Definição de base. Um sistema de vetores forma uma base se:

1) é linearmente independente,

2) qualquer vetor do espaço através dele é expresso linearmente.

Exemplo 1 Base espacial: .

2. No sistema de vetores vetores são a base: , porque expressa linearmente em termos de vetores .

Comente. Para encontrar a base de um determinado sistema de vetores, você precisa:

1) escreva as coordenadas dos vetores na matriz,

2) usando transformações elementares, traga a matriz para uma forma triangular,

3) linhas diferentes de zero da matriz serão a base do sistema,

4) o número de vetores na base é igual ao posto da matriz.

teorema de Kronecker-Capelli

O teorema de Kronecker-Capelli dá uma resposta exaustiva à questão da compatibilidade de um sistema arbitrário de equações lineares com incógnitas

Teorema de Kronecker-Capelli. Um sistema de equações algébricas lineares é consistente se e somente se o posto da matriz estendida do sistema é igual ao posto da matriz principal, .

O algoritmo para encontrar todas as soluções de um sistema consistente de equações lineares segue o teorema de Kronecker-Capelli e os seguintes teoremas.

Teorema. Se o posto de um sistema consistente for igual ao número de incógnitas, então o sistema tem uma solução única.

Teorema. Se o rank de um sistema consistente for menor que o número de incógnitas, então o sistema tem um número infinito de soluções.

Algoritmo para resolver um sistema arbitrário de equações lineares:

1. Encontre os postos das matrizes principais e estendidas do sistema. Se não forem iguais (), então o sistema é inconsistente (não tem soluções). Se os ranks forem iguais ( , então o sistema é consistente.

2. Para um sistema compatível, encontramos algum menor cuja ordem determina o posto da matriz (tal menor é chamado de básico). Compomos um novo sistema de equações no qual os coeficientes das incógnitas são incluídos no menor básico (essas incógnitas são chamadas de incógnitas principais), descartamos o restante das equações. Deixamos as incógnitas principais com coeficientes à esquerda e transferimos as incógnitas restantes (chamadas incógnitas livres) para o lado direito das equações.

3. Vamos encontrar as expressões das incógnitas principais em função das livres. Obtemos a solução geral do sistema.

4. Dando valores arbitrários às incógnitas livres, obtemos os valores correspondentes das incógnitas principais. Assim, encontramos soluções particulares para o sistema original de equações.

Programação linear. Conceitos Básicos

Programação linearé um ramo da programação matemática que estuda métodos para resolver problemas extremos que são caracterizados por uma relação linear entre variáveis ​​e um critério linear.

Uma condição necessária para definir um problema de programação linear são as restrições na disponibilidade de recursos, a quantidade de demanda, a capacidade de produção da empresa e outros fatores de produção.

A essência da programação linear é encontrar os pontos de maior ou menor valor de uma determinada função sob um certo conjunto de restrições impostas aos argumentos e geradores sistema de restrições , que geralmente tem um número infinito de soluções. Cada conjunto de valores variáveis ​​(argumentos de função F ) que satisfazem o sistema de restrições é chamado plano aceitável problemas de programação linear. Função F , cujo máximo ou mínimo é determinado, é chamado função objetiva tarefas. Plano admissível em que o máximo ou mínimo da função é atingido F , é chamado plano ideal tarefas.

O sistema de restrições que define o conjunto de planos é ditado pelas condições de produção. Um problema de programação linear ( ZLP ) é a escolha do mais rentável (ótimo) do conjunto de planos viáveis.

A formulação geral do problema de programação linear é a seguinte:

Existem algumas variáveis x \u003d (x 1, x 2, ... x n) e a função dessas variáveis f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , que leva o nome alvo funções. A tarefa é definida: encontrar o extremo (máximo ou mínimo) da função objetivo f(x) desde que as variáveis x pertencer a alguma área G :

Dependendo do tipo de função f(x) e áreas G e distinguir entre seções de programação matemática: programação quadrática, programação convexa, programação inteira, etc. A programação linear é caracterizada pelo fato de que
uma função f(x) é uma função linear das variáveis x 1, x 2, ... x n
b) área G determinado pelo sistema linear igualdades ou desigualdades.

Aulas de Álgebra e Geometria. Semestre 1.

Aula 9. A base de um espaço vetorial.

Resumo: sistema de vetores, combinação linear de um sistema de vetores, coeficientes de uma combinação linear de um sistema de vetores, base em uma linha, plano e no espaço, dimensões de espaços vetoriais em uma linha, plano e no espaço, decomposição de um vetor em uma base, coordenadas de um vetor em relação a uma base, teorema da igualdade de dois vetores, operações lineares com vetores em notação de coordenadas, tripla ortonormal de vetores, tripla direita e esquerda de vetores, base ortonormal, teorema fundamental da álgebra vetorial.

Capítulo 9

item 1. Base na linha, no plano e no espaço.

Definição. Qualquer conjunto finito de vetores é chamado de sistema de vetores.

Definição. Expressão onde
é chamado de combinação linear de um sistema de vetores
, e os números
são chamados de coeficientes dessa combinação linear.

Sejam L, Р e S uma reta, um plano e um espaço de pontos, respectivamente, e
. Então
são espaços vetoriais de vetores como segmentos direcionados na linha L, no plano P e no espaço S, respectivamente.

qualquer vetor diferente de zero é chamado
, ou seja qualquer vetor diferente de zero colinear à linha reta L:
E
.

Notação base
:
- base
.

Definição. A base do espaço vetorial
é qualquer par ordenado de vetores não colineares no espaço
.

, Onde
,
- base
.

Definição. A base do espaço vetorial
é qualquer tripla ordenada de vetores não coplanares (isto é, não estando no mesmo plano) do espaço
.

- base
.

Comente. A base de um espaço vetorial não pode conter um vetor nulo: no espaço
por definição, no espaço
dois vetores serão colineares se pelo menos um deles for zero, no espaço
três vetores serão coplanares, ou seja, eles estarão no mesmo plano se pelo menos um dos três vetores for zero.

artigo 2. Decomposição de um vector em termos de uma base.

Definição. Deixar é um vetor arbitrário,
é um sistema arbitrário de vetores. Se a igualdade

então eles dizem que o vetor representado como uma combinação linear de um dado sistema de vetores. Se o sistema dado de vetores
é uma base do espaço vetorial, então a igualdade (1) é chamada de decomposição do vetor base
. Coeficientes de combinação linear
são chamados neste caso as coordenadas do vetor em relação à base
.

Teorema. (Sobre a expansão de um vetor em termos de uma base.)

Qualquer vetor de um espaço vetorial pode ser decomposto em sua base e, ainda por cima, de forma única.

Prova. 1) Seja L uma linha arbitrária (ou eixo) e
- base
. Pegue um vetor arbitrário
. Como ambos os vetores E colinear à mesma linha L, então
. Vamos usar o teorema sobre a colinearidade de dois vetores. Porque
, então existe (existe) tal número
, O que
e assim obtivemos uma decomposição do vetor base
Espaço vetorial
.

Agora provamos a unicidade de tal decomposição. Vamos supor o contrário. Sejam duas decomposições do vetor base
Espaço vetorial
:

E
, Onde
. Então
e usando a lei de distribuição, obtemos:

Porque
, segue da última igualdade que
, etc

2) Agora seja P um plano arbitrário e
- base
. Deixar
vetor arbitrário deste plano. Vamos adiar todos os três vetores de qualquer ponto deste plano. Vamos construir 4 linhas retas. Vamos desenhar uma linha reta , em que o vetor se encontra , direto
, em que o vetor se encontra . Até o final do vetor desenhe uma linha paralela ao vetor e uma reta paralela ao vetor . Estas 4 linhas cortam um paralelogramo. Veja abaixo a fig. 3. De acordo com a regra do paralelogramo
, E
,
,
- base ,
- base
.

Agora, pelo que já foi provado na primeira parte desta prova, existem números
, O que

E
. Daqui obtemos:

e fica comprovada a possibilidade de expansão em termos de base.

Vamos agora provar a unicidade da expansão em termos da base. Vamos supor o contrário. Sejam duas decomposições do vetor base
Espaço vetorial
:
E
. Nós obtemos igualdade

Onde deveria
. Se
, Que
, e desde
, Que
e os coeficientes de expansão são:
,
. Deixe agora
. Então
, Onde
. Pelo teorema da colinearidade de dois vetores, isso implica que
. Obtivemos uma contradição com a condição do teorema. Por isso,
E
, etc

3) Deixe
- base
deixa para lá
vetor arbitrário. Façamos as seguintes construções.

Separe todos os três vetores de base
e vetor de um ponto e construa 6 planos: o plano no qual os vetores de base estão
, avião
e avião
; além do final do vetor desenhe três planos paralelos aos três planos recém-construídos. Estes 6 aviões cortam a caixa:

De acordo com a regra de adição de vetores, obtemos a igualdade:

. (1)

por construção
. Portanto, pelo teorema da colinearidade de dois vetores, segue-se que existe um número
, de tal modo que
. Da mesma maneira,
E
, Onde
. Agora, substituindo essas igualdades em (1), obtemos:

e fica comprovada a possibilidade de expansão em termos de base.

Vamos provar a unicidade de tal decomposição. Vamos supor o contrário. Sejam duas decomposições do vetor base
:

E . Então

Observe que, por hipótese, os vetores
não coplanares, portanto, eles são não colineares aos pares.

Dois casos são possíveis:
ou
.

a) Deixe
, então da igualdade (3) segue:

. (4)

Segue da igualdade (4) que o vetor expandido em termos de base
, ou seja vetor está no plano vetorial
e, portanto, os vetores
coplanar, o que contradiz a condição.

b) Resta um caso
, ou seja
. Então da igualdade (3) obtemos ou

Porque
é a base do espaço de vetores no plano, e já provamos a unicidade da expansão na base dos vetores do plano, segue da igualdade (5) que
E
, etc

O teorema foi provado.

Consequência.

1) Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de vetores do espaço vetorial
e o conjunto dos números reais R.

2) Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de vetores do espaço vetorial
e quadrado cartesiano

3) Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de vetores do espaço vetorial
e cubo cartesiano
conjuntos de números reais R.

Prova. Provemos a terceira afirmação. As duas primeiras são provadas de forma similar.

Vamos escolher e fixar no espaço
alguma base
e configurar uma exibição
segundo a seguinte regra:

aqueles. cada vetor está associado a um conjunto ordenado de suas coordenadas.

Como, com uma base fixa, cada vetor possui um único conjunto de coordenadas, a correspondência dada pela regra (6) é de fato um mapeamento.

Segue-se da prova do teorema que diferentes vetores têm diferentes coordenadas em relação à mesma base, ou seja, mapeamento (6) é uma injeção.

Deixar
um conjunto ordenado arbitrário de números reais.

Considere o vetor
. Por construção, este vetor tem coordenadas
. Portanto, o mapeamento (6) é uma sobrejeção.

Um mapeamento que é injetivo e sobrejetivo é bijetivo, ou seja, um a um, etc.

A consequência está provada.

Teorema. (Sobre a igualdade de dois vetores.)

Dois vetores são iguais se e somente se suas coordenadas em relação à mesma base são iguais.

A prova segue imediatamente do corolário anterior.

artigo 3. Dimensão de um espaço vetorial.

Definição. O número de vetores na base de um espaço vetorial é chamado de dimensão.

Designação:
é a dimensão do espaço vetorial V.

Assim, de acordo com esta e com as definições anteriores, temos:

1)
é o espaço vetorial dos vetores da reta L.

- base
,
,
,
– decomposição vetorial
base
,
- coordenada vetorial em relação à base
.

2)
é o espaço vetorial dos vetores do plano Р.

- base
,
,
,
– decomposição vetorial
base
,
são coordenadas vetoriais em relação à base
.

3)
é o espaço vetorial de vetores no espaço de pontos S.

- base
,
,
– decomposição vetorial
base
,
são coordenadas vetoriais em relação à base
.

Comente. Se
, Que
e você pode escolher a base
espaço
Então
- base
E
- base
. Então
, E
, .

Assim, qualquer vetor da reta L, do plano P e do espaço S pode ser expandido em termos da base
:

Designação. Em virtude do teorema da igualdade vetorial, podemos identificar qualquer vetor com um triplo ordenado de números reais e escrever:

Isso só é possível se a base
fixo e não há perigo de emaranhamento.

Definição. O registro de um vetor na forma de um triplo ordenado de números reais é chamado de forma coordenada do registro vetorial:
.

artigo 4. Operações lineares com vetores em notação de coordenadas.

Deixar
- base espacial
E
são seus dois vetores arbitrários. Deixar
E
é a notação desses vetores na forma de coordenadas. Deixe, ainda,
é um número real arbitrário. Nessas notações, vale o seguinte teorema.

Teorema. (Sobre operações lineares com vetores na forma de coordenadas.)

2)
.

Ou seja, para somar dois vetores é preciso somar suas coordenadas correspondentes, e para multiplicar um vetor por um número é preciso multiplicar cada coordenada desse vetor por um determinado número.

Prova. Visto que, de acordo com a condição do teorema, usando os axiomas do espaço vetorial, que estão sujeitos às operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um número, obtemos:

Isso implica .

A segunda igualdade é provada de forma análoga.

O teorema foi provado.

artigo 5. Vetores ortogonais. Base ortonormal.

Definição. Dois vetores são chamados ortogonais se o ângulo entre eles for igual ao ângulo reto, ou seja,
.

Designação:
– vetores E ortogonal.

Definição. trio de vetores
é chamado ortogonal se esses vetores são pares ortogonais entre si, ou seja,
,
.

Definição. trio de vetores
é chamado ortonormal se for ortogonal e os comprimentos de todos os vetores forem iguais a um:
.

Comente. Segue-se da definição que um triplo ortogonal e, portanto, ortonormal de vetores é não-coplanar.

Definição. Triplo não coplanar ordenado de vetores
, separado de um ponto, é chamado de direito (orientado para a direita) se, quando observado a partir do final do terceiro vetor ao plano que contém os dois primeiros vetores E , a rotação mais curta do primeiro vetor para o segundo ocorre no sentido anti-horário. Caso contrário, o triplo de vetores é chamado de esquerda (orientado à esquerda).

Aqui, a Fig. 6 mostra o triplo direito de vetores
. A figura 7 a seguir mostra o trio esquerdo de vetores
:

Definição. Base
Espaço vetorial
é dito ortonormal se
triplo ortonormal de vetores.

Designação. A seguir, usaremos a base ortonormal correta
, veja a figura a seguir.

Expressão da forma chamado combinação linear de vetores A 1 , A 2 ,...,A n com coeficientes λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinando a dependência linear de um sistema de vetores

sistema vetorial A 1 , A 2 ,...,A n chamado linearmente dependente, se existe um conjunto diferente de zero de números λ 1, λ 2 ,...,λ n, sob o qual a combinação linear de vetores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n vetor igual a zero, ou seja, o sistema de equações: tem uma solução diferente de zero.
Conjunto de números λ 1, λ 2 ,...,λ n é diferente de zero se pelo menos um dos números λ 1, λ 2 ,...,λ n diferente de zero.

Determinando a independência linear de um sistema de vetores

sistema vetorial A 1 , A 2 ,...,A n chamado Linearmente independente, se a combinação linear desses vetores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A né igual ao vetor zero apenas para um conjunto zero de números λ 1, λ 2 ,...,λ n , ou seja, o sistema de equações: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ tem uma única solução nula.

Exemplo 29.1

Verifique se um sistema de vetores é linearmente dependente

Solução:

1. Nós compomos um sistema de equações:

2. Resolvemos usando o método de Gauss. As transformações jordanianas do sistema são dadas na Tabela 29.1. Ao calcular, as partes certas do sistema não são anotadas, pois são iguais a zero e não mudam sob as transformações de Jordan.

3. Das últimas três linhas da tabela escrevemos o sistema permitido equivalente ao original sistema:

4. Obtemos a solução geral do sistema:

5. Tendo definido a seu critério o valor da variável livre x 3 =1, obtemos uma solução particular diferente de zero X=(-3,2,1).

Resposta: Assim, com um conjunto de números diferente de zero (-3,2,1), a combinação linear de vetores é igual ao vetor zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Por isso, sistema de vetores linearmente dependentes.

Propriedades de sistemas vetoriais

Propriedade (1)
Se o sistema de vetores é linearmente dependente, então pelo menos um dos vetores é decomposto em relação aos demais, e vice-versa, se pelo menos um dos vetores do sistema é decomposto em relação aos demais, então o sistema de vetores é linearmente dependente.

Propriedade (2)
Se qualquer subsistema de vetores é linearmente dependente, então todo o sistema é linearmente dependente.

Propriedade (3)
Se um sistema de vetores é linearmente independente, então qualquer um de seus subsistemas é linearmente independente.

Propriedade (4)
Qualquer sistema de vetores contendo um vetor nulo é linearmente dependente.

Propriedade (5)
Um sistema de vetores m-dimensionais é sempre linearmente dependente se o número de vetores n for maior que sua dimensão (n>m)

Base do sistema vetorial

A base do sistema de vetores A 1 , A 2 ,..., A n tal subsistema B 1 , B 2 ,...,B r(cada um dos vetores B 1 ,B 2 ,...,B r é um dos vetores A 1 , A 2 ,..., A n) que satisfaz as seguintes condições:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistema linearmente independente de vetores;
2. qualquer vetor A j do sistema A 1 , A 2 ,..., A n é expresso linearmente em termos dos vetores B 1 ,B 2 ,...,B r

ré o número de vetores incluídos na base.

Teorema 29.1 Sobre a base unitária de um sistema de vetores.

Se um sistema de vetores m-dimensionais contém m vetores unitários diferentes E 1 E 2 ,..., Em , então eles formam a base do sistema.

Algoritmo para encontrar a base de um sistema de vetores

Para encontrar a base do sistema de vetores A 1 ,A 2 ,...,A n é necessário:

• Compor um sistema homogêneo de equações correspondente ao sistema de vetores A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• trazer este sistema