С дробями мы сталкиваемся в жизни гораздо раньше, чем начинается их изучение в школе. Если разрезать целое яблоко пополам, то мы получим часть фрукта - ½. Разрежем ещё раз - будет ¼. Это и есть дроби. И все, казалось бы, просто. Для взрослого человека. Для ребенка же (а данную тему начинают изучать в конце младшей школы) абстрактные математические понятия ещё пугающе непонятны, и преподаватель должен доступно объяснить, что такое правильная дробь и неправильная, обыкновенная и десятичная, какие операции можно с ними совершать и, главное, для чего всё это нужно.
Какие бывают дроби
Знакомство с новой темой в школе начинается с обыкновенных дробей. Их легко узнать по горизонтальной черте, разделяющей два числа - сверху и снизу. Верхнее называется числителем, нижнее - знаменателем. Существует и строчный вариант написания неправильных и правильных обыкновенных дробей - через косую черту, например: ½, 4/9, 384/183. Такой вариант используется, когда высота строки ограничена и нет возможности применить «двухэтажную» форму записи. Почему? Да потому что она удобнее. Чуть позже мы в этом убедимся.
Помимо обыкновенных, существуют также десятичные дроби. Различить их очень просто: если в одном случае используется горизонтальная или наклонная черта, то в другом - запятая, разделяющая последовательности цифр. Посмотрим пример: 2,9; 163,34; 1,953. Мы намеренно воспользовались точкой с запятой в качестве разделителя, чтобы разграничить числа. Первое из них будет читаться так: «две целых, девять десятых».
Новые понятия
Вернемся к обыкновенным дробям. Они бывают двух видов.
Определение правильной дроби звучит следующим образом: это такая дробь, числитель которой меньше знаменателя. Почему это важно? Сейчас увидим!
У вас есть несколько яблок, разделенных на половинки. Всего - 5 частей. Как вы скажете: у вас «два с половиной» или «пять вторых» яблока? Конечно, первый вариант звучит естественнее, и при разговоре с друзьями мы воспользуемся им. А вот если потребуется посчитать, сколько фруктов достанется каждому, если в компании пять человек, мы запишем число 5/2 и разделим его на 5 - с точки зрения математики это будет нагляднее.
Итак, для наименования правильных и неправильных дробей правило таково: если в дроби можно выделить целую часть (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то она является неправильной. Если этого сделать нельзя, как в случае с ½, 13/16, 9/10, она будет правильной.
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, её величина не изменится. Представьте: торт порезали на 4 равные части и дали вам одну. Такой же торт порезали на восемь частей и дали вам две. Не всё ли равно? Ведь ¼ и 2/8 - это одно и то же!
Сокращение
Авторы задач и примеров в учебниках по математике зачастую стремятся запутать учеников, предлагая громоздкие в написании дроби, которые на самом деле можно сократить. Вот пример правильной дроби: 167/334, который, казалось бы, выглядит очень «страшно». Но на самом деле мы можем записать его как ½. Число 334 делится на 167 без остатка - проделав такую операцию, мы получим 2.
Смешанные числа
Неправильную дробь можно представить в форме смешанного числа. Это когда целая часть вынесена вперед и записана на уровне горизонтальной черты. Фактически выражение принимает вид суммы: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и так далее.
Чтобы вынести целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель. Остаток от деления записать сверху, над чертой, а целую часть - перед выражением. Таким образом, мы получаем две структурные части: целые единицы + правильную дробь.
Можно осуществить и обратную операцию - для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить полученное значение к числителю. Ничего сложного.
Умножение и деление
Как ни странно, умножать дроби проще, чем складывать. Всего-то и требуется - продлить горизонтальную черту: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
С делением тоже всё просто: нужно перемножить дроби крест-накрест: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Сложение дробей
Что делать, если требуется осуществить сложение или а в знаменателе у них разные числа? Поступить так же, как с умножением, не получится - здесь следует понимать определение правильной дроби и её сущность. Нужно привести слагаемые к общему знаменателю, то есть в нижней части обеих дробей должны оказаться одинаковые числа.
Чтобы это осуществить, следует воспользоваться основным свойством дроби: умножить обе части на одно и то же число. Например, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Как же выбрать, к какому знаменателю приводить слагаемые? Это должно быть минимальное число, кратное обоим числам, стоящим в знаменателях дробей: для 1/3 и 1/9 это будет 9; для ½ и 1/7 - 14, потому что меньшего значения, делящегося без остатка на 2 и 7, не существует.
Использование
Для чего нужны неправильные дроби? Ведь гораздо удобнее сразу выделить целую часть, получить смешанное число - и дело с концом! Оказывается, если требуется выполнить умножение или деление двух дробей, выгоднее воспользоваться именно неправильными.
Возьмем следующий пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Казалось бы, сократить и вовсе нечего. Но что, если записать результат сложения в первых скобках в виде неправильной дроби? Посмотрите: (37/17) / (37/68)
Теперь всё встает на свои места! Запишем пример таким образом, чтобы всё стало очевидно: (37*68) / (17*37).
Сократим 37 в числителе и знаменателе и, наконец, разделим верхнюю и нижнюю части на 17. Вы же помните основное правило для правильной и неправильной дроби? Мы можем умножать и делить их на любое число, если делаем это одновременно для числителя и знаменателя.
Итак, получаем ответ: 4. Пример выглядел сложным, а ответ содержит всего одну цифру. В математике так часто происходит. Главное - не бояться и следовать простым правилам.
Распространенные ошибки
При осуществлении учащийся может легко совершить одну из популярных ошибок. Обычно они происходят из-за невнимательности, а иногда - из-за того, что изученный материал ещё не отложился в голове как следует.
Нередко сумма чисел, стоящая в числителе, вызывает желание сократить отдельные её компоненты. Допустим, в примере: (13 + 2) / 13, написанном без скобок (с горизонтальной чертой), многие ученики по неопытности зачеркивают 13 сверху и снизу. Но так делать нельзя ни в коем случае, ведь это грубая ошибка! Если бы вместо сложения стоял знак умножения, мы получили бы в ответе число 2. Но при осуществлении сложения никакие операции с одним из слагаемых не позволительны, только со всей суммой целиком.
Ещё ребята часто ошибаются при делении дробей. Возьмем две правильные несократимые дроби и разделим друг на друга: (5/6) / (25/33). Ученик может перепутать и записать результирующее выражение как (5*25) / (6*33). Но так бы получилось при умножении, а в нашем случае всё будет несколько иначе: (5*33) / (6*25). Сокращаем то, что возможно, и в ответе увидим 11/10. Получившуюся неправильную дробь запишем как десятичную - 1,1.
Скобки
Помните, что в любых математических выражениях порядок действий определяется приоритетом знаков операций и наличием скобок. При прочих равных отсчёт очередности выполнения действий происходит слева направо. Это актуально и для дробей - выражение в числителе или знаменателе рассчитывается строго по этому правилу.
Ведь Это результат деления одного числа на другое. Если они не делятся нацело, получается дробь - вот и всё.
Как записать дробь на компьютере
Поскольку стандартные средства не всегда позволяют создать дробь, состоящую из двух «ярусов», ученики порой идут на различные ухищрения. Например, копируют числители и знаменатели в графический редактор «Пейнт» и склеивают их воедино, рисуя между ними горизонтальную линию. Конечно, есть более простой вариант, который, кстати, предоставляет и массу дополнительных возможностей, которые станут полезны вам в будущем.
Откройте «Майкрософт Ворд». Одна из панелей в верхней части экрана носит называние «Вставка» - нажмите её. Справа, в той стороне, где расположены значки закрытия и сворачивания окна, есть кнопка «Формула». Это именно то, что нам нужно!
Если вы воспользуетесь данной функцией, на экране появится прямоугольная область, в которой можно использовать любые математические знаки, отсутствующие на клавиатуре, а также писать дроби в классическом виде. То есть разделяя числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Вы даже можете удивиться, что такую правильную дробь настолько легко записать.
Изучайте математику
Если вы учитесь в 5-6 классе, то уже скоро знание математики (в том числе - умение работать с дробями!) потребуется во многих школьных предметах. Практически в любой задаче по физике, при измерении массы веществ в химии, в геометрии и тригонометрии без дробей никак не обойтись. Уже скоро вы научитесь вычислять всё в уме, даже не записывая выражения на бумаге, но будут появляться всё более и более сложные примеры. Поэтому выучите, что такое правильная дробь и как с ней работать, не отставайте по учебной программе, своевременно делайте домашние задания, и тогда вы преуспеете.
1 Что такое обыкновенные дроби. Виды дробей.Дробь всегда означает какую то часть целого. Дело в том, что не всегда количество можно передать натуральными числами, то есть пересчитать: 1,2,3 и т.д. Как, например, обозначить половину арбуза или четверть часа? Вот для этого и появились дробные числа, или дроби.
Для начала нужно сказать, что вообще дробей бывает два вида: обыкновенные дроби и десятичные дроби. Обыкновенные дроби записываются так:
Десятичные дроби записываются по другому:
Обыкновенные дроби состоят из двух частей: вверху — числитель, внизу — знаменатель. Числитель и знаменатель разделяет дробная черта. Итак, запомните:
Любая дробь - это часть целого . За целое обычно принимают 1 (единицу). Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделили целое (1 ), а числитель - сколько частей взяли. Если мы разрезали торт на 6 одинаковых частей (в математике говорят долей ), то каждая часть торта будет равна 1/6. Если Вася съел 4 куска, то значит, он съел 4/6 .
С другой стороны, дробная черта — это не что иное, как знак деления. Поэтому дробь — это частное двух чисел — числителя и знаменателя. В тексте задач или в рецептах блюд дроби записываются обычно так: 2/3, 1/2 и т.д. Некоторые дроби получили собственное название, например, 1/2 — «половина», 1/3 — «треть», 1/4 — «четверть»
А теперь разберемся, какие бывают виды обыкновенных дробей.
2 Виды обыкновенных дробей
Обыкновенные дроби бывают трех видов: правильные, неправильные и смешанные:
Правильная дробь
Если числитель меньше, чем знаменатель, то такую дробь называют правильной,
например:
Правильная дробь всегда меньше 1.
Неправильная дробь
Если числитель больше, чем знаменатель или равен знаменателю, такая дробь называется неправильной , например:
Неправильная дробь больше единицы(если числитель больше знаменателя) или равна единице (если числитель равен знаменателю)
Смешанная дробь
Если дробь состоит из целого числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), то такая дробь называется смешанной
, например:
Смешанная дробь всегда больше единицы.
3 Преобразования дробей
В математике обыкновенные дроби часто приходится преобразовывать, то есть смешанную дробь превращать в неправильную и наоборот. Это необходимо для выполнения некоторых действий, например, умножения и деления.
Итак, любую смешанную дробь можно перевести в неправильную . Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например:
Любую неправильную дробь можно превратить в смешанную. Для этого делят числитель на знаменатель (с остатком).Полученное число будет целой частью, а остаток - числителем дробной части, например:
При этом говорят: «Мы выделили целую часть из неправильной дроби».
Необходимо запомнить еще одно правило: Любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 , например:
Поговорим о том, как сравнивать дроби.
4 Сравнение дробей
При сравнении дробей может быть несколько вариантов: Легко сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, гораздо сложнее — если знаменатели разные. А есть еще и сравнение смешанных дробей. Но не волнуйтесь, сейчас мы подробно рассмотрим каждый вариант и научимся сравнивать дроби.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями больше та дробь, у которой числитель больше, например:
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Из двух дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, например:
Сравнение смешанных и неправильных дробей с правильными дробями
Неправильная или смешанная дробь всегда больше правильной дроби, например:
Сравнение двух смешанных дробей
При сравнении двух смешанных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше, например:
Если целые части у смешанных дробей одинаковые, больше та дробь, у которой дробная часть больше, например:
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Сравнивать дроби с разными числителями и знаменателями без их преобразования нельзя. Сначала дроби нужно привести к одному знаменателю, а затем сравнить их числители. Больше та дробь, у которой числитель будет больше. А вот как приводить дроби к одинаковому знаменателю, мы рассмотрим в следующих двух разделах статьи статьи. Сначала мы рассмотрим основное свойство дроби и сокращение дробей, а затем непосредственно приведение дробей к одному знаменателю.
5 Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Понятие о НОД.
Запомните: складывать и вычитать, а также сравнивать можно только дроби, у которых одинаковые знаменатели . Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к одному знаменателю, то есть так преобразовать одну из дробей, чтобы ее знаменатель стал таким же, как у второй дроби.
У дробей есть одно важное свойство, называемое также основным свойством дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то величина дроби при этом не изменится :
Благодаря этому свойству мы можем сокращать дроби :
Сократить дробь - значит разделить и числитель, и знаменатель на одно и то же число (смотрите пример чуть выше). Когда мы сокращаем дробь, то можно расписать наши действия так:
Чаще же в тетради сокращают дробь так:
Но запомните: сокращать можно только множители. Если в числителе или знаменателе сумма или разность, сокращать слагаемые нельзя. Пример:
Нужно сначала преобразовать сумму в множитель:
Иногда, при работе с большими числами, для того, чтобы сократить дробь, удобно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя (НОД)
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел - это наибольшее натуральное число, на которое эти числа делятся без остатка.
Для того, чтобы найти НОД двух чисел (например, числителя и знаменателя дроби), нужно разложить оба числа на простые множители, отметить одинаковые множители в обоих разложениях, и перемножить эти множители. Полученное произведение и будет НОД. Например, нам нужно сократить дробь:
Найдем НОД чисел 96 и 36:
НОД нам показывает, что и в числителе, и в знаменателе есть множитель12, и мы легко сокращаем дробь.
Иногда, чтобы привести дроби к одному знаменателю, достаточно сократить одну из дробей. Но чаще бывает необходимо подбирать дополнительные множители для обеих дробей.Сейчас мы рассмотрим, как это делается. Итак:
6 Как приводить дроби к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК).
Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, мы подбираем для знаменателя такое число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель (то есть было бы кратным обоим знаменателям, выражаясь математическим языком). И желательно, чтобы число это было как можно меньшим, так удобнее считать. Таким образом, мы должны найти НОК обоих знаменателей.
Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) - это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:
Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:
- Разложить эти числа на простые множители
- Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
- Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
- Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.
Например, найдем НОК чисел 28 и 21:
Однако вернемся к нашим дробям. После того, как мы подобрали или письменно вычислили НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители
. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:
Таким образом мы привели наши дроби к одному знаменателю — 15.
7 Сложение и вычитание дробей
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:
Сложение и вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью:
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:
Вычитание проводится аналогично: целая часть вычитается из целой, а дробная — из дробной части:
Если дробная часть вычитаемого больше, чем дробная часть уменьшаемого, «занимаем» единицу из целой части, превращая уменьшаемое в неправильную дробь, а дальше действуем как обычно:
Аналогично вычитаем из целого числа дробь :
Как сложить целое число и дробь
Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:
Если мы складываем целое число и смешанную дробь , мы прибавляем это число к целой части дроби, например:
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как при сложении дробей с одинаковыми знаменателями (сложить числители):
При вычитании действуем аналогично:
Если работаем со смешанными дробями, приводим к одинаковому знаменателю их дробные части и далее вычитаем как обычно: целую часть из целой, а дробную — из дробной части:
8 Умножение и деление дробей.
Умножать и делить обыкновенные дроби гораздо проще, чем складывать и вычитать, так как не нужно приводить их к одному знаменателю. Запомните простые правила умножения и деления дробей:
Перед тем, как перемножать числа в числителе и знаменателе желательно сократить дробь, то есть избавиться от одинаковых множителей в числителе и знаменателе, как в нашем примере.
Чтобы разделить дробь на натуральное число , нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений:
Например:
Деление дроби на дробь
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю (обратную дробь).Что же это за обратная дробь?
Если мы перевернем дробь, то есть поменяем местами числитель и знаменатель, то получим обратную дробь. Произведение дроби и обратной ей дроби дает единицу. В математике такие числа называют взаимно обратными числами:
Например, числа 
- взаимно обратные, так как 
Таким образом, вернемся к делению дроби на дробь:
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю :
Например:
При делении смешанных дробей нужно так же, как и при умножении, сначала перевести их в неправильные дроби:
При умножении и делении дробей на целые натуральные числа , можно представлять эти числа так же в виде дробей со знаменателем 1 .
И при делении целого числа на дробь представляем это число в виде дроби со знаменателем 1 :
Примеры с дробями – один из основных элементов математики. Существует много разных типов уравнений с дробями. Ниже приведена подробная инструкция по решению примеров такого типа.
Как решать примеры с дробями – общие правила
Для решения примеров с дробями любых типов, будь то сложение, вычитание, умножение или деление, необходимо знать основные правила:
- Для того чтобы сложить дробные выражения с одинаковым знаменателем (знаменатель – число, находящееся в нижней части дроби, числитель – в верхней), нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
- Для того чтобы вычесть от одного дробного выражения второе (с одинаковым знаменателем), нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.
- Для того чтобы сложить или вычесть дробные выражения с разными знаменателями, нужно найти наименьший общий знаменатель.
- Для того чтобы найти дробное произведение, нужно перемножить числители и знаменатели, при этом, если есть возможность, сократить.
- Для того чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую.
Как решать примеры с дробями – практика
Правило 1, пример 1:
Вычислить 3/4 +1/4.
Согласно правилу 1, если у дробей двух (или больше) одинаковый знаменатель, нужно просто сложить их числители. Получим: 3/4 + 1/4 = 4/4. Если у дроби числитель и знаменатель одинаковы, такая дробь будет равна 1.
Ответ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Правило 2, пример 1:
Вычислить: 3/4 – 1/4
Пользуясь правилом номер 2, для решения этого уравнения нужно от 3 отнять 1, а знаменатель оставить тем же. Получаем 2/4. Так как два 2 и 4 можно сократить, сокращаем и получаем 1/2.
Ответ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Правило 3, Пример 1
Вычислить: 3/4 + 1/6
Решение: Пользуясь 3-м правилом, находим наименьший общий знаменатель. Наименьшим общим знаменателем называется такое число, которое делится на знаменатели всех дробных выражений примера. Таким образом, нам нужно найти такое минимальное число, которое будет делиться и на 4, и на 6. Таким числом является 12. Записываем в качестве знаменателя 12. 12 делим на знаменатель первой дроби, получаем 3, умножаем на 3, записываем в числителе 3*3 и знак +. 12 делим на знаменатель второй дроби, получаем 2, 2 умножаем на 1, записываем в числителе 2*1. Итак, получилась новая дробь со знаменателем, равным 12 и числителем, равным 3*3+2*1=11. 11/12.
Ответ: 11/12
Правило 3, Пример 2:
Вычислить 3/4 – 1/6. Этот пример очень схож с предыдущим. Проделываем все те же действия, но в числителе вместо знака +, пишем знак минус. Получаем: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Ответ: 7/12
Правило 4, Пример 1:
Вычислить: 3/4 * 1/4
Пользуясь четвертым правилом, умножаем знаменатель первой дроби на знаменатель второй и числитель первой дроби на числитель второй. 3*1/4*4 = 3/16.
Ответ: 3/16
Правило 4, Пример 2:
Вычислить 2/5 * 10/4.
Данную дробь можно сократить. В случае произведения сокращаются числитель первой дроби и знаменатель второй и числитель второй дроби и знаменатель первой.
2 сокращается с 4. 10 сокращается с 5. получаем 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Ответ: 2/5 * 10/4 = 1
Правило 5, Пример 1:
Вычислить: 3/4: 5/6
Пользуясь 5-м правилом, получим: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Сокращаем дробь по принципу предыдущего примера и получаем 9/10.
Ответ: 9/10.
Как решать примеры с дробями – дробные уравнения
Дробными уравнениями называются примеры, где в знаменателе есть неизвестное. Для того чтобы решить такое уравнение нужно пользоваться определенными правилами.
Рассмотрим пример:
Решить уравнение 15/3x+5 = 3
Вспомним, нельзя делить на ноль, т.е. значение знаменателя не должно равняться нулю. При решении таких примеров, это нужно обязательно указывать. Для этого существует ОДЗ (область допустимых значений).
Таким образом, 3x+5 ≠ 0.
Отсюда: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
При x = 5/3 уравнение просто не имеет решения.
Указав ОДЗ, наилучшим способом решить данное уравнение будет избавиться от дробей. Для это сначала представим все не дробные значения в виде дроби, в данном случае число 3. Получим: 15/(3x+5) = 3/1. Чтобы избавиться от дроби нужно умножить каждую из них на наименьший общий знаменатель. В данном случае таковым будет (3x+5)*1. Последовательность действий:
- Умножаем 15/(3x+5) на (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Раскрываем скобки: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- То же самое проделываем с правой частью уравнения: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Приравниваем левую и правую часть: 45x + 75 = 9x +15
- Переносим иксы влево, числа вправо: 36x = – 50
- Находим x: x = -50/36.
- Сокращаем: -50/36 = -25/18
Ответ: ОДЗ x ≠ 5/3 . x = -25/18.
Как решать примеры с дробями – дробные неравенства
Дробные неравенства по типу (3x-5)/(2-x)≥0 решаются при помощи числовой оси. Рассмотрим данный пример.
Последовательность действий:
- Приравниваем числитель и знаменатель к нулю: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Чертим числовую ось, расписывая на ней получившиеся значения.
- Под значение рисуем кружок. Кружок бывает двух типов – заполненный и пустой. Заполненный кружок означает, что данное значение входит в ареал решений. Пустой круг говорит о том, что данное значение не входит в ареал решений.
- Так как знаменатель не может быть равным нулю, под 2-ой будет пустой круг.
- Чтобы определить знаки, подставляем в уравнение любое число больше двух, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. значение отрицательное, значит над областью после двойки пишем минус. Затем подставляем вместо икса любое значение интервала от 5/3 до 2, например 1. Значение опять отрицательное. Пишем минус. То же самое повторяем с областью, находящейся до 5/3. Подставляем любое число, меньшее чем 5/3, например 1. Опять минус.
- Так как нас интересуют значения икса, при котором выражение будет больше или равно 0, а таких значений нет (везде минусы), это неравенство не имеет решения, то есть x = Ø (пустое множество).
Ответ: x = Ø
Изучая царицу всех наук - математику, в определенный момент все сталкиваются с дробями. Хотя это понятие (как и сами виды дробей или математические действия с ними) совсем несложное, к нему нужно относиться внимательно, ведь в реальной жизни за пределами школы оно очень пригодится. Итак, давайте освежим свои знания о дробях: что это, для чего нужно, какие виды их бывают и как совершать с ними различные арифметические действия.
Ее величество дробь: это что такое
Дробями в математике называются числа, каждое из которых состоит из одной или более частей единицы. Такие дроби еще называют обыкновенными, либо простыми. Как правило, они записываются в виде двух чисел, которые разделены горизонтальной или слеш-чертой, она называется «дробной». Например: ½, ¾.
Верхнее, или первое из этих чисел - это числитель (показывает, сколько взято долей от числа), а нижнее, или второе - знаменатель (демонстрирует, на столько частей разделена единица).
Дробная черта фактически выполняет функции знака деления. К примеру, 7:9=7/9
Традиционно обыкновенные дроби меньше единицы. В то время как десятичные могут быть больше ее.
Для чего нужны дроби? Да для всего, ведь в реальном мире далеко не все числа целые. К примеру, две школьницы в столовой купили в складчину одну вкусную шоколадку. Когда они уже собрались делить десерт, встретили подружку и решили угостить и и ее. Однако теперь необходимо правильно разделить шоколадку, если учесть, что она состоит из 12 квадратиков.
Поначалу девчонки хотели разделить все поровну, и тогда каждой бы досталось по четыре кусочка. Но, раздумав, они решили угостить подружку, не 1/3, а 1/4 шоколадки. А поскольку школьницы плохо изучали дроби, то они не учли, что при подобном раскладе в результате у них останется 9 кусочков, которые очень плохо делятся на двоих. Этот довольно простой пример показывает, насколько важно уметь правильно находить часть от числа. А ведь в жизни подобных случаев гораздо больше.
Виды дробей: обыкновенные и десятичные
Все математические дроби делятся на два больших разряда: обыкновенные и десятичные. Об особенностях первого из них было рассказано в предыдущем пункте, так что теперь стоит уделить внимание второму.
Десятичной называют позиционную запись дроби числа, которая фиксируется на письме через запятую, без черточки или слеша. Например: 0,75, 0,5.
Фактически десятичная дробь идентична обыкновенной, однако, в ее знаменателе всегда единица с последующими нулями - отсюда произошло и ее название.
Число, предшествующее запятой, - это целая часть, а все находящееся после - дробная. Любую простую дробь можно перевести в десятичную. Так, указанные в предыдущем примере десятичные дроби можно записать как обычные: ¾ и ½.
Стоит отметить, что и десятичные, и обыкновенные дроби могут быть как положительными, так и отрицательными. Если перед ними стоит знак "-", данная дробь отрицательная, если "+" - то положительная.
Подвиды обыкновенных дробей
Есть такие виды дробей простых.
Подвиды десятичной дроби
В отличие от простой, десятичная дробь делится всего на 2 вида.
- Конечная - получила такое название из-за того, что после запятой у нее ограниченное (конечное) число цифр: 19,25.
- Бесконечная дробь - это число с нескончаемым количеством цифр после запятой. К примеру, при делении 10 на 3 результатом будет бесконечная дробь 3,333…
Сложение дробей
Проводить различные арифметические манипуляции с дробями немного сложнее, чем с обычными числами. Однако, если усвоить основные правила, решить любой пример с ними не составит особого труда.
Например: 2/3+3/4. Наименьшим общим кратным для них будет 12, следовательно, необходимо, чтобы в каждом знаменателе стояло это число. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 4, получается 8/12, аналогично поступаем со вторым слагаемым, но только множим на 3 - 9/12. Теперь можно легко решить пример: 8/12+9/12= 17/12. Получившаяся дробь - это неправильная величина, поскольку числитель больше знаменателя. Ее можно и нужно пребразовать в правильную смешанную, разделив 17:12= 1 и 5/12.
В случае, если слагаются смешанные дроби, сначала действия совершаются с целыми числами, а потом с дробными.
Если в примере присутствует десятичная дробь и обычная, необходимо, чтобы обе стали простыми, потом привести их к одному знаменателю и сложить. К примеру 3,1+1/2. Число 3,1 можно записать как смешанную дробь 3 и 1/10 или как неправильную - 31/10. Общим знаменателем для слагаемых будет 10, поэтому нужно умножить поочередно числитель и знаменатель 1/2 на 5, получается 5/10. Далее можно легко все высчитать: 31/10+5/10=35/10. Полученный результат - неправильная сократимая дробь, приводим ее в нормальный вид, сократив на 5: 7/2=3 и 1/2, или десятичной - 3,5.
Если слагать 2 десятичные дроби, важно, чтобы после запятой было одинаковое количество цифр. Если это не так, нужно просто дописать необходимое количество нулей, ведь в десятичной дроби это можно сделать безболезненно. Например, 3,5+3,005. Чтобы решить это задание, нужно к первому числу прибавить 2 ноля и далее поочередно слагать: 3,500+3,005=3,505.
Вычитание дробей
Вычитая дроби, стоит поступать так же, как и при сложении: свести к общему знаменателю, отнять один числитель от другого, при необходимости перевести результат в смешанную дробь.
Например: 16/20-5/10. Общим знаменателем будет 20. Нужно привести вторую дробь к этому знаменателю, умножив обе ее части на 2, получается 10/20. Теперь можно решать пример: 16/20-10/20= 6/20. Однако этот результат относится к сократимым дробям, поэтому стоит поделить обе части на 2 и получается результат - 3/10.
Умножение дробей
Деление и умножение дробей - значительно более простые действия, нежели сложение и вычитание. Дело в том, что, выполняя эти задания, нет необходимости искать общий знаменатель.
Чтобы умножить дроби, нужно просто поочередно перемножить между собою оба числителя, а затем и оба знаменателя. Получившийся результат сократить, если дробь - это сократимая величина.
Например: 4/9х5/8. После поочередного умножения получается такой результат 4х5/9х8=20/72. Такая дробь сократима на 4, поэтому конечный ответ в примере - 5/18.
Как делить дроби
Деление дробей - тоже несложное действие, фактически оно все равно сводится к их умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую перевернуть и умножить на первую.
Например, деление дробей 5/19 и 5/7. Чтобы решить пример, нужно поменять местами знаменатель и числитель второй дроби и умножить: 5/19х7/5=35/95. Результат можно сократить на 5 - получается 7/19.
В случае, если необходимо разделить дробь на простое число, методика немного отличается. Изначально стоит записать это число как неправильную дробь, а потом делить по той же схеме. Например, 2/13:5 нужно записать как 2/13: 5/1. Теперь нужно перевернуть 5/1 и умножить получившиеся дроби: 2/13х1/5= 2/65.
Иногда приходится совершать деление дробей смешанных. С ними нужно поступать, как и с целыми числами: превратить в неправильные дроби, перевернуть делитель и умножить все. Например, 8 ½: 3. Превращаем все в неправильные дроби: 17/2: 3/1. Далее следует переворот 3/1 и умножение: 17/2х1/3= 17/6. Теперь следует перевести неправильную дробь в правильную - 2 целых и 5/6.
Итак, разобравшись с тем, что такое дроби и как можно с ними совершать различные арифметические действия, нужно постараться не забывать об этом. Ведь люди всегда более склонны делить что-то на части, нежели прибавлять, поэтому нужно уметь делать это правильно.
Числитель и знаменатель дроби. Виды дробей. Продолжаем рассматривать дроби. Сначала небольшая оговорка – мы, рассматривая дроби и соответствующие примеры с ними, пока будем работать только с числовым её представлением. Бывают ещё и дробные буквенные выражения (с числами и без них). Впрочем, все «принципы» и правила также распространяются и на них, но о таких выражениях поговорим в будущем отдельно. Рекомендую посетить и изучать (вспоминать) тему дробей шаг за шагом.
Самое главное понять, запомнить и осознать, что ДРОБЬ – это ЧИСЛО!!!
Обыкновенная дробь – это число вида:
Число расположенное «сверху» (в данном случае m) называется числителем, число расположенное снизу (число n) называется знаменателем. У тех, кто только коснулся темы частенько возникает путаница – что как называется.
Вот вам приёмчик, как навсегда запомнить – где числитель, а где знаменатель. Данный приём связан со словесно-образной ассоциацией. Представьте себе банку с мутной водой. Известно, что по мере отстоя воды чистая вода остаётся сверху, а муть (грязь) оседает, запоминаем:
ЧИССС тая вода ВВЕРХУ (ЧИССС литель сверху)
ГряЗЗЗННН ая вода ВНИЗУ (ЗННН аменатель внизу)
Так что, как только возникнет необходимость вспомнить, где числитель, а где знаменатель, то сразу зрительно представили банку с отстоянной водой, в которой сверху ЧИСтая вода, а снизу гряЗНая вода. Есть и другие приёмы для запоминания, если они вам помогут, то хорошо.
Примеры обыкновенных дробей:
Что означает горизонтальная черточка между числами? Это не что иное, как знак деления. Получается, что дробь можно рассматривать как бы как пример с действием делением. Просто записано это действие вот в таком виде. То есть, верхнее число (числитель) делится на нижнее (знаменатель):
Кроме того, есть ещё форма записи – дробь может записываться и так (через косую черту):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 и так далее…
Можем записать вышеуказанные нами дроби так:
Результат деления, как известно это число.
Уяснили – ДРОБЬ ЭТО ЧИСЛО!!!
Как вы уже заметили, у обыкновенной дроби числитель может быть меньше знаменателя, может быть больше знаменателя и может быть равен ему. Тут присутствует множество важных моментов, которые понятны интуитивно, без каких-либо теоретических изысков. Например:
1. Дроби 1 и 3 можно записать как 0,5 и 0,01. Забежим немного вперёд – это десятичные дроби, о них поговорим чуть ниже.
2. Дроби 4 и 6 в результате дают целое число 45:9=5, 11:1 = 11.
3. Дробь 5 в результате даёт единицу 155:155 = 1.
Какие выводы напрашиваются сами собой? Следующие:
1. Числитель при делении на знаменатель может дать конечное число. Может и не получится, разделите столбиком 7 на 13 или 17 на 11 — никак! Делить можно бесконечно, но об этом также поговорим чуть ниже.
2. Дробь в результате может дать целое число. Следовательно и любое целое число мы можем представить в виде дроби, вернее бесконечного ряда дробей, посмотрите, все эти дроби равны 2:
Ещё! Любое целое число мы всегда можем записать в виде дроби – само это число в числителе, единица в знаменателе:
3. Единицу мы всегда можем представить в виде дроби с любым знаменателем:
*Указанные моменты крайне важны для работы с дробями при вычислениях и преобразованиях.
Виды дробей.
А теперь о теоретическом разделении обыкновенных дробей. Их разделяют на правильные и неправильные .
Дробь у которой числитель меньше знаменателя называется правильной. Примеры:
Дробь у которой числитель больше знаменателя или равен ему называется неправильной. Примеры:
Смешанная дробь (смешанное число).
Смешанной дробью называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дробной его части. Примеры:
Смешанную дробь всегда можно представить в виде неправильной дроби и наоборот. Идём далее!
Десятичные дроби.
Выше мы их уже затронули, это примеры (1) и (3), теперь подробнее. Вот примеры десятичных дробей: 0,3 0,89 0,001 5,345.
Дробь, знаменатель которой есть степень числа 10, например 10, 100, 1000 и так далее, называется десятичной. Записать первые три указанные дроби в виде обыкновенных дробей несложно:
Четвёртая является смешанной дробью (смешанным числом):
Десятичная дробь имеет следующую форму записи — с начала целая часть, затем разделитель целой и дробной части точка или запятая и затем дробная часть, количество цифр дробной части строго определяется размерностью дробной части: если это десятые доли, дробная часть записывается одной цифрой; если тысячные - тремя; десятитысячные - четырьмя и т. д.
Данные дроби бывают конечными и бесконечными.
Примеры конечных десятичных дробей: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.
Примеры бесконечных. Например число Пи это бесконечная десятичная дробь, ещё – 0,333333333333…... 0,16666666666…. и прочие. Также результат извлечения корня из чисел 3, 5, 7 и т.д. будет являться бесконечной дробью.
Дробная часть может быть цикличная (в ней присутствует цикл), два примера выше именно такие, ещё примеры:
0,123123123123…... цикл 123
0,781781781718…... цикл 781
0,0250102501…. цикл 02501
Записать их можно как 0,(123) 0,(781) 0,(02501).
Число Пи не является цикличной дробью как и, например, корень из трёх.
Ниже в примерах, будут звучать такие слова как «переворачиваем» дробь – это означает что числитель и знаменатель меняем местами. На самом деле у такой дроби есть название – обратная дробь. Примеры взаимно-обратных дробей:
Небольшой итог! Дроби бывают:
Обыкновенные (правильные и неправильные).
Десятичные (конечные и бесконечные).
Смешанные (смешанные числа).
На этом всё!
С уважением, Александр.
