Если совсем подробно - то..

Очевидно, сечение о котором говорится в условии - это $%AA_1MN$%, где $%M$% и $%N$% - середины ребер $%B_1C_1$% и $%BC$% соответственно (и плоскость такого сечения, очевидно, перпендикулярна плоскостям оснований). Т.е. так как это сечение - квадрат, то высота призмы (ее боковое ребро) = высоте правильного треугольника $%AN = h = a\cdot \sqrt{3}/2 = 2\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{21}$%.
Ищем расстояние между скрещивающимися $%A_1B$% и $%AM$%.

"Плохой" способ решения (пусть тоже будет, т.к. в других задачах подобное применяется часто). Строим плоскость, содержащую, например, прямую $%AM$% и параллельную прямой $%A_1B$% (можно было наоборот нарисовать плоскость, проходящую через $%A_1B$% и параллельную $%AM$%). Для этого: через т. $%M$% проводим прямую $%ME || A_1B$%; плоскость, заданная параллельными прямыми $%A_1B$% и $%AM$%, пересекает 2 параллельные плоскости оснований по ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ прямым, т.е. если точка $%E$% принадлежит "нижнему" основанию, то должно быть $%A_1M || BE$% (т.е. $%BA_1ME$% - параллелограмм, и $%BE = A_1M = \sqrt{21}$%). Теперь по построению $%A_1B$% параллельна плоскости $%AME$% (т.к. $%A_1B || ME$%), и ищем расстояние от любой точки $%A_1B$% (например от точки $%B$%) до плоскости $%AME$%. Оно = высоте пирамиды $%BAME$%, проведенной из вершины $%B$% к основанию $%AME$%. Но построить такую высоту $%H$% сложно, поэтому ищем "через объем". С одной стороны $%V_{BAME} = 1/3\cdot S_{\Delta AME}\cdot H$%, а с другой стороны: $%V_{BAME} = 1/3\cdot S_{BAE} \cdot MN$% (т.к. высотой из точки $%M$% к основанию $%BAE$% будет высота призмы $%MN = \sqrt{21}$% (хотя высота будет при этом "находиться за пределами" самой пирамиды $%BAME$%, но это ничего не меняет)).
В $%\Delta ABE$% угол $%\angle ABE = 60^0 + 90^0 = 150^0$%, и площадь треуг-ка $%S_{ABE} = 1/2\cdot 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot sin(150^0) = 7 \sqrt{3}/2$%. Т.е. объем пирамиды: $%V_{BAME} = 1/3\cdot 7\sqrt{3} /2 \cdot \sqrt{21} = 7\sqrt{7} /2$%
И остается найти площадь треугольника $%AME$%. Его стороны "знаем" (находим): $%AM = \sqrt{2} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{42}$% (это диагональ квадрата), $%ME = A_1B = \sqrt{ (2\sqrt{7})^2 + (\sqrt{21})^2 } = \sqrt{ 28 + 21} = 7$%, и $%AE$% - из треугольника $%BAE$% по теореме косинусов: $% AE^2 = 21 + 28 - 2\cdot 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{21}\cdot (-\sqrt{3})/2 = 49 + 2\cdot 7 \cdot 3 = 91$%. Т.е. (еще раз) стороны: $%AM = \sqrt{42}$%, $%ME = 7 = \sqrt{49}$% и $%AE = \sqrt{91}$%. Но $%91 = 42 + 49$%, т.е. $%AE^2 = AM^2 + ME^2$%, т.е. "по теореме обратной к теореме Пифагора" треугольник - прямоугольный ($%AM \perp ME$%). Тогда его площадь: $%S_{AME} = 1/2\cdot AM\cdot AE = 1/2\cdot 7\sqrt{42}$%.
То есть $%1/3\cdot 1/2 \cdot 7\sqrt{42} \cdot H = 7\sqrt{7}/2$%, откуда $%H = 3\sqrt{7}/\sqrt{42} = 3/\sqrt{6} = \sqrt{6}/2$% --расстояние от точки $%B$% (и от прямой $%A_1B$% до плоскости $%AME$% (равное расстоянию между скрещивающимися).

Теперь нормальный способ решения =)) Найдем плоскость, перпендикулярную прямой $%AM$%. "Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум не параллельным прямым, лежащим в этой плоскости". Очевидно, что $%AM \perp A_1N$% (т.к. это диагонали квадрата). Кроме того, $%AN$% - это проекция наклонной $%AM$% на "нижнее" основание. И если проекция $%AN \perp BC$%, то и наклонная $%AM\perp BC$% (теор. о 3-х перпендикулярах). Можно по-другому: сказать, что прямая $%BC$% лежит в плоскости основания, которая перпендикулярна плоскости $%ANM$%, при чем $%BC$% перпендикулярна $%AN$% - линии пересечения этих плоскостей, значит, $%BC$% перпендикулярна всей плоскости $%ANM$%, тогда и $%BC\perp AM$%. Таким образом $%AM\perp A_1N$% и $%AM\perp BC$%, значит, $%AM$% перпендикулярна плоскости $%BA_1N$%. Но прямая $%A_1B$% этой плоскости вообще принадлежит (ее даже проецировать на эту плоскость не надо). Т.е. построив из точки $%O$% (точки пересечения $%AM$% с плоскостью $%BA_1N$%) перпендикуляр к стороне $%BA_1$% (т.е. $%OT\perp A_1B$%)- получаем общий перпендикуляр двух скрещивающихся (его длина = расстоянию между ними). Треуг-к$%\Delta BNA_1$% - прямоугольный ($%\angle BNA_1 = 90^0)$%, и отрезок $%OT$% - это половина перпендикуляра к гипотенузе. А перп. к гипотенузе: $%NK = BN\cdot A_1N / A_1B = \sqrt{7}\cdot \sqrt{42}/7 = \sqrt{6}$%. И расстояние $%OT = \sqrt{6}/2$%

Расстояние между двумя прямыми.

Задание С2

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1,
все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВ1

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, нужно:

1. Через одну из прямых провести плоскость, параллельную второй прямой.

2. Из любой точки первой прямой опустить перпендикуляр на плоскость и найти его длину. То есть задача сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости.

Это можно сделать геометрическим методом или с помощью метода координат..jpg" align="left" width="132" height="168">

Докажем, что плоскость МСС1 перпендикулярна прямой АВ, и, следовательно, плоскости А1В1С:

Отрезок МС является медианой, и, следовательно, высотой равностороннего треугольника АВС. Прямая КМ параллельна прямой СС1 и, следовательно, перпендикулярна АВ. То есть прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости МСС1 , и, следовательно перпендикулярна плоскости.

Теперь рассмотрим в плоскости МСС1 прямоугольный треугольник МКС и проведем в нем высоту МР:

Длина высоты МР треугольника и есть расстояние между прямыми АВ и СВ1, которой нам нужно найти.

Чтобы найти высоту МР, выразим два раза площадь треугольника МКС

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.

Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки М и точек А1, В1 и С, задающих плоскость А1В1С вычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:

Запишем координаты нужных нам точек:

\(\blacktriangleright\) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.

\(\blacktriangleright\) Т.к. через одну из скрещивающихся прямых проходит ровно одна плоскость, параллельная другой прямой, то расстояние между скрещивающимися прямыми - это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую параллельно первой.

Таким образом, если прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, то:

Шаг 1. Провести прямую \(c\parallel b\) так, чтобы прямая \(c\) пересекалась с прямой \(a\) . Плоскость \(\alpha\) , проходящая через прямые \(a\) и \(c\) , и будет плоскостью, параллельной прямой \(b\) .

Шаг 2. Из точки пересечения прямых \(a\) и \(c\) (\(a\cap c=H\) ) опустить перпендикуляр \(HB\) на прямую \(b\) (первый способ).

Или из любой точки \(B"\) прямой \(b\) опустить перпендикуляр на прямую \(c\) (второй способ).

В зависимости от условия задачи какой-то из этих двух способов может быть гораздо удобнее другого.

Задание 1 #2452

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , ребро которого равно \(\sqrt{32}\) , найдите расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\) .

Прямые \(DB_1\) и \(CC_1\) скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(DB_1\) пересекает плоскость \((DD_1C_1)\) , в которой лежит \(CC_1\) , в точке \(D\) , не лежащей на \(CC_1\) .

Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(CC_1\) и плоскостью, проходящей через \(DB_1\) параллельно \(CC_1\) . Т.к. \(DD_1\parallel CC_1\) , то плоскость \((B_1D_1D)\) параллельна \(CC_1\) .
Докажем, что \(CO\) – перпендикуляр на эту плоскость. Действительно, \(CO\perp BD\) (как диагонали квадрата) и \(CO\perp DD_1\) (т.к. ребро \(DD_1\) перпендикулярно всей плоскости \((ABC)\) ). Таким образом, \(CO\) перпендикулярен двум пересекающимся прямым из плоскости, следовательно, \(CO\perp (B_1D_1D)\) .

\(AC\) , как диагональ квадрата, равна \(AB\sqrt2\) , то есть \(AC=\sqrt{32}\cdot \sqrt2=8\) . Тогда \(CO=\frac12\cdot AC=4\) .

Ответ: 4

Задание 2 #2453

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Найдите расстояние между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\) , если ребро куба равно \(a\) .

1) Заметим, что эти прямые скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(AB_1\) пересекает плоскость \((BB_1C_1)\) , в которой лежит \(BC_1\) , в точке \(B_1\) , не лежащей на \(BC_1\) .
Расстояние между скрещивающимися прямыми будем искать как расстояние между прямой \(BC_1\) и плоскостью, проходящей через \(AB_1\) параллельно \(BC_1\) .

Для этого проведем \(AD_1\) - она параллельна \(BC_1\) . Следовательно, по признаку плоскость \((AB_1D_1)\parallel BC_1\) .

2) Опустим перпендикуляр \(C_1H\) на эту плоскость и докажем, что точка \(H\) упадет на продолжение отрезка \(AO\) , где \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(A_1B_1C_1D_1\) .
Действительно, т.к. по свойству квадрата \(C_1O\perp B_1D_1\) , то по теореме о трех перпендикуляр проекция \(HO\perp B_1D_1\) . Но \(\triangle AB_1D_1\) равнобедренный, следовательно, \(AO\) – медиана и высота. Значит, точка \(H\) должна лежать на прямой \(AO\) .

3) Рассмотрим плоскость \((AA_1C_1)\) .

\(\triangle AA_1O\sim \triangle OHC_1\) по двум углам (\(\angle AA_1O=\angle OHC_1=90^\circ\) , \(\angle AOA_1=\angle HOC_1\) ). Таким образом,

\[\dfrac{C_1H}{AA_1}=\dfrac{OC_1}{AO} \qquad (*)\]

По теореме Пифагора из \(\triangle AA_1O\) : \

Следовательно, из \((*)\) теперь можно найти перпендикуляр

Ответ:

\(\dfrac a{\sqrt3}\)

Задание 3 #2439

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(OK\) перпендикулярен прямой \(A_1B\) .
Действительно, проведем \(KH\parallel B_1C_1\) (следовательно, \(H\in AB_1\) ). Тогда т.к. \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , то и \(KH\perp (AA_1B_1)\) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (т.к. проекция \(HO\perp A_1B\) ) наклонная \(KO\perp A_1B\) , чтд.
Таким образом, \(KO\) – искомое расстояние.

Заметим, что \(\triangle AOK\sim \triangle AC_1B_1\) (по двум углам). Следовательно,

\[\dfrac{AO}{AC_1}=\dfrac{OK}{B_1C_1} \quad \Rightarrow \quad OK=\dfrac{\sqrt6\cdot \sqrt2}{2\sqrt3}=1.\]