Системы уравнений с параметром. Уравнения с модулем - чтобы получить максимум на ЕГЭ по математике (2019) Решение систем уравнений с параметром содержащих модуль

§6. Решение уравнений с модулями и параметрами

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

Портал для школьника. Самоподготовка

§6. Решение уравнений с модулями и параметрами

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

§ 4. Решение задач с помощью систем уравнений

§ 4. Решение задач с помощью систем уравнений

СХОЖИЕ СТАТЬИ

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582 < 0.

Ответ: 1; 2.

Рассмотрим несколько уравнений, в которых переменная x стоит под знаком модуля. Напомним, что

x , если x ≥ 0,

x = − x , если x < 0.

Пример 1. Решите уравнение:

а) x − 2 = 3; б) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x + 2

X =1; г) x 2 −

6; д) 6x 2 −

x + 1

x − 1

а) Если модуль числа равен 3, то это число равно либо 3, либо (− 3 ) ,

т. е. x − 2 = 3, x = 5 или x − 2 = − 3, x = − 1.

б) Из определения модуля следует, что

x + 1

X + 1, при x + 1 ≥ 0,

т. е. при x ≥ − 1 и

x + 1

= − x − 1 при x < − 1. Выражение

2x − 3

2 x − 3, если x ≥ 3

и равно − 2 x + 3, если x < 3 .

x < −1

уравнение

равносильно

уравнению

− x −1 −

(− 2 x + 3 ) = 1, из которого следует, что

x = 5. Но число 5 не

удовлетворяет условию x < − 1, следовательно,

при x < − 1 данное

уравнение решений не имеет.

−1 ≤ x <

уравнение

равносильно

уравнению

x + 1− (2x + 3) = 1, из которого следует, что x = 1;

число 1 удовлетворя-

ет условию − 1 ≤ x <

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

x ≥

уравнение

равносильно

уравнению

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, которое имеет решение x = 3. А так как число 3

удовлетворяет условию x ≥

то оно является решением уравнения.

x + 2

в) Если числитель и знаменатель дроби

имеют одинаковые

x − 1

знаки, то дробь положительна, а если разные – то отрицательна, т. е.

x + 2

Если x ≤ − 2, если x > 1,

x − 1

x + 2

Если − 2 < x < 1.

−1

При x ≤ − 2

ипри x > 1

исходноеуравнениеравносильноуравнению

x + 2

X =1, x +2

X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0.

x − 1

Последнее уравнение не имеет решений.

При − 2 < x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x + 2

X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0.

x − 1

Найдём корни этого уравнения:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 .

Неравенствам

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Следова-

тельно, это число является решением уравнения.

x ≥ 0 данное

уравнение

равносильно

уравнению

x 2 − x −6 = 0,

корнями которого являются числа 3 и – 2. Число 3

удовлетворяет условию x > 0,

а число – 2 не удовлетворяет этому ус-

ловию, следовательно, только число 3 является решением исходного

x < 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
		x ≥ − 1 данное	уравнение	равносильно		уравнению
6 x 2 − x − 1 = 0, находим его корни: x = 1 ±				25 , x = 1 , x		= −1 .

Оба корня удовлетворяют условию x ≥ − 1,					следовательно, они яв-
ляются решениями данного уравнения. При				x < − 1 данное уравнение
равносильно уравнению 6 x 2 + x + 1 = 0, которое не имеет решений.
Пусть заданы выражения f (x , a ) и g (x , a ) ,					зависящие от перемен-
ных x	и a .	Тогда уравнение	f (x, a) = g(x, a)		относительно перемен-

ной x называется уравнением с параметром a . Решить уравнение с параметром – это значит при любом допустимом значении параметра найти все решения данного уравнения.

Пример 2. Решитеуравнениепривсехдопустимыхзначенияхпараметра a :

а) ax 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; б) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;

в) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Выражение 4 a 2		3 > 0 для любого a ; при a > − 2 име-
	a + 2
ем два решения: x =			4a 2 + 3	и x = −	4a 2	Если	a + 2 < 0, то
ем два решения: x =				и x = −		Если	a + 2 < 0, то
			a + 2		a + 2
			a + 2		a + 2

выражение 4 a 2 + 3 < 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

Ответ: x = ±	4a 2 + 3	При a > − 2;	при a ≤ − 2 решений нет.
	a + 2
			то x 2 = a + 3. Если a + 3 = 0,
б) Если a = 3, то x . Если a ≠ 3,
т.е. если a = − 3,	то уравнение имеет единственное решение x = 0. Ес-

ли a < − 3, то уравнение не имеет решений. Если a > − 3 и a ≠ 3, то уравнение имеет два решения: x 1 = a + 3 и x 2 = − a + 3.

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

a = 1 данное уравнение принимает вид

4x − 1 = 0,

x = 1

является его решением. При

a ≠ 1 данное уравнение является

квадратным, его дискриминант D 1 равен

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Если 5 a − 1 < 0, т.е. a < 1 ,

то данное уравнение не имеет решений.

Если a =

то уравнение имеет единственное решение

a + 1

x = −

a − 1

−1

Если a >

и a ≠ 1,

то данное уравнение имеет два решения:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a − 1

−(a +1 ) ±

1 при

a = 1; x = 3

при a

; x =

5a − 1

a − 1

при a > 1

и a ≠ 1; при a < 1

уравнение не имеет решений.

§7. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям

В этом параграфе рассмотрим системы, которые содержат уравнения второй степени.

Пример 1. Решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

xy = 2.

В этой системе уравнение 2 x + 3 y = 8 является уравнением первой степени, а уравнение xy = 2 – второй. Решим эту систему методом

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

подстановки. Из первого уравнения системы выразим x через y и подставим это выражение для x во второе уравнение системы:

8 − 3y	4 −
		y , 4	y y = 2.

Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Находим его корни:

4 ± 4

4 ± 2

Y = 2, y

Из условия x = 4 −

получим x = 1, x

Ответ: (1;2 ) и

Пример 2. Решите систему уравнений:

x 2 + y 2 = 41,

xy = 20.

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим с первым

уравнением системы:	x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2,			(x + y ) 2 = 81, откуда
следует, что x + y = 9 или x + y = − 9.
Если x + y = 9, то	x = 9 − y . Подставим это выражение для x во
второе уравнение системы:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y			4, x = 4, x = 5.

Из условия x + y = − 9 получим решения (− 4; − 5) и (− 5; − 4 ) .
Ответ: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) .
Пример 3. Решите систему уравнений:
		y = 1,
	x −	y = 1,


	x − y

Запишем второе уравнение системы в виде

( x − y )( x + y ) = 5.

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

Используя уравнение x − y = 1, получаем: x + y = 5. Таким образом, получаем систему уравнений, равносильную дан-


	x −	y = 1,
	x −	y = 1,
		y = 5.
		y = 5.

Сложим эти уравнения, получим: 2 x = 6,		x = 3, x = 9.
Подставляя значение x = 9 в первое уравнение			системы, получа-
ем 3 − y = 1, откуда следует, что y = 4.
Ответ: (9;4 ) .	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Пример 4. Решите систему уравнений: (x 2 + y 2 ) xy = − 160.
				xy = v;
Введём новые переменные	x + y = u			xy = v;
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
система приводится к виду (u 2 − 2 v ) v = − 160.

Решаем уравнение:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Подставляем это значение для u в уравнение:
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1± 9, v = 10, v					= −8.
Решаем две системы уравнений:
Решаем две системы уравнений:	x + y = 2,
x + y = 2,	x + y = 2,
	и
xy = 10	xy = − 8.
Обесистемырешаемметодомподстановки. Дляпервойсистемыимеем:
x = 2 − y , (2 − y ) y = 10, y 2 − 2 y + 10 = 0.

Полученное квадратное уравнение не имеет решений. Для второй системы имеем: x = 2 − y , (2 − y ) y = − 8, y 2 − 2 y − 8 = 0.

y = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y 1 = 4, y 2 = − 2. Тогда x 1 = − 2 и x 2 = 4. Ответ: (− 2;4 ) и (4; − 2 ) .

умноженное на 3, получим:

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

Пример 5. Решите систему уравнений:

x2 + 4 xy = 3,

y2 + 3 xy = 2.

Из первого уравнения умноженного на 2, вычтем второе уравнение,

2 x2 − xy − 3 y2 = 0.

Если y = 0, тогда и x = 0, но пара чисел (0;0 ) не является решением исходной системы. Разделим в полученном уравнении обе части ра-

венства на y 2 ,

1 ± 5 , x = 2 y и x = − y.

−3

= 0,

Подставляем

значение

x =

первое уравнение

9 y 2 + 6 y 2 = 3, 11y 2 = 4, y =

, x =

, x = −

Подставляем значение x = − y в первое уравнение системы: y 2 − 4 y 2 = 3, − 3 y 2 = 3.

Решений нет.

Пример 9. Найтивсезначенияпараметра a , прикоторыхсистемауравнений

x2 + (y − 2 ) 2 = 1,

y = ax2 .

имеет хотя бы одно решение.

Данная система называется системой с параметром. Их можно решить аналитическим методом, т.е. с помощью формул, а можно применить так называемый графический метод.

Заметим, что первое уравнение задаёт окружность с центром в точке (0;2 ) с радиусом 1. Второе уравнение при a ≠ 0 задаёт параболу с вершиной в начале координат.

Если a 2

Вслучаеа) параболакасаетсяокружности. Извторогоуравнениясистемыследу-

ет, что x 2 = y / a ,

подставляем это значения для

в первоеуравнение:

+(y −2 )

= 1,

+ y

− 4 y + 4 = 1, y

4 − a y + 3

= 0.

В случае касания в силу симметрии существует единственное значение y , поэтому дискриминант полученного уравнения должен быть

равен 0. Так как ордината y точки касания положительная и т.к.

y = 2

− a

получаем,

> 0; D

1 2

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

получаем: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

2 +

(4 − 2 3)(4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Если a > 2 + 2 3 , то парабола будет пересекать окружность в 4 точ-

2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если

a ≥ 2 + 2 3 .

Пример 10. Сумма квадратов цифр некоторого натурального двузначного числа на 9 больше удвоенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. Найти это двузначное число.

Пусть двузначное число равно 10 a + b , где a и b – цифры этого числа. Тогда из первого условия задачи получаем: a 2 + b 2 = 9 + 2 ab , а из второго условия получаем: 10 a + b = 4 (a + b ) + 3.

a2 + b2 = 9 + 2 ab,

Решаем систему уравнений: 6 a − 3 b = 3.

Из второго уравнения системы получаем

6a − 3b = 3, 2a − b = 1, b = 2a − 1.

Подставляемэтозначениедля b впервоеуравнениесистемы:

a 2 + (2a − 1) 2 = 9 + 2a (2a − 1) , 5a 2 − 4a + 1 = 9 + 4a 2 − 2a ,

a 2 − 2a − 8 = 0, D 1 = 1 + 8 = 9, a = 1 ± 3, a 1 = 4, a 2 = − 2 < 0, b 1 = 7.

Ответ: 47.

Пример 11. После смешения двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой 20 г, безводного йодистого калия, получили 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.

Обозначим через x % – концентрацию второго раствора, а через (x + 15 ) % – концентрацию первого раствора.


(x + 15 )%			x %
I раствор			II раствор

В первом растворе 48 г составляет (x + 15 ) % от веса всего раствора,

поэтому вес раствора равен x 48 + 15 100. Во втором растворе 20 г со-

Цель:

повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
дать определение системы линейных уравнений с параметрами
научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

Организационный момент
Повторение
Объяснение новой темы
Закрепление
Итог урока
Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

Если а=0, b=0, то х R

Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

I вариант:

у=-х+2
y= -x-3,

k 1 = k 2 , b 1 b 2, нет решений;

II вариант:

y=-х+8
y=2x-1,

k 1 k 2 , одно решение;

III вариант:

y=-x-1
y=-x-1,

k 1 = k 2 , b 1 = b 2, много решений.

Вывод:

Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

Определение: Система вида

A 1 x+B 1 y=C
A 2 x+B 2 y=C 2

где A 1, A 2, B 1 ,B 2, C 1 C 2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

2х - 3у = 7
ах - 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

Ответ:

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а 4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

x+(m+1)y=1
x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

у - любое
x=n-2y

в) если m1 и n - любое, то

Пример 3.

ах-3ау=2а+3
х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

а(1-ау)-3ау=2а+3

а-а 2 у-3ау=2а+3

А 2 у-3ау=а+3

А(а+3)у=а+3

Возможны случаи:

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

2) а=-3. Тогда 0*у=0.

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

Ответ:

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а 0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В 2, второе на – В 1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А 1 В 2 -А 2 В 1 0, то х =

Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на А 2 , а второе на – А 1 , и оба уравнения сложим почленно:

А 1 А 2 х +А 2 В 1 у=А 2 С 1
-А 1 А 2 х-А 1 В 2 у=-А 1 С 2
у(А 2 В 1 -А 1 В 2)=А 2 С 1 -А 1 С 2

т.к. А 2 В 1 -А 1 В 2 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

- главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

Если , или , , то система (1) не имеет решений

Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

(а+5)х+(2а+3)у=3а+2
(3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

Занятие «Решение линейных уравнений с параметром, содержащих модуль».

Цель: сформировать умение решать линейные уравнения с параметром, содержащие модуль; развивать логическое мышление и навыки самостоятельной работы.

Оборудование: презентация.

Ход урока.

1.Для актуализации знаний учащихся необходимо повторить понятие модуля и решить несколько уравнений с модулем: |х|=3; |х|= - 5; |х|=0.

Затем предложить учащимся ответить на вопрос: Сколько корней может иметь уравнение с модулем и от чего это зависит?

Вывод содержится на 2 слайде. Его записывают в тетради.

Разбор решения уравнения |х - 2 |= 3

Фронтальная работа с классом: решение уравнения 1. |х + 4 |= 0.

Самостоятельное решение уравнений:

2. |х - 3 |= 5; 3. |4 - х |= 7; 4. |5 - х |= - 9. Проверка.

Разбор решения задание 1 :

Определите число корней уравнения

||х| +5 - а |= 2. (слайд 3)

Комментарии учителя: это уравнение с параметром, т.е. с переменной а. В зависимости от значения этой переменной будет изменяться вид уравнения. А значит, и число корней уравнения зависит от а.

Предложить учащимся ответить на вопрос задания «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| +5 - а |= 2 имеет ровно 3 корня. (Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 7. (слайд 4)

Решить у доски задание 2: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| - 3 + а |= 4 имеет ровно 3 корня. Ответ: - 1.

Самостоятельная работа. Задание 3 .Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| -4+ а |= 3 имеет ровно 1 корень. Ответ: 7.

Задание 4 . При каких значениях а уравнение

|а - 5 - |х||= 3 имеет нечетное число корней (если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 10.

Предложить учащимся разобрать способ решения задания, используя свойство четности функции и графический способ.

7. Итог урока. Над чем вы сегодня работали на уроке? Было ли для вас что-то нового и познавательного? Над чем бы вы хотели поработать на следующем уроке?

10x − 5y − 3z = − 9,

6 x + 4 y − 5 z = − 1,3 x − 4 y − 6 z = − 23.

Уравняем коэффициенты при x в первом и втором уравнениях, для этого умножим обе части первого уравнения на 6, а второго уравнения – на 10, получаем:

60x − 30 y − 18z = − 54,60x + 40 y − 50z = − 10.

Вычитаем из второго уравнения полученной системы первое урав-

нение, получаем: 70 y − 32 z = 44, 35 y − 16 z = 22.

Из второго уравнения исходной системы вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, получаем: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12 y + 7z = 45.

Теперь решаем новую систему уравнений:

35y − 16z = 22,12 y + 7z = 45.

К первому уравнению новой системы, умноженному на 7, прибавляем второе уравнение, умноженное на 16, получаем:

35 7 y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Теперь подставляем y = 2, z = 3 в первое уравнение исходной сис-

темы, получаем: 10x − 5 2 − 3 3 = − 9, 10x − 10 − 9 = − 9, 10x = 10, x = 1.

Ответ: (1; 2;3) . ▲

ax + 4 y = 2 a,

Рассмотрим систему уравнений

x + ay = a.

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

В этой системе, на самом деле, три переменные, а именно: a , x , y . Неизвестными считают x и y , a называют параметром. Требуется найти решения (x , y ) данной системы при каждом значении параметра a .

Покажем, как решают такие системы. Выразим переменную x из второго уравнения системы: x = a − ay . Подставляем это значение для x в первое уравнение системы, получаем:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Если a = 2, то получаем уравнение 0 y = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое число y , и тогда x = 2 − 2 y , т. е. при a = 2 пара чисел (2 − 2 y ; y ) является решением системы. Так как y может быть

любым числом, то система при a = 2 имеет бесконечно много решений.

Если a = − 2, то получаем уравнение 0 y = 8. Это уравнение не имеет ни одного решения.

Если теперь a ≠ ± 2,	то y =	a (2 − a)
		(2 − a )(2 + a )	2 + a
x = a − ay = a −
	2 + a

Ответ: При a = 2 система имеет бесконечно много решений вида (2 − 2 y ; y ) , где y − любое число;

Мы решили эту систему и установили, при каких значениях параметра a система имеет одно решение, когда имеет бесконечно много решений и при каких значениях параметра a она не имеет решений.

Пример 1. Решите систему уравнений

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

−3

y − 1

3x − 2 y = 5.

Из второго уравнения системы выражаем x через y , получаем

2 y + 5

подставляем это значение для x в первое уравнение сис-

темы, получаем:

2y + 5

−3

y − 1

−3

−1

5 = 0

Выражение

y = −

y > −

; если

−5

= −y

Выражение y − 1 = 0,

если y = 1. Если

y > 1, то

y − 1

Y − 1, а ес-

ли y < 1, то

y − 1

1 − y .

Если y ≥ 1, то

y − 1

Y −1 и

получаем уравнение:

−3 (y

− 1) = 3,

−3 y

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Число 2 > 1, так что пара (3;2) является ре-

шением системы.

Пусть теперь

5 ≤ y <1,

y − 1

− y ;

нахождения

получаем

уравнение

3 y −3

4 y + 10

3 y = 6,

13 y = 8

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

(2 y + 5) =

Но меньше, чем

поэтому пара чисел

является решением системы.

y < −

то получаем уравнение:

3 y −3

4 y −

3y = 6,

5 y =

28 , y = 28 .

значение

поэтому решений нет.

Таким образом, система имеет два решения (3;2) и 13 27 ; 13 8 . ▲

Пример 1. Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за 2,5 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он пройдёт путь на 15 км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите это расстояние.

Обозначим через S расстояние между городом и посёлком и через V скорость автомобиля. Тогда для нахождения S получаем систему из двух уравнений

2,5V = S ,

(V + 20) 2 = S + 15.

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

Ответ: 125 км. ▲

Пример 2. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 больше исходного. Найдите эти числа.

Пусть данное число ab , т.е. число десятков равно a , а число единиц равно b . Из первого условия задачи имеем: a + b = 15. Если из числа ba вычесть число ab , то получится 27, отсюда получаем второе уравнение: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

2010-2011 уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.

Умножим обе части уравнения на 20, получим: x + 8 y = 840. Для нахождения x и y получили систему уравнений

Ответ: 40 т, 100 т. ▲

Пример 4. Оператор ЭВМ, работая с учеником, обрабатывает задачу за 2 ч 24 мин. Если оператор будет работать 2 ч, а ученик 1 ч, то бу-

дет выполнено 2 3 всей работы. Сколько времени потребуется операто-

ру и ученику в отдельности на обработку задачи?

Обозначим всю работу за 1, производительность оператора за x и производительность ученика за y . Учитываем, что

2 ч 24 мин = 2 5 2 ч = 12 5 ч .

Из первого условия задачи следует, что (x+y ) 12 5 = 1. Из второго условия задачи следует, что 2 x + y = 2 3 . Получили систему уравнений

(x+y)

2 x + y =

Решаем эту систему методом подстановки:

− 2 x ;

−2 x

−x

− 1;

; x =

; y =

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

при a = − 2 система не имеет решений;

при a ≠ ± 2, система имеет единственное решение