Инструкция
Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.
Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).
Видео по теме
Источники:
- вычислить предел функции не пользуясь правилом лопиталя в 2019
Инструкция
Пределом называется некоторое число, к которому стремится переменная переменная или значение выражения. Обычно переменные или функции стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. При пределе, нулю, величина считается бесконечно малой. Иными словами, бесконечно малыми называются величины, которые переменны и приближаются к нулю. Если стремится к бесконечности, то его называют бесконечным пределом. Обычно он записывается в виде:
lim x=+∞.
У есть ряд свойств, некоторые из которых представляют собой . Ниже представлены основные из них.
- одна величина имеет только один предел;
Предел постоянной величины равен величине этой постоянной;
Предел суммы равен сумме пределов: lim(x+y)=lim x + lim y;
Предел произведения равен произведению пределов: lim(xy)=lim x * lim y
Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела: lim(Cx) = C * lim x, где C=const;
Предел частного равен частному пределов: lim(x/y)=lim x / lim y.
В задачах с пределами встречаются как числовые выражения, так и этих выражений. Это может выглядеть, в частности, следующим образом:
lim xn=a (при n→∞).
Ниже представлен несложного предела:
lim 3n +1 /n+1
n→∞.
Для решения этого предела поделите все выражение на n единиц. Известно, что если единица делится на некоторую величину n→∞, то предел 1/n равен нулю. Справедливо и обратное: если n→0, то 1/0=∞. Поделив весь пример на n, запишите его в представленном ниже виде и получите :
lim 3+1/n/1+1/n=3
При решении на пределы могут возникать результаты, которые называются неопределенностями. В таких случаях применяют правила Лопиталя. Для этого производят повторное функции, которое приведет пример в такую форму, в которой его можно было решить. Существуют два типа неопределенностей: 0/0 и ∞/∞. Пример c неопределенностью может выглядеть, в частности, следующим обращом:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8
Видео по теме
Расчет пределов функций - фундамент математического анализа, которому посвящено немало страниц в учебниках. Однако подчас не понятно не только определение, но и сама суть предела. Говоря простым языком, предел - это приближение одной переменной величины, которая зависит от другой, к какому-то конкретному единственному значению по мере изменения этой другой величины. Для успешного вычисления достаточно держать в уме простой алгоритм решения.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Введите выражение функцииВычислить предел
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Предел функции при х->х 0
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$
Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)}
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение
Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \)
существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.
Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:
Определение
число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого
\(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам
\(x_0
Символические записи:
- Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
- Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
- Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей значительно упрощается с помощью правила Лопиталя.
Суть правила Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Вообще, под правилами Лопиталя понимаются несколько теорем, которые могут быть переданы в следующей одной формулировке.
Правило Лопиталя . Если функции f (x ) и g (x ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , причём в этой окрестности
(1)
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).
В равенстве (1) величина , к которой стремится переменная, может быть либо конечным числом, либо бесконечностью, либо минус бесконечностью.
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
Пример 1. Вычислить
x =2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
Пример 2. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x
Пример 3. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x =0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому применим правило Лопиталя:
Пример 4. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Если предел отношения производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить правило Лопиталя, т.е. перейти к пределу отношения вторых производных, и т.д.
Пример 5. Вычислить
Решение. Находим
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6. Вычислить
Пусть при $x\to a$ функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке $x=a$ , и в этом случае говорят, что оно представляет собой неопределенность типа $\left[\frac{0}{0}\right]$ или соответственно. Это отношение может иметь конечный или бесконечный предел в точке $x=a$ . Нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности.
t_E1_p217_1
Теорема
(Теорема Лопиталя-Бернулли.)
Пусть в некоторой окрестности $P$
точки $x=a$
функции $f(x)$
и $g(x)$
дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки $x=a$
, и пусть $g"(x)\neq0$
на $P$
. Если функции $f(x)$
и $\varphi(x)$
являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при $x\to a$
и при этом существует предел отношения $\frac{f"(x)}{\varphi"(x)}$
их производных при $x\to a$
, то тогда существует также и предел отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$
самих функций, причем
\begin{align} \lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}. \end{align}
Правило () применимо и в случае, когда $a=\infty$ .
m_KR_p156_1
Метод
(Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left[\frac{0}{0}\right]$
и $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$
.)
В силу теоремы () существует общий способ нахождения предела отношений двух функций, основанный на равенстве
$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}.$$
Этот способ называется правилом Лопиталя
.
Если для производных $f"(x)$
и $g"(x)$
выполняются условия теоремы (), то правило Лопиталя можно применять повторно:
$$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f"(x)}{g"(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f""(x)}{g""(x)}.$$
При этом на каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов.
e_E1_p218_1
Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\arctan5x}.$$
Используя формулу (), получаем: $$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\arctan5x}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{\frac{1}{1+25x^2}\cdot5}=\frac{2}{5},$$ поскольку $e^{2x}\to1$ и $\frac{1}{1+25x^2}\to1$ при $x\to0$ .
e_E1_p218_1
Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln2x}{x^3}.$$
Применяя дважды формулу (), получаем: $$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^2x}{x^3}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{2\ln x}{x}}{3x^2}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^3}=\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{3x^2}=0.$$
e_E1_p218_1
Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}.$$
Используем формулу (): $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos^2x}-\cos x}{3x^2}=\frac{1}{3}\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos^3x}{x^2\cos^2x}.$$
Освободим знаменатель дроби от множителя $\cos^2x$ , поскольку он имеет предел $1$ при $x\to0$ . Развернем стоящую в числителе разность кубов и освободим числитель от сомножителя $(1+\cos x+\cos^2x)$ , имеющего предел $3$ при $x\to0$ . После этих упрощений получаем $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.$$
Применим снова формулу (): $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}.$$
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный ответ $\frac{1}{2}$ , уже не прибегая к правилу Лопиталя.
m_E1_p219_1
Метод
(Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left$
.)
Для вычисления $\lim\limits_{x\to a}f(x)g(x)$
, где $f(x)$
— бесконечно малая, а $g(x)$
— бесконечно большая функции при $x\to a$
, следует преобразовать произведение к виду $\frac{f(x)}{1/g(x)}$
(неопределенность типа $\left[\frac{0}{0}\right]$
) или к виду $\frac{g(x)}{1/f(x)}$
(неопределенность типа $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$
) и далее использовать правило Лопиталя.
e_E1_p219_1
Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to1}\sin(x-1)\cdot\tan\frac{\pi x}{2}.$$
Имеем: $$\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to1}\sin(x-1)\cdot\tan\frac{\pi x}{2}=\left=\lim\limits_{x\to1}\frac{\sin(x-1)}{\cot\frac{\pi x}{2}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\\=\lim\limits_{x\to1}\frac{\cos(x-1)}{-\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin^2\frac{\pi x}{2}}}=-\frac{2}{\pi}\lim\limits_{x\to1}\cos(x-1)\sin^2\frac{\pi x}{2}=-\frac{2}{\pi}.\end{array}$$
m_E1_p220_1
Метод
(Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left[\infty-\infty\right]$
.)
Для вычисления $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))$
, где $f(x)$
и $g(x)$
— бесконечно большие функции при $x\to a$
, следует преобразовать разность к виду $f(x)\left(1-\frac{g(x)}{f(x)}\right)$
, затем раскрыть неопределенность $\frac{g(x)}{f(x)}$
типа $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$
. Если $\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}\neq1$
, то $\lim\limits_{x\to a}(f(x)-\varphi(x))=\infty$
. Если же $\lim\limits_{x\to a}\frac{\varphi(x)}{f(x)}=1$
, то получаем неопределенность типа $[\infty\cdot0]$
, рассмотренную ранее.
e_E1_p220_1
Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x).$$
Имеем: $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x)=[\infty-\infty]=\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-\frac{\ln^3x}{x}\right).$$
Так как $$\begin{array}{c}\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^3x}{x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3\ln^2x\cdot\frac{1}{x}}{1}=3\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^2x}{x}=\\=3\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot\frac{1}{x}}{1}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=6\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,\end{array}$$ то $$\lim\limits_{x\to+\infty}(x-\ln^3x)=+\infty.$$
m_E1_p221_1
Метод
(Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left$
, $\left[\infty^0\right]$
, $\left$
.)
Во всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения $\left(f(x)\right)^{g(x)}$
, где $f(x)$
есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае — бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел равный единице. Функция же $g(x)$
в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае — бесконечно большой.
Логарифмируя выражение $\left(f(x)\right)^{g(x)}$
, получим равенство
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
Найдем предел $\ln y$
, после чего найдем предел $y$
. Во всех трех случаях $\ln y$
является неопределенностью типа $$
, метод раскрытия которой изложен ранее.
e_E1_p221_1
Пример
Найти $$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}.$$
Введем обозначение $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}$ . Тогда $\ln y=2x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$ является неопределенностью $[\infty\cdot0]$ . Преобразуя выражение $\ln y$ к виду $\ln y=2\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}$ , находим по правилу Лопиталя $$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln y=2\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}=2\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=2.$$
Следовательно, $$\lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=e^2.$$