Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

Например, все уравнения:

2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) - линейные.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .

Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

aх + b = 0.

Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.

Выполним вычитание, тогда
3х = 9.

Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.

Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

Ответ: х = 3 .

Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Приведем подобные члены:
0х = 0.

Ответ: х - любое число .

Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = - b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.

Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

Пример 4. Пусть надо решить уравнение

1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.

Как видим, корень уравнения равен семи.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

2х + 6 = 5 – 6х

2х + 6х = 5 – 6

Ответ: ‒ 0, 125

Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

– 30 + 18х = 8х – 7

18х – 8х = – 7 +30

Ответ: 2,3

Пример 8. Решите уравнение

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

9х – 12 = 28х + 24

9х – 28х = 24 + 12

Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х

Решение

Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.

Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.

Если х = 4, тогда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Ответ: 27.

Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!

Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Для системы составляем главный определитель

и вычисляем его.

Затем составляем дополнительные определители

и вычисляем их.

По правилу Крамера решение системы находят по формулам

;
;
,если

1)

Вычислим:

По формулам Крамера находим:

Ответ: (1; 2; 3)

2)

Вычислим:

Так как главный определитель
, а хотя бы один дополнительный не равен нулю (в нашем случае
), то решения у системы нет.

3)

Вычислим:

Так как все определители равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти так

Решите самостоятельно системы:

а)
б)

Ответ: а) (1; 2; 5) б) ;;

Практическое занятие № 3 на тему:

Скалярное произведение двух векторов и его приложение

1. Если дан
и
, то скалярное произведение находим по формуле:

∙

2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле

1. Даны два вектора
и

Их скалярное произведение находим так:

.

2. Даны два вектора:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

скалярное произведение находят так:

3.
,

3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути

1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =60 0 . Вычислить работу силы по перемещению тела.

Дано:

Решение:

2) Дано:

Решение:

3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.

Решение: находим вектор перемещения

Находим модуль вектора перемещения:

По формуле
находим работу:

3.2 Определение ортогональности двух векторов

Два вектора ортогональны, если
, то есть

так как

1)

–не ортогональны

2)

–ортогональны

3) Определить, при каком  векторы
и
взаимно-ортогональны.

Так как
, то
, значит

Решите самостоятельно:

а)

. Найти их скалярное произведение.

б) Вычислить, какую работу производит сила
, если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, переместилась из точки M (5; -6; 1) в точку N (1; -2; 3)

в) Определить, ортогональны ли вектора
и

Ответы: а) 1 б) 16 в) да

3.3.Нахождение угла между векторами

1)

. Найти .

Находим

подставляем в формулу:

.

1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.

Подставим в формулу:

Решите самостоятельно:

Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.

Ответ: 90 о

Практическое занятие № 4 на тему:

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.

Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:

	имеет вид

1) Найти модуль векторного произведения:

Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).

1-ый способ: по правилу Саррюса

2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.

2) Найти модуль векторного произведения:

4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.

1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

2). Найти векторное произведение и его модуль

4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.

Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.

Найдем их векторное произведение

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Если вектора
и
коллинеарны, то

, т. е. координаты векторов должны быть пропорциональны.

а) Даны вектора::
,
.

Они коллинеарны потому, что
и

после сокращения каждой дроби получается соотношение

б) Даны вектора:

.

Они не коллинеарны, потому, что
или

Решите самостоятельно:

а) При каких значениях m и n вектора
коллинеарны?

Ответ:
;

б) Найти векторное произведение и его модуль
,
.

Ответ:
,
.

Практическое занятие № 5 на тему:

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задача № 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2; 3) параллельно прямой

1. Найдем угловой коэффициент прямой
.

- это уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой (
). Поэтому
.

2. Так как прямые MN и АС параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.
.

3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки А(-2; 3), вместо подставим – 3. В результате подстановки получим:

Ответ:

Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .

1. Найдем угловой коэффициент прямой .

Это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой . Сравнивая уравнения и находим, что А = 2, В = –3. Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле
. Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3, получим угловой коэффициент прямой MN. Итак,
.

2. Так как прямые MN и КС параллельны, то их угловые коэффициенты равны:
.

3. Для нахождения уравнения прямой КС воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–2; 3), вместо

Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .

1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .

и находим, что А = 3, В = 4.

Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , находится по формуле:
. Подставив в эту формулу А = 3 и В = 4, получим угловой коэффициент прямой MN:
.

2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:

.

3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом

. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–1; –3), вместо подставим . В результате подстановки получим:

Решите самостоятельно:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–4; 1) параллельно прямой
.

Ответ:
.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(5; –2) параллельно прямой
.

3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–2; –6) перпендикулярно прямой
.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(7; –2) перпендикулярно прямой
.

Ответ:
.

5. Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки К(–6; 7) на прямую
.

2.3.1. Определение .

Пусть даны линейные уравнения:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Если требуется найти общее решение уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), то говорят, что они образуют систему . Система, состоящая из уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), обозначается следующим образом:

Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы . Решить систему (2.3.4) ¾ это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.

Как и в предыдущих случаях, ниже мы найдем условия, при которых система (2.3.4) имеет единственное решение, имеет более одного решения и не имеет ни одного решения.

2.3.2. Определение . Пусть дана система (2.3.4) линейных уравнений. Матрицы

называются соответственно (основной ) матрицей и расширенной матрицей системы.

2.3.3. Определения равносильных систем вида (2.3.4), а также элементарных преобразований 1-го и 2-го типов вводятся аналогично, как и для систем из двух уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Элементарным преобразованием 3-го типа системы (2.3.4) называется перемена местами некоторых двух уравнений этой системы. Аналогично предыдущим случаям систем из 2-х уравнений при элементарных преобразованиях системы получается система , равносильная данной .

2.3.4. Упражнение . Решить системы уравнений:

Решение. а)

(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы (преобразование 3-го типа).

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего (преобразование 2-го типа); таким образом, из второго и третьего уравнений исключили неизвестную x .

(3) Второе уравнение, умноженное на 14, вычли из третьего; из третьего исключили неизвестную y .

(4) Из последнего уравнения находим z = 1, подставляя которое во второе, находим y = 0. Наконец, подставляя y = 0 и z = 1 в первое уравнение, находим x = -2.ñ

(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы.

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего.

(3) Второе и третье уравнения совпали. Одно из них исключаем из системы (или, по-другому, если вычесть из третьего уравнения второе, то третье уравнение обратится в тождество 0 = 0;оно исключается из системы. Полагаем z = a .

(4) Подставляем z = a во второе и первое уравнения.

(5) Подставляя y = 12 - 12a в первое уравнение, находим x .

в) Если первое уравнение разделить на 4, а третье ¾ на 6, то придём к равносильной системе

которая равносильна уравнению x - 2y - z = -3. Решения этого уравнения известны (см. Пример 2.2.3 б))

Последнее равенство в полученной системе является противоречивым. Следовательно, система решений не имеет.

Преобразования (1) и (2) ¾ точно такие же, как и соответствующие преобразования системы б))

(3) Из последнего уравнения вычли второе.

Ответ: а) (-2; 0; 1);

б) (21 - 23a ; 12 - 12a ; a ), a ÎR ;

в) {(-3 + 2a + b ; a ; b )|a , b ÎR };

г) Система решений не имеет.

2.3.5. Из предыдущих примеров вытекает, что система с тремя неизвестными , как и система с двумя неизвестными, может иметь единственное решение , бесконечное множество решений и не иметь ни одного решения . Ниже мы разберём все возможные случаи. Но предварительно введём некоторые обозначения.

Через D обозначим определитель матрицы системы:

Через D 1 обозначим определитель, полученный из D заменой первого столбца на столбец свободных членов:

Аналогично, положим

D 2 = и D 3 = .

2.3.6. Теорема . Если D¹0, то система (2.3.4) имеет единственное решение

, , . (2.3.5)

Формулы (2.3.5) называются формулами = = 0 для всех i ¹j и хотя бы один из определителей , , не равен нулю , то система решений не имеет .

4) Если = = = = = = 0 для всех i ¹j , то система имеет бесконечное множество решений , зависящих от двух параметров .

Задача 1

Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера

Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D 1 , D 2 , D 3 , если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Ответ: получили решение:

2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы

Примем первую строку за направляющую, а элемент а 11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.

соответствует множество решений системы линейных уравнений

Ответ: получили решение:

Задача 2

Даны координаты вершин треугольника АВС

Найти:

1) длину стороны АВ;

4) уравнение медианы АЕ;

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).

1) Расстояние между точками А(х 1 ; у 1 ) и В(х 2 ; у 2 ) определяется по формуле

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х 1 ; у 1 ) и В(х 2 ; у 2 ) имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k АВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b .

, то есть откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:

Угловой коэффициент k ВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b .

, то есть

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.

Подставив ранее вычисленные значения k ВС и k АВ в (3), находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х 0 ; у 0 )с заданным угловым коэффициентом k , которое имеет вид

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k AB k CD = -1, откуда k CD = -1/k AB = - 3/4

Подставив в (4) вместо k значение k С D = -3/4, а вместо x 0 , y 0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD

Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х 0 ; у 0 ) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:

Подставив в (5) вместо х 0 ; у 0 координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k EF = k AB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х 0 ; у 0 координаты точки Е, а вместо k значение k EF получаем уравнение прямой EF".

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.

Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М 0 (х 0 ; у 0 ) имеет вид

Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.

Задача 3

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат

Решение

Пусть М (x , у ) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то