5. Encontrando a área da superfície dos corpos de revolução

Seja a curva AB o gráfico da função y = f(x) ≥ 0, onde x [a; b], e a função y \u003d f (x) e sua derivada y "\u003d f" (x) são contínuas neste segmento.

Vamos encontrar a área S da superfície formada pela rotação da curva AB em torno do eixo Ox (Fig. 8).

Aplicamos o esquema II (método diferencial).

Através de um ponto arbitrário x [a; b] vamos traçar um plano P, perpendicular ao eixo Ox. O plano P intercepta a superfície de revolução ao longo de um círculo com raio y - f(x). O valor S da superfície da parte da figura de revolução situada à esquerda do plano é uma função de x, ou seja. s = s(x) (s(a) = 0 e s(b) = S).

Vamos dar ao argumento x um incremento Δх = dх. Pelo ponto x + dx [a; b] também desenhe um plano perpendicular ao eixo x. A função s = s(x) receberá um incremento de Δs, mostrado na figura como um "cinto".

Vamos encontrar a diferencial da área ds, substituindo a figura formada entre as seções por um cone truncado, cuja geratriz é igual a dl, e os raios das bases são iguais a y e y + dy. Sua área de superfície lateral é: = 2ydl + dydl.

Descartando o produto dу d1 como uma ordem infinitesimal superior a ds, obtemos ds = 2уdl, ou, como d1 = dx.

Integrando a igualdade resultante no intervalo de x = a a x = b, obtemos

Se a curva AB é dada pelas equações paramétricas x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, então a fórmula para a área da superfície de revolução se torna

S=2 dt.

Exemplo: Encontre a área da superfície de uma esfera de raio R.

S=2 =

6. Encontrando o trabalho de uma força variável

Trabalho de força variável

Deixe o ponto material M mover-se ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força variável F = F(x) dirigida paralelamente a este eixo. O trabalho realizado pela força ao mover o ponto M da posição x = a para a posição x = b (a

Que trabalho deve ser feito para esticar a mola em 0,05 m se uma força de 100 N esticar a mola em 0,01 m?

De acordo com a lei de Hooke, a força elástica que estica a mola é proporcional a esse alongamento x, ou seja, F = kx, onde k é o coeficiente de proporcionalidade. De acordo com a condição do problema, a força F = 100 N estica a mola em x = 0,01 m; portanto, 100 = k 0,01, onde k = 10.000; portanto, F = 10000x.

O trabalho desejado com base na fórmula

A=

Encontre o trabalho que deve ser gasto para bombear líquido sobre a borda de um tanque cilíndrico vertical de altura H m e raio da base R m (Fig. 13).

O trabalho gasto para elevar um corpo de peso p a uma altura h é igual a p H. Mas as diferentes camadas do líquido no tanque estão em diferentes profundidades e a altura da elevação (até a borda do tanque) diferentes camadas não é o mesmo.

Para resolver o problema, aplicamos o esquema II (método diferencial). Introduzimos um sistema de coordenadas.

1) O trabalho gasto no bombeamento de uma camada líquida de espessura x (0 ≤ x ≤ H) do tanque é uma função de x, ou seja, A \u003d A (x), onde (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Encontramos a parte principal do incremento ΔA quando x varia de Δx = dx, ou seja. encontramos o diferencial dA da função A(x).

Em vista da pequenez de dx, assumimos que a camada líquida "elementar" está na mesma profundidade x (da borda do reservatório). Então dА = dрх, onde dр é o peso desta camada; é igual a g AV, onde g é a aceleração da gravidade, é a densidade do líquido, dv é o volume da camada líquida “elementar” (está destacado na figura), ou seja, dr = g. O volume dessa camada líquida é obviamente igual a , onde dx é a altura do cilindro (camada), é a área de sua base, ou seja, dv = .

Assim, dr = . e

3) Integrando a igualdade resultante no intervalo de x \u003d 0 a x \u003d H, encontramos

UMA

8. Cálculo de integrais usando o pacote MathCAD

Ao resolver alguns problemas aplicados, é necessário usar a operação de integração simbólica. Neste caso, o programa MathCad pode ser útil tanto na etapa inicial (é bom saber a resposta com antecedência ou saber que ela existe) quanto na etapa final (é bom verificar o resultado obtido usando a resposta de outro fonte ou a solução de outra pessoa).

Ao resolver um grande número de problemas, você pode notar alguns recursos de resolução de problemas usando o programa MathCad. Vamos tentar entender com alguns exemplos como esse programa funciona, analisar as soluções obtidas com sua ajuda e comparar essas soluções com as soluções obtidas de outras maneiras.

Os principais problemas ao usar o programa MathCad são os seguintes:

a) o programa dá a resposta não na forma de funções elementares familiares, mas na forma de funções especiais que estão longe de ser conhecidas por todos;

b) em alguns casos “recusa-se” a dar uma resposta, embora o problema tenha solução;

c) às vezes é impossível utilizar o resultado obtido devido ao seu volumoso;

d) resolve o problema de forma incompleta e não analisa a solução.

Para resolver esses problemas, é necessário usar os pontos fortes e fracos do programa.

Com sua ajuda, é fácil e simples calcular integrais de funções racionais fracionárias. Portanto, recomenda-se usar o método de substituição de variável, ou seja, pré-prepare a integral para a solução. Para estes fins, as substituições discutidas acima podem ser usadas. Deve-se também ter em mente que os resultados obtidos devem ser examinados quanto à coincidência dos domínios de definição da função original e do resultado obtido. Além disso, algumas das soluções obtidas requerem pesquisas adicionais.

O programa MathCad libera o aluno ou pesquisador do trabalho rotineiro, mas não pode liberá-lo de análises adicionais tanto na definição de um problema quanto na obtenção de algum resultado.

Neste artigo, foram consideradas as principais disposições relacionadas ao estudo de aplicações de uma integral definida no curso de matemática.

– foi realizada uma análise da base teórica para a resolução de integrais;

- o material foi submetido a sistematização e generalização.

Durante o trabalho do curso, foram considerados exemplos de problemas práticos no campo da física, geometria, mecânica.

Conclusão

Os exemplos de problemas práticos considerados acima nos dão uma ideia clara do significado de uma determinada integral para sua solubilidade.

É difícil nomear uma área científica na qual os métodos de cálculo integral, em geral, e as propriedades de uma integral definida, em particular, não sejam aplicados. Assim, no processo de fazer o trabalho do curso, consideramos exemplos de problemas práticos no campo da física, geometria, mecânica, biologia e economia. Claro, esta não é de forma alguma uma lista exaustiva de ciências que usam o método integral para encontrar um valor definido ao resolver um problema específico e estabelecer fatos teóricos.

Além disso, a integral definida é usada para estudar a própria matemática. Por exemplo, ao resolver equações diferenciais, que por sua vez dão uma contribuição indispensável para resolver problemas práticos. Podemos dizer que a integral definida é uma espécie de fundamento para o estudo da matemática. Daí a importância de saber como resolvê-los.

De todos os itens acima, fica claro por que a familiaridade com uma integral definida ocorre mesmo dentro da média Ensino Médio, onde os alunos aprendem não apenas o conceito de integral e suas propriedades, mas também algumas de suas aplicações.

Literatura

1. Volkov E.A. Métodos numéricos. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Cálculo diferencial e integral. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matemática Superior. M., Escola Superior, 1990.

I. Volumes de corpos de revolução. Estude preliminarmente o capítulo XII, p°p° 197, 198, de acordo com o livro de G. M. Fikhtengol'ts* Analise em detalhes os exemplos dados na p° 198.

508. Calcule o volume do corpo formado pela rotação da elipse em torno do eixo x.

Nesse caminho,

530. Encontre a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo Ox do arco da senóide y \u003d sin x do ponto X \u003d 0 até o ponto X \u003d It.

531. Calcule a área da superfície de um cone com altura h e raio r.

532. Calcule a área da superfície formada por

rotação do astroide x3 -) - y* - a3 em torno do eixo x.

533. Calcule a área da superfície formada pela inversão do laço da curva 18 y-x(6-x)r em torno do eixo x.

534. Encontre a superfície do toro produzida pela rotação do círculo X2 - j - (y-3)2 = 4 em torno do eixo x.

535. Calcule a área da superfície formada pela rotação do círculo X = um custo, y = asint em torno do eixo Ox.

536. Calcule a área da superfície formada pela rotação do laço da curva x = 9t2, y = St - 9t3 em torno do eixo Ox.

537. Encontre a área da superfície formada pela rotação do arco da curva x = e * sint, y = el cost em torno do eixo Ox

de t = 0 a t = -.

538. Mostre que a superfície produzida pela rotação do arco da ciclóide x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) em torno do eixo Oy, é igual a 16 u2 o2.

539. Encontre a superfície obtida pela rotação do cardióide em torno do eixo polar.

540. Encontre a área da superfície formada pela rotação da lemniscata em torno do eixo polar.

Tarefas Adicionais para o Capítulo IV

Áreas de figuras planas

541. Encontre toda a área de uma região delimitada por uma curva E eixo Oh.

542. Encontre a área da região delimitada pela curva

E eixo Oh.

543. Encontre a parte da área da região localizada no primeiro quadrante e delimitada pela curva

l eixos coordenados.

544. Encontre a área da área contida dentro

rotações:

545. Encontre a área da região limitada por um loop da curva:

546. Encontre a área da área contida dentro do loop:

547. Encontre a área da região delimitada pela curva

E eixo Oh.

548. Encontre a área da região delimitada pela curva

E eixo Oh.

549. Encontre a área da região delimitada pelo eixo Oxr

reta e curva

Se a curva é dada por equações paramétricas, então a área de superfície obtida pela rotação desta curva em torno do eixo é calculada pela fórmula . Ao mesmo tempo, a “direção do desenho” da linha, sobre a qual tantas cópias foram quebradas no artigo, é indiferente. Mas, como no parágrafo anterior, é importante que a curva esteja localizada acima de eixo de abscissa - caso contrário, a função "responsável pelo y" assumirá valores negativos e você terá que colocar um sinal de menos na frente da integral.

Exemplo 3

Calcule a área da esfera obtida girando o círculo em torno do eixo.

Solução: dos materiais do artigo sobre área e volume com uma linha dada parametricamente você sabe que as equações definem um círculo centrado na origem com raio 3.

bem e esfera , para quem esqueceu, é a superfície bola(ou superfície esférica).

Aderimos ao esquema de solução desenvolvido. Vamos encontrar as derivadas:

Vamos compor e simplificar a raiz da "fórmula":

Escusado será dizer que acabou por ser um doce. Confira para comparação como Fikhtengoltz bateu de frente com o quadrado elipsóide de revolução.

De acordo com a observação teórica, consideramos o semicírculo superior. É "desenhado" ao alterar o valor do parâmetro dentro (é fácil ver que neste intervalo), assim:

Responda:

Se resolvermos o problema em termos gerais, obtemos exatamente a fórmula escolar para a área de uma esfera, onde está o seu raio.

Algo dolorosamente simples problema, até senti vergonha .... Eu sugiro que você corrija esse bug =)

Exemplo 4

Calcule a área da superfície obtida pela rotação do primeiro arco da ciclóide em torno do eixo.

A tarefa é criativa. Tente deduzir ou intuir a fórmula para calcular a área da superfície obtida pela rotação de uma curva em torno do eixo y. E, é claro, a vantagem das equações paramétricas deve ser novamente observada - elas não precisam ser modificadas de alguma forma; não há necessidade de se preocupar em encontrar outros limites de integração.

O gráfico ciclóide pode ser visualizado na página Área e volume se a linha for definida parametricamente. A superfície de rotação será semelhante... nem sei com o que comparar... algo sobrenatural - arredondado com uma depressão pontiaguda no meio. Aqui, para o caso de rotação da ciclóide em torno do eixo, a associação instantaneamente veio à mente - uma bola de rugby oblonga.

Solução e resposta no final da lição.

Concluímos nossa fascinante revisão com um caso coordenadas polares. Sim, é uma revisão, se você olhar em livros didáticos sobre análise matemática (de Fikhtengolts, Bohan, Piskunov e outros autores), poderá obter uma boa dúzia (ou até visivelmente mais) exemplos padrão, entre os quais é bem possível que você vai encontrar o problema que você precisa.

Como calcular a área de superfície de revolução,
se a linha é dada no sistema de coordenadas polares?

Se a curva estiver definida para coordenadas polares equação , e a função tem uma derivada contínua em um determinado intervalo, então a área da superfície obtida pela rotação desta curva em torno do eixo polar é calculada pela fórmula , onde estão os valores angulares correspondentes às extremidades da curva.

De acordo com o significado geométrico do problema, o integrando , e isso é alcançado somente se ( e são conhecidos como não negativos). Portanto, é necessário considerar os valores dos ângulos da faixa, ou seja, a curva deve ser localizada acima de eixo polar e suas extensões. Como você pode ver, a mesma história dos dois parágrafos anteriores.

Exemplo 5

Calcule a área da superfície formada pela rotação do cardióide em torno do eixo polar.

Solução: o gráfico desta curva pode ser visto no Exemplo 6 da lição sobre sistema de coordenadas polares. O cardióide é simétrico em relação ao eixo polar, então consideramos sua metade superior no gap (o que, na verdade, também se deve à observação acima).

A superfície de rotação será semelhante a um alvo.

A técnica de solução é padrão. Vamos encontrar a derivada em relação a "phi":

Componha e simplifique a raiz:

Espero com os supranumerários fórmulas trigonométricas ninguém teve problemas.

Usamos a fórmula:

Entre , Consequentemente: (Eu descrevi em detalhes como se livrar adequadamente da raiz no artigo Comprimento do arco da curva).

Responda:

Uma tarefa interessante e curta para uma solução independente:

Exemplo 6

Calcule a área da cintura esférica,

O que é um cinto de bola? Coloque uma laranja redonda e sem casca na mesa e pegue uma faca. Faça dois paralelo cortado, dividindo assim a fruta em 3 partes de tamanhos arbitrários. Agora pegue o meio, no qual a polpa suculenta fica exposta dos dois lados. Este corpo é chamado camada esférica, e sua superfície delimitadora (casca de laranja) - cinto de bola.

Leitores familiarizados com coordenadas polares, apresentou facilmente o desenho do problema: a equação define um círculo centrado no pólo de raio , a partir do qual raios corte fora menor arco. Este arco gira em torno do eixo polar e, assim, uma correia esférica é obtida.

Agora você pode comer uma laranja com a consciência tranquila e o coração leve, nesta nota saborosa vamos terminar a lição, não estrague seu apetite com outros exemplos =)

Soluções e respostas:

Exemplo 2:Solução : calcule a área da superfície formada pela rotação do ramo superior em torno do eixo x. Usamos a fórmula .
Nesse caso: ;

Nesse caminho:


Responda:

Exemplo 4:Solução : use a fórmula . O primeiro arco da ciclóide é definido no segmento .
Vamos encontrar as derivadas:

Componha e simplifique a raiz:

Então a área da superfície de revolução é:

Entre , é por isso

Primeira integralintegrar por partes :

Na segunda integral usamosfórmula trigonométrica .


Responda:

Exemplo 6:Solução : use a fórmula:


Responda:

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Como calcular uma integral definida
usando a fórmula do trapézio e o método de Simpson?

Os métodos numéricos são uma seção bastante grande de matemática superior e livros didáticos sérios sobre este tópico têm centenas de páginas. Na prática, em testes, algumas tarefas são tradicionalmente propostas para resolução por métodos numéricos, e uma das tarefas comuns é o cálculo aproximado integrais definidas. Neste artigo, considerarei dois métodos para o cálculo aproximado de uma integral definida - método trapezoidal e método de simpson.

O que você precisa saber para dominar esses métodos? Parece engraçado, mas você pode não conseguir fazer integrais. E ainda não entendo o que são integrais. Dos meios técnicos, você precisará de uma microcalculadora. Sim, sim, estamos aguardando os cálculos escolares de rotina. Melhor ainda, baixe meu calculadora semiautomática para o método trapezoidal e o método Simpson. A calculadora está escrita em Excel e permitirá reduzir dez vezes o tempo de resolução e processamento de tarefas. Um manual de vídeo está incluído para bules Excel! Aliás, o primeiro vídeo com minha voz.

Primeiro, vamos nos perguntar: por que precisamos de cálculos aproximados? Parece ser possível encontrar a primitiva da função e usar a fórmula de Newton-Leibniz, calculando o valor exato de uma determinada integral. Como resposta à pergunta, vamos considerar imediatamente um exemplo de demonstração com uma imagem.

Calcular uma integral definida

Tudo ficaria bem, mas neste exemplo a integral não é tomada - antes de você não ser tomada, o chamado logaritmo integral. Essa integral existe mesmo? Vamos representar o gráfico do integrando no desenho:

Tudo está bem. Integrando contínuo no segmento e a integral definida é numericamente igual à área sombreada. Sim, isso é apenas um problema - a integral não é tomada. E nesses casos, os métodos numéricos vêm em socorro. Nesse caso, o problema ocorre em duas formulações:

1) Calcule a integral definida aproximadamente , arredondando o resultado para uma determinada casa decimal. Por exemplo, até duas casas decimais, até três casas decimais, etc. Digamos que você obtenha uma resposta aproximada de 5,347. Na verdade, pode não estar totalmente correto (na verdade, digamos que a resposta mais precisa seja 5,343). Nossa tarefa é só nisso para arredondar o resultado para três casas decimais.

2) Calcule a integral definida aproximadamente, com certa precisão. Por exemplo, calcule a integral definida aproximadamente com uma precisão de 0,001. O que isto significa? Isso significa que se uma resposta aproximada de 5,347 for obtida, então tudo as figuras devem ser de concreto armado correto. Para ser mais preciso, a resposta 5,347 deve diferir do módulo de verdade (em uma direção ou outra) em não mais que 0,001.

Existem vários métodos básicos para o cálculo aproximado de uma integral definida que ocorre em problemas:

Método Retângulo. O segmento de integração é dividido em várias partes e uma figura em degrau é construída ( gráfico de barras), que está próximo da área desejada:

Não julgue estritamente pelos desenhos, a precisão não é perfeita - eles apenas ajudam a entender a essência dos métodos.

Neste exemplo, o segmento de integração é dividido em três segmentos:
. Obviamente, quanto mais frequente a partição (quanto mais segmentos intermediários menores), maior a precisão. O método dos retângulos dá uma aproximação grosseira da área, aparentemente, portanto, é muito raro na prática (lembrei apenas um exemplo prático). A esse respeito, não considerarei o método dos retângulos e nem darei uma fórmula simples. Não por preguiça, mas pelo princípio do meu livro de soluções: o que é extremamente raro nas tarefas práticas não é considerado.

Método trapezoidal. A ideia é semelhante. O segmento de integração é dividido em vários segmentos intermediários, e o gráfico do integrando aproxima-se linha quebrada linha:

Assim, nossa área (sombreado azul) é aproximada pela soma das áreas dos trapézios (vermelho). Daí o nome do método. É fácil ver que o método do trapézio fornece uma aproximação muito melhor do que o método do retângulo (com o mesmo número de segmentos de partição). E, claro, quanto mais segmentos intermediários menores considerarmos, maior será a precisão. O método trapézio é encontrado de tempos em tempos em tarefas práticas, e neste artigo serão analisados ​​vários exemplos.

Método de Simpson (método da parábola). Esta é uma maneira mais perfeita - o gráfico do integrando é abordado não por uma linha quebrada, mas por pequenas parábolas. Quantos segmentos intermediários - tantas pequenas parábolas. Se pegarmos os mesmos três segmentos, o método de Simpson fornecerá uma aproximação ainda mais precisa do que o método do retângulo ou o método do trapézio.

Não vejo sentido em construir um desenho, pois visualmente a aproximação será sobreposta ao gráfico da função (a linha quebrada do parágrafo anterior - e mesmo assim quase coincidiu).

A tarefa de calcular uma integral definida usando a fórmula de Simpson é a tarefa mais popular na prática. E o método das parábolas receberá atenção considerável.

Superfície de revolução- uma superfície formada durante a rotação em torno de uma linha reta (eixo da superfície) de uma linha arbitrária (reta, plana ou curva espacial). Por exemplo, se uma linha reta cruza o eixo de rotação, durante sua rotação será obtida uma superfície cônica, se for paralela ao eixo - cilíndrica, se cruzar com o eixo - um hiperbolóide de revolução de uma folha. A mesma superfície pode ser obtida girando uma grande variedade de curvas. A área da superfície de revolução formada pela rotação de uma curva plana de comprimento finito em torno de um eixo que se encontra no plano da curva, mas não intercepta a curva é igual ao produto do comprimento da curva pelo comprimento de um círculo com um raio igual à distância do eixo ao centro de massa da curva. Esta afirmação é chamada de segundo teorema de Hulden, ou teorema do centróide de Pappus.

A área da superfície de revolução formada pela rotação de uma curva em torno de um eixo pode ser calculada pela fórmula

Para o caso em que a curva é dada no sistema de coordenadas polares, a fórmula é válida

Aplicações mecânicas de uma integral definida (trabalho de forças, momentos estáticos, centro de gravidade).

Cálculo do trabalho das forças

Um ponto material se move ao longo de uma curva continuamente diferenciável, enquanto uma força atua sobre ele, direcionada tangencialmente à trajetória na direção do movimento. O trabalho total realizado pela força F(s):

Se a posição de um ponto na trajetória do movimento é descrita por outro parâmetro, a fórmula assume a forma:

Cálculo de momentos estáticos e centro de gravidade
Deixe alguma massa M ser distribuída no plano de coordenadas Oxy com uma densidade p = p(y) em algum conjunto de pontos S (este pode ser um arco de uma curva ou uma figura plana limitada). Denote s(y) - a medida do conjunto especificado (comprimento ou área do arco).

Definição 2. Número é chamado de k-ésimo momento de massa M em relação ao eixo Ox.
Em k \u003d 0 M 0 \u003d M é a massa,
k \u003d 1 M 1 - momento estático,
k \u003d 2 M 2 - momento de inércia.

Momentos sobre o eixo Oy são introduzidos de forma semelhante. No espaço, os conceitos de momentos de massa em relação aos planos coordenados são introduzidos de maneira semelhante.
Se p = 1, então os momentos correspondentes são chamados geométricos. As coordenadas do centro de gravidade de uma figura plana homogênea (p - const) são determinadas pelas fórmulas:

onde M 1 y , M 1 x - momentos estáticos geométricos da figura em relação aos eixos Oy e Ox; S é a área da figura.