Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Наши рассуждения слагаются из высказываний. К примеру, в умозаключение «Некоторые птицы летают; значит, некоторые летающие - птицы» входят два разных высказывания.

Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на более простые части, мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий логики. Как таковое, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определенную ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.

Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, дует ветер» и т. п. Выражения «и», «либо, либо», «если, то» и т. п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из других, более простых высказываний.

Та часть логики, в которой описываются логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых высказываний, называется общей теорией дедукции.

Отрицание - логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое высказывание, такое, что если исходное высказывание истинно, его отрицание является ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).

В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;

истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т. п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит также от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным, или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие ее высказывания не связаны между собою по смыслу.

Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Соединяя два высказывания с помощью слова «или», мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами дизъюнкции.

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на «Пиковую даму» или на «Аиду» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании же «Он учится в Московском или в Ленинградском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе - ложно.

Символ V будет обозначать дизъюнкцию в неисключающем смысле, для дизъюнкции в исключающем смысле будет использоваться символ V . Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.

В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.

Разложение некоторого высказывания на простые, далее неразложимые части дает два вида выражений, называемых собственными и несобственными символами. Особенность собственных символов в том, что они имеют какое-то содержание, даже взятые сами по себе. К ним относятся имена (обозначающие некоторые объемы), нерешенные (отсылающие к какой-то области объектов), высказывания (описывающие какие-то ситуации и являющиеся истинными или ложными). Несобственные символы не имеют самостоятельного содержания, но в сочетании с одним или несколькими собственными символами образуют сложные выражения, уже имеющие самостоятельное содержание. К несобственным символам относятся, в частности, логические связки, используемые для образования сложных высказываний из простых: «... и...», «... или...», «либо..., либо...», «если..., то...», «... тогда и только тогда, когда...», «ни..., ни...», «не..., а...», «..., но не...», «неверно, что...» и т. п. Само по себе слово, скажем «или», не обозначает никакого объекта. Но в совокупности с двумя собственными, обозначающими символами это слово дает новый обозначающий символ: из двух высказываний «Письмо получено» и «Телеграмма отправлена» - новое высказывание «Письмо получено или телеграмма отправлена».

Центральная задача логики - отделение правильных схем рассуждения от неправильных и систематизация первых. Логическая правильность определяется логической формой. Для ее выявления нужно отвлечься от содержательных частей рассуждения (собственных символов) и сосредоточить внимание на несобственных символах, представляющих эту форму в чистом виде. Отсюда интерес формальной логики к таким, обычно не привлекающим внимания словам, как «и», «или», «если, то» и т. п.

2.1. Составные высказывания

Из элементарных высказываний можно строить более сложные (составные ) высказывания, используя связки И, ИЛИ, НЕ.

Примеры. Забор красный И забор деревянный.

Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя

Забор НЕ красный.

Смысл этих высказываний понятен.

Высказывание с И содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, - составное высказывание ложно.

Высказывание с ИЛИ тоже содержит два элементарных высказывания. Составное высказывание с ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих элементарных высказываний. Если оба эти высказывания ложны, - составное высказывание ложно.

Высказывание с НЕ содержит одно элементарное высказывание (в русском языке НЕ часто ставится в середину этого высказывания). Составное высказывание с НЕ истинно, если исходное элементарное высказывание ложно и, наоборот, если исходное высказывание истинно, то составное высказывание с НЕ ложно.

Составные высказывания можно строить не только из элементарных высказываний, но и из других составных высказываний. В этом построение составных высказываний похоже на построение алгебраических выражений. Например, понятно, что означает такое высказывание (хотя оно написано не на русском языке, а с использованием скобок:)

(Коля старше, чем Петя ИЛИ Коля старше, чем Федя) И (Коля НЕ старше, чем Ваня)

Здесь 3 элементарных высказывания.

2.2. Логические значения. Логические операции.

Мы уже знаем, что каждому высказыванию можно приписать одно из двух логических значений ­ – истина (часто обозначается: 1 ) или ложь (часто обозначается: 0 ). Слова И, ИЛИ, НЕ задают операции над логическими значениями (логические операции ). Действительно, например, составное высказывание с И истинно тогда и только тогда, когда истинны оба его элементарные высказывания. Если хоть одно из них ложно, - составное высказывание ложно. Здесь нам не важно, каковы были исходные высказывания. Истинность составного высказывания зависит только от логического (иногда говорят - истинностного ) значения исходных высказываний.

Так как логических значений всего два, то эти операции можно описать таблицами.

У операций И, ИЛИ, НЕ есть «научные» названия (даже несколько для каждой операции 🙂 и специальные обозначения (в примерах A, B обозначают какие-то конкретные логические значения):

НЕ: отрицание, инверсия. Обозначение: ¬ (например, ¬А);

И: конъюнкция, логическое умножение.

Обозначается /\ (например, А /\ В) либо & (например, А & В);

ИЛИ: дизъюнкция, логическое сложение .

Обозначается \/ (например, А \/ В).

В математике используются и другие логические операции.

Каждая логическая операция может быть задана своей таблицей. Вот еще два примера логических операций:

1) следование (импликация) ; обозначается → (например, А → В); см. таб. 4. Выражение А → В истинно если A ложно ИЛИ B истинно. То есть, А → В означает то же самое, что и (¬А) \/ В.

2) тождество (эквивалетность); обозначается ≡ (например, A ≡ B); см. таб 5. Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны).

2.3. Логические выражения. Таблицы истинности.

Логические операции играют для логических значений ту же роль, что и арифметические операции для чисел. Аналогично построению алгебраических выражений, с помощью логических операций можно строить логические выражения. Как и алгебраические выражения, логические выражения могут включать константы (логические значений 1 и 0) и переменные. Если в логическом значении есть переменные, оно задает функцию (логическую функцию; синоним: булеву функцию). Значение такой функции при заданном наборе значений аргументов вычисляется подстановкой этих значений в выражение вместо переменных.

Для каждого логического выражения можно составить таблицу истинности , которая описывает, какое значение принимает соответствующая логическая функция (синоним: принимает выражение ) при каждом допустимом наборе значений переменных. Вот таблицы истинности для выражений x \/ y (таблица 6), x → y (таблица 7) и (x → y) /\ (y → z) (таблица 8).

2.4. Эквивалентные выражения.

Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными ), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А/\В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

Эквивалентные выражения имеют одинаковые таблицы истинности, а у неээквивалентных выражений таблицы истинности различны.

2.5. Приоритеты логических операций.

При записи логических выражений, как и при записи алгебраических выражений, иногда можно не писать скобки При этом соблюдаются следующие договоренности о старшинстве (приоритете) логических операций, первыми указаны операции, которые выполняются в первую очередь:

отрицание (инверсия),

конъюнкция (логическое умножение),

дизъюнкция (логическое сложение),

импликация (следование),

тождество.

Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и ((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

Простые и сложные высказывания, логиче­ские переменные и логические константы, логическое отрицание, логическое умноже­ние, логическое сложение, таблицы истин­ности для логических операций

Для автоматизации информационных процессов необходимо уметь не только единообразно представ­лять информацию различных видов (числовую, текс­товую, графическую, звуковую) в виде последова­тельностей нулей и единиц, но и определять дейст­вия, которые можно выполнять над информацией. Выполнение таких действий производится в соответ­ствии с правилами, которым подчиняется процесс мышления. Говоря иначе, в соответствии с законами логики. Термин «логика» образован от древнегрече­ского слова 1 о§ 08 , означающего «мысль, рассуждение, закон». Наука логика изучает законы и формы мыш­ления, способы доказательств.

Для описания рассуждений и правил выполне­ния действий с информацией используют специаль­ный язык, принятый в математической логике. В осно­ве рассуждений содержатся специальные предложе­ния, называемые высказываниями. В высказываниях всегда что-либо утверждается или отрицается об объ­ектах, их свойствах и отношениях между объекта­ми. Высказыванием является любое суждение, отно­сительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Высказываниями могут быть только повест­вовательные предложения. Вопросительные или по­будительные предложения высказываниями не явля­ются.

Высказывание - суждение, сформулированное в виде по­вествовательного предложения, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, вопросительные предложения «В каком году было первое летописное упоминание о Москве?» и «Что является внешней памятью компьютера?» или побудительное предло­жение «Соблюдайте правила техники безопасности в компью­терном классе» высказываниями не являются. Повествователь­ные предложения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1812 г.», «Оперативное запоминающее устройство являет­ся внешней памятью компьютера» и «В компьютерном классе не надо соблюдать правила техники безопасности» являются выска­зываниями, поскольку это суждения, о каждом из которых мож­но сказать, что оно ложно. Истинными высказываниями будут суждения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1147 г.», «Жесткий магнитный диск является внешней памятью компьютера».

Каждому высказыванию соответствует только одно из двух значений: или «истина», или «ложь», которые являются логиче­скими константами. Истинное значение принято обозначать цифрой 1, а ложное значение - цифрой 0. Высказывания можно обозначать с помощью логических переменных, в качестве кото­рых используются заглавные латинские буквы. Логические пере­менные могут принимать только одно из двух возможных значе­ний: «истина» или «ложь». Например, высказывание «Информа­ция в компьютере кодируется с помощью двух знаков» можно обозначить логической переменной А, а высказывание «Прин­тер является устройством хранения информации» можно обо­значить логической переменной В. Поскольку первое выска­зывание соответствует действительности, то А = 1. Такая запись означает, что высказывание А истинно. Так как второе высказы­вание не соответствует действительности, то В = 0. Такая запись означает, что высказывание в ложно.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. До сих пор были приведены примеры простых высказываний, которые обозначались логическими перемены ми. Выстраивая цепочку рассуждений, человек с помощью логических операций объединяет простые высказывания в сложнее" высказывания. Чтобы узнать значение сложного высказывания нет необходимости вдумываться в его содержание. Достаточно знать значение простых высказываний, составляющих сложное высказывание, и правила выполнения логических операций.

Логическая операция - действие, позволяющее составлять сложное высказывание из простых высказываний.

Все рассуждения человека, а также работа современных тех­нических устройств основываются на типовых действиях с ин­формацией - трех логических операциях: логическом отрица­нии (инверсии), логическом умножении (конъюнкции) и логи­ческом сложении (дизъюнкции).

Логическое отрицание простого высказывания получают до­бавлением слов «Неверно, что» в начале простого высказывания.

■ ПРИМЕР 1. Имеется простое высказывание «Крокодилы уме­ют летать». Результатом логического отрицания будет высказы­вание «Неверно, что крокодилы умеют летать». Значение ис­ходного высказывания - «ложь», а значение нового - «истина».

■ ПРИМЕР 2. Имеется простое высказывание «Файл должен иметь имя». Результатом логического отрицания будет высказы­вание «Неверно, что файл должен иметь имя». Значение исход­ного высказывания - «истина», а значение нового высказыва­ния - «ложь».

Можно заметить, что логическое отрицание высказывания истинно, когда исходное высказывание ложно, и наоборот, ло­гическое отрицание высказывания ложно, когда исходное вы­сказывание истинно.

Логическое отрицание (инверсия) - логическая операция, ставящая в соответствие простому высказыванию новое высказывание, значение которого противоположно значе­нию исходного высказывания.

Обозначим простое высказывание логической переменной А. Тогда логическое отрицание этого высказывания будем обозначать НЕ А. Запишем все возможные значения логической переменной А и соответствующие результаты логического отрицания НЕ А в виде таблицы, которая называется таблицей истинности для логичес­кого отрицания (табл. 40).

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО ОТРИЦАНИЯ

Если/1 = 0, то НЕ А = 1 (см. пример 1). Если А = 1, то НЕ А = 0 (см. пример 2)

не А

Можно заметить, что в таблице истинности для логическо­го отрицания ноль меняется на единицу, а единица меняется на ноль.

Логическое умножение двух простых высказываний получа­ют объединением этих высказываний с помощью союза и. Разбе­рем на примерах 3-6, что будет являться результатом логическо­го умножения.

■ ПРИМЕР 3. Имеются два простых высказывания. Одно выска­зывание - «Карлсон живет в подвале». Другое высказывание - «Карлсон лечится мороженым».

Результатом логического умножения этих простых высказы­ваний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале, и Карлсон лечится мороженым». Можно сформулировать новое высказывание более кратко: «Карлсон живет в подвале и лечится мороженым». Оба исходных высказывания ложны. Значение но­вого сложного высказывания также «ложь».

■ ПРИМЕР 4. Имеются два простых высказывания. Первое вы­сказывание - «Карлсон живет в подвале». Второе высказыва­ние - «Карлсон лечится вареньем».

Результатом логического умножения этих простых выска­зываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подва­ле и лечится вареньем». Первое исходное высказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания - «ложь».

■ ПРИМЕР 5. Имеются два простых высказывания. Первое вы­сказывание - «Карлсон живет на крыше». Второе высказыва­ние - «Карлсон лечится мороженым».

Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится мороженым». Первое исходное высказывание истин но, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания «ложь».

* ПРИМЕР б . Имеются два простых высказывания. Одно высказывание - «Карлсон живет на крыше». Другое высказывание «Карлсон лечится вареньем».

Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится вареньем». Оба исходных высказывания истинны. Зпачение нового сложного высказывания также «истина».

Можно заметить, что логическое умножение двух высказываний истинно только в одном случае - когда оба исходных высказывания истинн ы.

Логическое умножение (конъюнкция) - логическая опера­ция, ставящая в соответствие двум простым высказывани­ям новое высказывание, значение которого истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ

Таблица 41

		A и B

Если А = 0, В =0, то А И В- 0 (см. пример 3). Если А = 0, 7? = 1, то А И В - 0 (см. пример 4). Если/1 = 1, В = 0, то А И й=0 (см. пример 5). Если Л = \, В = \, то А\\ В = \ (см. пример 6).

Можно заметить, что результаты логического умножения сов­падают с результатами обычного умножения нулей и единиц.

Логическое сложение двух простых высказываний получают объединением этих высказываний с помощью союза или. Разбе­рем на примерах 7-10, что будет являться результатом логиче­ского сложения.

ПРИМЕР 7 . Имеются два простых высказывания. Одно высказы­вание - «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов». Другое высказывание - «Комедию «Ревизор» написал И. А. Крылов».

Результатом логического сложения этих простых высказыва­ний будет сложное высказывание «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов или И. А. Крылов». Оба исходных высказыва­ний ложны. Значение нового сложного высказывания также «ложь».

ПРИМЕР 8. Имеются два простых высказывания. Первое выска­зывание - «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов». Вто­рое высказывание - «Комедию «Ревизор» написал Н. В. Гоголь».

Результатом логического сложения этих простых высказыва­ ний будет сложное высказывание «Комедию «Ревизор» написал М, К). Лермонтов или Н. В. Гоголь». Первое исходное вы ысказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания - «истина» .

ПРИМЕР 9 . Имеются два простых высказывания. Первое высказывание - «Поэму «Мцыри» написал М. Ю. Лермонтов». Второе высказывание - «Поэму «Мцыри» написал Н. В. Гоголь» . Результатом логического сложения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Поэму «Мцыри» написал М. Ю. Лермонтов или Н. В. Гоголь». Первое исходное высказывание истинно, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания - «истина» .

ПРИМЕР 10 . Имеются два простых высказывания. Одно высказывание - «А. С. Пушкин писал стихи» Другое высказывание -«А. С. Пушкин писал прозу». Результатом логического сложения этих простых высказываний будет сложное высказывание «А. С. Пушкин писал стихи или прозу». Оба исходных высказывания истинны. Значение нового сложного высказывания также «истина» .

Можно заметить, что логическое сложение двух высказываний ложно только в одном случае - когда оба исходных высказывания ложны.

Логическое сложение (дизъюнкция) - логическая операция, ставящая в соответствие двум простым высказываниям новое высказывание, значение которого ложно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Обозначим одно простое высказывание логической переменной А, а другое простое высказывание логической переменной В.

Тогда логическое сложение этих высказываний будем обозначать А ИЛИ В

Запишем все возможные значения логических переменных A , B , а так же соответствующий результат логического сложения А ИЛИ В в виде таблицы которая называется таблицей истинности.

Действия с двоичными знаками выполняются в соответствии с таблицами истинности для логического сложения

Если А=0, В =0, то А ИЛИ В =0 (см.пример 7) Если А=0, В =1, то А ИЛИ В =1 (см.пример 8) Если А=1, В =0, то А ИЛИ В =1 (см.пример 9) Если А=1, В =1, то А ИЛИ В =1 (см.пример 10)

А ИЛИ В

Можно заметить, что результаты логического сложения, кроме последней строки, совпадают с результатами обычного сложения нулей и единиц.

Таким образом, используя язык логики, рассуждения можно заменить действиями с высказываниями. Высказываниям, в свою очередь, можно поставить в соответствие двоичный знак - 0 или 1. Действия с двоичными знаками выполняются в соответствии с таблицами истинности для основных логических операций логического отрицания, логического умножения и логического сложения (см. табл. 40-42)

23. Высказывания. Логические операции

Логическое сложение (дизъюнкция) двух высказываний ложно

1) тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны

2) тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны

3) когда хотя бы одно высказывание истинно

4) когда хотя бы одно высказывание ложно

Логические выражения. Выполнение логических операций

Запись логических выражений, приоритет выполнения логических операций, нахождение значения логического выражения, выполнение логических операций с информацией различного вида Логическое отрицание, логическое умножение и логическое сложение образуют полную систему логических операций, с помощью которой можно составить любое сложное высказывание и определить его истинность. При описании рассуждений с помощью языка математической логики простые высказывания обозначаются логическими переменными (латинскими буквами), значения высказываний обозначаются логическими константами (нулями или единицами), а логические операции обозначаются специальными связками (НЕ, И, ИЛИ). Запись, составляемая с помощью таких переменных, констант и связок, получила название логического выражения.

Логическое выражение - символическая запись на языке математической логики, составленная из логических переменных или логических констант, объединенных логическими операциями (связками).

При нахождении значения логического выражения логические операции выполняются в определенном порядке, согласно их приоритету - вначале логическое отрицание, потом логическое умножение и лишь затем логическое сложение. Логические операции, имеющие один и тот же приоритет, выполняются слева направо. Для изменения порядка выполнения логических операций используются скобки.

■ ПРИМЕР 1. Дано простое истинное высказывание А = «Аристотель - древнегреческий философ» и простое ложное высказывание В = «Аристотель - древнерусский философ».

Действия над информацией. Основные операции

значения сложных высказываний, которые соответствуют следующим логическим выражениям:

1) НЕ А;

2) А ИЛИ В;

3) А И (НЕВ).

Решение. 1) Результатом логического отрицания высказывания А будет высказывание «Неверно, что Аристотель - древнегреческий философ». Поскольку значение исходного высказывания «истина» А = 1, то значение логического отрицания этого высказывания «ложь» НЕ А =0 (см. табл. 40). 2) Результатом логического сложения двух высказываний будет высказывание «Аристотель - древнегреческий или Аристотель -древнерусский философ». Поскольку значение первого исходного высказывания «истина» А = 1, а значение второго исходного высказывания «ложь» В = 0, то значение логического сложения этих высказываний «истина» А ИЛИ В =1 (см. табл. 42). 3) Результатом логического умножения высказывания А и логического отрицания высказывания В будет высказывание «Аристотель - древнегреческий философ, и неверно, что Аристотель - древнерусский философ». Вначале выполняем логическое отрицание высказывания В. Поскольку значение исходного высказывания «ложь» В = 0, то значение логического отрицания этого высказывания «истина» НЕ В = 1 (см. табл. 40). Поскольку значение первого исходного высказывания «истина» А = 1 и значение логического отрицания второго исходного высказывания «истина» НЕ В =1, то значение логического умножения этих высказываний «истина» А И (НЕ В) =1

(см. табл. 41)

Ответ. 1) «Ложь»; 2) «истина»; 3) «истина». Для нахождения значения сложного высказывания достаточно знать значения простых высказываний, входящих в сложное высказывание, и правила выполнения логических операций, которые объединяют эти простые высказывания.

■ ПРИМЕР 2. Найти значение логического выражения НЕ А ИЛИ (0 ИЛИ 1) И (НЕ В И 1), если значения логических переменных А =1, В =0.

Решение . 1) Заменим в логическом выражении логические переменные логическими константами. НЕАИЛИ(0ИЛИ 1)И(НЕВИ 1)= =НЕ1ИЛИ(0ИЛИ1)И(НЕ0И1).

2) Определим последовательность выполнения логических операций в соответствии с их приоритетом. НЕ4 1 ИЛИ6 (0 ИЛИ1 1) И5 (НЕг 0 И3 1).

Умные мысли приходят лишь тогда, когда глупости уже сделаны.

Только те, кто предпринимает абсурдные попытки, смогут достичь невозможного. Альберт Эйнштейн

Хорошие друзья, хорошие книги и спящая совесть — вот идеальная жизнь. Марк Твен

Нельзя вернуться в прошлое и изменить свой старт, но можно стартовать сейчас и изменить свой финиш.

При ближайшем рассмотрении мне вообще становится ясно, что те перемены, которые как будто наступают с ходом времени, по сути никакие не перемены: меняется только мой взгляд на вещи. (Франц Кафка)

И хоть велик соблазн по сразу двум идти дорогам, нельзя одной колодой карт играть и с дьяволом и с Богом…

Цените тех, с кем можно быть собой.
Без масок, недомолвок и амбиций.
И берегите их, они вам посланы судьбой.
Ведь в вашей жизни их - лишь единицы

Для утвердительного ответа достаточно лишь одного слова - «да». Все прочие слова придуманы, чтобы сказать «нет». Дон-Аминадо

Спроси у человека: «Что такое счастье?» и ты узнаешь, чего ему больше всего не хватает.

Если хочешь понять жизнь, то перестань верить тому, что говорят и пишут, а наблюдай и чувствуй. Антон Чехов

В мире нет ничего разрушительнее, невыносимее, как бездействие и ожидание.

Воплощайте свои мечты в реальность, работайте над идеями. Те кто над вами раньше смеялись начнут завидовать.

Рекорды существуют для того, чтобы их бить.

Нужно не тратить время, а инвестировать в него.

История человечества – это история достаточно небольшого числа людей, которые поверили в себя.

Довёл себя до края? Не видишь смысла больше жить? Значит, ты уже близок… Близок к решению дойти до дна, чтобы оттолкнуться от него и навсегда решить быть счастливым.. Так что не бойся дна - используй его….

Если вы честны и откровенны, то люди будут обманывать вас; всё равно будьте честны и откровенны.

Человек редко преуспевает в чем бы то ни было, если его занятие не доставляет ему радости. Дейл Карнеги

Если в твоей душе осталась хоть одна цветущая ветвь, на неё всегда сядет поющая птица.(Восточная мудрость)

Один из законов жизни гласит, что как только закрывается одна дверь,открывается другая. Но вся беда в том, что мы смотрим на запертую дверь и не обращаем внимания на открывшуюся. Андре Жид

Не судите человека, пока не поговорите с ним лично, потому что всё, что вы слышите — слухи. Майкл Джексон.

Сначала тебя игнорируют, затем над тобой смеются, затем с тобой борются, затем ты побеждаешь. Махатма Ганди

Человеческая жизнь распадается на две половины: в течении первой половины стремятся вперед ко второй, а в течении второй обратно к первой.

Если ты сам ничего не делаешь, как тебе можно помочь? Управлять можно только движущимся автомобилем

Все будет. Только когда ты решишься на это.

В этом мире можно искать всё, кроме любви и смерти… Они сами тебя найдут, когда придет время.

Внутренняя удовлетворённость наперекор окружающему миру страданий – очень ценное достояние. Шридхар Махарадж

Начинай уже сейчас жить той жизнью, какой ты хотел бы видеть ее в конце. Марк Аврелий

Надо каждый день жить как в последний миг. У нас не репетиция - у нас жизнь. Мы не начинаем ее с понедельника - мы живем сегодня.

Каждое мгновенье жизни - еще одна возможность.

Год спустя ты будешь смотреть на мир другими глазами и даже это дерево, что растёт возле твоего дома, покажется тебе иным.

Счастье не надо искать - им надо быть. Ошо

Почти каждая история успеха, которая мне известна, начиналась с того, что человек лежал навзничь, поверженный неудачами. Джим Рон

Каждый долгий путь начинается с одного, с первого шага.

Никто не лучше Вас. Никто не умнее Вас. Просто они начали раньше. Брайан Трейси

Падает тот, кто бежит. Тот, кто ползет, не падает. Плиний Старший

Достаточно лишь понять, что живёшь в будущем, как сразу там и окажешься.

Я выбираю жить, а не существовать. James Alan Hetfield

Когда ты будешь ценить то, что у тебя есть, а не жить в поиске идеалов, тогда ты по-настоящему станешь счастливым..

О нас думают плохо лишь те, кто хуже нас, а те, кто лучше нас, им просто не до нас. Омар Хайям

Иногда от счастья нас отделяет один звонок… Один разговор… Одно признание…

Признавая свою слабость, человек становится сильным. Онре Бальзак

Тот, кто смиряет дух свой, сильнее того, кто покоряет города.

Когда шанс выпадает - надо его хватать. А когда ухватил, добился успеха - насладись. Ощути радость. И пусть вокруг все сосут у тебя шланг за то, что были козлами, когда не давали за тебя и гроша. А дальше - уйди. Красиво. И всех оставить в шоке.

Никогда не отчаивайтесь. А если вы уже впали в отчаяние, то продолжайте работать и в отчаянии.

Решительный шаг вперед - результат хорошего пинка сзади!

В России надо быть или известным или богатым, чтобы к тебе относились так, как в Европе относятся к любому. Константин Райкин

Все зависит только от вашего отношения. (Чак Норрис)

Никакие рассуждения не в состоянии указать человеку путь, которого он не хочет видеть Ромен Роллан

То, во что ты веришь, становится твоим миром. Ричард Матесон

Там хорошо, где нас нет. В прошлом нас уже нет, и поэтому оно кажется прекрасным. Антон Чехов

Богатые становятся еще богаче потому, что учатся преодолевать финансовые трудности. Они видят в них возможность учиться, расти, развиваться и богатеть.

У каждого свой ад - это не обязательно огонь и смола! Наш ад - это жизнь впустую! Куда приводят мечты

Совершенно не важно как много ты работаешь, главное результат.

Только у мамы самые ласковые руки, самая нежная улыбка и самое любящее сердце…

Победители по жизни всегда думают в духе: я могу, я хочу, я. Неудачники, наоборот, сосредотачивают свои рассеянные мысли на том, что они могли бы иметь, могли бы сделать или что они не могут делать. Другими словами, победители берут всегда ответственность на себя, а лузеры винят в своих неудачах обстоятельства или других людей. Дэнис Вэйтли.

Жизнь — гора поднимаешься медленно, спускаешься быстро. Ги де Мопассан

Люди так боятся сделать шаг навстречу новой жизни, что готовы закрыть глаза на все, что их не устраивает. Но это еще страшнее: проснуться однажды и осознать, что рядом все не то, не то, не то… Бернард Шоу

Дружба и доверие не покупаются и не продаются.

Всегда, в каждую минуту своей жизни, даже когда Вы абсолютно счастливы, имейте одну установку в отношении окружающих Вас людей: - Я в любом случае сделаю то, чего хочу, с вами или без Вас.

В мире только и можно выбирать между одиночеством и пошлостью. Артур Шопенгауэр

Стоит только иначе взглянуть на вещи, и жизнь потечёт в ином направлении.

Железо так говорило магниту: больше всего я тебя ненавижу за то, что ты притягиваешь, не имея достаточно сил, чтобы тащить за собой! Фридрих Ницше

Умей жить и тогда, когда жизнь становится невыносимой. Н. Островский

Картина которую ты видишь в своем разуме, со временем станет твоей жизнью.

«Первую половину жизни спрашиваешь себя, на что ты способен, но вторую — а кому это нужно?»

Никогда не поздно поставить новую цель или обрести новую мечту.

Управляйте своей судьбой, или это сделает кто-то другой.

красоту увидеть в некрасивом,
разглядеть в ручьях разливы рек…
кто умеет в буднях быть счастливым,
тот и впрямь счастливый человек! Э. Асадов

У мудреца спросили:

Сколько видов дружбы существует?

Четыре — ответил он.
Есть друзья, как еда — каждый день ты нуждаешься в них.
Есть друзья, как лекарство, ищешь их, когда тебе плохо.
Есть друзья, как болезнь, они сами ищут тебя.
Но есть такие друзья, как воздух — их не видно, но они всегда с тобой.

Я стану человеком, которым я хочу стать, - если я поверю, что я им стану. Ганди

Откройте свое сердце и прислушайтесь к тому, о чем оно мечтает. Следуйте за своей мечтой, потому что только через того, кто себя не стыдится, проявится слава Господня. Пауло Коэльо

Быть опровергнутым – этого опасаться нечего; опасаться следует другого – быть непонятым. Иммануил Кант

Будьте реалистами — требуйте невозможного! Че Гевара

Не откладывай свои планы, если на улице дождь.
Не отказывайся от мечты, если в тебя не верят люди.
Иди наперекор природе, людям. Ты личность. Ты сильный.
И запомни — нет недостижимых целей - есть высокий коэффициент лени, недостаток смекалки и запас отговорок.

Или ты создаешь мир, или мир создает тебя. Джек Николсон

Я люблю, когда люди улыбаются просто так. Едешь, например, в автобусе и видишь, как человек смотрит в окно или пишет смс и улыбается. Так хорошо становится на душе. И самому хочется улыбаться.

Даже под самой суровой и грубой оболочкой порой скрывается нежная душа и чуткое сердце. Стивен Кови

Простые и сложные высказывания. Отрицание высказывания

Математическая логика, основы которой были заложены Г.Лейбницем еще в XVII веке, сформировалась как научная дисциплина только в середине XIX века благодаря работам математиков Дж. Буля и О. Моргана, которые создали алгебру логики.

1. Высказыванием называется любое повествовательное предложение, относительно которого известно, что оно либо истинно, либо ложно. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Приведем примеры:

б) 2+6>8 (ложное высказывание),

в) сумма чисел 2 и 6 больше числа 8 (ложное высказывание);

г)II + VI > VII(истинное высказывание);

д) в пределах нашей Галактики существуют внеземные цивилизации (это высказывание, несомненно, либо истинно, либо ложно, но пока неизвестно, какая из этих возможностей выполняется).

Ясно, что высказывания б) и в) означают одно и то же, но выражены они по-разному. Вообще высказывания будем записывать так: а:(Луна - спутник Земли); b:(существует такое действительное число х, что 2х+5=15); с:(все треугольники – равнобедренные).

Не всякое предложение является высказыванием. Например, восклица­тельные и вопросительные предложения высказываниями не являются ("Какого цвета этот дом?", "Пейте томатный сок!", "Стой!" и т.д.). Не являются высказы­ваниями и определения, например, "Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны". Здесь лишь устанавливается название некоторого объекта. Таким образом, определения, но могут быть истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов. Не являются высказываниями и предложения "Он сероглаз" или "х 2 - 4х + 3 = 0" - в них не указано, о каком человеке идет речь или при каких х рассматривают равенство. Такие предложения с неизвестным членом (переменной) называют неопределенными высказываниями . Отметим, что предложение "Некоторые люди сероглазы" или ""Для всех х справедливо равенство х 2 - 4х + 3 = 0" уже являются высказыванием (первое из них истинно, а второе ложно).

2. Высказывание, которое можно разложить на части, будем называть сложным, а неразложимое далее высказывание - простым. Например, высказывание "Сегодня в 4 часа дня я был в школе, а к 6 часам вечера пошел на каток" состоит из двух частей" "Сегодня в 4 часа дня я был в школе" и "Сегодня к 6 часам вечера я пошел на каток". Или такое высказывание: "функция у = ax 2 + bx + с непрерывна и дифференцируема при всех значениях х" состоит из двух простых высказываний: "Функция у = ах 2 + bx + с непрерывна при всех значениях х" и "функция у = ах 2 + bx + с дифференцируема при всех значениях х".

Подобно тому, как из заданных чисел можно получить другие числа с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, так из заданных высказываний получаются новые с помощью операций, имеющие специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалент­ность, отрицание. Хотя названия эти звучат непривычно, они означают лишь хорошо известные соединения отдельных предложений связками "и", "или", "если…то…", "тогда и только тогда, когда…", а также присоединение к высказыванию частицы "не",

3. Отрицанием высказывания а называют такое высказывание а, что а ложно, если а истинно, и а истинно, если а ложно. Обозначение а читается так: "Не а", или "Неверно, что а". Попробуем это определение понять на примерах. Рассмотрим следующие высказывания:

а:(Сегодня в 12 часов дня я был на катке);

b:(Сегодня я был на катке не в 12 часов дня);

с:(Я был на катке в 12 часов дня не сегодня);

d:(Сегодня в 12 часов дня я был в школе);

е:(Сегодня я был на катке в 3 часа дня);

f:(Сегодня в 12 часов дня я не был на катке);

На первый взгляд все высказывания b - f отрицают высказывание а. Но на самом деле это не так. Если внимательно вчитаться в смысл высказывания b, то можно заметить, что оба высказывания а и b могут одновременно оказаться ложными - так будет, если сегодня я совсем не был на катке. То же самое относится и к высказываниям а и с, а и а. А высказывания а и е могут оказаться и одновременно истинными (если, например, я катался на коньках с 11 до 4 часов дня), и одновременно ложными (если сегодня я совсем не был на катке). И только высказывание f обладает следующим свойством: оно истинно в том случае, когда высказывание а ложно, и ложно в том случае, когда высказывание а истинно. Значит, высказывание f есть отрицание высказывания а, то есть f = а. Следующая таблица показывает связь между высказываниями а и ;

Буквы "и" и "л" - сокращение слов "истина" и "ложь" соответственно. Эти слова в логике называют значениями истинности. Таблица называется таблицей истинности .