Точка движется прямолинейно по закону S = t 4 +2t (S - в метрах, t - в секундах). Найти ее среднее ускорение в промежутке между моментами t 1 = 5 с, t 2 = 7 с , а также ее истинное ускорение в момент t 3 = 6 с.

Решение.

1. Находим скорость движения точки как производную от пути S по времени t, т.е.

2. Подставляя вместо t его значения t 1 = 5 с и t 2 = 7 с, находим скорости:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 м/с; V 2 = 4 7 3 + 2=1374 м/с.

3. Определяем приращение скорости ΔV за время Δt = 7 - 5 =2 с:

ΔV = V 2 - V 1 = 1374 - 502 = 872 м/с.

4. Таким образом, среднее ускорение точки будет равно

5. Для определения истинного значения ускорения точки берем производную скорости по времени:

6. Подставляя вместо t значение t 3 = 6 с, получим ускорение в этот момент времени

a ср =12-6 3 =432 м/с 2 .

Криволинейное движение. При криволинейном движении скорость точки изменяется по величине и направлению.

Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по какой-то криволинейной траектории, переместилась в положение М 1 (рис. 6).

Вектор приращения (изменения) скорости ΔV будет

Для нахождения вектора ΔV перенесем вектор V 1 , в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:

Вектор а ср параллелен вектору ΔV , так как от деления вектора на скалярную величину направление вектора не изменяется. Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора скорости к соответствующему промежутку времени Δt, стремящемуся к нулю, т.е.

Такой предел называют векторной производной.

Таким образом, истинное ускорение точки при криволинейном движении равно векторной производной по скорости.

Из рис. 6 видно, что вектор ускорения при криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Для удобства расчетов ускорение раскладывают на две составляющие к траектории движения: по касательной, называемое касательным (тангенциальным) ускорением а , и по нормали, называемое нор-мальным ускорением а n (рис. 7).

В этом случае полное ускорение будет равно

Касательное ускорение совпадает по направлению со скоростью точки или противоположно ей. Оно характеризует изменение величины скорости и соответственно определяется по формуле

Нормальное ускорение перпендикулярно к направлению скорости точки, а численное значение его определяется по формуле

где r - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Так как касательное и нормальные ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому величина полного ускорения определяется по формуле

а направление его

Если , то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение будет ускоренным.

Если , то вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и движение будет замедленным.

Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.

Задача. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2 t ? — 3 t Вычислите скорость движения точки: а) в момент времени t; б) в момент времени t=2с. Решение. а) б).

«Тест «Функции и их свойства»» — Тестирование. Найдите наименьший положительный период функции. График какой функции изображен на рисунке. Множество значений функции. Укажите график четной функции. Задания командам. Групповое задание командам. Свойства функций. На каком из рисунков изображен график нечетной функции. Найдите промежутки возрастания функции, заданной графически. Портрет. Укажите все нули функции. Звездная эстафета. Звезда для капитана.

«Алгебра «Производные»» — Механический смысл производной. Структура изучения темы. Найти производную функции. График функции. Пример нахождения производной. Алгоритм отыскания производной. Формулы дифференцирования. Уравнение касательной. Функция производная. Касательная к графику функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Определение производной. Производная. Происхождение терминов.

«Уравнения» — Появление символа равенства. Геометрия. Уравнения вокруг нас. Математика в Древней Индии. Математика исламского средневековья. Алгебраический способ. Аналитический способ. Способы решения уравнений. Появление буквенной символики. Немного истории. Неизвестное число. Математика в Древнем Египте. Арифметика Диофанта. Графический способ. Решение. Где используются уравнения сегодня. Физика. Что такое уравнение.

«Задачи по многочленам» — Попарно различные корни. Найдите все значения параметра. Противоречие. Умножение многочленов. Найти корни трёхчлена. Алгоритм Евклида. Теория. Основная теорема алгебры. Историческая справка. Остаток. Число A называется корнем многочлена. Задачи. Деление многочленов. Корни первого уравнения. Многочлены. Найдите целые числа x и y. Четыре попарно различных натуральных числа. Многочлен ах + b. Целые неотрицательные значения.

«Схема Горнера» — Деление по схеме Горнера. Горнер Вильямc Джордж. Алгоритм вычисления. Cхема Горнера. Схема Горнера. Компактность записи. Многочлен. Вычисления по схеме Горнера. Полученные числа. Разложить на множители многочлен.

«Тригонометрические функции углового аргумента» — Тригонометрические функции числового аргумента. Обобщить и систематизировать учебный материал по теме. Задание. Косинусом угла А (соs A) называется абсцисса (х) точки. Значения тригонометрических функций основных углов. Значения тригонометрических функций остальных углов таблицы. Формулы приведения. Знаки тригонометрических функций в четвертях единичной окружности. Самостоятельная работа. Значения тригонометрических функций углового аргумента.

Всего в теме «Алгебра 10 класс» 52 презентации

Физический смысл производной. Задачи!

Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

x (t) = t 2 – 7t – 20

где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

V (t) = x?(t) = 2t – 7 м/с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

matematikalegko.ru

Объясните почему берется производная формулы движения точки

Скорость — это производная координаты по времени.

У меня вообще не получается ответ другой, вы как то решаете фиг знает как

всё тут правильно

x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Найдем закон изменения скорости: м/с. Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 2 м/с, решим уравнение:

Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат - расстояние s .

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s (t ). Точек экстремума на графике 6.

Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)

В этой статье мы познакомимся с понятием производной функции , с физическим смыслом производной и решим несколько задач из Задания В9 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Чтобы понять, что такое производная , проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени. Чтобы найти скорость точки в момент времени, рассмотрим маленький промежуток времени. За этот промежуток времени точка пройдет расстояние. Тогда скорость точки будет примерно равна. Чем меньше промежуток времени мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при, мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени:

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию и зафиксируем точку. Значение функции в этой точке равно. Возьмем приращение аргумента. Значение функции в этой точке равно. Получим приращение функции

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Физический смысл производной.

Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке. показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию, то, чтобы найти скорость тела в момент времени, нужно найти значение производной функции в точке:

Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Материальная точка движется прямолинейно по закону, где - расстояние от точки отсчета в метрах, - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени.

Решение.

1. Найдем производную функции:

2. Найдем значение производной в точке:

Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону, где - расстояние от точки отсчета в метрах, - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Если нам известна скорость точки в некий момент времени, следовательно нам известно значение производной в точке.

Найдем производную функции

По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 3.

Ответ: 8

Пример 3. Аналогичное задание. Задание В9 (№119979)

Материальная точка движется прямолинейно по закону, где - расстояние от точки отсчета в метрах, - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Найдем производную функции:

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.

, — не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Точка движения прямолинейно по закону

Задание 7. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t=3 с.

Скорость движения – это производная от пути по времени, то есть, чтобы найти закон изменения скорости нужно вычислить производную от функции x(t) по t, получим:

В момент времени t=3 с скорость материальной точки равна

«Материальная ответственность сторон трудового договора» - Материальная ответственность работодателя. Если сумма взыскания не превышает среднего заработка за 1 месяц. Добровольный по заявлению или письменному обязательству. Для работника. Материальная ответственность работника Ограниченная Полная Индивидуальная Коллективная (бригадная). Путем удержания из заработной платы по распоряжению работодателя.

«Колебание точки» - 5. Линейные колебания. 7. Свободные колебания с вязким сопротивлением. 4. Примеры колебаний. Биение. 3. Примеры колебаний. Движение является затухающим и апериодичным. Показывает во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение. Свободные колебания, вызванные вынуждающей силой. 4) Период затухающих колебаний больше чем у незатухающих.

«Прямолинейное движение» - Графики для ПРД. Прямолинейное равномерное движение (ПРД). Sx =X – X0= vx t - проекция перемещения на ось X. Прямолинейное равноускоренное движение (ПРУД). Пруд. X = X0 + sx - закон движения. Графики ПРУД. То есть изменяется скорость?. - Закон движения. Пример: X = X0 + Vx t - закон движения для ПРД.

«Точки небесной сферы» - Дни солнцестояния, как и дни равноденствия, могут меняться. В 1 радиане 57°17?45". градус – центральный угол, соответствующий 1/360 части окружности. В точке летнего солнцестояния 22 июня Солнце имеет максимальное склонение. Перемещение Солнца по эклиптике вызвано годовым движением Земли вокруг Солнца.

«Расстояние от точки до прямой» - В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CB1. Нахождение расстояний 2. В единичном кубе A…D1 точка E – середина ребра C1D1. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CD. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой CD1. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до прямой BD.

«Четыре замечательные точки треугольника» - Высотой треугольника. Медианой треугольника. Отрезок АН – перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую а, если. Медиана. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны, называется. Биссектрисой треугольника. Задача №2. Задача № 1. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называется.

Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Рассмотрим задачи:

x (t) = t 2 – 7t – 20

где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 имеем:

Ответ: 3

Решить самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.