Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
1. Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями:
Пример 1:
Пример 2:
Правило сложения дробей с разными знаменателями:
Пример 1:
Пример 2:
Здесь знаменатели не перемножали, а взяли наименьший общий множитель a2.
(В знаменателе старшая степень 2.)
Дополнительный множитель для первой дроби 1, для второй а.
2. Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Правило вычитания дробей с разными знаменателями:
3. Правило умножения обыкновенных дробей:
4. Правило деления дробей:
Пример:
Обыкновенная (простая) дробь. Числитель и знаменатель дроби.
Правильная и неправильная дробь. Смешанное число.
Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби.
Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной
или простой
дробью
. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем
, а количество взятых частей – числителем
. Дробь записывается в виде:
Здесь 3 – числитель, 7 – знаменатель.
Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью
. Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1. В обоих последних случаях дробь называется неправильной
. Если числитель делится на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления: 63 / 7 = 9. Если деление выполняется с остатком, то эта неправильная дробь может быть представлена смешанным числом
:
Здесь 9 – неполное частное
(целая часть
смешанного числа), 2 – остаток (числитель дробной части
), 7 – знаменатель.
Часто бывает необходимо решать обратную задачу – обратить смешанное число
в дробь
. Для этого умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавляем числитель дробной части
. Это будет числитель обыкновенной дроби, а знаменатель остаётся прежним. 
Обратные дроби
– это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3 / 7 и 7 / 3 ; 15 / 1 и 1 / 15 и т.д.
Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.
Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание
дробей.
Умножение дробей. Деление дробей
Расширение дроби.
Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нулярасширением дробиНапример,
Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля
. Это преобразование называется
сокращением дроби
. Например,
Сравнение дробей.
Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:
Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.
П р и м е р. Сравнить две дроби:
Использованное здесь преобразование называется
приведением дробей к общему знаменателю
.
Сложение и вычитание дробей.
Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.
П р и м е р.
Умножение дробей.
Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей:
для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе
.
П р и м е р.
Деление дробей.
я того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробьЭто правило вытекает из определения деления (см. раздел “Арифметические операции”).
П р и м е р. 
Десятичная дробь. Целая часть. Десятичная точка.
Десятичные знаки. Свойства десятичных дробей.
Периодическая десятичная дробь. Период
Десятичная дробь
есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется
целая часть
числа, затем справа ставится
десятичная точка
. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются
десятичными знаками
.
П р и м е р. 
Одно из преимуществ десятичных дробей – они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 5047) – это числитель; знаменатель же равен
n
–ой степени 10, где
n
- количество десятичных знаков (в нашем случае
n
= 4): 
Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:
Свойства десятичных дробей.
1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули :
2.
Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные
в конце десятичной дроби
:
0.00123000 = 0.00123 .
Внимание!Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!br />
Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Периодическая десятичная дробь одержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом . Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).
П р и м е р. Если разделить 47 на 11, то получим 4.27272727… = 4.(27).
Умножение десятичных дробей.
Деление десятичных дробей.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.
П р и м е р.
Умножение десятичных дробей.
На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях
.
Замечание
: до простановки десятичной точки в
произведении нельзя отбрасывать нули в конце
!
П р и м е р.
Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.
Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на целое число
Если делимое меньше делителя
, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему
, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.
П р и м е р. Разделить 1.328 на 64.
Р е ш е н и е: 
Деление одной десятичной дроби на другую.
Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.
П р и м е р. Разделить 0.04569 на 0.0006.
Р е ш е н и е. Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.9 на 6:
Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки, а в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти
( здесь n – количество десятичных знаков
). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например: 
Для того, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления
.
П р и м е р. Обратить 5 / 8 в десятичную дробь.
Р е ш е н и е. Деля 5 на 8, получаем 0.625. (Проверьте, пожалуйста!).
В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.
П р и м е р. Обратить 1 / 3 в десятичную дробь.
Р е ш е н и е. Деление 1 на 3 будет бесконечным: 1:3 = 0.3333… .
Проверьте это, пожалуйста!
Умножение и деление дробей.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания ! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:
Например:
Всё предельно просто . И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:
Например:
Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями - ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе - и вперёд! Например:
В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:
Как эту дробь привести к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:
Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться. Обратите внимание, например:
В первом случае (выражение слева):
Во втором (выражение справа):
Чувствуете разницу? 4 и 1/9!
А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:
то делим-умножаем по порядочку, слева направо !
И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:
Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.
Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!
Практические советы:
1. Самое главное при работе с дробными выражениями - аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.
2. В примерах с разными видами дробей - переходим к обыкновенным дробям.
3. Все дроби сокращаем до упора.
4. Многоэтажные дробные выражения сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).
5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.
Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы...
Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.
Итак, решаем в режиме экзамена ! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все - проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.
Вычислить:
Порешали?
Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать... Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А теперь делаем выводы. Если всё получилось - рад за вас! Элементарные вычисления с дробями - не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет...
Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но... Это решаемые проблемы.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Разбор задания №1 на тему: "Действия с дробями: умножение и вычитание, выделение целой части из неправильной дроби, обратные операции"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Комбинаторика и теория вероятностей
Уравнения и неравенства
Ребята, задание №1 охватывает темы, которые, в основном, проходятся в 5-6 классах.
Для правильного решения данного задания требуются умение:
- работать с простыми и десятичными дробями,
- переводить простые дроби в десятичные и обратно,
- возводить числа в целую степень,
- а также понимание понятий рациональных и действительных чисел.
Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:
1.Сложение десятичных дробей, примеры.2. Сложения натуральных чисел, примеры.
3. Свойства вычитания чисел, примеры.
4. Вычитание десятичных дробей: правила и примеры.
5. Сложение и вычитание отрицательных чисел, правила и примеры.
6. Пропорции и отношения.
7. Умножение десятичных дробей, примеры.
8. Сложение и вычитание дробей, примеры.
9. Умножение и деление дробей, примеры.
10. Возведение в целую степень, примеры – скоро будет.
Давайте подробно разберем примеры заданий, которые вам могут встретиться.
Пример 1.
В данном примере потребуется умение умножать и вычитать дроби, выделять целую часть из неправильной дроби и также проводить обратную операцию.
Найти значение следующего выражения: $1\frac{2}{5}*2\frac{2}{3}-1\frac{2}{3}*3\frac{1}{2}$.
Решение.
Ребята, давайте разобьем решение на несколько действий. Первое, что мы знаем, что умножать дроби с целой частью мы не умеем. Значит, нам надо каждую дробь привести в неправильную дробь.
1. Вспомним правило перевода в неправильную дробь: чтобы получить числитель - целую часть надо умножить на знаменатель и к полученному числу прибавить числитель исходной дроби. Знаменатель остается неизменным, всегда получается числитель больше знаменателя:
$1\frac{2}{5}=\frac{1*5+2}{5}=\frac{7}{5}$.
Давайте выполним аналогичные операции для оставшихся дробей:
$\frac{7}{5}*\frac{2*3+2}{3}-\frac{1*3+2}{3}*\frac{3*2+1}{2}=\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}$.
2. Все прекрасно помнят, что умножение выполняется раньше сложения и вычитания. Далее, нам надо вспомнить правило умножения двух дробей, числитель мы умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель:
$\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}=\frac{56}{15}-\frac{35}{6}$.
3. Нам осталось вычесть две дроби. Вспомним, что при сложении и вычитании сначала надо найти общий знаменатель двух дробей, то есть наименьшее общее кратное.
У нас есть два знаменателя – числа 15 и 6. Для этих двух чисел наименьшим общим кратным будет число 30.
Если умножить числитель и знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не изменится.
$\frac{56}{15}-\frac{35}{6}=\frac{56*2}{15*2}-\frac{35*5}{6*5}=\frac{112}{30}-\frac{175}{30}=-\frac{63}{30}$.
4. Нам осталось перевести обычную дробь в десятичную, т.к. в бланке ответов ОГЭ мы можем записать числа в десятичном виде.
Выделим целую часть и затем сократим дробь.
$-\frac{63}{30}=-2\frac{3}{30}=-2\frac{1}{10}=-2,1$.
Еще раз распишем решение:
$1\frac{2}{5}*2\frac{2}{3}-1\frac{2}{3}*3\frac{1}{2}=\frac{1*5+2}{5}*\frac{2*3+2}{3}-\frac{1*3+2}{3}*\frac{3*2+1}{2}=\frac{7}{5}*\frac{8}{3}-\frac{5}{3}*\frac{7}{2}=$
$=\frac{56}{15}-\frac{35}{6}=\frac{56*2}{15*2}-\frac{35*5}{6*5}=\frac{112}{30}-\frac{175}{30}=-\frac{63}{30}=-2\frac{3}{30}=-2\frac{1}{10}=-2,1$.
Ответ: $-2,1$.
Пример 2.
Вычислите значение выражения $0,007*0,00007*700$.
Решение.
В данном примере мы можем поступить двумя способами: 1) перемножить все числа "напрямую"; 2) воспользоваться знаниями темы о возведении в целую степень.
1. Первое, на что следует обратить внимание - в каждом числе встречается цифра 7. Это сделано не просто так. Попробуем упростить представленные дробные числа. Как можно представить число 0,007 в виде произведения? $0,007=0,001*7$.
Не стоит бояться упрощать дробные числа. Если в начале дробного числа присутствуют все нули, а заканчивается эта дробь некоторым числом, то его всегда можно представить в виде произведения.
Например: $0,0256=0,0001*256$; $0,00008=0,00001*8$; $0,3562=0,0001*3562$.
Главное сохранять количество цифр в получившейся дроби.
$0,007*0,00007*700=0,001*7*0,00001*7*7*100$.
2. Дальше, нам потребуются знания и умение возводить числа в целую степень.
Если нам задана дробь, в которой все нули и заканчивается она единицей, то ее всегда можно представить в виде числа 10 в отрицательной степени. Причем количество нулей, стоящее перед единицей, будет степенью десятки. Давайте подробно рассмотрим числа в нашем примере.
$0,001=10^{-3}$, перед единицей стоит три нуля, значит тройка и будет степенью десятки, только не надо забыть поставить минус.
$0,00001=10^{-5}$, перед единицей стоит пять нулей, значит пятерка и будет степенью десятки.
После преобразований получаем: $0,001*7*0,00001*7*7*100=10^{-3}*7*10^{-5}*7*7*100$.
3. Нам осталось только преобразовать число 100 в виде числа в степени. Если в числе на первом месте стоит единица, а все остальные цифры нули, то любое такое число можно представить в виде степени числа 10, причем степень десятки будет совпадать с количеством нулей.
Например: $10000=10^4$; $1000000=10^6$.
Получаем: $10^{-3}*7*10^{-5}*7*7*10^2=7*7*7*10^{-3}*10^{-5}*10^2$.
В каком порядке будем умножать полученные числа не имеет значения. При перемножении чисел с целым показателем степени и одинаковым основанием – основание степени остается прежним, а показатели складываются.
$7*7*7*10^{-3}*10^{-5}*10^2=243*{10}^{-3-5+2}=243*10^{-6}$.
4. Осталось выполнить операцию, обратную пункту два. В степени десятки у нас стоит -6, значит, число будет дробное, так как минус - в нашем числе будет шесть нулей.
$243*10^{-6}=243*0,000001=0,000243$.
Еще раз распишем решение:
$0,007*0,00007*700=0,001*7*0,00001*7*7*100=10^{-3}*7*10^{-5}*7*7*10^2=$
$=7*7*7*10^{-3}*10^{-5}*10^2=243*10^{-3-5+2}=243*10^{-6}=243*0,000001=0,000243$.
Ответ: $0,000243$.
Пример 3.
Найти значение выражения: $6,3*1,8-3,6*2,1$.
Решение.
Данный пример можно решить "в лоб", если вы хорошо умеет умножать дробные числа столбиком. Считать "в лоб" мы данный пример не будем, но приведем два других способа решения.
Способ 1. Если у вас не очень хорошо получается умножать дробные числа столбиком, тогда можно умножить исходное выражение на сто, но главное, потом не забыть опять же поделить на сто.
$\frac{(6,3*1,8-3,6*2,1)*100}{100}=\frac{63*18-36*21}{100}=\frac{1134-756}{100}=\frac{378}{100}$.
Поделим получившиеся число на 100, что довольно таки легко, так как у нас два нуля, то запятая дробного числа сместится на 2 цифры справа налево.
$\frac{378}{100}=3,78$.
Способ 2. Можно заметить, что исходные числа имеют одинаковые сомножители, то есть каждое из представленных чисел нужно представить в виде произведения целого числа и дроби.
$6,3=7*0,9$.
$1,8=6*0,3$.
$3,6=6*0,6$.
$2,1=7*0,3$.
$6,3*1,8-3,6*2,1=7*0,9*6*0,3-6*0,6*7*0,3=42*0,27-42*0,18=$
$=4*(0,27-0,18)=42*0,09=\frac{42*9}{100}=\frac{378}{100}=3,78$.
Выбор способа решения зависит только от ваших предпочтений.
Пример 4.
Запишите номера верных равенств:
1) $2*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$.
2) $\frac{ \frac{11}{14}}{3\frac{1}{7}}=0,25$.
3) $1,75-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{12}$.
4) $\frac{1,6}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}}=4$.
Решение.
Нам ничего не остается, как проверить каждое выражение.
1) В этом примере надо помнить, что умножить целое число на дробь - это не одно и то же, что дробь, в которой выделена целая часть. Решим данный пример.
$2*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2}{1}*\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{2*4}{3*4}-\frac{1*3}{4*3}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$.
Получили, что представленное равенство не верно.
2) Прежде всего надо избавиться от целой части, а потом воспользоваться правилом деления дробей.
$\frac{\frac{11}{14}}{3\frac{1}{7}}=\frac{\frac{11}{14}}{\frac{3*7+1}{7}}=\frac{\frac{11}{14}}{\frac{22}{7}}=\frac{11}{14}*\frac{7}{22}$.
Теперь мы можем воспользоваться правилом сокращения дробей.
$\frac{11}{14}*\frac{7}{22}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
Осталось только перевести полученную дробь в десятичную.
$\frac{1}{4}=0,25$.
Получили верное равенство.
3) В данном примере, для начала, нам надо перевести десятичную дробь в обычную.
$1,75=1 \frac{75}{100}=1\frac{3}{4}$.
Теперь избавимся от целой части и получим неправильную дробь:
$1\frac{3}{4}-2\frac{1}{3}=\frac{7}{4}-\frac{7}{3}$.
Выполним вычитание двух дробей:
$\frac{7}{4}-\frac{7}{3}=\frac{21}{12}-\frac{28}{12}=-\frac{7}{12}$.
Получили верное равенство.
Запишем еще раз решение:
$1,75-2\frac{1}{3}=1\frac{3}{4}-2\frac{1}{3}=\frac{7}{4}-\frac{7}{3}=\frac{21}{12}-\frac{28}{12}=-\frac{7}{12}$.
4) Опять же перейдем от десятичной дроби к обычной.
$1,6=1\frac{6}{10}=\frac{16}{10}$.
Мы хорошо помним, что первое действие выполняется в скобках.
$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{2}{3}*\frac{6}{5}=\frac{2}{1}*\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$.
Выполним деление за скобками:
$\frac{\frac{16}{10}}{\frac{4}{5}}=\frac{16}{10}*\frac{5}{4}=\frac{4}{2}*\frac{1}{1}=2$.
Получили, что исходное равенство неверное.
Ответ: 23.
Пример 5.
Найдите значение выражений. В ответ укажите наибольшее из найденных значений.
1) $1,8-\frac{3}{5}$.
2) $\frac{1\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}$.
3) $\frac{0,8+0,3}{1,2}$.
Решение.
1) Перейдем к десятичной дроби.
$1,8-\frac{3}{5}=1,8-0,6=1,2$.
2) Перейдем к неправильной дроби и выполним деление дробей. $\frac{1\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{4}{3}*\frac{6}{1}=\frac{4}{1}*2=8$.
3) Выполним сложение в числители дроби.
$\frac{0,8+0,3}{1,2}=\frac{1,1}{1,2}=\frac{1,1*10}{1,2*0}=\frac{11}{12}$.
Осталось выбрать наибольшее решение, очевидно, что это будет 8.
Ответ: 8.
Александр Шабалин
