Введение
Современный этап развития человечества отличается тем, что на смену века энергетики приходит век информатики. Происходит интенсивное внедрение новых технологий во все сферы человеческой деятельности. Встает реальная проблема перехода в информационное общество, для которого приоритетным должно стать развитие образования. Изменяется и структура знаний в обществе. Все большее значение для практической жизни приобретают фундаментальные знания, способствующие творческому развитию личности. Важна и конструктивность приобретаемых знаний, умение их структурировать в соответствии с поставленной целью. На базе знаний формируются новые информационные ресурсы общества. Формирование и получение новых знаний должно базироваться на строгой методологии системного подхода, в рамках которого отдельное место занимает модельный подход. Возможности модельного подхода крайне многообразны как по используемым формальным моделям, так и по способам реализации методов моделирования. Физическое моделирование позволяет получить достоверные результаты для достаточно простых систем.
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.
1. Постановка задачи
минимум целевая функция
Решить задачу нахождения минимума целевой функции для системы ограничений, заданной многоугольником решений в соответствии с вариантом №16 задания. Многоугольник решений представлен на рисунке 1:
Рисунок 1 - Многоугольник решений задачи
Система ограничений и целевая функция задачи представлены ниже:
Необходимо решить задачу, используя следующие методы:
Графический метод решения задач ЛП;
Алгебраический метод решения задач ЛП;
Симплекс-метод решения задач ЛП;
Метод отыскания допустимого решения задач ЛП;
Решение двойственной задачи ЛП;
Метод «ветвей и границ» решения целочисленных задач ЛП;
Метод Гомори решения целочисленных задач ЛП;
Метод Балаша решения булевских задач ЛП.
Сравнить результаты решения разными методами сделать соответствующие выводы по работе.
2. Графическое решение задачи линейного программирования
Графический метод решения задач линейного программирования применяется в тех случаях, когда число неизвестных не превышает трех. Удобен для качественного исследования свойств решений и применяется совместно с другими методами (алгебраическим, ветвей и границ и т. д.). Идея метода основана на графическом решении системы линейных неравенств.
Рис. 2 Графическое решение задачи ЛП
Точка минимума
Уравнение прямой проходящей через две точки A1 и A2:
АВ: (0;1); (3;3)
ВС: (3;3); (4;1)
CD: (4;1); (3;0)
EА: (1;0); (0;1)
ЦФ: (0;1); (5;2)
при ограничениях:
Решение задачи линейного программирования алгебраическим симплекс-методом
Применение алгебраического метода решения задачи требует обобщения представления задачи ЛП. Исходную систему ограничений, заданную в виде неравенств преобразуют к стандартной форме записи, когда ограничения заданы в виде равенств. Преобразование системы ограничений к стандартному виду включает в себя следующие этапы:
Преобразовать неравенства таким образом, чтобы слева находились переменные и свободные члены, а справа - 0 т.е. чтобы левая часть была больше или равной нулю;
Ввести дополнительные переменные, число которых равно числу неравенств в системе ограничений;
Введя дополнительные ограничения на неотрицательность добавленных переменных, заменить знаки неравенств на знаки строгих равенств.
При решении задачи ЛП алгебраическим методом добавляется условие: целевая функция должна стремиться к минимуму. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать целевую функцию (умножить на -1) и решать задачу минимизации. После того, как решение найдено, подставить значения переменных в исходную функцию и посчитать ее значение.
Решение задачи при использовании алгебраического метода считается оптимальным, когда значения всех, базисных переменных - неотрицательно, и коэффициенты при свободных переменных в уравнении целевой функции также неотрицательны. Если эти условия не выполняются, необходимо преобразовать систему неравенств, выражая одни переменные через другие (меняя свободные и базисные переменные) добиться выполнения вышеприведенных ограничений. Значение всех свободных переменных считается равным нулю.
Алгебраический метод решения задач линейного программирования является одним из самых эффективных методов при решении задач небольшой размерности вручную т.к. не требует большого числа арифметических вычислений. Машинная реализация этого метода сложнее, чем, например, для симплекс-метода, т.к. алгоритм решения алгебраическим методом является в какой то степени эвристическим и эффективность решения во многом зависит от личного опыта.
Свободных переменных
св.пер. - доп. набор
Условия не отрицательности выполнены, следовательно, найдено оптимальное решение.
3. Решение задачи линейного программирования с использованием симплекс-таблицы
Решение: Приведем задачу к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы.
Все уравнения системы приведем к виду:
Строим симплекс-таблицу:
В верхний угол каждой клетки таблицы вписываем коэффициенты из системы уравнений;
Выбираем максимальный положительный элемент в строке F, кроме, это будет генеральный столбец;
Для того, чтобы найти генеральный элемент строим отношение для всех положительных. 3/3; 9/1;- минимальное соотношение в строке x3. Следовательно - генеральная строка и =3 - генеральный элемент.
Находим =1/=1/3. Вносим в нижний угол клетки, где находится генеральный элемент;
Во все незаполненные нижние углы генеральной строки вносим произведение значения в верхнем углу клетки на;
Выделяем верхние углы генеральной строки;
Во все нижние углы генерального столбца заносим произведение значения в верхнем углу на - и выделяем полученные значения;
Остальные клетки таблицы заполняются, как произведения соответствующих выделенных элементов;
Затем строим новую таблицу, в которой обозначения клеток элементов генерального столбца и строки меняются местами (x2 и x3);
В верхний угол бывших генеральных строки и столбца записываются значения, которые до этого были в нижнем углу;
В верхний угол остальных клеток записывается сумма значений верхнего и нижнего угла этих клеток в предыдущей таблице
4. Решение задачи линейного программирования методом отыскания допустимого решения
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Можно предположить, что все, в противном случае умножаем соответствующее уравнение на -1.
Вводим вспомогательные переменные:
Вводим так же вспомогательную функцию
Будем минимизировать систему при ограничениях (2) и условиях.
ПРАВИЛО ОТЫСКАНИЯ ДОПУСТИМОГО РЕШЕНИЯ: Для отыскания допустимого решения системы (1) минимизируем форму (3) при ограничениях (2), в качестве свободных неизвестных берем xj, в качестве базисных.
При решении задачи симплекс-методом могут возникнуть два случая:
min f=0, тогда все i обязаны быть равными нулю. А получившиеся значения xj будут составлять допустимое решение системы (1).
min f>0, т.е. исходная система не имеет допустимого решения.
Исходная система:
Используется условие задачи предыдущей темы.
Внесем дополнительные переменные:
Найдено допустимое решение исходной задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Основываясь на полученном допустимом решении найдем оптимальное решение исходной задачи, пользуясь симплекс-методом. Для этого построим новую симплекс-таблицу из таблицы полученной выше, удалив строку и строку с целевой функцией вспомогательной задачи:
Анализируя построенную симплекс-таблицу, видим, что оптимальное решение для исходной задачи уже найдено (элементы в строке, соответствующей целевой функции, отрицательны). Таким образом, допустимое решение, найденное при решении вспомогательной задачи совпадает с оптимальным решением исходной задачи:
6. Двойственная задача линейного программирования
Исходная система ограничений и целевая функция задачи показаны на рисунке ниже.
при ограничениях:
Решение: Приведем систему ограничений к стандартному виду:
Задача, двойственная данной будет иметь вид:
Решение двойственной задачи будет выполняться простым симплекс-методом.
Преобразуем целевую функцию так, чтобы решалась задача минимизации, и запишем систему ограничений в стандартной форме для решения симплекс-методом.
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min
Построим исходную симплекс-таблицу для решения двойственной задачи ЛП.
Второй шаг симплекс-метода
Итак, на третьем шаге симплекс-метода найдено оптимальное решение задачи минимизации со следующими результатами: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Для того, чтобы найти значение целевой функции двойственной задачи, подставим найденные значения базисных и свободных переменных в функцию максимизации:
Фmax = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
Так как значение целевой функции прямой и двойственной задач совпадают, решение прямой задачи найдено и равно 12.
Fmin = Фmax = -12
7. Решение задачи целочисленного линейного программирования методом «ветвей и границ»
Преобразуем исходную задачу таким образом, чтобы не выполнялось условие целочисленности при решении обычными методами.
Исходный многоугольник решений задачи целочисленного программирования.
Для преобразованного многоугольника решений построим новую систему ограничений.
Запишем систему ограничений в виде равенств, для решения алгебраическим методом.
В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 =9/4, х2 = 5/2, F =-41/4. Это решения не отвечает условию целочисленности, поставленному в задаче. Разобьем исходный многоугольник решений на две области, исключив из него область 3 Измененный многоугольник решений задачи Составим новые системы ограничений для образовавшихся областей многоугольника решений. Левая область представляет собой четырехугольник (трапецию). Система ограничений для левой области многоугольника решений представлена ниже. Система ограничений для левой области Правая область представляет собой точку С. Система ограничений для правой области решений представлена ниже. Новые системы ограничений представляют из себя две вспомогательные задачи, которые необходимо решить независимо друг от друга. Решим задачу целочисленного программирования для левой области многоугольника решений. В результате решения найден оптимальный план задачи: х1 = 3, х2 = 3, F = -12. Этот план удовлетворяет условию целочисленности переменных в задаче и может быть принят в качестве оптимального опорного плана для исходной задачи целочисленного линейного программирования. Проводить решение для правой области решений нет смысла. На рисунке ниже представлен ход решения целочисленной задачи линейного программирования в виде дерева. Ход решения целочисленной задачи линейного программирования методом Гомори. Во многих практических приложениях представляет большой интерес задача целочисленного программирования, в которой дана система линейных неравенств и линейная форма Требуется найти целочисленное решение системы (1), которое минимизирует целевую функцию F, причем, все коэффициенты - целые. Один из методов решения задачи целочисленного программирования предложен Гомори. Идея метода заключается в использовании методов непрерывного линейного программирования, в частности, симплекс-метода. 1)Определяется с помощью симплекс-метода решение задачи (1), (2), у которой снято требование целочисленности решения; если решение оказывается целочисленным, то искомое решение целочисленной задачи будет также найдено; 2) В противном случае, если некоторая координата - не целая, полученное решение задачи проверяется на возможность существования целочисленного решения (наличие целых точек в допустимом многограннике): если в какой-либо строке с дробным свободным членом, все остальные коэффициенты окажутся целыми, то в допустимом многограннике нет целых, точек и задача целочисленного программирования решения не имеет; В противном случае вводится дополнительное линейное ограничение, которое отсекает от допустимого многогранника часть, бесперспективную для поиска решения задачи целочисленного программирования; 3) Для построения дополнительного линейного ограничения, выбираем l-тую строку с дробным свободным членом и записываем дополнительное ограничение где и - соответственно дробные части коэффициентов и свободного члена. Введем в ограничение (3) вспомогательную переменную: Определим коэффициенты и, входящие в ограничение (4): где и - ближайшие целые снизу для и соответственно. Гомори доказал, что конечное число подобных шагов приводит к такой задаче линейного программирования, решение которой будет целочисленным и, следовательно, искомым. Решение: Приведем систему линейных ограничений и функцию цели к канонической форме: Определим оптимальное решение системы линейных ограничений, временно отбросив условие целочисленности. Используем для этого симплекс-метод. Ниже последовательно в таблицах представлены исходное решение задачи, и приведены преобразования исходной таблицы с целью получения оптимального решения задачи: Решение булевских задач ЛП методом Балаша. Составить самостоятельно вариант для задачи целочисленного линейного программирования с булевскими переменными с учетом следующих правил: в задаче используется не менее 5 переменных, не менее 4 ограничений, коэффициенты ограничений и целевой функции выбираются произвольно, но таким образом, чтобы система ограничений была совместна. Задание состоит в том, чтобы решить ЗЦЛП с булевскими переменными, используя алгоритм Балаша и определить снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора. Выполнение ограничений Значение F Фильтрующее ограничение: Определение снижения трудоемкости вычислений Решение задачи методом полного перебора составляет 6*25=192 вычисленных выражения. Решение задачи методом Балаша составляет 3*6+(25-3)=47 вычисленных выражений. Итого снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора составляет. Заключение
Процесс проектирования информационных систем, реализующих новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров-системотехников оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем. Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем. Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ПЭВМ. Все большие возможности предоставляются пользователю, т. е. специалисту по моделированию систем средствами вычислительной техники. Особенно эффективно применение моделирования на ранних этапах проектирования автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна. Современные вычислительные средства позволили существенно увеличить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась возможность построения комбинированных, аналитико-имитационных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных системах, т. е. использованию моделей, более адекватных исследуемым явлениям. Литература:
1. Лященко И.Н. Линейное и нелинейное программирования / И.Н.Лященко, Е.А.Карагодова, Н.В.Черникова, Н.З.Шор. - К.: «Высшая школа», 1975, 372 с. 2. Методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков- Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2003. - 15 с. 3. Методические указания по изучению дисциплины «Прикладная математика», раздел «Методы глобального поиска и одномерной минимизации» / Сост. А.В.Скатков, И.А.Балакирева, Л.А.Литвинова - Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2000. - 31с. 4. Методические указания для изучения дисциплины «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» Раздел «Решение задач целочисленного линейного программирования» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. - 13 с. 5. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: 6. Учеб. пособие для студентом эконом. спец. вузов.-М.: Высш. шк., 1986.- 319с., ил. 7. Андронов С.А. Методы оптимального проектирования: Текст лекций / СПбГУАП. СПб., 2001. 169 с.: ил. Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции. курсовая работа , добавлен 21.03.2012 Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения. контрольная работа , добавлен 05.04.2016 Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения. курсовая работа , добавлен 09.12.2008 Построение математической модели. Выбор, обоснование и описание метода решений прямой задачи линейного программирования симплекс-методом, с использованием симплексной таблицы. Составление и решение двойственной задачи. Анализ модели на чувствительность. курсовая работа , добавлен 31.10.2014 Построения математической модели с целью получения максимальной прибыли предприятия, графическое решение задачи. Решение задачи с помощью надстройки SOLVER. Анализ изменений запасов ресурсов. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции. курсовая работа , добавлен 17.12.2014 Математическое программирование. Линейное программирование. Задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования. Экономическая постановка задачи линейного программирования. Построение математической модели. курсовая работа , добавлен 13.10.2008 Решение задачи линейного программирования графическим методом, его проверка в MS Excel. Анализ внутренней структуры решения задачи в программе. Оптимизация плана производства. Решение задачи симплекс-методом. Многоканальная система массового обслуживания. контрольная работа , добавлен 02.05.2012 Решение задачи линейного программирования симплекс-методом: постановка задачи, построение экономико-математической модели. Решение транспортной задачи методом потенциалов: построение исходного опорного плана, определение его оптимального значения. контрольная работа , добавлен 11.04.2012 Постановка задачи нелинейного программирования. Определение стационарных точек и их типа. Построение линий уровней, трехмерного графика целевой функции и ограничения. Графическое и аналитическое решение задачи. Руководство пользователя и схема алгоритма. курсовая работа , добавлен 17.12.2012 Анализ решения задачи линейного программирования. Симплексный метод с использованием симплекс-таблиц. Моделирование и решение задач ЛП на ЭВМ. Экономическая интерпретация оптимального решения задачи. Математическая формулировка транспортной задачи. Разделим третью строку на ключевой
элемент, равный 5, получим третью строку новой таблицы. Базисным столбцам соответствуют
единичные столбцы. Расчет остальных значений таблицы: «БП – Базисный План»: ; «х1»: «х5»: Значения индексной строки
неотрицательны, следовательно получаем оптимальное решение: , ; Ответ:
максимальную прибыль от реализации
изготовленной продукции, равную 160/3 ед., обеспечивает выпуск только продукции
второго типа в количестве 80/9 единиц. Дана задача нелинейного
программирования. Найти максимум и минимум целевой функции графоаналитическим
методом. Составить функцию Лагранжа и показать, что в точках экстремума
выполняются достаточные условия минимума (максимума). Т.к. последняя цифра шифра равна 8,
то А=2; В=5. Т.к. предпоследняя цифра шифра равна
1, то следует выбрать задачу № 1. Решение:
1) Начертим область, которую задает система неравенств. Эта область – треугольник АВС с
координатами вершин: А(0; 2); В(4; 6) и С(16/3; 14/3). Уровни целевой функции представляют собой окружности с центром в
точке (2; 5). Квадраты радиусов будут являться значениями целевой функции.
Тогда по рисунку видно, что минимальное значение целевой функции достигается в
точке Н, максимальное – либо в точке А, либо в точке С. Значение целевой функции
в точке А: ; Значение целевой функции
в точке С: ; Значит, наибольшее
значение функции достигается в точке А(0; 2) и равно 13. Найдем координаты точки
Н. Для этого рассмотрим
систему: Прямая является касательной к окружности, если
уравнение имеет единственное решение. Квадратное уравнение имеет единственное
решение, если дискриминант равен 0. 2) Составим функцию
Лагранжа для нахождение минимального решения: При x
1
=2.5;
x
2
=4.5
получим: Система имеет решение при
, т.е. достаточные условия экстремума
выполняются. Составим функцию Лагранжа
для нахождение максимального решения: Достаточные условия
экстремума: При x
1
=0;
x
2
=2
получим: Система также имеет
решение, т.е. достаточные условия экстремума выполняются. Ответ:
минимум целевой функции достигается
при Двум предприятиям
выделяются средства в количестве d
единиц.
При выделении первому предприятию на год x
единиц средств оно обеспечивает доход k
1
x
единиц, а при выделении второму
предприятию y
единиц средств, оно
обеспечивает доход k
1
y
единиц. Остаток
средств к концу года для первого предприятия равен nx
, а для второго my
. Как распределить все средства в течение 4-х лет,
чтобы общий доход был наибольшим? Задачу решить методом динамического
программирования. i=8, k=1.
A=2200; k 1 =6; k 2 =1; n=0.2;
m=0.5. Решение:
Весь период
длительностью 4 года разбиваем на 4 этапа, каждый из которых равен одному году.
Пронумеруем этапы начиная с первого года. Пусть Х k и Y k – средства, выделенные
соответственно предприятиям А и В на k – том этапе. Тогда сумма Х k + Y k =а k является общим
количеством средств, используемых на k – том этапе и оставшиеся от предыдущего этапа k – 1. на первом этапе
используются все выделенные средства и а 1 =2200 ед. доход, который
будет получен на k – том этапе, при выделении Х k и Y k единиц составит 6Х k + 1Y k . пусть максимальный
доход, полученный на последних этапах начиная с k – того этапа составляет f k (а k) ед. запишем функциональное
уравнение Беллмана, выражающее принцип оптимальности: каково бы не было
начальное состояние и начальное решение последующее решение должно быть
оптимальным по отношению к состоянию, получаемому в результате начального
состояния: Для каждого
этапа нужно выбрать значение Х k , а значение Y k
=а
k
– х
k
. С учетом этого найдем
доход на k
– том этапе: Функциональное
уравнение Беллмана будет иметь вид: Рассмотрим
все этапы, начиная с последнего. (т.к.
максимум линейной функции достигается в конце
отрезка при х 4 = а 4); Целевая функция
- вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации (минимизации или максимизации) в целях решения некоторой оптимизационной задачи. Термин используется в математическом программировании, исследовании операций, линейном программировании, теории статистических решений и других областях математики в первую очередь прикладного характера, хотя целью оптимизации может быть и решение собственно математической задачи. Помимо целевой функции в задаче оптимизации для переменных могут быть заданы ограничения в виде системы равенств или неравенств. В общем случае аргументы целевой функции могут задаваться на произвольных множествах. Задача решения любой системы уравнений
{ F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{matrix}}\right.}
может быть сформулирована как задача минимизации целевой функции S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) {\displaystyle S=\sum _{j=1}^{N}F_{j}^{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})\qquad (1)}
Если функции гладкие, то задачу минимизации можно решать градиентными методами. Для всякой гладкой целевой функции можно приравнять к 0 {\displaystyle 0} частные производные по всем переменным. Оптимум целевой функции будет одним из решений такой системы уравнений. В случае функции (1) {\displaystyle (1)} это будет система уравнений метода наименьших квадратов (МНК). Всякое решение исходной системы является решением системы МНК. Если исходная система несовместна, то всегда имеющая решение система МНК позволяет получить приближённое решение исходной системы. Число уравнений системы МНК совпадает с числом неизвестных, что иногда облегчает и решение совместных исходных систем. Другим известным примером целевой функции является линейная функция, которая возникает в задачах линейного программирования. В отличие от квадратичной целевой функции оптимизация линейной функции возможна только при наличии ограничений в виде системы линейных равенств или неравенств. Типичным примером комбинаторной целевой функции является целевая функция задачи коммивояжёра. Эта функция равна длине гамильтонова цикла на графе. Она задана на множестве перестановок n − 1 {\displaystyle n-1} вершины графа и определяется матрицей длин рёбер графа. Точное решение подобных задач часто сводится к перебору вариантов. Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Такие задачи находят обширные приложения в различных сферах человеческой деятельности. Систематическое изучение задач такого типа началось в 1939 – 1940 гг. в работах Л.В. Канторовича. К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов. Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк.Это, например: задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании; задача о смесях (планирование состава продукции); задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или); транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов). Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим: математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных; данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ; многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение; некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования. Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных. В общем виде модель записывается следующим образом: целевая функция (1.1) при ограничениях Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3). Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) - прямыми. Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным. Симплекс-метод был разработан и впервые применен для решения задач в 1947 г. американским математиком Дж. Данцигом. Двумерные задачи линейного программирования решаются графически. Для случая N=3 можно рассмотреть трехмерное пространство и целевая функция будет достигать своё оптимальное значение в одной из вершин многогранника. Допустимым решением (допустимым планом) задачи ЛП, данной в стандартной форме, называется упорядоченное множество чисел (х1, х2, …, хn), удовлетворяющих ограничениям; это точка в n-мерном пространстве. Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП. ОДР представляет собой выпуклый многогранник (многоугольник). В общем виде, когда в задаче участвуют N-неизвестных, можно сказать, что область допустимых решений, задаваемая системой ограничивающих условий, представляется выпуклым многогранником в n-мерном пространстве и оптимальное значение целевой функции достигается в одной или нескольких вершинах. Базисным называется решение, при котором все свободные переменные равны нулю. Опорное решение - это базисное неотрицательное решение. Опорное решение может быть невырожденным и вырожденным. Опорное решение называется невырожденным, если число его ненулевых координат равно рангу системы, в противном случае оно является вырожденным. Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным и обозначается Решить данные задачи графически, когда количество переменных более 3 весьма затруднительно. Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом. Симплекс-метод - это универсальный метод решения задач ЛП, представляющий собой итерационный процесс, который начинается с одного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимых решений до тех пор, пока не достигнет оптимального значения. С его помощью можно решить любую задачу линейного программирования. В основу симплексного метода положена идея последовательного улучшения получаемого решения. Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (или, по крайней мере, не худшее) значение до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение - вершина, где достигается оптимальное значение функции цели (если задача имеет конечный оптимум). Таким образом, имея систему ограничений, приведенную к канонической форме (все функциональные ограничения имеют вид равенств), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще. Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению. Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении целевая функция, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему (или, по крайней мере, не удалится от него). С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не отыщется решение, которое является оптимальным. Процесс применения симплексного метода предполагает реализацию трех его основных элементов: способ определения какого-либо первоначального допустимого базисного решения задачи; правило перехода к лучшему (точнее, не худшему) решению; критерий проверки оптимальности найденного решения. Симплексный метод включает в себя ряд этапов и может быть сформулирован в виде четкого алгоритма (четкого предписания о выполнении последовательных операций). Это позволяет успешно программировать и реализовывать его на ЭВМ. Задачи с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную. Оптимизация. Часть 1
Методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции из всех возможных вариантов. В последние годы этим методам уделялось большое внимание, и в результате был разработан целый ряд высокоэффективных алгоритмов, позволяющих найти оптимальный вариант конструкции при помощи ЭЦВМ. В данной главе излагаются основы теории оптимизации, рассмат-риваются принципы, лежащие в основе построения алгоритмов оптимальных решений, описываются наиболее известные алгоритмы, анализируются их достоинства и недостатки. Термином «оптимизация» в литературе обозначают процесс или последовательность операций, позволяющих получить уточненное решение. Хотя конечной целью оптимизации является отыскание наилучшего, или «оптимального», решения, обычно приходится довольствоваться улучшением известных решений, а не доведением их до совершенства. Поэтому под оптимизацией понимают скорее стремление к совершенству, которое, возможно, и не будет достигнуто. Рассматривая некоторую произвольную систему, описываемую m уравнениями с n неизвестными, можно выделить три основных типа задач. Если m=n , задачу называют алгебраической. Такая задача обычно имеет одно решение. Если m>n, то задача переопределена и, как правило, не имеет решения. Наконец, при m Прежде чем приступить к обсуждению вопросов оптимизации, введем ряд определений. Проектные параметры
Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или произ-водные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, време-ни, температуры. Число проектных параметров характеризует сте-пень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через n, а сами проектные пара-метры через х с соответствующими индексами. Таким образом n проектных параметров данной задачи будем обозначать через Целевая функция
Это - выражение, значение которого инженер стремится сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С мате-матической точки зрения целевая функция описывает некоторую (n+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами M=M(x 1 , x 2 ,...,x n). Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.6.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверх-ностью в пространстве трех измерений (рис.6.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изобра- жению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма. Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в Рис.1.Одномерная целевая функция. Рис.6.2.Двумерная целевая функция. замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров. В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несов-местимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный мно-житель. В результате появляется «функция компромисса», позво-ляющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией. Поиск минимума и максимума
Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним т тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется рис.6.3. Пространство проектирования
Так называется область, определяемая всеми n проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного Рис.6.3.Изменением знака целевой функции на противоположный задача на максимум превращается в задачу на минимум. удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства. Ограничения - равенства
Ограничения - равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0, C 2 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0, .................. C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0. Если какое-либо из этих соотношений можно разрешить отно-сительно одного из проектных параметров, то это позволяет исключить данный параметр из процесса оптимизации. Тем самым уменьшается число измерений пространства проектирования и упрощается решение задачи. Ограничения - неравенства
Это особый вид ограничений, выраженных неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно, причем все они имееют вид z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1 z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2 ....................... z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не тем, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования. Локальный оптимум
Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. Рис.6.4.Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов. На рис. 6.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи. Глобальный оптимум
Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений, соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Как ставится задача оптимизации, лучше всего показать на примере. Пример 6.1
Пусть требуется спроектировать прямоугольный контейнер объемом 1м , предназначенный для перевозки неупакованного волокна. Желательно, чтобы на изготовление таких контейнеров затрачивалось как можно меньше материала (при условии посто-янства толщины стенок это означает, что площадь поверхности должна быть минимальной), так как при этом он будет дешевле. Чтобы контейнер удобно было брать автопогрузчиком, его ширина должна быть не менее 1,5м. Сформулируем эту задачу в виде, удобном для применения алгоритма оптимизации. Проектные параметры: x 1 , x 2 , x 3 . Целевая функция (которую требуется минимизировать) - площадь боковой поверхности контейнера: A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), м2. Ограничение - равенство: Объем = x 1 x 2 x 3 =1м3. Ограничение - неравенство: Линейное программирование (ЛП)
является одним из разделов математического программирования – дисциплины, изучающей экстремальные (оптимизационные) задачи и разработкой методов их решения. Оптимизационная задача
– это математическая задача, заключающаяся в нахождении оптимального (т.е. максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений (ОДЗ). В общем виде постановка экстремальной задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения функции , называемой целевой функцией
, при условиях (ограничениях) , где и – заданные функции, а – заданные постоянные величины. При этом ограничения в виде равенств и неравенств определяют множество (область) допустимых решений (ОДР), а – называют проектными параметрами
. В зависимости от вида функций и задачи математического программирования делятся на ряд классов (линейной, нелинейное, выпуклое, целочисленное, стохастическое, динамическое программирование и др.). В общем виде
задача ЛП имеет следующий вид: , где , , – заданные постоянные величины. Функцию (5.1) называют целевой функцией; системы (5.2), (5.3) – системой ограничений; условие (5.4) – условием неотрицательности проектных параметров. Совокупность проектных параметров , удовлетворяющих ограничениям (5.2), (5.3) и (5.4), называют допустимым решением
или планом
. Оптимальным решением
или оптимальным планом
задачи ЛП называется допустимое решение , при котором целевая функция (5.1) принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение. Стандартной задачей
ЛП называют задачу нахождения максимального (минимального) значения целевой функции (5.1) при условии (5.2) и (5.4), где , , т.е. т.е. ограничения только в виде неравенств (5.2) и все проектные параметры удовлетворяют условию неотрицательности, а условия в виде равенств отсутствуют: Канонической (основной) задачей
ЛП называют задачу нахождения максимального (минимального) значения целевой функции (5.1) при условии (5.3) и (5.4), где , , т.е. т.е. ограничения только в виде равенств (5.3) и все проектные параметры удовлетворяют условию неотрицательности, а условия в виде неравенств отсутствуют: Каноническую задачу ЛП можно также записать в матричной и векторной форме. Матричная форма канонической задачи ЛП имеет следующий вид: Векторная форма канонической задачи ЛП. Если ограничивающий фактор один (например, дефицитный станок), решение может быть найдено с применением простых формул (см. ссылку в начале статьи). Если же ограничивающих факторов несколько, применяется метод линейного программирования. Линейное программирование
– это название, данное комбинации инструментов используемых в науке об управлении. Этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы. В бизнесе он может использоваться в таких областях как планирование производства для максимального увеличения прибыли, подбор комплектующих для минимизации затрат, выбор портфеля инвестиций для максимизации доходности, оптимизация перевозок товаров в целях сокращения расстояний, распределение персонала с целью максимально увеличить эффективность работы и составление графика работ в целях экономии времени. Скачать заметку в формате , рисунки в формате Линейное программирование предусматривает построение математической модели рассматриваемой задачи. После чего решение может быть найдено графически (рассмотрено ниже), с использованием Excel (будет рассмотрено отдельно) или специализированных компьютерных программ. Пожалуй, построение математической модели – наиболее сложная часть линейного программирования, требующая перевода рассматриваемой задачи в систему переменных величин, уравнений и неравенств – процесс, в конечном итоге зависящий от навыков, опыта, способностей и интуиции составителя модели. Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования
Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно. Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц. Рис. 1. Использование и предоставление ресурсов Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли. Линейная модель может быть построена в четыре этапа. Этап 1. Определение переменных
Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная: Z = суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В. Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х 1 , х 2 , х 3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим: х 1 = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце. х 2 = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце. Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные. Этап. 2. Построение целевой функции
Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х 1 , х 2 … в виде линейного уравнения. В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х 1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х 1 . Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х 2 единиц продукта В составит 3500 * х 2 . Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2 Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели: Максимизировать Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2 Этап. 3. Определение ограничений
Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно». В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х 1 их 2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х 1 , единиц, то будет потрачено З * х 1 , часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х 2 продуктов, то потребуется 10 * х 2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, составляет 3 * х 1 + 10 * х 2 . Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330 Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения: 16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400 6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240 Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В: Этап 4. Запись условий неотрицательности
Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х 1 ≥ 0 и х 2 ≥ 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х 2 не может быть меньше 12. Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде: Максимизировать: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2 При условии, что: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330 16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400 6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240 Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.
Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода. Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант. Рис. 2. Оси графика линейного программирования Рассмотрим, например, первое ограничение: 3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330. Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой: 3 * х 1 + 10 * х 2 = 330. Эта прямая пересекает ось х 1 при значении х 2 = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х 1 + 10 * 0 = 330, а его решение: х 1 = 330 / 3 = 110 Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х 1 и х 2 для всех условий-ограничений: Графически первое ограничение отражено на рис. 3. Рис. 3. Построение области допустимых решений для первого ограничения Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми. Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х 1 и х 2 на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений. Рис. 4. Область допустимых решений для модели в целом Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции: Z = 2500 * х 1 + 3500 *х 2 разделим (или умножим) коэффициенты перед х 1 и х 2 на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон – от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50): Z = 25х 1 + 35х 2 затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х 1 и х 2 (25 * 35 = 875): 875 = 25х 1 + 35х 2 и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х 1 и х 2: Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5): Рис. 5. Нанесение целевой функции (черная пунктирная линия) на область допустимых решений Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х 1 и х 2 , которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С (рис. 6). Рис. 6. Линия целевой функции достигла максимума в пределах области допустимых решений (в точке С) Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию – все, что необходимо, это определить значения х 1 и х 2 в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х 1 и х 2 затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная – при решении задачи минимизации. Определим, например значения х 1 и х 2 в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3х 1 + 10х 2 = 330 и 6х 1 + 6х 2 = 240. Решение этой системы уравнений дает: х 1 = 10, х 2 = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице: Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб. Кратко суть графического метода решения задач линейного программирования можно изложить следующим образом: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ
РЕШЕНИЙ» Вариант № 8
1.
Решить графическим методом задачу
линейного программирования. Найти
максимум и минимум функции при заданных ограничениях: Решение
Необходимо
найти минимальное значение целевой
функции
и максимальное,
при системе ограничений: 9x 1 +3x 2 ≥30,
(1) X 1 +x 2 ≤4,
(2) x 1 +x 2 ≤8,
(3) Построим область
допустимых решений, т.е. решим графически
систему неравенств. Для этого построим
каждую прямую и определим полуплоскости,
заданные неравенствами (полуплоскости
обозначены штрихом). Пересечением
полуплоскостей будет являться область,
координаты точек которого удовлетворяют
условию неравенствам системы ограничений
задачи. Обозначим границы области
многоугольника решений. Построим
прямую, отвечающую значению функции F
= 0: F = 2x 1 +3x 2
= 0. Вектор-градиент, составленный из
коэффициентов целевой функции, указывает
направление минимизации F(X). Начало
вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;
3). Будем двигать эту прямую параллельным
образом. Поскольку нас интересует
минимальное решение, поэтому двигаем
прямую до первого касания обозначенной
области. На графике эта прямая обозначена
пунктирной линией. Прямая
Решив
систему уравнений, получим: x 1
= 3.3333, x 2
= 0. Откуда
найдем минимальное значение целевой
функции:
. Рассмотрим
целевую функцию задачи
. Построим
прямую, отвечающую значению функции F
= 0: F = 2x 1 +3x 2
= 0. Вектор-градиент, составленный из
коэффициентов целевой функции, указывает
направление максимизации F(X). Начало
вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;
3). Будем двигать эту прямую параллельным
образом. Поскольку нас интересует
максимальное решение, поэтому двигаем
прямую до последнего касания обозначенной
области. На графике эта прямая обозначена
пунктирной линией. Прямая
Откуда
найдем максимальное значение целевой
функции:
. Ответ:
2
.
Решитьзадачу
линейного программирования
симплекс-методом: Решение
Решим прямую задачу линейного
программирования симплексным методом,
с использованием симплексной таблицы. Определим минимальное значение целевой
функции
Для построения первого опорного плана
систему неравенств приведем к системе
уравнений путем введения дополнительных
переменных. В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим
базисную переменную x
3
со
знаком минус. В 2-м неравенстве смысла
(≤) вводим базисную переменнуюx
4
.
В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим
базисную переменную x 5 . Введем искусственные переменные
Для постановки задачи на минимум целевую
функцию запишем так:
. За использование искусственных
переменных, вводимых в целевую функцию,
накладывается так называемый штраф
величиной М, очень большое положительное
число, которое обычно не задается. Полученный базис называется искусственным,
а метод решения называется методом
искусственного базиса. Причем искусственные переменные не
имеют отношения к содержанию поставленной
задачи, однако они позволяют построить
стартовую точку, а процесс оптимизации
вынуждает эти переменные принимать
нулевые значения и обеспечить допустимость
оптимального решения. Из уравнений выражаем искусственные
переменные: x 6 = 4-x 1 -x 2 +x 3 ,
которые подставим в целевую функцию:
или. Матрица коэффициентов
Решим систему уравнений относительно
базисных переменных: x
6
,
x
4
, x
5.
Полагая, что свободные переменные равны
0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,2,10,4) Базисное решение называется допустимым,
если оно неотрицательно. x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
6
x
4
x
5
Текущий опорный план не оптимален, так
как в индексной строке находятся
положительные коэффициенты. В качестве
ведущего выберем столбец, соответствующий
переменной x 2 , так как это наибольший
коэффициент. Вычислим значенияD
i
Следовательно, 2-ая строка является
ведущей. Разрешающий элемент равен (2) и находится
на пересечении ведущего столбца и
ведущей строки. x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
6
x
4
x
5
Формируем следующую часть симплексной
таблицы. Вместо переменной x 4 в
план 1 войдет переменная x 2 . Строка, соответствующая переменной x 2 в плане 1, получена в результате деления
всех элементов строки x 4 плана 0
на разрешающий элемент РЭ=2. На месте
разрешающего элемента получаем 1. В
остальных клетках столбца x 2 записываем нули. Таким образом, в новом плане 1 заполнены
строка x 2 и столбец x 2 . Все
остальные элементы нового плана 1,
включая элементы индексной строки,
определяются по правилу прямоугольника. x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
6
x
2
x
5
1 1 / 2 +1 1 / 2 M Текущий опорный план неоптимален, так
как в индексной строке находятся
положительные коэффициенты. В качестве
ведущего выберем столбец, соответствующий
переменной x 1 , так как это наибольший
коэффициент. Вычислим значенияD
i
по строкам как частное от деления: Следовательно, 1-ая строка является
ведущей. Разрешающий элемент равен (1 1 / 2)
и находится на пересечении ведущего
столбца и ведущей строки. x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
6
1
1
/
2
x
2
x
5
-1
1
/
2
+1
1
/
2
M
Формируем следующую часть симплексной
таблицы. Вместо переменной x 6 в
план 2 войдет переменная x 1 . Получаем новую симплекс-таблицу: x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
1
x
2
x
5
Среди значений индексной строки нет
положительных. Поэтому эта таблица
определяет оптимальный план задачи. Окончательный вариант симплекс-таблицы: x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
1
x
2
x
5
Так как в оптимальном решении отсутствуют
искусственные переменные (они равны
нулю), то данное решение является
допустимым. Оптимальный план можно записать так:
x 1 = 2, x 2 = 2:. Ответ
: 3.
Фирма «Три толстяка» занимается
доставкой мясных консервов с трёх
складов, расположенных в разных точках
города в три магазина. Запасы консервов,
имеющиеся на складах, а также объёмы
заказов магазинов и тарифы на доставку
(в условных денежных единицах) представлены
в транспортной таблице. Найти план перевозок, обеспечивающий
наименьшие денежные затраты (первоначальный
план перевозок выполнить по методу
«северо-западного угла»). Решение
Проверим необходимое и достаточное
условие разрешимости задачи: Условие баланса соблюдается. Запасы
равны потребностям. Следовательно,
модель транспортной задачи является
закрытой. Занесем исходные данные в распределительную
таблицу. Потребности Используя метод северо-западного угла,
построим первый опорный план транспортной
задачи. План начинается заполняться с верхнего
левого угла. Искомый элемент равен 4. Для этого
элемента запасы равны 300, потребности
250. Поскольку минимальным является 250,
то вычитаем его:
. 300 - 250 = 50
250 - 250 = 0
Искомый элемент равен 2. Для этого
элемента запасы равны 50, потребности
400. Поскольку минимальным является 50,
то вычитаем его:
. 50 - 50 = 0
400 - 50 = 350
Искомый элемент равен 5. Для этого
элемента запасы равны 300, потребности
350. Поскольку минимальным является 300,
то вычитаем его:
300 - 300 = 0
350 - 300 = 50
Искомый элемент равен 3. Для этого
элемента запасы равны 200, потребности
50. Поскольку минимальным является 50, то
вычитаем его:
200 - 50 = 150
50 - 50 = 0
Искомый элемент равен 6. Для этого
элемента запасы равны 150, потребности
150. Поскольку минимальным является 150,
то вычитаем его:
150 - 150 = 0
150 - 150 = 0
Потребности
Подобные документы
;
; 
;
; 
.
.
Задание № 2
ó
ó 
Тогда 
; ; 
- минимальное значение функции.
ó 
ó 
ó 
; ; максимум
целевой функции достигается при 
; .
Задание № 3
Примеры
Гладкие функции и системы уравнений
Линейное программирование
Комбинаторная оптимизация
Глава 1. Постановка основной задачи линейного программирования
Линейное программирование
(1.2) требования неотрицательности
(1.3) где x
j
– переменные (неизвестные);
- коэффициенты задачи линейного программирования.1.2. Симплекс метод решения задач линейного программирования
.6.1.Введение
6.2.Основы теории оптимизации
X1, x2, x3,...,xn.
Задачи линейного программирования
, (5.1)
, , (5.2)
, (5.3) , , , (5.5)
. ,
.
Область допустимых значений
Граница допустимых значений
Пересечение с осью х 1
Пересечение с осью х 2
3 * х 1 + 10 * х 2 ≤ 330
3 * х 1 + 10 * х 2 = 330
х 1 = 110; х 2 = 0
х 1 = 0; х 2 = 33
16 * х 1 + 4 * х 2 ≤ 400
16 * х 1 + 4 * х 2 = 400
х 1 = 25; х 2 = 0
х 1 = 0; х 2 = 100
6 * х 1 + 6 * х 2 ≤ 240
6 * х 1 + 6 * х 2 = 240
х 1 = 40; х 2 = 0
х 1 = 0; х 2 = 40
х 2 ≥ 12
х 2 = 12
не пересекает; идет параллельно оси х 1
х 1 = 0; х 2 = 12
Точка
Значение х 1
Значение х 2
Z = 2500х 1 + 3500х 2
А
22
12
97 000
В
20
20
120 000
С
10
30
130 000
D
0
33
115 500
E
0
12
42 000
,
.
пересекает область в точке C. Так как
точка C получена в результате пересечения
прямых (4) и (1), то ее координаты удовлетворяют
уравнениям этих прямых:
.
пересекает область в точке B. Так как
точка B получена в результате пересечения
прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют
уравнениям этих прямых:
.
и
.
.
при следующих условиях-ограничений:
.
:
в 1-м равенстве вводим переменнуюx
6
;
этой системы уравнений имеет вид:
.
и из них выберем наименьшее: min(4: 1 , 2: 2
, 10: 2) = 1.
и из них выберем наименьшее: min (3: 1 1 / 2 , - , 8: 2) = 2.
,
.
=
300 + 300 + 200 = 800 .
=
250 + 400 + 150 = 800.
