Definiţia în.7. Un punct x € R de pe dreapta numerică se numește punct limită al unei secvențe (xn) dacă pentru orice vecinătate U (x) și orice număr natural N este posibil să se găsească un element xn aparținând acestei vecinătăți cu un număr mai mare decât LG, adică x 6 R - punctul limită dacă. Cu alte cuvinte, un punct x va fi un punct limită pentru (xn) dacă oricare dintre vecinătățile sale conține elemente ale acestei secvențe cu numere arbitrar mari, deși poate nu toate elementele cu numere n > N. Prin urmare, următoarea afirmație este destul de evidentă. . Declarația b.b. Dacă lim(xn) = 6 6 R, atunci b este singurul punct limită al secvenței (xn). Într-adevăr, în virtutea Definiției 6.3 a limitei unei secvențe, toate elementele sale, pornind de la un anumit număr, se încadrează în orice vecinătate arbitrar de mică a punctului 6 și, prin urmare, elementele cu numere arbitrar de mari nu pot cădea în vecinătatea niciunui alt punct. . În consecință, condiția definiției 6.7 este îndeplinită doar pentru un singur punct 6. Totuși, nu fiecare punct limită (numit uneori punct condensat subțire) al unei secvențe este limita sa. Astfel, șirul (b.b) nu are limită (vezi exemplul 6.5), dar are două puncte limită x = 1 și x = - 1. Secvența ((-1)pp) are două puncte infinite +oo și ca puncte limită - cu linia numerică extinsă, a cărei unire este notată cu un simbol oo. De aceea putem presupune că punctele limită infinite coincid, iar punctul infinit oo, conform (6.29), este limita acestei secvențe. Puncte limită ale dreptei numerice de secvență Dovada testului Weierstrass și a criteriului Cauchy. Fie dată șirul (jn) și numerele k formează o secvență crescătoare de numere întregi pozitive. Atunci șirul (Vnb unde yn = xkn> se numește o subsecvență a șirului original. Evident, dacă (i„) are ca limită numărul 6, atunci oricare dintre subsecvențele sale are aceeași limită, deoarece pornind de la un anumit număr. toate elementele atât ale secvenței inițiale, cât și ale oricărei subsecvențe ale acesteia se încadrează în orice vecinătate aleasă a punctului 6. În același timp, orice punct limită al unei subsecvențe este, de asemenea, un punct limită pentru șir Teorema 9. Din orice șir care are un punct limită, se poate alege o subsecvență care are ca limită acest punct limită.Fie b punctul limită al șirului (xn), apoi, conform Definiției 6. 7 punct limită, pentru fiecare n există un element aparținând vecinătății U (6, 1/n) a punctului b de rază 1/n. Subsecvența compusă din punctele ijtj, ...1 ..., unde zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, are o limită la punctul 6. Într-adevăr, pentru un e > 0 arbitrar, se poate alege N astfel încât. Atunci toate elementele subsecvenței, începând cu numărul km, vor cădea în ^-vecinația U(6, e) de la punctul 6, care corespunde condiției 6.3 a definiției limitei șirului. Teorema inversă este de asemenea adevărată. Puncte limită ale dreptei numerice de secvență Dovada testului Weierstrass și a criteriului Cauchy. Teorema 8.10. Dacă o secvență are o subsecvență cu limita 6, atunci b este punctul limită al acestei secvențe. Din Definiția 6.3 a limitei unei secvențe rezultă că, pornind de la un anumit număr, toate elementele subsecvenței cu limita b se încadrează într-o vecinătate U(b, ​​​​e) de rază arbitrară e. Deoarece elementele subsecvenței sunt simultan elemente ale șirului (xn)> elementele xn se încadrează în această vecinătate cu cât mai multe numere arbitrar mari, iar aceasta, în virtutea Definiției 6.7, înseamnă că b este punctul limită al șirului (n). Observație 0.2. Teoremele 6.9 și 6.10 sunt valabile și în cazul în care punctul limită este infinit, dacă, la demonstrarea vecinătății merto a lui U(6, 1 /n), se consideră vecinătatea (sau vecinătățile).Condiția în care o subsecvență convergentă. poate fi izolat dintr-o secvență se stabilește prin următoarea teoremă.Teorema 6.11 (Bolzano - Weierstrass).Orice succesiune mărginită conține o subsecvență convergentă către o limită finită.Fie toate elementele șirului (an) să fie între numerele a și 6. , adică xn € [a, b] Vn € N. Împărțiți segmentul [a , b] în jumătate. Atunci cel puțin una dintre jumătățile sale va conține un număr infinit de elemente ale șirului, deoarece, în caz contrar, întregul segment [a, b] ar conține un număr finit dintre ele, ceea ce este imposibil Fie ] cel al jumătăților segmentului [a , 6], care conține o mulțime infinită de elemente ale șirului (zn) (sau dacă ambele jumătăți sunt astfel , apoi oricare dintre ele). În mod similar, din segmentul care conține un set infinit de elemente ale șirului etc. Continuând acest proces, vom construi un sistem de segmente imbricate cu bn - an = (6- a)/2P. Conform principiului segmentelor imbricate, există un punct x care aparține tuturor acestor segmente. Acest punct va fi punctul limită pentru secvența (xn) - De fapt, pentru orice e-vecinătate U(x, e) = (xx + e) ​​​​punctul x există un segment C U(x, e) (it este suficient doar să alegeți n din inegalitatea (, care conține un număr infinit de elemente ale șirului (sn). Conform definiției 6.7, x este punctul limită al acestei secvențe. Apoi, prin teorema 6.9, există o subsecvență care converge către punctul x. Metoda de raționament folosită în demonstrarea acestei teoreme (uneori este numită lema Bolzano-Weyer-Strass) și asociată cu bisectia secvențială a segmentelor luate în considerare este cunoscută ca metoda Bolzano. Această teoremă simplifică foarte mult demonstrarea multor teoreme complexe. Vă permite să demonstrați o serie de teoreme cheie într-un mod diferit (uneori mai simplu). Anexa 6.2. Dovada testului Weierstrass și a criteriului Cauchy În primul rând, demonstrăm afirmația 6.1 (testul Weierstrass pentru convergența unei secvențe monotone mărginite). Să presupunem că succesiunea (jn) este nedescrescătoare. Apoi mulțimea valorilor sale este mărginită mai sus și, prin Teorema 2.1, are un supremum pe care îl notăm prin sup(xn) fi R. Datorită proprietăților supremului (vezi 2.7) Punctele limită ale șirului sunt numărul linia.Dovada testului Weierstrass si a criteriului Cauchy. Conform Definiției 6.1 pentru o secvență nedescrescătoare avem sau Atunci > Ny și ținând cont de (6.34) obținem că corespunde Definiției 6.3 a limitei șirului, i.e. 31im(sn) și lim(xn) = 66R. Dacă șirul (xn) este necrescător, atunci cursul demonstrației este similar. Acum să trecem la demonstrarea suficienței criteriului Kochia pentru convergența unei secvențe (vezi Enunțul 6.3), deoarece necesitatea condiției criteriului rezultă din Teorema 6.7. Fie șirul (jn) fundamental. Conform Definiției 6.4, având în vedere un € arbitrar > 0, se poate găsi un număr N(e) astfel încât m^N și n^N implică. Apoi, luând m - N, pentru Vn > N obținem € £ Deoarece șirul în cauză are un număr finit de elemente cu numere care nu depășesc N, rezultă din (6.35) că șirul fundamental este mărginit (pentru comparație, vezi demonstrarea teoremei 6.2 privind mărginirea unei secvențe convergente). Pentru o mulțime de valori ale unei secvențe mărginite, există limite infime și supreme (vezi teorema 2.1). Pentru setul de valori ale elementelor pentru n > N, notăm aceste fețe an = inf xn și, respectiv, bjy = sup xn. Pe măsură ce N crește, infimul exact nu scade, iar supremul exact nu crește, adică. . Primesc un sistem de aer condiționat? segmente Conform principiului segmentelor imbricate, există un punct comun care aparține tuturor segmentelor. Să o notăm cu b. Astfel, cu Din comparație (6. 36) și (6.37) ca rezultat obținem care corespunde Definiției 6.3 a limitei șirului, i.e. 31im(x„) şi lim(sn) = 6 6 R. Bolzano a început să studieze secvenţele fundamentale. Dar nu avea o teorie riguroasă a numerelor reale și, prin urmare, nu a putut demonstra convergența șirului fundamental. Cauchy a făcut acest lucru, luând de la sine înțeles principiul segmentelor imbricate, pe care Cantor l-a fundamentat ulterior. Nu numai că criteriului de convergență a unei secvențe i se dă numele Cauchy, dar și secvența fundamentală este adesea numită șirul Cauchy, iar principiul segmentelor imbricate este numit după Cantor. Întrebări și sarcini 8.1. Demonstrați că: 6.2. Dați exemple de secvențe neconvergente cu elemente aparținând mulțimilor Q și R\Q. 0,3. În ce condiții termenii progresiilor aritmetice și geometrice formează secvențe descrescătoare și crescătoare? 6.4. Demonstrați relațiile care decurg din tabel. 6.1. 6.5. Construiți exemple de șiruri care tind spre punctele infinite +oo, -oo, oo și un exemplu de șir care converge către punctul 6 € R. c.v. Poate o secvență nemărginită să nu fie b.b.? Dacă da, dați un exemplu. la 7. Construiți un exemplu de succesiune divergentă constând din elemente pozitive care nu are nici o limită finită, nici infinită. 6.8. Demonstrați convergența șirului (jn) dată de formula recurentă sn+i = sin(xn/2) cu condiția „1 = 1. 6.9. Demonstrați că lim(xn)=09 dacă sn+i/xn-»g€ .

Împărțiți segmentul [ A 0 ,b 0 ] în jumătate în două segmente egale. Cel puțin unul dintre segmentele rezultate conține un număr infinit de termeni ai secvenței. Să o notăm [ A 1 ,b 1 ] .

În pasul următor, vom repeta procedura cu segmentul [ A 1 ,b 1 ]: împărțiți-l în două segmente egale și alegeți dintre ele pe cel pe care se află un număr infinit de termeni ai șirului. Să o notăm [ A 2 ,b 2 ] .

Continuând procesul obținem o succesiune de segmente imbricate

în care fiecare următor este jumătate din precedentul și conține un număr infinit de termeni ai șirului ( X k } .

Lungimile segmentelor tind spre zero:

În virtutea principiului Cauchy-Cantor al segmentelor imbricate, există un singur punct ξ care aparține tuturor segmentelor:

Prin construcție pe fiecare segment [A m ,b m ] există un număr infinit de termeni ai secvenței. Să alegem secvenţial

observând condiția numărului în creștere:

Apoi, subsecvența converge către punctul ξ. Aceasta rezultă din faptul că distanța de la ξ nu depășește lungimea segmentului care le conține [A m ,b m ] , Unde

Extindere la cazul unui spațiu de dimensiune arbitrară

Teorema Bolzano-Weierstrass se generalizează cu ușurință în cazul unui spațiu de dimensiune arbitrară.

Să fie dată o succesiune de puncte din spațiu:

(indicele de jos este numărul membrului secvenței, indicele de sus este numărul de coordonate). Dacă succesiunea de puncte din spațiu este limitată, atunci fiecare dintre secvențele numerice de coordonate:

de asemenea limitat ( - numărul de coordonate).

În virtutea versiunii unidimensionale a teoremei Bolzano-Weirstrass din secvența ( X k) putem selecta o subsecvență de puncte ale căror primele coordonate formează o secvență convergentă. Din subsecvența rezultată, selectăm din nou o subsecvență care converge de-a lungul celei de-a doua coordonate. În acest caz, convergența de-a lungul primei coordonate va fi păstrată datorită faptului că fiecare subsecvență a unei secvențe convergente converge. Și așa mai departe.

După n obținem o anumită succesiune de pași

care este o subsecvență a lui , și converge de-a lungul fiecărei coordonate. Rezultă că această subsecvență converge.

Poveste

Teorema Bolzano-Weierstrass (pentru cazul n= 1) a fost dovedit pentru prima dată de matematicianul ceh Bolzano în 1817. În lucrarea lui Bolzano, a acționat ca o lemă în demonstrarea teoremei asupra valorilor intermediare ale unei funcții continue, cunoscută acum ca teorema Bolzano-Cauchy. Cu toate acestea, aceste și alte rezultate, dovedite de Bolzano cu mult înaintea lui Cauchy și Weierstrass, au trecut neobservate.

Abia o jumătate de secol mai târziu, Weierstrass, independent de Bolzano, a redescoperit și demonstrat această teoremă. Inițial numită teorema lui Weierstrass, înainte ca opera lui Bolzano să fie cunoscută și acceptată.

Astăzi această teoremă poartă numele de Bolzano și Weierstrass. Această teoremă este adesea numită Lema Bolzano-Weierstrass, si cateodata lema punctului limită.

Teorema Bolzano-Weierstrass și conceptul de compactitate

Teorema Bolzano-Weierstrass stabilește următoarea proprietate interesantă a unei mulțimi mărginite: fiecare șir de puncte M conţine o subsecvenţă convergentă.

Atunci când dovedesc diverse propoziții în analiză, ei recurg adesea la următoarea tehnică: determină o succesiune de puncte care are o proprietate dorită și apoi selectează din ea o subsecvență care o are și ea, dar este deja convergentă. De exemplu, așa se demonstrează teorema lui Weierstrass că o funcție continuă pe un interval este mărginită și își ia cele mai mari și cele mai mici valori.

Eficacitatea unei astfel de tehnici în general, precum și dorința de a extinde teorema lui Weierstrass la spații metrice arbitrare, l-au determinat pe matematicianul francez Maurice Fréchet să introducă conceptul în 1906. compactitatea. Proprietatea mulțimilor mărginite în , stabilită de teorema Bolzano-Weierstrass, este, la figurat vorbind, că punctele mulțimii sunt situate destul de „aproape” sau „compact”: făcând un număr infinit de pași de-a lungul acestei mulțimi, vom cu siguranță ne apropiem cât ne place de un anumit punct din spațiu.

Frechet introduce următoarea definiție: set M numit compact, sau compact, dacă fiecare succesiune a punctelor sale conține o subsecvență care converge către un punct al acestei mulțimi. Se presupune că pe platou M metrica este definită, adică este