Alte proprietăți sunt legate de conceptele de complement minor și algebric
Minor elementul se numește determinant, compus din elementele rămase după ștergerea rândului și coloanei, la intersecția cărora se află acest element. Elementul determinant de ordine minor are ordine . O vom nota prin .
Exemplul 1 Lăsa 
, Apoi 
.
Acest minor se obține de la A ștergând al doilea rând și a treia coloană.
Adunarea algebrică elementul se numește minorul corespunzător înmulțit cu , i.e. 
, unde este numărul rândului și al coloanei la intersecția cărora se află elementul dat.
VIII.(Descompunerea determinantului peste elementele unei coarde). Determinantul este egal cu suma produselor elementelor unui rând și adunărilor algebrice corespunzătoare.
Exemplul 2 Lăsa 
, Apoi
Exemplul 3 Să găsim determinantul matricei , extinzându-l cu elementele primului rând.
Formal, această teoremă și alte proprietăți ale determinanților sunt aplicabile până acum numai pentru determinanții matricilor nu mai mari decât ordinul al treilea, deoarece nu am luat în considerare alți determinanți. Următoarea definiție va extinde aceste proprietăți la determinanți de orice ordine.
Determinant al matricei Ordin se numește număr calculat prin aplicarea succesivă a teoremei de descompunere și a altor proprietăți ale determinanților.
Puteți verifica că rezultatul calculului nu depinde de ordinea în care sunt aplicate proprietățile de mai sus și pentru ce rânduri și coloane. Determinantul poate fi determinat în mod unic folosind această definiție.
Deși această definiție nu conține o formulă explicită pentru găsirea determinantului, vă permite să-l găsiți prin reducerea la determinanți ai matricelor de ordin inferior. Astfel de definiții sunt numite recurent.
Exemplul 4 Calculați determinantul: 
Deși teorema de descompunere poate fi aplicată oricărui rând sau coloană dintr-o matrice dată, va exista mai puține calcule atunci când se descompune pe o coloană care conține cât mai multe zerouri.
Deoarece matricea nu are elemente zero, le obținem folosind proprietatea VII. Înmulțiți primul rând consecutiv cu numere 
și adăugați-l la șiruri și obțineți:
Extindem determinantul rezultat în prima coloană și obținem:
întrucât determinantul conţine două coloane proporţionale.
Unele tipuri de matrice și determinanții lor
Se numește o matrice pătrată în care zero elemente sunt sub sau deasupra diagonalei principale (). triunghiular.
Structura lor schematică arată astfel: 
sau
.
Exercițiu. Calculați determinantul extinzându-l peste elementele unui rând sau unei coloane.
Soluţie. Să efectuăm mai întâi transformări elementare pe rândurile determinantului făcând cât mai multe zerouri fie într-un rând, fie într-o coloană. Pentru a face acest lucru, mai întâi scădem nouă treimi din prima linie, cinci treimi din a doua și trei treimi din a patra, obținem:
Extindem determinantul rezultat cu elementele primei coloane:
Determinantul de ordinul trei rezultat este, de asemenea, extins de elementele rândului și coloanei, obținând anterior zerouri, de exemplu, în prima coloană. Pentru a face acest lucru, scădem două linii secundare din prima linie și a doua din a treia:
Răspuns. 
12. Slough 3 ordine
1. Regula triunghiului
Schematic, această regulă poate fi reprezentată după cum urmează:
Produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii este luat cu semnul plus; în mod similar, pentru al doilea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul minus, adică.
2. regula Sarrus
În dreapta determinantului se adaugă primele două coloane și se iau cu semn plus produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe diagonalele paralele cu acesta; și produsele elementelor diagonalei secundare și diagonalele paralele cu aceasta, cu semnul minus:
3. Extinderea determinantului într-un rând sau coloană
Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor lor algebrice. De obicei alegeți rândul/coloana în care/allea sunt zerouri. Rândul sau coloana pe care se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.
Exercițiu. Extinderea pe primul rând, calculați determinantul
Soluţie.
Răspuns. 
4. Aducerea determinantului într-o formă triunghiulară
Cu ajutorul transformărilor elementare peste rânduri sau coloane, determinantul se reduce la o formă triunghiulară, iar apoi valoarea sa, conform proprietăților determinantului, este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală.
Exemplu
Exercițiu. Calculați determinant 
aducând-o la o formă triunghiulară.
Soluţie.În primul rând, facem zerouri în prima coloană sub diagonala principală. Toate transformările vor fi mai ușor de efectuat dacă elementul este egal cu 1. Pentru a face acest lucru, vom schimba prima și a doua coloană a determinantului, ceea ce, conform proprietăților determinantului, îl va determina să schimbe semnul opus. :
În continuare, obținem zerouri în a doua coloană în locul elementelor de sub diagonala principală. Și din nou, dacă elementul diagonal este egal cu , atunci calculele vor fi mai simple. Pentru a face acest lucru, schimbăm a doua și a treia linie (și, în același timp, schimbăm semnul opus al determinantului):
Apoi, facem zerouri în a doua coloană sub diagonala principală, pentru aceasta procedăm după cum urmează: adăugăm trei rânduri secunde la al treilea rând și două rânduri secunde la al patrulea, obținem:
În plus, din al treilea rând scoatem (-10) ca determinant și facem zerouri în a treia coloană sub diagonala principală, iar pentru aceasta adăugăm a treia la ultimul rând:
Formularea problemei
Sarcina implică familiarizarea utilizatorului cu conceptele de bază ale metodelor numerice, cum ar fi determinantul și matricea inversă, precum și cu diferite moduri de a le calcula. În acest raport teoretic, într-un limbaj simplu și accesibil, sunt introduse mai întâi conceptele și definițiile de bază, pe baza cărora se efectuează cercetări ulterioare. Este posibil ca utilizatorul să nu aibă cunoștințe speciale în domeniul metodelor numerice și algebrei liniare, dar va putea utiliza cu ușurință rezultatele acestei lucrări. Pentru claritate, este dat un program de calcul al determinantului matricei prin mai multe metode, scris în limbajul de programare C++. Programul este folosit ca stand de laborator pentru crearea de ilustrații pentru raport. De asemenea, se efectuează un studiu al metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Inutilitatea calculării matricei inverse este dovedită, prin urmare, lucrarea oferă modalități mai optime de a rezolva ecuații fără a le calcula. Se explică de ce există atât de multe metode diferite de calculare a determinanților și matricelor inverse și sunt analizate deficiențele acestora. Sunt de asemenea luate în considerare erorile în calculul determinantului și se estimează acuratețea obținută. Pe lângă termenii ruși, echivalentele lor în engleză sunt, de asemenea, folosite în lucrare pentru a înțelege sub ce nume să caute proceduri numerice în biblioteci și ce înseamnă parametrii acestora.
Definiții de bază și proprietăți simple
Determinant
Să introducem definiția determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Această definiţie va recurent, adică pentru a stabili care este determinantul matricei de ordine, trebuie să știți deja care este determinantul matricei de ordine. Rețineți, de asemenea, că determinantul există numai pentru matrice pătrată.
Determinantul unei matrice pătrate va fi notat cu sau det .
Definiția 1. determinant matrice pătrată 
se numește numărul de ordine al doilea 
.
determinant 
matricea pătrată de ordin, se numește număr 
unde este determinantul matricei de ordine obtinut din matrice prin stergerea primului rand si a coloanei cu numarul .
Pentru claritate, scriem cum puteți calcula determinantul unei matrice de ordinul al patrulea: 
Cometariu. Calculul propriu-zis al determinanților pentru matricele de peste ordinul trei pe baza definiției este utilizat în cazuri excepționale. De regulă, calculul se efectuează conform altor algoritmi, care vor fi discutați mai târziu și care necesită mai puțină muncă de calcul.
Cometariu.În Definiția 1, ar fi mai corect să spunem că determinantul este o funcție definită pe mulțimea matricelor de ordine pătrată și luând valori în mulțimea numerelor.
Cometariu.În literatură, în locul termenului „determinant”, se folosește și termenul „determinant”, care are același sens. Din cuvântul „determinant” a apărut desemnarea det.
Să luăm în considerare câteva proprietăți ale determinanților, pe care le formulăm sub formă de aserțiuni.
Afirmația 1. La transpunerea unei matrice, determinantul nu se modifică, adică .
Afirmația 2. Determinantul produsului matricelor pătrate este egal cu produsul determinanților factorilor, adică .
Afirmația 3. Dacă două rânduri dintr-o matrice sunt schimbate, atunci determinantul său își va schimba semnul.
Afirmația 4. Dacă o matrice are două rânduri identice, atunci determinantul ei este zero.
În viitor, va trebui să adăugăm șiruri și să înmulțim un șir cu un număr. Vom efectua aceste operații pe rânduri (coloane) în același mod ca și operațiunile pe matrice de rând (matrice de coloană), adică element cu element. Rezultatul va fi un rând (coloană), care, de regulă, nu se potrivește cu rândurile matricei originale. În prezența operațiilor de adunare de rânduri (coloane) și de înmulțire a acestora cu un număr, putem vorbi și despre combinații liniare de rânduri (coloane), adică sume cu coeficienți numerici.
Afirmația 5. Dacă un rând al unei matrice este înmulțit cu un număr, atunci determinantul său va fi înmulțit cu acel număr.
Afirmația 6. Dacă matricea conține un rând zero, atunci determinantul său este zero.
Afirmația 7. Dacă unul dintre rândurile matricei este egal cu celălalt înmulțit cu un număr (rândurile sunt proporționale), atunci determinantul matricei este zero.
Afirmația 8. Fie rândul i din matrice să arate ca . Apoi, unde matricea se obține din matrice prin înlocuirea rândului i cu rândul, iar matricea se obține prin înlocuirea rândului i cu rândul.
Afirmația 9. Dacă unul dintre rândurile matricei este adăugat la altul, înmulțit cu un număr, atunci determinantul matricei nu se va schimba.
Afirmația 10. Dacă unul dintre rândurile unei matrice este o combinație liniară a celorlalte rânduri, atunci determinantul matricei este zero.
Definiția 2. Adunarea algebrică unui element de matrice se numește număr egal cu , unde este determinantul matricei obținut din matrice prin ștergerea rândului i și coloanei j. Complementul algebric la un element de matrice este notat cu .
Exemplu. Lăsa 
. Apoi 
Cometariu. Folosind adunări algebrice, definiția unui determinant poate fi scrisă după cum urmează: 
Afirmația 11. Descompunerea determinantului într-un șir arbitrar.
Determinantul matricei satisface formula 
Exemplu. calculati 
.
Soluţie. Să folosim expansiunea din a treia linie, este mai profitabilă, pentru că în a treia linie două numere din trei sunt zerouri. obține 
Afirmația 12. Pentru o matrice pătrată de ordin la , avem relația 
.
Afirmația 13. Toate proprietățile determinantului formulat pentru rânduri (propozițiile 1 - 11) sunt valabile și pentru coloane, în special, descompunerea determinantului în coloana j-a este valabilă 
și egalitate 
la .
Afirmația 14. Determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor diagonalei sale principale.
Consecinţă. Determinantul matricei de identitate este egal cu unu, .
Concluzie. Proprietățile enumerate mai sus fac posibilă găsirea determinanților matricilor de ordine suficient de mare cu o cantitate relativ mică de calcule. Algoritmul de calcul este următorul.
Algoritm pentru crearea zerourilor într-o coloană. Să fie necesar să se calculeze determinantul de ordine. Dacă , atunci schimbați prima linie și orice altă linie în care primul element nu este zero. Ca urmare, determinantul , va fi egal cu determinantul noii matrice cu semnul opus. Dacă primul element al fiecărui rând este egal cu zero, atunci matricea are o coloană zero și, prin afirmațiile 1, 13, determinantul său este egal cu zero.
Deci, considerăm că deja în matricea originală. Lăsați prima linie neschimbată. Să adăugăm la a doua linie prima linie, înmulțită cu numărul . Atunci primul element al celui de-al doilea rând va fi egal cu 
.
Elementele rămase din noul al doilea rând vor fi notate cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu . Înmulțiți prima linie cu numărul și adăugați-o la a treia. Primul element al noului al treilea rând va fi egal cu 
Elementele rămase din noul al treilea rând vor fi notate cu , . Determinantul noii matrice conform afirmației 9 este egal cu .
Vom continua procesul de obținere a zerourilor în locul primelor elemente de șiruri. În cele din urmă, înmulțim prima linie cu un număr și o adăugăm la ultima linie. Rezultatul este o matrice, notată cu , care are forma 
și . Pentru a calcula determinantul matricei, folosim expansiunea din prima coloană
De atunci 
Determinantul matricei de ordine este în partea dreaptă. Îi aplicăm același algoritm, iar calculul determinantului matricei se va reduce la calculul determinantului matricei de ordine. Procesul se repetă până ajungem la determinantul de ordinul doi, care se calculează prin definiție.
Dacă matricea nu are proprietăți specifice, atunci nu este posibil să se reducă semnificativ cantitatea de calcule în comparație cu algoritmul propus. O altă parte bună a acestui algoritm este că este ușor să scrieți un program pentru un computer pentru a calcula determinanții matricilor de ordine mari. În programele standard pentru calcularea determinanților, acest algoritm este utilizat cu modificări minore asociate cu minimizarea influenței erorilor de rotunjire și a erorilor de date de intrare în calculele computerizate.
Exemplu. Calculați determinantul matricei 
.
Soluţie. Prima linie este lăsată neschimbată. La a doua linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:
Determinantul nu se schimbă. La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:
Determinantul nu se schimbă. La a patra linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul:
Determinantul nu se schimbă. Drept urmare, obținem 
Folosind același algoritm, calculăm determinantul unei matrice de ordinul 3, care se află în dreapta. Lăsăm prima linie neschimbată, la a doua linie o adunăm pe prima, înmulțită cu numărul 
:
La a treia linie adăugăm primul, înmulțit cu numărul 
:
Drept urmare, obținem 
Răspuns. .
Cometariu. Deși s-au folosit fracții în calcule, rezultatul a fost un număr întreg. Într-adevăr, folosind proprietățile determinanților și faptul că numerele originale sunt numere întregi, operațiile cu fracții ar putea fi evitate. Dar în practica ingineriei, numerele sunt extrem de rar numere întregi. Prin urmare, de regulă, elementele determinantului vor fi fracții zecimale și nu este indicat să folosiți niciun truc pentru a simplifica calculele.
matrice inversă
Definiția 3. Matricea se numește matrice inversă pentru o matrice pătrată dacă .
Din definiție rezultă că matricea inversă va fi o matrice pătrată de același ordin ca și matricea (altfel unul dintre produse sau nu ar fi definit).
Matricea inversă pentru o matrice se notează cu . Astfel, dacă există, atunci.
Din definiția unei matrice inversă, rezultă că matricea este inversul matricei, adică . Matrice și se poate spune că sunt inverse între ele sau reciproc inverse.
Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci inversul său nu există.
Deoarece pentru găsirea matricei inverse este important dacă determinantul matricei este egal cu zero sau nu, introducem următoarele definiții.
Definiția 4. Să numim matrice pătrată degenerat sau matrice specială, dacă nedegenerat sau matrice nesingulară, Dacă .
Afirmație. Dacă există o matrice inversă, atunci aceasta este unică.
Afirmație. Dacă o matrice pătrată este nedegenerată, atunci inversul ei există și 
(1) unde sunt adunări algebrice la elemente .
Teorema. O matrice inversă pentru o matrice pătrată există dacă și numai dacă matricea este nesingulară, matricea inversă este unică și formula (1) este validă.
Cometariu. O atenție deosebită trebuie acordată locurilor ocupate de adunări algebrice în formula matriceală inversă: primul indice arată numărul coloană, iar al doilea este numărul linii, în care trebuie scris complementul algebric calculat.
Exemplu. 
.
Soluţie. Găsirea determinantului
Deoarece , atunci matricea este nedegenerată, iar inversul pentru ea există. Găsirea adunărilor algebrice: 
Compunem matricea inversă plasând adunările algebrice găsite astfel încât primul indice să corespundă coloanei, iar al doilea rândului: 
(2)
Matricea rezultată (2) este răspunsul la problemă.
Cometariu.În exemplul anterior, ar fi mai corect să scrieți răspunsul astfel: 
(3)
Cu toate acestea, notația (2) este mai compactă și este mai convenabil să efectuați calcule suplimentare, dacă există, cu ea. Prin urmare, scrierea răspunsului în forma (2) este de preferat dacă elementele matricelor sunt numere întregi. Și invers, dacă elementele matricei sunt fracții zecimale, atunci este mai bine să scrieți matricea inversă fără un factor în față.
Cometariu. Când găsiți matricea inversă, trebuie să efectuați destul de multe calcule și o regulă neobișnuită pentru aranjarea adunărilor algebrice în matricea finală. Prin urmare, există șanse mari de eroare. Pentru a evita erorile, ar trebui să faceți o verificare: calculați produsul matricei originale cu cel final într-o ordine sau alta. Dacă rezultatul este o matrice de identitate, atunci matricea inversă este găsită corect. În caz contrar, trebuie să căutați o eroare.
Exemplu. Aflați inversul unei matrice 
.
Soluţie.
- există.
Răspuns: 
.
Concluzie. Găsirea matricei inverse prin formula (1) necesită prea multe calcule. Pentru matricele de ordinul al patrulea și mai mari, acest lucru este inacceptabil. Algoritmul real pentru găsirea matricei inverse va fi dat mai târziu.
Calculul determinantului și al matricei inverse folosind metoda Gauss
Metoda Gauss poate fi folosită pentru a găsi determinantul și matricea inversă.
Și anume, determinantul matricei este egal cu det .
Matricea inversă se găsește prin rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda de eliminare gaussiană:
Unde este j-a coloană a matricei de identitate, este vectorul dorit.
Vectorii soluție rezultați - formează, evident, coloanele matricei, deoarece .
Formule pentru determinant
1. Dacă matricea este nesingulară, atunci și (produsul elementelor conducătoare).
Amintiți-vă teorema lui Laplace:
Teorema lui Laplace:
Fie k rânduri (sau k coloane) să fie alese în mod arbitrar în determinantul d de ordinul n, . Apoi, suma produselor tuturor minorilor de ordin k conținute în rândurile selectate și a complementelor lor algebrice este egală cu determinantul d.
Pentru a calcula determinanții în cazul general, k se ia egal cu 1. Adică, în determinantul d de ordinul n se alege în mod arbitrar un rând (sau coloană). Apoi, suma produselor tuturor elementelor conținute în rândul (sau coloana) selectat și a complementelor lor algebrice este egală cu determinantul d.
Exemplu:
Calculați determinant 
Soluţie:
Să alegem un rând sau o coloană arbitrară. Dintr-un motiv care va deveni evident puțin mai târziu, ne vom limita alegerea fie la al treilea rând, fie la a patra coloană. Și oprește-te la a treia linie.
Să folosim teorema lui Laplace.
Primul element al rândului selectat este 10, este în al treilea rând și în prima coloană. Să calculăm complementul algebric al acestuia, i.e. găsiți determinantul obținut prin ștergerea coloanei și rândului pe care se află acest element (10) și aflați semnul.
„plus dacă suma numerelor tuturor rândurilor și coloanelor în care se află M minor este pară și minus dacă această sumă este impară”.
Și am luat minorul constând dintr-un singur element 10, care se află în prima coloană a celui de-al treilea rând.
Asa de: 
Al patrulea termen al acestei sume este 0, motiv pentru care merită să alegeți rânduri sau coloane cu numărul maxim de elemente zero.
Răspuns: -1228
Exemplu:
Calculați determinantul: 
Soluţie:
Să alegem prima coloană, pentru că două elemente din el sunt egale cu 0. Să extindem determinantul din prima coloană. 
Extindem fiecare dintre determinanții de ordinul trei în ceea ce privește primul și al doilea rând 
Extindem fiecare dintre determinanții de ordinul doi din prima coloană 
Răspuns: 48
Cometariu: la rezolvarea acestei probleme nu s-au folosit formule de calcul a determinanților ordinului 2 și 3. S-a folosit doar extinderea pe rând sau coloană. Ceea ce duce la scăderea ordinii determinanților.
