Найти эти числа.

244. Разность двух чисел 12, а кратное отношение их равно дроби 5 / 3 . Найти эти числа.

245. Разделить число 46 на две чаости так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 7 равнялась 2.

245. Разделить число 59 на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на 3 и второй на 5 равнялась 1.

246. Разделить число 75 на две части так, чтобы большая часть превышала втрое разность между обеими частями.

246. Разделить число 56 на две части так, чтобы меньшая часть превышала втрое разность между обеими частями.

247. Сумма двух чисел 64. При делении большего числа на меньшее получается в частном 3 и в остатке 4. Найти эти числа.

247. Сумма двух чисел 45. При делении большего числа на меньшее получается в частном 5 и в остатке 3. Найти эти числа.

248. Разность двух чисел 35. При делении большего числа на меньшее получается в частном 4 и в остатке 2. Найти эти числа.

248. Разность двух чисел 23. При делении большего числа на меньшее получается в частном 2 и в остатке 11. Найти эти числа.

249. Одно из неизвестных двух чисел больше другого на 5. Если разделить меньшее число на 4, а большее на 3, то первое частное будет 4-мя меньше второго. Найти оба числа.

249. Одно из двух неизвестных чисел больше другого на 15. Если разделить большее число на 9, а меньшее на 2, то первое частное будеть 3-мя меньше второго. Найти оба числа.

250. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 6. Если разделить большее число пополам, то полученное частное будет тремя единицами меньше другого числа. Найти оба числа.

250. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 18. Если разделить большее число на три, то полученное частное будет двумя единицами больше другого числа. Найти оба числа.

251. В одном резервуаре вдвое больше воды, чем в другом; если же перелить из первого во второй 16 ведер, то в обоих окажется воды поровну. Сколько воды в каждом?

251. В одном резервуаре втрое больше воды, чем в другом; если же перелить из первого во второй 22 ведра, то в обоих окажется воды поровну, Сколько воды в каждом?

252. На рынке у двух торговок имеется всего 220 яиц; если бы вторая из них отдала первой 14 яиц, то число яиц у каждой из них оказалось бы одинаковым. Сколько яиц у каждой?

252. На рынке у двух торговок имеется всего 186 яиц; если бы вторая из них отдала первой 10 яиц, то число яиц у каждой из них оказалось бы одинаковым. Сколько яиц у каждой?

253. Некто имеет в правом кармане в 4 раза более рублей, чем в левом; если же он переложит из правого кармана в левый 6 р., то в правом окажется денег только в 3 раза более, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

253. Некто ииеет в правом кармане в 3 раза более рублей, чем в левом; если же переложить из левого кармана в правый 5 рублей, то в правом окажется денег в пять раз более, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане?

254. При расчете на фабрике двух рабочих первый из них получил за работу 12 рублями больше второго, и ему же после этого второй работник уплатил 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег втрое больше, чем второй. Сколько заработал каждый?

254. При расчете на фабрике двух рабочих первый из них получил за работу 20 рублями меньше второго, но при этом второй работник возвратил ему 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег вдвое меньше второго. Сколько заработал каждый?

255. У одного мальчика 30 копеек, у другого 11 коп.. Сколько раз им следуегь дать по одной копейке, чтобы у первого оказалось денег вдвое больше, чем у второго?

255. У одного мальчика 48 копеек, у другого 22 коп.. Сколько раз они должны истратить по одной копейке, чтобы у первого оказалось втрое больше денег, чем у второго?

256. Отцу 40 лет, а сыну 12 лет. Сколько лет тому назад отец был впятеро старше сына?

256. Отцу 49 лет, а сыну 11 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

257. Один помещик имеет овец вчетверо больше, чем другой. Если бы оба прикупили по 9 овец, то у первого было бы овец втрое больше, чем у второго. Сколько овец у каждого?

257. Один помещнк имеет овец втрое меньше, чем другой. Если бы оба продали по 10 овец, то у первого оказалось бы овец впятеро меньше, чем у второго. Сколько овец у каждого?

258. Отец на 39 лет старше сына, а через 7 лет будет старше сына в 4 раза. Сколько лет тому и другому?

258. Отцу и сыну вместе 88 лет, а 8 лет тому назад отец был старше сына в 7 раз. Сколько лет тому и другому?

259. В одном резервуаре 48 ведер, а в другом 22 ведра воды. Из первого отлили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из каждого?

259. В одном резервуаре 42 ведра, а в другом 8 ведер воды. В первый прилито было воды втрое больше, чем во второй, и тогда оказалось в первом в четыре раза больше воды, чем во втором. Сколько ведер прилито в каждый?

260. Два лица, играя отдельно в карты, имели при начале игры- первый 72 рубля, второй 21 рубль. Первый проиграл втрое больше того, сколько второй выиграл. После игры оказалось у первого вдвое больше денег, чем у второго. Сколько выиграл второй и проиграл первый?

260. Два лица, играя отдельно в карты, имели при начале игры- первый 25 рублей, второй 12 рублей. Первый выиграл вдвое больше того, сколько второй проиграл. После игры оказалось у первого впятеро больше денег, чем у второго. Сколько проиграл второй и выиграл первый?

261. Разносчик продал в первый раз часть 2 / 7 числа бывших у него яблох, во второй раз р того же числа; тогда у него осталось всего 8 яблок. Сколько у него было яблок?

261. Разносчик продал в первый раз 1 / 9 числа бывших у него яблок, во второй раз 5 / 6 того же числа; тогда у него осталось всего 4 яблока. Сколько у него было яблок?

262. Из резервуара с водой отлита была сначала треть всего количества воды, затем 5 / 6 остатка и тогда осталось только 6 ведер. Сколько было воды в резервуаре?

262. Из резервуара с водой отлита была сначала часть 3 / 5 всего количества, затем 3 / 4 остатка и тогда осталось только 5 ведер. Сколько было воды в резервуаре?

263. В одном обществе было 40 человек мужчин, женщин и детей. Число женщиы составляло 3 / 5 числа мужчин, а число детей составляло 2 / 3 числа мужчин и женщин вместе. Сколько было мужчин, женщин и детей?

263. В одном обществе было 72 человека мужчин, женщин и детей. Число мужчин составляло 2 / 3 числа женщин, а число детей составляло 4 / 5 числа мужчин и женщин вместе. Сколько было мужчин, женщин и детей?

264. За 30 аршин сукна двух сортов заплачено всего 128 рублей; аршин первого сорта стоит 4 1 / 2 р., а аршин второго 4 р.. Сколько куплено аршивн того и другого сорта?

264. За 27 аршин сукна двух сортов заплачено всего 120 р.; аршин первого сорта стоит 5 руб.; аршин второго 3 р. 75 к.. Сколько куплено аршин того и другого серта?

265. Чайиый торговец продал 38 фунтов чаю двух сортов, ценою по 3 р. за фунт первого сорта и по 1 р. 60 к. за фунт второго сорта, и выручил при этом за весь первый сорт 22-мя рублями больше, чем за второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?

265. Чайный торговец продал 110 фунгов чаю двух сортов, ценою по 4 1 / 2 р. за фунт первого сорта и по 2 р. 25 к. за фунт второго сорта, и выручил при этом за первый сорт 45-ю рублями меньше, чем за второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?

266. Подрядчик нанял работника с условием платить ему 90 коп. за каждый рабочий день и вычитать с него 40 коп. за каждый нерабочий день. По прошествии 12 дней рабочий получил 6 р. 90 к.. Сколько дней он работал?

266. Подрядчик нанял работника с условием платить ему по 80 коп. за каждый рабочий день и вычитать с него 50 коп. за каждый нерабочий день. По прошествии 50 дней рабочий получил 21 р. 80 в.. Сколько дней он прогулял?

267. А и В играют на биллиарде с условием, что выигравший партию получаоет с проигравшаего 76 к.; после 20 партий оказалось, что В выиграл всего 4 р. 50 к.. Сколько партий он выиграл?

267 А и В играют на биллиарде с условием, что выигравший партию получаоет с проигравшаего 50 к.; после 12 партий оказалось, что А выиграл всего 2 р.. Сколько партий он проиграл?

268. Два курьера выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 300 верст, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час 12 верст, второй 13 верст. Когда они встретятся?

268. Два курьера выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 280 верст, и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час 11 верст, второй 17 верст. Когда они встретятся?

269. С двух станций железной дороги, находящихся в расстоянии 77 верст, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 31 1 / 2 версть и 18 2 / 3 верст в час, причем первый идет за вторым. Когда он догонит?

269. С двух станций железной дороги, находящихся в расстоянии 38 верст, выходят одновременно два поезда и идут по одному направлению со скоростями 25 1 / 4 верст и 20 1 / 2 верст в час, причем первый идет за вторым. Когда он догонит?

270. Со станции в 12 ч. дня выходит пассажирский поезд, делающий по 32 в. в час. Через 45 минут с той же станции выходит курьерский поезд, делающий по 42 в. в час. В котором часу курьерский поезд догонит пассажирский?

270. Со станции в 9 часов утра выходит пассажирокий поезд, делающий по 28 в. в час. Через час с четвертью с той же станции выходит курьерский поезд, делающий по 40 в. в час. В котором часу курьерский поезд догонит пассажирский?

271. Какой капитал нужно отдать в рост по 6%, чтобы через 1 год 2 месяца получить прибыли 224 р.?

271. Какой капитал нужно отдать в рост по 8%, чтобы в 7 месяцев получить прибыли 182 р.?

272. По скольку процентов нужно отдать в рост капитал 4400 руб., чтобы через 1 год 5 месяцев получить прибыли 280 р. 50 к.?

272. По скольку процентов нужно отдать в рост капигал 1800 р., чтобы через 11 месяцев получить прибыли 93 р. 60 к.?

273. Купец, продав товар за 299 р., выручил 15% прибыли. Что стоит товар ему самому?

273. Купец, продав товар за 161 р., получил 7 1 / 2 % прибыли. Что стоит товар ему самому?

274. При продаже товара на сумму 429 р. получено убытку 2 1 / 2 %. Что стоит товар?

274. При продаже товара на сумму 366 р. получено убытку 8 1 / 2 % Что стоит товар?

275. По векселю за 10 месяцев до срока было уплачено 1120 р., при коммерческом учете по 8%. Найти валюту векселя.

275. По векселю за 1 год 3 месяца до срока было уплачено 839 р. 60 коп. при коммерческом учете по 7%. Найти валюту векселя.

276. Бассейн наполаяется одной трубой в 3 часа, другой в 5 часов. Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?

276. Басеейн наполняется одной трубой в 7 1 / 2 часов, другой в 5 часов. Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?

277. Бассейн наполняется одной трубой в 4 часа, а через другую может весь вытечь в 6 часов. Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

277. Бассейн наполняется одной трубой в 2 1 / 3 часа, а через другую может весь вытечь в 2 ч. 48 м.. Во сколко времени наполнится бассейн при одновременном действии обеих труб?

278. Два работника вместе кончают работу в 3 часа 36 мин.; один первый может ее исполнить в 6 часов. Во сколько времени сделает ту же работу второй?

278. Два работника вместе кончают работу в 12 часов; один первый может ее исполнить в 20 часов. Во сколько времена сделает ту же работу второй?

279. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается, через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в 3 часа, через вторую в 2 часа, а через третью вся вода может вытечь из бассейна в 6 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если открыть все три трубы?

279. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается, через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в 2 часа, через вторую в 5 часов, а чероез третью вся вода может вытечь из бассейна в 10 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если открыть все три трубы?

280. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 5 часов, вторая наполняет в 15 часов, а через третью весь бассейн вытекает в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновременном действин всех труб?

280. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 6 часов, вторая наполняет в 18 часов, а через третью весь бассейн вытекает в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновременном действии всех труб?

281. ІІоезд железной дороги идет из А в В со средней скоростью 30 верст в час, затем возвращается из В в А со скоростью 28 верст в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 14 1 / 2 часов. Сколько верст от А до В ?

281. ІІоезд железной дороги идет из А в В со средней скоростью 24 версты в час, затем возвращается из В в А со скоростью 30 верст в час. Весь проезд туда и обратно он делает в 11 1 / 4 часов. Сколько верст от А до В ?

282. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 20 верст. Черезь 8 часов выходит поезд из В в А , проходящий 30 в. в час. Расстояние АВ равно 350 в.. На каком расстоянии от А поезда встретятся?

282. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 24 версты. Через 5 часов выходит поезд из В в А , проходящий 28 в. в час. Расстояние АВ равно 380 в., На каком расстоянии от В поезда встретятся?

283. Сумма трех чисел равна 70. Второе число при делении на первое дает в частном 2 и в остатке 1, третье при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа.

283. Сумма трех чисел равна 60. Второе число при делении на первое дает в частном 3 и в остатке 2, третье при делении на второе дает в частном 2 и в остатке 4. Найти числа.

284. Найти чиесло, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при деления на 8 дает в остатке 5, зная притом, что первое частное тремя больше второго.

284. Найти число, которое при делении на 7 дает в остатке 2, а при делении на 9 дает в остатке 4, зная притом. что первое частное двумя больше второго.

285. Некто, желая раздать имевшиеся при нем деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 15 копеек, то у него не хватит 10 коп., а если каждому дать по 13 коп., то останется 6 к. лишних. Сколько было нищих и сколько денег?

285. Некто, желая раздать имевшиеся при нем деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 8 коп., то останется 4 коп. лишних, а если каждому дать по 9 коп., то не хватит 2 коп.. Сколько было нищих и сколько денег?

286. Инженер размещает телеграфные столбы на некотором расстоянии. Если бы он поставил их на расстоянии 25 сажен один от другого, то надо было бы сделать еще 150 столбов, а если бы он увеличил расстояния между столбами на 5 сажен, то 70 столбов оказались бы лншними. Как велико расстояние и сколько изготовлено столбов?

286. Инженер размещаот телеграфные столбы на некотором расстоянии. Если бы он поставил их на расстоянии 30 сажен один от другого, то у него осталось бы лишних 100 столбов, а если бы он уменьшил расстояние столбов на 4 сажени, то надо было бы сделать еще 180 столбов. Как велико расстояние и сколько изготовлено столбов?

287. Некто при найме слуги обещал ему за год службы уплатить деньгамжи 144 руб. и дать одежду. Слуга расчелся через 7 месяцев а получил в уплату одежду и 54 рубля. Что стоила одежда?

287. Некто при найме слуги обещал ему за 7 месяцов службы уплатить деньгами 75 рублей и дать одежду. Слуга расчелся через 5 месяцев и получил в уплату одежду и 45 рублей. Что стоит одежда?

288. Заплачено за 46 пудов сахару на 195 руб. более, чем за 73 фунта чаю; 9 пудов сахару стоят на 30 рублей дешевле, чем 37 фунтов чаю. Что стоит фунт чаю и пуд сахару?

288. Заплачено за 21 фунт чаю на 238 рублей менее, чем за 40 пудов сахару; 15 фунтов чаю стоят на 2 руб. дороже, чем 4 пуда сахару. Что стоит фунт чаю и пуд сахару?

289. Помещик нанял двух крестьян за одинаковую поденную плату. Одному из них за 40 дней он отдал 7 р. 50 к. деньгами и 3 1 / 2 четверти овса, другому за 24 дня 4 руб. 80 к. деньгами и 2 четверти овса. Что стоит четверть овса?

289. Помещик нанял двух крестьян за одинаковую поденную плату. Одному из них за 56 дней он отдал 14 р. деньгами и 8 четвертей овса, другому за 88 дней 13 р. 50 к. деньгами и 15 четвертей овса. Что стоить четверть овса?

290. Заплачено за 25 аршин сукна и 21 арш. бархата 247 рублей. Известно, что 10 арш. бархата стоят 18-ю рублями дороже 13 аршин сукна. Что стоит аршин того и другого?

290. Заплачено за 15 аршин бархата и 52 арш. сукна 276 рублей. Известно, что 2 арш. бархата стоят 17-ю рублями дошевле 11 арш. сукна. Что стоит аршин того и другого?

291. Сумма цифр некоторого двузначного числа равна 12. Если от искомого числа отнят 18, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

291. Разность цифр единиц и десятков некоторого двузначного числа равна 3. Если к искомому числу прибавить 27, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

292. В некотором двузначном числе число десятков вдвое более числа единиц. Если цифры зтого числа переставим, то получим число, меньшее искомого на 36. Найти это число.

292. В некотором двузначном числе число десятков втрое менее числа единиц. Если цифры зтого числа переставим, то получим число, большее искомого на 36. Найти это число.

293. А играет в шашки с В и выигрывает у него из каждых четырех партий три, потом играет с С и у последнего выигрывает из каждых трех партий две. Всего А сыграл 21 партию и выиграл из них 15. Сколько партий сыграл он с В и с С ?

293. А играет в шашки с В и проигрывает ему из каждых восьми партий три, потом играет с С и проигрывает последному из каждых пяти партий две. В общем А сыграл 26 партий и проиграл из них 10. Сколько партий сыграл он с В и с С ?

294. Который теперь час, если 1 / 5 числа часов, прошедших от полудня, равна 1 / 3 числа часов, оставшихся до полуночи?

294. Который теперь час, если 1 / 11 числа часов, прошедших от полудня, равна 1 / 13 числа часов, оставшихся до полуночи?

295. Найти вес рыбы, зная, что хвост ее весит 2 ф., голова весит столько, сколько весит хвост и половина туловища, а туловище весит столько, столько голова и хвост.

295. Найти вес рыбы, зная, что голова ее весит 7 ф., хвост весит столько, сколько весит голова и половина туловища, а туловище весит сколько, сколько хвост и голова.

296. Некоторая сумма должна быть разделена можду двумя лицами так, чтобы части первого и второго относились между собой, как числа 5 и 3, и чтобы часть первого была на 50 руб. более 5 / 9 всей суммы. Как велика часть каждого?

296. Некоторая сумма должна быть разделена между двумя лицами так, чтобы части перваого и второго относились между собою, как числа 7 и 4, и чтобы часть второго была на 21 руб. меньше 5 / 12 всей сумиы. Как велика часть каждого?

297. Товар продан с убытком за 420 руб.; если бы его продали за 570 р., то полученная прибыль была бы в 5 раз более понесенного убытка. Что стоит товар?

297. Товар продан с прибылью за 520 р.; если бы его продали за 320 р., то получился бы убыток, составляющий 3 / 7 вырученной прибыли. Что стоит товар?

298. Числа аршин ситцу, содержащихся в трех кусках, относятся как 2:3:5. Если отрезать от первого куска 4 аршина, от второго 6 арш. и от третьего 10 арш., то оставшееся количество всего ситца составит 5 / 6 прежнего количества. Сколько аршин в каждом куске?

298.Числа аршин ситцу, содержащихся в трех кусках, относятся как 3:5:8. Если отрезать от первого 10 аршин, от второго 20 арш. и от третьего 30 арш., то оставшееся количество всего ситца составит 5 / 8 прежнего количества. Сколько аршин в каждом куске?

299. Из резервуара вылита сначала половина всей бывшей в нем воды и полведра, потом половина остатка и полведра, наконец еще половина остатка и полведра; после этого в резервуаре осталось 6 ведер. Сколько было воды вначале?

299. Из резервуара вылита треть бывшей в нем воды и треть ведра, потом треть остатка и треть ведра, наконец еще треть остатка и треть ведра; после этого в резервуаре осталось 7 ведер Сколько было воды вначале?

300. Несколько лиц делят некоторую сумму следующим образом; первый получает 100 р. и пятую часть остатка, второй 200 рублей и пятую часть нового остатка, третий 300 рублей и пятую часть остатка и т. д.. Оказалось, что вся сумма разделена на равные части. Как велика эта сумма, сколько участников в дележе и сколько досталось каждому?

300. Несколько лиц делят некоторую сумму следующим образом: первый получает 50 рублей и шестую часть остатка, второй 100 рублей и шестую часть нового остатка, третий 150 рублей и шестую часть остатка и т. д.. Оказалось, что вся сумма разделена на равные части. Как велика эта сумма, сколько участников в дележе и сколько досталось каждому?

Нижеследующие задачи отличаются от предыдущих тем, что данные выражены неявно, именно буквами. Эти задачи принадлежат к таким же типам, как прежние. При решении их повторяются важнейшие из тех приемов, которые применялись раньше, но, вследствие неявного вида данных, рассуждения имеют более общий и вместе с тем более отвлеченный характер. В новых упражнениях нужно так же, как и в прежних, заботиться прежде всего о том, чтобы выразить через главное неизвестное и через данные обозначения все величины, о которых в задаче прямо говорится, или которые в ней подразумеваются, и при этом нужно последовательно принимать во внимание все обозначения, данные в задаче, и все условия, относящиеся к данным и к искомым, когда таким образом все условия будут употреблены в дело, то сама собой явится мысль о том, как составить требуемое уравнение.

301. Разность двух чисел s q . Найти оба числа.

301.Разность двух чисел d , кратное отношение большего к меньшему q . Найти оба числа.

302. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была больше второй на число т и меньше третьей в п раз.

302. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была меньше второй на число т и больше третьей в п раз.

303. Одно число в а раз меньше другого. Если прибавить к,первому числу т , а ко второму п , то первая сумма будет в b раз меньше второй. Найти эти числа.

303. Одно число в а раз меньше другого. Если отнять от первого числа т , а от второго п , то первая разность будет в b раз больше второй. Найти эти числа.

304. Числитсль дроби меньше ее знаменателя на число а ; Если же от обоих членов дроби отнять по b т / п . Найти члены дроби.

304. Числитель дроби больше ее знаменателя на число а . Если же прибавить к обоим членам дроби по b , то получится дробь, равная дроби т / п . Найти члены дроби.

305. Разделить число а р раз больше второй и в q раз меньше третьей.

305. Разделить число а на такие три части, чтобы первая была. в р раз меньше второй и в q раз больше третьей.

306. Знаменатель дроби большое ее числителя в а раз. Если прибавить к числителю число b и вычесть из знаменателя число с , то получится дробь, равная дроби k / l . Найти члены дроби.

306. Знаменатель дроби меньшве ее числителя в а раз. Если вычесть из числителя число b и прибавнть к знаменателю число с , то подучится дробь, равная дроби k / l . Найти члены дроби.

307. Разделить число т на две части так, чтобы разность частных от деления первой части на а и второй на b раваялась бы r.

307. Разделить число т на две части так, чтобы сумма частных от деления первой части на а и второй на b равнялась бы s .

308. Работник за каждый рабочий день получает по а копеек, а за каждый нерабочий с него вычитают по b копеек. По прошествии п дней чистая выручка рабочего равна s рублям. Сколько было рабочих дней и сколько нерабочих?

308. Работник за каждый рабочий день получает по а копеек а за каждый нерабочий с него вычитают по b копеек. По прошествии п дней работник должен сам уплатить 5 рублей, Сколько было рабочих дней и сколько нерабочих?

309. Разность двух чисел d . При делении уменьшаемого на вычитаемое получается частное q и остаток, равный половине разности. Найти эти числа

309. Разность двух чисел d . При делении уменьшаемого на вычитаемое получается остаток r и частное, равное половине разности. Найти эти числа.

310. За несколько аршин сукна. заплачено а рублей; если бы купили сукна более на с b

310. За несколько аршин сукна заплачено а рублей; если бы купили сукна менее на с аршин, то нужно было бы заплатить b рублей. Сколько аршин куплено?

311. Какое число, будучи умножено на a , увеличится на число т ?

311. Какое число, будучи разделено на а , уменьшится на число т ?

312. При продаже дома за m рублей получено р процентов убытку. Что стоил он самому продавцу?

312. При продаже дома за т рублсй получено р процентов прибыли. Что стоил он самому продавцу?

313. Два курьера выезжают одновременно из двух мест А и В и едут по одному направлению от А к В и далее. ІІервый проезжает в час а верст, второй b верст. Расстояние АВ равно d верст. Когда и на каком расстоянии от А первый курьер догонит второго?

313. Два курьера выезжают одновременно из двух мест А и В и едут навстречу один другому. Первый проезжает в час а верст, второй b верст. Расстояние АВ равно d верст. Когда. и на каком расстоянии от А оба курьера встретятся?

314. Переднее колесо экипажа имеет окружность в а футов, окружность заднего b футов. Какое расстояние должен пройти экипаж, чтобы переднее колесо сделало на п оборотов большо заднего?

314. Переднее колесо экипажа имеет окружность на а футов меньшую, чем заднее. Какое расстояние должен пройти экипаж, чтобы переднее колесо сделало т , а заднее п оборотов?

315. В бассейн проведены две трубы, которые обе наполняют его, первая при отдельном действии в а часов, вторая также при отдельном действии в b часов. Во сколько времени наполнится бассевйн при одновременном действии обеих труб?

315. В бассейн проведены две трубы, из которых первая при отдельном действии наполняет его в а часов, а вторая также при отдельном действии выливает весь бассейн в b часов. Во сколько времени наполнится бассейн при одновременном дeйствии обeих труб?

316. Окружность заднего колеса экипажа в а раз большe окружности переднего колеса. Экипаж проeхал т футов, и при этом переднеe колесо сдeлало к оборотами большe заднего. Опредeлить окружности обоих колес и числа оборотов.

316. Окружность переднего колеса на а футов меньше окружности заднего. Экипаж проeхал т футов, и при этом заднеe колесо сдeлало в к раз меньше оборотов, чeм переднеe. Опрeдeлить окружности обоих колес и числа оборотов.

317. Народонаселение одного города увеличивается ежегодно на р % сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящео время в городe т

317. Народонаселениe одного города уменьшается ежегодно на р % сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящсе время в городe т жителей. Сколько было жителей 3 года назад?

318. Двоe рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов. Один первый сдeлает ту же работу в b , раз скорee, чeм один второй. Во сколько времени каждый из рабочих кончит работу?

318. Двоe рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов. Один пeрвый сдeлает ту жое работу в b , раз медлeннee, чeм один второй. Во сколько времени каждый из рабочих кончает работу?

319. Лодочник, гребя по течению рeки, проплывает п сажeн в t часов; грeбя жe против течения, он употребляeт на и часов болee, чтобы проплыть то жe расстояние. Опредeлить часовую скорость течения.

319. Лодочник, гребя против тeчения, проплывает п сажен в t часов; гребя жe по течению, он употребляет на и часов мeнee, чтобы проплыть то жe расстояниe. Опредeлить часовую скорость течeния.

320. Тeло А движeтся со скоростью v мeтров в секунду. С какой скоростью должно было двигаться другое тeло В , вышeдшеe из того жe мeста t сeкундами раньшe, если оно было настигнуто тeлом А через и секунд послe начала движения этого тeла?

320. Тeло A движeтся со скоростью v мeтров в секунду. С какой скоростью должно двигаться другоe тeло В , выходящеe из того же мeста и секундами позже, если оно догоняeт тeло А через и секукнд послe начала своeго движения?

321. Из двух сортов товару, цeною в а рублей и в b рублей за фунт, составлено d т рублей за фунт получено s рублей убытку. Сколько фунтов того и другого сорта пошло на составлениe смeси?

321. Из двух сортов товару, цeною в а рублей и в b рублей за фунт, составлено d фунтов смeси. При продажe этой смeси по т рублей за фунт получено s рублей прибыли. Сколько фунтов того и другого сорта пошло вна составлениe смeеси?

322. Б бассейн, вмeщающий т ведeр, проведены двe трубы. Первая вливает в бассейн а ведер в час. Вторая выливает весь бассейн в b часов. Во сколко часов наполнится бассейн при одновременном дeйствии обeих труб?

322. В бассейн, вмeщающий т ведер, проведены двe трубы. Первая наполняет весь бассейн в а часов. Вторая в час выливает из бассейна b ведер. Во сколько часов наполнится бассeйн при одновременном дeйствии обeих труб?

323. Раздeлить число а на три части так, чтобы первая относилась ко второй, как т: п , а вторая к третьeй, как р: q.

323. Раздeлить число а на три части так, чтобы вторая относилась к первой, как т: п , а третья ко второй, как р: q.

324. Из двух мeст А и В п сажен, плывут навстрeчу друг другу двe лодки, управляемые гребцами с одинаковой силой. ІІервая, плывущая по тeчeнию, проходит всe расстояние АВ в t часов; вторая, плывущая против течeния, употребляет на то жe раcстояниe большe времени на и часов. Опрeдeлить часовую скорость течения.

324. Из двух мeст А и В на рeкe, отстоящих одно от другого на п сажен, плывут навстрeчу друг другу двe лодки, управляемые гребцами с одинаковой силой. Пeрвая, плывущая против тeчеяия, проходит всe расстояние АВ в t часов; вторая, плывущая по течению, употребляет на то же расстояниe меньше врeмени на и часов. Опредeлить часовую скорость течения.

325. Опредeлить капиталы трех лиц, зная, что первый со вторым имeют вмeстe т рублей, второй с третьим п рублей, и что капитал пeрвого в р раз мeньшe капитала третьего.

325. Опрeдeлить капиталы трех лиц, зная, что первый с третьим имeют вмeстe т рублей, второй с третьим п рублей, и что капитал первого в р раз больше капитала второго.

326. Два тeла движутся навстрeчу одно другому из двух мeст, находящихся в расстоянии d метров. Первоe движется со скоростью v метров в секунду. С какой скоростью должно двигаться второе тeло, eсли оно вышло на h сeкунд позднee первого и должно идти до встрeчи всeго п секунд?

326. Два тeла движутся навстрeчу одно другому из двух мeст, находящихся в расстоянии d метров. Первое движется со скоростью v метров в секунду. С какой скоростью должно двигаться второе тeло, если оно вышло на h секунд раньше первого и должно идти до встрeчи всего п секунд?

327. Вексель, учтенный коммерчески по р % за п лeт до срока, дает учет больший математического, сдeланный также по р % и за п лeт, на а рублей. Найти валюту всксeля.

327. Вексeль, учтенный коммерчески по р % за п лeт, стоит на т рублей дешевле, чeм при учетe матeматическом, сдeланном такжe по р % и за п лeт. На какую сумму дан вексель?

328. Два курьeра выeзжают из мeст А и B , находящихся в расстоянии d вeрст, и eдут навстрeчу, проeзжая в час- первый u версгь и второй v верст; выeзд первoго из А состоялся на h В . Опредeлить, когда и гдe встрeтятся курьеры?

328. Два курьера выeзжают из мeст А и B находящихся в расстоянии d вeрст, и eдут оба в одном и том же направлении, проeзжая в час-первый и верст и второй v верст; выeзд пeрваго из А состоялся на h часов раньше выeзда второго из B . Опредeлить, когда и гдe первый курьер догонит второго?

329. Раздeлить число а на такия три части, что если к пeрвой приложить т , вторую сначала уменьшииь на m , а затeм умножить на п , и третью раздeлить на п , то полученные результаты окажутся равными.

329. Раздeлить число а на такия три части, что если первую умоньшить на т , вторую сначала увеличить на т , потом умножить на п , и третью раздeлить на п , то получатся равныe результаты.

330. В бассейн проведены три трубы А, В и С . Через А и С вода вливается, через В А и В бассейн наполняется в т часов, при дeйствии А и C в п часов, при дeйствии В и С в р часов. Во сколько временни наполнится бассейн при одновременном дeйствии всeх трех труб?

330. В бассейн проведены три трубы А, В и С . Через А вода вливается, через В и С вытекает. При совмeстном дeйствии труб А и В бассейн наполняется в т часов, при дeйствии А и С в п часов, трубы В и С выливают весь бассейн в р часов. Во сколько времени весь бассейн вытечeт при одновременном дeйствии всeх трех труб?

Решения текстовых задач на составление уравнений будут полезными в первую очередь для школьников. Учебная программа за 9, 10 класс охватывает широкий класс задач в которых требуется определить неизвестные, составить уравнение и решить. Ниже приведена лишь малая часть возможных задач и методика их вычислений.

Пример 1. Первый велосипедист ежеминутно проезжает на 50 метров меньше чем второй, поэтому на путь 120 км он тратит на 2 часа больше чем второй. Найти скорость второго велосипедиста (в км за час).
Решение: Задача для многих тяжела, но на самом деле все просто.
Под фразой "Проезжает ежеминутно на 50 метров меньше" спрятана скорость 50 м/мин. Поскольку остальные данные в км и часах то 50 м/мин приводим к км/час.
50/1000*60=3000/1000=3 (км/ч ).
Обозначим скорость второго велосипедиста через V , а время движения - t .
Умножением скорости на время движения получим путь
V*t=120.
Первый велосипедист едет медленнее, поэтому и дольше. Составляем соответствующее уравнение движения
(V-3)(t+2)=120.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Из первого уравнения выразим время движения и подставим во второе
t=120/V; (V-3)(120/V+2)=120.
После умножения на V/2 и группировки подобных слагаемых можно получить такое квадратное уравнение
V^2-3V-180=0.
Вычисляем дискриминант уравнения
D=9+4*180=729=27*27
и корни
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Второй отвергаем, он не имеет физического смысла. Найденное значение V = 15 км/час является скоростью второго велосипедиста.
Ответ: 15 км/час.

Пример 2. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды надо добавить к 30 кг морской, чтобы концентрация соли уменьшилась на 70% ?
Решение: Найдем сколько соли в 30 кг морской воды
30*5/100=1,5 (кг).
В новом растворе это составит
(100%-70%)=30% от 5% , составляем пропорции
5% – 100%
Х– 30%.
Выполняем вычисления
Х=5*30/100=150/100=1,5%.
Таким образом 1,5 кг соли соответствует 1,5% в новом растворе. Опять складываем пропорции
1,5 – 1,5% Y – 100% .
Находим массу раствора морской воды
Y=1,5*100/1,5=100 (кг).
Вычтем масс соленой воды, чтобы найти количество пресной
100-30=70 (кг) .
Ответ: 70 кг пресной воды.

Пример 3. Мотоциклист задержался у шлагбаума на 24 минуты. Увеличив после этого свою скорость на 10 километров в час он искупил опоздание на перегоне 80 км. Определить скорость мотоциклиста перед замедлением (в км в час).
Решение: Задача на составление уравнения на скорость. Обозначим начальную скорость мотоциклиста через V , а время за которое он должен был проехать через t . Есть две неизвестные, следовательно уравнений должно быть тоже 2 . Согласно условию, за это время он должен был проехать 80 км.
V*t=80 (км) .
Задержался означает, что время уменьшилось на 24 минуты. Также стоит заметить, что в подобных задачах время нужно переводить в часы или минуты (в зависимости от условия) и тогда решать. Составляем уравнение движения с учетом меньшего времени и большей скорости
(V+10)(t-24/60)=80.
Есть два уравнения для определения времени и скорости. Поскольку в задачи спрашивают скорость, то выразим время из первого уравнения и подставим во второе
t=80/V;
(V+10)(80/V-24/60)=80.
Наша цель - научить Вас составлять уравнения к задачам, из которых можно определить искомые величины.
Поэтому не вдаваясь в детали, полученное уравнение умножением на 60 * V и делением на 24 может быть сведено к следующему квадратного уравнения
V^2+10*V-2000=0.
Самостоятельно найдите дискриминант и корни уравнения. Вы должны получить значение
V=-50;
V=40.
Первое значение отбрасываем, оно не имеет физического смысла. Второе V = 40 км/час является искомой скоростью мотоциклиста.
Ответ: 40 км/час.

Пример 4. Товарный поезд задержался в пути на 12 минут, а затем на расстоянии 112 километров наверстал упущенное время, увеличив скорость на 10 км/час. Найти начальную скорость поезда (в км/час).
Решение: Имеем задачу в которой неизвестными выступают скорость поезда V и время движения t .
Поскольку задача по схеме уравнений соответствует предыдущей, то записываем два уравнения на неизвестные
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Уравнения следует составлять именно в таких обозначениях. Это позволяет в простом виде выразить с первого уравнения время
t =112/V
и, подставив во второе получить уравнение только относительно скорости
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Если неудачно выбрать обозначение, то можно получить уравнение на неизвестные такого плана
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Здесь t соответствует времени после увеличения скорости на 10 км/ч, но суть не в этом. Приведенные уравнения тоже правильные, но не удобны с точки зрения вычислений.
Попробуйте решить первые два уравнения и последние и Вы поймете, что второй схемы следует избегать при составлении уравнений. Поэтому хорошо обдумывайте, какие обозначения вводить, чтобы минимизировать количество вычислений.
Полученное уравнение
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
сводим к квадратному уравнению (умножаем на 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Не вдаваясь в промежуточные вычисления, корнями будут
V=-80;
V=70.
В задачах такого типа всегда получим отрицательный корень (V=-80) который нужно отбросить. Скорость поезда равна 70 км/час.

Пример 5. Отправившись с автостанции на 10 минут позже, автобус ехал к первой остановки со скоростью на 16 км/час больше, чем по расписанию и приехал вовремя. Какую скорость (в км/час) должен иметь автобус по расписанию если расстояние от автостанции до первой остановки равно 16 километров?
Решение: Неизвестными выступают скорость автобуса V и время t .
Составляем уравнение, учитывая что время опоздания задано в минутах, а не часах
V * t = 16 - так должен был ехать автобус в обычном режиме;
(V + 16) (t-10/60) = 16 - уравнение движения из-за позднего отправления автобуса.
Есть два уравнения и две неизвестные.
С первого уравнения выразим время и подставим во второе
t=16/V;
(V+16)(16/V-1/6)=16.
Полученное уравнение относительно скорости сводим к квадратному (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Корнями квадратного уравнения являются
V=32; V=-48.
Искомая скорость автобуса равна 32 км/час.
Ответ: 32 км/ч.

Пример 6. Водитель автомобиля остановился для замены колеса на 12 минут. После этого увеличив скорость движения на 15 км/час он искупил затраченное время на 60 километрах. С какой скоростью (в км/час) он двигался после остановки?
Решение: Алгоритм решения задачи несколько раз приводился в предыдущих примерах. Стандартно обозначаем скорость и время через V, t.
При составлении уравнения не забывайте перевести минуты в часы. Система уравнений будет иметь вид
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
Дальнейшие манипуляции Вы также должны знать или заучить.
t=60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Данное уравнение можно свести к квадратному уравнению
V^2+15*V-4500=0.
Решив квадратное уравнение, получим следующие значения скоростей
V=60; V=-75.
Скорость отрицательной не бывает, поэтому единственная правильный ответ V=60 км/час.

Пример 7. Некоторое двузначное число в 4 раза больше суммы и в 3 раза больше произведение своих цифр. Найти это число.
Решение: Задача на числа занимают важное место среди задач на составление уравнений и бывают не менее интересными в построении решений чем задания на скорость. Все что нужно, это хорошо понять условие задачи. Обозначим число через ab, то есть число равно 10 * a + b. По условию составим систему уравнений
10*a+b=4*(a+b);
10*a+b=3*a*b.
Поскольку в первое уравнение неизвестные входят линейно то его расписываем и выражаем одну из неизвестных через другую
10*a+b-4*a-4*b=0;
6*a-3*b=0; b=2*a.
Подставим b = 2 * a во второе уравнение
10*a+2*a=3*a*2*a;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Отсюда a=0; a=2 . Первое значение нет смысла рассматривать, при a=2 вторая цифра равна b=2*a=2*2=4 , а искомое число 24 .
Ответ: число равно 24.

54. Задачи на составление уравнений с одним неизвестным :

Мы можем применить умение решать уравнение к решению задач. Нижеследующие примеры укажут, как это делать.

Задача 1 . Продавался дом. У одного покупателя была сумма денег, равная ¾ его стоимости, а у другого - равная 5/6 его стоимости. Если бы они сложились вместе, то у них оказался бы излишек в 7000 руб. Какова стоимость дома?

Положим, что дом стоит x рублей. Тогда (в согласии с началом задачи) первый покупатель имел (x · ¾) руб. или, что тоже самое, 3x/4 руб., а второй имел 5x/6 руб. Следующая фраза условия задачи, а именно - «если бы они сложились вместе, то у них оказался бы излишек в 7000 руб.» - является уравнением, выраженным словами: надо выразить его теперь не словами, а математическими знаками. Сначала возьмем подобную же фразу в упрощенной форме: «если сложить числа a и b, то полученная сумма даст излишек m против числа c» - эту фразу можно переписать математическими знаками так: a + b = c + m.

Совершенно так же можно записать и то уравнение, которое имеется в нашей задаче: если сложить числа 3x/4 и 5x/6, то полученная сумма даст излишек 7000 над числом x, или
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.

Полученное уравнение должно упростить: 1) умножим обе части уравнения на общего знаменателя 12 - получим

9x + 10x = 12x + 84000

2) Перенесем неизвестные члены в левую часть:

9x + 10x – 12x = 84000

Теперь мы можем дать ответ на задачу:

Стоимость дома составляла 12000 руб.

Задача 2 . В понедельник в классе отсутствовало 13 учеников, а во вторник 5 учеников. Отношение числа присутствующих учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник равнялось 7/9. Сколько всего учеников было в этом классе?

Положим, что всего в классе числилось x учеников. Тогда в понедельник присутствовало (x – 13) учеников, а во вторник (x – 5) учеников. Фраза «отношение числа присутствующих учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник равнялась 7/9» является уравнением, выраженным словами, и может быть переписана математическими знаками:

(x – 13) / (x – 5) = 7/9.

Решим это уравнение:

9(x – 13) = 7(x – 5) или 9x – 117 = 7x – 35.

Отсюда получим: 2x = 82 и x = 41.
Итак, в этом классе числились 41 ученик.

Задача 3 . Найти дробь, знаменатель которой на 3 больше числителя и которая обращается в 4/5, если из ее числителя и знаменателя вычесть по 1.

Эта задача несколько отличается от предыдущих. В ней требуется «найти дробь», но нельзя было бы начать решение задачи так, как это делали в 1-ый и 2-ой задаче: положим, что искомая дробь равна x. Нельзя было бы так начать потому, что в задаче речь идет отдельно о числителе и отдельно о знаменателе: приходится вычитать 1 отдельно из числителя и отдельно из знаменателя. Поэтому надо так обозначить дробь, чтобы были видны и ее числитель и ее знаменатель. Так как сказано, что знаменатель на 3 больше числителя, то можно обозначить буквою x или числителя или знаменателя, - тогда легко найти выражение для другого члена дроби и для самой дроби.

Вот решение задачи.

Положим, что числитель искомой дроби равен x. Тогда ее знаменатель равен x + 3, и искомая дробь равна x/(x+3). Фраза, «которая (т. е. дробь) обращается в 4/5, если из ее числителя и знаменателя вычесть по 1», является уравнением и может быть написана математически:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 или (x – 1) / (x + 2) = 4/5.

5(x – 1) = 4(x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.

Тогда знаменатель дроби равен 16 и искомая дробь 13/16.

Задача 4 . Один брат старше другого на 14 лет, а через 6 лет он будет в 2 раза старше. Сколько лет каждому брату?

Здесь надо дать два ответа: сколько лет младшему брату и сколько лет старшему, но решать задачу можно при помощи уравнения с 1 неизвестным, так как сказано, что старший брат на 14 лет старше младшего. Решим задачу так:

Положим, что младшему брату x лет; тогда старшему (x + 14) лет.

Через 6 лет будет младшему брату (x + 6) лет, а старшему (x + 14 + 6) лет или (x + 20) лет.

Сказано, что старший будет тогда (через 6 лет) в 2 раза старше младшего, т. е. число x + 20 должно быть в 2 раза больше x + 6, а это можно записать в виде

(x + 20) / (x + 6) = 2 или x + 20 = 2 (x + 6) или (x + 20) / 2 = x + 6.

Наиболее естественная запись - первая: узнавать, во сколько раз одно число больше другого, надо делением; нам надо узнать, во сколько раз число (x + 20) больше числа (x + 6) - для этого надо (x + 20) разделить на (x + 6), и нам сказать ответ « в два раза». Поэтому пишем, что от этого деления получится число 2, т. е. (x + 20) / (x + 6) = 2.

Вторая запись может быть объяснена так: нам сказано, что число (x + 20) должно быть в 2 раза больше числа (x + 6). Чтобы сравнять эти числа, надо, следовательно, меньшее из них, т. е. x + 6, умножить на 2. Тогда x + 20 = 2(x + 6).

Тогда запись объясняется так: чтобы сравнять числа x + 20 и x + 6, надо большее из них уменьшить в 2 раза, и тогда (x + 20) / 2 = x + 6.

Если мы возьмем 1-ую запись

(x + 20) / (x + 6) = 2

и умножим обе части уравнения на x + 6, то получим

x + 20 = 2(x + 6)

т. е. вторую запись. Легко также из 3-ей записи получить 2-ую или 1-ую и т. д.

Во всяком случае, после освобождения уравнения от дробей, получим

x + 20 = 2(x + 6)

и легко решим уравнение:

x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x или x = 8.

Итак, младшему брату 8 лет, а старшему 8 + 14 = 22 года.

Задача 5 . Купили сахару и кофе, всего 28 фунтов; за фунт сахару платили 15 коп., а за фунт кофе 80 коп., за всю же покупку заплатили 12 рублей. Сколько купили сахару и сколько купили кофе?

Здесь затруднение может быть в том, что в условии задачи даны числа то в копейках, то в рублях. Должно заранее установить, в каких единицах, в рублях или копейках, будет вестись решение. Решим задачу в рублях. Тогда решение таково:

Положим, что купили x фунтов сахару. Тогда кофе купили (28 – x) фунтов.

За сахар заплатили (15x) копеек или (3/20)x рублей (так как 15 коп. равны 3/20 рубля), а за кофе заплатили 80(28 – x) коп. или 4/5 (28 – x) руб. (так как 80 коп. = 4/5 рубля).
Фраза «за всю покупку заплатили 12 руб.» может быть записана:

3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12

[Если бы решали в копейках, то уравнение было бы 15x + 80(28 – x) = 1200].

Освободим уравнение от дробей, для чего обе части умножим на 20, - получим:

3x + 16(28 – x) = 240

3x + 448 – 16x = 240

3x – 16x = 240 – 448

–13x = –208,

Итак, сахару купили 16 фунтов, а кофе 12 фунтов (28 – 16 = 12).

Поговорим о том, как составить уравнение химической реакции. Именно этот вопрос в основном вызывает серьезные затруднения у школьников. Одни не могут понять алгоритм составления формул продуктов, другие неправильно расставляют коэффициенты в уравнении. Учитывая, что все количественные вычисления осуществляются именно по уравнениям, важно понять алгоритм действий. Попробуем выяснить, как составлять уравнения химических реакций.

Составление формул по валентности

Для того чтобы правильно записывать процессы, происходящие между различными веществами, нужно научиться записывать формулы. Бинарные соединения составляют с учетом валентностей каждого элемента. Например, у металлов главных подгрупп она соответствует номеру группы. При составлении конечной формулы между этими показателями определяется наименьшее кратное, затем расставляются индексы.

Что такое уравнение

Под ним понимают символьную запись, которая отображает взаимодействующие химические элементы, их количественные соотношения, а также те вещества, которые получаются в результате процесса. Одно из заданий, предлагаемых ученикам девятого класса на итоговой аттестации по химии, имеет следующую формулировку: «Составьте уравнения реакций, характеризующих химические свойства предложенного класса веществ». Для того чтобы справиться с поставленной задачей, ученики должны владеть алгоритмом действий.

Алгоритм действий

Например, нужно написать процесс горения кальция, пользуясь символами, коэффициентами, индексами. Поговорим о том, как составить уравнение химической реакции, воспользовавшись порядком действий. В левой части уравнения через "+" записываем знаками вещества, которые участвуют в данном взаимодействии. Так как горение происходит с участием кислорода воздуха, который относится к двухатомным молекулам, его формулу пишем О2.

За знаком равенства формируем состав продукта реакции, используя правила расстановки валентности:

2Ca + O2 = 2CaO.

Продолжая разговор о том, как составить уравнение химической реакции, отметим необходимость использования закона постоянства состава, а также сохранения состава веществ. Они позволяют проводить процесс уравнивания, расставлять в уравнении недостающие коэффициенты. Данный процесс является одним из простейших примеров взаимодействий, происходящих в неорганической химии.

Важные аспекты

Для того чтобы понять, как составить уравнение химической реакции, отметим некоторые теоретические вопросы, касающиеся этой темы. Закон сохранения массы веществ, сформулированный М. В. Ломоносовым, объясняет возможность расстановки коэффициентов. Так как количество атомов каждого элемента до и после взаимодействия остается неизменным, можно проводить математические расчеты.

При уравнивании левой и правой частей уравнения используют наименьшее общее кратное, аналогично тому, как составляется формула соединения с учетом валентностей каждого элемента.

Окислительно-восстановительные взаимодействия

После того как у школьников будет отработан алгоритм действий, они смогут составить уравнение реакций, характеризующих химические свойства простых веществ. Теперь можно переходить к разбору более сложных взаимодействий, например протекающих с изменением степеней окисления у элементов:

Fe + CuSO4 = FeSO4 + Cu.

Существуют определенные правила, согласно которым расставляют степени окисления в простых и сложных веществах. Например, у двухатомных молекул этот показатель равен нулю, в сложных соединениях сумма всех степеней окисления также должна быть равна нулю. При составлении электронного баланса определяют атомы или ионы, которые отдают электроны (восстановитель), принимают их (окислитель).

Между этими показателями определяется наименьшее кратное, а также коэффициенты. Завершающим этапом разбора окислительно-восстановительного взаимодействия является расстановка коэффициентов в схеме.

Ионные уравнения

Одним из важных вопросов, который рассматривается в курсе школьной химии, является взаимодействие между растворами. Например, дано задание следующего содержания: «Составьте уравнение химической реакции ионного обмена между хлоридом бария и сульфатом натрия». Оно предполагает написание молекулярного, полного, сокращенного ионного уравнения. Для рассмотрения взаимодействия на ионном уровне необходимо по таблице растворимости указать ее для каждого исходного вещества, продукта реакции. Например:

BaCl2 + Na2SO4 = 2NaCl + BaSO4

Вещества, которые не растворяются на ионы, записывают в молекулярном виде. Реакция обмена ионами протекает полностью в трех случаях:

• образование осадка;
• выделение газа;
• получение малодиссоциируемого вещества, например воды.

При наличии у вещества стереохимического коэффициента он учитывается при написании полного ионного уравнения. После того как будет написано полное ионное уравнение, проводят сокращение тех ионов, которые не были связаны в растворе. Конечным итогом любого задания, предполагающего рассмотрение процесса, протекающего между растворами сложных веществ, будет запись сокращенной ионной реакции.

Заключение

Химические уравнения позволяют объяснять с помощью символов, индексов, коэффициентов те процессы, которые наблюдаются между веществами. В зависимости от того, какой именно протекает процесс, существуют определенные тонкости записи уравнения. Общий алгоритм составления реакций, рассмотренный выше, основывается на валентности, законе сохранения массы веществ, постоянстве состава.