No artigo sobre vetores n-dimensionais, chegamos ao conceito de espaço linear gerado por um conjunto de vetores n-dimensionais. Agora temos que considerar conceitos igualmente importantes, como a dimensão e a base de um espaço vetorial. Eles estão diretamente relacionados ao conceito de sistema de vetores linearmente independente, por isso é recomendável lembrar-se adicionalmente dos fundamentos deste tópico.

Vamos apresentar algumas definições.

Definição 1

Dimensão do espaço vetorial– um número correspondente ao número máximo de vetores linearmente independentes neste espaço.

Definição 2

Base do espaço vetorial– um conjunto de vetores linearmente independentes, ordenados e em número igual à dimensão do espaço.

Vamos considerar um certo espaço de n vetores. Sua dimensão é correspondentemente igual a n. Vamos pegar um sistema de vetores de n unidades:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Usamos esses vetores como componentes da matriz A: será uma matriz unitária com dimensão n por n. A classificação desta matriz é n. Portanto, o sistema vetorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) é linearmente independente. Neste caso, é impossível adicionar um único vetor ao sistema sem violar a sua independência linear.

Como o número de vetores no sistema é n, então a dimensão do espaço de vetores n-dimensionais é n, e os vetores unitários são e (1), e (2), . . . , e (n) são a base do espaço especificado.

Da definição resultante podemos concluir: qualquer sistema de vetores n-dimensionais em que o número de vetores é menor que n não é uma base do espaço.

Se trocarmos o primeiro e o segundo vetores, obteremos um sistema de vetores e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Também será a base de um espaço vetorial n-dimensional. Vamos criar uma matriz tomando os vetores do sistema resultante como suas linhas. A matriz pode ser obtida a partir da matriz identidade trocando as duas primeiras linhas, sua classificação será n. Sistema e (2) , e (1) , . . . , e(n) é linearmente independente e é a base de um espaço vetorial n-dimensional.

Ao reorganizar outros vetores no sistema original, obtemos outra base.

Podemos tomar um sistema linearmente independente de vetores não unitários, e ele também representará a base de um espaço vetorial n-dimensional.

Definição 3

Um espaço vetorial com dimensão n tem tantas bases quantos sistemas linearmente independentes de vetores n-dimensionais de número n.

O plano é um espaço bidimensional - sua base serão quaisquer dois vetores não colineares. A base do espaço tridimensional serão quaisquer três vetores não coplanares.

Consideremos a aplicação desta teoria usando exemplos específicos.

Exemplo 1

Dados iniciais: vetores

uma = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2)

É necessário determinar se os vetores especificados são a base de um espaço vetorial tridimensional.

Solução

Para resolver o problema, estudamos o determinado sistema de vetores para dependência linear. Vamos criar uma matriz, onde as linhas são as coordenadas dos vetores. Vamos determinar a classificação da matriz.

UMA = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ Classificação (A) = 3

Conseqüentemente, os vetores especificados pela condição do problema são linearmente independentes e seu número é igual à dimensão do espaço vetorial - eles são a base do espaço vetorial.

Responder: os vetores indicados são a base do espaço vetorial.

Exemplo 2

Dados iniciais: vetores

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

É necessário determinar se o sistema de vetores especificado pode ser a base do espaço tridimensional.

Solução

O sistema de vetores especificado na definição do problema é linearmente dependente, porque o número máximo de vetores linearmente independentes é 3. Assim, o sistema de vetores indicado não pode servir de base para um espaço vetorial tridimensional. Mas é importante notar que o subsistema do sistema original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) é uma base.

Responder: o sistema de vetores indicado não é uma base.

Exemplo 3

Dados iniciais: vetores

uma = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Eles podem ser a base do espaço quadridimensional?

Solução

Vamos criar uma matriz usando as coordenadas dos vetores fornecidos como linhas

UMA = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Usando o método gaussiano, determinamos a classificação da matriz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ Classificação (A) = 4

Consequentemente, o sistema de determinados vetores é linearmente independente e seu número é igual à dimensão do espaço vetorial - eles são a base de um espaço vetorial quadridimensional.

Responder: os vetores dados são a base do espaço quadridimensional.

Exemplo 4

Dados iniciais: vetores

uma (1) = (1, 2, - 1, - 2) uma (2) = (0, 2, 1, - 3) uma (3) = (1, 0, 0, 5)

Eles formam a base de um espaço de dimensão 4?

Solução

O sistema original de vetores é linearmente independente, mas o número de vetores nele contido não é suficiente para se tornar a base de um espaço quadridimensional.

Responder: não, eles não querem.

Decomposição de um vetor em uma base

Suponhamos que vetores arbitrários e (1) , e (2) , . . . , e (n) são a base de um espaço vetorial n-dimensional. Vamos adicionar a eles um certo vetor n-dimensional x →: o sistema de vetores resultante se tornará linearmente dependente. As propriedades da dependência linear afirmam que pelo menos um dos vetores de tal sistema pode ser expresso linearmente através dos outros. Reformulando esta afirmação, podemos dizer que pelo menos um dos vetores de um sistema linearmente dependente pode ser expandido nos demais vetores.

Assim, chegamos à formulação do teorema mais importante:

Definição 4

Qualquer vetor de um espaço vetorial n-dimensional pode ser decomposto exclusivamente em uma base.

Evidência 1

Vamos provar este teorema:

vamos definir a base do espaço vetorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Vamos tornar o sistema linearmente dependente adicionando um vetor n-dimensional x → a ele. Este vetor pode ser expresso linearmente em termos dos vetores originais e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , onde x 1 , x 2 , . . . , x n - alguns números.

Agora provamos que tal decomposição é única. Suponhamos que este não seja o caso e que exista outra decomposição semelhante:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , onde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - alguns números.

Subtraímos dos lados esquerdo e direito desta igualdade, respectivamente, os lados esquerdo e direito da igualdade x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Nós temos:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistema de vetores de base e (1) , e (2) , . . . , e(n) é linearmente independente; por definição de independência linear de um sistema de vetores, a igualdade acima só é possível quando todos os coeficientes são (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) será igual a zero. A partir do qual será justo: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . E isto prova a única opção para decompor um vetor numa base.

Neste caso, os coeficientes x 1, x 2, . . . , x n são chamadas de coordenadas do vetor x → na base e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

A teoria comprovada deixa clara a expressão “dado um vetor n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: um vetor x → espaço vetorial n-dimensional é considerado, e suas coordenadas são especificadas em um determinada base. Também está claro que o mesmo vetor em outra base do espaço n-dimensional terá coordenadas diferentes.

Considere o seguinte exemplo: suponha que em alguma base do espaço vetorial n-dimensional um sistema de n vetores linearmente independentes seja dado

e também o vetor x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) é dado.

Vetores e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) neste caso também são a base deste espaço vetorial.

Suponha que seja necessário determinar as coordenadas do vetor x → na base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , denotado como x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

O vetor x → será representado da seguinte forma:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Vamos escrever esta expressão na forma de coordenadas:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

A igualdade resultante é equivalente a um sistema de n expressões algébricas lineares com n variáveis ​​​​lineares desconhecidas x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

A matriz deste sistema terá a seguinte forma:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Seja esta uma matriz A, e suas colunas são vetores de um sistema linearmente independente de vetores e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . A classificação da matriz é n e seu determinante é diferente de zero. Isso indica que o sistema de equações possui uma solução única, determinada por qualquer método conveniente: por exemplo, o método de Cramer ou o método matricial. Desta forma podemos determinar as coordenadas x ~ 1, x ~ 2,. . . , x ~ n vetor x → na base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Vamos aplicar a teoria considerada a um exemplo específico.

Exemplo 6

Dados iniciais: vetores são especificados com base no espaço tridimensional

e (1) = (1, - 1, 1) e (2) = (3, 2, - 5) e (3) = (2, 1, - 3) x = (6, 2, - 7)

É necessário confirmar o fato de que o sistema de vetores e (1), e (2), e (3) também serve de base para um determinado espaço, e também para determinar as coordenadas do vetor x em uma determinada base.

Solução

O sistema de vetores e (1), e (2), e (3) será a base do espaço tridimensional se for linearmente independente. Vamos descobrir essa possibilidade determinando a classificação da matriz A, cujas linhas são os vetores dados e (1), e (2), e (3).

Usamos o método gaussiano:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

Classificação (A) = 3 . Assim, o sistema de vetores e (1), e (2), e (3) é linearmente independente e é uma base.

Deixe o vetor x → ter coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 na base. A relação entre essas coordenadas é determinada pela equação:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Vamos aplicar os valores de acordo com as condições do problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Vamos resolver o sistema de equações usando o método de Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1, x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Assim, o vetor x → na base e (1), e (2), e (3) tem coordenadas x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Responder: x = (1, 1, 1)

Relação entre bases

Suponhamos que em alguma base do espaço vetorial n-dimensional sejam dados dois sistemas de vetores linearmente independentes:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Esses sistemas também são bases de um determinado espaço.

Seja c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordenadas do vetor c (1) na base e (1) , e (2) , . . . , e (3) , então a relação de coordenadas será dada por um sistema de equações lineares:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

O sistema pode ser representado como uma matriz da seguinte forma:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Façamos a mesma entrada para o vetor c (2) por analogia:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Vamos combinar as igualdades da matriz em uma expressão:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Determinará a conexão entre os vetores de duas bases diferentes.

Usando o mesmo princípio, é possível expressar todos os vetores de base e(1), e(2), . . . , e (3) através da base c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Vamos dar as seguintes definições:

Definição 5

Matriz c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) é a matriz de transição da base e (1) , e (2) , . . . , e (3)

para a base c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definição 6

Matriz e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) é a matriz de transição da base c (1) , c (2) , . . . , c(n)

para a base e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

A partir dessas igualdades, é óbvio que

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

aqueles. as matrizes de transição são recíprocas.

Vejamos a teoria usando um exemplo específico.

Exemplo 7

Dados iniciais:é necessário encontrar a matriz de transição da base

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) ​​c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)

Você também precisa indicar a relação entre as coordenadas de um vetor arbitrário x → nas bases fornecidas.

Solução

1. Seja T a matriz de transição, então a igualdade será verdadeira:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Multiplique ambos os lados da igualdade por

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e obtemos:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Defina a matriz de transição:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Vamos definir a relação entre as coordenadas do vetor x → :

Suponhamos que na base c (1) , c (2) , . . . , c (n) vetor x → tem coordenadas x 1 , x 2 , x 3 , então:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

e na base e (1) , e (2) , . . . , e (3) tem coordenadas x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, então:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Porque Se os lados esquerdos dessas igualdades forem iguais, podemos igualar os lados direitos também:

(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6

Multiplique ambos os lados à direita por

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e obtemos:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Por outro lado

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

As últimas igualdades mostram a relação entre as coordenadas do vetor x → em ambas as bases.

Responder: matriz de transição

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

As coordenadas do vetor x → nas bases dadas estão relacionadas pela relação:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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Encontre a base do sistema de vetores e vetores não incluídos na base, expanda-os de acordo com a base:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Solução. Considere um sistema homogêneo de equações lineares

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

ou em forma expandida.

Resolveremos este sistema pelo método gaussiano, sem trocar linhas e colunas, e, além disso, escolhendo o elemento principal não no canto superior esquerdo, mas ao longo de toda a linha. O desafio é selecione a parte diagonal do sistema de vetores transformado.

~ ~

~ ~ ~ .

O sistema de vetores permitido, equivalente ao original, tem a forma

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Onde A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vetores A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 formam um sistema diagonal. Portanto, os vetores A 1 , A 3 , A 4 formam a base do sistema vetorial A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Vamos agora expandir os vetores A 2 E A 5 com base A 1 , A 3 , A 4. Para fazer isso, primeiro expandimos os vetores correspondentes A 2 1 E A 5 1 sistema diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, lembrando que os coeficientes de expansão de um vetor ao longo do sistema diagonal são suas coordenadas XI.

De (1) temos:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 ·2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vetores A 2 E A 5 são expandidos em base A 1 , A 3 , A 4 com os mesmos coeficientes dos vetores A 2 1 E A 5 1 sistema diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (esses coeficientes XI). Por isso,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Tarefas. 1.Encontre a base do sistema de vetores e vetores não incluídos na base, expanda-os de acordo com a base:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Encontre todas as bases do sistema vetorial:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

Aulas de álgebra e geometria. Semestre 1.

Aula 9. Base do espaço vetorial.

Resumo: sistema de vetores, combinação linear de um sistema de vetores, coeficientes de uma combinação linear de um sistema de vetores, base em uma reta, plano e no espaço, dimensões de espaços vetoriais em uma reta, plano e no espaço, decomposição de um vetor ao longo de uma base, coordenadas de um vetor em relação à base, teorema da igualdade de dois vetores, operações lineares com vetores em notação de coordenadas, tripla ortonormal de vetores, tripla direita e esquerda de vetores, base ortonormal, teorema fundamental da álgebra vetorial.

Capítulo 9. Base de um espaço vetorial e decomposição de um vetor em relação à base.

cláusula 1. Base em linha reta, no plano e no espaço.

Definição. Qualquer conjunto finito de vetores é chamado de sistema de vetores.

Definição. Expressão onde
é chamada de combinação linear de um sistema de vetores
, e os números
são chamados de coeficientes desta combinação linear.

Sejam L, P e S uma reta, um plano e um espaço de pontos, respectivamente, e
. Então
– espaços vetoriais de vetores como segmentos direcionados na reta L, no plano P e no espaço S, respectivamente.

qualquer vetor diferente de zero é chamado
, ou seja qualquer vetor diferente de zero colinear à linha L:
E
.

Designação de base
:
– base
.

Definição. Base do espaço vetorial
é qualquer par ordenado de vetores não colineares no espaço
.

, Onde
,
– base
.

Definição. Base do espaço vetorial
é qualquer triplo ordenado de vetores não coplanares (isto é, não situados no mesmo plano) do espaço
.

– base
.

Comente. A base de um espaço vetorial não pode conter um vetor zero: no espaço
por definição, no espaço
dois vetores serão colineares se pelo menos um deles for zero, no espaço
três vetores serão coplanares, ou seja, estarão no mesmo plano, se pelo menos um dos três vetores for zero.

cláusula 2. Decomposição de um vetor por base.

Definição. Deixar – vetor arbitrário,
– sistema arbitrário de vetores. Se a igualdade se mantiver

então eles dizem que o vetor apresentado como uma combinação linear de um determinado sistema de vetores. Se um determinado sistema de vetores
é a base de um espaço vetorial, então a igualdade (1) é chamada de decomposição do vetor por base
. Coeficientes de combinação linear
são chamadas neste caso as coordenadas do vetor em relação à base
.

Teorema. (Sobre a decomposição de um vetor em relação a uma base.)

Qualquer vetor de um espaço vetorial pode ser expandido em sua base e, além disso, de forma única.

Prova. 1) Seja L uma linha reta (ou eixo) arbitrária e
– base
. Vamos pegar um vetor arbitrário
. Como ambos os vetores E colinear à mesma linha L, então
. Utilizemos o teorema da colinearidade de dois vetores. Porque
, então existe (existe) tal número
, O que
e assim obtivemos a decomposição do vetor por base
Espaço vetorial
.

Agora vamos provar a unicidade de tal decomposição. Vamos supor o contrário. Sejam duas decomposições do vetor por base
Espaço vetorial
:

E
, Onde
. Então
e usando a lei da distributividade, obtemos:

Porque
, então da última igualdade segue que
, etc.

2) Seja agora P um plano arbitrário e
– base
. Deixar
um vetor arbitrário deste plano. Vamos representar graficamente todos os três vetores a partir de qualquer ponto deste plano. Vamos construir 4 linhas retas. Vamos fazer um direto , no qual o vetor está , direto
, no qual o vetor está . Até o final do vetor desenhe uma linha reta paralela ao vetor e uma reta paralela ao vetor . Estas 4 linhas retas esculpem um paralelogramo. Veja abaixo a fig. 3. De acordo com a regra do paralelogramo
, E
,
,
– base ,
– base
.

Agora, de acordo com o que já foi comprovado na primeira parte desta prova, existem tais números
, O que

E
. A partir daqui obtemos:

e comprovada a possibilidade de expansão da base.

Agora provamos a unicidade da expansão em termos de base. Vamos supor o contrário. Sejam duas decomposições do vetor por base
Espaço vetorial
:
E
. Nós obtemos igualdade

De onde isso vem?
. Se
, Que
, e porque
, Que
e os coeficientes de expansão são iguais:
,
. Deixe agora
. Então
, Onde
. Pelo teorema da colinearidade de dois vetores, segue-se que
. Obtivemos uma contradição com as condições do teorema. Por isso,
E
, etc.

3) Deixe
– base
deixa para lá
vetor arbitrário. Vamos realizar as seguintes construções.

Deixemos de lado todos os três vetores de base
e vetor de um ponto e construir 6 planos: o plano no qual se encontram os vetores de base
, avião
e avião
; mais adiante no final do vetor Vamos desenhar três planos paralelos aos três planos que acabamos de construir. Estes 6 planos esculpem um paralelepípedo:

Usando a regra de adição de vetores, obtemos a igualdade:

. (1)

Por construção
. A partir daqui, pelo teorema da colinearidade de dois vetores, segue-se que existe um número
, de tal modo que
. Da mesma maneira,
E
, Onde
. Agora, substituindo essas igualdades em (1), obtemos:

e comprovada a possibilidade de expansão da base.

Vamos provar a unicidade de tal decomposição. Vamos supor o contrário. Sejam duas decomposições do vetor por base
:

E . Então

Observe que por condição os vetores
não coplanares, portanto, são não colineares aos pares.

Há duas possibilidades:
ou
.

a) Deixe
, então da igualdade (3) segue:

. (4)

Da igualdade (4) segue-se que o vetor expande de acordo com a base
, ou seja vetor está no plano vetorial
e, portanto, os vetores
coplanar, o que contradiz a condição.

b) Resta um caso
, ou seja
. Então da igualdade (3) obtemos ou

Porque
é a base do espaço dos vetores situados no plano, e já provamos a unicidade da expansão na base dos vetores do plano, então da igualdade (5) segue que
E
, etc.

O teorema foi provado.

Consequência.

1) Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de vetores em um espaço vetorial
e o conjunto dos números reais R.

2) Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de vetores em um espaço vetorial
e um quadrado cartesiano

3) Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto de vetores em um espaço vetorial
e cubo cartesiano
conjunto de números reais R.

Prova. Vamos provar a terceira afirmação. Os dois primeiros são comprovados de maneira semelhante.

Selecione e fixe no espaço
alguma base
e organize uma exibição
de acordo com a seguinte regra:

aqueles. Vamos associar cada vetor a um conjunto ordenado de suas coordenadas.

Como, com uma base fixa, cada vetor possui um único conjunto de coordenadas, a correspondência especificada pela regra (6) é de fato um mapeamento.

Da prova do teorema segue-se que vetores diferentes têm coordenadas diferentes em relação à mesma base, ou seja, o mapeamento (6) é uma injeção.

Deixar
um conjunto ordenado arbitrário de números reais.

Considere um vetor
. Este vetor por construção tem coordenadas
. Consequentemente, o mapeamento (6) é uma sobrejeção.

Um mapeamento que é injetivo e sobrejetivo é bijetivo, ou seja, um a um, etc.

A investigação foi comprovada.

Teorema. (Sobre a igualdade de dois vetores.)

Dois vetores são iguais se e somente se suas coordenadas relativas à mesma base forem iguais.

A prova segue imediatamente do corolário anterior.

cláusula 3. Dimensão do espaço vetorial.

Definição. O número de vetores na base de um espaço vetorial é chamado de dimensão.

Designação:
– dimensão do espaço vetorial V.

Assim, de acordo com esta e as definições anteriores, temos:

1)
– espaço vetorial de vetores da reta L.

– base
,
,
,
– decomposição vetorial
por base
,
– coordenada vetorial em relação à base
.

2)
– espaço vetorial de vetores do plano R.

– base
,
,
,
– decomposição vetorial
por base
,
– coordenadas vetoriais em relação à base
.

3)
– espaço vetorial de vetores no espaço de pontos S.

– base
,
,
– decomposição vetorial
por base
,
– coordenadas vetoriais em relação à base
.

Comente. Se
, Que
e você pode escolher uma base
espaço
Então
– base
E
– base
. Então
, E
, .

Assim, qualquer vetor da reta L, plano P e espaço S pode ser expandido de acordo com a base
:

Designação. Em virtude do teorema da igualdade de vetores, podemos identificar qualquer vetor com uma tripla ordenada de números reais e escrever:

Isto só é possível se a base
fixo e não há perigo de ficar emaranhado.

Definição. Escrever um vetor na forma de um triplo ordenado de números reais é chamado de forma coordenada de escrever um vetor:
.

cláusula 4. Operações lineares com vetores em notação de coordenadas.

Deixar
– base do espaço
E
são dois de seus vetores arbitrários. Deixar
E
– registro desses vetores em forma de coordenadas. Deixemos, ainda,
é um número real arbitrário. Usando esta notação, o seguinte teorema é válido.

Teorema. (Sobre operações lineares com vetores em forma de coordenadas.)

2)
.

Em outras palavras, para somar dois vetores, é necessário somar suas coordenadas correspondentes, e para multiplicar um vetor por um número, é necessário multiplicar cada coordenada de um determinado vetor por um determinado número.

Prova. Visto que, de acordo com as condições do teorema, , então usando os axiomas do espaço vetorial, que regem as operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um número, obtemos:

Isso implica .

A segunda igualdade é provada de maneira semelhante.

O teorema foi provado.

cláusula 5. Vetores ortogonais. Base ortonormal.

Definição. Dois vetores são chamados ortogonais se o ângulo entre eles for igual a um ângulo reto, ou seja,
.

Designação:
– vetores E ortogonal.

Definição. Troika de vetores
é chamado ortogonal se esses vetores forem ortogonais entre si, ou seja,
,
.

Definição. Troika de vetores
é chamado ortonormal se for ortogonal e os comprimentos de todos os vetores forem iguais a um:
.

Comente. Da definição segue-se que uma tripla de vetores ortogonal e, portanto, ortonormal é não coplanar.

Definição. Trigêmeo vetorial não coplanar ordenado
plotado a partir de um ponto é chamado de direita (orientado para a direita) se, quando observado a partir do final do terceiro vetor ao plano em que se encontram os dois primeiros vetores E , rotação mais curta do primeiro vetor para o segundo ocorre no sentido anti-horário. Caso contrário, o triplo de vetores é chamado de esquerda (orientado para a esquerda).

Aqui, na Fig. 6, os três vetores da direita são mostrados
. A figura 7 a seguir mostra os três vetores à esquerda
:

Definição. Base
Espaço vetorial
é chamado ortonormal se
tripla ortonormal de vetores.

Designação. A seguir usaremos a base ortonormal direita
, veja a figura a seguir.

Expressão do formulário chamado combinação linear de vetores A 1 , A 2 ,...,A n com probabilidades λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinação da dependência linear de um sistema de vetores

Sistema vetorial A 1 , A 2 ,...,A n chamado linearmente dependente, se existe um conjunto de números diferente de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, em que a combinação linear de vetores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n igual ao vetor zero, ou seja, o sistema de equações: tem uma solução diferente de zero.
Conjunto de números λ 1, λ 2 ,...,λ n é diferente de zero se pelo menos um dos números λ 1, λ 2 ,...,λ n diferente de zero.

Determinação da independência linear de um sistema de vetores

Sistema vetorial A 1 , A 2 ,...,A n chamado Linearmente independente, se a combinação linear desses vetores λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n igual ao vetor zero apenas para um conjunto zero de números λ 1, λ 2 ,...,λ n , ou seja, o sistema de equações: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ tem uma solução zero única.

Exemplo 29.1

Verifique se um sistema de vetores é linearmente dependente

Solução:

1. Nós compomos um sistema de equações:

2. Resolvemos usando o método Gauss. As transformações de Jordanano do sistema são apresentadas na Tabela 29.1. Ao calcular, os lados direitos do sistema não são anotados, pois são iguais a zero e não mudam durante as transformações de Jordan.

3. Das últimas três linhas da tabela escreva um sistema resolvido equivalente ao original sistema:

4. Obtemos a solução geral do sistema:

5. Tendo definido o valor da variável livre x 3 =1 a seu critério, obtemos uma solução particular diferente de zero X=(-3,2,1).

Resposta: Assim, para um conjunto de números diferente de zero (-3,2,1), a combinação linear de vetores é igual ao vetor zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Por isso, sistema vetorial linearmente dependente.

Propriedades de sistemas vetoriais

Propriedade (1)
Se um sistema de vetores é linearmente dependente, então pelo menos um dos vetores é expandido em termos dos outros e, inversamente, se pelo menos um dos vetores do sistema é expandido em termos dos outros, então o sistema de vetores é linearmente dependente.

Propriedade (2)
Se qualquer subsistema de vetores for linearmente dependente, então todo o sistema será linearmente dependente.

Propriedade (3)
Se um sistema de vetores é linearmente independente, então qualquer um dos seus subsistemas é linearmente independente.

Propriedade (4)
Qualquer sistema de vetores contendo um vetor zero é linearmente dependente.

Propriedade (5)
Um sistema de vetores m-dimensionais é sempre linearmente dependente se o número de vetores n for maior que sua dimensão (n>m)

Base do sistema vetorial

A base do sistema vetorial A 1 , A 2 ,..., A n tal subsistema B 1 , B 2 ,...,B r é chamado(cada um dos vetores B 1,B 2,...,B r é um dos vetores A 1, A 2,..., A n), que satisfaz as seguintes condições:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistema de vetores linearmente independente;
2. qualquer vetor Um j sistema A 1 , A 2 ,..., A n é expresso linearmente através dos vetores B 1 , B 2 ,..., B r

R— o número de vetores incluídos na base.

Teorema 29.1 Na base unitária de um sistema de vetores.

Se um sistema de vetores m-dimensionais contém m vetores unitários diferentes E 1 E 2 ,..., Em , então eles formam a base do sistema.

Algoritmo para encontrar a base de um sistema de vetores

Para encontrar a base do sistema de vetores A 1 ,A 2 ,...,A n é necessário:

• Crie um sistema homogêneo de equações correspondentes ao sistema de vetores A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Traga este sistema

Definição de base. Um sistema de vetores forma uma base se:

1) é linearmente independente,

2) qualquer vetor de espaço pode ser expresso linearmente através dele.

Exemplo 1. Base espacial: .

2. No sistema vetorial a base são os vetores: , porque expresso linearmente em termos de vetores.

Comente. Para encontrar a base de um determinado sistema de vetores você precisa:

1) escreva as coordenadas dos vetores na matriz,

2) usando transformações elementares, traga a matriz para uma forma triangular,

3) linhas diferentes de zero da matriz serão a base do sistema,

4) o número de vetores na base é igual à classificação da matriz.

Teorema de Kronecker-Capelli

O teorema de Kronecker-Capelli fornece uma resposta abrangente à questão da compatibilidade de um sistema arbitrário de equações lineares com incógnitas

Teorema de Kronecker-Capelli. Um sistema de equações algébricas lineares é consistente se e somente se o posto da matriz estendida do sistema for igual ao posto da matriz principal,.

O algoritmo para encontrar todas as soluções para um sistema simultâneo de equações lineares segue do teorema de Kronecker-Capelli e dos teoremas seguintes.

Teorema. Se o posto de um sistema conjunto for igual ao número de incógnitas, então o sistema possui uma solução única.

Teorema. Se o posto de um sistema conjunto for menor que o número de incógnitas, então o sistema terá um número infinito de soluções.

Algoritmo para resolver um sistema arbitrário de equações lineares:

1. Encontre as classificações das matrizes principal e estendida do sistema. Se não forem iguais (), então o sistema é inconsistente (não tem soluções). Se as classificações forem iguais ( , então o sistema é consistente.

2. Para um sistema conjunto, encontramos algum menor, cuja ordem determina a classificação da matriz (tal menor é chamado de básico). Vamos compor um novo sistema de equações em que os coeficientes das incógnitas estão incluídos no menor básico (essas incógnitas são chamadas de incógnitas principais) e descartar as equações restantes. Deixaremos as principais incógnitas com coeficientes à esquerda e moveremos as incógnitas restantes (são chamadas de incógnitas livres) para o lado direito das equações.

3. Encontremos expressões para as principais incógnitas em termos de incógnitas livres. Obtemos a solução geral do sistema.

4. Ao atribuir valores arbitrários às incógnitas livres, obtemos os valores correspondentes das incógnitas principais. Desta forma encontramos soluções parciais para o sistema de equações original.

Programação linear. Conceitos Básicos

Programação linearé um ramo da programação matemática que estuda métodos de resolução de problemas extremos que se caracterizam por uma relação linear entre variáveis ​​​​e um critério linear.

Uma condição necessária para colocar um problema de programação linear são as restrições à disponibilidade de recursos, à quantidade de demanda, à capacidade de produção da empresa e a outros fatores de produção.

A essência da programação linear é encontrar os pontos de maior ou menor valor de uma determinada função sob um determinado conjunto de restrições impostas aos argumentos e geradores sistema de restrições , que, via de regra, possui um número infinito de soluções. Cada conjunto de valores de variáveis ​​(argumentos de função F ) que satisfazem o sistema de restrições é chamado plano válido problemas de programação linear. Função F , cujo máximo ou mínimo é determinado é chamado função alvo tarefas. Um plano viável no qual o máximo ou mínimo de uma função é alcançado F , chamado plano ideal tarefas.

O sistema de restrições que determina muitos planos é ditado pelas condições de produção. Problema de programação linear ( ZLP ) é a escolha do mais rentável (ótimo) de um conjunto de planos viáveis.

Na sua formulação geral, o problema de programação linear se parece com isto:

Existem variáveis? x = (x 1, x 2, ... x n) e a função dessas variáveis f (x) = f (x 1, x 2, ... x n) , que é chamado alvo funções. A tarefa está definida: encontrar o extremo (máximo ou mínimo) da função objetivo f(x) desde que as variáveis x pertence a alguma área G :

Dependendo do tipo de função f(x) e regiões G e distinguir entre seções de programação matemática: programação quadrática, programação convexa, programação inteira, etc. A programação linear é caracterizada pelo fato de que
uma função f(x) é uma função linear das variáveis x 1, x 2, … x n
b) região G determinado pelo sistema linear igualdades ou desigualdades.