Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Логарифмом числа N по основаниюа называется показатель степених , в которую нужно возвестиа , чтобы получить числоN

При условии, что
,
,

Из определения логарифма следует, что
, т.е.
- это равенство является основным логарифмическим тождеством.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Вместо
пишут
.

Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются
.

Основные свойства логарифмов.

Логарифм единицы при любом основании равен нулю

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

3) Логарифм частного равен разности логарифмов

Множитель
называется модулем перехода от логарифмов при основанииa к логарифмам при основанииb .

С помощью свойств 2-5 часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых арифметических действий над логарифмами.

Например,

Такие преобразования логарифма называются логарифмированием. Преобразования обратные логарифмированию называются потенцированием.

Глава 2. Элементы высшей математики.

1. Пределы

Пределом функции
является конечное число А, если при стремлении xx 0 для каждого наперед заданного
, найдется такое число
, что как только
, то
.

Функция, имеющая предел, отличается от него на бесконечно малую величину:
, где- б.м.в., т.е.
.

Пример. Рассмотрим функцию
.

При стремлении
, функцияy стремится к нулю:

1.1. Основные теоремы о пределах.

Предел постоянной величины равен этой постоянной величине

.

Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций.

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.

Замечательные пределы

,
, где

1.2. Примеры вычисления пределов

Однако, не все пределы вычисляются так просто. Чаще вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа: или .

.

2. Производная функции

Пусть мы имеем функцию
, непрерывную на отрезке
.

Аргумент получил некоторое приращение
. Тогда и функция получит приращение
.

Значению аргумента соответствует значение функции
.

Значению аргумента
соответствует значение функции .

Следовательно, .

Найдем предел этого отношения при
. Если этот предел существует, то он называется производной данной функции.

Определение 3Производной данной функции
по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента произвольным образом стремится к нулю.

Производная функции
может быть обозначена следующим образом:

; ; ; .

Определение 4Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием.

2.1. Механический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.

Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка
находилась на расстоянии от начального положения
.

Через некоторый промежуток времени
она переместилась на расстояние
. Отношение =- средняя скорость материальной точки
. Найдем предел этого отношения, учитывая что
.

Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.

2.2. Геометрическое значение производной

Пусть у нас есть графически заданная некоторая функция
.

Рис. 1. Геометрический смысл производной

Если
, то точка
, будет перемещаться по кривой, приближаясь к точке
.

Следовательно
, т.е. значение производной при данном значении аргумента численно равняется тангенсу угла образованного касательной в данной точке с положительным направлением оси
.

2.3. Таблица основных формул дифференцирования.

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрическая функция

Обратная тригонометрическая функция

2.4. Правила дифференцирования.

Производная от

Производная суммы (разности) функций

Производная произведения двух функций

Производная частного двух функций

2.5. Производная от сложной функции.

Пусть дана функция
такая, что ее можно представить в виде

и
, где переменнаяявляется промежуточным аргументом, тогда

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Пример1.

Пример2.

3. Дифференциал функции.

Пусть есть
, дифференцируемая на некотором отрезке
и пустьу этой функции есть производная

,

тогда можно записать

(1),

где - бесконечно малая величина,

так как при

Умножая все члены равенства (1) на
имеем:

Где
- б.м.в. высшего порядка.

Величина
называется дифференциалом функции
и обозначается

.

3.1. Геометрическое значение дифференциала.

Пусть дана функция
.

Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.

.

Очевидно, что дифференциал функции
равен приращению ординаты касательной в данной точке.

3.2. Производные и дифференциалы различных порядков.

Если есть
, тогда
называется первой производной.

Производная от первой производной называется производной второго порядка и записывается
.

Производной n-го порядка от функции
называется производная (n-1)-го порядка и записывается:

.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.

.

.

3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования.

Задача1. Исследования показали, что рост колонии микроорганизмов подчиняется закону
, гдеN – численность микроорганизмов (в тыс.),t –время (дни).

б) Будет ли в этот период численность колонии увеличиваться или уменьшаться?

Ответ. Численность колонии будет увеличиваться.

Задача 2. Вода в озере периодически тестируется для контроля содержания болезнетворных бактерий. Черезt дней после тестирования концентрация бактерий определяется соотношением

.

Когда в озере наступит минимальная концентрация бактерий и можно будет в нем купаться?

РешениеФункция достигает max или min, когда ее производная равна нулю.

,

Определим max или min будет через 6 дней. Для этого возьмем вторую производную.

Ответ: Через 6 дней будет минимальная концентрация бактерий.

Рассмотрим примеры логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Для решения используем способ потенцирования. Неравенства >0 и >0 будут определять область допустимых значений уравнения. Неравенство >0 справедливо при любых значениях х, так как а 5х>0 только при положительных значения х. Значит ОДЗ уравнения — множество чисел от нуля до плюс бесконечности. Уравнение равносильно квадратному уравнению. Корни этого уравнения — числа 2 и 3,так как произведение этих чисел равно 6, а сума этих чисел равна 5 -противоположному значению коэффициента b? Оба этих числа лежат в промежутке, значит, они и есть корни этого уравнения. Заметим, что мы с лёгкостью решили данное уравнение.

Пример 2. Решить уравнение

(логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три равен логарифму икс по основанию одна третья)

Это уравнение отличается от предыдущего тем, что логарифмы имеют разные основания. И рассмотренный метод решения уравнения здесь использовать уже нельзя, хотя можно найти область допустимых значений и попробовать решить уравнение функционально графическим методом. Неравенства >0 и x >0определяют область допустимых значений уравнения, значит. Рассмотрим графическую иллюстрацию этого уравнения. Для этого построим по точкам график функции и. Мы можем утверждать, только что у данного уравнения есть единственный корень, он положительный, лежит на интервале от 1 до 2. Точное значение корня дать не возможно.

Конечно, данное уравнение не единственное, содержащее логарифмы с разными основаниями. Решить такие уравнения можно только с помощью перехода к новому основанию логарифма. Трудности, связанные с логарифмами разных оснований могут встретиться и в других типах заданий. Например, при сравнении чисел и.

Помощником в решении таких заданий является теорема

Теорема: Если a,b,c - положительные числа, причём а и с отличны от 1, то имеет место равенство

Эта формула называется - формула перехода к новому основанию)

Таким образом, из и больше. Так как по формуле перехода к новому основанию равен и равен

Докажем теорему о переходе к новому основанию логарифма.

Для доказательства введем обозначения =m , =n , =k (логарифм числа бэ по основанию а равен эм, логарифм числа бэ по основанию цэ равен эн, логарифм числа а по основанию цэ равен ка).Тогда по определению логарифма: число b есть а в степени m, число b есть с в степени n, число a есть с в степени k. Так то подставим её значение в при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получим, что =, но следовательно = , если основания степени равны, то равны и показатели данной степени=. Значит = вернемся к обратной замене: (логарифм числа бэ по основанию а равен отношению логарифма числа бэ по основанию цэ к логарифму числа а по основанию цэ)

Рассмотрим для данной теоремы два следствия.

Первое следствие. Пусть в данной теореме мы хотим перейти к основанию b. Тогда

(логарифм числа бэ по основанию бэ деленное на логарифм числа а по основанию бэ)

равен единице, то равен

Значит, если aи bположительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство

Следствие 2. Если a и b - положительные числа, причем а не равное единице число, то для любого числа m , не равного нулю, справедливо равенство

логарифм b по основанию а равен логарифму b в степени m по основанию a в степени m .

Докажем данное равенство справа налево. Перейдем в выражении(логарифм числа бэ в степени эм по основанию а в степени эм)к логарифму с основанием а. По свойству логарифма показатель степени подлогарифмического выражения можно вынести вперёд - перед логарифмом. =1. Получим. (дробь, в числителе эм умноженное на логарифм числа бэ по основанию а в знаменателе эм)Число m не равно нулю по условию, значит, полученную дробь можно сократить на m. Получим. Что и требовалось доказать.

Значит, для перехода к новому основанию логарифма используются три формулы

Пример 2. Решить уравнение

(логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три равен логарифму икс по основанию одна третья )

Область допустимых значений мы нашли у данного уравнения ранее. Приведем к новому основанию 3. Для этого запишем в данный логарифм в виде дроби. В числителе будет логарифм х по основанию три, в знаменателе будет логарифм одной третьей по основанию три. равен минус одному, тогда правая часть уравнения будет равна минус

Перенесем в левую часть уравнения и запишем как. По свойству, сумма логарифмов равна логарифму произведения, значит (логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три плюс логарифм икс по основанию три)можно записать как.(логарифм произведения десять икс минус девять и икс по основанию три) Выполним умножение, получим в левой части уравнения,

а в правой части — ноль запишем как, так как три в нулевой степени есть один.

Методом потенцирования получим квадратное уравнение =0. По свойству коэффициентов а+b+c=0 корни уравнения равны 1 и 0,1.

Но в области определения лежит только один корень. Это число один.

Пример 3. Вычислить. (три в степени четыре, умноженное на логарифм двух по основанию три плюс логарифм корня из двух по основанию пять умноженное на логарифм двадцати пяти по основанию четыре)

Для начала рассмотрим степень числа три. Если степени умножаются, то выполняется действие возведение степени в степень, таким образом, степень числа три можно записать как три в степени в четвёртой степени. Логарифмы в произведении с разным основанием, удобнее — логарифм с основанием четыре привести к основанию, связанному с пятью. Поэтому заменим на тождественно равное ему выражение. По формуле перехода к новому основанию.

По основному логарифмическому тождеству (а в степени логарифм числа бэ по основанию а равен числу бэ)

вместо получим В выражении выделим квадрат основания и подлогарифмического выражения. Получим. По формуле перехода к новому основанию, она записана справа от решения, получим вместо только. Квадратный корень из двух запишем как два в степени одна вторая и по свойству логарифма вынесем показатель степени перед логарифмом. Получим выражение. Таким образом, вычисляемое выражение примет вид…

При этом это 16, а произведение равно одному, значит значение выражения равно 16,5.

Пример 4. Вычислить, если lg2=a , lg3=b

Для вычисления воспользуемся свойствами логарифма и формулами перехода к новому основанию.

18 представим в виде произведения шести и трех. Логарифм произведения равен сумме логарифмов-множителей, то есть, где равен 1. Так как нам известны десятичные логарифмы, то перейдем от логарифма с основанием 6 к десятичному логарифму, получим дробь в числителе которой (десятичный логарифм трех) а в знаменателе (десятичный логарифм шести). При этом можно уже заменить на b. Разложим шесть на множители два и три. Полученное произведение запишем в виде суммы логарифмов lg2 и lg 3. Заменим их соответственно на aи b. Выражение примет вид: . Если данное выражение преобразовать в дробь путём приведения к общему знаменателю, то ответ получится

Для успешного выполнения заданий, связанных с переходом к новому основанию логарифма, необходимо знать формулы перехода к новому основанию логарифма

1. , где a,b,c-положительные числа, a , c
2. , где a,b-положительные числа, a , b
3. , где a,b-положительные числа a , m

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения .

Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) - это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.

Логарифмы , примеры:

log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм - это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм - также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828... - иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

• Основное логарифмическое тождество
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логарифм произведения равен сумме логарифмов
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Логарифм частного равен разности логарифмов
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

  Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b

  Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  если m = n, получим log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Переход к новому основанию
  log a b = log c b/log c a,

  если c = b, получим log b b = 1

  тогда log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: " ". Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

1. Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}} . Однако он не годится для некоторых особых случаев:

   • Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, log ⁡ (− 3) {\displaystyle \log(-3)} или log 4 ⁡ (− 5) {\displaystyle \log _{4}(-5)} ). В этом случае напишите "нет решения".
   • Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался ln ⁡ (0) {\displaystyle \ln(0)} , запишите "нет решения".
   • Логарифм единицы по любому основанию ( log ⁡ (1) {\displaystyle \log(1)} ) всегда равен нулю, поскольку x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} для всех значений x . Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
   • Если логарифмы имеют разные основания, например l o g 3 (x) l o g 4 (a) {\displaystyle {\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}} , и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.

2. Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)} .

   • Пример 1: рассмотрим выражение log ⁡ 16 log ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}} .
     Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)} .
   • Эта формула "замены основания" логарифма выводится из основных свойств логарифмов.

3. При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти log a ⁡ (x) {\displaystyle \log _{a}(x)} , представьте себе выражение " a ? = x {\displaystyle a^{?}=x} ", то есть задайтесь следующим вопросом: "В какую степень необходимо возвести a , чтобы получить x ?". Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.

   • Пример 1 (продолжение): Перепишите в виде 2 ? = 16 {\displaystyle 2^{?}=16} . Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака "?". Это можно сделать методом проб и ошибок:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=2*2=4}
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=4*2=8}
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=8*2=16}
     Итак, искомым числом является 4: log 2 ⁡ (16) {\displaystyle \log _{2}(16)} = 4 .

4. Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:

   • пример 2: чему равно log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}} ?
   • Преобразуем данное выражение в один логарифм: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)} . Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание 3 исчезает; это справедливо для любого основания.
   • Перепишем выражение в виде 7 ? = 58 {\displaystyle 7^{?}=58} и попробуем найти значение?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 {\displaystyle 7^{2}=7*7=49}
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 {\displaystyle 7^{3}=49*7=343}
     Поскольку 58 находится между этими двумя числами, не выражается целым числом.
   • Оставляем ответ в логарифмическом виде: log 7 ⁡ (58) {\displaystyle \log _{7}(58)} .