Seja T um corpo de revolução formado pela rotação em torno do eixo das abcissas de um trapézio curvilíneo localizado no semiplano superior e limitado pelo eixo das abcissas, pelas retas x=a e x=b e pelo gráfico de uma função contínua y =f(x) .

Vamos provar que isso o corpo de revolução é cubável e seu volume é expresso pela fórmula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Primeiro, provamos que esse corpo de revolução é regular se tomarmos como \Pi o plano Oyz perpendicular ao eixo de revolução. Observe que a seção localizada a uma distância x do plano Oyz é um círculo de raio f(x) e sua área S(x) é \pi f^2(x) (Fig. 46). Portanto, a função S(x) é contínua devido à continuidade de f(x) . Em seguida, se S(x_1)\leqslant S(x_2), então isso significa que . Mas as projeções das seções no plano Oyz são círculos de raios f(x_1) e f(x_2) com centro O , e de f(x_1)\leqslant f(x_2) segue-se que o círculo de raio f(x_1) está contido no círculo de raio f(x_2) .

Portanto, o corpo de rotação é regular. Portanto, é cubável e seu volume é calculado pela fórmula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Se um trapézio curvilíneo fosse limitado por baixo e por cima pelas curvas y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , então

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

A fórmula (3) também pode ser usada para calcular o volume de um corpo de revolução no caso em que o limite da figura em rotação é dado por equações paramétricas. Neste caso, deve-se usar a mudança de variável sob o sinal de integral definida.

Em alguns casos, torna-se conveniente decompor os corpos de revolução não em cilindros circulares retos, mas em figuras de um tipo diferente.

Por exemplo, vamos encontrar o volume do corpo obtido pela rotação de um trapézio curvilíneo em torno do eixo y. Primeiro, vamos encontrar o volume obtido pela rotação de um retângulo de altura y#, na base do qual está o segmento . Este volume é igual à diferença entre os volumes de dois cilindros circulares retos

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Mas agora está claro que o volume desejado é estimado de cima e de baixo da seguinte forma:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

A partir disso segue-se facilmente fórmula para o volume de um corpo de revolução em torno do eixo y:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Exemplo 4 Encontre o volume de uma bola de raio R.

Solução. Sem perda de generalidade, vamos considerar um círculo de raio R centrado na origem. Este círculo, girando em torno do eixo Ox, forma uma bola. A equação do círculo é x^2+y^2=R^2 , então y^2=R^2-x^2 . Dada a simetria do círculo em relação ao eixo y, primeiro encontramos metade do volume desejado

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \esquerda.(\pi\!\esquerda(R^2x- \frac(x^3)(3)\direita))\direita|_(0)^(R)= \pi\ !\esquerda(R^3- \frac(R^3)(3)\direita)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Portanto, o volume de toda a esfera é \frac(4)(3)\pi R^3.

Exemplo 5 Calcule o volume de um cone cuja altura é h e o raio da base é r.

Solução. Escolhemos um sistema de coordenadas de modo que o eixo Ox coincida com a altura h (Fig. 47) e tomamos o topo do cone como origem. Então a equação da reta OA pode ser escrita como y=\frac(r)(h)\,x .

Usando a fórmula (3), obtemos:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \esquerda.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\direita|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Exemplo 6 Encontre o volume do corpo obtido girando em torno do eixo das abcissas do astroide \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Fig. 48).

Solução. Vamos construir um astroide. Considere metade da parte superior do astroide, localizada simetricamente em relação ao eixo y. Usando a fórmula (3) e alterando a variável sob o sinal de integral definida, encontramos os limites de integração para a nova variável t.

Se x=a\cos^3t=0 , então t=\frac(\pi)(2) , e se x=a\cos^3t=a , então t=0 . Dado que y^2=a^2\sin^6t e dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, Nós temos:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

O volume de todo o corpo formado pela rotação do astroide será \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Exemplo 7 Encontre o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo y de um trapézio curvilíneo limitado pelo eixo das abcissas e o primeiro arco da cicloide \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Solução. Usamos a fórmula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, e substitua a variável sob o sinal de integral, levando em consideração que o primeiro arco da cicloide é formado quando a variável t muda de 0 para 2\pi . Por isso,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\direita))\direita|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\direita)= 6\pi^3a^3. \end(alinhado)

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Usando integrais para encontrar volumes de sólidos de revolução

A utilidade prática da matemática se deve ao fato de que, sem

o conhecimento matemático específico dificulta a compreensão dos princípios do dispositivo e o uso da tecnologia moderna. Cada pessoa em sua vida deve realizar cálculos bastante complexos, usar equipamentos comumente usados, encontrar as fórmulas necessárias em livros de referência e compor algoritmos simples para resolver problemas. Na sociedade moderna, cada vez mais especialidades que exigem alto nível de educação estão associadas à aplicação direta da matemática. Assim, para um aluno, a matemática torna-se uma disciplina profissionalmente significativa. O papel principal pertence à matemática na formação do pensamento algorítmico, traz a capacidade de agir de acordo com um determinado algoritmo e projetar novos algoritmos.

Estudando o tópico do uso da integral para calcular os volumes dos corpos de revolução, sugiro que os alunos das aulas optativas considerem o tópico: "Volumes dos corpos de revolução usando integrais". Aqui estão algumas diretrizes para lidar com este tópico:

1. A área de uma figura plana.

Do curso de álgebra, sabemos que problemas práticos levaram ao conceito de integral definida..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Para encontrar o volume de um corpo de revolução formado pela rotação de um trapézio curvilíneo em torno do eixo Ox, limitado por uma linha quebrada y=f(x), o eixo Ox, linhas retas x=a e x=b, calculamos pela fórmula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. O volume do cilindro.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">O cone é obtido girando um triângulo retângulo ABC(C=90) em torno do eixo Ox sobre o qual se encontra a perna AC.

O segmento AB está na linha y=kx+c, onde https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Seja a=0, b=H (H é a altura do cone), então Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. O volume de um cone truncado.

Um cone truncado pode ser obtido girando um trapézio retangular ABCD (CDOx) em torno do eixo Ox.

O segmento AB está na reta y=kx+c, onde , c=r.

Como a reta passa pelo ponto A (0; r).

Assim, a linha reta se parece com https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Seja a=0, b=H (H é a altura do cone truncado), então https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. O volume da bola.

A bola pode ser obtida girando um círculo com centro (0;0) em torno do eixo x. O semicírculo acima do eixo x é dado pela equação

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Volumes de corpos de revolução. Estude preliminarmente o capítulo XII, p°p° 197, 198, de acordo com o livro de G. M. Fikhtengol'ts* Analise detalhadamente os exemplos dados no p° 198.

508. Calcule o volume do corpo formado pela rotação da elipse em torno do eixo x.

Por isso,

530. Encontre a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo Ox do arco da senóide y \u003d sen x do ponto X \u003d 0 ao ponto X \u003d It.

531. Calcule a área da superfície de um cone com altura h e raio r.

532. Calcule a área da superfície formada por

rotação do astróide x3 -) - y* - a3 em torno do eixo x.

533. Calcule a área da superfície formada pela inversão do loop da curva 18 y-x(6-x)r em torno do eixo x.

534. Encontre a superfície do toro produzido pela rotação do círculo X2 - j - (y-3)2 = 4 em torno do eixo x.

535. Calcule a área da superfície formada pela rotação do círculo X = a cost, y = asint em torno do eixo Ox.

536. Calcule a área da superfície formada pela rotação do loop da curva x = 9t2, y = St - 9t3 em torno do eixo Ox.

537. Encontre a área da superfície formada pela rotação do arco da curva x = e * sint, y = el custo em torno do eixo Ox

de t = 0 a t = -.

538. Mostre que a superfície produzida pela rotação do arco da cicloide x = a (q> - sen φ), y = a (I - cos φ) em torno do eixo Oy, é igual a 16 u2 o2.

539. Encontre a superfície obtida girando o cardióide em torno do eixo polar.

540. Encontre a área da superfície formada pela rotação da lemniscata em torno do eixo polar.

Tarefas Adicionais para o Capítulo IV

Áreas de figuras planas

541. Encontre toda a área de uma região delimitada por uma curva E eixo Oh.

542. Encontre a área da região delimitada pela curva

E eixo Oh.

543. Encontre a parte da área da região localizada no primeiro quadrante e limitada pela curva

l eixos coordenados.

544. Encontre a área da área contida dentro

rotações:

545. Encontre a área da região limitada por um loop da curva:

546. Encontre a área da área contida dentro do loop:

547. Encontre a área da região delimitada pela curva

E eixo Oh.

548. Encontre a área da região delimitada pela curva

E eixo Oh.

549. Encontre a área da região delimitada pelo eixo Oxr

reta e curva

Como calcular o volume de um corpo de revolução
usando uma integral definida?

Em geral, existem muitas aplicações interessantes no cálculo integral, com a ajuda de uma integral definida, você pode calcular a área de uma figura, o volume de um corpo de revolução, o comprimento de um arco, a área de superfície de rotação e muito mais. Então vai ser divertido, por favor, seja otimista!

Imagine uma figura plana no plano coordenado. Representado? ... Eu me pergunto quem apresentou o quê ... =))) Já encontramos sua área. Mas, além disso, essa figura também pode ser girada e girada de duas maneiras:

- em torno do eixo x;
- em torno do eixo y.

Neste artigo, ambos os casos serão discutidos. O segundo método de rotação é especialmente interessante, causa as maiores dificuldades, mas na verdade a solução é quase a mesma que na rotação mais comum em torno do eixo x. Como bônus, voltarei a o problema de encontrar a área de uma figura, e diga como encontrar a área da segunda maneira - ao longo do eixo. Nem tanto um bônus quanto o material se encaixa bem no tema.

Vamos começar com o tipo de rotação mais popular.

figura plana em torno de um eixo

Calcule o volume do corpo obtido pela rotação da figura delimitada por linhas em torno do eixo.

Solução: Como no problema da área, a solução começa com o desenho de uma figura plana. Ou seja, no plano é preciso construir uma figura delimitada por retas , , sem esquecer que a equação define o eixo . Como fazer um desenho de forma mais racional e rápida pode ser encontrado nas páginas Gráficos e Propriedades de Funções Elementares E . Este é um lembrete chinês e não paro neste ponto.

O desenho aqui é bem simples:

A figura plana desejada é sombreada em azul, e é essa figura que gira em torno do eixo.Como resultado da rotação, é obtido um disco voador levemente oval, simétrico em relação ao eixo. Na verdade, o corpo tem um nome matemático, mas é muito preguiçoso especificar algo no livro de referência, então seguimos em frente.

Como calcular o volume de um corpo de revolução?

O volume de um corpo de revolução pode ser calculado pela fórmula:

Na fórmula, deve haver um número antes da integral. Aconteceu - tudo o que gira na vida está conectado com essa constante.

Como definir os limites de integração "a" e "ser", eu acho, é fácil de adivinhar a partir do desenho completo.

Função... que função é esta? Vejamos o desenho. A figura plana é limitada pelo gráfico da parábola de cima. Esta é a função que está implícita na fórmula.

Em tarefas práticas, uma figura plana às vezes pode estar localizada abaixo do eixo. Isso não muda nada - o integrando na fórmula é elevado ao quadrado: , portanto integral é sempre não negativo, o que é bastante lógico.

Calcule o volume do corpo de revolução usando esta fórmula:

Como já observei, a integral quase sempre acaba sendo simples, o principal é ter cuidado.

Responder:

Na resposta, é necessário indicar a dimensão - unidades cúbicas. Ou seja, em nosso corpo de rotação existem aproximadamente 3,35 "cubos". Por que exatamente cúbico unidades? Porque a formulação mais universal. Pode haver centímetros cúbicos, pode haver metros cúbicos, pode haver quilômetros cúbicos, etc., é quantos homenzinhos verdes sua imaginação pode caber em um disco voador.

Encontre o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura delimitada pelas linhas , ,

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

Vamos considerar dois problemas mais complexos, que também são frequentemente encontrados na prática.

Calcule o volume do corpo obtido pela rotação em torno do eixo das abcissas da figura delimitada pelas linhas , , e

Solução: Desenhe uma figura plana no desenho, limitada pelas linhas , , , , sem esquecer que a equação define o eixo:

A figura desejada é sombreada em azul. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um donut surreal com quatro cantos.

O volume do corpo de revolução é calculado como diferença de volume corporal.

Primeiro, vamos olhar para a figura que está circulada em vermelho. Quando gira em torno do eixo, obtém-se um cone truncado. Vamos denotar o volume deste cone truncado como .

Considere a figura que está circulada em verde. Se você girar esta figura em torno do eixo, também obterá um cone truncado, apenas um pouco menor. Vamos denotar seu volume por .

E, obviamente, a diferença de volumes é exatamente o volume do nosso “donut”.

Usamos a fórmula padrão para encontrar o volume de um corpo de revolução:

1) A figura circulada em vermelho é limitada por cima por uma linha reta, portanto:

2) A figura circulada em verde é delimitada por cima por uma linha reta, portanto:

3) O volume do corpo de revolução desejado:

Responder:

É curioso que, neste caso, a solução pode ser verificada usando a fórmula escolar para calcular o volume de um cone truncado.

A decisão em si costuma ser mais curta, algo assim:

Agora vamos fazer uma pausa e falar sobre ilusões geométricas.

As pessoas costumam ter ilusões associadas a volumes, que Perelman (outro) notou no livro geometria interessante. Observe a figura plana no problema resolvido - parece ser pequena em área e o volume do corpo de revolução é de pouco mais de 50 unidades cúbicas, o que parece muito grande. Aliás, uma pessoa média em toda a sua vida bebe um líquido com volume de uma sala de 18 metros quadrados, que, ao contrário, parece um volume muito pequeno.

Após uma digressão lírica, é apropriado resolver uma tarefa criativa:

Calcule o volume de um corpo formado pela rotação em torno do eixo de uma figura plana limitada pelas linhas , , onde .

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Observe que todas as coisas acontecem na banda , ou seja, limites de integração prontos são realmente dados. Desenhe corretamente gráficos de funções trigonométricas, vou lembrá-lo do material da lição sobre transformações geométricas de gráficos: se o argumento for divisível por dois: , os gráficos serão esticados ao longo do eixo duas vezes. É desejável encontrar pelo menos 3-4 pontos de acordo com tabelas trigonométricas para completar o desenho com mais precisão. Solução completa e resposta no final da lição. A propósito, a tarefa pode ser resolvida racionalmente e não muito racionalmente.

Cálculo do volume de um corpo formado por rotação
figura plana em torno de um eixo

O segundo parágrafo será ainda mais interessante do que o primeiro. A tarefa de calcular o volume de um corpo de revolução em torno do eixo y também é bastante frequente em testes. De passagem será considerado problema de encontrar a área de uma figura a segunda maneira - ao integrar ao longo do eixo, isso permitirá não apenas melhorar suas habilidades, mas também ensiná-lo a encontrar a solução mais lucrativa. Também tem um significado prático! Como minha professora de métodos de ensino de matemática lembrou com um sorriso, muitos graduados agradeceram a ela com as palavras: “Sua disciplina nos ajudou muito, agora somos gerentes eficazes e gerenciamos nossa equipe de maneira ideal”. Aproveitando a oportunidade, expresso também a ela minha imensa gratidão, principalmente por utilizar os conhecimentos adquiridos para o fim a que se destina =).

Eu recomendo para todos lerem, mesmo para os manequins completos. Além disso, o material assimilado do segundo parágrafo será de ajuda inestimável no cálculo de integrais duplas.

Dada uma figura plana limitada por linhas , , .

1) Encontre a área de uma figura plana delimitada por essas linhas.
2) Encontre o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.

Atenção! Mesmo que você queira ler apenas o segundo parágrafo, certifique-se de ler primeiro o primeiro!

Solução: A tarefa consiste em duas partes. Vamos começar com o quadrado.

1) Vamos executar o desenho:

É fácil ver que a função define o ramo superior da parábola e a função define o ramo inferior da parábola. Diante de nós está uma parábola trivial, que "está de lado".

A figura desejada, cuja área deve ser encontrada, é sombreada em azul.

Como encontrar a área de uma figura? Pode ser encontrado da maneira "usual", que foi considerada na lição. Integral definida. Como calcular a área de uma figura. Além disso, a área da figura é encontrada como a soma das áreas:
- no segmento ;
- no segmento.

É por isso:

O que há de errado com a solução usual neste caso? Primeiro, existem duas integrais. Em segundo lugar, raízes sob integrais e raízes em integrais não são um presente, além disso, pode-se confundir ao substituir os limites da integração. Na verdade, as integrais, claro, não são mortais, mas na prática tudo é muito mais triste, acabei de pegar funções “melhores” para a tarefa.

Existe uma solução mais racional: consiste na transição para funções inversas e integração ao longo do eixo.

Como passar para funções inversas? Grosso modo, você precisa expressar "x" até "y". Primeiro, vamos lidar com a parábola:

Isso é suficiente, mas vamos garantir que a mesma função possa ser derivada do ramo inferior:

Com uma linha reta, tudo fica mais fácil:

Agora olhe para o eixo: por favor, incline periodicamente a cabeça 90 graus para a direita enquanto explica (isso não é uma piada!). A figura de que precisamos está no segmento, indicado pela linha pontilhada vermelha. Além disso, no segmento, a linha reta está localizada acima da parábola, o que significa que a área da figura deve ser encontrada usando a fórmula que você já conhece: . O que mudou na fórmula? Apenas uma carta e nada mais.

! Observação: Os limites de integração ao longo do eixo devem ser definidos estritamente de baixo para cima!

Encontrando a área:

No segmento , portanto:

Preste atenção em como fiz a integração, essa é a forma mais racional, e no próximo parágrafo do trabalho ficará claro o porquê.

Para os leitores que duvidam da correção da integração, encontrarei derivadas:

O integrando original é obtido, o que significa que a integração é realizada corretamente.

Responder:

2) Calcule o volume do corpo formado pela rotação desta figura em torno do eixo.

Vou redesenhar o desenho em um design ligeiramente diferente:

Assim, a figura sombreada em azul gira em torno do eixo. O resultado é uma "borboleta pairando" que gira em torno de seu eixo.

Para encontrar o volume do corpo de revolução, vamos integrar ao longo do eixo. Primeiro, precisamos passar para as funções inversas. Isso já foi feito e descrito em detalhes no parágrafo anterior.

Agora inclinamos a cabeça para a direita novamente e estudamos nossa figura. Obviamente, o volume do corpo de revolução deve ser encontrado como a diferença entre os volumes.

Giramos a figura circulada em vermelho em torno do eixo, resultando em um cone truncado. Vamos denotar esse volume por .

Giramos a figura, circulada em verde, em torno do eixo e o denotamos pelo volume do corpo de revolução resultante.

O volume da nossa borboleta é igual à diferença de volumes.

Usamos a fórmula para encontrar o volume de um corpo de revolução:

Em que difere da fórmula do parágrafo anterior? Só em letras.

E aqui está a vantagem da integração que eu estava falando há um tempo atrás, é muito mais fácil de encontrar do que elevar preliminarmente o integrando à quarta potência.

Responder:

Observe que, se a mesma figura plana for girada em torno do eixo, um corpo de revolução completamente diferente resultará, de um volume diferente, naturalmente.

Dada uma figura plana delimitada por linhas e um eixo.

1) Vá para funções inversas e encontre a área de uma figura plana limitada por essas linhas integrando sobre a variável .
2) Calcule o volume do corpo obtido pela rotação de uma figura plana delimitada por essas linhas em torno do eixo.

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Quem desejar também pode encontrar a área da figura da forma "usual", completando assim o teste do ponto 1). Mas se, repito, você gira uma figura plana em torno do eixo, obtém um corpo de rotação completamente diferente com um volume diferente, aliás, a resposta correta (também para quem gosta de resolver).

A solução completa dos dois itens propostos da tarefa no final da aula.

Ah, e não se esqueça de inclinar a cabeça para a direita para entender os corpos de rotação e dentro da integração!

Eu queria, já era, terminar o artigo, mas hoje eles trouxeram um exemplo interessante apenas para encontrar o volume de um corpo de revolução em torno do eixo y. Fresco:

Calcule o volume do corpo formado pela rotação em torno do eixo da figura delimitada pelas curvas e .

Solução: Vamos fazer um desenho:

Ao longo do caminho, nos familiarizamos com os gráficos de algumas outras funções. Um gráfico tão interessante de uma função par ....