Данный урок является уроком обобщения и систематизации знаний по изученной теме.В ходе урока учащиеся имеют возможность проверить свои знания по темам "Вписанный угол" и "Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности", решить задачи открытого банка ОГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Тема урока "Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности" 9 класс»

Урок № ____ (геометрия 9 класс)

Пропорциональность отрезков, хорд и секущих

Цель урока : закрепить свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства секущих отрезков и показать, как они используются при решении задач.

Задачи урока:

образовательная: проверить знания теоретического материала по темам «Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков, хорд и секущих»

развивающая: развитие познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы;

воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, активности.

Ход урока

Орг.момент (1 мин)

Проверка домашнего задания (фронтально) (3 мин.)

Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальная работа с классом. (7 мин.)

	Что такое окружность, центр окружности, радиус? Является ли радиусом этой окружности Отрезок ОС; Отрезок ОD; Отрезок ОВ, ОА? Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром? Постройте полупрямую DС. Как называется такая полупрямая?
	С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы? Дайте определение и назовите их на чертеже. Как связаны градусные меры этих углов? Как связаны их градусные меры с дугой, на которую они опираются?
	Какие следствия из теоремы о вписанном в окружность угле нами изучены?
	Сформулируйте свойство отрезков пересекающихся хорд окружности.
	Сформулируйте свойство отрезков секущих окружности.

Тренировочные упражнения. Решение задач (14 мин.)

Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ: КА = 3: 4.

Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Самостоятельная работа с взаимопроверкой (12 мин).

Вариант 1	Вариант 2
Центральный угол на 59 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.	Центральный угол на 52 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
В окружности с центром O AC и BD AOD равен 138 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.	2) В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 146 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.
Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=6 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ.	Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=12 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ.
Дано: ВС=12 см. ВЕ=4 см. ВА=16 см.	Дано: ВС=12 см. ВЕ=5 см. ВА=15 см.

Вариант 1	Вариант 2

Подведение итогов урока (2 мин). Рефлексия.

Сообщение домашнего задания (2 мин)

Домашнее задание по карточке.

Решить задачи:

1. Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если KL в два раза меньше MN.

2. Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. Найдите длину хорды АВ, если СМ=4 см, DМ=9 см, АМ:МВ=4.

Теорема 1. Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S , то (рисунок 1).
Теорема 2. Если из точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность соответственно в точках A , B , C , D , то (рисунок 2).
То есть произведение секущей, проведенной к окружности из данной точки на ее внешнюю часть, является число неизменно.
Теорема 3. Если из точки P к окружности проведены касательная, проходящая через точку касания A , и секущая, которая пересекает окружность в точках B и C , то (рисунок 3).

Рис. 1

Рис. 2 Рис. 3
То есть для секущей и касательной, проведенных к окружности из одной точки, квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Теорема 4. Хорды, соединяющие концы параллельных хорд, уровне.

Вписанные и описанные четырехугольники

Теорема 1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
На рисунке .
Из этого следует, что круг можно описать вокруг прямоугольника (рисунок ниже слева), в частности квадрата (рисунок справа), его центром будет точка пересечения его диагоналей. Радиус - половина диагонали.

Круг можно описать вокруг трапеции тогда и только тогда, когда она является рівнобічною (см. рисунок). Центром окружности является точка пересечения средних перпендикуляров к сторонам. Вокруг параллелограмма и трапеции общего вида описать круг нельзя. (В частности, вокруг ромба можно описать окружность.)

Теорема 2. Четырехугольник тогда и только тогда можно описать вокруг окружности, если суммы его противоположных сторон равны друг другу.
На рисунке .

Итак, круг можно вписать в ромб (в частности в квадрат), но нельзя в прямоугольник или параллелограмм общего вида.
Центр круга, вписанного в ромб, является точкой пересечения диагоналей (рисунок ниже слева). Радиус окружности равен половине высоты ромба, а в квадрате - половине стороны (рисунок справа).

Обратите внимание: радиус вписанного в ромб круга (ON ) - это высота прямоугольного треугольника BOC , которая проведена из вершины прямого угла и имеет все свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла.
Теорема 3. Трапецию тогда и только тогда можно описать вокруг окружности, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон (рисунок ниже слева). Центр этой окружности - точка пересечения биссектрис углов трапеции. Радиус равен половине высоты трапеции. В случае рівнобічної трапеции центр вписанной окружности лежит на середине высоты трапеции, которая проходит через середины оснований (рисунок справа). Боковая сторона трапеции в этом случае равна ее средней линии.

««Уравнение окружности» 9 класс» - Построить по полученным данным окружности в тетради. Заполните таблицу. Уравнение окружности. Координаты точки окружности. Координаты центра. Запишите формулу. Окружность. Работа в группах. Найдите координаты центра и радиус. Постройте в тетради окружности, заданные уравнениями. Начало координат. Составить уравнение окружности.

«Окружность 8 класс» - В любой треугольник можно вписать окружность. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Теорема. Следствия: Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам?АВС. Вписанная окружность.

«Построение касательной к окружности» - Окружность и прямая имеют одну общую точку. Общие точки. Взаимное расположение прямой и окружности. Окружность и прямая. Окружность. Решение. Теорема об отрезках касательных. Повторение. Хорда. Касательная к окружности. Диаметр.

«Как найти длину окружности» - Какие неравенства выполняются для числа. Как изменится длина окружности. Как относятся периметры двух правильных n-угольников. Теорема. Как относятся длины двух окружностей. Найдите периметр правильного n-угольника. Найдите радианную меру углов. Каково приближенное значение числа. Найдите длину дуги окружности радиуса единица.

«Касательная к окружности» - Свойство + признак: если K – точка окружности, то KM – касательная? KM ? OK. Доказательство. Признак касательной. Тогда. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки AK и AM называются отрезками касательных, проведенными из A. Пусть d – расстояние от центра O до прямой KM.

«Эллипс» - Прикрепим концы нити к фокусам. Что же такое эллипс. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. Точки F1, F2 называются фокусами эллипса. Постройка эллипса. Общая точка называется точкой касания. Касательная. Эллипс. Интересные факты. Кратеры на Луне также имеют форму эллипса.

Всего в теме 21 презентация

УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 13 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.

Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° - б, где б - градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 14).

Рис. 13

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 15). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Рис. 15

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 16 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.

Теорема 5 . Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 17, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы A и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 17, б, в). В случае, представленном на рисунке 17, б, АВС= CBD+ ABD= Ѕ COD + Ѕ АОD= Ѕ АОС.

В случае, представленном на рисунке 17, в,

CBD - ABD = Ѕ COD - Ѕ AOD = Ѕ AOC.

Теорема доказана полностью.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S

То AS?BS=CS?DS.

Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 19). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 5. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASZ и CSB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

AS?BS = CS?DS, что и требовалось доказать

Рис.19

Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то

Пусть точки А и С -- ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 20). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда PA?PB=PC?PD, что и требовалось доказать.

Пропорциональность отрезков хорд и секущей.

Свойство отрезков касательной.

Теорема о геометрическом месте точек.

Серединный перпендикуляр.

Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность.

Окружность, вписанная в треугольник.

По всем понятиям и утверждениям предложены задачи.

Презентация рассчитана на серию уроков. Может использоваться при дистанционном обучении.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ТЕМА: ” ОКРУЖНОСТЬ ” .

Окружность. Радиус. Хорда. Диаметр. Центральный угол. Центральный угол. Вписанный угол. Задача. Свойство вписанного угла. Задача. Теорема о полусумме дуг. Задача. Теорема о полуразности дуг. Задача. Произведение отрезков пересекающихся хорд. Пропорциональность отрезков хорд и секущей. Свойство отрезков касательной. Задача. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек. Серединный перпендикуляр. Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность. Задача. Задача. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник. Задача. Окружность, описанная около четырехугольника. Задача. Окружность, вписанная в четырехугольник. Задача.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности. Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см, а расстояние от О до точек С и D , не лежащих на ней, не равно 5 см. Окружность. О C D А В назад

РАДИУС. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Точки X,Y,Z лежат на окружности с центром М. Является ли радиусом этой окружности Отрезок MX; Отрезок YZ ? Y X Z назад

ХОРДА. Что такое хорда окружности? Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. назад О А В

ДИАМЕТР. Что такое диаметр окружности? Диаметром называется хорда, проходящая через центр. назад О А В

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла соответствует градусной мере дуги, на которую он опирается (если дуга меньше полуокружности). Назовите по рисунку все центральные углы. О С А В m назад

Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны. Сформулируйте обратное утверждение. А О С В D назад

ВПИСАННЫЙ УГОЛ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Какие из углов являются вписанными в окружность? назад А В С

Угол ABC- вписанный в окружность. АС – диаметр. Докажите, что угол ABC - прямой. Задача. назад О А С В

СВОЙСТВО ВПИСАННОГО УГЛА. Докажите, что равны все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки. назад

ЗАДАЧА. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О,  АВС = 50  ,  АВ:  СВ = 5: 8. Найдите эти дуги и  АОС. назад

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг (АС и D Е), одна из которых заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон.  АВС = 0,5 ( D Е +  АС). D Е А С назад

ЗАДАЧА. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ: КА = 3: 4. назад

ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит вне окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг (АС и D Е), заключенных между его сторонами.  АВС = 0,5 ( D Е +  АС). В D Е А С назад

ЗАДАЧА. Расстояние от точки А до центра окружности радиуса 5 см равно 10 см. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность в точках В и С. Найти АС, если точка В делит отрезок АС пополам. назад

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны. Сформулируй эту теорему со словами «если», «то». Проверь себя: «Если хорды АВ и С D пересекаются в точке М, то АМ  ВМ = СМ  D М С В м А D назад

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩЕЙ. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной. Если через точку М проведена секущая к окружности и касательная, причем точки А и В – точки пересечения окружности с секущей, а С – точка касания, то АМ  ВМ = СМ. М С В А назад

СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ КАСАТЕЛЬНОЙ. Отрезки двух касательных, проведенных к окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром. Докажите теорему самостоятельно. А О С В назад

ЗАДАЧА. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найти периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120  . назад

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки. назад О А В

ТЕОРЕМА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину. Дано: а; АВ  а; АО = ОВ. Доказать: а - геометрическое место точек, равноудалённых от А и В. Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В. назад А В О М а

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему. Докажите, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности. назад

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности. Где лежит центр окружности, описанной около треугольника? назад

Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Задача. назад О А С В

ЗАДАЧА. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см. назад

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Что можно сказать о сторонах треугольника С D Е по отношению к окружности? назад

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник? Треугольник ABC- описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA- равные? назад

ЗАДАЧА. В прямоугольном треугольнике один из углов 30  . Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см. назад

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. Если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равны двум прямым углам. Докажите:  А +  С = 180  . Сформулируйте обратное утверждение. Около каких четырехугольников можно описать окружность? Почему? В С D A назад

ЗАДАЧА. Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30  , а центр окружности, описанной возле трапеции, принадлежит этому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 2 см. назад

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма длин его противоположных сторон равны. Докажите: АВ+С D = ВС+А D . Сформулируйте обратное утверждение. В какие четырехугольники можно вписать окружность? В С D А N P K M назад

ЗАДАЧА. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, если ее основания равны 2 см и 8 см. назад