КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
фундаментальная физическая теория динамического поведения всех элементарных форм вещества и излучения, а также их взаимодействий. Квантовая механика представляет собой теоретическую основу, на которой строится современная теория атомов, атомных ядер, молекул и физических тел, а также элементарных частиц, из которых все это состоит. Квантовая механика была создана учеными, стремившимися понять, как устроен атом. Атомные процессы в течение многих лет изучали физики и особенно химики; при изложении данного вопроса мы будем, не вдаваясь в подробности теории, следовать историческому ходу развития предмета. См. также АТОМ .
Зарождение теории. Когда Э.Резерфорд и Н.Бор предложили в 1911 ядерную модель атома, это было подобно чуду. В самом деле, она была построена из того, что было известно уже более 200 лет. Это была, в сущности, коперниковская модель Солнечной системы, воспроизведенная в микроскопическом масштабе: в центре находится тяжелая масса, вскоре получившая название ядра, вокруг которой вращаются электроны, числом которых определяются химические свойства атома. Но мало того, за этой наглядной моделью стояла теория, которая позволила начать расчеты некоторых химических и физических свойств веществ, по крайней мере построенных из наименьших и наиболее простых атомов. Теория Бора - Резерфорда содержала ряд положений, которые здесь полезно напомнить, поскольку все они в том или ином виде сохранились и в современной теории. Во-первых, важен вопрос о природе сил, связывающих атом. С 18 в. было известно, что электрически заряженные тела притягивают или отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Используя в качестве пробных тел альфа-частицы, возникающие в результате радиоактивных превращений, Резерфорд показал, что тот же самый закон электрического взаимодействия (закон Кулона) справедлив в масштабах, в миллион миллионов раз меньших тех, для которых он был первоначально экспериментально установлен. Во-вторых, нужно было ответить на вопрос о том, как электроны движутся по орбитам под действием этих сил. Здесь вновь опыты Резерфорда, казалось бы, показывали (и Бор принял это в своей теории), что законы движения Ньютона, сформулированные в его Началах (Principia Mathematica, 1687), можно использовать для описания движения частиц в этих новых масштабах микромира. В-третьих, вставал вопрос о стабильности. В ньютоновско-кулоновском атоме, как и в Солнечной системе, размеры орбит произвольны и зависят лишь от того, каким образом система была первоначально приведена в движение. Однако все атомы одного вещества одинаковы и к тому же стабильны, что совсем необъяснимо с точки зрения старых представлений. Бор высказал предположение, что атомные электроны следует рассматривать как движущиеся вокруг ядра лишь по определенным орбитам, которым отвечают определенные энергетические уровни, причем они должны испускать квант энергии в виде света, переходя с орбиты с более высокой энергией на орбиту с меньшей энергией. Такие "условия квантования" не вытекали ни из каких экспериментальных данных или теорий; они были приняты как постулаты. На основе этих концептуальных элементов, дополненных только что развитыми в то время представлениями М.Планка и А.Эйнштейна о природе света, Бору удалось количественно объяснить весь спектр излучения атомов водорода в газоразрядной трубке и дать качественное объяснение всех основных закономерностей периодической системы элементов. К 1920 пришло время взяться за проблему спектра излучения более тяжелых атомов и вычислить интенсивность химических сил, связывающих атомы в соединениях. Но здесь иллюзия успеха померкла. На протяжении ряда лет Бор и другие исследователи безуспешно пытались рассчитать спектр гелия - следующего за водородом простейшего атома с двумя электронами. Сначала вообще ничего не получалось; в конце концов несколько исследователей различными способами решили эту задачу, но ответ оказался неверным - он противоречил эксперименту. Затем выяснилось, что вообще невозможно построить сколько-нибудь приемлемую теорию химического взаимодействия. К началу 1920-х годов теория Бора исчерпала себя. Пришло время признать справедливость пророческого замечания, которое Бор еще в 1914 сделал в письме другу в присущем ему замысловатом стиле: "Я склонен полагать, что проблема связана с исключительно большими трудностями, которые можно будет преодолеть, лишь гораздо дальше отойдя от обычных соображений, чем требовалось до сих пор, и что достигнутый ранее успех был обусловлен исключительно простотой рассматривавшихся систем".
См. также
БОР Нильс Хенрик Давид ;
СВЕТ ;
РЕЗЕРФОРД Эрнест ;
СПЕКТРОСКОПИЯ .
Первые шаги. Поскольку использованная Бором комбинация существовавших ранее представлений из области электричества и механики с условиями квантования привела к неверным результатам, все это нужно было полностью или частично изменить. Основные положения теории Бора были приведены выше, а для соответствующих расчетов было достаточно не очень сложных выкладок с использованием обычной алгебры и математического анализа. В 1925 молодой немецкий физик В.Гейзенберг посетил Бора в Копенгагене, где провел с ним долгие часы в беседах, выясняя, что из теории Бора обязательно должно войти в будущую теорию, а от чего в принципе можно и отказаться. Бор и Гейзенберг сразу же согласились, что в будущей теории обязательно должно быть представлено все непосредственно наблюдаемое, а все не поддающееся наблюдению может быть изменено или исключено из рассмотрения. С самого начала Гейзенберг считал, что следует сохранить атомы, но орбиту электрона в атоме считать абстрактной идеей, поскольку ни один эксперимент не позволяет определить электронную орбиту по результатам измерений наподобие того, как это можно сделать для орбит планет. Читатель может заметить, что тут есть определенная нелогичность: строго говоря, атом столь же ненаблюдаем непосредственно, как и электронные орбиты, и вообще в нашем восприятии окружающего мира нет ни одного ощущения, которое не требовало бы разъяснения. В наши дни физики все чаще цитируют известный афоризм, который был впервые произнесен Эйнштейном в беседе с Гейзенбергом: "Что именно мы наблюдаем, нам говорит теория". Таким образом, различие между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми величинами носит чисто практический характер, не имея никакого обоснования ни в строгой логике, ни в психологии, причем это различие, как бы оно ни проводилось, должно рассматриваться как часть самой теории. Поэтому гейзенберговский идеал теории, очищенной от всего ненаблюдаемого, есть некое направление мысли, но отнюдь не последовательный научный подход. Тем не менее он доминировал в атомной теории почти полвека после того, как был впервые сформулирован. Мы уже напоминали о составных элементах ранней модели Бора, таких, как закон Кулона для электрических сил, законы динамики Ньютона и обычные правила алгебры. Путем тонкого анализа Гейзенберг показал, что можно сохранить известные законы электричества и динамики, если найти надлежащее выражение для динамики Ньютона, а затем изменить правила алгебры. В частности, Гейзенберг высказал мысль, что, поскольку ни положение q, ни импульс p электрона не являются измеримыми величинами в том смысле, в каком ими являются, например, положение и импульс автомобиля, мы можем при желании сохранить их в теории, лишь рассматривая как математические символы, обозначаемые буквами, но не как числа. Он принял для p и q алгебраические правила, согласно которым произведение pq не совпадает с произведением qp. Гейзенберг показал, что простые расчеты атомных систем дают приемлемые результаты, если принять, что для положения q и импульса p выполняется соотношение

Где h - постоянная Планка, уже известная из квантовой теории излучения и фигурировавшая в теории Бора, а. Постоянная Планка h представляет собой обычное число, но очень малое, приблизительно 6,6Ч10-34 Дж*с. Таким образом, если p и q - величины обычного масштаба, то разность произведений pq и qp будет крайне мала по сравнению с самими этими произведениями, так что p и q можно считать обычными числами. Построенная для описания явлений микромира, теория Гейзенберга почти полностью согласуется с механикой Ньютона, когда ее применяют к макроскопическим объектам. Уже в самых ранних работах Гейзенберга было показано, что при всей неясности физического содержания новой теории она предсказывает существование дискретных энергетических состояний, характерных для квантовых явлений (например, для испускания света атомом). В более поздней работе, выполненной совместно с М. Борном и П. Йорданом в Геттингене, Гейзенберг развил формальный математический аппарат теории. Практические вычисления остались, однако, крайне сложными. После нескольких недель напряженной работы В.Паули вывел формулу для энергетических уровней атома водорода, совпадающую с формулой Бора. Но прежде чем удалось упростить вычисления, появились новые и совершенно неожиданные идеи. См. также
АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ ;
ПЛАНКА ПОСТОЯННАЯ .
Частицы и волны. К 1920 физики были уже довольно хорошо знакомы с двойственной природой света: результаты одних экспериментов со светом можно было объяснить, предполагая, что свет представляет собой волны, а в других он вел себя подобно потоку частиц. Поскольку казалось очевидным, что ничто не может быть в одно и тоже время и волной, и частицей, ситуация оставалась непонятной, вызывая горячие споры в среде специалистов. В 1923 французский физик Л.де Бройль в опубликованных им заметках высказал предположение, что столь парадоксальное поведение, может быть, не является спецификой света, но и вещество тоже может в одних случаях вести себя подобно частицам, а в других подобно волнам. Исходя из теории относительности, де Бройль показал, что если импульс частицы равен p, то "ассоциированная" с этой частицей волна должна иметь длину волны l = h/p. Это соотношение аналогично впервые полученному Планком и Эйнштейном соотношению E = hn между энергией светового кванта Е и частотой n соответствующей волны. Де Бройль показал также, что эту гипотезу можно легко проверить в экспериментах, аналогичных опыту, демонстрирующему волновую природу света, и настойчиво призывал к проведению таких опытов. Заметки де Бройля привлекли внимание Эйнштейна, и к 1927 К.Дэвиссон и Л.Джермер в Соединенных Штатах, а также Дж. Томсон в Англии подтвердили для электронов не только основную идею де Бройля, но и его формулу для длины волны. В 1926 работавший тогда в Цюрихе австрийский физик Э. Шредингер, прослышав о работе де Бройля и предварительных результатах экспериментов, подтверждавших ее, опубликовал четыре статьи, в которых представил новую теорию, явившуюся прочным математическим обоснованием этих идей. Такая ситуация имеет свой аналог в истории оптики. Одной уверенности в том, что свет есть волна определенной длины, недостаточно для детального описания поведения света. Необходимо еще написать и решить выведенные Дж.Максвеллом дифференциальные уравнения, подробно описывающие процессы взаимодействия света с веществом и распространение света в пространстве в виде электромагнитного поля. Шредингер написал дифференциальное уравнение для материальных волн де Бройля, аналогичное уравнениям Максвелла для света. Уравнение Шредингера для одной частицы имеет вид

где m - масса частицы, Е - ее полная энергия, V(x) - потенциальная энергия, а y - величина, описывающая электронную волну. В ряде работ Шредингер показал, как можно использовать его уравнение для вычисления энергетических уровней атома водорода. Он установил также, что существуют простые и эффективные способы приближенного решения задач, не поддающихся точному решению, и что его теория волн материи в математическом отношении полностью эквивалентна алгебраической теории наблюдаемых величин Гейзенберга и во всех случаях приводит к тем же результатам. П.Дирак из Кембриджского университета показал, что теории Гейзенберга и Шредингера представляют собой лишь две из множества возможных форм теории. Теория преобразований Дирака, в которой важнейшую роль играет соотношение (1), обеспечила ясную общую формулировку квантовой механики, охватывающую все остальные ее формулировки в качестве частных случаев. Вскоре Дирак добился неожиданно крупного успеха, продемонстрировав, каким образом квантовая механика обобщается на область очень больших скоростей, т.е. приобретает вид, удовлетворяющий требованиям теории относительности. Постепенно стало ясно, что существует несколько релятивистских волновых уравнений, каждое из которых в случае малых скоростей можно аппрокcимировать уравнением Шредингера, и что эти уравнения описывают частицы совершенно разных типов. Например, частицы могут иметь разный "спин"; это предусматривается теорией Дирака. Кроме того, согласно релятивистской теории, каждой из частиц должна соответствовать античастица с противоположным знаком электрического заряда. В то время, когда вышла работа Дирака, были известны только три элементарные частицы: фотон, электрон и протон. В 1932 была открыта античастица электрона - позитрон. На протяжении нескольких последующих десятилетий было обнаружено много других античастиц, большинство из которых, как оказалось, удовлетворяли уравнению Дирака или его обобщениям. Созданная в 1925-1928 усилиями выдающихся физиков квантовая механика не претерпела с тех пор в своих основах каких-либо существенных изменений.
См. также АНТИВЕЩЕСТВО .
Приложения. Во всех разделах физики, биологии, химии и техники, в которых существенны свойства вещества в малых масштабах, теперь систематически обращаются к квантовой механике. Приведем несколько примеров. Всесторонне исследована структура электронных орбит, наиболее удаленных от ядра атомов. Методы квантовой механики были применены к проблемам строения молекул, что привело к революции в химии. Структура молекул обусловлена химическими связями атомов, и сегодня сложные задачи, возникающие при последовательном применении квантовой механики в этой области, решаются с помощью компьютеров. Большое внимание привлекли к себе теория кристаллической структуры твердых тел и особенно теория электрических свойств кристаллов. Практические результаты впечатляют: примерами их могут служить изобретение лазеров и транзисторов, а также значительные успехи в объяснении явления сверхпроводимости.
См. также
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ;
ЛАЗЕР ;
ТРАНЗИСТОР ;
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ . Многие проблемы еще не решены. Это касается структуры атомного ядра и физики элементарных частиц. Время от времени обсуждается вопрос о том, не лежат ли проблемы физики элементарных частиц за пределами квантовой механики, подобно тому как структура атомов оказалась вне области применимости динамики Ньютона. Однако до сих пор нет никаких указаний на то, что принципы квантовой механики или ее обобщения в области динамики полей где-то оказались неприменимыми. Более полувека квантовая механика остается научным инструментом с уникальной "объясняющей способностью" и не требует существенных изменений своей математической структуры. Поэтому может показаться удивительным, что до сих пор ведутся острые дебаты (см. ниже) по поводу физического смысла квантовой механики и ее истолкования.
См. также
АТОМА СТРОЕНИЕ ;
АТОМНОГО ЯДРА СТРОЕНИЕ ;
МОЛЕКУЛ СТРОЕНИЕ ;
ЧАСТИЦЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ .
Вопрос о физическом смысле. Корпускулярно-волновой дуализм, столь очевидный в эксперименте, создает одну из самых трудных проблем физической интерпретации математического формализма квантовой механики. Рассмотрим, например, волновую функцию, которая описывает частицу, свободно движущуюся в пространстве. Традиционное представление о частице, помимо прочего, предполагает, что она движется по определенной траектории с определенным импульсом p. Волновой функции приписывается длина волны де Бройля l = h/p, но это характеристика такой волны, которая бесконечна в пространстве, а потому не несет информации о местонахождении частицы. Волновую функцию, локализующую частицу в определенной области пространства протяженностью Dx, можно построить в виде суперпозиции (пакета) волн с соответствующим набором импульсов, и если искомый диапазон импульсов равен Dp, то довольно просто показать, что для величин Dx и Dp должно выполняться соотношение DxDp і h/4p. Этим соотношением, впервые полученным в 1927 Гейзенбергом, выражается известный принцип неопределенности: чем точнее задана одна из двух переменных x и p, тем меньше точность, с которой теория позволяет определить другую.

Соотношение Гейзенберга могло бы рассматриваться просто как недостаток теории, но, как показали Гейзенберг и Бор, оно соответствует глубокому и ранее не замечавшемуся закону природы: даже в принципе ни один эксперимент не позволит определить величины x и p реальной частицы точнее, чем это допускает соотношение Гейзенберга. Гейзенберг и Бор разошлись в интерпретации этого вывода. Гейзенберг рассматривал его как напоминание о том, что все наши знания по своему происхождению - экспериментальные и что эксперимент неизбежно вносит в исследуемую систему возмущение, а Бор рассматривал его как ограничение точности, с которой само представление о волне и частице применимо к миру атома. Гораздо более широким оказывается спектр мнений о природе самой статиcтичеcкой неопределенности. В этих неопределенностях нет ничего нового; они присущи почти каждому измерению, но обычно считают, что они обусловлены недостатками используемых приборов или методов: точное значение существует, однако найти его практически очень трудно, и потому мы рассматриваем полученные результаты как вероятные значения с присущей им статистической неопределенностью. Одна из школ физико-философской мысли, возглавлявшаяся в свое время Эйнштейном, считает, что то же самое имеет место и для микромира, и что квантовая механика с ее статистическими результатами дает лишь средние значения, которые были бы получены при многократном повторении рассматриваемого эксперимента с небольшими различиями из-за несовершенства нашего контроля. При таком воззрении точная теория каждого отдельного случая в принципе существует, просто она еще не найдена. Другая школа, исторически связанная с именем Бора, стоит на том, что индетерминизм присущ самой природе вещей и что квантовая механика - теория, наилучшим образом описывающая каждый отдельный случай, а в неопределенности физической величины находит отражение та точность, с которой эта величина может определяться и использоваться. Мнение большинства физиков склонялось в пользу Бора. В 1964 Дж. Белл, работавший тогда в ЦЕРНе (Женева), показал, что в принципе эту проблему можно решить экспериментально. Результат Белла явился, пожалуй, важнейшим с 1920-х годов сдвигом в поисках физического смысла квантовой механики. Теорема Белла, как сейчас называют этот результат, утверждает, что некоторые предсказания, сделанные на основе квантовой механики, невозможно воспроизвести путем вычислений на основе какой-либо точной, детерминированной теории с последующим усреднением результатов. Поскольку два таких метода вычислений должны давать разные результаты, появляется возможность экспериментальной проверки. Измерения, выполненные в 1970-х годах, убедительно подтвердили адекватность квантовой механики. И все же было бы преждевременно утверждать, что эксперимент подвел окончательную черту под дебатами Бора и Эйнштейна, поскольку такого рода проблемы нередко возникают как бы заново, в другом языковом обличье каждый раз, когда, казалось бы, все ответы уже найдены. Как бы то ни было, остаются и другие головоломки, напоминающие нам, что физические теории - это не только уравнения, но и словесные объяснения, связывающие кристальную сферу математики с туманными областями языка и чувственного опыта, и что это зачастую и есть самое трудное.
ЛИТЕРАТУРА
Вихман Э. Квантовая физика. М., 1977 Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М., 1985 Мигдал А.Б. Квантовая физика для больших и маленьких. М., 1989 Волкова Е.Л. и др. Квантовая механика на персональном компьютере. М., 1995

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк (см. Постоянная Планка) для описания взаимодействия света с атомами.

Квантовая механика часто противоречит нашим понятиям о здравом смысле. А всё потому, что здравый смысл подсказывает нам вещи, которые берутся из повседневного опыта, а в своем повседневном опыте нам приходится иметь дело только с крупными объектами и явлениями макромира, а на атомарном и субатомном уровне материальные частицы ведут себя совсем иначе. Принцип неопределенности Гейзенберга как раз и очерчивает смысл этих различий. В макромире мы можем достоверно и однозначно определить местонахождение (пространственные координаты) любого объекта (например, этой книги). Не важно, используем ли мы линейку, радар, сонар, фотометрию или любой другой метод измерения, результаты замеров будут объективными и не зависящими от положения книги (конечно, при условии вашей аккуратности в процессе замера). То есть некоторая неопределенность и неточность возможны — но лишь в силу ограниченных возможностей измерительных приборов и погрешностей наблюдения. Чтобы получить более точные и достоверные результаты, нам достаточно взять более точный измерительный прибор и постараться воспользоваться им без ошибок.

Теперь если вместо координат книги нам нужно измерить координаты микрочастицы, например электрона, то мы уже не можем пренебречь взаимодействиями между измерительным прибором и объектом измерения. Сила воздействия линейки или другого измерительного прибора на книгу пренебрежимо мала и не сказывается на результатах измерений, но чтобы измерить пространственные координаты электрона, нам нужно запустить в его направлении фотон, другой электрон или другую элементарную частицу сопоставимых с измеряемым электроном энергий и замерить ее отклонение. Но при этом сам электрон, являющийся объектом измерения, в результате взаимодействия с этой частицей изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам акт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обусловливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора. Вот с какой ситуацией мы вынуждены мириться в микромире. Измерение невозможно без взаимодействия, а взаимодействие — без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажения результатов измерения.

О результатах этого взаимодействия можно утверждать лишь одно:

неопределенность пространственных координат × неопределенность скорости частицы > h /m ,

или, говоря математическим языком:

Δx × Δv > h /m

где Δx и Δv — неопределенность пространственного положения и скорости частицы соответственно, h — постоянная Планка , а m — масса частицы.

Соответственно, неопределенность возникает при определении пространственных координат не только электрона, но и любой субатомной частицы, да и не только координат, но и других свойств частиц — таких как скорость. Аналогичным образом определяется и погрешность измерения любой такой пары взаимно увязанных характеристик частиц (пример другой пары — энергия, излучаемая электроном, и отрезок времени, за который она испускается). То есть если нам, например, удалось с высокой точностью измерили пространственное положение электрона, значит мы в этот же момент времени имеем лишь самое смутное представление о его скорости, и наоборот. Естественно, при реальных измерениях до этих двух крайностей не доходит, и ситуация всегда находится где-то посередине. То есть если нам удалось, например, измерить положение электрона с точностью до 10 -6 м, значит мы одновременно можем измерить его скорость, в лучшем случае, с точностью до 650 м/с.

Из-за принципа неопределенности описание объектов квантового микромира носит иной характер, нежели привычное описание объектов ньютоновского макромира. Вместо пространственных координат и скорости, которыми мы привыкли описывать механическое движение, например шара по бильярдному столу, в квантовой механике объекты описываются так называемой волновой функцией. Гребень «волны» соответствует максимальной вероятности нахождения частицы в пространстве в момент измерения. Движение такой волны описывается уравнением Шрёдингера , которое и говорит нам о том, как изменяется со временем состояние квантовой системы.

Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения. Соответственно, то, что нам традиционно представляется частицей, на квантовом уровне проявляет ряд характеристик, свойственных волнам.

Согласование волновых и корпускулярных свойств объектов микромира (см. Соотношение де Бройля) стало возможным после того, как физики условились считать объекты квантового мира не частицами и не волнами, а чем-то промежуточным и обладающим как волновыми, так и корпускулярными свойствами; в ньютоновской механике аналогов таким объектам нет. Хотя и при таком решении парадоксов в квантовой механике всё равно хватает (см. Теорема Белла), лучшей модели для описания процессов, происходящих в микромире, никто до сих пор не предложил.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВ

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Учебное пособие

Москва – 2004

Введение

Квантовая механика появилась сто лет назад и оформилась в стройную физическую теорию примерно к 1930 году. В настоящее время она считается фундаментом наших знаний об окружающем мире. Довольно долго применение квантовой механики к прикладным задачам ограничивалось ядерной энергетикой (по большей части военной). Однако после того, как в 1948 году был изобретен транзистор

Один из основных элементов полупроводниковой электроники, а в конце 1950-х годов был создан лазер - квантовый генератор света, стало ясно, что открытия в квантовой физике имеют огромный практический потенциал и серьезное знакомство с этой наукой необходимо не только для профессиональных физиков, но и для представителей других специальностей - химиков, инженеров и даже биологов.

Поскольку квантовая механика все больше стала приобретать черты не только фундаментальной, но и прикладной науки, возникла проблема обучения ее основам студентов нефизических специальностей. С некоторыми квантовыми идеями студент впервые знакомится в курсе общей физики, но, как правило, это знакомство ограничивается не более чем случайными фактами и их сильно упрощенными объяснениями. С другой стороны, полный курс квантовой механики, читаемый на физических факультетах университетов, явно избыточен для тех, кто хотел бы приложить свои знания не к раскрытию тайн природы, а к решению технических и других практических задач. Трудность “адаптации” курса квантовой механики к потребностям обучения студентов прикладных специальностей была замечена давно и до сих пор полностью не преодолена, несмотря на многочисленные попытки создания “переходных” курсов, ориентированных на практические применения квантовых законов. Связано это со спецификой самой квантовой механики. Вопервых, для понимания квантовой механики от студента требуется основательное знание классической физики: механики Ньютона, классической теории электромагнетизма, специальной теории относительности, оптики и т.д. Во-вторых, в квантовой механике для правильного описания явлений в микромире приходится жертвовать наглядностью. Классическая физика оперирует более или менее наглядными понятиями; их связь с экспериментом относительно проста. Иное положение в квантовой механике. Как отметил Л.Д. Ландау, внесший значительный вклад в создание квантовой механики, “необходимо понять то, что мы уже не можем себе вообразить”. Обычно трудности при изучении квантовой механики принято объяснять ее довольно абстрактным математическим аппаратом, применение которого неизбежно из-за потери наглядности понятий и законов. Действительно, чтобы научиться решать квантовомеханические задачи, надо знать дифференциальные уравнения, достаточно свободно обращаться с комплексными числами, а также уметь делать многое другое. Все это, впрочем, не выходит за рамки математической подготовки студента современного технического вуза. Настоящая трудность квантовой механики связана не только и даже не столько с математикой. Дело в том, что выводы квантовой механики, как и любой физической теории, должны предсказывать и объяснятьреальные эксперименты , поэтому нужно научиться связывать абстрактные математические конструкции с измеряемыми физическими величинами и наблюдаемыми явлениями. Вырабатывается это умение каждым человеком индивидуально, в основном, путем самостоятельного решения задач и осмысления результатов. Еще Ньютон заметил: “при изучении наук примеры часто важнее правил”. В отношении квантовой механики эти слова содержат большую долю истины.

Предлагаемое читателю пособие основано на многолетней практике чтения в МИРЭА курса “Физика 4”, посвященного основам квантовой механики, студентам всех специальностей факультетов электроники и РТС и студентам тех специальностей факультета кибернетики, где физика относится к основным учебным дисциплинам. Содержание пособия и изложение материала обусловлены рядом объективных и субъективных обстоятельств. Прежде всего необходимо было учесть, что курс “Физика 4” рассчитан на один семестр. Поэтому из всех разделов современной квантовой механики отобраны те, которые непосредственно связаны с электроникой и квантовой оптикой - наиболее перспективными областями применения квантовой механики. Однако, в отличие от курсов общей физики и прикладных технических дисциплин, мы стремились изложить эти разделы в рамках единого и достаточно современного подхода с учетом возможностей студентов для его усвоения. Объем пособия превышает содержание лекций и практических занятий, так как в курсе “Физика 4” предусмотрено выполнение студентами курсовых работ или индивидуальных заданий, которые требуют самостоятельного изучения вопросов, не включенных в план лекций. Изложение этих вопросов в учебниках по квантовой механике, ориентированных на студентов физических факультетов университетов, часто превышает уровень подготовки студента технического вуза. Таким образом, настоящее пособие может быть использовано как источник материала для курсовых работ и индивидуальных заданий.

Важной частью пособия являются упражнения. Некоторые из них приводятся непосредственно в тексте, остальные помещены в конце каждого параграфа. Многие упражнения снабжены указаниями для читателя. В связи с отмеченной выше “необычностью” понятий и методов квантовой механики выполнение упражнений следует рассматривать как совершенно необходимый элемент изучения курса.

1. Физические истоки квантовой теории

1.1. Явления, противоречащие классической физике

Начнем с краткого обзора явлений, которые не смогла объяснить классическая физика и которые привели, в конце концов, к возникновению квантовой теории.

Спектр равновесного излучения черного тела. Напомним, что в физике

черным телом (часто говорят - “абсолютно черным телом”) называется тело, которое полностью поглощает падающее на него электромагнитное излучение любой частоты.

Абсолютно черное тело является, конечно, идеализированной моделью, однако ее можно реализовать с высокой точностью с помощью простого устройства

Замкнутой полости с малым отверстием, внутренние стенки которой покрыты веществом, хорошо поглощающим электромагнитное излучение, например, сажей (см. Рис. 1.1.). Если температура стенок T поддерживается постоянной, то в конце концов установится тепловое равновесие между веществом стенок

Рис. 1.1. и электромагнитным излучением в полости. Одной из проблем, которую активно обсуждали физики в конце XIX века, была такая: как распределена энергия равновесного излучения по

Рис. 1.2.

частотам? Количественно это распределение описывается спектральной плотностью энергии излучения u ω . Произведениеu ω dω есть энергия электромагнитных волн в единице объема с частотами в интервале отω доω +dω . Спектральную плотность энергии можно измерить, анализируя спектр излучения из отверстия полости, изображенной на Рис. 1.1. Экспериментальная зависимостьu ω для двух значений температуры приведена на Рис. 1.2. С ростом температуры максимум кривой смещается в сторону высоких частот и при достаточно высокой температуре частотаω m может достигнуть области видимого глазом излучения. Тело начнет светиться, причем с дальнейшим ростом температуры цвет тела будет меняться от красного к фиолетовому.

Пока мы говорили об экспериментальных данных. Интерес к спектру излучения черного тела был вызван тем, что функция u ω может бытьточно вычислена методами классической статистической физики и электромагнитной теории Максвелла. Согласно классической статистической физике, в тепловом равновесии энергия любой системы распределяется равномерно по всем степеням свободы (теорема Больцмана). Каждая независимая степень свободы поля излучения - электромагнитная волна с определенной поляризацией и частотой. По теореме Больцмана средняя энергия такой волны в тепловом равновесии при температуреT равнаk B T , гдеk B = 1, 38· 10− 23 Дж/ K - постоянная Больцмана. Поэтому

где c - скорость света. Итак, классическое выражение для равновесной спектральной плотности излучения имеет вид

	u ω=	k B T ω2
		π2 c3

Эта формула есть знаменитая формула Рэлея-Джинса. В классической физике она являетсяточной и, в то же время, абсурдной. В самом деле, согласно ей, в тепловом равновесии при любой температуре имеются электромагнитные волны сколь угодно высоких частот (т. е. ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение и даже смертельное для человека гамма-излучение), причем, чем выше частота излучения, тем больше энергии на него приходится. Очевидное противоречие между классической теорией равновесного излучения и экспериментом получило в физической литературе эмоциональное название -ультрафиолетовая

катастрофа . Отметим, что известный английский физик лорд Кельвин, подводя итоги развития физики в XIX веке, назвал задачу о равновесном тепловом излучении одной из главных нерешенных проблем.

Фотоэффект . Другим “слабым местом” классической физики оказался фотоэффект - выбивание электронов из вещества под действием света. Совершенно непонятным было то, что кинетическая энергия электронов не зависит от интенсивности света, которая пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля

в световой волне и равна среднему потоку энергии, падающему на вещество. С другой стороны, энергия вылетающих электронов существенно зависит от частоты света и линейно растет с ростом частоты. Это также невозможно объяснить

в рамках классической электродинамики, поскольку поток энергии электромагнитной волны, согласно теории Максвелла, не зависит от ее частоты и полностью определяется амплитудой. Наконец, эксперимент показывал, что для каждого вещества существует так называемая красная граница фотоэффекта, т. е. минималь-

ная частота ω min , при которой начинается выбивание электронов. Еслиω < ω min , то свет с частотойω не выбьет ни одного электрона, независимо от интенсивности.

Эффект Комптона . Еще одно явление, которое не могла объяснить классическая физика, было открыто в 1923 году американским физиком А. Комптоном. Он обнаружил, что при рассеянии электромагнитного излучения (в рентгеновском диапазоне частот) на свободных электронах частота рассеянного излучения оказывается меньше, чем частота падающего излучения. Этот экспериментальный факт противоречит классической электродинамике, согласно которой частоты падающего и рассеянного излучения должны быть в точности равны. Чтобы убедиться в сказанном, не нужна сложная математика. Достаточно вспомнить классический механизм рассеяния электромагнитной волны заряженными частицами. Схема

рассуждений примерно такова. Переменное электрическое поле E (t ) =E 0 sinωt
падающей волны действует на каждый электрон силой F (t ) =−eE (t ), где−e -
				(m e
заряд электрона		Электрон приобретает ускорение a (t ) =F (t )/m e

электрона), которое изменяется со временем с той же частотой ω , что и поле в падающей волне. Согласно классической электродинамике, заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Это и есть рассеянное излучение. Если ускорение изменяется со временем по гармоническому закону с частотойω , то излучаются волны с той же частотой. Появление рассеянных волн с частотами меньшими, чем частота падающего излучения, явно противоречит классической электродинамике.

Устойчивость атомов . В 1912 году произошло очень важное для всего дальнейшего развития естественных наук событие - была выяснена структура атома. Английский физик Э. Резерфорд, проводя эксперименты по рассеянию α -частиц в веществе, установил, что положительный заряд и практически вся масса атома сосредоточены в ядре с размерами порядка 10− 12 - 10− 13 см. Размеры ядра оказались ничтожно малы по сравнению с размерами самого атома (примерно 10− 8 см.). Для объяснения результатов своих экспериментов Резерфорд выдвинул гипотезу, что атом устроен аналогично солнечной системе: легкие электроны движутся по орбитам вокруг массивного ядра подобно тому, как планеты движутся вокруг Солнца. Силой, удерживающей электроны на орбитах, является сила кулоновского притяжения ядра. На первый взгляд такая “планетарная модель” кажется весьма

1 Символомe везде обозначаетсяположительный элементарный зарядe = 1, 602· 10− 19 Кл.

привлекательной: она наглядна, проста и вполне согласуется с экспериментальными результатами Резерфорда. Более того, на основе этой модели легко оценить энергию ионизации атома водорода, содержащего всего один электрон. Оценка дает неплохое согласие с экспериментальным значением энергии ионизации. К сожалению, понимаемая буквально, планетарная модель атома имеет неприятный недостаток. Дело в том, что с точки зрения классической электродинамики такой атом просто не может существовать; он нестабилен . Причина этого довольно проста: электрон движется по орбите с ускорением. Даже если величина скорости электрона не меняется, все равно есть ускорение, направленное к ядру (нормальное или “центростремительное” ускорение). Но, как уже отмечалось выше, заряд, движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны. Эти волны уносят энергию, поэтому энергия электрона убывает. Радиус его орбиты уменьшается и в конце концов электрон должен упасть на ядро. Простые вычисления, которые мы не будем приводить, показывают, что характерное “время жизни” электрона на орбите составляет примерно 10− 8 секунд. Таким образом, классическая физика не способна объяснить устойчивость атомов.

Приведенные примеры не исчерпывают всех трудностей, с которыми встретилась классическая физика на рубеже XIX и XX веков. Другие явления, где ее выводы противоречит эксперименту, мы рассмотрим позже, когда будет развит аппарат квантовой механики и мы сможем сразу же дать правильное объяснение. Постепенно накапливаясь, противоречия между теорией и экспериментальными данными привели к осознанию того, что с классической физикой “не все в порядке” и необходимы совершенно новые идеи.

1.2. Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора

В декабре 2000 года исполнилось сто лет квантовой теории. Эту дату связывают с работой Макса Планка, в которой он предложил решение проблемы равновесного теплового излучения. Для простоты Планк выбрал в качестве модели вещества стенок полости (см. Рис. 1.1.) систему заряженных осцилляторов, т. е. частиц, способных совершать гармонические колебания около положения равновесия. Если ω - собственная частота колебаний осциллятора, то он способен излучать и поглощать электромагнитные волны той же частоты. Пусть стенки полости на Рис. 1.1. содержат осцилляторы со всевозможными собственными частотами. Тогда, после установления теплового равновесия, средняя энергия, приходящаяся на электромагнитную волну с частотойω , должна быть равна средней энергии осциллятораE ω с той же собственной частотой колебаний. Вспоминая рассуждения, приведенные на стр. 5, запишем равновесную спектральная плотность излучения в таком виде:

1 На латыни слово “quantum” буквально означает “порция” или “кусок”.

В свою очередь, квант энергии пропорционален частоте осциллятора:

Некоторые люди предпочитают использовать вместо циклической частоты ω так называемую линейную частотуν =ω/ 2π , которая равна числу колебаний за секунду. Тогда выражение (1.6) для кванта энергии можно записать в виде

ε = h ν.

Величина h = 2π 6, 626176· 10− 34 Дж· с также называется постоянной Планка1 .

Исходя из предположения о квантовании энергии осциллятора, Планк получил для спектральной плотности равновесного излучения следующее выражение2 :

	π2 c3			e ω/kB T	− 1

В области низких частот (ω k B T ) формула Планка практически совпадает с формулой Релея-Джинса (1.3), а на высоких частотах (ω k B T ) спектральная плотность излучения, в соответствии с экспериментом, быстро стремится к нулю.

1.3. Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поля

Хотя гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора “не вписывается” в классическую механику, ее можно было трактовать в том смысле, что, по-видимому, механизм взаимодействия света с веществом таков, что энергия излучения поглощается и испускается только порциями, величина которых дается формулой (1.5). В 1900 году о строении атомов практически ничего не было известно, поэтому сама по себе гипотеза Планка еще не означала полный отказ от классических законов. Более радикальную гипотезу высказал в 1905 году Альберт Эйнштейн. Анализируя закономерности фотоэффекта, он показал, что все они естественным образом объясняются, если принять, что свет определенной частотыω состоит из отдельных частиц (фотонов), обладающих энергией

1 Иногда, чтобы подчеркнуть, какая именно постоянная Планка имеется в виду, называют “перечеркнутой постоянной Планка”.

2 Теперь это выражение называется формулой Планка.

где A вых - работа выхода, т. е. энергия, необходимая для преодоления сил, удерживающих электрон в веществе1 . Зависимость энергии фотоэлектронов от частоты света, описываемая формулой (1.11), прекрасно согласовывалась с экспериментальной зависимостью, причем величина в этой формуле оказалась очень близка к значению (1.7). Отметим, что, приняв гипотезу фотонов, можно было объяснить и закономерности равновесного теплового излучения. Действительно, поглощение и излучение веществом энергии электромагнитного поля происходит квантамиω потому, что поглощаются и испускаются отдельные фотоны, имеющие именно такую энергию.

1.4. Импульс фотона

Введение представления о фотонах в какой-то степени возрождало корпускулярную теорию света. То, что фотон - “настоящая” частица, подтверждает анализ эффекта Комптона. С точки зрения фотонной теории рассеяние рентгеновских лучей можно представить как индивидуальные акты столкновений фотонов с электронами (см. Рис. 1.3.), в которых должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.

Закон сохранения энергии в этом процессе имеет вид

соизмеримыми со скоростью света, поэтому
выражение для энергии электрона нужно
брать в релятивистском виде, т. е.
Eэл = me c2 ,	E эл=
			m e 2c 4+ p 2c 2
где p - величина импульса электрона после столкновения с фотоном, аm
электрона. Закон сохранения энергии в эффекте Комптона выглядит так:
ω + me c2 = ω+
		m e 2c 4+ p 2c 2

Между прочим, отсюда сразу видно, что ω < ω ; это наблюдается и в эксперименте. Чтобы записать закон сохранения импульса в эффекте Комптона, необходимо найти выражение для импульса фотона. Это можно сделать на основе следующих простых рассуждений. Фотон всегда движется со скоростью светаc , но, как известно из теории относительности, частица, движущаяся со скоростью света, должна

иметь нулевую массу. Так им образом, из общего выражения для релятивистской

энергии E =m 2 c 4 +p 2 c 2 следует, что энергия и импульс фотона связаны соотношениемE =pc . Вспоминая формулу (1.10), получаем

Теперь закон сохранения импульса в эффекте Комптона можно записать в виде

Решение системы уравнений (1.12) и (1.18), которое мы оставляем читателю (см. упражнение 1.2.), приводит к следующей формуле для изменения длины волны рассеянного излучения ∆λ =λ − λ :

называется комптоновской длиной волны частицы (массы m ), на которой происходит рассеяние излучения. Еслиm =m e = 0, 911· 10− 30 кг - масса электрона, тоλ C = 0, 0243· 10− 10 м. Результаты измерений ∆λ , проведенных Комптоном, а затем многими другими экспериментаторами, полностью согласуются с предсказаниями формулы (1.19), причем значение постоянной Планка, которая входит в выражение (1.20), совпадает со значениями, полученными из экспериментов по равновесному тепловому излучению и фотоэффекту.

После появления фотонной теории света и ее успехов в объяснении ряда явлений возникла странная ситуация. В самом деле, попробуем ответить на вопрос: что же такое свет? С одной стороны, в фотоэффекте и эффекте Комптона он ведет себя как поток частиц - фотонов, но, с другой стороны, явления интерференции и дифракции столь же упорно показывают, что свет - электромагнитныеволны . На основе “макроскопического” опыта мы знаем, что частица - это объект, имеющий конечные размеры и движущийся по определенной траектории, а волна заполняет область пространства, т. е. является непрерывным объектом. Как совместить эти две взаимно исключающие точки зрения на одну и ту же физическую реальность - электромагнитное излучение? Парадокс “волна–частица” (или, как предпочитают говорить философы, корпускулярно-волновой дуализм) для света был объяснен лишь в квантовой механике. Мы вернемся к нему после того, как познакомимся с основами этой науки.

1 Напомним, что модуль волнового вектора называется волновым числом.

Упражнения

1.1. Используя формулу Эйнштейна (1.11), объяснить существование красной границы вещества. ω min для фотоэффекта. Выразить ω min через работу выхода электрона из

1.2. Вывести выражение (1.19) для изменения длины волны излучения в эффекте Комптона.

Указание: Разделив равенство (1.14) наc и используя соотношение между волновым числом и частотой (k =ω/c ), запишем

p2 + m2 e c2 = (k − k) + me c.

После возведения в квадрат обеих частей, получим

где ϑ - угол рассеяния, показанный на Рис. 1.3. Приравняв правые части (1.21) и (1.22), приходим к равенству

me c(k − k) = kk(1 −cos ϑ) .

Остается умножить это равенство на 2π , разделить наm e ckk и перейти от волновых чисел к длинам волн (2π/k =λ ).

2. Квантование энергии атома. Волновые свойства микрочастиц

2.1. Теория атома Бора

Прежде чем перейти непосредственно к изучению квантовой механики в ее современном виде, мы кратко обсудим первую попытку применить идею Планка о квантовании к проблеме строения атома. Речь пойдет о теории атома, предложенной в 1913 году Нильсом Бором. Основная цель, которую ставил перед собой Бор, состояла в том, чтобы объяснить удивительно простую закономерность в спектре излучения атома водорода, которую сформулировал Ритц в 1908 году в виде так называемого комбинационного принципа. Согласно этому принципу, частоты всех линий в спектре водорода можно представить как разности некоторых величинT (n ) (“термов”), последовательность которых выражается через целые числа.

Наверняка Вы много раз слышали о необъяснимых тайнах квантовой физики и квантовой механики . Её законы завораживают мистикой, и даже сами физики признаются, что до конца не понимают их. С одной стороны, любопытно понять эти законы, но с другой стороны, нет времени читать многотомные и сложные книги по физике. Я очень понимаю Вас, потому что тоже люблю познание и поиск истины, но времени на все книги катастрофически не хватает. Вы не одиноки, очень многие любознательные люди набирают в поисковой строке: «квантовая физика для чайников, квантовая механика для чайников, квантовая физика для начинающих, квантовая механика для начинающих, основы квантовой физики, основы квантовой механики, квантовая физика для детей, что такое квантовая механика». Именно для Вас эта публикация .

Вам станут понятны основные понятия и парадоксы квантовой физики. Из статьи Вы узнаете:

• Что такое квантовая физика и квантовая механика?
• Что такое интерференция?
• Что такое квантовая запутанность (или Квантовая телепортация для чайников)? (см. статью )
• Что такое мысленный эксперимент «Кот Шредингера»? (см. статью )

Квантовая механика — это часть квантовой физики.

Почему же так сложно понять эти науки? Ответ прост: квантовая физика и квантовая механика (часть квантовой физики) изучают законы микромира. И законы эти абсолютно отличаются от законов нашего макромира. Поэтому нам трудно представить то, что происходит с электронами и фотонами в микромире.

Пример отличия законов макро- и микромиров : в нашем макромире, если Вы положите шар в одну из 2-х коробок, то в одной из них будет пусто, а в другой - шар. Но в микромире (если вместо шара - атом), атом может находиться одновременно в двух коробках. Это многократно подтверждено экспериментально. Не правда ли, трудно это вместить в голове? Но с фактами не поспоришь.

Ещё один пример. Вы сфотографировали быстро мчащуюся красную спортивную машину и на фото увидели размытую горизонтальную полосу, как будто-машина в момент фото находилась с нескольких точках пространства. Несмотря на то, что Вы видите на фото, Вы всё равно уверены, что машина в ту секунду, когда Вы ёё фотографировали находилась в одном конкретном месте в пространстве . В микро же мире всё не так. Электрон, который вращается вокруг ядра атома, на самом деле не вращается, а находится одновременно во всех точках сферы вокруг ядра атома. Наподобие намотанного неплотно клубка пушистой шерсти. Это понятие в физике называется «электронным облаком» .

Небольшой экскурс в историю. Впервые о квантовом мире учёные задумались, когда в 1900 году немецкий физик Макс Планк попытался выяснить, почему при нагревании металлы меняют цвет. Именно он ввёл понятие кванта. До этого учёные думали, что свет распространяется непрерывно. Первым, кто серьёзно воспринял открытие Планка, был никому тогда неизвестный Альберт Энштейн. Он понял, что свет – это не только волна. Иногда он ведёт себя, как частица. Энштейн получил Нобелевскую премию за своё открытие, что свет излучается порциями, квантами. Квант света называется фотоном (фотон, Википедия ) .

Для того, чтобы легче было понять законы квантовой физики и механики (Википедия) , надо в некотором смысле абстрагироваться от привычных нам законов классической физики. И представить, что Вы занырнули, как Алиса, в кроличью нору, в Страну чудес.

А вот и мультик для детей и взрослых. Рассказывает о фундаментальном эксперименте квантовой механики с 2-мя щелями и наблюдателем. Длится всего 5 минут. Посмотрите его перед тем, как мы углубимся в основные вопросы и понятия квантовой физики.

Квантовая физика для чайников видео . В мультике обратите внимание на «глаз» наблюдателя. Он стал серьёзной загадкой для учёных-физиков.

Что такое интерференция?

В начале мультика было показано на примере жидкости, как ведут себя волны – на экране за пластиной со щелями появляются чередующиеся тёмные и светлые вертикальные полосы. А в случае, когда в пластину «стреляют» дискретными частицами (например, камушками), то они пролетают сквозь 2 щели и попадают на экран прямо напротив щелей. И «рисуют» на экране только 2 вертикальные полосы.

Интерференция света – это «волновое» поведение света, когда на экране отображается много чередующихся ярких и тёмных вертикальных полос. Еще эти вертикальные полосы называются интерференционной картиной .

В нашем макромире мы часто наблюдаем, что свет ведёт себя, как волна. Если поставить руку напротив свечи, то на стене будет не чёткая тень от руки, а с расплывающимися контурами.

Итак, не так уж всё и сложно! Нам сейчас вполне понятно, что свет имеет волновую природу и если 2 щели освещать светом, то на экране за ними мы увидим интерференционную картину. Теперь рассмотрим 2-й эксперимент. Это знаменитый эксперимент Штерна-Герлаха (который провели в 20-х годах прошлого века).

В установку, описанную в мультике, не светом светили, а «стреляли» электронами (как отдельными частицами). Тогда, в начале прошлого века, физики всего мира считали, что электроны – это элементарные частицы материи и должны иметь не волновую природу, а такую же, как камушки. Ведь электроны – это элементарные частицы материи, правильно? То есть, если ими «бросать» в 2 щели, как камушками, то на экране за прорезями мы должны увидеть 2 вертикальные полоски.

Но… Результат был ошеломляющий. Учёные увидели интерференционную картину – много вертикальных полосок. То есть электроны, как и свет тоже могут иметь волновую природу, могут интерферировать. А с другой стороны стало понятно, что свет не только волна, но немного и частица — фотон (из исторической справки в начале статьи мы узнали, что за это открытие Энштейн получил Нобелевскую премию).

Может помните, в школе нам рассказывали на физике про «корпускулярно-волновой дуализм» ? Он означает, что когда речь идет об очень маленьких частицах (атомах, электронах) микромира, то они одновременно и волны, и частицы

Это сегодня мы с Вами такие умные и понимаем, что 2 выше описанных эксперимента – стрельба электронами и освещение щелей светом – суть одно и тоже. Потому что мы стреляем по прорезям квантовыми частицами. Сейчас мы знаем, что и свет, и электроны имеют квантовую природу, являются и волнами, и частицами одновременно. А в начале 20-го века результаты этого эксперимента были сенсацией.

Внимание! Теперь перейдём к более тонкому вопросу.

Мы светим на наши щели потоком фотонов (электронов) – и видим за щелями на экране интерференционную картину (вертикальные полоски). Это ясно. Но нам интересно увидеть, как пролетает каждый из электронов в прорези.

Предположительно, один электрон летит в левую прорезь, другой – в правую. Но тогда должны на экране появиться 2 вертикальные полоски прямо напротив прорезей. Почему же получается интерференционная картина? Может электроны как-то взаимодействуют между собой уже на экране после пролёта через щели. И в результате получается такая волновая картина. Как нам за этим проследить?

Будем бросать электроны не пучком, а по одному. Бросим, подождём, бросим следующий. Теперь, когда электрон летит один, он уже не сможет взаимодействовать на экране с другими электронами. Будем регистрировать на экране каждый электрон после броска. Один-два конечно не «нарисуют» нам понятной картины. Но когда по одному отправим в прорези их много, то заметим…о ужас – они опять «нарисовали» интерференционную волновую картину!

Начинаем медленно сходить с ума. Ведь мы ожидали, что будет 2 вертикальные полоски напротив щелей! Получается, что когда мы бросали фотоны по одному, каждый из них проходил, как бы через 2 щели одновременно и интерферировал сам с собой. Фантастика! Вернёмся к пояснению этого феномена в следующем разделе.

Что такое спин и суперпозиция?

Мы теперь знаем, что такое интерференция. Это волновое поведение микро частиц – фотонов, электронов, других микро частиц (давайте для простоты с этого момента называть их фотонами).

В результате эксперимента, когда мы бросали в 2 щели по 1 фотону, мы поняли, что он пролетает как будто через две щели одновременно. Иначе как объяснить интерференционную картину на экране?

Но как представить картину, что фотон пролетает сквозь две щели одновременно? Есть 2 варианта.

• 1-й вариант: фотон, как волна (как вода) «проплывает» сквозь 2 щели одновременно
• 2-й вариант: фотон, как частица, летит одновременно по 2-м траекториям (даже не по двум, а по всем сразу)

В принципе, эти утверждения равносильны. Мы пришли к «интегралу по траекториям». Это формулировка квантовой механики от Ричарда Фейнмана.

Кстати, именно Ричарду Фейнману принадлежит известное выражение, что уверенно можно утверждать, что квантовую механику не понимает никто

Но это его выражение работало в начале века. Но мы то теперь умные и знаем, что фотон может вести себя и как частица, и как волна. Что он может каким-то непонятным для нас способом пролетать одновременно через 2 щели. Поэтому нам легко будет понять следующее важное утверждение квантовой механики:

Строго говоря, квантовая механика говорит нам, что такое поведение фотона – правило, а не исключение. Любая квантовая частица находится, как правило, в нескольких состояниях или в нескольких точках пространства одновременно .

Объекты макромира могут находится только в одном определенном месте и в одном определенном состоянии. Но квантовая частица существует по своим законам. И ей и дела нет до того, что мы их не понимаем. На этом — точка.

Нам остаётся просто признать, как аксиому, что «суперпозиция» квантового объекта означает то, что он может находится на 2-х или более траекториях одновременно, в 2-х или более точках одновременно

То же относится и к другому параметру фотона – спину (его собственному угловому моменту). Спин — это вектор. Квантовый объект можно представить как микроскопический магнитик. Мы привыкли, что вектор магнита (спин) либо направлен вверх, либо вниз. Но электрон или фотон опять говорят нам: «Ребята, нам плевать, к чему Вы привыкли, мы можем быть в обоих состояниях спина сразу (вектор вверх, вектор вниз), точно так же, как мы можем находиться на 2-х траекториях одновременно или в 2-х точках одновременно!».

Что такое «измерение» или «коллапс волновой функции»?

Нам осталось немного — понять ещё, что такое «измерение» и что такое «коллапс волновой функции».

Волновая функция — это описание состояния квантового объекта (нашего фотона или электрона).

Предположим, у нас есть электрон, он летит себе в неопределённом состоянии, спин его направлен и вверх, и вниз одновременно . Нам надо измерить его состояние.

Измерим при помощи магнитного поля: электроны, у которых спин был направлен по направлению поля, отклонятся в одну сторону, а электроны, у которых спин направлен против поля — в другую. Ещё фотоны можно направлять в поляризационный фильтр. Если спин (поляризация) фотона +1 – он проходит через фильтр, а если -1, то нет.

Стоп! Вот тут у Вас неизбежно возникнет вопрос: до измерения ведь у электрона не было какого-то конкретного направления спина, так? Он ведь был во всех состояниях одновременно?

В этом-то и заключается фишка и сенсация квантовой механики . Пока Вы не измеряете состояние квантового объекта, он может вращаться в любую сторону (иметь любое направление вектора собственного углового момента – спина). Но в момент, когда Вы измерили его состояние, он как будто принимает решение, какой вектор спина ему принять.

Вот такой крутой этот квантовый объект – сам принимает решение о своём состоянии. И мы не можем заранее предсказать, какое решение он примет, когда влетит в магнитное поле, в котором мы его измеряем. Вероятность того, что он решит иметь вектор спина «вверх» или «вниз» – 50 на 50%. Но как только он решил – он находится в определённом состоянии с конкретным направлением спина. Причиной его решения является наше «измерение»!

Это и называется «коллапсом волновой функции» . Волновая функция до измерения была неопределённой, т.е. вектор спина электрона находился одновременно во всех направлениях, после измерения электрон зафиксировал определённое направление вектора своего спина.

Внимание! Отличный для понимания пример-ассоциация из нашего макромира:

Раскрутите на столе монетку, как юлу. Пока монетка крутиться, у нёё нет конкретного значения — орёл или решка. Но как только Вы решите «измерить» это значение и прихлопните монету рукой, вот тут-то и получите конкретное состояние монеты – орёл или решка. А теперь представьте, что это монета принимает решение, какое значение Вам «показать» – орёл или решка. Примерно также ведёт себя и электрон.

А теперь вспомните эксперимент, показанный в конце мультика. Когда фотоны пропускали через щели, они вели себя, как волна и показывали на экране интерференционную картину. А когда учёные захотели зафиксировать (измерить) момент пролёта фотонов через щель и поставили за экраном «наблюдателя», фотоны стали вести себя, не как волны, а как частицы. И «нарисовали» на экране 2 вертикальные полосы. Т.е. в момент измерения или наблюдения квантовые объекты сами выбирают, в каком состоянии им быть.

Фантастика! Не правда ли?

Но это ещё не всё. Наконец-то мы добрались до самого интересного.

Но… мне кажется, что получится перегруз информации, поэтому 2 эти понятия мы рассмотрим в отдельных постах:

• Что такое ?
• Что такое мысленный эксперимент .

А сейчас, хотите, чтобы информация разложилась по полочкам? Посмотрите документальный фильм, подготовленный Канадским институтом теоретической физики. В нём за 20 минут очень кратко и в хронологическом порядке Вам поведают о всех открытиях квантовой физики, начиная с открытия Планка в 1900 году. А затем расскажут, какие практические разработки выполняются сейчас на базе знаний по квантовой физике: от точнейших атомных часов до суперскоростных вычислений квантового компьютера. Очень рекомендую посмотреть этот фильм.

До встречи!

Желаю всем вдохновения для всех задуманных планов и проектов!

P.S.2 Пишите Ваши вопросы и мысли в комментариях. Пишите, какие ещё вопросы по квантовой физике Вам интересны?

P.S.3 Подписывайтесь на блог - форма для подписки под статьёй.

ПЛАН

ВВЕДЕНИЕ 2

1. ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 5

2. МЕСТО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ СРЕДИ ДРУГИХ НАУК О ДВИЖЕНИИ. 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17

ЛИТЕРАТУРА 18

Введение

Квантовая механика - теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов), а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах. Законы квантовой механики (в дальнейшем К.м.) составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение атомов, установить природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение ядер атомных, изучать свойства элементарных частиц.

Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. К. м. позволила, например, объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоёмкости газов и твёрдых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как белые карлики, нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций в Солнце и звёздах. Существуют также явления (например, Джозефсона эффект), в которых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов.

Так, квантово-механические законы лежат в основе работы ядерных реакторов, обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, используемых в новейшей технике, и т.д. Фундамент такой бурно развивающейся области физики, как квантовая электроника, составляет квантовомеханическая теория излучения. Законы К. м. используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Квантовая механика становится в значительной мере «инженерной» наукой, знание которой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

1. История создания квантовой механики

В начале 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля (классической электродинамики) к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая - с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов К. м.

Впервые квантовые представления (в т. ч. квантовая постоянная h ) были введены в физику в работе М. Планка (1900), посвященной теории теплового излучения.

Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики, приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамическое) равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, т.к. вся энергия рано или поздно должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, на основе чрезвычайно смелой гипотезы. В противоположность классической теории излучения, рассматривающей испускание электромагнитных волн как непрерывный процесс, Планк предположил, что свет испускается определенными порциями энергии - квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света n и равна E = h n. От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся окончательной формулировкой К. м. в двух ее формах (1927).

Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в которой была дана теория фотоэффекта - явления вырывания светом электронов из вещества.

В развитие идеи Планка Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями - квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету - что сам свет состоит из отдельных порций - световых квантов (которые позднее были названы фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний n волны соотношением Планка E = h n.

Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц - фотона и электрона. Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причем фотону наряду с энергией E = h n следует приписать импульс р = h / l = h n / c , где l - длина световой волны.

Энергия и импульс фотона связаны соотношением E = cp, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой. Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции света) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц - фотонов. В этом проявляется дуализм света, его сложная корпускулярно-волновая природа.

Дуализм содержится уже в формуле E = h n , не позволяющей выбрать какую-либо одну из двух концепций: в левой части равенства энергия E относится к частице, а в правой - частота n является характеристикой волны. Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ квантовой механики.

В 1924 Л. де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 Н. Бором условиям квантования атомных орбит, выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствие волну, длина которой L связана с импульсом частицы р соотношением. По этой гипотезе не только фотоны, но и все «обыкновенные частицы» (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции.

В 1927 К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально

В 1926 Э. Шрёдингер предложил уравнение, описывающее поведение таких «волн» во внешних силовых полях. Так возникла волновая механика. Волновое уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерялитивистской К. м.

В 1928 П. Дирак сформулировал релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных уравнений релятивистской квантовой механики.

Вторая линия развития начинается с работы Эйнштейна (1907), посвященной теории теплоемкости твердых тел (она также является обобщением гипотезы Планка). Электромагнитное излучение, представляющее собой набор электромагнитных волн различных частот, динамически эквивалентно некоторому набору осцилляторов (колебательных систем). Излучение или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что излучение и поглощение электромагнитного излучения веществом происходят квантами энергии h n. Эйнштейн обобщил эту идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твердых тел сводится к колебаниям атомов, то и твердое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии (энергий, которыми может обладать осциллятор) должна равняться h n, где n - частота колебаний атомов.

Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем, М. Борном и Т. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел.

В 1913 Н. Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель которого следовала из результатов опытов Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны.

Рассмотрение такого движения на основе классических представлений приводило к парадоксальному результату - невозможности стабильного существования атомов: согласно классической электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию. Радиус его орбиты должен уменьшится и за время порядка 10 –8 сек электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в атоме, т.к. атомы существуют и чрезвычайно устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения электрона в электрическом поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, которые удовлетворяют определённым условиям квантования. Т. е. в атоме существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии.

Эти уровни подчиняются определённой закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов Ньютоновой механики с условиями квантования, требующими, чтобы величина действия для классической орбиты была целым кратным постоянной Планка.

Бор постулировал, что, находясь на определённом уровне энергии (т. е. совершая допускаемое условиями квантования орбитальное движение), электрон не излучает световых волн.

Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии E i , на другой с меньшей энергией E k , при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход:

h n = E i - E k . (1)

Так возникает линейчатый спектр - основная особенность атомных спектров, Бор получил правильную формулу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирических формул.

Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка - Герца опытами (1913-14). Было установлено, что электроны, бомбардирующие газ, теряют при столкновении с атомами только определённые порции энергии, равные разности энергетических уровней атома.

Н. Бор, используя квантовую постоянную h , отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме (и что законы этого движения существенно отличаются от законов классической механики). Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волнового дуализма, содержащегося в гипотезе де Бройля. Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счёт нарушения логической цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой - привлекались чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах возникновение молекулярной связи.

«Полуклассическая» теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одногоуровня энергии на другой.

Дальнейшая напряжённая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что, сохраняя классическую картину движения электрона по орбите, логически стройную теорию построить невозможно.

Осознание того факта, что движение электронов в атоме не описывается в терминах (понятиях) классической механики (как движение по определённой траектории), привело к мысли, что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая теория, в которую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома.

В 1925 В. Гейзенбергу удалось построить такую формальную схему, в которой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебраические величины - матрицы; связь матриц с наблюдаемыми величинами (энергетическими уровнями и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита М. Борном и П. Иорданом. Так возникла матричная механика. Вскоре после появления уравнения Шрёдингера была показана математическая эквивалентность волновой (основанной на уравнении Шрёдингера) и матричной механики. В 1926 М. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании квантовой механики сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончательное формирование квантовой механики как последовательной физической теории с ясными основами и стройным математическим аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в которой было сформулировано неопределённостей соотношение - важнейшее соотношение, освещающее физический смысл уравнений квантовой механики., её связь с классической механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качественные результаты квантовой механики. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому В. Паули) о том, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутренняя характеристика (квантовое число) - спин.

Важную роль сыграл открытый В. Паули (1925) так называемый принцип запрета имеющий фундаментальное значение в теории атома, молекулы, ядра, твёрдого тела.

В течение короткого времени квантовой механика была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории атомных спектров, строения молекул, химической связи, периодической системы Д. И. Менделеева, металлической проводимости и ферромагнетизма. Эти и многие др. явления стали (по крайней мере качественно) понятными.