É improvável que pelo menos um ano da vida de nossa redação não tenha recebido uma boa dúzia de provas do teorema de Fermat. Agora, após a “vitória” sobre ele, o fluxo diminuiu, mas não secou.

Claro, para não secar completamente, publicamos este artigo. E não em minha própria defesa - dizem eles, é por isso que ficamos calados, nós mesmos ainda não amadurecemos para discutir problemas tão complexos.

Mas se o artigo realmente parecer complicado, olhe logo para o final dele. Você terá que sentir que as paixões se acalmaram temporariamente, a ciência não acabou e em breve novas provas de novos teoremas serão enviadas aos editores.

Parece que o século 20 não foi em vão. Primeiro, as pessoas criaram um segundo Sol por um momento detonando uma bomba de hidrogênio. Então eles caminharam na lua e finalmente provaram o notório teorema de Fermat. Desses três milagres, os dois primeiros estão na boca de todos, pois tiveram enormes consequências sociais. Pelo contrário, o terceiro milagre parece outro brinquedo científico - a par da teoria da relatividade, da mecânica quântica e do teorema de Gödel sobre a incompletude da aritmética. No entanto, a relatividade e os quanta levaram os físicos à bomba de hidrogênio, e a pesquisa dos matemáticos encheu nosso mundo de computadores. Essa série de milagres continuará no século 21? É possível traçar a conexão entre os próximos brinquedos científicos e as revoluções em nossa vida cotidiana? Essa conexão nos permite fazer previsões bem-sucedidas? Vamos tentar entender isso usando o exemplo do teorema de Fermat.

Notemos, para começar, que ela nasceu muito depois de seu termo natural. Afinal, o primeiro caso especial do teorema de Fermat é a equação de Pitágoras X 2 + Y 2 = Z 2 , relacionando os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo. Tendo provado esta fórmula vinte e cinco séculos atrás, Pitágoras imediatamente se perguntou: existem muitos triângulos na natureza em que ambos os catetos e a hipotenusa têm um comprimento inteiro? Parece que os egípcios conheciam apenas um desses triângulos - com lados (3, 4, 5). Mas não é difícil encontrar outras opções: por exemplo (5, 12, 13) , (7, 24, 25) ou (8, 15, 17) . Em todos esses casos, o comprimento da hipotenusa tem a forma (A 2 + B 2), onde A e B são números coprimos de paridade diferente. Nesse caso, os comprimentos das pernas são iguais a (A 2 - B 2) e 2AB.

Percebendo essas relações, Pitágoras provou facilmente que qualquer trio de números (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) é uma solução para a equação X 2 + Y 2 \u003d Z 2 e define um retângulo com comprimentos laterais mutuamente simples. Também é visto que o número de triplos diferentes desse tipo é infinito. Mas todas as soluções da equação de Pitágoras têm esta forma? Pitágoras foi incapaz de provar ou refutar tal hipótese e deixou este problema para a posteridade sem chamar a atenção para ele. Quem quer destacar suas falhas? Parece que depois disso o problema dos triângulos retângulos integrais ficou no esquecimento por sete séculos - até que um novo gênio matemático chamado Diofanto apareceu em Alexandria.

Sabemos pouco sobre ele, mas está claro que ele não era nada parecido com Pitágoras. Ele se sentia um rei em geometria e até além - seja na música, na astronomia ou na política. A primeira conexão aritmética entre os comprimentos dos lados de uma harpa harmoniosa, o primeiro modelo do Universo a partir de esferas concêntricas que carregam planetas e estrelas, com a Terra no centro e, finalmente, a primeira república de cientistas na cidade italiana de Crotone - essas são as realizações pessoais de Pitágoras. O que Diofanto poderia opor a tais sucessos - um modesto pesquisador do grande Museu, que há muito deixou de ser o orgulho da multidão da cidade?

Apenas uma coisa: uma melhor compreensão do antigo mundo dos números, cujas leis Pitágoras, Euclides e Arquimedes mal tiveram tempo de sentir. Observe que Diofanto ainda não dominava o sistema posicional de escrever números grandes, mas sabia o que eram números negativos e provavelmente passou muitas horas pensando por que o produto de dois números negativos é positivo. O mundo dos números inteiros foi revelado pela primeira vez a Diofanto como um universo especial, diferente do mundo das estrelas, segmentos ou poliedros. A principal ocupação dos cientistas neste mundo é resolver equações, um verdadeiro mestre encontra todas as soluções possíveis e prova que não existem outras soluções. Foi isso que Diofanto fez com a equação quadrática de Pitágoras, e então pensou: pelo menos uma solução tem uma equação cúbica semelhante X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diofanto não conseguiu encontrar tal solução; sua tentativa de provar que não há soluções também não teve sucesso. Portanto, elaborando os resultados de seu trabalho no livro "Aritmética" (foi o primeiro livro didático do mundo sobre teoria dos números), Diofanto analisou detalhadamente a equação pitagórica, mas não deu uma palavra sobre as possíveis generalizações dessa equação. Mas ele podia: afinal, foi Diofanto quem primeiro propôs a notação para as potências dos números inteiros! Mas, infelizmente: o conceito de “livro de tarefas” era estranho à ciência e pedagogia helênica, e publicar listas de problemas não resolvidos era considerado uma ocupação indecente (apenas Sócrates agia de maneira diferente). Se você não consegue resolver o problema - cale a boca! Diofanto ficou em silêncio, e esse silêncio se arrastou por quatorze séculos - até o início da Nova Era, quando o interesse pelo processo do pensamento humano foi reavivado.

Quem não fantasiava nada na virada dos séculos 16 para 17! A infatigável calculadora Kepler tentou adivinhar a conexão entre as distâncias do Sol aos planetas. Pitágoras falhou. O sucesso de Kepler veio depois que ele aprendeu a integrar polinômios e outras funções simples. Pelo contrário, o sonhador Descartes não gostava de cálculos longos, mas foi ele quem primeiro apresentou todos os pontos do plano ou espaço como conjuntos de números. Este modelo audacioso reduz qualquer problema geométrico sobre figuras a algum problema algébrico sobre equações - e vice-versa. Por exemplo, soluções inteiras da equação de Pitágoras correspondem a pontos inteiros na superfície de um cone. A superfície correspondente à equação cúbica X 3 + Y 3 = Z 3 parece mais complicada, suas propriedades geométricas não sugeriram nada a Pierre Fermat e ele teve que abrir novos caminhos na selva dos números inteiros.

Em 1636, um livro de Diofanto, apenas traduzido para o latim de um original grego, caiu nas mãos de um jovem advogado de Toulouse, sobrevivendo acidentalmente em algum arquivo bizantino e trazido para a Itália por um dos fugitivos romanos na época da invasão turca. ruína. Lendo uma discussão elegante da equação de Pitágoras, Fermat pensou: é possível encontrar tal solução, que consiste em três números quadrados? Não há números pequenos desse tipo: é fácil verificar isso por enumeração. E as grandes decisões? Sem um computador, Fermat não poderia realizar um experimento numérico. Mas ele notou que para cada solução "grande" da equação X 4 + Y 4 = Z 4, pode-se construir uma solução menor. Portanto, a soma das quartas potências de dois números inteiros nunca é igual à mesma potência do terceiro número! E a soma de dois cubos?

Inspirado pelo sucesso do grau 4, Fermat tentou modificar o "método de descida" para o grau 3 - e conseguiu. Descobriu-se que era impossível compor dois pequenos cubos daqueles cubos únicos nos quais um grande cubo com um comprimento inteiro de uma aresta se desfez. O triunfante Fermat fez uma breve anotação nas margens do livro de Diofanto e enviou uma carta a Paris com um relatório detalhado de sua descoberta. Mas ele não recebeu uma resposta - embora geralmente os matemáticos da capital reagissem rapidamente ao próximo sucesso de seu único colega rival em Toulouse. Qual é o problema aqui?

Muito simplesmente: em meados do século XVII, a aritmética havia saído de moda. Os grandes sucessos dos algebristas italianos do século XVI (quando foram resolvidas equações polinomiais de graus 3 e 4) não se tornaram o início de uma revolução científica geral, porque não permitiram resolver novos problemas brilhantes em campos adjacentes da ciência. Agora, se Kepler pudesse adivinhar as órbitas dos planetas usando aritmética pura ... Mas, infelizmente, isso exigia análise matemática. Isso significa que deve ser desenvolvido - até o triunfo completo dos métodos matemáticos nas ciências naturais! Mas a análise nasce da geometria, enquanto a aritmética continua sendo um campo de jogo para advogados ociosos e outros amantes da eterna ciência dos números e figuras.

Assim, os sucessos aritméticos de Fermat acabaram sendo inoportunos e não foram apreciados. Ele não ficou chateado com isso: para fama de matemático, os fatos do cálculo diferencial, geometria analítica e teoria da probabilidade foram revelados a ele pela primeira vez. Todas essas descobertas de Fermat entraram imediatamente no fundo dourado da nova ciência européia, enquanto a teoria dos números desapareceu por mais cem anos - até ser revivida por Euler.

Este "rei dos matemáticos" do século XVIII foi um campeão em todas as aplicações da análise, mas também não negligenciou a aritmética, pois novos métodos de análise levaram a fatos inesperados sobre os números. Quem diria que a soma infinita dos quadrados inversos (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) é igual a π 2 /6? Quem entre os helenos poderia prever que séries semelhantes permitiriam provar a irracionalidade do número π?

Tais sucessos forçaram Euler a reler cuidadosamente os manuscritos sobreviventes de Fermat (felizmente, o filho do grande francês conseguiu publicá-los). É verdade que a prova do "grande teorema" para o grau 3 não foi preservada, mas Euler a restaurou facilmente apenas apontando para o "método de descida" e imediatamente tentou transferir esse método para o próximo grau primo - 5.

Não estava lá! No raciocínio de Euler, apareciam números complexos que Fermat conseguia não notar (esse é o lote usual dos descobridores). Mas a fatoração de inteiros complexos é um assunto delicado. Mesmo Euler não o entendeu totalmente e colocou o "problema de Fermat" de lado, com pressa de concluir sua obra principal - o livro "Fundamentos da Análise", que deveria ajudar todo jovem talentoso a se igualar a Leibniz e Euler. A publicação do livro didático foi concluída em São Petersburgo em 1770. Mas Euler não voltou ao teorema de Fermat, certo de que tudo o que suas mãos e mente tocassem não seria esquecido pela nova juventude científica.

E assim aconteceu: o francês Adrien Legendre tornou-se o sucessor de Euler na teoria dos números. No final do século 18, ele completou a prova do teorema de Fermat para o grau 5 - e embora tenha falhado para grandes potências primárias, ele compilou outro livro sobre teoria dos números. Que seus jovens leitores superem o autor da mesma forma que os leitores dos Princípios Matemáticos da Filosofia Natural superaram o grande Newton! Legendre não era páreo para Newton ou Euler, mas havia dois gênios entre seus leitores: Carl Gauss e Evariste Galois.

Uma concentração tão alta de gênios foi facilitada pela Revolução Francesa, que proclamou o culto estatal da Razão. Depois disso, todo cientista talentoso se sentiu como Colombo ou Alexandre, o Grande, capaz de descobrir ou conquistar um novo mundo. Muitos conseguiram, é por isso que no século XIX o progresso científico e tecnológico se tornou o principal motor da evolução da humanidade, e todos os governantes razoáveis ​​​​(começando com Napoleão) estavam cientes disso.

Gauss tinha um caráter próximo de Colombo. Mas ele (como Newton) não sabia como cativar a imaginação de governantes ou estudantes com belos discursos e, portanto, limitou suas ambições à esfera dos conceitos científicos. Aqui ele podia fazer o que quisesse. Por exemplo, o antigo problema da trissecção de um ângulo por algum motivo não pode ser resolvido com régua e compasso. Com a ajuda de números complexos representando pontos do plano, Gauss traduz esse problema para a linguagem da álgebra - e obtém uma teoria geral da viabilidade de certas construções geométricas. Assim, ao mesmo tempo, apareceu uma prova rigorosa da impossibilidade de construir um 7 ou 9 gon regular com uma bússola e uma régua, e tal forma de construir um 17 gon regular, que os mais sábios geômetras da Hellas fizeram não sonha.

Claro, esse sucesso não é dado em vão: é preciso inventar novos conceitos que reflitam a essência do assunto. Newton introduziu três desses conceitos: fluxo (derivado), fluente (integral) e série de potências. Eles foram suficientes para criar análises matemáticas e o primeiro modelo científico do mundo físico, incluindo mecânica e astronomia. Gauss também introduziu três novos conceitos: espaço vetorial, campo e anel. Uma nova álgebra surgiu deles, subordinando a aritmética grega e a teoria das funções numéricas criada por Newton. Restava subordinar a lógica criada por Aristóteles à álgebra: então seria possível provar a dedutibilidade ou não derivabilidade de quaisquer afirmações científicas deste conjunto de axiomas com a ajuda de cálculos! Por exemplo, o teorema de Fermat deriva dos axiomas da aritmética ou o postulado de linhas paralelas de Euclides deriva de outros axiomas da planimetria?

Gauss não teve tempo de realizar esse sonho ousado - embora tenha avançado muito e adivinhado a possibilidade da existência de álgebras exóticas (não comutativas). Apenas o ousado russo Nikolai Lobachevsky conseguiu construir a primeira geometria não euclidiana, e a primeira álgebra não comutativa (Teoria dos Grupos) foi administrada pelo francês Evariste Galois. E só muito depois da morte de Gauss - em 1872 - o jovem alemão Felix Klein adivinhou que a variedade de geometrias possíveis pode ser colocada em correspondência direta com a variedade de álgebras possíveis. Simplificando, toda geometria é definida por seu grupo de simetria - enquanto a álgebra geral estuda todos os grupos possíveis e suas propriedades.

Mas essa compreensão da geometria e da álgebra veio muito mais tarde, e o ataque ao teorema de Fermat foi retomado durante a vida de Gauss. Ele próprio negligenciou o teorema de Fermat por princípio: não é função do rei resolver problemas individuais que não se encaixam em uma teoria científica brilhante! Mas os alunos de Gauss, armados com sua nova álgebra e a análise clássica de Newton e Euler, raciocinaram de maneira diferente. Primeiro, Peter Dirichlet provou o teorema de Fermat para o grau 7 usando o anel de inteiros complexos gerados pelas raízes desse grau de unidade. Então Ernst Kummer estendeu o método de Dirichlet a TODOS os graus primos (!) - pareceu-lhe apressado e ele triunfou. Mas logo veio a sobriedade: a prova passa perfeitamente apenas se cada elemento do anel for decomposto exclusivamente em fatores primos! Para inteiros ordinários, esse fato já era conhecido por Euclides, mas apenas Gauss deu sua prova rigorosa. Mas e os números complexos inteiros?

De acordo com o “princípio do maior dano”, pode e DEVE ocorrer uma fatoração ambígua! Assim que Kummer aprendeu a calcular o grau de ambiguidade por métodos de análise matemática, ele descobriu esse truque sujo no ringue para o grau 23. Gauss não teve tempo de aprender sobre essa versão da álgebra comutativa exótica, mas os alunos de Gauss cresceram no lugar de outro truque sujo, uma nova e bela Teoria dos Ideais. É verdade que isso não ajudou muito na solução do problema de Fermat: apenas sua complexidade natural ficou mais clara.

Ao longo do século 19, esse antigo ídolo exigia cada vez mais sacrifícios de seus admiradores na forma de novas teorias complexas. Não é de surpreender que, no início do século 20, os crentes tenham desanimado e se rebelado, rejeitando seu antigo ídolo. A palavra "fermatista" tornou-se um termo pejorativo entre os matemáticos profissionais. E embora um prêmio considerável tenha sido atribuído à prova completa do teorema de Fermat, seus candidatos eram em sua maioria ignorantes autoconfiantes. Os matemáticos mais fortes da época - Poincaré e Hilbert - desafiadoramente evitavam esse tópico.

Em 1900, Hilbert não incluiu o Teorema de Fermat na lista dos 23 principais problemas enfrentados pela matemática do século XX. É verdade que ele incluiu em sua série o problema geral da solubilidade das equações diofantinas. A dica era clara: siga o exemplo de Gauss e Galois, crie teorias gerais de novos objetos matemáticos! Então, em um belo dia (mas não previsível com antecedência), a lasca velha cairá sozinha.

Assim agia o grande romântico Henri Poincaré. Negligenciando muitos problemas "eternos", durante toda a sua vida ele estudou as SIMETRIAS de vários objetos da matemática ou da física: ou funções de uma variável complexa, ou trajetórias de movimento de corpos celestes, ou curvas algébricas ou variedades suaves (essas são generalizações multidimensionais de curvas linhas). O motivo de suas ações era simples: se dois objetos diferentes têm simetrias semelhantes, significa que existe uma relação interna entre eles, que ainda não conseguimos compreender! Por exemplo, cada uma das geometrias bidimensionais (Euclides, Lobachevsky ou Riemann) tem seu próprio grupo de simetria, que atua no plano. Mas os pontos do plano são números complexos: assim a ação de qualquer grupo geométrico é transferida para o vasto mundo das funções complexas. É possível e necessário estudar as mais simétricas dessas funções: AUTOMORFA (que estão sujeitas ao grupo de Euclides) e MODULAR (que estão sujeitas ao grupo de Lobachevsky)!

Existem também curvas elípticas no plano. Eles não têm nada a ver com a elipse, mas são dados por equações da forma Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX e, portanto, se cruzam com qualquer linha reta em três pontos. Este fato nos permite introduzir a multiplicação entre os pontos de uma curva elíptica - transformá-la em um grupo. A estrutura algébrica desse grupo reflete as propriedades geométricas da curva; talvez ela seja exclusivamente determinada por seu grupo? Vale a pena estudar essa questão, pois para algumas curvas o grupo que nos interessa acaba sendo modular, ou seja, está relacionado à geometria de Lobachevsky ...

Foi assim que Poincaré raciocinou, seduzindo a juventude matemática da Europa, mas no início do século XX essas tentações não levaram a teoremas ou hipóteses brilhantes. Aconteceu diferente com o chamado de Hilbert: estudar as soluções gerais das equações diofantinas com coeficientes inteiros! Em 1922, o jovem americano Lewis Mordell conectou o conjunto de soluções de tal equação (este é um espaço vetorial de certa dimensão) com o gênero geométrico da curva complexa que é dada por esta equação. Mordell chegou à conclusão de que se o grau da equação for suficientemente grande (mais de dois), então a dimensão do espaço de soluções é expressa em termos do gênero da curva e, portanto, essa dimensão é FINITA. Pelo contrário - à potência de 2, a equação de Pitágoras tem uma família de soluções INFINITA-DIMENSIONAL!

Claro, Mordell viu a conexão de sua hipótese com o teorema de Fermat. Se ficar conhecido que para cada grau n > 2 o espaço de soluções inteiras da equação de Fermat é de dimensão finita, isso ajudará a provar que tais soluções não existem! Mas Mordell não viu como provar sua hipótese - e embora tenha vivido uma vida longa, não esperou pela transformação dessa hipótese no teorema de Faltings. Isso aconteceu em 1983, em uma época completamente diferente, após os grandes sucessos da topologia algébrica de variedades.

Poincaré criou essa ciência como que por acaso: ele queria saber o que são as variedades tridimensionais. Afinal, Riemann descobriu a estrutura de todas as superfícies fechadas e obteve uma resposta muito simples! Se não houver tal resposta em um caso tridimensional ou multidimensional, você precisará criar um sistema de invariantes algébricos da variedade que determine sua estrutura geométrica. É melhor que tais invariantes sejam elementos de alguns grupos - comutativos ou não comutativos.

Por mais estranho que pareça, esse audacioso plano de Poincaré deu certo: foi executado de 1950 a 1970 graças ao esforço de muitos geômetras e algebristas. Até 1950, houve um acúmulo silencioso de vários métodos de classificação de variedades e, após essa data, uma massa crítica de pessoas e ideias parecia ter se acumulado e ocorreu uma explosão, comparável à invenção da análise matemática no século XVII. Mas a revolução analítica durou um século e meio, cobrindo as biografias criativas de quatro gerações de matemáticos - de Newton e Leibniz a Fourier e Cauchy. Pelo contrário, a revolução topológica do século XX ocorreu em vinte anos, graças ao grande número de seus participantes. Ao mesmo tempo, surgiu uma grande geração de jovens matemáticos autoconfiantes, repentinamente deixados sem trabalho em sua pátria histórica.

Nos anos 70, eles correram para os campos adjacentes da matemática e da física teórica. Muitos criaram suas próprias escolas científicas em dezenas de universidades na Europa e na América. Muitos alunos de diferentes idades e nacionalidades, com diferentes habilidades e inclinações, ainda circulam entre esses centros, e todos querem ser famosos por alguma descoberta. Foi nesse pandemônio que a conjectura de Mordell e o teorema de Fermat foram finalmente comprovados.

No entanto, a primeira andorinha, sem saber de seu destino, cresceu no Japão nos anos famintos e desempregados do pós-guerra. O nome da andorinha era Yutaka Taniyama. Em 1955, esse herói completou 28 anos e decidiu (junto com os amigos Goro Shimura e Takauji Tamagawa) reviver a pesquisa matemática no Japão. Por onde começar? Claro, superando o isolamento de colegas estrangeiros! Assim, em 1955, três jovens japoneses organizaram a primeira conferência internacional sobre álgebra e teoria dos números em Tóquio. Aparentemente, era mais fácil fazer isso no Japão reeducado pelos americanos do que na Rússia congelada por Stalin ...

Entre os convidados de honra estavam dois heróis da França: André Weil e Jean-Pierre Serre. Aqui os japoneses tiveram muita sorte: Weil era o chefe reconhecido dos algebristas franceses e membro do grupo Bourbaki, e o jovem Serre desempenhou um papel semelhante entre os topologistas. Em discussões acaloradas com eles, as cabeças dos jovens japoneses quebraram, seus cérebros derreteram, mas no final cristalizaram-se tais ideias e planos que dificilmente poderiam ter nascido em um ambiente diferente.

Um dia, Taniyama abordou Weil com uma pergunta sobre curvas elípticas e funções modulares. A princípio, o francês não entendeu nada: Taniyama não era um mestre em falar inglês. Então a essência do assunto ficou clara, mas Taniyama não conseguiu dar uma formulação exata às suas esperanças. Tudo o que Weil pôde responder ao jovem japonês foi que, se ele tivesse muita sorte em termos de inspiração, algo sensato surgiria de suas vagas hipóteses. Mas enquanto a esperança é fraca!

Obviamente, Weil não percebeu o fogo celestial no olhar de Taniyama. E houve fogo: parece que por um momento o pensamento indomável do falecido Poincaré se mudou para os japoneses! Taniyama passou a acreditar que toda curva elíptica é gerada por funções modulares - mais precisamente, é "uniformizada por uma forma modular". Infelizmente, essa redação exata nasceu muito mais tarde - nas conversas de Taniyama com seu amigo Shimura. E então Taniyama cometeu suicídio em um ataque de depressão... Sua hipótese ficou sem dono: não estava claro como provar ou onde testar e, portanto, ninguém levou a sério por muito tempo. A primeira resposta veio apenas trinta anos depois - quase como na época de Fermat!

O gelo quebrou em 1983, quando o alemão Gerd Faltings, de 27 anos, anunciou ao mundo inteiro: a conjectura de Mordell havia sido provada! Os matemáticos estavam em guarda, mas Faltings era um verdadeiro alemão: não havia lacunas em sua longa e complicada prova. É que chegou a hora, fatos e conceitos se acumularam - e agora um algebrista talentoso, contando com os resultados de outros dez algebristas, conseguiu resolver um problema que esperava o mestre há sessenta anos. Isso não é incomum na matemática do século XX. Vale lembrar o problema do contínuo secular na teoria dos conjuntos, as duas conjecturas de Burnside na teoria dos grupos ou a conjectura de Poincaré na topologia. Finalmente, na teoria dos números, chegou a hora de colher as colheitas antigas ... Qual será o próximo topo de uma série de matemáticos conquistados? O problema de Euler, a hipótese de Riemann ou o teorema de Fermat entrarão em colapso? É bom!

E agora, dois anos após a revelação de Faltings, outro matemático inspirado apareceu na Alemanha. Seu nome era Gerhard Frey, e ele afirmou algo estranho: que o teorema de Fermat é DERIVADO da conjectura de Taniyama! Infelizmente, o estilo de Frey de expressar seus pensamentos lembrava mais o infeliz Taniyama do que seu claro compatriota Faltings. Na Alemanha, ninguém entendeu Frey, e ele foi para o exterior - para a gloriosa cidade de Princeton, onde, depois de Einstein, eles se acostumaram a não receber esses visitantes. Não é de admirar que Barry Mazur, um topologista versátil, um dos heróis do recente ataque às variedades lisas, tenha feito seu ninho ali. E um aluno cresceu ao lado de Mazur - Ken Ribet, igualmente experiente nas complexidades da topologia e da álgebra, mas ainda não se gloriando de forma alguma.

Quando ouviu os discursos de Frey pela primeira vez, Ribet decidiu que isso era um absurdo e quase ficção científica (provavelmente Weil reagiu às revelações de Taniyama da mesma maneira). Mas Ribet não conseguia esquecer essa "fantasia" e às vezes voltava a ela mentalmente. Seis meses depois, Ribet acreditou que havia algo sensato nas fantasias de Frey e, um ano depois, decidiu que ele mesmo quase poderia provar a estranha hipótese de Frey. Mas alguns "buracos" permaneceram e Ribet decidiu confessar a seu chefe Mazur. Ele ouviu atentamente o aluno e respondeu calmamente: “Sim, você fez tudo! Aqui você precisa aplicar a transformação Ф, aqui - use os lemas B e K, e tudo ficará com uma forma impecável! Então Ribet deu um salto da obscuridade para a imortalidade, usando uma catapulta na pessoa de Frey e Mazur. Para ser justo, todos eles - junto com o falecido Taniyama - devem ser considerados provas do Último Teorema de Fermat.

Mas aqui está o problema: eles derivaram sua declaração da hipótese de Taniyama, que em si não foi provada! E se ela for infiel? Os matemáticos sabem há muito tempo que "tudo decorre de uma mentira", se o palpite de Taniyama estiver errado, o raciocínio impecável de Ribet é inútil! Precisamos urgentemente provar (ou refutar) a conjectura de Taniyama - caso contrário, alguém como Faltings provará o teorema de Fermat de uma maneira diferente. Ele se tornará um herói!

É improvável que algum dia saibamos quantos algebristas jovens ou experientes pularam no teorema de Fermat após o sucesso de Faltings ou após a vitória de Ribet em 1986. Todos eles tentaram trabalhar em segredo, para que, em caso de falha, não fossem classificados entre a comunidade de “manequins”-fermatistas. Sabe-se que o mais bem-sucedido de todos - Andrew Wiles, de Cambridge - sentiu o sabor da vitória apenas no início de 1993. Isso não tanto agradou quanto assustou Wiles: e se sua prova da conjectura de Taniyama mostrasse um erro ou uma lacuna? Então sua reputação científica pereceu! É necessário anotar cuidadosamente a prova (mas serão muitas dezenas de páginas!) E adiar por seis meses ou um ano, para que depois você possa reler com sangue frio e meticulosamente ... Mas o que se alguém publicar sua prova durante esse período? Ai problema...

No entanto, Wiles encontrou uma maneira dupla de testar rapidamente sua prova. Primeiro, você precisa confiar em um de seus amigos e colegas confiáveis ​​​​e contar a ele todo o raciocínio. Do lado de fora, todos os erros são mais visíveis! Em segundo lugar, é necessário ler um curso especial sobre o assunto para alunos inteligentes e alunos de pós-graduação: essas pessoas inteligentes não perderão um único erro do professor! Apenas não diga a eles o objetivo final do curso até o último momento - caso contrário, o mundo inteiro saberá disso! E, claro, você precisa procurar esse público longe de Cambridge - é melhor nem na Inglaterra, mas na América ... O que poderia ser melhor do que a distante Princeton?

Wiles foi para lá na primavera de 1993. Seu paciente amigo Niklas Katz, depois de ouvir o longo relatório de Wiles, encontrou várias lacunas nele, mas todas foram facilmente corrigidas. Mas os alunos de pós-graduação de Princeton logo fugiram do curso especial de Wiles, não querendo seguir o pensamento caprichoso do palestrante, que os leva ninguém sabe para onde. Após uma revisão tão (não particularmente profunda) de seu trabalho, Wiles decidiu que era hora de revelar um grande milagre ao mundo.

Em junho de 1993, outra conferência foi realizada em Cambridge, dedicada à "teoria de Iwasawa" - uma seção popular da teoria dos números. Wiles decidiu contar sua prova da conjectura de Taniyama sobre ela, sem anunciar o resultado principal até o final. A reportagem durou muito tempo, mas com sucesso, aos poucos os jornalistas começaram a se aglomerar, que pressentiam algo. Finalmente, o trovão explodiu: o teorema de Fermat está provado! A alegria geral não foi ofuscada por dúvidas: tudo parece estar claro ... Mas dois meses depois, Katz, depois de ler o texto final de Wiles, percebeu outra lacuna nele. Uma certa transição no raciocínio dependia do "sistema de Euler" - mas o que Wiles construiu não foi esse sistema!

Wiles verificou o gargalo e percebeu que estava enganado aqui. Pior ainda: não está claro como substituir o raciocínio errôneo! Isso foi seguido pelos meses mais sombrios da vida de Wiles. Anteriormente, ele sintetizou livremente uma prova sem precedentes a partir do material em mãos. Agora ele está preso a uma tarefa estreita e clara - sem a certeza de que ela tem solução e que ele poderá encontrá-la em um futuro previsível. Recentemente, Frey não resistiu à mesma luta - e agora seu nome foi obscurecido pelo nome do sortudo Ribet, embora o palpite de Frey tenha se mostrado correto. E o que acontecerá com MEU palpite e MEU nome?

Este trabalho duro durou exatamente um ano. Em setembro de 1994, Wiles estava pronto para admitir a derrota e deixar a hipótese de Taniyama para sucessores mais afortunados. Tomada tal decisão, começou a reler lentamente sua prova - do começo ao fim, ouvindo o ritmo do raciocínio, revivendo o prazer das descobertas bem-sucedidas. Tendo chegado ao local "maldito", Wiles, porém, não ouviu mentalmente uma nota falsa. O curso de seu raciocínio ainda era impecável e o erro surgiu apenas na descrição VERBAL da imagem mental? Se não existe um “sistema de Euler” aqui, então o que está escondido aqui?

De repente, um pensamento simples me ocorreu: o "sistema de Euler" não funciona onde a teoria de Iwasawa é aplicável. Por que não aplicar essa teoria diretamente - felizmente, ela é próxima e familiar ao próprio Wiles? E por que ele não tentou essa abordagem desde o início, mas se deixou levar pela visão de outra pessoa sobre o problema? Wiles não conseguia mais se lembrar desses detalhes - e isso se tornou inútil. Ele realizou o raciocínio necessário dentro da estrutura da teoria de Iwasawa e tudo acabou em meia hora! Assim - com um atraso de um ano - a última lacuna na prova da conjectura de Taniyama foi fechada. O texto final ficou à mercê de um grupo de revisores da mais famosa revista matemática, um ano depois declararam que agora não há erros. Assim, em 1995, a última conjectura de Fermat morreu aos trezentos e sessenta anos, transformando-se em um teorema comprovado que inevitavelmente entrará nos livros didáticos de teoria dos números.

Resumindo a confusão de três séculos em torno do teorema de Fermat, temos que chegar a uma estranha conclusão: esse épico heróico não poderia ter acontecido! De fato, o teorema de Pitágoras expressa uma conexão simples e importante entre objetos visuais naturais - os comprimentos dos segmentos. Mas o mesmo não pode ser dito do Teorema de Fermat. Parece mais uma superestrutura cultural sobre um substrato científico - como chegar ao Pólo Norte da Terra ou voar até a lua. Lembremos que ambas as façanhas foram cantadas por escritores muito antes de serem realizadas - nos tempos antigos, após o aparecimento dos "Elementos" de Euclides, mas antes do aparecimento da "Aritmética" de Diofanto. Portanto, havia uma necessidade pública de façanhas intelectuais desse tipo - pelo menos imaginárias! Anteriormente, os helenos estavam fartos dos poemas de Homero, assim como cem anos antes de Fermat, os franceses estavam fartos das paixões religiosas. Mas então as paixões religiosas diminuíram - e a ciência ficou ao lado delas.

Na Rússia, esses processos começaram há cento e cinquenta anos, quando Turgenev colocou Yevgeny Bazarov no mesmo nível de Yevgeny Onegin. É verdade que o escritor Turgenev mal entendeu os motivos das ações do cientista Bazárov e não se atreveu a cantá-los, mas isso logo foi feito pelo cientista Ivan Sechenov e pelo ilustrado jornalista Júlio Verne. Uma revolução científica e tecnológica espontânea precisa de uma concha cultural para penetrar na mente da maioria das pessoas, e aqui vem primeiro a ficção científica e depois a literatura científica popular (incluindo a revista "Knowledge is Power").

Ao mesmo tempo, um tópico científico específico não é nada importante para o público em geral e nem mesmo para os heróis-intérpretes. Assim, tendo ouvido falar da conquista do Pólo Norte por Peary e Cook, Amundsen mudou instantaneamente o objetivo de sua expedição já preparada - e logo alcançou o Pólo Sul, à frente de Scott por um mês. Mais tarde, a bem-sucedida circunavegação da Terra por Yuri Gagarin forçou o presidente Kennedy a mudar o antigo objetivo do programa espacial americano para um mais caro, mas muito mais impressionante: levar homens à lua.

Ainda antes, o perspicaz Hilbert respondeu à pergunta ingênua dos alunos: “A solução de qual problema científico seria mais útil agora”? - respondeu com uma piada: "Pegue uma mosca do outro lado da lua!" À pergunta perplexa: “Por que isso é necessário?” - seguido de uma resposta clara: “Ninguém precisa disso! Mas pense nos métodos científicos e nos meios técnicos que teremos que desenvolver para resolver tal problema - e quantos outros belos problemas resolveremos ao longo do caminho!

Foi exatamente isso que aconteceu com o Teorema de Fermat. Euler poderia muito bem ter esquecido isso.

Nesse caso, algum outro problema se tornaria o ídolo dos matemáticos - talvez também da teoria dos números. Por exemplo, o problema de Eratóstenes: existe um conjunto finito ou infinito de primos gêmeos (como 11 e 13, 17 e 19 e assim por diante)? Ou o problema de Euler: todo número par é a soma de dois números primos? Ou: existe uma relação algébrica entre os números π e e? Esses três problemas ainda não foram resolvidos, embora no século XX os matemáticos tenham chegado perto de entender sua essência. Mas este século também deu origem a muitos problemas novos, não menos interessantes, especialmente na interseção da matemática com a física e outros ramos das ciências naturais.

Em 1900, Hilbert destacou um deles: criar um sistema completo de axiomas da física matemática! Cem anos depois, esse problema está longe de ser resolvido, até porque o arsenal de meios matemáticos da física está crescendo constantemente, e nem todos têm uma justificativa rigorosa. Mas depois de 1970, a física teórica se dividiu em dois ramos. Um (clássico) desde a época de Newton tem modelado e previsto processos ESTÁVEIS, o outro (recém-nascido) está tentando formalizar a interação de processos INSTÁVEIS e formas de controlá-los. É claro que esses dois ramos da física devem ser axiomatizados separadamente.

O primeiro deles provavelmente será tratado em vinte ou cinquenta anos...

E o que está faltando no segundo ramo da física - aquele que é responsável por todos os tipos de evolução (incluindo fractais bizarros e atratores estranhos, a ecologia das biocenoses e a teoria da passionaridade de Gumilyov)? É improvável que entendamos isso em breve. Mas a adoração dos cientistas ao novo ídolo já se tornou um fenômeno de massa. Provavelmente, um épico se desenrolará aqui, comparável à biografia de três séculos do teorema de Fermat. Assim, no cruzamento de diferentes ciências, nascem novos ídolos - semelhantes aos religiosos, mas mais complexos e dinâmicos...

Aparentemente, uma pessoa não pode permanecer uma pessoa sem derrubar os velhos ídolos de vez em quando e sem criar novos - com dor e com alegria! Pierre Fermat teve a sorte de estar em um momento fatídico próximo ao ponto quente do nascimento de um novo ídolo - e conseguiu deixar uma marca de sua personalidade no recém-nascido. Pode-se invejar tal destino, e não é pecado imitá-lo.

Serguei Smirnov
"Conhecimento é poder"

Não há muitas pessoas no mundo que nunca ouviram falar Último Teorema de Fermat- talvez este seja o único problema matemático que recebeu tanta popularidade e se tornou uma verdadeira lenda. É mencionado em muitos livros e filmes, enquanto o contexto principal de quase todas as menções é impossibilidade de provar um teorema.

Sim, esse teorema é muito famoso e de certa forma se tornou um “ídolo” adorado por matemáticos amadores e profissionais, mas poucas pessoas sabem que sua prova foi encontrada, e isso aconteceu em 1995. Mas as primeiras coisas primeiro.

Assim, o Último Teorema de Fermat (muitas vezes referido como o Último Teorema de Fermat), formulado em 1637 por um brilhante matemático francês Pierre Fermat, é muito simples em sua essência e compreensível para qualquer pessoa com ensino médio. Diz que a fórmula a n + b n \u003d c n não tem soluções naturais (ou seja, não fracionárias) para n > 2. Tudo parece simples e claro, mas os melhores matemáticos e simples amadores têm lutado para encontrar uma solução por mais de três séculos e meio.

O próprio Fermat afirmou ter derivado uma prova muito simples e concisa de sua teoria, mas até agora nenhuma evidência documental desse fato foi encontrada. Portanto, acredita-se agora que Fermat nunca foi capaz de encontrar uma solução geral para seu teorema., embora tenha escrito uma prova parcial para n = 4.

Depois de Fermat, grandes mentes como Leonhard Euler(em 1770 ele propôs uma solução para n = 3), Adrien Legendre e Johann Dirichlet(esses cientistas encontraram evidências conjuntas para n = 5 em 1825), Gabriel Lame(que encontrou uma prova para n = 7) e muitos outros. Em meados dos anos 80 do século passado, ficou claro que o mundo científico estava a caminho de uma solução final

O Último Teorema de Fermat, mas foi somente em 1993 que os matemáticos viram e acreditaram que a saga de três séculos para encontrar uma prova do Último Teorema de Fermat estava quase no fim.

Em 1993, um matemático inglês Andrew Wiles apresentado ao mundo prova do Último Teorema de Fermat que está em andamento há mais de sete anos. Mas descobriu-se que esta decisão contém um erro grosseiro, embora em geral seja verdade. Wiles não desistiu, pediu a ajuda de um conhecido especialista em teoria dos números, Richard Taylor, e já em 1994 publicou uma prova corrigida e complementada do teorema. O mais surpreendente é que esse trabalho ocupou até 130 (!) Páginas na revista matemática Annals of Mathematics. Mas a história também não acabou aí - o último ponto foi feito apenas no ano seguinte, 1995, quando foi publicada a versão final e “ideal”, do ponto de vista matemático, da prova.

Muito tempo se passou desde aquele momento, mas ainda existe uma opinião na sociedade sobre a insolubilidade do Último Teorema de Fermat. Mas mesmo aqueles que conhecem a prova encontrada continuam trabalhando nessa direção - poucas pessoas estão satisfeitas com o fato de o Grande Teorema exigir uma solução de 130 páginas! Portanto, agora as forças de tantos matemáticos (principalmente amadores, não cientistas profissionais) são lançadas em busca de uma prova simples e concisa, mas esse caminho, muito provavelmente, não levará a lugar nenhum ...

Grigory Perelman. Refusenik

Vasily Maksimov

Em agosto de 2006, foram anunciados os nomes dos melhores matemáticos do mundo, que receberam a mais prestigiosa Medalha Fields - uma espécie de análogo do Prêmio Nobel, do qual os matemáticos, por capricho de Alfred Nobel, foram privados. A Medalha Fields - além da medalha de honra, os laureados recebem um cheque de quinze mil dólares canadenses - é concedida pelo Congresso Internacional de Matemáticos a cada quatro anos. Foi estabelecido pelo cientista canadense John Charles Fields e foi premiado pela primeira vez em 1936. Desde 1950, a Medalha Fields é concedida regularmente pessoalmente pelo Rei da Espanha por sua contribuição para o desenvolvimento da ciência matemática. De um a quatro cientistas com menos de quarenta anos podem se tornar laureados com o prêmio. Quarenta e quatro matemáticos já receberam o prêmio, incluindo oito russos.

Grigory Perelman. Henri Poincaré.

Em 2006, o francês Wendelin Werner, o australiano Terence Tao e dois russos, Andrey Okounkov, que trabalha nos EUA, e Grigory Perelman, um cientista de São Petersburgo, foram laureados. No entanto, no último momento, soube-se que Perelman recusou este prestigioso prêmio - como anunciaram os organizadores, "por razões de princípio".

Um ato tão extravagante do matemático russo não surpreendeu as pessoas que o conheceram. Esta não é a primeira vez que ele recusa prêmios matemáticos, explicando sua decisão pelo fato de não gostar de eventos solenes e do exagero em torno de seu nome. Há dez anos, em 1996, Perelman recusou o prêmio do Congresso Europeu de Matemática, alegando não ter concluído o trabalho sobre o problema científico indicado ao prêmio, e este não foi o último caso. O matemático russo parece ter como objetivo de vida surpreender as pessoas, indo contra a opinião pública e a comunidade científica.

Grigory Yakovlevich Perelman nasceu em 13 de junho de 1966 em Leningrado. Desde muito jovem gostava de ciências exatas, formou-se brilhantemente na famosa 239ª escola secundária com estudo aprofundado da matemática, venceu inúmeras competições matemáticas: por exemplo, em 1982, como parte de uma equipe de alunos soviéticos, ele participou da Olimpíada Internacional de Matemática, realizada em Budapeste. Perelman sem exames foi matriculado no departamento de mecânica e matemática da Universidade de Leningrado, onde estudou "excelentemente", continuando a vencer competições matemáticas em todos os níveis. Depois de se formar na universidade com honras, ele ingressou na pós-graduação no Departamento de São Petersburgo do Steklov Mathematical Institute. Seu supervisor era o famoso matemático acadêmico Alexandrov. Tendo defendido sua tese de doutorado, Grigory Perelman permaneceu no instituto, no laboratório de geometria e topologia. Conhecido por seu trabalho sobre a teoria dos espaços de Alexandrov, ele conseguiu encontrar evidências para várias hipóteses importantes. Apesar das inúmeras ofertas das principais universidades ocidentais, Perelman prefere trabalhar na Rússia.

Seu sucesso mais notório foi a solução em 2002 da famosa conjectura de Poincaré, publicada em 1904 e desde então não foi comprovada. Perelman trabalhou nisso por oito anos. A hipótese de Poincaré foi considerada um dos maiores mistérios matemáticos, e sua solução foi considerada a conquista mais importante da ciência matemática: avançaria instantaneamente no estudo dos problemas dos fundamentos físicos e matemáticos do universo. As mentes mais brilhantes do planeta previram sua solução apenas em algumas décadas, e o Clay Institute of Mathematics em Cambridge, Massachusetts, fez do problema de Poincaré um dos sete problemas matemáticos não resolvidos mais interessantes do milênio, cada um dos quais foi prometido um milhão prêmio em dólares (Prêmio do Milênio) .

A hipótese (às vezes chamada de problema) do matemático francês Henri Poincaré (1854-1912) é formulada da seguinte forma: qualquer espaço tridimensional fechado e simplesmente conectado é homeomorfo a uma esfera tridimensional. Para esclarecimento, um bom exemplo é usado: se você enrolar uma maçã com um elástico, então, em princípio, puxando a fita, você pode espremer a maçã em uma ponta. Se você enrolar um donut com a mesma fita, não poderá espremê-lo em uma ponta sem rasgar o donut ou a borracha. Nesse contexto, uma maçã é chamada de figura "conectada individualmente", mas um donut não é simplesmente conectado. Quase cem anos atrás, Poincaré estabeleceu que a esfera bidimensional é simplesmente conectada e sugeriu que a esfera tridimensional também é simplesmente conectada. Os melhores matemáticos do mundo não conseguiram provar essa conjectura.

Para se qualificar para o prêmio Clay Institute, Perelman só precisava publicar sua solução em uma das revistas científicas e, se em dois anos ninguém encontrar um erro em seus cálculos, a solução será considerada correta. No entanto, Perelman desviou-se das regras desde o início, publicando sua solução no site de pré-impressão do Los Alamos Science Laboratory. Talvez ele estivesse com medo de que um erro tivesse ocorrido em seus cálculos - uma história semelhante já havia acontecido na matemática. Em 1994, o matemático inglês Andrew Wiles propôs uma solução para o famoso teorema de Fermat e, alguns meses depois, descobriu-se que um erro havia ocorrido em seus cálculos (embora tenha sido corrigido posteriormente e a sensação ainda ocorresse). Ainda não há publicação oficial da prova da conjectura de Poincaré - mas há uma opinião autorizada dos melhores matemáticos do planeta, confirmando a exatidão dos cálculos de Perelman.

A Medalha Fields foi concedida a Grigory Perelman justamente por resolver o problema de Poincaré. Mas o cientista russo recusou o prêmio, que sem dúvida merece. “Grigory me disse que se sente isolado da comunidade matemática internacional, fora desta comunidade e, portanto, não quer receber um prêmio”, disse John Ball, presidente da União Mundial de Matemáticos (WCM), em entrevista coletiva em Madri.

Há rumores de que Grigory Perelman vai deixar a ciência completamente: há seis meses ele deixou seu Steklov Mathematical Institute, e eles dizem que ele não fará mais matemática. Talvez o cientista russo acredite que, ao provar a famosa hipótese, ele fez tudo o que pôde pela ciência. Mas quem se comprometerá a falar sobre a linha de pensamento de um cientista tão brilhante e pessoa extraordinária? .. Perelman recusa qualquer comentário e disse ao jornal The Daily Telegraph: "Nada do que eu possa dizer é do menor interesse público". No entanto, as principais publicações científicas foram unânimes em suas avaliações quando relataram que "Grigory Perelman, tendo resolvido o teorema de Poincaré, equiparou-se aos maiores gênios do passado e do presente".

Revista e editora mensal literária e jornalística.

Muitos anos atrás, recebi uma carta de Tashkent de Valery Muratov, a julgar pela caligrafia, um homem jovem, que então morava na rua Kommunisticheskaya na casa número 31. O cara estava determinado: "Direto ao ponto. Quanto você vai me pagar para provar o teorema de Fermat? Atende a pelo menos 500 rublos. Em outro momento, eu teria provado para você de graça, mas agora preciso de dinheiro ... "

Um paradoxo incrível: poucas pessoas sabem quem é Fermat, quando ele viveu e o que fez. Ainda menos pessoas podem descrever seu grande teorema nos termos mais gerais. Mas todos sabem que existe algum tipo de teorema de Fermat, cuja prova os matemáticos de todo o mundo lutam há mais de 300 anos, mas não conseguem provar!

Existem muitas pessoas ambiciosas, e a própria consciência de que há algo que os outros não podem fazer estimula ainda mais sua ambição. Portanto, milhares (!) de provas do Grande Teorema chegaram e chegaram a academias, institutos científicos e até redações de jornais ao redor do mundo - um recorde inédito e nunca quebrado de desempenho amador pseudocientífico. Existe até um termo: "fermatistas", ou seja, pessoas obcecadas pelo desejo de provar o Grande Teorema, que esgotaram completamente os matemáticos profissionais com exigências de avaliar seu trabalho. O famoso matemático alemão Edmund Landau chegou a preparar um padrão, segundo o qual respondeu: "Há um erro na página da sua prova do teorema de Fermat ...", e seus alunos de pós-graduação anotaram o número da página. E no verão de 1994, jornais de todo o mundo relatam algo completamente sensacional: o Grande Teorema foi provado!

Então, quem é Fermat, qual é a essência do problema e foi realmente resolvido? Pierre Fermat nasceu em 1601 na família de um curtidor, um homem rico e respeitado - ele serviu como segundo cônsul em sua cidade natal, Beaumont - é algo como um assistente do prefeito. Pierre estudou primeiro com os monges franciscanos, depois na Faculdade de Direito de Toulouse, onde exerceu a advocacia. No entanto, a gama de interesses de Fermat ia muito além da jurisprudência. Ele estava especialmente interessado em filologia clássica, seus comentários sobre os textos de autores antigos são conhecidos. E a segunda paixão é a matemática.

No século XVII, como, de fato, muitos anos depois, não existia essa profissão: matemático. Portanto, todos os grandes matemáticos da época eram matemáticos de "meio período": René Descartes serviu no exército, François Viet era advogado, Francesco Cavalieri era monge. Não havia revistas científicas na época, e o clássico da ciência Pierre Fermat não publicou um único trabalho científico durante sua vida. Havia um círculo bastante estreito de "amadores" que resolviam vários problemas interessantes para eles e escreviam cartas uns aos outros sobre isso, às vezes discutindo (como Fermat com Descartes), mas, basicamente, permaneciam com a mesma opinião. Eles se tornaram os fundadores da nova matemática, os semeadores de sementes brilhantes, das quais a poderosa árvore do conhecimento matemático moderno começou a crescer, ganhando força e ramificação.

Então, Fermat era o mesmo "amador". Em Toulouse, onde morou 34 anos, todos o conheciam, antes de tudo, como conselheiro da Câmara de Investigação e advogado experiente. Aos 30 anos, casou-se, teve três filhos e duas filhas, às vezes fazia viagens de negócios e, em uma delas, morreu repentinamente aos 63 anos. Todos! A vida deste homem, contemporâneo dos Três Mosqueteiros, é surpreendentemente monótona e desprovida de aventuras. As aventuras caíram para a parte de seu Grande Teorema. Não falaremos sobre toda a herança matemática de Fermat, e é difícil falar sobre ele de forma popular. Acredite em mim: esse legado é grande e variado. A afirmação de que o Grande Teorema é o auge de seu trabalho é altamente discutível. É que o destino do Grande Teorema é surpreendentemente interessante, e o vasto mundo de pessoas não iniciadas nos mistérios da matemática sempre se interessou não pelo teorema em si, mas por tudo ao seu redor...

As raízes de toda essa história devem ser buscadas na antiguidade, tão querida por Fermat. Aproximadamente no século III, viveu em Alexandria o matemático grego Diofanto, um cientista que pensava de forma original, pensando fora da caixa e expressando seus pensamentos fora da caixa. Dos 13 volumes de sua Aritmética, chegaram até nós apenas 6. Justamente quando Fermat tinha 20 anos, saiu uma nova tradução de suas obras. Fermat gostava muito de Diofanto, e esses escritos eram seu livro de referência. Em seus campos, Fermat escreveu seu Grande Teorema, que em sua forma moderna mais simples se parece com isso: a equação Xn + Yn = Zn não tem solução em números inteiros para n - mais que 2. (Para n = 2, a solução é óbvia : Z2 + 42 = 52). No mesmo lugar, nas margens do volume diofantino, Fermat acrescenta: "Descobri esta prova verdadeiramente maravilhosa, mas estas margens são muito estreitas para ele."

À primeira vista, a coisinha é simples, mas quando outros matemáticos começaram a provar esse teorema "simples", ninguém conseguiu por cem anos. Finalmente, o grande Leonhard Euler provou isso para n = 4, depois de 20 (!) anos - para n = 3. E novamente o trabalho parou por muitos anos. A próxima vitória pertence ao alemão Peter Dirichlet (1805–1859) e ao francês Andrien Legendre (1752–1833), que admitiu que Fermat estava certo para n = 5. Então o francês Gabriel Lamet (1795–1870) fez o mesmo para n = 7. Finalmente, em meados do século passado, o alemão Ernst Kummer (1810-1893) provou o Grande Teorema para todos os valores de n menores ou iguais a 100. Além disso, ele o provou usando métodos que poderiam não ser conhecido por Fermat, o que fortaleceu ainda mais o véu de mistério em torno do Grande Teorema.

Assim, descobriu-se que eles estavam provando o teorema de Fermat "peça por parte", mas ninguém conseguiu "completamente". Novas tentativas de provas levaram apenas a um aumento quantitativo nos valores de n. Todos entenderam que, tendo passado um abismo de trabalho, era possível provar o Grande Teorema para um número n arbitrariamente grande, mas Fermat falou sobre qualquer valor dele maior que 2! Era nessa diferença entre "arbitrariamente grande" e "qualquer" que se concentrava todo o significado do problema.

No entanto, deve-se notar que as tentativas de provar o teorema de Fermg não eram apenas algum tipo de jogo matemático, a solução de um rebus complexo. No decorrer dessas provas, novos horizontes matemáticos foram abertos, problemas surgiram e foram resolvidos, que se tornaram novos ramos da árvore matemática. O grande matemático alemão David Hilbert (1862-1943) citou o Grande Teorema como um exemplo de "que efeito estimulante um problema especial e aparentemente insignificante pode ter na ciência". O mesmo Kummer, trabalhando no teorema de Fermat, provou teoremas que formaram a base da teoria dos números, álgebra e teoria das funções. Portanto, provar o Grande Teorema não é um esporte, mas uma verdadeira ciência.

O tempo passou e a eletrônica veio em auxílio dos "fsrmatnts" profissionais. Cérebros eletrônicos de novos métodos não puderam ser inventados, mas levaram velocidade. Por volta do início dos anos 80, o teorema de Fermat foi provado com a ajuda de um computador para n menor ou igual a 5500. Aos poucos, esse número cresceu para 100.000, mas todos entenderam que tal "acumulação" era uma questão de pura tecnologia, dando nada para a mente ou o coração. Eles não conseguiram tomar a fortaleza do Grande Teorema "de frente" e começaram a procurar manobras indiretas.

Em meados da década de 1980, o jovem matemático G. Filettings provou a chamada "conjectura de Mordell", que, aliás, também foi "inalcançável" por qualquer um dos matemáticos por 61 anos. Surgiu a esperança de que agora, por assim dizer, "atacando pelo flanco", o teorema de Fermat também pudesse ser resolvido. No entanto, nada aconteceu então. Em 1986, o matemático alemão Gerhard Frei propôs um novo método de prova em Essesche. Não pretendo explicá-lo estritamente, mas não em matemática, mas em linguagem humana geral, soa mais ou menos assim: se estivermos convencidos de que a prova de algum outro teorema é uma prova indireta, de alguma forma transformada, do teorema de Fermat, então, portanto, provaremos o Grande Teorema. Um ano depois, o americano Kenneth Ribet, de Berkeley, mostrou que Frey estava certo e, de fato, uma prova se reduzia a outra. Muitos matemáticos ao redor do mundo seguiram esse caminho. Fizemos muito para provar o Grande Teorema de Viktor Aleksandrovich Kolyvanov. As paredes de trezentos anos da fortaleza inexpugnável tremeram. Os matemáticos perceberam que não duraria muito.

No verão de 1993, na antiga Cambridge, no Instituto Isaac Newton de Ciências Matemáticas, 75 dos matemáticos mais proeminentes do mundo se reuniram para discutir seus problemas. Entre eles estava o professor americano Andrew Wiles, da Universidade de Princeton, um proeminente especialista em teoria dos números. Todos sabiam que ele vinha trabalhando no Grande Teorema há muitos anos. Wiles fez três apresentações, e na última, em 23 de junho de 1993, bem no final, afastando-se da lousa, disse com um sorriso:

Acho que não vou continuar...

Houve um silêncio mortal a princípio, depois uma salva de palmas. Os que estavam sentados na sala estavam qualificados o suficiente para entender: o Último Teorema de Fermat está provado! De qualquer forma, nenhum dos presentes encontrou erros na prova acima. O diretor associado do Newton Institute, Peter Goddard, disse aos repórteres:

“A maioria dos especialistas achava que não descobriria pelo resto de suas vidas. Esta é uma das maiores conquistas da matemática do nosso século...

Vários meses se passaram, nenhum comentário ou negação se seguiu. É verdade que Wiles não publicou sua prova, mas apenas enviou as chamadas impressões de seu trabalho a um círculo muito restrito de colegas, o que, naturalmente, impede os matemáticos de comentar essa sensação científica, e entendo o acadêmico Ludwig Dmitrievich Faddeev, quem disse:

- Posso dizer que a sensação aconteceu ao ver a prova com meus próprios olhos.

Faddeev acredita que a probabilidade de Wiles vencer é muito alta.

“Meu pai, um conhecido especialista em teoria dos números, tinha, por exemplo, certeza de que o teorema seria provado, mas não por meios elementares”, acrescentou.

Outro acadêmico nosso, Viktor Pavlovich Maslov, estava cético sobre a notícia e acredita que a prova do Grande Teorema não é um problema matemático real. Em termos de seus interesses científicos, Maslov, o presidente do Conselho de Matemática Aplicada, está longe de ser "fermatista", e quando diz que a solução completa do Grande Teorema é apenas de interesse esportivo, pode-se entendê-lo. No entanto, ouso observar que o conceito de relevância em qualquer ciência é uma variável. 90 anos atrás, Rutherford, provavelmente, também foi informado: "Bem, bem, bem, a teoria do decaimento radioativo ... E daí? Qual é a utilidade disso? .."

O trabalho de prova do Grande Teorema já deu muita matemática, e pode-se esperar que dê mais.

“O que Wiles fez vai levar os matemáticos para outras áreas”, disse Peter Goddard. - Pelo contrário, isso não fecha uma das linhas de pensamento, mas levanta novas questões que exigirão uma resposta ...

O professor da Universidade Estadual de Moscou, Mikhail Ilyich Zelikin, explicou-me a situação atual da seguinte maneira:

Ninguém vê erros no trabalho de Wiles. Mas para que este trabalho se torne um fato científico, é necessário que vários matemáticos respeitáveis ​​repitam independentemente esta prova e confirmem sua correção. Esta é uma condição indispensável para o reconhecimento do trabalho de Wiles pela comunidade matemática...

Quanto tempo vai demorar para isso?

Fiz essa pergunta a um de nossos principais especialistas no campo da teoria dos números, o Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas Alexei Nikolaevich Parshin.

Andrew Wiles tem muito tempo pela frente...

O fato é que em 13 de setembro de 1907, o matemático alemão P. Wolfskel, que, ao contrário da grande maioria dos matemáticos, era um homem rico, legou 100 mil marcos para aquele que provaria o Grande Teorema nos próximos 100 anos. No início do século, os juros da quantia legada foram para o tesouro da famosa Universidade Getgangent. Esse dinheiro foi usado para convidar importantes matemáticos para dar palestras e realizar trabalhos científicos. Naquela época, David Hilbert, a quem já mencionei, era o presidente da comissão de premiação. Ele não quis pagar o prêmio.

“Felizmente”, disse o grande matemático, “parece que não temos um matemático, exceto eu, que seria capaz de fazer esta tarefa, mas nunca ousarei matar a galinha dos ovos de ouro para nós. ”

Faltam poucos anos para o prazo - 2007, designado por Wolfskel, e, parece-me, um sério perigo paira sobre o "frango de Hilbert". Mas não é sobre o prêmio, na verdade. É sobre a curiosidade do pensamento e a perseverança humana. Eles lutaram por mais de trezentos anos, mas ainda provaram isso!

E ainda mais. Para mim, o mais interessante de toda essa história é: como o próprio Fermat provou seu Grande Teorema? Afinal, todos os truques matemáticos de hoje eram desconhecidos para ele. E ele provou isso? Afinal, existe uma versão que ele parecia ter provado, mas ele mesmo encontrou um erro e, portanto, não enviou as provas a outros matemáticos, mas esqueceu de riscar a entrada nas margens do volume diofantino. Portanto, parece-me que a prova do Grande Teorema, obviamente, aconteceu, mas o segredo do teorema de Fermat permaneceu, e é improvável que algum dia o revelemos ...

Talvez Fermat tenha se enganado então, mas não se enganou quando escreveu: “Talvez a posteridade me agradeça por ter mostrado a ele que os antigos não sabiam tudo, e isso pode penetrar na consciência daqueles que virão depois de mim. a tocha para seus filhos..."