Готовые работы
ДИПЛОМНЫЕ РАБОТЫ
Многое уже позади и теперь ты - выпускник, если, конечно, вовремя напишешь дипломную работу. Но жизнь - такая штука, что только сейчас тебе становится понятно, что, перестав быть студентом, ты потеряешь все студенческие радости, многие из которых, ты так и не попробовал, всё откладывая и откладывая на потом. И теперь, вместо того, чтобы навёрстывать упущенное, ты корпишь над дипломной работой? Есть отличный выход: скачать нужную тебе дипломную работу с нашего сайта - и у тебя мигом появится масса свободного времени!
Дипломные работы успешно защищены в ведущих Университетах РК.
Стоимость работы от 20 000 тенге
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ
Курсовой проект - это первая серьезная практическая работа. Именно с написания курсовой начинается подготовка к разработке дипломных проектов. Если студент научиться правильно излагать содержание темы в курсовом проекте и грамотно его оформлять, то в последующем у него не возникнет проблем ни с написанием отчетов, ни с составлением дипломных работ, ни с выполнением других практических заданий. Чтобы оказать помощь студентам в написании этого типа студенческой работы и разъяснить возникающие по ходу ее составления вопросы, собственно говоря, и был создан данный информационный раздел.
Стоимость работы от 2 500 тенге
МАГИСТЕРСКИЕ ДИССЕРТАЦИИ
В настоящее время в высших учебных заведениях Казахстана и стран СНГ очень распространена ступень высшего профессионального образования, которая следует после бакалавриата - магистратура. В магистратуре обучаются с целью получения диплома магистра, признаваемого в большинстве стран мира больше, чем диплом бакалавра, а также признаётся зарубежными работодателями. Итогом обучения в магистратуре является защита магистерской диссертации.
Мы предоставим Вам актуальный аналитический и текстовый материал, в стоимость включены 2 научные статьи и автореферат.
Стоимость работы от 35 000 тенге
ОТЧЕТЫ ПО ПРАКТИКЕ
После прохождения любого типа студенческой практики (учебной, производственной, преддипломной) требуется составить отчёт. Этот документ будет подтверждением практической работы студента и основой формирования оценки за практику. Обычно, чтобы составить отчёт по практике, требуется собрать и проанализировать информацию о предприятии, рассмотреть структуру и распорядок работы организации, в которой проходится практика, составить календарный план и описать свою практическую деятельность.
Мы поможет написать отчёт о прохождении практики с учетом специфики деятельности конкретного предприятия.
Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .
Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распро-страняется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь со-стояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .
В зависимости от направления колебаний частиц по отношению
к направлению, в котором распространяется волна, различают про-
дольные и поперечные волны.
Упругая волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продоль-ные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и
в жидкостях и газообразных средах.
x ляться деформации сдвига. Этим свойст-вом обладают только твердые тела.
λ На рис. 6.1.1 представлена гармони-
висимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны также равна тому расстоянию,на которое рас-пространяется определенная фаза колебания за период колебаний
Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометриче-ское место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту по-верхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, назы-вается волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провес-ти через любую точку пространства, охваченного волновым процес-сом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно вол-на в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество парал-лельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концен-трических сфер.
Уравнение плоской волны
Уравнением плоской волны называется выражение, которое да-ет смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x , y , z и времени t
| S = S (x , y , z ,t ). | (6.2.1) |
Эта функция должна быть периодической как относительно времени t , так и относительно координат x , y , z . Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания час-тицы с координатами x , y , z , а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.
Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда вол-новые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все
точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S бу-дет зависеть только от координаты х и времени t
Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х . Для того, чтобы пройти путь от плоско-сти х = 0 до плоскости х , волне требуется время τ = x /υ. Следователь-но, колебания частиц, лежащих в плоскости х , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением
| S ( x ; t )= A cosω( t − τ)+ϕ | = A cos | ω t − | x | +ϕ | . (6.2.4) | |||||
| υ |
где А − амплитуда волны; ϕ 0 − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t ).
Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t − x υ) +ϕ 0 = const .
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим
Придадим уравнению плоской волны симметричный относи-
тельно х и t вид. Для этого введем величину k = 2 λ π , которая называ-
ется волновым числом , которое можно представить в виде
Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия вол-ны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника коле-баний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному
закону A = A 0 e −β x . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид
где r r − радиус-вектор, точки волны; k = k ⋅n r − волновой вектор ; n r − единичный вектор нормали к волновой поверхности.
Волновой вектор −это вектор,равный по модулю волновомучислу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности на-
| зывается. | |||
| Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x , y , z | |||
| r | r | (6.3.2) | |
| k | ⋅ r = k x x + k y y + k z z . | ||
| Тогда уравнение (6.3.1) примет вид | |||
| S (x , y , z ; t )= A cos(ω t − k x x − k y y − k z z +ϕ 0). | (6.3.3) |
Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)
| ∂ 2 S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂t | = −ω A cos | (ωt − k ⋅ r | +ϕ 0) = −ω S ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | = − k x A cos(ω t − k | ⋅ r | +ϕ 0) = −k x S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| . | (6.3.4) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂y | = − k y A cos | (ωt − k ⋅ r | +ϕ 0) = −k y S ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂z | = − k z A cos(ω t − k | ⋅ r | +ϕ 0) = −k z S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сложив производные по координатам, и с учетом производной | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| по времени, получим | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ | 2 | 2 | ∂ | 2 | ∂ | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| S 2 | + ∂ | S 2 | + | S 2 | = − (k x 2 + k y 2 + k z 2)S | = − k 2 S = | k | S 2 . | (6.3.5) | ||||||||||||||||||||||||||||
| ∂t | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | ∂y | ∂z | ω | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Произведем замену | k | = | ω 2 | = | и получим волновое уравнение | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ω | υ | ω | υ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 S | + | ∂ 2 S | + | ∂ 2 S | = | 1 ∂ 2 S | или | S = | 1 ∂ 2 S | , | (6.3.6) | ||||||||||||||||||||||||||
| ∂x 2 | ∂y 2 | ∂z 2 | υ 2 ∂t 2 | υ 2 ∂t 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| где = | ∂ 2 | + | ∂ 2 | + | ∂ 2 | − оператор Лапласа. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x 2 | ∂y 2 | ∂z 2 |
Волнами называются всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени.
Механическими называются волны, возникающие в упругих средах, т.е. в средах, в которых возникают силы, препятствующие:
1) деформации растяжения (сжатия);
2) деформации сдвига.
В первом случае возникает продольная волна , в которой колебания частиц среды происходят в направлении распространения колебаний. Продольные волны могут распространяться в твердых, жидких и газообразных телах, т.к. они связаны с возникновением упругих сил при изменении объема .
Во втором случае в пространстве существует поперечная волна , в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения колебаний. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах, т.к. связаны с возникновением упругих сил при изменении формы тела.
Если какое–то тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к нему, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают упругие силы, Эти силы действуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. С течением времени все большее количество частиц среды оказывается вовлеченным в колебательное движение.
Механические волновые явления имеют огромное значение для повседневной жизни. Например, благодаря звуковым волнам, обусловленным упругостью окружающей среды, мы можем слышать. Эти волны в газах или жидкостях представляют собой колебания давления, распространяющиеся в данной среде. В качестве примеров механических волн можно привести также: 1) волны на поверхности воды, где связь смежных участков поверхности воды обусловлена не упругостью, а силой тяжести и силами поверхностного натяжения; 2) взрывные волны от разрывов снарядов; 3) сейсмические волны – колебания в земной коре, распространяющиеся от места землетрясения.
Отличие упругих волн от любого другого упорядоченного движения частиц среды состоит в том, что распространение колебаний не связано с переносом вещества среды из одного места в другое на большие расстояния.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени, называется фронтом волны. Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один, он все время перемещается. Форма фронта может быть различной в зависимости от формы и размеров источника колебаний и свойств среды.
В случае однородной и изотропной среды от точечного источника распространяются сферические волны, т.е. фронт волны в этом случае – сфера. Если источник колебаний – плоскость, то вблизи нее любой участок фронта волны мало отличается от части плоскости, поэтому волны с таким фронтом называются плоскими.
Предположим, что за время некоторый участок фронта волны переместился на . Величина
называется скоростью распространения фронта волны или фазовой скоростью волны в данном месте.
Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением волны в этой точке, т.е. с направлением переноса энергии, называется лучом . В однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной фронту волны.
Колебания от источника могут быть как гармоническими, так и негармоническими. Соответственно, от источника бегут волны монохроматические и немонохроматические . Немонохроматическая волна (содержащая колебания разных частот) может быть разложена на монохроматические (каждая из которых содержит колебания одной частоты). Монохроматическая (синусоидальная) волна представляет собой абстракцию: такая волна должна быть бесконечно протяженной в пространстве и времени.
Лекция № 9
Механические волны
6.1. Распространение колебаний в упругой среде .
6.2. Уравнение плоской волны .
6.3. Волновое уравнение .
6.4. Скорость распространения волн в различных средах .
Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами .
Процесс распространения колебаний в сплошной среде принято называть волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. По этой причине основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .
Учитывая зависимость отнаправления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.
продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, в связи с этим они могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях и газообразных средах.
Упругая волна принято называть поперечной
, если колебания частиц среды происходят в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Этим свойством обладают только твердые тела.
На рис. 6.1.1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси 0х . График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, принято называть длиной волны. Длина волны также равна тому расстоянию, на ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ распространяется определенная фаза колебания за период колебаний
Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х , а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , принято называть фронтом волны . Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, принято называть волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновые поверхности бывают любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях принято называть плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концентрических сфер.
Волны
Основными видами волн являются упругие (например, звуковые и сейсмические волны), волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (в том числе световые и радиоволны). Характерная особенность волн состоит в том, что при их распространении происходит перенос энергии без переноса вещества. Рассмотрим вначале распространение волн в упругой среде.
Распространение волн в упругой среде
Колеблющееся тело, помещённое в упругую среду, будет увлекать за собой, и приводить в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Последние, в свою очередь, будут воздействовать на соседние частицы. Ясно, что увлекаемые частицы будут отставать по фазе от тех частиц, которые их увлекают, так как передача колебаний от точки к точке всегда осуществляется с конечной скоростью.
Итак, колеблющееся тело, помещённое в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны.
Процесс распространения колебаний в среде называется волной . Или упругой волной называется процесс распространения возмущения в упругой среде .
Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны). К ним относятся электромагнитные волны. Волны бывают продольными , когда направление колебаний совпадает с направлением распространения волны. Например, распространение звука в воздухе. Сжатие и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения волны.
Волны могут иметь различную форму, могут быть регулярными и нерегулярными. Особое значение в теории волн имеет гармоническая волна, т.е. бесконечная волна, в которой изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.
Рассмотрим упругие гармонические волны . Для описания волнового процесса используется ряд параметров. Запишем определения некоторых из них. Возмущение, происшедшее в некоторой точке среды в некоторый момент времени, распространяется в упругой среде с определенной скоростью. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени , называется фронтом волны или волновым фронтом.
Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.
Волновых поверхностей может быть множество, волновой фронт в каждый момент времени один.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этом случае называется плоской или сферической . В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.
Пусть плоская гармоническая волна распространяется со скоростью вдоль оси . Графически такая волна изображается в виде функции (дзета) для фиксированного момента времени и представляет собой зависимость смещения точек с различными значениями от положения равновесия. – это расстояние от источника колебаний , на котором находится, например, частица . Рисунок дает мгновенную картину распределения возмущений вдоль направления распространения волны. Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны
.
,
где – скорость распространения волны.
Групповая скорость
Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность "горбов" и "впадин".
Фазовая скорость этой волны или 
(2)
С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все "горбы" одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (1). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключёнными в некотором интервале Dw . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте,
 |
называется волновым пакетом или группой волн .
Выражение для группы волн может быть записано следующим образом.
(3)
Значок w подчеркивает, что эти величины зависят от частоты.
Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции). Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия Dw << w 0 .
В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v . Дисперсия это зависимость фазовой скорости синусоидальной волны в среде от частоты. Явление дисперсии мы рассмотрим позже в разделе "Волновая оптика". В отсутствии дисперсии скорость перемещения волнового пакета совпадает с фазовой скорость v . В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью. Поэтому волновой пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.
Если дисперсия невелика, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Поэтому движению всего пакета можно приписать некоторую скорость U
.
Скорость, с которой перемещается центр волнового пакета (точка с максимальным значением амплитуды) называется групповой скоростью .
В диспергирующей среде v¹ U . Вместе с движением самого волнового пакета происходит движение "горбов" внутри самого пакета. "Горбы" перемещаются в пространстве со скоростью v , а пакет в целом со скоростью U .
Рассмотрим подробнее движение волнового пакета на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными частотами w (разными длинами волн l ).
Запишем уравнения двух волн. Примем для простоты начальные фазы j 0 = 0.
Здесь 
Пусть Dw << w , соответственно Dk << k .
Сложим колебания и проведём преобразования с помощью тригонометрической формулой для суммы косинусов:
В первом косинусе пренебрежём Dwt и Dkx , которые много меньше других величин. Учтём, что cos(–a) = cosa . Окончательно запишем.
(4)
Множитель в квадратных скобках изменяется от времени и координаты значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой, описываемой первым сомножителем. Графически волна, описываемая выражением (4) представлена на рисунке, изображённом выше.
Результирующая амплитуда получается в результате сложения волн, следовательно, будут наблюдаться максимумы и минимумы амплитуды.
Максимум амплитуды будет определяться следующим условием.
(5)
m = 0, 1, 2…
x max – координата максимальной амплитуды.
Косинус принимает максимальное значение по модулю через p .
Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн.
Разрешив (5) относительно x max получим.
Так как фазовая скорость , то 
называется групповой скоростью. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды волнового пакета. В пределе, выражение для групповой скорости будет иметь следующий вид.
(6)
Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн.
Следует отметить, что при точном учёте всех членов разложения (для произвольного числа волн), выражение для амплитуды получается таким, что из него следует, что волновой пакет со временем расплывается.
Выражению для групповой скорости можно придать другой вид.
Следовательно, выражение для групповой скорости можно записать следующим образом.
(7)
– неявное выражение, так как и v , и k зависят от длины волны l .
Тогда 
(8)
Подставим в (7) и получим.
(9)
Это так называемая формула Рэлея. Дж. У. Рэлей (1842 – 1919) английский физик, нобелевский лауреат 1904 года, за открытие аргона.
Из этой формулы следует, что в зависимости от знака производной групповая скорость может быть больше или меньше фазовой.
В отсутствии дисперсии 
Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.
Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Этот случай наблюдается в области аномальной дисперсии. Это мы будем рассматривать в разделе "Волновая оптика".
Колебания струны
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причём в местах закрепления струны располагаются узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.
Отсюда вытекает следующее условие.
Или 
(n = 1, 2, 3, …),
l – длина струны. Длины волн соответствуют следующим частотам.
(n = 1, 2, 3, …).
Фазовая скорость волны определяется силой натяжения струны и массой единицы длины, т.е. линейной плотностью струны.
F
– сила натяжения струны, ρ"
– линейная плотность материала струны. Частоты ν n
называются собственными частотами
струны. Собственные частоты являются кратными частоте основного тона.
Эта частота называется основной частотой
.
Гармонические колебания с такими частотами называются собственными или нормальными колебаниями. Их также называют гармониками . В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.
Колебания струны примечательны в том отношении, что для них по классическим представлениям получаются дискретные значения одной из характеризующих колебания величин (частоты). Для классической физики такая дискретность является исключением. Для квантовых процессов дискретность является скорее правилом, чем исключением.
Энергия упругой волны
Пусть в некоторой точке среды в направлении x распространяется плоская волна.
(1)
Выделим в среде элементарный объём ΔV , чтобы в пределах этого объёма скорость смещения частиц среды и деформация среды были постоянны.
Объём ΔV обладает кинетической энергией.
(2)
(ρ·ΔV – масса этого объёма).
Этот объём обладает также и потенциальной энергией.
Для понимания вспомним.
Относительное смещение , α – коэффициент пропорциональности.
Модуль Юнга E = 1/α . Нормальное напряжение T = F/S . Отсюда.
В нашем случае .
В нашем случае имеем.
(3)
Вспомним также.
Тогда . Подставим в (3).
(4)
Для полной энергии получим.
Поделим на элементарный объём ΔV и получим объёмную плотность энергии волны.
(5)
Получим из (1) и .
|
Подставим (6) в (5) и учтём, что 
. Получим.
Из (7) следует, что объёмная плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной точке пространства W 0 изменяется по закону квадрата синуса. А среднее значение этой величины от периодической функции 
. Следовательно, средняя величина объёмной плотности энергии определится выражением.
(8)
Выражение (8) очень похоже на выражение для полной энергии колеблющегося тела 
. Следовательно, среда, в которой распространяется волна, обладает запасом энергии. Эта энергия передаётся от источника колебаний в разные точки среды.
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии .
Если через данную поверхность за время dt переносится энергия dW , то поток энергии Ф будет равен.
(9)
– измеряется в ваттах.
Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, которая называется плотностью потока энергии . Она численно равна потоку энергии через единичную площадку, размещённую в данной точке пространства перпендикулярно направлению переноса энергии. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.
(10)
Эта характеристика энергии, переносимой волной, была введена русским физиком Н.А. Умовым (1846 – 1915) в 1874 году.
Рассмотрим поток энергии волны.
Поток энергии волны 
Энергия волны 
W 0 – это объёмная плотность энергии.
Тогда получим.
(11)
Так как волна распространяется в определённом направлении, то можно записать.
(12)
Это вектор плотности потока энергии или поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени. Этот вектор называется вектором Умова.
~ sin 2 ωt .
Тогда среднее значение вектора Умова будет равно.
(13)
Интенсивность волны – среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной .
Очевидно.
(14)
Соответственно.
(15)
Звук
Звук – есть колебание упругой среды, воспринимаемые ухом человека.
Учение о звуке называется акустикой .
Физиологическое восприятие звука: громкий, тихий, высокий, низкий, приятный, противный – является отражением его физических характеристик. Гармоническое колебание определённой частоты воспринимается как музыкальный тон.
Частота звука соответствует высоте тона.
Ухо воспринимает диапазон частот от 16 Гц до 20000 Гц. При частотах меньше 16 Гц – инфразвук, а при частотах больше 20 кГц – ультразвук.
Несколько одновременных звуковых колебаний есть созвучие. Приятное - консонанс, неприятное – диссонанс. Большое число одновременно звучащих колебаний с разными частотами – шум.
Как мы уже знаем, под интенсивностью звука понимают среднее по времени значение плотности потока энергии, которую несёт с собой звуковая волна. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется порогом слышимости (кривая 1 на рисунке). Порог слышимости несколько различен для разных людей и сильно зависит от частоты звука. Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1 кГц до 4 кГц. В этой области порог слышимости составляет в среднем 10 -12 Вт/м 2 . При других частотах порог слышимости лежит выше.
При интенсивностях порядка 1 ÷ 10 Вт/м 2 волна перестаёт восприниматься как звук, вызывая в ухе лишь ощущение боли и давления. Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом болевого ощущения (кривая 2 на рисунке). Порог болевого ощущения, так же как и порог слышимости, зависит от частоты.
Таким образом, лежит почти 13 порядков. Поэтому ухо человека не чувствительно к малым изменениям силы звука. Для ощущения изменения громкости интенсивность звуковой волны должна изменяться не менее чем на 10 ÷ 20%. Поэтому в качестве характеристики интенсивности выбирают не саму силу звука, а следующую величину, которая называется уровнем силы звука (или уровнем громкости) и измеряется в белах. В честь американского электротехника А.Г. Белла (1847 – 1922), одного из изобретателей телефона.
I 0 = 10 -12 Вт/м 2 – нулевой уровень (порог слышимости).
Т.е. 1 Б = 10·I 0 .
Пользуются и в 10 раз более мелкой единицей – децибел (дБ).
С помощью этой формулы может быть выражено в децибелах уменьшение интенсивности (затухания) волны на некотором пути. Например, затухание в 20 дБ означает, что интенсивность волны уменьшается в 100 раз.
Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в человеческом ухе звуковое ощущение (от 10 -12 до 10 Вт/м 2), соответствует значениям громкости от 0 до 130 дБ.
Энергия, которую несут с собой звуковые волны, крайне мала. Например, чтобы нагреть стакан с водой от комнатной температуры до кипения звуковой волной с уровнем громкости 70 дБ (в этом случае в секунду водой будет поглощаться примерно 2·10 -7 Вт) потребуется время порядка десяти тысяч лет.
Ультразвуковые волны могут быть получены в виде направленных пучков, подобно пучкам света. Направленные ультразвуковые пучки нашли широкое применение в гидролокации. Идея была выдвинута французским физиком П. Ланжевеном (1872 – 1946) во время первой мировой войны (в 1916 году). Кстати, метод ультразвуковой локации позволяет летучей мыши хорошо ориентироваться при полёте в темноте.
Волновое уравнение
В области волновых процессов существуют уравнения, называемые волновыми
,
которые описывают все возможные волны, независимо от их конкретного вида. По смыслу волновое уравнение подобно основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки. Уравнение любой конкретной волны является решением волнового уравнения. Получим его. Для этого продифференцируем дважды по t
и по всем координатам уравнение плоской волны 
.
(1)
Отсюда получим.
(*)
Сложим уравнения (2).
Заменим x в (3) из уравнения (*). Получим.
Учтём, что 
и получим.
, или 
. (4)
Это и есть волновое уравнение. В этом уравнении – фазовая скорость, 
– оператор набла или оператор Лапласа.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (4), описывает некоторую волну, причём корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при второй производной смещения от времени, даёт фазовую скорость волны.
Легко убедиться, что волновому уравнению удовлетворяют уравнения плоской и сферической волн, а также любое уравнение вида
Для плоской волны, распространяющейся в направлении , волновое уравнение имеет вид:
.
Это одномерное волновое уравнение второго порядка в частных производных, справедливое для однородных изотропных сред с пренебрежимо малым затуханием.
Электромагнитные волны
Рассматривая уравнения Максвелла, мы записали важный вывод о том, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. В свою очередь переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле и т.д. Электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. Изменение состояния этого поля имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами . Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла.
Рассмотрим однородную нейтральную () непроводящую () среду, например, для простоты, вакуум. Для этой среды можно записать:
, 
.
Если рассматривается любая иная однородная нейтральная непроводящая среда, то в записанные выше уравнения нужно добавить и .
Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в общем виде.
, 
,
, 
.
Для рассматриваемой среды эти уравнения имеют вид:
, 
,
, 
Запишем эти уравнения следующим образом:
, 
, 
, 
.
Любые волновые процессы должны описываться волновым уравнением, которое связывает вторые производные по времени и координатам. Из записанных выше уравнений путем несложных преобразований можно получить следующую пару уравнений:
, 
Эти соотношения представляют собой идентичные волновые уравнения для полей и .
Вспомним, что в волновом уравнении (
) множитель перед второй производной в правой части – это величина, обратная квадрату фазовой скорости волны. Следовательно, . Оказалось, что в вакууме эта скорость для электромагнитной волны равна скорости света.
Тогда волновые уравнения для полей и можно записать как
и 
.
Эти уравнения указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых в вакууме равна скорости света.
Математический анализ уравнений Максвелла позволяет сделать вывод о структуре электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. В частности, можно сделать вывод о векторной структуре волны. Электромагнитная волна является строго поперечной волной в том смысле, что характеризующие ее векторы и перпендикулярны к вектору скорости волны , т.е. к направлению ее распространения. Векторы , и , в том порядке, в котором они записаны, образуют правовинтовую ортогональную тройку векторов . В природе существуют только правовинтовые электромагнитные волны, и не существует левовинтовых волн. В этом состоит одно из проявлений законов взаимного создания переменных магнитных и электрических полей.
