Distribuție uniformă. valoare continuă X este distribuit uniform pe interval ( A, b) dacă toate valorile sale posibile sunt în acest interval și densitatea distribuției de probabilitate este constantă:

Pentru o variabilă aleatorie X, distribuit uniform în intervalul ( A, b) (Fig. 4), probabilitatea de a cădea în orice interval ( X 1 , X 2) situat în interiorul intervalului ( A, b), este egal cu:

(30)


Orez. 4. Graficul densității de distribuție uniformă

Erorile de rotunjire sunt exemple de cantități distribuite uniform. Deci, dacă toate valorile tabelare ale unei anumite funcții sunt rotunjite la aceeași cifră, atunci alegând o valoare tabelară la întâmplare, considerăm că eroarea de rotunjire a numărului selectat este o variabilă aleatoare distribuită uniform în interval

distribuție exponențială. Variabilă aleatoare continuă X Are distribuție exponențială

(31)

Graficul densității distribuției de probabilitate (31) este prezentat în fig. 5.

Orez. 5. Graficul densității distribuției exponențiale

Timp T funcționarea fără defecțiuni a unui sistem informatic este o variabilă aleatorie care are o distribuție exponențială cu parametrul λ , a cărui semnificație fizică este numărul mediu de defecțiuni pe unitatea de timp, fără a lua în calcul timpul de nefuncționare a sistemului pentru reparații.

Distribuție normală (gaussiană). Valoare aleatoare X Are normal distribuție (gaussiană)., dacă distribuția densității probabilităților sale este determinată de dependența:

(32)

Unde m = M(X) , .

La distribuția normală se numește standard.

Graficul densității distribuției normale (32) este prezentat în fig. 6.

Orez. 6. Graficul densității distribuției normale

Distribuția normală este cea mai comună distribuție în diferite fenomene aleatorii ale naturii. Astfel, erori în executarea comenzilor de către un dispozitiv automat, erori în lansarea unei nave spațiale într-un anumit punct din spațiu, erori în parametrii sistemelor informatice etc. în majoritatea cazurilor au o distribuţie normală sau apropiată de cea normală. Mai mult, variabilele aleatoare formate prin însumarea unui număr mare de termeni aleatori sunt distribuite aproape conform legii normale.

Distribuție gamma. Valoare aleatoare X Are distribuția gama, dacă distribuția densității probabilităților sale este exprimată prin formula:

(33)

Unde este funcția gamma Euler.

Capitolul 6. Variabile aleatoare continue.

§ 1. Funcţia de densitate şi distribuţie a unei variabile aleatoare continue.

Setul de valori ale unei variabile aleatoare continue este de nenumărat și reprezintă de obicei un interval finit sau infinit.

Se numește o variabilă aleatoare x(w) dată într-un spațiu de probabilitate (W, S, P). continuu(absolut continuă) W dacă există o funcție nenegativă astfel încât, pentru orice x, funcția de distribuție Fx(x) poate fi reprezentată ca integrală

Funcția se numește funcție densitatea distribuției de probabilitate.

Proprietățile funcției de densitate de distribuție rezultă din definiție:

1..gif" width="97" height="51">

3. În punctele de continuitate, densitatea de distribuție este egală cu derivata funcției de distribuție: .

4. Densitatea distribuției determină legea distribuției unei variabile aleatoare, deoarece determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă în intervalul:

5. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia o anumită valoare este zero: . Prin urmare, următoarele egalități sunt adevărate:

Se numește graficul funcției de densitate de distribuție curba de distributie, iar aria delimitată de curba de distribuție și de axa x este egală cu unu. Apoi, geometric, valoarea funcției de distribuție Fx(x) în punctul x0 este aria mărginită de curba de distribuție și de axa x și situată la stânga punctului x0.

Sarcina 1. Funcția de densitate a unei variabile aleatoare continue are forma:

Determinați constanta C, construiți funcția de distribuție Fx(x) și calculați probabilitatea .

Soluţie. Constanta C se găsește din condiția Avem:

de unde C=3/8.

Pentru a construi funcția de distribuție Fx(x), rețineți că intervalul împarte intervalul argumentului x (axa numerelor) în trei părți: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

întrucât densitatea x pe semiaxă este zero. În al doilea caz

În sfârșit, în ultimul caz, când x>2,

Deoarece densitatea dispare pe semiaxă. Deci, se obține funcția de distribuție

Probabilitate calculați cu formula . Prin urmare,

§ 2. Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare continue

Valorea estimata pentru variabile aleatoare distribuite continuu este determinată de formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

dacă integrala din dreapta converge absolut.

Dispersia x poate fi calculat folosind formula , și de asemenea, ca și în cazul discret, după formula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Toate proprietățile așteptării și varianței prezentate în capitolul 5 pentru variabile aleatoare discrete sunt valabile și pentru variabile aleatoare continue.

Sarcina 2. Pentru o variabilă aleatoare x din problema 1, calculați așteptarea și varianța matematică .

Soluţie.

Si asta inseamnă

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Pentru un grafic al densității de distribuție uniformă, vezi fig. .

Fig.6.2. Funcția de distribuție și densitatea distribuției. lege uniformă

Funcția de distribuție Fx(x) a unei variabile aleatoare distribuite uniform este

Fx(x)=

Aşteptări matematice şi dispersie; .

Distribuția exponențială (exponențială). O variabilă aleatoare continuă x care ia valori nenegative are o distribuție exponențială cu parametrul l>0 dacă densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare este egală cu

px(x)=

Orez. 6.3. Funcția de distribuție și densitatea de distribuție a legii exponențiale.

Funcția de distribuție a distribuției exponențiale are forma

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> și , dacă densitatea sa de distribuție este egală cu

.

Mulțimea tuturor variabilelor aleatoare distribuite conform legii normale cu parametri și parametrii se notează cu .

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite normal este

.

Orez. 6.4. Funcția de distribuție și densitatea de distribuție a legii normale

Parametrii de distribuție normali sunt așteptările matematice https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

În cazul particular când https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distribuția normală se numește standard, iar clasa unor astfel de distribuții este desemnată https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

în timp ce funcţia de distribuţie

O astfel de integrală nu poate fi calculată analitic (nu este luată în „quadraturi”) și, prin urmare, sunt compilate tabele pentru funcție. Funcția este legată de funcția Laplace introdusă în capitolul 4

,

următoarea relație . În cazul valorilor arbitrare ale parametrilor https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funcția de distribuție a variabilelor aleatoare este legată de funcția Laplace folosind relația:

.

Prin urmare, probabilitatea ca o variabilă aleatoare distribuită normal să cadă într-un interval poate fi calculată prin formula

.

O variabilă aleatoare nenegativă x se numește log-distribuită normal dacă logaritmul ei h=lnx respectă legea normală. Așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare log-normal distribuite sunt Mx= și Dx=.

Sarcina 3. Să fie dată o valoare aleatorie https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Soluţie. Aici și https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Distribuția Laplace este setat de funcția fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> iar kurtoza este gx=3.

Fig.6.5. Funcția de densitate de distribuție Laplace.

Variabila aleatoare x este distribuită peste Legea Weibull, dacă are o funcție de densitate de distribuție egală cu https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Distribuția Weibull respectă perioadele de funcționare fără defecțiuni a multor dispozitive tehnice. În sarcinile acestui profil, o caracteristică importantă este rata de eșec (rata de mortalitate) l(t) a elementelor studiate de vârstă t, determinată de relația l(t)=. Dacă a=1, atunci distribuția Weibull se transformă într-o distribuție exponențială, iar dacă a=2 - în așa-numita distribuție Rayleigh.

Așteptările matematice ale distribuției Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, unde Г(а) este Euler functie..

În diverse probleme de statistică aplicată, sunt adesea întâlnite așa-numitele distribuții „trunchiate”. De exemplu, organele fiscale sunt interesate de repartizarea veniturilor acelor persoane al căror venit anual depășește un anumit prag c0 stabilit de legile fiscale. Aceste distribuții se dovedesc a fi aproximativ aceleași cu distribuția Pareto. Distribuția Pareto dat de funcţii

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> variabilă aleatoare x și funcție diferențiabilă monotonă ..gif" width="200" height="51">

Aici https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Sarcina 4. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe intervalul . Aflați densitatea unei variabile aleatoare.

Soluţie. Din starea problemei rezultă că

În continuare, funcția este o funcție monotonă și diferențiabilă pe interval și are funcție inversă , a cărui derivată este egală Prin urmare,

§ 5. O pereche de variabile aleatoare continue

Să fie date două variabile aleatoare continue x și h. Atunci perechea (x, h) determină un punct „aleatoriu” pe plan. Se numește o pereche (x, h). vector aleatoriu sau variabilă aleatoare bidimensională.

funcția de distribuție comună variabile aleatoare x și h și funcția se numește F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densitatea articulațiilor distribuţia de probabilitate a variabilelor aleatoare x şi h este o funcţie astfel încât .

Sensul acestei definiții a densității distribuției comune este următorul. Probabilitatea ca un „punct aleatoriu” (x, h) să cadă într-o zonă pe un plan este calculată ca volumul unei figuri tridimensionale - un cilindru „curbat” delimitat de suprafața https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Cel mai simplu exemplu de distribuție comună a două variabile aleatoare este bidimensional distribuție uniformă pe platouA. Să fie dată o mulțime mărginită M cu aria, care este definită ca distribuția perechii (x, h) dată de următoarea densitate a îmbinării:

Sarcina 5. Fie un vector aleator bidimensional (x, h) distribuit uniform în interiorul triunghiului . Calculați probabilitatea inegalității x>h.

Soluţie. Aria triunghiului indicat este egală cu (vezi Fig. Nr.?). În virtutea definiției unei distribuții uniforme bidimensionale, densitatea comună a variabilelor aleatoare x, h este egală cu

Evenimentul se potrivește cu setul pe un avion, adică pe un semiplan. Apoi probabilitatea

Pe semiplanul B, densitatea îmbinării este egală cu zero în afara setului https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. , semiplanul B este împărțit în două seturi și https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> și , iar a doua integrală este zero, deoarece densitatea îmbinării este zero acolo. De aceea

Dacă este dată densitatea distribuției comune pentru perechea (x, h), atunci densitățile și componentele x și h se numesc densități privateși se calculează cu formulele:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Pentru variabile aleatoare distribuite continuu cu densități px(x), ph(y), independența înseamnă că

Sarcina 6.În condițiile problemei anterioare, determinați dacă componentele vectorului aleator x și h sunt independente?

Soluţie. Să calculăm densitățile parțiale și . Avem:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Evident, în cazul nostru https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> este densitatea articulației dintre x și h, iar j(x, y) este o funcție a două argumente, atunci

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Sarcina 7.În condițiile problemei anterioare, calculați .

Soluţie. Conform formulei de mai sus, avem:

.

Reprezentând triunghiul ca

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Densitatea sumei a două variabile aleatoare continue

Fie x și h variabile aleatoare independente cu densități https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Densitatea variabilei aleatoare x + h se calculează din formula circumvoluții

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calculați densitatea sumei.

Soluţie. Deoarece x și h sunt distribuite conform legii exponențiale cu parametrul , densitățile lor sunt egale cu

Prin urmare,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Dacă x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">este negativ și, prin urmare, . Prin urmare, dacă https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Astfel, am primit răspunsul:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> este distribuit în mod normal cu parametrii 0 și 1. Variabilele aleatoare x1 și x2 sunt independente și au valori normale distribuții cu parametrii a1 și respectiv a2 Demonstrați că x1 + x2 are o distribuție normală Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt distribuite și independente și au aceeași funcție de densitate de distribuție

.

Găsiți funcția de distribuție și densitatea de distribuție a mărimilor:

a) h1 = min (x1 , x2, ...xn) ; b) h(2) = max(x1,x2, ... xn )

Variabilele aleatoare x1, x2, ... xn sunt independente și uniform distribuite pe segmentul [а, b]. Găsiți funcțiile de distribuție și funcțiile de densitate de distribuție ale mărimilor

x(1) = min(x1,x2, ... xn) și x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Demonstrați că M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Variabila aleatoare se distribuie conform legii Cauchy.Aflaţi: a) coeficientul a; b) funcţia de distribuţie; c) probabilitatea de a atinge intervalul (-1, 1). Arătați că așteptarea lui x nu există. Variabila aleatoare se supune legii Laplace cu parametrul l (l>0): Aflați coeficientul a; construiți grafice ale densității distribuției și ale funcției de distribuție; găsiți Mx și Dx; găsiți probabilitățile evenimentelor (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Scrieți o formulă pentru densitatea distribuției, găsiți Mx și Dx.

Sarcini de calcul.

Un punct aleator A are o distribuție uniformă într-un cerc cu raza R. Aflați așteptările matematice și varianța distanței r a unui punct față de centrul cercului. Să se arate că mărimea r2 este distribuită uniform pe intervalul .

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma:

Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma:

Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x) și probabilitatea Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare are forma:
Calculați constanta C, funcția de distribuție F(x), varianța și probabilitatea Variabila aleatoare are funcție de distribuție

Calculați densitatea unei variabile aleatoare, așteptarea matematică, varianța și probabilitatea Verificați dacă funcția =
poate fi o funcție de distribuție a unei variabile aleatoare. Aflați caracteristicile numerice ale acestei mărimi: Mx și Dx. Variabila aleatoare este distribuită uniform pe segment. Scrieți densitatea distribuției. Găsiți funcția de distribuție. Găsiți probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare pe segment și pe segment. Densitatea distribuției x este

.

Aflați constanta c, densitatea distribuției h = și probabilitatea

P (0,25

Timpul de funcționare al computerului este distribuit conform unei legi exponențiale cu parametrul l = 0,05 (eșecuri pe oră), adică are o funcție de densitate

p(x) = .

Rezolvarea unei anumite probleme necesită funcționarea fără probleme a mașinii timp de 15 minute. Dacă apare o defecțiune în timpul soluționării problemei, atunci eroarea este detectată numai la sfârșitul soluției, iar problema este rezolvată din nou. Aflați: a) probabilitatea ca în timpul rezolvării problemei să nu se producă nicio defecțiune; b) timpul mediu pentru care se va rezolva problema.

O tijă cu lungimea de 24 cm este ruptă în două părți; vom presupune că punctul de rupere este distribuit uniform pe toată lungimea tijei. Care este lungimea medie a majorității tijei? O bucată cu lungimea de 12 cm este tăiată aleatoriu în două părți. Punctul de tăiere este distribuit uniform pe toată lungimea segmentului. Care este lungimea medie a unei mici părți a segmentului? Variabila aleatoare este distribuită uniform pe intervalul . Aflați densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = .

Să se arate că dacă x are o funcție de distribuție continuă

F(x) = P(x

Aflați funcția de densitate și funcția de distribuție a sumei a două mărimi independente x și h cu legi uniforme de distribuție pe intervalele și, respectiv. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și, respectiv. Calculați densitatea sumei x+h. Variabilele aleatoare sunt independente și au o distribuție exponențială cu densitate . Aflați densitatea de distribuție a sumei lor. Aflați distribuția sumei variabilelor aleatoare independente x și h, unde x are o distribuție uniformă pe interval, iar h are o distribuție exponențială cu parametrul l. Găsiți P , dacă x are: a) distribuţie normală cu parametrii a şi s2 ; b) distribuţie exponenţială cu parametrul l; c) distribuţie uniformă pe intervalul [-1;1]. Distribuția comună a lui x, h este pătrat uniform
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Găsiți probabilitatea . Sunt x și h independente? O pereche de variabile aleatoare x și h este distribuită uniform în interiorul triunghiului K=. Calculați densitatea x și h. Sunt aceste variabile aleatoare independente? Găsiți probabilitatea. Variabilele aleatoare x și h sunt independente și uniform distribuite pe intervale și [-1,1]. Găsiți probabilitatea. O variabilă aleatoare bidimensională (x, h) este distribuită uniform într-un pătrat cu vârfuri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Aflați valoarea funcției de distribuție comună în punctul (1, -1). Vectorul aleator (x, h) este distribuit uniform în interiorul unui cerc cu raza 3 centrat la origine. Scrieți o expresie pentru densitatea distribuției comune. Determinați dacă aceste variabile aleatoare sunt dependente. Calculați probabilitatea. O pereche de variabile aleatoare x și h este distribuită uniform în interiorul unui trapez cu vârfuri în punctele (-6.0), (-3.4), (3.4), (6.0). Găsiți densitatea distribuției comune pentru această pereche de variabile aleatoare și densitatea componentelor. Sunt x și h dependente? O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform în interiorul semicercului. Aflați densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Densitatea comună a două variabile aleatoare x și h este .
Aflați densitățile x, h. Explorați întrebarea dependenței lui x și h. O pereche aleatorie (x, h) este distribuită uniform pe mulțime. Aflați densitățile x și h, investigați problema dependenței lor. Găsiți M(xh). Variabilele aleatoare x și h sunt independente și sunt distribuite conform legii exponențiale cu parametrul Find

Fie o variabilă aleatoare continuă X dată de funcția de distribuție f(x). Să presupunem că toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin intervalului [ a,b].

Definiție. așteptări matematice variabila aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin segmentului, se numește integrală definită

Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt luate în considerare pe întreaga axă a numerelor, atunci așteptarea matematică se găsește prin formula:

În acest caz, desigur, se presupune că integrala improprie converge.

Definiție. dispersie variabila aleatoare continuă se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale.

Prin analogie cu varianța unei variabile aleatoare discrete, se utilizează următoarea formulă pentru calculul practic al varianței:

Definiție. Deviație standard se numește rădăcina pătrată a varianței.

Definiție. Modă M 0 al unei variabile aleatoare discrete se numește valoarea sa cea mai probabilă. Pentru o variabilă aleatoare continuă, modul este valoarea variabilei aleatoare la care densitatea de distribuție are un maxim.

Dacă poligonul de distribuție pentru o variabilă aleatoare discretă sau curba de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă are două sau mai multe maxime, atunci o astfel de distribuție se numește bimodal sau multimodal. Dacă o distribuție are un minim, dar nu un maxim, atunci este numită antimodal.

Definiție. Median M D a unei variabile aleatoare X este valoarea acesteia, în raport cu care este la fel de probabil să obțină o valoare mai mare sau mai mică a variabilei aleatoare.

Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este împărțită la jumătate. Rețineți că, dacă distribuția este unimodală, atunci modul și mediana coincid cu așteptarea matematică.

Definiție. Moment de pornire Ordin k variabila aleatoare X se numește așteptarea matematică a lui X k.

Momentul inițial de ordinul întâi este egal cu așteptarea matematică.

Definiție. Moment central Ordin k variabila aleatoare X se numește așteptarea matematică a valorii

Pentru o variabilă aleatoare discretă: .

Pentru o variabilă aleatoare continuă: .

Momentul central de ordinul întâi este întotdeauna zero, iar momentul central de ordinul doi este egal cu dispersia. Momentul central de ordinul trei caracterizează asimetria distribuției.

Definiție. Se numește raportul dintre momentul central de ordinul al treilea și deviația standard din gradul al treilea coeficient de asimetrie.

Definiție. Pentru a caracteriza claritatea și planeitatea distribuției, o cantitate numită curtoză.

Pe lângă cantitățile luate în considerare, se mai folosesc așa-numitele momente absolute:

Moment de pornire absolut: . Moment central absolut: . Momentul central absolut de ordinul întâi se numește abaterea medie aritmetică.

Exemplu. Pentru exemplul considerat mai sus, determinați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare X.

Exemplu. O urna contine 6 bile albe si 4 negre. O minge este scoasă din ea de cinci ori la rând și de fiecare dată mingea scoasă este returnată înapoi și bilele sunt amestecate. Luând numărul de bile albe extrase ca variabilă aleatoare X, se întocmește legea de distribuție a acestei cantități, se determină așteptarea și varianța ei matematică.

Deoarece bilele din fiecare experiment sunt returnate înapoi și amestecate, apoi încercările pot fi considerate independente (rezultatul experimentului anterior nu afectează probabilitatea de apariție sau neapariție a unui eveniment într-un alt experiment).

Astfel, probabilitatea ca o minge albă să apară în fiecare experiment este constantă și egală cu

Astfel, în urma a cinci încercări succesive, mingea albă poate să nu apară deloc, să apară o dată, de două ori, de trei, de patru sau de cinci ori. Pentru a elabora o lege de distribuție, trebuie să găsiți probabilitățile fiecăruia dintre aceste evenimente.

1) Bila albă nu a apărut deloc:

2) Bila albă a apărut o dată:

3) Bila albă va apărea de două ori: .

Prin natura lor fizică, variabilele aleatoare pot fi deterministe și aleatorii.

Discreta este o variabilă aleatoare ale cărei valori individuale pot fi renumerotate (numărul de produse, numărul de piese - defecte și bune etc.).

O variabilă aleatorie se numește continuă, ale cărei valori posibile umple un anumit gol (abaterea dimensiunii piesei fabricate de la valoarea nominală, eroare de măsurare, abatere a formei piesei, înălțimea microrugozității etc.).

O variabilă aleatoare nu poate fi caracterizată printr-o singură valoare. Pentru aceasta, este necesar să se indice setul de valori posibile și caracteristicile probabilistice date pe acest set.

În cazul în care un eveniment aleatoriu este exprimat ca număr, putem vorbi despre o variabilă aleatoare. Aleatoriu ei numesc valoarea care, în urma testului, va lua o valoare posibilă, necunoscută dinainte și în funcție de cauze aleatorii care nu pot fi luate în considerare în prealabil.

Pierderea unei valori a unei variabile aleatoare X acesta este un eveniment aleatoriu: X \u003d x i. Dintre variabilele aleatoare se disting variabilele aleatoare discrete și continue.

Variabilă aleatorie discretă se numește o variabilă aleatorie, care, ca rezultat al testului, ia valori individuale cu anumite probabilități. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit. Exemple de variabile aleatoare discrete: înregistrarea citirilor vitezometrului sau a temperaturii măsurate în anumite momente de timp.

Variabilă aleatoare continuă se numește o variabilă aleatorie, care, ca rezultat al testului, ia toate valorile dintr-un anumit interval numeric. Numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit. Un exemplu de variabilă aleatoare continuă: măsurarea vitezei de mișcare a oricărui tip de transport sau temperatură într-un interval de timp specific.

Orice variabilă aleatorie are propria sa lege de distribuție a probabilității și propria sa funcție de distribuție a probabilității. Înainte de a defini funcția de distribuție, să luăm în considerare variabilele care o definesc. Lasă unii X este un număr real și se obține o variabilă aleatorie X, în care x > X. Este necesar să se determine probabilitatea ca variabila aleatoare X va fi mai mică decât această valoare fixă X.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X numită funcție F(x), care determină probabilitatea ca variabila aleatoare X ca rezultat al testului să ia o valoare mai mică decât valoarea lui x, adică:

O variabilă aleatoare este caracterizată în teoria probabilității legea distribuirii sale . Această lege stabilește o legătură între posibilele valori ale unei variabile aleatoare și probabilitățile de apariție a acestora corespunzătoare acestor valori. Există două forme de descriere a legii de distribuție a unei variabile aleatoare - diferential si integral . Mai mult, în metrologie se folosește în principal forma diferențială - legea distribuției probabilitate densitate variabilă aleatorie.

Legea distribuției diferențiale caracterizat densitatea distribuției de probabilitate f(x) variabilă aleatorie X. Probabilitate R lovirea unei variabile aleatoare în intervalul de la x 1 inainte de x 2 este dat de formula:

Grafic, această probabilitate este raportul dintre aria de sub curba f (x) în intervalul de la x 1 la x 2 și aria totală delimitată de întreaga curbă de distribuție. De regulă, aria de sub întreaga curbă de distribuție a probabilității este normalizată la unu.

În acest caz, distribuția continuu variabilă aleatorie. Pe lângă ei, există discret variabile aleatoare care iau un număr de valori specifice care pot fi numerotate.

Legea distribuției integrale a unei variabile aleatoare este o funcție F(x), definite prin formula

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să fie mai mică decât x 1 este dată de valoarea funcției F(x) la x = x 1:

Deși legea distribuției variabilelor aleatoare este caracteristica probabilistică completă a acestora, găsirea acestei legi este o sarcină destul de dificilă și necesită numeroase măsurători. Prin urmare, în practică, pentru a descrie proprietățile unei variabile aleatoare, diverse caracteristicile numerice ale distribuţiilor. Acestea includ momente variabile aleatoare: primară și centrală, care sunt unele valori medii. Mai mult, dacă se face o medie a valorilor numărate de la origine, atunci se numesc momentele iniţială, iar dacă din centrul de distribuție, atunci central.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este funcția F(x), exprimând pentru fiecare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea, x mai mic

Exemplul 2.5. Având în vedere o serie de distribuție a unei variabile aleatoare

Găsiți și descrieți grafic funcția sa de distribuție. Soluţie. Conform definiţiei

F(jc) = 0 pentru X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 la 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 la X > 5.

Deci (vezi Fig. 2.1):

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nenegativă cuprinsă între zero și unu:

2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare pe toată axa numerelor, adică. la X 2 >x

3. La minus infinit, funcția de distribuție este egală cu zero, la plus infinit, este egală cu unu, adică.

4. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn interval este egală cu integrala definită a densității sale de probabilitate variind de la A inainte de b(vezi fig. 2.2), i.e.

Orez. 2.2

3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue (vezi Fig. 2.3) poate fi exprimată în termeni de densitate de probabilitate folosind formula:

F(x)= Jp(*)*. (2,10)

4. Integrala improprie în limite infinite ale densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu unu:

Proprietăţi geometrice / şi 4 densitățile de probabilitate înseamnă că graficul său este curba de distributie - nu se află sub axa x, și aria totală a figurii, curba de distribuție limitată și axa x, este egal cu unu.

Pentru o variabilă aleatoare continuă X valorea estimata M(X) si varianta D(X) sunt determinate de formulele:

(dacă integrala converge absolut); sau

(dacă integralele reduse converg).

Alături de caracteristicile numerice menționate mai sus, conceptul de cuantile și puncte procentuale este folosit pentru a descrie o variabilă aleatorie.

cuantila de nivel q(sau q-quantila) este o astfel de valoarex qvariabilă aleatorie, la care funcţia sa de distribuţie ia valoarea, egal cu q, adică

• 100Punctul q%-ou este cuantila X~ q .
• ? Exemplul 2.8.

Conform exemplului 2.6 găsiți cuantila xqj și 30% punct variabil aleatoriu X.

Soluţie. Prin definiție (2.16) F(xo t3)= 0.3, adică.

~Y~ = 0,3, de unde cuantila x 0 3 = 0,6. 30% punct variabil aleatoriu X, sau cuantila Х)_о,з = xoj» se găsește în mod similar din ecuația ^ = 0,7. de unde *,= 1,4. ?

Printre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii se numără iniţială v* și central R* momente de ordinul k, determinat pentru variabile aleatoare discrete și continue prin formulele: