Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=x+\frac{36}{x}+10 на отрезке [-10; -1].

Показать решение

Решение

Исходная функция определена при x \neq 0. y"(x)=1-\frac{36}{x^2}. \frac{36}{x^2}=1,

x^2=36,

x=\pm 6.

Исследуемому промежутку принадлежит только значение x=-6. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

y=x+\frac{36}{x}+10 возрастает на промежутке [-10; -6] и убывает на промежутке [-6; -1]. Наибольшее значение достигается при x=-6 и равно y(-6)=-6+\frac{36}{-6}+10=-2.

Ответ

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=x+\frac{25}{x}+2017 на отрезке .

Показать решение

Решение

y"(x)=1-\frac{25}{x^2}. Найдём нули производной: y"(x)=0 при \frac{25}{x^2}=1,

x^2=25,

x=\pm 5.

Исследуемому промежутку принадлежит только значение x=5. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что функция y=x+\frac{25}{x}+2017 убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Наименьшее значение достигается при x=5 и равно y(5)=5+\frac{25}{5}+2017=2027.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac{x^2+10\,000}{x}.

Показать решение

Решение

Исходная функция определена при x \neq 0, при этом y=-x-\frac{10\,000}{x}. Тогда производная исходной функции y"(x)=-1+\frac{10\,000}{x^2}. Найдём нули производной: y"(x)=0 при \frac{10\,000}{x^2}=1,

x^2=10\,000,

x=\pm 100.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что функция y=-\frac{x^2+10\,000}{x} имеет единственную точку минимума x=-100.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

y=-\frac{x^2+144}{x}.

Показать решение

Решение

Исходная функция определена при x\neq0, при этом y=-x-\frac{144}{x}. Тогда производная исходной функции y"(x)=-1+\frac{144}{x^2}. Найдем нули производной: y"(x)=0 при \frac{144}{x^2}=1, x^2=144, x=\pm12. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что функция y=-\frac{x^2+144}{x} имеет единственную точку максимума x=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку максимума функции y=-\frac{x}{x^2+961}.

Показать решение

Решение

Находим производную: y"=-\frac{1\cdot(x^2+961)-x\cdot2x}{(x^2+961)^2}=\frac{x^2-961}{(x^2+961)^2}.

Решаем уравнение \frac{x^2-961}{(x^2+961)^2}=0,

x^2-961=0;

x^2=961,

x=\pm31.

Так как у дроби \frac{x^2-961}{(x^2+961)^2} знаменатель больше нуля, то ее знак совпадает со знаком числителя дроби, являющегося квадратным трехчленом x^2-961.

Таким образом, при y<-31 функция возрастает, а при -3131 опять возрастает:

В точке x=-31 будет максимум.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 12
Тема: Рациональные функции

Условие

Найдите точку минимума функции y=\frac{48}{x}+3x+204 .

Показать решение

Решение

Вычислим производную функции.

y"=-\frac{48}{x^2}+3

Найдем точки, в которых производная функции обращается в нуль.

-\frac{48}{x^2}+3=0

-\frac{48+3x^2}{x^2}=0

48+3x^2=0

x^2=16

x=\pm4

На числовой оси расставим знаки производной и посмотрим как ведет себя функция.

При переходе через точку x = 4 производная меняет знак с минуса на плюс. Значит x = 4 - точка минимума функции.

Найдите наибольшее значение функции y=(7x^2-56x+56)e^x на отрезке [-3; 2].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения y"= (7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Вычислим нули производной: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [-3; 0] исходная функция возрастает, а на отрезке — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-3; 2] достигается при x=0 и равно y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Ответ

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=12x-12tg x-18 на отрезке \left.

Показать решение

Решение

y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac{12}{\cos ^2x}= \frac{12\cos ^2x-12}{\cos ^2x}\leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите точку минимума функции y=(x+8)^2e^{x+52}.

Показать решение

Решение

Будем находить точку минимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^\alpha и e^x:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^{x+52}+(x+8)^2\left(e^{x+52}\right)"= 2(x+8)e^{x+52}+(x+8)^2e^{x+52}= (x+8)e^{x+52}(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^{x+52}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции. e^{x+52}>0 при любом x . y"=0 при x=-8, x=-10.

Из рисунка видно, что функция y=(x+8)^2e^{x+52} имеет единственную точку минимума x=-8.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите точку максимума функции y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Показать решение

Решение

ОДЗ: x \geqslant 0. Найдём производную исходной функции:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Вычислим нули производной:

8-\sqrt x=0;

\sqrt x=8;

x=64.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что точка x=64 является единственной точкой максимума заданной функции.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2\ln x+37 на отрезке \left[\frac35; \frac75\right].

Показать решение

Решение

ОДЗ: x>0.

Найдём производную исходной функции:

y"(x)= 10x-12+\frac{2}{x}= \frac{10x^2-12x+2}{x}.

Определим нули производной: y"(x)=0;

\frac{10x^2-12x+2}{x}=0,

5x^2-6x+1=0,

x_{1,2}= \frac{3\pm\sqrt{3^2-5\cdot1}}{5}= \frac{3\pm2}{5},

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.

Из рисунка видно, что на отрезке \left[\frac35; 1\right] исходная функция убывает, а на отрезке \left возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке \left[\frac35; \frac75\right] достигается при x=1 и равно y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения.

Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус.

Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Видео по теме

Полезный совет

Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.

Источники:

• Один из сервисов вычисления производных
• точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.

Инструкция

Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.

Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.

Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Алгоритм нахождения данных точек оговаривался уже неоднократно, кратко повторюсь:

1. Находим производную функции.

2. Находим нули производной (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

3. Далее строим числовую ось, на ней отмечаем найденные точки и определяем знаки производной на полученных интервалах. *Это делается путём подстановки произвольных значений из интервалов в производную.

Если вы совсем не знакомы со свойствами производной для исследования функций, то обязательно изучите статью « ». Также повторите таблицу производных и правила дифференцирования (имеются в этой же статье). Рассмотрим задачи:

77431. Найдите точку максимума функции у = х 3 –5х 2 +7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 – 10х + 7 = 0

у(0) " = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

у(2) " = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

у(3) " = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 1

77432. Найдите точку минимума функции у = х 3 +5х 2 +7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 + 10х + 7 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

у( –2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

у(0 ) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

В точке х = –1 производная меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит это есть искомая точка минимума.

Ответ: –1

77435. Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

12 – 3х 2 = 0

х 2 = 4

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

у(0 ) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

у( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 2

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.

77439. Найдите точку максимума функции у = 9х 2 – х 3 .

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

18х –3х 2 = 0

3х(6 – х) = 0

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

у(1 ) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

у(7 ) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

В точке х = 6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 6

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.

77443. Найдите точку максимума функции у = (х 3 /3)–9х–7.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

х 2 – 9 = 0

х 2 = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

у(0 ) "= 0 2 – 9 < 0

у(4 ) "= 4 2 – 9 > 0

В точке х = – 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: – 3

9 – х 2 = 0

х 2 = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:

у( –4 ) "= 9 – (–4) 2 < 0

у(0 Решение .

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких .

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.