Русский математик и логик, основатель школы т.н. конструктивной математики; сын математика А.А. Маркова .

А.А. Марков уточнил понятие нормального алгорифма.

«В начале 1950-х годов в работах А.А. Маркова (первые публикации которого по теории алгоритмов относятся ко второй половине 1940-х годов) получила развитие та идея, что все математические алгоритмы можно свести к повторению однотипных элементарных операций, выполняемых в строгом соответствии с чётко зафиксированным предписанием, которое после очень простого объяснения на естественном языке или даже демонстрации на примерах становится понятным каждому.
В 1951 г. в «Трудах Математического института АН СССР» (т. XXXVIII) была помещена статья А.А. Маркова «Теория алгорифмов», излагающая новую концепцию, а в 1954 г. вышла его большая монография. Ныне она, как и работы Чёрча и Тьюринга , принадлежит к логической классике».

Бирюков Б.В., Тростников В.Н., Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики, М., «Едиториал УРСС», 2004 г., с.147-148.

«… из доказанной в математической логике теоремы о возможности осуществления любого рекурсивного процесса на некоторой машине Тьюринга вытекает, что с помощью алгорифмов Маркова осуществимо всё, что осуществимо путём применения аппарата рекурсивных функций. Но не предусматривают ли марковские алгорифмы возможности более широкого круга процедур? Ведь алфавиты и списки формул подстановок могут быть чрезвычайно разнообразны.

Вскоре после создания Марковым своей теории, в 1953 г., была опубликована теорема, доказанная его учеником В. К. Детловсом, согласно которой всякий процесс, реализуемый с помощью нормального алгорифма, реализуем и посредством некоторой рекурсивной функции.

Это значит, что рекурсивные функции и машины Тьюринга «равнообъёмны» нормальным алгорифмам и что тезисы Чёрча и Тьюринга получают подкрепление в виде принципа, названного А. А. Марковым принципом нормализации (его естественно также называть тезисом Маркова): всякое точное общепонятное предписание, определяющее произвольный потенциально осуществимый процесс переработки слов в каком-либо алфавите, ведущий от варьируемых исходных данных к некоторому результату, может быть представлено в виде некоего нормального алгорифма.

Общность и значимость этого принципа становятся ясными, как только мы примем во внимание, что любой вычислительный процесс, более того, всякий иной жестко детерминированный процесс, протекающий в переменной, но однотипной среде, можно трактовать как переработку слов в опреде-ленном алфавите.

Подобно тому как это сделал А. Чёрч в статье 1936 г., А.А. Марков приводит ряд аргументов в пользу своего тезиса. Как и у Чёрча, это не доказательство, а только соображения, к которым можно отнести эпитет «убедительные».

Они опираются прежде всего на живую практику математики. Исследования Маркова, позволившие ему выдвинуть разумные основания в пользу принципа нормализации, следует считать важной вехой в становлении основной гипотезы теории алгоритмов (теории эффективной вычислимости) - гипотезы, общий смысл которой состоит в утверждении, что различные оказавшиеся эквивалентными друг другу уточнения идеи алгоритма и вычислимости - рекурсивные функции, машины Тьюринга, нормальные алгорифмы - исчерпывающим образом описывают (каждое в терминах своего специфического языка) эту идею.

Познавательный статус данной гипотезы делает её похожей на закон сохранения энергии.

Обосновать его так, как математики доказывают теоремы, невозможно. Но этот закон - положение, подтверждаемое научными аргументами, идущими с самых различных сторон. […]

Так к началу 1950-х годов, то есть к моменту выхода на сцену ЭВМ, как итог развития логики и оснований математики и как непосредственный результат исследований Гёделя , Чёрча , Тьюринга , Маркова и других пионеров теории эффективной вычислимости, стал вырисовываться обширный круг процессов, обладающих следующими свойствами.

1. Они в принципе строго детерминированы, то есть каждый предыдущий этап (этапы) полностью определяют последующий.

2. Они потенциально осуществимы - в том смысле, что при достаточно долгом протекании без внешних помех приводят (точнее, могут приводить) к фактическому результату.

3. Они имеют атомарное строение - складываются из совокупности элементарных операций, которых имеется всего несколько видов и которые столь просты и наглядны, что их нетрудно объяснить любому человеку.

4. Они заключаются в переработке объектов, чётко различаемых и опознаваемых и - в силу этого - легко доступных для человеческих восприятия, запоминания и мышления».

Бирюков Б.В., Тростников В.Н., Жар холодных числе и пафос бесстрастной логики, М., «Едиториал УРСС», 2004 г., с.150 и 151.

Родился 9 (22 ) сентября 1903 года в Санкт-Петербурге в семье Маркова Андрея Андреевича (1856 - 1922 ) - Действительного члена Российской Академии наук , Выдающегося математика , учёного в области математического анализа ,
теории вероятностей и теории чисел .

Андрей Андреевич Марков (младший ) получил блестящее домашнее образование
и унаследовал от отца выдающиеся математические способности и любовь к науке .
Он сначала поступил на химический факультет Петроградского университета ,
но с 3-го курса продолжил обучение на Физическом отделении Физико-математического факультета , который окончил в 1924 году.

В ту пору А.А. Марков занимался теоретической физикой и прикладной геофизикой .
В 1925–1928 годах он обучался в аспирантуре Астрономического института .
Диссертацию , представленную на соискание учёной степени Кандидата
физико-математических наук , он защитил в 1928 году.

С 1928-го по 1935 год Андрей Андреевич работал в Астрономическом институте
при Ленинградском Государственном университете .

В 1933-1936 годах являлся Старшим научным сотрудником Научно-исследовательского института математики и механики ЛГУ .

В 1935 году ему без защиты диссертации была присуждена учёная степень
Доктора физико-математических наук .

В 1939-1940 годах А.А. Марков работал Старшим научным сотрудником ,
Заведующим лабораторией в Математическом институте
имени В.А. Стеклова Академии наук СССР (МИАН ) .
В 1940 году Институт переехал в Москву , в связи с чем было образовано
его Ленинградское отделение , где Андрей Андреевич продолжил работу
в своей прежней должности .

После начала Великой Отечественной войны, он являлся заместителем
Директора МИАН в период эвакуации в Казани с июля 1942 года по 1943 год.

С 1943-го по 1953 год (после реэвакуации ) работал в должности заместителя
Директора Ленинградского отделения МИАН .

После переезда в Москву с 1954–го по 1972 год работал заведующим Лабораторией, затем - заместителем Директора
уже в Московском Математическом институте Академии наук СССР
имени В.А. Стеклова .

С 1964 года до конца жизни А.А. Марков совмещал работу в МИАНе с работой
в должности Заведующего Лабораторией математической логики и структуры
машин Вычислительного центра Академии наук СССР .

Он занимался также преподавательской деятельностью .

В 1933-1955 годах Андрей Андреевич работал в Ленинградском университете .
С 1936-го по 1942 год и с 1943-го по 1953 год был заведующим Кафедрой геометрии ЛГУ .
В 1936 году он был утверждён в звании Профессора Ленинградского
Государственного университета .

23 октября 1953 года Андрей Андреевич Марков был избран
Членом-корреспондентом Академии наук СССР
по Отделению физико-математических наук
(по специальности "Математика" ) .

С 1959 года и до последнего дня жизни он работал Профессором , Заведующим Кафедрой математической логики и теории алгоритмов механико-математического факультета Московского Государственного университета имени М.В. Ломоносова ,
став в 1943 году таким образом (совместно с Профессором Софьей Александровной Яновской ) основателем Большой и продуктивной Научной школы
по этому направлению .
Их преемником в этой деятельности в дальнейшем стал Выдающийся математик ,
академик Пётр Сергеевич Новиков .

Кроме математической логики и конструктивной математики А.А. Марков занимался топологи ей , топологической алгеброй , теорией динамических систем ,
теорией алгоритмов .

В ранний период творческой деятельности ( в 1928–1935 годах, когда работал
в Астрономическом институте ) он выполнил ряд крупных работ по небесной механике , которые сохраняют значение до настоящего времени .
Небесная механика естественным образом привела его
к чисто математической проблематике .

Диапазон дисциплин , которые Андрей Андреевич охватил в процессе своего творчества , чрезвычайно широк - от аксиоматической теории множеств
до теории пластичности .
В начале 1930-х годов он выполнил цикл работ по общей теории динамических систем . Им впервые было сформулировано общее , независящее от дифференциальных уравнений , определение динамической системы - важнейшего понятия
современной теоретической кибернетики .

В 1940–1946 годах А.А. Марков выполнил ряд работ
по свободным топологическим группам .
Им было получено доказательство неразрешимости проблемы гомеоморфизма
в топологии .

В области математической логики он решил две знаменитые математические проблемы - проблему тождества для полугрупп (так называемая проблема Туэ )
и проблему гомеоморфии в топологии .

Он создал рабочий аппарат , опирающийся на удачно выбранное им понятие нормальных алгоритмов (использовал название "алгорифмы" , теперь
их принято называть алгоритмами Маркова ) .
Введенное им понятие выдержало испытание временем и прочно вошло в научный обиход как общей теории алгоритмов , так и теоретической кибернетики , в которой послужило источником точной постановки ряда проблем .
Методика , разработанная А.А. Марковым при построении теории нормальных алгоритмов , в значительной степени предвосхитила приемы структурного программирования и технику верификации программ .

Он получил ответ на вопрос об инверсионной сложности булевых функций и нашел минимальные контактно-вентильные схемы , реализующие симметрические булевы функции .
Им были заложены основы теории сложности алгоритмов .
Он развил специальную логику , учитывающую специфику
конструктивных объектов .

А.А. Марков занимался также прикладными вопросами математической логики ,
в частности её применением в теории вычислительных машин.
Он разработал терминологию для описания работы вычислительной техники.

Андрей Андреевич Марков также является автором многочисленных работ
в области криптографии . Наиболее известна "Теорема Маркова" , которая классифицирует шифры , не распространяющие искажения .

Андрей Андреевич Марков был также крупнейшим научно-общественным деятелем .
Он являлся : с 1964 года - членом Научного совета по кибернетике АН СССР ;
с 1969 года - членом Комитета Советского национального объединения
истории и философии естествознания и техники ;
с 1976 года - Вице-президентом Московского математического общества .

А.А. Марков - яркий представитель группы учёных , творческая деятельность которых развивалась в период становления Математического института имени В.А. Стеклова АН СССР и была ориентирована в значительной степени
на развитие новых направлений математики .
Он своей научной деятельностью не только содействовал
укреплению прочных позиций МИАН в топологии , но и выступил создателем новых научных направлений - теории алгоритмов и конструктивной математики .

Он унаследовал от отца не только любовь к математике, но и настоящее гражданское мужество .
Оно было ему надёжной основой в период нелегкой , отнимающей силы
но справедливой борьбы за право кибернетики на самостоятельное развитие
и возможность беспрепятственно заниматься связанными с ней научными исследованиям и.

Стоит также упомянуть ещё одну грань творчества Андрея Андреевича Маркова .
В свободное от научных дел время он посвящал себя искусству , в частности
он был прекрасным поэтом .

На данном сайте

( открыть ссылку )
опубликованы 13 стихотворений , написанных им в некоторой степени "космогоническо-символическом" ключе.
В них тайны Вселенной органично переплетены с историческими
и философскими сюжетами .

Награды :
Андрей Андреевич Марков был награждён орденами Ленина (1954 ) ,
"Знак Почёта" (1945 ) , Трудового Красного Знамени (1963 ) ,
медалями "За доблестный труд в Великой Отечественной войне
1941-1945 годов" (1945 ) , "За оборону Ленинграда" (1946 ) .

В 1969 году он был удостоен Премии имени П.Л. Чебышёва
Академии наук СССР .

Марков Андрей Андреевич

М арков, Андрей Андреевич - известный математик. Родился в 1856 г., образование получил в Петербургском университете на математическом разряде физико-математическом факультете. В 1880 г. Марков получил степень магистра за диссертацию "О бинарных квадратичных формах положительного определителя". Степень доктора Марков получил в 1885 г. за диссертацию "О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей". Был профессором Петербургского университета, ныне ординарный академик. Марков опубликовал весьма много трудов, большинство которых напечатано в изданиях Академии Наук. Отдельно изданы "Table des valeurs de l"integrale ..." (1888); "Исчисление конечных разностей" (2-е издание, 1911); "Исчисление вероятностей" (3-е издание, 1913).Любимыми предметами исследования Маркова были теория вероятностей и теория алгебраических непрерывных дробей и теория алгебраических чисел. Принимал деятельное участие в расчетах эмеритальной кассы министерства юстиции, как при открытии, так и при обзоре ее действий, за первые пятилетия. Марков принимал также участие в академическом союзе 1905 - 1906 годов и неоднократно выступал в газетах с "письмами в редакцию" по злободневным политическим вопросам, написанными в определенно-демократическом духе.

Другие интересные биографии.

Подготовьте краткую биографическую справку о Маркове А. А. (младшем).

Ответ

Андрей Андреевич Марков родился 9 (22) сентября 1903 в Санкт-Петербурге. Советский математик, сын известного русского математика А. А. Маркова, основоположник советской школы конструктивной математики.

Окончил Восьмую Петроградскую гимназию в 1919 году;
Ленинградский государственный университет в 1924 году;
аспирантуру в Астрономическом институте в Ленинграде в 1928 году.

Учёная степень доктора физико-математических наук присвоена без защиты диссертации в 1935 году. Член-корреспондент АН СССР с 1953 года, в том же году вступил в КПСС.

В 1933-1955 годах работал в Ленинградском университете (с 1936 г. - профессор): с 1936 по 1942 год и с 1943 по 1953 год - заведующий кафедрой геометрии. До июля 1942 года находился в блокадном Ленинграде.

С 1959 по 1979 год - заведующий кафедрой математической логики Московского государственного университета.

Одновременно в 1939-1972 работал в Математическом институте имени Стеклова АН СССР.

В 1950-х годах создал в Вычислительном Центре АН СССР лабораторию математической логики и структуры машин, которой руководил около двадцати лет.

В 1968 году подписал «Письмо 99».

Основные труды - по теории динамических систем, топологии, топологической алгебре, теории алгоритмов и конструктивной математике.

Доказал неразрешимость проблемы равенства в ассоциативных системах (1947), проблемы гомеоморфии в топологии (1958), создал школу конструктивной математики и логики в СССР, автор понятия нормального алгоритма.

Награды:
Орден «Знак Почёта» (1945);
Орден Ленина (1954);
Орден Трудового Красного Знамени (1963);
Медаль «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (1945);
Медаль «За оборону Ленинграда» (1946);
Премия имени П. Л. Чебышёва АН СССР (1969).

Андре́й Андре́евич Ма́рков (9 сентября , Санкт-Петербург - 11 октября , Москва) - советский математик , сын известного русского математика А. А. Маркова , основоположник советской школы конструктивной математики .

Биография

Окончил Восьмую Петроградскую гимназию в 1919 году; Ленинградский государственный университет в 1924 году; аспирантуру в в Ленинграде в 1928 году.

Учёная степень доктора физико-математических наук присвоена без защиты диссертации в 1935 году. Член-корреспондент АН СССР с 1953 года, в том же году вступил в КПСС .

В 1933-1955 годах работал в Ленинградском университете (с 1936 г. - профессор): с 1936 по 1942 год и с 1943 по 1953 год - заведующий кафедрой геометрии. До июля 1942 года находился в блокадном Ленинграде .

С 1959 по 1979 год - заведующий кафедрой математической логики Московского государственного университета .

Одновременно в 1939-1972 работал в .

Научный вклад

Основные труды - по теории динамических систем, топологии , топологической алгебре, теории алгоритмов и конструктивной математике .

Избранные труды

• Марков А. А. Избранные труды / Сост. и общ. ред. Н. М. Нагорного.. - М .: Изд-во МЦНМО, 2002. - Т. 1. - 533 с. - (Математика. Механика. Физика). - ISBN 5-94057-044-5 . ; Id. - 2003. - Т. 2. - 648 с. - (Теория алгорифмов и конструктивная математика; Математическая логика; Информатика и смежные вопросы). - ISBN 5-94057-113-1 .
• Марков А. А. Метод мультинорм в теории топологических групп: [Тез. докл.]. - Л. : тип. им. Е. Соколовой, 1944. - 1 с. - 200 экз.
• Марков А. А. О логике конструктивной математики. - М .: Знание, 1972. - 47 с. - (Новое в жизни, науке и технике. Сер.: Математика и кибернетика, № 8). - 46 360 экз.
• Марков А. А. Основы алгебраической теории кос. - Л.; М.: изд-во АН СССР, 1945. - 54 с. - (Тр. / Математич. ин-т им. В. А. Стеклова. – Т. 16).
• Марков А. А. Теория алгорифмов. - М.; Л.: изд-во АН СССР, 1954. - 376 с. - (Тр. / Математич. ин-т им. В. А. Стеклова. – Т. 42). - 2500 экз.
• Марков А. А. Элементы математической логики / Под ред. А. Г. Драгалина.. - М .: изд-во МГУ, 1984. - 79 с. - 5660 экз.
• Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. - М .: Наука, 1984. - 432 с. - (Мат. логика и основания математики). || . - 2-е изд., испр. и доп. - М .: Фазис, 1996. - 493 с. - 2000 экз. - ISBN 5-7036-0020-0 .
• Марков А. А., Шульц М. М. Лекции по математической логике: Учеб. пособие. - Горький, 1973. - 58 с. - 500 экз.

Награды

• Медаль «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.» (1945)
• Премия имени П. Л. Чебышёва АН СССР (1969)

Напишите отзыв о статье "Марков, Андрей Андреевич (младший)"

Примечания

Ссылки

• на официальном сайте РАН
• на сайте «Всё о Московском университете»
• Нагорный Н. М., Шанин Н. А. // Успехи математических наук. - 1964. - Т. 19 , вып. 3 (117) .
• , посвящённая столетию со дня рождения А. А. Маркова, 24-26 августа 2003.
• на сайте ПОМИ (статьи, фотографии из личного архива)

Отрывок, характеризующий Марков, Андрей Андреевич (младший)

Наташа вдруг остановилась.
– Дурак! – закричала она на брата, подбежала к стулу, упала на него и зарыдала так, что долго потом не могла остановиться.
– Ничего, маменька, право ничего, так: Петя испугал меня, – говорила она, стараясь улыбаться, но слезы всё текли и всхлипывания сдавливали горло.
Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.
Через полчаса в зале между другими ряжеными появилась еще старая барыня в фижмах – это был Николай. Турчанка был Петя. Паяс – это был Диммлер, гусар – Наташа и черкес – Соня, с нарисованными пробочными усами и бровями.
После снисходительного удивления, неузнавания и похвал со стороны не наряженных, молодые люди нашли, что костюмы так хороши, что надо было их показать еще кому нибудь.
Николай, которому хотелось по отличной дороге прокатить всех на своей тройке, предложил, взяв с собой из дворовых человек десять наряженных, ехать к дядюшке.
– Нет, ну что вы его, старика, расстроите! – сказала графиня, – да и негде повернуться у него. Уж ехать, так к Мелюковым.
Мелюкова была вдова с детьми разнообразного возраста, также с гувернантками и гувернерами, жившая в четырех верстах от Ростовых.
– Вот, ma chere, умно, – подхватил расшевелившийся старый граф. – Давай сейчас наряжусь и поеду с вами. Уж я Пашету расшевелю.
Но графиня не согласилась отпустить графа: у него все эти дни болела нога. Решили, что Илье Андреевичу ехать нельзя, а что ежели Луиза Ивановна (m me Schoss) поедет, то барышням можно ехать к Мелюковой. Соня, всегда робкая и застенчивая, настоятельнее всех стала упрашивать Луизу Ивановну не отказать им.
Наряд Сони был лучше всех. Ее усы и брови необыкновенно шли к ней. Все говорили ей, что она очень хороша, и она находилась в несвойственном ей оживленно энергическом настроении. Какой то внутренний голос говорил ей, что нынче или никогда решится ее судьба, и она в своем мужском платье казалась совсем другим человеком. Луиза Ивановна согласилась, и через полчаса четыре тройки с колокольчиками и бубенчиками, визжа и свистя подрезами по морозному снегу, подъехали к крыльцу.
Наташа первая дала тон святочного веселья, и это веселье, отражаясь от одного к другому, всё более и более усиливалось и дошло до высшей степени в то время, когда все вышли на мороз, и переговариваясь, перекликаясь, смеясь и крича, расселись в сани.
Две тройки были разгонные, третья тройка старого графа с орловским рысаком в корню; четвертая собственная Николая с его низеньким, вороным, косматым коренником. Николай в своем старушечьем наряде, на который он надел гусарский, подпоясанный плащ, стоял в середине своих саней, подобрав вожжи.
Было так светло, что он видел отблескивающие на месячном свете бляхи и глаза лошадей, испуганно оглядывавшихся на седоков, шумевших под темным навесом подъезда.
В сани Николая сели Наташа, Соня, m me Schoss и две девушки. В сани старого графа сели Диммлер с женой и Петя; в остальные расселись наряженные дворовые.
– Пошел вперед, Захар! – крикнул Николай кучеру отца, чтобы иметь случай перегнать его на дороге.
Тройка старого графа, в которую сел Диммлер и другие ряженые, визжа полозьями, как будто примерзая к снегу, и побрякивая густым колокольцом, тронулась вперед. Пристяжные жались на оглобли и увязали, выворачивая как сахар крепкий и блестящий снег.
Николай тронулся за первой тройкой; сзади зашумели и завизжали остальные. Сначала ехали маленькой рысью по узкой дороге. Пока ехали мимо сада, тени от оголенных деревьев ложились часто поперек дороги и скрывали яркий свет луны, но как только выехали за ограду, алмазно блестящая, с сизым отблеском, снежная равнина, вся облитая месячным сиянием и неподвижная, открылась со всех сторон. Раз, раз, толконул ухаб в передних санях; точно так же толконуло следующие сани и следующие и, дерзко нарушая закованную тишину, одни за другими стали растягиваться сани.
– След заячий, много следов! – прозвучал в морозном скованном воздухе голос Наташи.
– Как видно, Nicolas! – сказал голос Сони. – Николай оглянулся на Соню и пригнулся, чтоб ближе рассмотреть ее лицо. Какое то совсем новое, милое, лицо, с черными бровями и усами, в лунном свете, близко и далеко, выглядывало из соболей.
«Это прежде была Соня», подумал Николай. Он ближе вгляделся в нее и улыбнулся.
– Вы что, Nicolas?
– Ничего, – сказал он и повернулся опять к лошадям.
Выехав на торную, большую дорогу, примасленную полозьями и всю иссеченную следами шипов, видными в свете месяца, лошади сами собой стали натягивать вожжи и прибавлять ходу. Левая пристяжная, загнув голову, прыжками подергивала свои постромки. Коренной раскачивался, поводя ушами, как будто спрашивая: «начинать или рано еще?» – Впереди, уже далеко отделившись и звеня удаляющимся густым колокольцом, ясно виднелась на белом снегу черная тройка Захара. Слышны были из его саней покрикиванье и хохот и голоса наряженных.
– Ну ли вы, разлюбезные, – крикнул Николай, с одной стороны подергивая вожжу и отводя с кнутом pуку. И только по усилившемуся как будто на встречу ветру, и по подергиванью натягивающих и всё прибавляющих скоку пристяжных, заметно было, как шибко полетела тройка. Николай оглянулся назад. С криком и визгом, махая кнутами и заставляя скакать коренных, поспевали другие тройки. Коренной стойко поколыхивался под дугой, не думая сбивать и обещая еще и еще наддать, когда понадобится.
Николай догнал первую тройку. Они съехали с какой то горы, выехали на широко разъезженную дорогу по лугу около реки.
«Где это мы едем?» подумал Николай. – «По косому лугу должно быть. Но нет, это что то новое, чего я никогда не видал. Это не косой луг и не Дёмкина гора, а это Бог знает что такое! Это что то новое и волшебное. Ну, что бы там ни было!» И он, крикнув на лошадей, стал объезжать первую тройку.
Захар сдержал лошадей и обернул свое уже объиндевевшее до бровей лицо.
Николай пустил своих лошадей; Захар, вытянув вперед руки, чмокнул и пустил своих.
– Ну держись, барин, – проговорил он. – Еще быстрее рядом полетели тройки, и быстро переменялись ноги скачущих лошадей. Николай стал забирать вперед. Захар, не переменяя положения вытянутых рук, приподнял одну руку с вожжами.
– Врешь, барин, – прокричал он Николаю. Николай в скок пустил всех лошадей и перегнал Захара. Лошади засыпали мелким, сухим снегом лица седоков, рядом с ними звучали частые переборы и путались быстро движущиеся ноги, и тени перегоняемой тройки. Свист полозьев по снегу и женские взвизги слышались с разных сторон.