Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения материального объекта вне зависимости от характера налагаемых на это движение условий. При этом динамическим уравнениям движения придается вид уравнений равновесия. Отсюда второе название принципа Даламбера – метод кинетостатики.

Для материальной точки в любой момент движения геометрическая сумма приложенных активных сил, реакций связей и условно присоединенной силы инерции равна нулю (рис. 48).

Где Ф-сила инерции материальной точки, равная:

. (15.2)

Рисунок 48

Рисунок 49

Сила инерции приложена не к движущемуся объекта, а к связям, определяющим его движение. Человек сообщает ускорение вагонетке (рис. 49), толкая ее силой.Сила инерции представляет собой противодействие действию человека на вагонетку, т.е. по модулю равна силе и направлена в противоположную сторону.

Если точка движется по криволинейной траектории, то силу инерции можно спроецировать на естественные оси координат.

Рисунок 50

; (15.3)

, (15.4) где -- радиус кривизны траектории.

При решении задач с помощью метода кинетостатики необходимо:

1. выбрать систему координат;

2. показать все активные силы, приложенные к каждой точке;

3. отбросить связи, заменив их соответствующими реакциями;

4. добавить к активным силам и реакциям связей силу инерции;

5. составить уравнения кинетостатики, из которых определить искомые величины.

ПРИМЕР 21.

О

РЕШЕНИЕ.

1. Рассмотрим автомобиль, находящийся в верхней точке выпуклого моста. Рассмотрим автомобиль как материальную точку, на которую заданная сила и реакцию связи.

2. Так как автомобиль движется с постоянной скоростью, запишем принцип Даламбера для материальной точки в проекции на нормаль
. (1) Выразим силу инерции:
; нормальное давление автомобиля определим из уравнения (1):Н.

пределить давление автомобиля весомG=10000H, находящегося в верхней точке выпуклого моста радиусом =20м и движущегося с постоянной скоростьюV=36км/ч (рис. 51).

16. Принцип даламбера для механическойй системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.

Если к каждой точке механической системы в любой момент движения условно приложить соответствующую силы инерции, то в любой момент движения геометрическая сумма действующих на точку активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю.

Уравнение, выражающее принцип Даламбера для механической системы, имеет вид
. (16.1) Сумма моментов этих уравновешенных сил относительно любого центра также равна нулю
. (16.2) При применении принципа Даламбера уравнения движения системы составляются в форме уравнений равновесия. С помощью уравнений (16.1) и (16.2) можно определить динамические реакции.

ПРИМЕР 22.

Вертикальный вал АК, вращающийся с постоянной угловой скоростью =10с -1 , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке К (рис. 52). К валу в точке Е прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m=10кг и длиной 10b, состоящий из частей 1 и 2, где b=0,1м, а их массы m 1 и m 2 пропорциональны длинам. Стержень прикреплен к валу шарниром в точке Е и невесомым стержнем 4 жестко закрепленным в точке В. Определить реакцию шарнира Е и стержня 4.

РЕШЕНИЕ.

1. Длина ломаного стержня равна 10b. Выразим массы частей стержня, пропорциональные длинам: m 1 =0,4m; m 2 =0,3m; m 3 =0,3m.

Рисунок 42

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение ломаного стержня и применим принцип Даламбера. Расположим стержень в плоскости ху, изобразим действующие на него внешние силы: ,,, реакции шарнираии реакцию
стержня 4. Присоединяем к этим силам силы инерции частей стержня:
;
;
,

где
;
;
.

Тогда Н.Н.Н.

Линия действия равнодействующих сил инерции ,
и
проходит на расстоянияхh 1 , h 2 и h 3 от оси х: м;

3. Согласно принципу Даламбера приложенные активные силы, реакции связей и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для плоской системы сил три уравнения равновесия:

; ; (1)
;; (2)
;.(3)

Решая систему уравнений (1)+(3), подставляя заданные значения соответствующих величин, найдем искомые реакции:

N= y E = x E =

Если все силы, действующие на точки механической системы, подразделить на внешние и внутренние, (рис. 53), то для произвольной точки механической системы можно записать два векторных равенства:

; (16.3)
.

Рисунок 53

Учитывая свойства внутренних сил, получим принцип Даламбера для механической системы в следующем виде:
; (16.4)
, (16.5) где,-- соответственно главные векторы внешних сил и сил инерции;

,
-- соответственно главные моменты внешних сил и сил инерции относительно произвольного центра О.

Главный вектор и главный момент
заменяют силы инерции всех точек системы, так как к каждой точке системы необходимо приложить свою силу инерции, зависящую от ускорения точки. Используя теорему о движении центра масс и об изменении кинетического момента системы относительно произвольного центра, получаем:
, (16.6)

. (16.7) Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, главный момент сил инерции относительно этой оси равен
, (16.8) где-- угловое ускорение тела.

При поступательном движении тела силы инерции всех его точек приводятся к равнодействующей, равной главному вектору сил инерции, т.е.
.

П

Рисунок 54

ри вращении тела вокруг неподвижной осиz, проходящей через центр масс, силы инерции всех точек тела приводятся к паре сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и имеющей момент
, (16.9) где-- момент инерции тела относительно оси вращения.

Если тело имеет плоскость симметрии и вращается вокруг неподвижной оси z, перпендикулярной плоскости симметрии и не проходящей через центр масс тела, сила инерции всех точек тела приводится к равнодействующей, равной главному вектору сил инерции системы, но приложенной к некоторой точке К (рис. 54). Линия действия равнодействующей отстоит от точки О на расстоянии
. (16.10)

При плоском движении тела, имеющего плоскость симметрии, тело движется вдоль этой плоскости (рис.55). Главный вектор и главный момент сил инерции также лежат в этой плоскости и определяются по формулам:

Рисунок 55

;

.

Знак минус показывает, что направление момента
противоположно направлению углового ускорения тела.

ПРИМЕР 23.

Определить силу, стремящуюся разорвать равномерно вращающийся маховик массой m, считая его массу распределенной по ободу. Радиус маховика r, угловая скорость (рис. 56).

РЕШЕНИЕ.

1. Искомая сила является внутренней.-- равнодействующая сил инерции элементов обода.
. Выразим координату х с центра масс дуги обода с центральным углом
:
, тогда
.

2. Для определения силы применим принцип Даламбера в проекции на ось х:
;
, откуда
.

3. Если маховик – сплошной однородный диск, то
, тогда
.

Принцип Даламбера применяется при решении первой основной задачи динамики несвободной точки, когда известны движение точки и действующие на неё активные силы, а отыскивается возникающая реакция связи.

Запишем основное уравнение динамики несвободной точки в инерциальной системе отсчёта:

Перепишем уравнение в виде:

.

Обозначив , получим

, (11.27)

где вектор называется Даламберовой силой инерции .

Формулировка принципа: В каждый момент движения несвободной материальной точки активная сила и реакция связи уравновешиваются Даламберовой силой инерции .

Проектируя векторное уравнение (11.27) на какие-либо координатные оси, мы получим соответствующие уравнения равновесия, пользуясь которыми можно находить неизвестные реакции.

Спроектируем уравнение (11.27) на естественные оси:

(11.28)

где называется центробежной силой инерции, всегда направленной в отрицательную сторону главной нормали; .

Замечания:

1). В действительности к точке помимо сил и каких-либо других физических сил не приложено и три силы не составляют уравновешенную систему сил. В этом смысле Даламберова сила инерции является фиктивной силой, условно прикладываемой к точке.

2). Принцип Даламбера следует рассматривать как удобный методический прием, позволяющий задачу динамики свести к задаче статики.

Пример 1. Определим реакцию связи, действующую на лётчика при выходе самолёта, движущегося в вертикальной плоскости, из пикирующего полёта (рис.11.5).

На лётчика действует сила тяжести и реакция сидения . Применим принцип Даламбера, присоединив к этим силам Даламберову силу инерции:

(11.29)

Запишем уравнение (11.29) в проекциях на нормаль :

(11.30)

где r - радиус окружности при выходе самолёта на горизонтальный полёт,

Максимальная скорость самолёта в этот момент.

Из уравнения (11.30)

(11.31)

Пример 2. Определим теперь ту же реакцию, действующую на лётчика в момент выхода из режима набора высоты (рис.11.6).

Относительное движение материальной точки

Если системы отсчета движутся относительно инерциальной системы отсчета не поступательно, либо неравномерно или криволинейно движутся начала их координат, то такие системы отсчета являются неинерциальными . В этих системах отсчета аксиомы А 1 и А 2 не соблюдаются, но из этого не следует, что в динамике исследуются лишь движения, происходящие в инерциальных системах отсчета. Рассмотрим движение материальной точки в неинерциальной системе координат, если известны силы, действующие на материальную точку, и задано движение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета. В дальнейшем инерциальная система отсчета будет называться неподвижной, а неинерциальная – подвижной системой отсчета. Пусть - равнодействующая активных сил, действующих на точку, а - равнодействующая реакции связей; - неподвижная система координат; - подвижная система координат.

Рассмотрим движение материальной точки М (рис. 11.7), не связанной жестко с подвижной системой координат, а движущейся по отношению к ней. Это движение точки в кинематике называли относительным, движение точки относительно неподвижной системы координат – абсолютным, движение подвижной системы координат – переносным.

Основной закон динамики для абсолютного движения точки М будет иметь вид

(11.33)

где - абсолютное ускорение точки.

На основании теоремы сложения ускорений кинематики (теоремы Кориолиса) абсолютное ускорение складывается из относительного, переносного и кориолисова ускорений

. (11.34)

Подставляя (11.34) в (11.33), получим

и после переноса и ввода обозначений

(11.35)

где ; вектор называют переносной силой инерции; - кориолисовой силой инерции.

Равенство (11.35) выражает закон относительного движения точки. Следовательно, движение точки в неинерциальной системе отсчета можно рассматривать как движение в инерциальной системе, если к числу действующих на точку активных сил и реакций связей добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Силы инерции в динамике материальной точки и механической системы

Силой инерции материальной точки называется произведение массы точки на ее ускорение, взятое со знаком минус, т. е. Силы инерции в динамике применяются в следующих случаях:

• 1. При исследовании движения материальной точки в неинерциальной (подвижной) системе координат, т. е. относительного движения. Это переносная и кориолисова силы инерции, которые часто называют эйлеровыми.
• 2. При решении задач динамики с использованием метода кинетостатики. В основу этого метода положен принцип Даламбера, в соответствии с которым вводятся силы инерции материальной точки или системы материальных точек, движущихся с некоторым ускорением в инерциальной системе отсчета. Эти силы инерции называются даламберовыми.
• 3. Даламберовы силы инерции применяются также при решении задач динамики с использованием принципа Лагранжа-Даламбера или общего уравнения динамики.

Выражение в проекциях на оси декартовых координат

где - модули проекций ускорения точки на оси декартовых координат.

При криволинейном движении точки силу инерции можно разложить на касательную и нормальную:; , - модуль касательного и нормального ускорений; - радиус кривизны траектории;

V - скорость точки.

Принцип Даламбера для материальной точки

Если к несвободной материальной точке, движущейся под действием приложенных активных сил и сил реакций связей, приложить ее силу инерции, то в любой момент времени полученная система сил будет уравновешенной, т. е. геометрическая сумма указанных сил будет равна нулю.

механический точка тело материальный

где - равнодействующая активных сил, приложенных к точке; - равнодействующая реакций связей, наложенных на точку; сила инерции материальной точки. Примечание: На самом деле сила инерции материальной точки приложена не к самой точке, а к тому телу, которое сообщает ускорение данной точке.

Принцип Даламбера для механической системы

Геометрическая сумма главных векторов внешних сил, действующих на систему, и сил инерции всех точек системы, а также геометрическая сумма главных моментов этих сил относительно некоторого центра для несвободной механической системы в любой момент времени равны нулю, т.

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела

Главный вектор и главный момент сил инерции точек системы определяются отдельно для каждого твердого тела, входящего в данную механическую систему. Их определение основывается на известном из статики методе Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру.

На основании этого метода силы инерции всех точек тела в общем случае его движения можно привести к центру масс и заменить их главным вектором * и главным моментом относительно центра масс. Они определяются по формулам т. е. при любом движении твердого тела главный вектор сил инерции равен со знаком минус произведению массы тела на ускорение центра масс тела; ,где r kc -- радиус-вектор k-й точки, проведенный из центра масс. Эти формулы в частных случаях движения твердого тела имеют вид:

1. Поступательное движение.

2. Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс

3. Плоскопараллельное движение

Введение в аналитическую механику

Основные понятия аналитической механики

Аналитическая механика - область (раздел) механики, в котором изучается движение или равновесие механических систем с помощью общих, единых аналитических методов, применяемых для любых механических систем.

Рассмотрим наиболее характерные понятия аналитической механики.

1. Связи и их классификация.

Связи -- любые ограничения в виде тел или каких-либо кинематических условий, накладываемые на движения точек механической системы. Эти ограничения могут быть записаны в виде уравнений или неравенств.

Геометрические связи -- связи, уравнения которых содержат только координаты точек, т. е. ограничения накладываются только на координаты точек. Это связи в виде тел, поверхностей, линий и т. п.

Дифференциальные связи -- связи, накладывающие ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости.

Голономные связи -- все геометрические связи и те дифференциальные, уравнения которых могут быть проинтегрированы.

Неголономные связи -- дифференциальные неинтегрируемые связи.

Стационарные связи -- связи, в уравнения которых не входит явно время.

Нестационарные связи -- связи, изменяющиеся с течением времени, т. е. в уравнения которых явно входит время.

Двусторонние (удерживающие) связи -- связи, ограничивающие движение точки в двух противоположных направлениях. Такие связи описываются уравнениями.

Односторонние (неудерживающие) связи - связи, ограничивающие движение только в одном направлении. Такие связи описываются неравенствами

2. Возможные (виртуальные) и действительные перемещения.

Возможными или виртуальными перемещениями точек механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые допускают наложенные на систему связи.

Возможным перемещением механической системы называется совокупность одновременных возможных перемещений точек системы, совместимых со связями. Пусть механическая система -- кривошипно-шатунный механизм.

Возможным перемещением точки А является перемещение которое в силу его малости считается прямолинейным и направленным перпендикулярно к ОА.

Возможным перемещением точки В (ползуна) является перемещение в направляющих. Возможным перемещением кривошипа ОА является поворот на угол, а шатуна АВ -- на угол вокруг МЦС (точка Р).

Действительными перемещениями точек системы называются также элементарные перемещения, которые допускают наложенные связи, но с учетом начальных условий движения и действующих на систему сил.

Число степеней свободы S механической системы - это число ее независимых возможных перемещений, которые можно сообщить точкам системы в фиксированный момент времени.

Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Принцип возможных перемещений или принцип Лагранжа выражает условие равновесия несвободной механической системы, находящейся под действием приложенных активных сил. Формулировка принципа.

Для равновесия несвободной механической системы с двусторонними, стационарными, голономными и идеальными связями, находящейся в покое под действием приложенных активных сил, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил равнялась пулю на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия:

Общее уравнение динамики (принцип Лагранжа-Даламбера)

Общее уравнение динамики применяется к исследованию движения несвободных механических систем, тела или точки которых движутся с некоторыми ускорениями.

В соответствии с принципом Даламбера совокупность приложенных к механической системе активных сил, сил реакций связей и сил инерции всех точек системы образует уравновешенную систему сил.

Если к такой системе применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа), то получим объединенный принцип Лагранжа-Даламбера или общее уравнение динамики. Формулировка этого принципа.

При движении несвободной механической системы с двусторонними, идеальными, стационарными и голономными связями сумма элементарных работ всех приложенных к точкам системы активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода - это дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Для системы с S степенями свободы эти уравнения имеют вид

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем. Циклические координаты и интегралы

Для консервативной системы обобщенные силы определяются через потенциальную энергию системы по формуле

Тогда уравнения Лагранжа перепишутся в виде

Так как потенциальная энергия системы есть функция только обобщенных координат, т. е. , то С учетом этого представим в виде, где Т - П = L -- функция Лагранжа (кинетический потенциал). Окончательно уравнения Лагранжа для консервативной системы

Устойчивость положения равновесия механической системы

Вопрос об устойчивости положения равновесия механических систем имеет непосредственное значение в теории колебания систем.

Положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Устойчивое положение равновесия - положение равновесия, при котором точки механической системы, выведенные из этого положения, в дальнейшем движутся под действием сил в непосредственной близости возле своего равновесного положения.

Это движение будет обладать той или иной степенью повторяемости во времени, т. е. система будет совершать колебательное движение.

Неустойчивое положение равновесия - положение равновесия, из которого при сколь угодно малом отклонении точек системы в дальнейшем действующие силы еще дальше будут удалять точки от их равновесного положения.

Безразличное положение равновесия -- положение равновесия, когда при любом малом начальном отклонении точек системы от этого положения в новом положении система также остается в равновесии..

Для определения устойчивого положения равновесия механической системы существуют различные методы.

Рассмотрим определение устойчивого положения равновесия на основании теоремы Лагранжа-Дирихле

Если в положении равновесия консервативной механической системы с идеальными и стационарными связями ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.

Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Этот промежуток времени называется временем удара. При ударе в течение бесконечно малого промежутка времени действует ударная сила. Ударной силой называется сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Eсли конечная по модулю сила действует в течение времени, начиная свое действие в момент времени , то ее импульс имеет вид

Также при действии ударной силы на материальную точку можно сказать, что:

действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь;

перемещение материальной точки за время удара можно не учитывать;

результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечном изменении за время удара вектора ее скорости.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам систем, где - количество движения механической системы в момент окончания действия ударных сил, - количество движения механической системы в момент начала действия ударных сил, - внешний ударный импульс.

Принцип Даламбера позволяет сформулировать задачи динамики механических систем как задачи статики. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придают вид уравнений равновесия. Такой метод называют методом кинетостатики .

Принцип Даламбера для материальной точки: «В каждый момент времени движения материальной точки, фактически действующие на нее активные силы, реакции связей и условно приложенная к точке сила инерции образуют уравновешенную систему сил »

Силой инерции точки называют векторную величину, имеющую размерность силы, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно вектору ускорения

. (3.38)

Рассматривая механическую систему как совокупность материальных точек, на каждую из которых действуют, согласно принципу Даламбера, уравновешенные системы сил, имеем следствия из этого принципа применительно к системе. Главный вектор и главный момент относительно любого центра приложенных к системе внешних сил и сил инерции всех ее точек равны нулю:

(3.39)

Здесь внешними силами являются активные силы и реакции связей.

Главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение ее центра масс и направлен в сторону, противоположную этому ускорению

. (3.40)

Главный момент сил инерции системы относительно произвольного центра О равен взятой с обратным знаком производной по времени от кинетического момента ее относительно того же центра

. (3.41)

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz , найдем главный момент сил инерции относительно этой оси

. (3.42)

3.8. Элементы аналитической механики

В разделе «Аналитическая механика» рассматривают общие принципы и аналитические методы решения задач механики материальных систем.

3.8.1.Возможные перемещения системы. Классификация

некоторых связей

Возможными перемещениями точек
механической системы называют любые воображаемые, бесконечно малые их перемещения, допускаемые наложенными на систему связями, в фиксированный момент времени. По определению, числом степеней свободы механической системы называют число ее независимых возможных перемещений.

Связи, наложенные на систему, называют идеальными , если сумма элементарных работ их реакций на любом из возможных перемещений точек системы равна нулю

. (3. 43)

Связи, для которых налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы, называют удерживающими . Связи, не изменяющиеся во времени, в уравнения которых явно не входит время, называют стационарными . Связи, ограничивающие только перемещения точек системы, называют геометрическими , а ограничивающие скорости – кинематическими . В дальнейшем будем рассматривать только геометрические связи и те кинематические, которые могут быть путем интегрирования сведены к геометрическим.

3.8.2. Принцип возможных перемещений

Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы

сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на нее, на любых возможных перемещениях системы была равна нулю

. (3.44)

В проекциях на оси координат:

. (3.45)

Принцип возможных перемещений позволяет установить в общей форме условия равновесия любой механической системы, не рассматривая равновесие отдельных ее частей. При этом учитываются только действующие на систему активные силы. Неизвестные реакции идеальных связей в эти условия не входят. Вместе с тем данный принцип позволяет определять неизвестные реакции идеальных связей путем отбрасывания этих связей и введения их реакций в число активных сил. При отбрасывании связей, реакции которых необходимо определить, система приобретает дополнительно соответствующее число степеней свободы.

Пример 1 . Найти зависимость между силами идомкрата, если известно, что при каждом повороте рукояткиАВ = l , винт С выдвигается на величину h (рис. 3.3).

Решение

Возможные перемещения механизма – это поворот рукоятки  и перемещение груза h . Условие равенства нулю элементарных работ сил:

Pl  – Q h = 0;

Тогда
. Так какh  0, то

3.8.3. Общее вариационное уравнение динамики

Рассмотрим движение системы, состоящей из n точек. На нее действуют активные силы и реакции связей .(k = 1,…,n ) Если к действующим силам добавить силы инерции точек
, то, согласно принципу Даламбера, полученная система сил будет находиться в равновесии и, следовательно, справедливо выражение, записанное на основе принципа возможных перемещений (3.44):

. (3.46)

Если все связи идеальные, то 2-я сумма равна нулю и в проекциях на оси координат равенство (3.46) будет выглядеть следующим образом:

Последнее равенство представляет собой общее вариационное уравнение динамики в проекциях на оси координат, которое позволяет составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Общее вариационное уравнение динамики – это математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа : «При движении системы, подчиненной стационарным, идеальным, удерживающим связям, в каждый данный момент времени сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к системе, и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю ».

Пример 2 . Для механической системы (рис. 3.4), состоящей из трех тел определить ускорение груза 1 и натяжение троса 1-2, если: m 1 = 5m ; m 2 = 4m ; m 3 = 8m ; r 2 = 0,5R 2 ; радиус инерции блока 2 i = 1,5r 2 . Каток 3 представляет собой сплошной однородный диск.

Решение

Изобразим силы, которые совершают элементарную работу на возможном перемещении s груза 1:

Запишем возможные перемещения всех тел через возможное перемещение груза 1:

Выразим линейные и угловые ускорения всех тел через искомое ускорение груза 1 (отношения такие же, как и в случае возможных перемещений):

.

Общее вариационное уравнение для данной задачи имеет вид:

Подставляя полученные ранее выражения для активных сил, сил инерции и возможных перемещений, после несложных преобразований получим

Так как s  0, следовательно, равно нулю выражение в скобках, содержащее ускорение а 1 , откуда a 1 = 5g /8,25 = 0,606g .

Для определения натяжения троса, удерживающего груз, освободим груз от троса, заменив действие его искомой реакцией . Под действием заданных сил ,и приложенной к грузу силы инерции
он находится в равновесии. Следовательно, к рассматриваемому грузу (точке) применим принцип Даламбера, т.е. запишем, что
. Отсюда
.

3.8.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода

Обобщенные координаты и обобщенные скорости . Любые независимые между собой параметры, однозначно определяющие положение механической системы в пространстве, называют обобщенными координатами . Эти координаты, обозначаемые q 1 ,....q i , могут иметь любую размерность. В частности, обобщенные координаты могут быть перемещениями или углами поворота.

Для рассматриваемых систем число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Положение каждой точки системы является однозначной функцией обобщенных координат

Таким образом, движение системы в обобщенных координатах определяется следующими зависимостями:

Первые производные от обобщенных координат называют обобщенными скоростями :
.

Обобщенные силы. Выражение для элементарной работы силы на возможном перемещении
имеет вид:

.

Для элементарной работы системы сил запишем

Используя полученные зависимости, это выражение можно записать в виде:

,

где обобщенная сила, соответствующая i -й обобщенной координате,

. (3.49)

Таким образом, обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, является коэффициент при вариации этой координаты в выражении суммы элементарных работ активных сил на возможном перемещении системы. Для вычисления обобщенной силы необходимо сообщить системе возможное перемещение, при котором изменяется только обобщенная координата q i . Коэффициент при
и будет искомой обобщенной силой.

Уравнения движения системы в обобщенных координатах . Пусть дана механическая система с s степенями свободы. Зная действующие на нее силы, необходимо, составить дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах
. Применим процедуру составления дифференциальных уравнений движения системы – уравнений Лагранжа 2-го рода – по аналогии вывода этих уравнений для свободной материальной точки. Исходя из 2-го закона Ньютона, запишем

Получим аналог этим уравнениям, используя запись для кинетической энергии материальной точки,

Частная производная от кинетической энергии по проекции скорости на ось
равна проекции количества движения на эту ось, т.е.

Чтобы получить необходимые уравнения, вычислим производные по времени:

Полученная система уравнений является уравнениями Лагранжа 2-го рода для материальной точки.

Для механической системы уравнения Лагранжа 2-го рода представим в виде уравнений, в которых вместо проекций активных сил P x , P y , P z используют обобщенные силы Q 1 , Q 2 ,...,Q i и учитывают в общем случае зависимость кинетической энергии от обобщенных координат.

Уравнения Лагранжа 2-го рода для механической системы имеют вид:

. (3.50)

Их можно использовать для изучения движения любой механической системы с геометрическими, идеальными и удерживающими связями.

Пример 3 . Для механической системы (рис. 3.5), данные для которой приведены в предыдущем примере, составить дифференциальное уравнение движения, используя уравнение Лагранжа 2-го рода,

Решение

Механическая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем линейное перемещение груза q 1 = s ; обобщенная скорость – . С учетом этого запишем уравнение Лагранжа 2-го рода

.

Составим выражение для кинетической энергии системы

.

Выразим все угловые и линейные скорости через обобщенную скорость:

Теперь получим

Вычислим обобщенную силу, составив выражение элементарной работы на возможном перемещении s всех действующих сил. Без учета сил трения работу в системе производит только сила тяжести груза 1
Запишем обобщенную силу при s , как коэффициент в элементарной работе Q 1 = 5mg . Далее найдем

Окончательно дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:

Первоначально идея этого принципа была высказана Яковом Бернулли (1654-1705) при рассмотрении задачи о центре колебаний тел произвольной формы. В 1716 г. петербургский академик Я. Герман (1678 - 1733) выдвинул принцип статической эквивалентности «свободных» движений и «фактических» движений, т. е. движений, осуществляемых при наличии связей. Позже этот принцип был применен Л. Эйлером (1707- 1783) к задаче о колебаниях гибких тел (работа была опубликована в 1740 г.) и получил название «петер-бурского принципа». Однако первым, кто сформулировал рассматриваемый принцип в общем виде, хотя и не дал ему надлежащего аналитического выражения, был Даламбер (1717-1783). В своей «Динамике» вышедшей в 1743 г., он указал общий метод подхода к решению задач динамики несвободных систем. Аналитическое выражение этого принципа было дано позднее Лагранжем в его «Аналитической механике».

Рассмотрим некоторую несвободную механическую систему. Обозначим равнодействующую всех активных сил, действующих на какую-либо точку системы, через а равнодействующую реакций связей - через Тогда уравнение движения точки будет иметь вид

где - вектор ускорения точки, а масса этой точки.

Если ввести в рассмотрение силу называемую даламберовой силой инерциито уравнение движения (2.9) можно переписать в форме уравнения равновесия трех сил:

Уравнение (2.10) составляет существо принципа Даламбера для точки, а это же уравнение, распространенное на систему, - существо принципа Даламбера для системы.

Уравнение движения, написанное в форме (2.10), позволяет дать принципу Даламбера следующую формулировку: если систему находящуюся в движении, в какой-либо момент времени мгновенно остановить и к каждой материальной точке этой системы приложить действовавшие на нее в момент остановки активные силы реакции связей и даламберовы силы инерции то система останется в равновесии.

Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения несвободных систем написать в форме уравнений статики.

Этим самым, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как задача интегрирования уравнений движения по-прежнему сохраняется, но принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения несвободных систем, и в этом его главное преимущество.

Если иметь в виду, что реакции представляют собой действие связей на точки системы, то принципу Даламбера можно дать и такую формулировку: если к активным силам действующим на точки несвободной системы, присоединить даламберовы силы инерции то результирующие этих сил уравновесятся реакциями связей. Следует подчеркнуть условность этой формулировки, так как в действительности

при движении системы никакого уравновешивания нет, поскольку силы инерции к точкам системы не приложены.

Наконец, принципу Даламбера можно дать еще одну эквивалентную формулировку, для чего уравнение (2.9) перепишем в такой форме: