Пр a b = |b|cos(a,b) или
Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .
Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .
Классификация проекций вектора
Виды проекций по определению проекция вектора
Виды проекций по системе координат
Свойства проекции вектора
- Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
- Алгебраическая проекция вектора есть число.
Теоремы о проекциях вектора
Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.
Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:
Пр a b = |b|cos(a,b)
Виды проекций вектора
- проекция на ось OX.
- проекция на ось OY.
- проекция на вектор.
| Проекция на ось OX | Проекция на ось OY | Проекция на вектор |
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 | Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 | Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
 |
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 | Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 | Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
 |
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  | Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  | Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
  |
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  | Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  | Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).
  |
1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).
Пример 1
. Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что 
.
Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.
Пример 2
. Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.
Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.
Вектором принято называть отрезок, который имеет заданное направление. Как начало, так и конец вектора имеют фиксированную позицию, с помощью которых и определяется направление вектора. Рассмотрим подробнее, как построить вектор по заданным координатам.
- Начертить систему координат (x, y, z) в пространстве, отметить на осях единичные отрезки.
- Отложить на двух осях нужные координаты, провести от них пунктиром линии, параллельные осям, до пересечения. Поучится точка пересечения, которую нужно соединить пунктиром с началом координат.
- Провести вектор из начала координат до полученной точки.
- Отложить на третьей оси нужное число, через данную точку провести пунктирную линию, которая будет параллельна построенному вектору.
- Из конца вектора провести пунктиром линию, параллельную третьей оси до пересечения с линией из прошлого пункта.
- В завершении соединить начало координат и полученную точку.
Иногда требуется построить вектор, который будет результатом сложения или вычитания других векторов. Поэтому сейчас мы рассмотрим операции с векторами, узнаем, как их складывать и вычитать.
Операции над вектором
Геометрические векторы можно складывать несколькими способами. Так, например, наиболее распространенным способом сложения векторов является правило треугольника. Чтобы сложить два вектора по этому правилу, необходимо расположить векторы параллельно друг другу таким образом, чтобы начало первого вектора совпадало с концом второго, при этом третья сторона полученного треугольника будет являться вектором суммы.
Также можно рассчитать сумму векторов по правилу параллелограмма . Векторы должны начинаться из одной точки, параллельно каждому вектору нужно начертить линию так, чтобы в итоге получился параллелограмм. Диагональ построенного параллелограмма будет являться суммой этих векторов.
Для вычитания двух векторов нужно сложить первый вектор и вектор, который будет противоположным второму. Для этого также используется правило треугольника, которое имеет следующую формулировку: разность векторов, которые перенесены таким образом, что их начала совпадают, является вектором, начало которого совпадает с концом вычитаемого вектора, а также с концом уменьшаемого вектора.
Внимание, только СЕГОДНЯ!
ДРУГОЕ
Для того чтобы совершить операцию сложения векторов, существует несколько способов, которые, в зависимости от ситуации…
Вектор - это математический объект, который характеризуется направлением и величиной. В геометрии вектором называется…
В математике под вектором понимается отрезок заданной длины, имеющий направление и координаты в осях Х, У, Z. Вопрос о…
Угол между двумя векторами, которые выходят с одной точки - это ближайший угол, поворот, на который, первого вектора…
Если Вы знаете пространственные координаты двух и более точек в определенной системе, то задачу: как найти длину…
Определить длину отрезка возможно разными способами. Для того чтобы узнать, как найти длину отрезка, достаточно иметь в…
Ускорение - это быстрота изменения скорости. Эта величина векторная, она имеет свое направление и измеряется в м/с 2 (в…
С помощью правила буравчика определяют направления магнитных линий (по-другому их еще называют линии магнитной…
На чертежах изображения геометрических тел строятся при использовании метода проекции. Но для этого одного изображения…
Слово "ордината" произошло от латинского "ordinatus" - "расположенный в порядке". Ордината - сугубо математический…
Модуль числа по-другому еще называется абсолютной величиной этого числа. В случае, если под знаком модуля стоит…
Для того чтобы найти координаты вершины равностороннего треугольника, если известны координаты двух других его вершин,…
Вам интересно, как можно вычислить и найти среднюю линию треугольника. Тогда за дело.Найти длину средней линии…
Рассмотрим более детально, что такое ускорение в физике? Это сообщение телу дополнительной скорости за единицу времени.…
Прежде чем узнать, как найти площадь параллелограмма, нам необходимо вспомнить, что такое параллелограмм и что…
Вектором принято называть отрезок, который имеет заданное направление. Как начало, так и конец вектора имеют фиксированную позицию, с помощью которых и определяется направление вектора. Рассмотрим подробнее, как построить вектор по заданным координатам.
- Начертить систему координат (x, y, z) в пространстве, отметить на осях единичные отрезки.
- Отложить на двух осях нужные координаты, провести от них пунктиром линии, параллельные осям, до пересечения. Поучится точка пересечения, которую нужно соединить пунктиром с началом координат.
- Провести вектор из начала координат до полученной точки.
- Отложить на третьей оси нужное число, через данную точку провести пунктирную линию, которая будет параллельна построенному вектору.
- Из конца вектора провести пунктиром линию, параллельную третьей оси до пересечения с линией из прошлого пункта.
- В завершении соединить начало координат и полученную точку.
Иногда требуется построить вектор, который будет результатом сложения или вычитания других векторов. Поэтому сейчас мы рассмотрим операции с векторами, узнаем, как их складывать и вычитать.
Операции над вектором
Геометрические векторы можно складывать несколькими способами. Так, например, наиболее распространенным способом сложения векторов является правило треугольника. Чтобы сложить два вектора по этому правилу, необходимо расположить векторы параллельно друг другу таким образом, чтобы начало первого вектора совпадало с концом второго, при этом третья сторона полученного треугольника будет являться вектором суммы.
Также можно рассчитать сумму векторов по правилу параллелограмма . Векторы должны начинаться из одной точки, параллельно каждому вектору нужно начертить линию так, чтобы в итоге получился параллелограмм. Диагональ построенного параллелограмма будет являться суммой этих векторов.
Для вычитания двух векторов нужно сложить первый вектор и вектор, который будет противоположным второму. Для этого также используется правило треугольника, которое имеет следующую формулировку: разность векторов, которые перенесены таким образом, что их начала совпадают, является вектором, начало которого совпадает с концом вычитаемого вектора, а также с концом уменьшаемого вектора.
Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18
метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения 
направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8
м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A
в B
. Конечный результат - его перемещение из точки A
в точку B
, то есть перемещение на вектор .
Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными
называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным
называется вектор, длина которого равна 1
. Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x
и y
, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x
и по y
.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .
При сложении векторов и получаем:
Вычитание векторов
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
