Onde foram consideradas as tarefas para resolver um triângulo retângulo, prometi apresentar uma técnica para memorizar as definições de seno e cosseno. Usando-o, você sempre lembrará rapidamente qual perna pertence à hipotenusa (adjacente ou oposta). Resolvi não adiar por tempo indeterminado, o material necessário está abaixo, por favor leiam 😉

O fato é que tenho observado repetidamente como os alunos do 10º ao 11º ano têm dificuldade em lembrar essas definições. Eles se lembram muito bem que a perna se refere à hipotenusa, mas qual delas- esquece e confuso. O preço de um erro, como você sabe no exame, é uma pontuação perdida.

A informação que apresentarei diretamente à matemática não tem nada a ver. Está associado ao pensamento figurativo e aos métodos de conexão verbal-lógica. Isso mesmo, eu mesmo, de uma vez por todas me lembreidados de definição. Se você ainda os esquecer, com a ajuda das técnicas apresentadas, é sempre fácil lembrar.

Deixe-me lembrá-lo das definições de seno e cosseno em um triângulo retângulo:

Cossenoângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão do cateto adjacente para a hipotenusa:

Seioângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

Então, que associações a palavra cosseno evoca em você?

Provavelmente cada um tem o seuLembre-se do link:

Assim, você terá imediatamente uma expressão em sua memória -

«… razão entre a perna ADJACENTE e a hipotenusa».

O problema com a definição de cosseno está resolvido.

Se você precisar se lembrar da definição do seno em um triângulo retângulo, lembrando-se da definição do cosseno, poderá estabelecer facilmente que o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Afinal, existem apenas duas pernas, se a perna adjacente é “ocupada” pelo cosseno, então apenas o lado oposto permanece para o seno.

E a tangente e a cotangente? Mesma confusão. Os alunos sabem que esta é a proporção de pernas, mas o problema é lembrar qual delas se refere a qual - ou oposta ao adjacente ou vice-versa.

Definições:

Tangente um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna oposta para a adjacente:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna adjacente para o oposto:

Como lembrar? Existem duas maneiras. Um também usa uma conexão lógica-verbal, o outro - matemático.

MÉTODO MATEMÁTICO

Existe tal definição - a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno de um ângulo e seu cosseno:

* Lembrando a fórmula, você sempre pode determinar que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a perna oposta e a adjacente.

Da mesma maneira.A cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cosseno de um ângulo e seu seno:

Então! Lembrando essas fórmulas, você sempre pode determinar que:

- a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a perna oposta e a adjacente

- a cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e o oposto.

MÉTODO VERBAL-LÓGICO

Sobre tangente. Lembre-se do link:

Ou seja, se você precisar lembrar a definição da tangente, usando essa conexão lógica, poderá lembrar facilmente o que é

"... a proporção da perna oposta para a adjacente"

Se se trata de cotangente, lembrando a definição de tangente, você pode facilmente expressar a definição de cotangente -

"... a proporção da perna adjacente para o oposto"

Existe uma técnica interessante para memorizar tangente e cotangente no site " Conjunto matemático " , olhar.

MÉTODO UNIVERSAL

Você pode apenas triturar.Mas, como mostra a prática, graças às conexões lógico-verbais, uma pessoa se lembra de informações por um longo tempo, e não apenas matemática.

Espero que o material tenha sido útil para você.

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Instrução

Método 1. Usando o teorema de Pitágoras. O teorema diz: o quadrado da hipotenusa é igual à soma quadrados de pernas. Segue-se que qualquer um dos lados de um triângulo retângulo pode ser calculado conhecendo seus outros dois lados (Fig. 2)

Método 2. Decorre do fato de que a mediana traçada da hipotenusa forma 3 triângulos semelhantes entre si (Fig. 3). Nesta figura, os triângulos ABC, BCD e ACD são semelhantes.

Exemplo 6: Usando círculos unitários para encontrar coordenadas

Primeiro encontramos o ângulo de referência correspondente ao ângulo dado. Em seguida, pegamos os valores de seno e cosseno do ângulo de referência e damos a eles sinais correspondentes aos valores y e x do quadrante. Em seguida, encontraremos o cosseno e o seno do ângulo dado.

Ângulo de peneira, triângulo de ângulo e raiz cúbica

Os polígonos que podem ser construídos com compasso e régua incluem.

Nota: o ângulo da peneira não pode ser plotado com compasso e régua. Multiplicando o comprimento do lado de um cubo pela raiz cúbica de 2 dá o comprimento do lado de um cubo com o dobro do volume. Usando a teoria inovadora do matemático francês Évariste Galois, pode-se mostrar que para os três problemas clássicos, a construção com um círculo e uma régua é impossível.

A hipotenusa é o lado de um triângulo retângulo que é oposto ao ângulo de 90 graus. Para calcular seu comprimento, basta conhecer o comprimento de um dos catetos e o valor de um dos ângulos agudos do triângulo.

Lembre-se: a construção do ângulo de três componentes e da raiz cúbica não é possível com compasso e régua.

Por outro lado, a solução da equação do terceiro grau de acordo com a fórmula Cardano pode ser representada pela divisão do ângulo e da raiz cúbica. No futuro, construiremos algum ângulo com um círculo e uma régua. Porém, após o triângulo deste ângulo e a determinação da raiz cúbica, a finalização da construção do quadrado da peneira pode ser feita com auxílio de compasso e régua.

Construção de um deck de treliça de acordo com este cálculo

A formulação algébrica do problema de construção leva a uma equação cuja análise estrutural fornecerá informações adicionais sobre a construção da estrutura ternária. A razão de um para um de um ângulo para seu cosseno é usada aqui: se a magnitude do ângulo for conhecida, o comprimento do cosseno do ângulo pode ser construído exclusivamente no círculo unitário e vice-versa.

Instrução

Com uma perna conhecida e um ângulo agudo de um triângulo retângulo, o tamanho da hipotenusa pode ser igual à razão da perna para o cosseno / seno desse ângulo, se esse ângulo for oposto / adjacente a ele:

h = C1(ou C2)/sina;

h = С1(ou С2)/cosα.

Exemplo: Dado um triângulo retângulo ABC com hipotenusa AB e ângulo reto C. Seja o ângulo B de 60 graus e o ângulo A de 30 graus. O comprimento do cateto BC é 8 cm. Encontre o comprimento da hipotenusa AB. Para fazer isso, você pode usar qualquer um dos métodos sugeridos acima:

Esta tarefa individual permite que você vá da definição do ângulo à definição do cosseno do ângulo. A seguir, 3 φ denota o ângulo a ser dividido. Assim, φ é o ângulo, cujo valor deve ser determinado para dados 3 φ. Começando com compostos conhecidos da trigonometria.

Segue em um determinado ângulo 3 φ. Uma consideração algébrica da solubilidade de uma equação tridimensional leva diretamente à questão da possibilidade de construção de soluções e, conseqüentemente, à questão da possibilidade ou impossibilidade de um ângulo triplo construtivo de um determinado ângulo.

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sen30 = 8 cm.

A hipotenusa é o lado de um triângulo retângulo que é oposto ao ângulo reto. É o maior lado de um triângulo retângulo. Você pode calculá-lo usando o teorema de Pitágoras ou usando as fórmulas de funções trigonométricas.

O valor do ângulo de saída tem grande influência na possibilidade de ligar o terceiro ângulo, pois este, como termo absoluto, determina decisivamente o tipo de soluções na equação tridimensional. Se uma equação de triangulação tem pelo menos uma solução real que pode ser obtida por operações racionais ou um padrão de raiz quadrada para um determinado ângulo inicial, essa solução é construtiva.

Breidenbach formulou como critério que o ângulo de três segundos só pode ser interpretado em uma solução racional de uma equação de três partes. Se tal solução não estiver disponível, o problema da construção em três partes é irreconciliável com o compasso e a régua. A análise de cluster é uma técnica geral para reunir pequenos grupos a partir de um grande conjunto de dados. Semelhante à análise discriminante, a análise de cluster também é usada para classificar observações em grupos. Por outro lado, a análise discriminatória requer o conhecimento das pertencimentos do grupo nos casos usados ​​para derivar a regra de classificação.

Instrução

As pernas são chamadas de lados de um triângulo retângulo adjacente a um ângulo reto. Na figura, as pernas são designadas como AB e BC. Sejam dados os comprimentos de ambas as pernas. Vamos denotá-los como |AB| e |BC|. Para encontrar o comprimento da hipotenusa |AC|, usamos o teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, ou seja, na notação do nosso desenho |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Da fórmula obtemos que o comprimento da hipotenusa AC é encontrado como |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

A análise de agrupamentos é um método mais primitivo porque não faz suposições sobre o número de grupos ou a participação no grupo. Classificação A análise de cluster fornece uma maneira de descobrir relacionamentos potenciais e criar uma estrutura sistemática em um grande número de variáveis ​​e observações. A análise de agrupamento hierárquico é o principal método estatístico para encontrar agrupamentos de casos relativamente homogêneos com base nas características medidas. Ele começa com cada caso como um cluster separado.

Os clusters são então mesclados sequencialmente, o número de clusters diminuindo a cada etapa até que apenas um cluster permaneça. O método de agrupamento usa diferenças entre objetos para formar agrupamentos. A análise de cluster hierárquica é melhor para amostras pequenas.

Considere um exemplo. Sejam os comprimentos das pernas |AB| = 13, |BC| = 21. Pelo teorema de Pitágoras, obtemos que |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. do número 610: |AC| = √610. Usando a tabela de quadrados de inteiros, descobrimos que o número 610 não é um quadrado perfeito de nenhum inteiro. Para obter o valor final do comprimento da hipotenusa, vamos tentar tirar um quadrado inteiro sob o sinal da raiz. Para fazer isso, decompomos o número 610 em fatores. 610 \u003d 2 * 5 * 61. De acordo com a tabela de números primos, vemos que 61 é um número primo. Portanto, a redução adicional do número √610 é impossível. Obtemos a resposta final |AC| = √610.
Se o quadrado da hipotenusa fosse, por exemplo, 675, então √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Se tal conversão for possível, faça uma verificação inversa - eleve o resultado ao quadrado e compare com o valor original.

A análise de cluster hierárquica é apenas uma forma de observar a formação de grupos de variáveis ​​homogêneas. Não há uma maneira específica de definir o número de clusters para sua análise. Você pode precisar observar o dendrograma, bem como as características dos clusters e, em seguida, ajustar o número em etapas para obter uma boa solução de cluster.

Quando as variáveis ​​são medidas em escalas diferentes, você tem três maneiras de padronizar as variáveis. Como resultado, todas as variáveis ​​com proporções aproximadamente iguais contribuem para a medição da distância, mesmo que você possa perder informações sobre a variância das variáveis.

Deixe-nos saber uma das pernas e o ângulo adjacente a ela. Por definição, seja a perna |AB| e ângulo α. Então podemos usar a fórmula para a função trigonométrica cosseno - o cosseno do ângulo é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Aqueles. em nossa notação cos α = |AB| / |AC|. A partir daqui, obtemos o comprimento da hipotenusa |AC| = |AB| / cosα.
Se conhecermos a perna |BC| e ângulo α, então usamos a fórmula para calcular o seno do ângulo - o seno do ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa: sen α = |BC| / |AC|. Obtemos que o comprimento da hipotenusa é encontrado como |AC| = |BC| / cosα.

Distância euclidiana: A distância euclidiana é o método de medição mais comum. Distância Euclidiana Quadrada: A distância Euclidiana Quadrada focaliza a atenção em objetos que estão mais distantes. Distância dos quarteirões da cidade: Tanto os quarteirões quanto a distância euclidiana são casos especiais da métrica de Minkowski. Enquanto a distância euclidiana corresponde ao comprimento do caminho mais curto entre dois pontos, a distância do quarteirão é a soma das distâncias ao longo de cada dimensão. Distância de correlação de Pearson A diferença entre 1 e o coeficiente cosseno de duas observações O coeficiente cosseno é o cosseno do ângulo entre os dois vetores. Distância de Jaccard A diferença entre 1 e o coeficiente de Jacquard para duas observações Para dados binários, o coeficiente de Jaccard é igual à razão entre a quantidade de sobreposição e a soma das duas observações. Vizinho mais próximo Este método assume que a distância entre dois clusters corresponde à distância entre feições em sua vizinhança mais próxima. Best Neighbor Neste método, a distância entre dois clusters corresponde à distância máxima entre dois objetos em clusters diferentes. Group Average: Com este método, a distância entre dois clusters corresponde à distância média entre todos os pares de objetos em diferentes clusters. Este método é geralmente recomendado, pois contém uma quantidade maior de informações. Mediana Este método é idêntico ao método do centroide, exceto que não é ponderado. Então, para cada caso, a distância euclidiana quadrática para as médias do cluster é calculada. O cluster a ser mesclado é aquele que aumenta a soma pelo menos. Ou seja, esse método minimiza o aumento da soma total das distâncias quadradas dentro dos clusters. Este método tende a criar clusters menores.

• Esta é uma distância geométrica no espaço multidimensional.
• É adequado apenas para variáveis ​​contínuas.
• Distância do cosseno O cosseno do ângulo entre dois vetores de valor.
• Este método é recomendado ao desenhar clusters desenhados.
• Se os grupos desenhados formarem "aglomerados" únicos, o método é adequado.
• Um centróide de cluster é um ponto médio em um espaço multidimensional.
• Não deve ser usado se os tamanhos de cluster forem muito diferentes.
• Os valores médios de Ward para todas as variáveis ​​são calculados para cada cluster.
• Essas distâncias são somadas para todos os casos.

A ideia é minimizar a distância entre os dados e o cluster de clusters correspondente.

Para maior clareza, considere um exemplo. Seja o comprimento da perna |AB| = 15. E o ângulo α = 60°. Obtemos |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Considere como você pode verificar seu resultado usando o teorema de Pitágoras. Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento da segunda perna |BC|. Usando a fórmula da tangente do ângulo tg α = |BC| / |AC|, obtemos |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Em seguida, aplicamos o teorema de Pitágoras, obtemos 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. A verificação é feita.

A função seno é definida a partir do conceito de seno, dado que o ângulo deve sempre ser expresso em radianos. Podemos observar várias características da função senoidal.

• Seu domínio contém todos os reais.
• Neste caso, diz-se que a função é periódica, com período 2π.

A função cosseno é definida a partir do conceito de cosseno, dado que o ângulo deve sempre ser expresso em radianos.

Podemos observar várias características da função cosseno. Assim, este é um período periódico de 2π. . A restrição não remove a generalidade da fórmula, pois sempre podemos reduzir os ângulos do segundo, terceiro e quarto quadrantes ao primeiro. Um exercício. - Calcule o seno de 15º sem usar uma calculadora.

Após calcular a hipotenusa, verifique se o valor resultante satisfaz o teorema de Pitágoras.

Fontes:

• Tabela de números primos de 1 a 10000

Pernas nomeie os dois lados curtos de um triângulo retângulo que compõem seu vértice, cujo valor é 90 °. O terceiro lado desse triângulo é chamado de hipotenusa. Todos esses lados e ângulos do triângulo estão interligados por certas relações que permitem calcular o comprimento da perna se vários outros parâmetros forem conhecidos.

Cosseno da soma de dois ângulos

Cosseno da diferença de dois ângulos

Para obter a fórmula, podemos proceder da mesma forma que na seção anterior, mas veremos outra demonstração muito simples baseada no teorema de Pitágoras. Simplificando e alterando o sinal, temos Soma e diferença tangente de dois ângulos.

Um exercício. No artigo de hoje, veremos um subconjunto muito específico: funções trigonométricas. Para aproveitar tudo o que a matemática tem a oferecer, devemos importá-la. Veremos outros estilos de importação no próximo artigo, cada um com suas próprias vantagens e desvantagens. Mas com esta instrução simples, você já tem acesso a todo o namespace do módulo matemático preenchido com dezenas de funções, incluindo aquelas com as quais vamos lidar hoje.

Instrução

Use o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da perna (A) se você souber o comprimento dos outros dois lados (B e C) de um triângulo retângulo. Este teorema afirma que a soma dos comprimentos dos catetos ao quadrado é igual ao quadrado da hipotenusa. Segue-se daí que o comprimento de cada um dos catetos é igual à raiz quadrada da diferença entre os quadrados dos comprimentos da hipotenusa e o segundo cateto: A=√(C²-B²).

Basicamente, precisaremos calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo, bem como suas funções inversas. Além disso, gostaríamos de poder trabalhar em radianos e graus para que também possamos usar as funções de conversão apropriadas.

Você deve ter em mente que essas funções esperam que o argumento seja fornecido em radianos, não em graus. Para este fim, você estará interessado em saber que você tem a seguinte constante. Portanto, podemos usar essa expressão em vez de um valor numérico.

Não há função direta para a cossecante, secante e cotangente, pois isso não é necessário, pois são simplesmente o inverso do seno, cosseno e tangente, respectivamente. Como antes, o ângulo retornado também está em radianos. Outra função útil da matemática nos permite conhecer o valor da hipotenusa de um triângulo retângulo dados seus catetos, o que nos permite calcular a raiz quadrada da soma dos quadrados deles.

Use a definição da função trigonométrica direta "seno" para um ângulo agudo, se você souber o valor do ângulo (α) oposto ao cateto calculado e o comprimento da hipotenusa (C). Esta definição afirma que o seno desse ângulo conhecido é igual à razão entre o comprimento da perna desejada e o comprimento da hipotenusa. Isto significa que o comprimento do cateto desejado é igual ao produto do comprimento da hipotenusa pelo seno do ângulo conhecido: A=C∗sen(α). Para os mesmos valores conhecidos, você pode usar a definição da função cossecante e calcular o comprimento desejado dividindo o comprimento da hipotenusa pela cossecante do ângulo conhecido A=C/cosec(α).

Use a definição da função trigonométrica direta cosseno se, além do comprimento da hipotenusa (C), o valor do ângulo agudo (β) adjacente ao cateto desejado também for conhecido. O cosseno desse ângulo é definido como a razão dos comprimentos do cateto desejado e da hipotenusa, e disso podemos concluir que o comprimento do cateto é igual ao produto do comprimento da hipotenusa pelo cosseno do cateto conhecido ângulo: A=C∗cos(β). Você pode usar a definição da função secante e calcular o valor desejado dividindo o comprimento da hipotenusa pela secante do ângulo conhecido A=C/sec(β).

Deduza a fórmula necessária de uma definição semelhante para a derivada da função trigonométrica tangente, se, além do valor do ângulo agudo (α) situado em frente à perna desejada (A), o comprimento da segunda perna (B) é conhecido. A tangente do ângulo oposto à perna desejada é a razão entre o comprimento desta perna e o comprimento da segunda perna. Isso significa que o valor desejado será igual ao produto do comprimento da perna conhecida pela tangente do ângulo conhecido: A=B∗tg(α). A partir dessas mesmas quantidades conhecidas, outra fórmula pode ser derivada usando a definição da função cotangente. Neste caso, para calcular o comprimento da perna, será necessário encontrar a razão entre o comprimento da perna conhecida e a cotangente do ângulo conhecido: A=B/ctg(α).

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A palavra "katet" veio do grego para o russo. Na tradução exata, significa um fio de prumo, ou seja, perpendicular à superfície da terra. Na matemática, as pernas são chamadas de lados que formam um ângulo reto de um triângulo retângulo. O lado oposto a este ângulo é chamado de hipotenusa. O termo "perna" também é usado em arquitetura e tecnologia de soldagem.

Desenhe um triângulo retângulo ACB. Rotule seus catetos a e b, e rotule sua hipotenusa c. Todos os lados e ângulos de um triângulo retângulo estão ligados por certas relações. A razão entre o cateto oposto a um dos ângulos agudos e a hipotenusa é chamada de seno desse ângulo. Neste triângulo sinCAB=a/c. Cosseno é a razão para a hipotenusa do cateto adjacente, que é cosCAB=b/c. As relações inversas são chamadas de secante e cossecante.

A secante desse ângulo é obtida dividindo-se a hipotenusa pelo cateto adjacente, ou seja, secCAB=c/b. Acontece o inverso do cosseno, ou seja, pode ser expresso pela fórmula secCAB=1/cosSAB.
A cossecante é igual ao quociente da divisão da hipotenusa pelo cateto oposto e é o recíproco do seno. Pode ser calculado usando a fórmula cosecCAB=1/sinCAB

Ambas as pernas são conectadas por tangente e cotangente. NO este caso a tangente será a razão entre o lado a e o lado b, ou seja, o cateto oposto ao adjacente. Essa razão pode ser expressa pela fórmula tgCAB=a/b. Assim, a razão inversa será a cotangente: ctgCAB=b/a.

A razão entre os tamanhos da hipotenusa e ambas as pernas foi determinada pelo antigo matemático grego Pitágoras. O teorema que leva seu nome ainda é usado pelas pessoas. Diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja, c2 \u003d a2 + b2. Assim, cada cateto será igual à raiz quadrada da diferença entre os quadrados da hipotenusa e o outro cateto. Esta fórmula pode ser escrita como b=√(c2-a2).

O comprimento da perna também pode ser expresso através das relações que você conhece. De acordo com os teoremas dos senos e cossenos, o cateto é igual ao produto da hipotenusa por uma dessas funções. Também pode ser expresso em termos de tangente ou cotangente. A perna a pode ser encontrada, por exemplo, pela fórmula a \u003d b * tan CAB. Exatamente da mesma maneira, dependendo da tangente ou cotangente dada, a segunda perna é determinada.

Na arquitetura, o termo "perna" também é usado. É aplicado a uma capital jônica e denota uma linha de prumo no meio de suas costas. Ou seja, neste caso, este termo denota uma perpendicular a uma dada linha.

Na tecnologia de soldagem, existe o conceito de "solda de filete de perna". Como em outros casos, esta é a distância mais curta. Aqui estamos falando sobre a folga entre uma das peças a serem soldadas na borda da costura localizada na superfície da outra peça.

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Fontes:

• qual é a perna e a hipotenusa

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Nota

Ao calcular os lados de um triângulo retângulo, o conhecimento de suas características pode desempenhar:
1) Se o cateto de um ângulo reto se opõe a um ângulo de 30 graus, então é igual à metade da hipotenusa;
2) A hipotenusa é sempre mais longa que qualquer um dos catetos;
3) Se um círculo está circunscrito em torno de um triângulo retângulo, então seu centro deve estar no meio da hipotenusa.

Onde foram consideradas as tarefas para resolver um triângulo retângulo, prometi apresentar uma técnica para memorizar as definições de seno e cosseno. Usando-o, você sempre lembrará rapidamente qual perna pertence à hipotenusa (adjacente ou oposta). Resolvi não adiar por tempo indeterminado, o material necessário está abaixo, por favor leiam 😉

O fato é que tenho observado repetidamente como os alunos do 10º ao 11º ano têm dificuldade em lembrar essas definições. Eles se lembram muito bem que a perna se refere à hipotenusa, mas qual deles eles esquecem e confuso. O preço de um erro, como você sabe no exame, é uma pontuação perdida.

A informação que apresentarei diretamente à matemática não tem nada a ver. Está associado ao pensamento figurativo e aos métodos de conexão verbal-lógica. Isso mesmo, eu mesmo, de uma vez por todas me lembrei dados de definição. Se você ainda os esquecer, com a ajuda das técnicas apresentadas, é sempre fácil lembrar.

Deixe-me lembrá-lo das definições de seno e cosseno em um triângulo retângulo:

Cossenoângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão do cateto adjacente para a hipotenusa:

Seioângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

Então, que associações a palavra cosseno evoca em você?

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Assim, você terá imediatamente uma expressão em sua memória -

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O problema com a definição de cosseno está resolvido.

Se você precisar se lembrar da definição do seno em um triângulo retângulo, lembrando-se da definição do cosseno, poderá estabelecer facilmente que o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Afinal, existem apenas duas pernas, se a perna adjacente é “ocupada” pelo cosseno, então apenas o lado oposto permanece para o seno.

E a tangente e a cotangente? Mesma confusão. Os alunos sabem que esta é a proporção de pernas, mas o problema é lembrar qual delas se refere a qual - ou oposta ao adjacente ou vice-versa.

Definições:

Tangente um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna oposta para a adjacente:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna adjacente para o oposto:

Como lembrar? Existem duas maneiras. Um também usa uma conexão lógica-verbal, o outro - matemático.

MÉTODO MATEMÁTICO

Existe tal definição - a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno de um ângulo e seu cosseno:

* Lembrando a fórmula, você sempre pode determinar que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a perna oposta e a adjacente.

Da mesma maneira. A cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cosseno de um ângulo e seu seno:

Então! Lembrando essas fórmulas, você sempre pode determinar que:

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

A cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.

MÉTODO VERBAL-LÓGICO

Sobre tangente. Lembre-se do link:

Ou seja, se você precisar lembrar a definição da tangente, usando essa conexão lógica, poderá lembrar facilmente o que é

"... a proporção da perna oposta para a adjacente"

Se se trata de cotangente, lembrando a definição de tangente, você pode facilmente expressar a definição de cotangente -

"... a proporção da perna adjacente para o oposto"

Existe uma técnica interessante para memorizar tangente e cotangente no site " Conjunto matemático " , olhar.

MÉTODO UNIVERSAL

Você pode apenas triturar. Mas, como mostra a prática, graças às conexões lógico-verbais, uma pessoa se lembra de informações por um longo tempo, e não apenas matemática.

Espero que o material tenha sido útil para você.

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Nível médio

Triângulo reto. Guia ilustrado completo (2019)

TRIÂNGULO DIREITO. PRIMEIRO NÍVEL.

Nos problemas, um ângulo reto não é necessário - o inferior esquerdo, então você precisa aprender a reconhecer um triângulo retângulo nesta forma,

e em tal

e em tal

O que é bom sobre um triângulo retângulo? Bem... em primeiro lugar, há belos nomes especiais para suas festas.

Atenção ao desenho!

Lembre-se e não confunda: pernas - duas, e a hipotenusa - apenas uma(o único, único e mais longo)!

Bem, discutimos os nomes, agora o mais importante: o Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras.

Este teorema é a chave para resolver muitos problemas envolvendo um triângulo retângulo. Foi comprovado por Pitágoras em tempos completamente imemoriais e, desde então, trouxe muitos benefícios a quem o conhece. E a melhor coisa sobre ela é que ela é simples.

Então, Teorema de Pitágoras:

Você se lembra da piada: “Calças pitagóricas são iguais em todos os lados!”?

Vamos desenhar essas calças bem pitagóricas e olhar para elas.

Parece mesmo um short? Bem, em que lados e onde eles são iguais? Por que e de onde veio a piada? E este chiste está ligado precisamente ao teorema de Pitágoras, mais precisamente à forma como o próprio Pitágoras formulou o seu teorema. E ele formulou assim:

"Soma área de praças, construído sobre as pernas, é igual a área quadrada construída sobre a hipotenusa.

Não soa um pouco diferente, não é? E assim, quando Pitágoras desenhou a afirmação de seu teorema, surgiu exatamente essa imagem.

Nesta imagem, a soma das áreas dos quadrados pequenos é igual à área do quadrado grande. E para que as crianças se lembrem melhor que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, alguém espirituoso inventou essa piada sobre as calças pitagóricas.

Por que estamos formulando agora o teorema de Pitágoras

Pitágoras sofria e falava de praças?

Você vê, nos tempos antigos não havia... álgebra! Não havia sinais e assim por diante. Não havia inscrições. Você pode imaginar o quão terrível foi para os pobres alunos antigos memorizarem tudo com palavras??! E podemos ficar contentes por termos uma formulação simples do teorema de Pitágoras. Vamos repetir novamente para lembrar melhor:

Agora deve ser fácil:

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Bem, o teorema mais importante sobre um triângulo retângulo foi discutido. Se você está interessado em como isso é provado, leia os próximos níveis da teoria e agora vamos avançar... para a floresta escura... da trigonometria! Às terríveis palavras seno, cosseno, tangente e cotangente.

Seno, cosseno, tangente, cotangente em um triângulo retângulo.

Na verdade, nem tudo é tão assustador. Claro, a definição "real" de seno, cosseno, tangente e cotangente deve ser analisada no artigo. Mas você realmente não quer, não é? Podemos nos alegrar: para resolver problemas sobre um triângulo retângulo, você pode simplesmente preencher as seguintes coisas simples:

Por que é tudo sobre o canto? Onde é o canto? Para entender isso, você precisa saber como as afirmações de 1 a 4 são escritas em palavras. Veja, entenda e lembre-se!

1.
Na verdade soa assim:

E o ângulo? Existe uma perna oposta ao canto, ou seja, a perna oposta (para o canto)? Claro que tem! Isso é um cateto!

Mas e o ângulo? Olhe atentamente. Qual perna é adjacente ao canto? Claro, o gato. Então, para o ângulo, a perna é adjacente, e

E agora, atenção! Veja o que temos:

Veja que ótimo:

Agora vamos passar para tangente e cotangente.

Como colocar isso em palavras agora? Qual é a perna em relação ao canto? Oposto, é claro - "está" em frente ao canto. E o cateto? Ao lado da esquina. Então o que conseguimos?

Viu como o numerador e o denominador estão invertidos?

E agora novamente os cantos e fiz a troca:

Resumo

Vamos escrever brevemente o que aprendemos.

Teorema de Pitágoras:

O principal teorema do triângulo retângulo é o teorema de Pitágoras.

teorema de Pitágoras

A propósito, você se lembra bem do que são as pernas e a hipotenusa? Se não, então olhe para a imagem - atualize seu conhecimento

É possível que você já tenha usado o teorema de Pitágoras muitas vezes, mas você já se perguntou por que esse teorema é verdadeiro. Como você provaria isso? Vamos fazer como os gregos antigos. Vamos desenhar um quadrado com um lado.

Você vê como habilmente dividimos seus lados em segmentos de comprimentos e!

Agora vamos conectar os pontos marcados

Aqui, no entanto, notamos outra coisa, mas você mesmo olha para a foto e pensa no porquê.

Qual é a área do quadrado maior? Corretamente, . E a área menor? É claro, . A área total dos quatro cantos permanece. Imagine que pegamos dois deles e nos encostamos um no outro com hipotenusas. O que aconteceu? Dois retângulos. Assim, a área de "estacas" é igual.

Vamos juntar tudo agora.

Vamos transformar:

Então visitamos Pitágoras - provamos seu teorema de uma maneira antiga.

Triângulo retângulo e trigonometria

Para um triângulo retângulo, valem as seguintes relações:

O seno de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa

O cosseno de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

A cotangente de um ângulo agudo é igual à razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.

E mais uma vez, tudo isso em forma de prato:

É muito confortável!

Sinais de igualdade de triângulos retângulos

I. Em duas pernas

II. Por perna e hipotenusa

III. Por hipotenusa e ângulo agudo

4. Ao longo da perna e ângulo agudo

a)

b)

Atenção! Aqui é muito importante que as pernas sejam "correspondentes". Por exemplo, se for assim:

ENTÃO OS TRIÂNGULOS NÃO SÃO IGUAIS, apesar de terem um ângulo agudo idêntico.

Preciso em ambos os triângulos a perna era adjacente, ou em ambos - oposta.

Você já reparou como os sinais de igualdade de triângulos retângulos diferem dos sinais usuais de igualdade de triângulos? Veja o tópico “e preste atenção ao fato de que, para a igualdade de triângulos “comuns”, você precisa da igualdade de seus três elementos: dois lados e um ângulo entre eles, dois ângulos e um lado entre eles ou três lados. Mas para a igualdade de triângulos retângulos, apenas dois elementos correspondentes são suficientes. É ótimo, certo?

Aproximadamente a mesma situação com sinais de semelhança de triângulos retângulos.

Sinais de semelhança de triângulos retângulos

I. Canto agudo

II. Em duas pernas

III. Por perna e hipotenusa

Mediana em um triângulo retângulo

Por que é tão?

Considere um retângulo inteiro em vez de um triângulo retângulo.

Vamos desenhar uma diagonal e considerar um ponto - o ponto de intersecção das diagonais. O que você sabe sobre as diagonais de um retângulo?

E o que se segue disso?

Então aconteceu que

1. - mediana:

Lembre-se deste fato! Ajuda muito!

O que é ainda mais surpreendente é que o inverso também é verdadeiro.

Que bem pode ser ganho com o fato de que a mediana desenhada para a hipotenusa é igual à metade da hipotenusa? Vamos olhar para a imagem

Olhe atentamente. Temos: , ou seja, as distâncias do ponto aos três vértices do triângulo acabaram sendo iguais. Mas em um triângulo há apenas um ponto, as distâncias a partir das quais todos os três vértices do triângulo são iguais, e este é o CENTRO DO CIRCO descrito. Então o que aconteceu?

Então vamos começar com este "além disso...".

Vejamos i.

Mas em triângulos semelhantes todos os ângulos são iguais!

O mesmo pode ser dito sobre e

Agora vamos desenhar juntos:

Que utilidade pode ser tirada dessa semelhança "tripla".

Bem, por exemplo - duas fórmulas para a altura de um triângulo retângulo.

Escrevemos as relações das partes correspondentes:

Para encontrar a altura, resolvemos a proporção e obtemos primeira fórmula "Altura em um triângulo retângulo":

Então, vamos aplicar a semelhança: .

O que vai acontecer agora?

Novamente resolvemos a proporção e obtemos a segunda fórmula:

Ambas as fórmulas devem ser lembradas muito bem e aquela que for mais conveniente de aplicar. Vamos escrevê-los novamente.

Teorema de Pitágoras:

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:.

Sinais de igualdade de triângulos retângulos:

• em duas pernas:
• ao longo da perna e hipotenusa: ou
• ao longo da perna e do ângulo agudo adjacente: ou
• ao longo da perna e o ângulo agudo oposto: ou
• por hipotenusa e ângulo agudo: ou.

Sinais de semelhança de triângulos retângulos:

• um canto afiado: ou
• da proporcionalidade das duas pernas:
• da proporcionalidade do cateto e da hipotenusa: ou.

Seno, cosseno, tangente, cotangente em um triângulo retângulo

• O seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
• O cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
• A tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o adjacente:
• A cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e o oposto:.

Altura de um triângulo retângulo: ou.

Em um triângulo retângulo, a mediana traçada a partir do vértice do ângulo reto é igual à metade da hipotenusa: .

Área de um triângulo retângulo:

• através dos cateteres:

Começamos nosso estudo de trigonometria com um triângulo retângulo. Vamos definir o que são o seno e o cosseno, assim como a tangente e a cotangente de um ângulo agudo. Estes são os fundamentos da trigonometria.

Lembre-se que ângulo certoé um ângulo igual a 90 graus. Em outras palavras, metade do canto desdobrado.

Canto afiado- menos de 90 graus.

Ângulo obtuso- superior a 90 graus. Em relação a tal ângulo, "blunt" não é um insulto, mas um termo matemático :-)

Vamos desenhar um triângulo retângulo. Um ângulo reto é geralmente denotado. Observe que o lado oposto ao canto é indicado pela mesma letra, apenas pequena. Assim, o lado oposto ao ângulo A é denotado.

Um ângulo é denotado pela letra grega correspondente.

Hipotenusa Um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto.

Pernas- lados opostos a cantos vivos.

A perna oposta ao canto é chamada oposto(relativo ao ângulo). A outra perna, que fica de um lado do canto, é chamada adjacente.

Seioângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

Cossenoângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a proporção da perna oposta para o adjacente:

Outra definição (equivalente): a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno de um ângulo e seu cosseno:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão da perna adjacente para o oposto (ou, equivalentemente, a razão de cosseno para seno):

Preste atenção às razões básicas para seno, cosseno, tangente e cotangente, que são dadas abaixo. Eles serão úteis para nós na resolução de problemas.

Vamos provar alguns deles.

Ok, nós demos definições e fórmulas escritas. Mas por que precisamos de seno, cosseno, tangente e cotangente?

Nós sabemos isso a soma dos ângulos de qualquer triângulo é.

Conhecemos a relação entre partidos triângulo retângulo. Este é o teorema de Pitágoras: .

Acontece que conhecendo dois ângulos em um triângulo, você pode encontrar o terceiro. Conhecendo dois lados de um triângulo retângulo, você pode encontrar o terceiro. Então, para ângulos - sua proporção, para lados - deles próprios. Mas o que fazer se em um triângulo retângulo um ângulo (exceto o direito) e um lado são conhecidos, mas você precisa encontrar outros lados?

Era isso que as pessoas enfrentavam no passado, fazendo mapas da área e do céu estrelado. Afinal, nem sempre é possível medir diretamente todos os lados de um triângulo.

Seno, cosseno e tangente - eles também são chamados funções trigonométricas do ângulo- dê a razão entre partidos e cantos triângulo. Conhecendo o ângulo, você pode encontrar todas as suas funções trigonométricas usando tabelas especiais. E conhecendo os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de um triângulo e de um de seus lados, você pode encontrar o resto.

Também desenharemos uma tabela de valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para ângulos "bons" de a.

Observe os dois traços vermelhos na tabela. Para os valores correspondentes dos ângulos, a tangente e a cotangente não existem.

Vamos analisar vários problemas em trigonometria das tarefas do Banco de FIPI.

1. Em um triângulo, o ângulo é , . Achar .

O problema é resolvido em quatro segundos.

Porque o , .

2. Em um triângulo, o ângulo é , , . Achar .

Vamos encontrar pelo teorema de Pitágoras.

Problema resolvido.

Muitas vezes em problemas existem triângulos com ângulos e ou com ângulos e . Memorize as proporções básicas para eles de cor!

Para um triângulo com ângulos e o cateto oposto ao ângulo em é igual a metade da hipotenusa.

Um triângulo com ângulos e isósceles. Nele, a hipotenusa é vezes maior que a perna.

Consideramos problemas para resolver triângulos retângulos - isto é, para encontrar lados ou ângulos desconhecidos. Mas isso não é tudo! Nas variantes do exame em matemática, existem muitas tarefas onde aparece o seno, cosseno, tangente ou cotangente do ângulo externo do triângulo. Mais sobre isso no próximo artigo.

Seioângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão oposto cateter para a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: sen α.

Cosseno O ângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: cos α.

Tangenteângulo agudo α é a razão entre a perna oposta e a perna adjacente.
É denotado como se segue: tg α.

Co-tangenteângulo agudo α é a razão entre a perna adjacente e a oposta.
É designado da seguinte forma: ctg α.

O seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo dependem apenas da magnitude do ângulo.

Regras:

Identidades trigonométricas básicas em um triângulo retângulo:

(α - ângulo agudo oposto à perna b e adjacente à perna uma . Lado Com - hipotenusa. β - o segundo ângulo agudo).

b sinα = - c	sen 2 α + cos 2 α = 1
uma cosα = - c	1 1 + tg2α = -- cos 2 α
b tgα = - uma	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
uma ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sen 2 α
sinα tgα = -- cosα

À medida que o ângulo agudo aumentasinα etg α aumentar, ecos α diminui.

Para qualquer ângulo agudo α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Exemplo explicativo:

Seja em um triângulo retângulo ABC
AB = 6,
BC = 3,
ângulo A = 30º.

Determine o seno do ângulo A e o cosseno do ângulo B.

Solução.

1) Primeiro, encontramos o valor do ângulo B. Tudo é simples aqui: como em um triângulo retângulo a soma dos ângulos agudos é 90º, então o ângulo B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Calcule o sen A. Sabemos que o seno é igual à razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para o ângulo A, a perna oposta é o lado BC. Então:

BC 3 1
sen A = -- = - = -
AB 6 2

3) Agora calculamos cos B. Sabemos que o cosseno é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Para o ângulo B, a perna adjacente é do mesmo lado BC. Isso significa que precisamos novamente dividir BC em AB - ou seja, realizar as mesmas ações que ao calcular o seno do ângulo A:

BC 3 1
cosB = -- = - = -
AB 6 2

O resultado é:
sen A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Disto segue-se que em um triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de outro ângulo agudo - e vice-versa. Isso é exatamente o que nossas duas fórmulas significam:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Vamos conferir novamente:

1) Seja α = 60º. Substituindo o valor de α na fórmula do seno, temos:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.

2) Seja α = 30º. Substituindo o valor de α na fórmula do cosseno, temos:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sen 30°.

(Para mais informações sobre trigonometria, veja a seção Álgebra)