Construcția de tronsoane poliedre

Stereometrie clasa a X-a

Completat de un profesor de matematică

MBOU „Școala Gimnazială Molodkovskaya”

Stepchenko M.A.

Scopul lecției:

Dezvoltați abilitățile de rezolvare a problemelor care implică construirea de secțiuni ale unui tetraedru și paralelipiped

„Spune-mi și voi uita. Arată-mi și îmi voi aminti..."

Chineză antică

proverb

Acest lucru este interesant!

Mulți artiști, distorsionând legile perspectivei, pictează imagini neobișnuite. Apropo, aceste desene sunt foarte populare printre matematicieni. Pe Internet puteți găsi multe site-uri unde sunt publicate aceste obiecte imposibile.

Artiștii populari Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey și alții i-au surprins pe matematicieni cu picturile lor.

„Acest lucru poate fi desenat doar de cineva care realizează un design fără a vedea perspectiva...”

Jos de Mey

Legile geometriei sunt adesea încălcate în jocurile pe calculator.

Urcând această scară, rămânem la același etaj.

A 2 . Dacă două puncte sunt pe o linie dreaptă

zace în avion, apoi toate punctele

linii drepte se află în acest plan.

Geometrie: manual. Pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev și alții - ed. a 9-a, cu modificările ulterioare. – M.: Iluminismul, 2000. – 206 p.: ill. – ISBN 5-09-008612-5.

Nu poate fi o scară aici!

A

„Cei care se îndrăgostesc de practică fără teorie sunt ca un marinar care se îmbarcă pe o navă fără cârmă sau busolă și, prin urmare, nu știe niciodată unde navighează.”

Leonardo da Vinci

http://blogs.nnm.ru/page6/

AXIOME

planimetrie

stereometrie

Caracterizați poziția relativă a punctelor și a liniilor

A1. Prin oricare trei puncte care nu se află pe aceeași linie, trece un avion și numai unul

1. Fiecare linie conține cel puțin două puncte

A2. Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate punctele dreptei se află în acest plan

2. Există cel puțin trei puncte care nu se află pe aceeași linie

3. O linie dreaptă trece prin oricare două puncte și numai unul.

A3. Dacă două planuri au un punct comun, atunci ele au o linie comună pe care se află toate punctele comune ale acestor planuri.

Conceptul de bază al geometriei este „a sta între”

4. Dintre cele trei puncte de pe o linie dreaptă, unul și doar unul se află între celelalte două.

Avion (inclusiv secanta) poate fi specificat Următorul cale

Un punct de intersecție

Fără puncte de intersecție

Prin traversare

este avion

Prin traversare

este un segment

Plan de tăiere paralelipiped (tetraedru) este orice plan pe ambele părți ale căruia există puncte ale unui paralelipiped (tetraedru) dat.

A construi o secțiune a unui poliedr cu un plan înseamnă a indica punctele de intersecție a planului de tăiere cu marginile poliedrului și a lega aceste puncte cu segmente aparținând fețelor poliedrului.

Pentru a construi o secțiune a unui poliedru cu un plan, trebuie să indicați în planul fiecărei fețe 2 punctele aparținând secțiunii, legați-le cu o dreaptă și găsiți punctele de intersecție ale acestei drepte cu marginile poliedrului.

Un ghid de referință pentru metode de rezolvare a problemelor de matematică pentru liceu. Tsypkin A.G., Pinsky A.I./Under. Editat de V.I. Blagodatskikh. – M.: Știință. Redacția principală de literatură fizică și matematică, 1983. – 416 p.

Plan de tăiere intersectează fețele unui tetraedru (paralelepiped) de-a lungul segmente.

L

Poligon ale căror laturi sunt aceste segmente se numește secțiune transversală tetraedru ((paralelepiped).

Plan de tăiere

Planul de tăiere intersectează fețele tetraedrului de-a lungul segmentelor.

Poligonul ale cărui laturi sunt aceste segmente este secţiune tetraedrică .

Pentru a rezolva multe probleme geometrice este necesar să le construim secțiuni avioane diferite.

Pentru a construi o secțiune, trebuie să construiți punctele de intersecție ale planului de tăiere cu marginile și să le conectați cu segmente.

Trebuie luate în considerare următoarele:

1. Puteți conecta doar două puncte mincinoase

în planul unei feţe.

2. Un plan de tăiere intersectează fețe paralele de-a lungul segmentelor paralele.

3. Dacă în planul feței este marcat un singur punct, aparținând planului de secțiune, atunci trebuie construit un punct suplimentar. Pentru a face acest lucru, este necesar să găsiți punctele de intersecție ale liniilor deja construite cu alte linii situate pe aceleași fețe.

Ce poligoane pot fi obținute într-o secțiune?

Un tetraedru are 4 fețe

Secțiunile pot arăta astfel:

• Cadrilatere

• Triunghiuri

Paralepipedul are 6 fețe

• Pentagoane

• Triunghiuri

În secțiunile sale

poate rezulta:

• Hexagoane

• Cadrilatere

Blitz - sondaj

• Sarcina sondajului blitz este de a răspunde la întrebări și de a justifica răspunsul folosind axiome, teoreme și proprietăți ale planurilor paralele.

Sondaj Blitz.

D 1

CU 1

Crezi că liniile drepte NK și BB 1 se intersectează?

A 1

B 1

Sondaj Blitz.

D 1

CU 1

A 1

Crezi asta

direct NK și BB 1

se intersectează?

B 1

Sondaj Blitz.

D 1

CU 1

Crezi că direct NK și MR se suprapun?

A 1

B 1

Desenul are

inca o greseala!

Crezi că liniile drepte H R și NK

se intersectează?

Sondaj Blitz.

CU 1

D 1

A 1

B 1

Desenul are

inca o greseala!

Se intersectează liniile H R și A 1 B 1?

Sondaj Blitz.

Se intersectează liniile H R și C 1 D 1?

D 1

CU 1

A 1

B 1

Se intersectează?

direct NK și DC?

Se intersectează?

linii drepte NK și A D?

Crezi

care direcţionează MO şi AC

se intersectează?

Sondaj Blitz.

MO directă și AB se intersectează, deoarece se află în același plan (A D C). Direct MO și AB nu se intersectează, deoarece se află în planuri diferite (A D C) și (A D B) - aceste plane se intersectează de-a lungul dreptei A D, pe care se află toate punctele comune ale acestor planuri.

Crezi

care direcţionează MO şi AB

se intersectează?

Capacitatea de a rezolva probleme este o artă practică, precum înotul sau schiul...: poți învăța asta doar imitând modele alese și exersând constant...

D. Polya

Proprietate

plane paralele.

Dacă două plane paralele

traversat de al treilea,

apoi liniile de intersectie a acestora

paralel.

A

b

Această proprietate ne va ajuta

la construirea secţiunilor.

Cele mai simple sarcini.

D 1

CU 1

B 1

A 1

Legăm 2 puncte aparținând aceleiași fețe a poliedrului cu segmente. Dacă tăiați vârful unei piramide, obțineți o piramidă trunchiată.

Cele mai simple sarcini.

Secțiuni diagonale.

D 1

CU 1

D 1

CU 1

A 1

B 1

A 1

B 1

Legăm 2 puncte aparținând aceleiași fețe a poliedrului cu segmente. Secțiuni diagonale.

D 1

CU 1

A 1

B 1

Metoda axiomatică

Metoda urmei

• Metoda urmei

Esența metodei este de a construi o linie auxiliară, care este o imagine a liniei de intersecție a planului de tăiere cu planul oricărei fețe a figurii. Cel mai convenabil este să construiți o imagine a liniei de intersecție a planului de tăiere cu planul bazei inferioare. Această linie se numește urma planului de tăiere. Folosind urma, este ușor să construiți imagini ale punctelor planului de tăiere situat pe marginile laterale sau marginile unei figuri.

1. Construiți secțiuni ale unui paralelipiped cu un plan care trece prin punctele B 1, M, N

7. Să continuăm cu MN și BD.

2.Continuați MN,BA

5. B 1 O ∩ A 1 A=K

10. B 1 E ∩ D 1 D=P, PN

Construiți o secțiune a unui poliedru cu un plan care trece prin puncte M, R, K, dacă K aparține planului a.

Soluții la opțiunea 1.

Soluții pentru opțiunea 2.

Reguli pentru autocontrol:

• Vârfurile secțiunii sunt situate doar pe margini.

• Laturile secțiunii sunt doar pe marginea poliedrului.

• Un plan de tăiere intersectează o singură dată o față sau un plan de față.

Dacă vrei să înveți să înoți, atunci intră cu îndrăzneală în apă, iar dacă vrei să înveți să rezolvi problemele, atunci rezolvă-le

(D. Polya)

• Atanasyan L.S., și colab., Geometry 10-11. – M.: Educație, 2008.
• Litvinenko V.N., Poliedre. Probleme și soluții. – M.: Vita-Press, 1995.
• Smirnov V.A., Smirnova I.M., Examenul Unificat de Stat 100 puncte. Geometrie. Secțiune de poliedre. – M.: Examen, 2011.
• Supliment educațional și metodologic la ziarul „Primul septembrie” „Matematică”. Fedotova O., Kabakova T. Lecția integrată „Construcția secțiunilor unei prisme”, 9/2010.

• Ziv B.G. Materiale didactice despre geometrie pentru clasa a 10-a. – M., Educație, 1997.
• Ediție electronică „1C: școală. Matematică, clasele 5-11. Atelier"

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

Chudaeva Elena Vladimirovna, profesor de matematică,

Instituția de învățământ municipală „Școala secundară Nr. 1 Insarskaya”,

Insar, Republica Mordovia

Construcția secțiunilor de poliedre

Suport educațional și metodologic: Atanasyan L.S. si altele.Geometrie clasele 10-11.

Echipamente și materiale pentru lecție: computer, proiector, ecran, prezentare care însoțește lecția, fișe pentru elevi.

Scopul lecției: aprofundarea, generalizarea, sistematizarea, consolidarea cunoștințelor dobândite și dezvoltarea lor în viitor (studiați metoda urmei)

Obiectivele lecției:

1. Pentru a crea motivație în rândul școlarilor de a studia această temă.

2. Dezvoltați la elevi capacitatea de a folosi cunoștințele de bază pentru a dobândi cunoștințe noi.

3. Dezvoltați gândirea elevilor (capacitatea de a identifica caracteristicile esențiale și de a face generalizări).

4. Dezvoltați la elevi abilitățile de abordare creativă a rezolvării problemelor și abilitățile de lucru de cercetare asupra unei probleme.

Cunoștințe, abilități, abilități și calități pe care elevii le vor consolida în timpul lecției:

capacitatea de a utiliza cunoștințele de bază pentru a obține cunoștințe noi;

capacitatea de a identifica caracteristici esențiale și de a face generalizări;

abilități de abordare creativă a rezolvării problemelor care implică construcția de secțiuni

Planul lecției:

1. Formarea motivației în rândul școlarilor de a studia această temă.

2. Verificarea temelor. Informații istorice.

3. Repetarea cunoștințelor de bază (axiomatică, metode de definire a unui plan).

4. Aplicarea cunoștințelor într-o situație standard.

5. Studierea și consolidarea materialului nou: metoda urmei.

6. Munca independentă.

7. Rezumând lecția.

8. Tema pentru acasă.

În timpul orelor: eu etapa – Conversație introductivă.

Verificarea temelor. (6-7 min)

Forme și metode de lucru

Activități

elevi

1.Motivația

Conversație introductivă (1 min.)

Profesorii ascultă

2. Verificarea temelor

Comentarii la mini-discursurile studenților

Ascultă discursurile camarazilor lor, pune întrebări

II etapă– Actualizarea cunoștințelor (10 min)

(repetarea materialului teoretic)

Forme și metode de lucru

Activități

elevi

1. Repetarea axiomelor stereometriei

2. Repetiție: poziție relativă în spațiu a dreptelor și a planurilor

3. Generalizarea teoriei

Concluzie despre metodele de definire a unui plan

Înregistrarea rezultatelor într-un notebook

4. Repetarea conceptului de poliedru și a secțiunii unui poliedru de către un plan

Sondaj elevilor

Răspunsuri orale la întrebările profesorului

III etapă– Aplicarea cunoștințelor într-o situație standard (6-7 min)

(lucrați conform desenelor gata făcute)

Forme și metode de lucru

Activități

elevi

Rezolvarea problemelor tipice folosind desene gata făcute (fiecărui elev i se dă o fișă de lucru cu condițiile problemei și un desen pentru construirea unei secțiuni).

Rezolvarea comună a primei probleme (comentarea detaliată a pașilor soluției și înregistrarea proiectului într-o fișă de lucru).

Studierea condițiilor problemei, lucrul la desene gata făcute, urmat de analizarea soluției din diapozitive.

IV etapă–CUproprietățile planelor paralele (6 min)

Forme și metode de lucru ale profesorului

Tipuri de activități ale elevilor

1. Repetarea temei „Paralelismul planurilor”.

2. Rezolvarea problemelor

Lucrul la diapozitive gata făcute (studiul frontal al studenților)

Verificarea corectitudinii sarcinii

Răspunsuri orale la întrebările profesorului

Construirea secțiunilor într-o fișă de lucru.

Răspunsurile sunt pe tablă.

Etapa V - Acces la cunoștințe noi: „Metoda urmelor” (6 min)

Forme și metode de lucru

Activități

elevi

1. Învățarea de materiale noi

2. Consolidarea materialului nou

Explicarea noului material. Afișând un fragment educațional din filmul educațional „Cum se construiește o secțiune transversală a unui cub?”

Lucrați din desene gata făcute la tablă (cu comentarii ulterioare asupra etapelor construcției unei secțiuni pe un diapozitiv)

Ascultă explicația profesorului. Vizionarea unui film educațional Analiza fragmentelor video, înregistrarea unei soluții eșantion.

Doi elevi rezolvă la tablă, restul pe foaia de lucru

VI etapa - Munca independenta (4-5 min)

Forme și metode de lucru

Activități

elevi

Muncă educațională independentă

Explicația lucrării de efectuat.

Verificarea finalizării sarcinii.

Efectuarea muncii independente (folosind desene gata făcute).

Autotestare folosind diapozitive gata făcute.

VII etapă– rezumatul lecției (4 min)

Forme și metode de lucru

Activități

elevi

1. Rezumând

2. Teme creative

Discuție după lecție folosind diapozitive

Proiectat pe ecran

Răspunsuri orale la întrebările profesorului

Înscriere în agende

ÎN CURILE CURĂRILOR

Conversație introductivă. Informații istorice.

Profesor: Buna baieti! Tema lecției noastre este „Construirea secțiunilor de poliedre pe baza axiomaticii”. În timpul lecției vom rezuma și sistematiza materialul teoretic acoperit și îl vom aplica la probleme practice de construire a secțiunilor, atingând un nivel nou, mai complex de dificultate a sarcinii.

obiectivul principal lecţia noastră de aprofundare, sistematizare, consolidare a cunoştinţelor dobândite şi dezvoltarea lor în viitor.

Ca teme, vi s-a cerut să scrieți eseuri sau scurte discursuri despre istoria dezvoltării geometriei, despre viața marilor matematicieni, despre celebrele lor descoperiri și teoreme. Rapoartele și rezumatele s-au dovedit a fi foarte interesante, dar în timpul lecției vom auzi doar trei mini-discursuri care răspund la întrebarea: ce studiază stereometria, cum a apărut și s-a dezvoltat și unde este folosită?

1 student. Conceptul de stereometrie, care este studiat. (2 minute)

2 elev. Euclid - fondatorul geometriei, arhitecturii grecești. (2 minute)

3 elev. Teoria matematică a picturii. „Proporția de aur” este formula pentru corpul uman perfect conform lui Leonardo da Vinci. (2 – 3 min)

ÎN stereometrie sunt studiate obiecte matematice frumoase. Formele lor își găsesc aplicarea în artă, arhitectură și construcții. „Nu este o coincidență că ei spun că piramida lui Cheops este un tratat tăcut de geometrie, iar arhitectura greacă este expresia externă a geometriei lui Euclid”, a scris arhitectul Corbusier.

Au trecut secole, dar rolul geometriei nu s-a schimbat. Rămâne „gramatica arhitectului”. Formele geometrice își găsesc aplicația în artă, arhitectură și construcții.

Teoria matematică a picturii - Aceasta este teoria perspectivei, care reprezintă, în cuvintele lui Leonardo da Vinci, „un studiu și o invenție cât se poate de subtilă, bazată pe studiul matematicii, care, prin puterea liniilor, făcea ca ceea ce era aproape să pară îndepărtat și ceea ce era mic, mare.” Construcția structurilor inginerești care s-au desfășurat în timpul Renașterii a reînviat și extins tehnicile de proiectare a imaginilor folosite în lumea antică. Arhitecții și sculptorii s-au confruntat cu nevoia de a crea o doctrină a perspectivei picturale pe o bază geometrică. Numeroase exemple de construire a imaginilor în perspectivă sunt disponibile în lucrările genialului artist italian și savant remarcabil. Leonardo da Vinci. Pentru prima dată, el vorbește despre reducerea dimensiunii diferitelor segmente care se retrag în profunzimea imaginii, pune bazele perspectivei panoramice, indică regulile de distribuție a umbrelor și își exprimă încrederea în existența unei anumite formule matematice pentru frumusețea raportului dintre dimensiunile corpului uman - formula „raportului de aur”.

Astfel, am abordat fără probleme tema lecției noastre, iar puntea către următoarea etapă va fi cuvintele lui Leonardo da Vinci:

„Cei care se îndrăgostesc de practică fără teorie sunt ca un marinar care se îmbarcă pe o navă fără cârmă sau busolă și, prin urmare, nu știe niciodată unde navighează.”

Această afirmație definește următoarea etapă a lecției noastre: repetarea materialului teoretic.

II. Actualizarea cunoștințelor (repetarea materialului teoretic)

2.1. Axiomele stereometriei (tabelele sunt lăsate pentru ca elevii să le lucreze).

a) explicați conținutul axiomelor și ilustrați-le cu un model;

b) elevii care citesc textul de axiome;

c) executarea desenului;

2.2. Corolare din axiomele stereometriei.

2.3. Poziția relativă în spațiu a liniilor drepte și a planelor.

a) două linii (liniile sunt paralele, se intersectează, se încrucișează)

b) linie dreaptă și plan (linia dreaptă se află în plan, intersectează planul, este paralelă cu planul)

c) două plane (planele se intersectează sau sunt paralele).

În timpul conversației sunt evidențiate punctele esențiale ale teoriei:

a) Semn de paralelism între o dreaptă și un plan: Dacă o dreaptă care nu se află într-un plan dat este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan, atunci este paralelă cu planul dat.

b) Semnul planurilor paralele: Dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele.

Profesorul: Rezumând tot ce s-a spus, ajungem la concluzia despre metodele de definire a unui plan.

2.5. Conceptul de poliedre. Secțiune.

Poliedru este un corp limitat de un număr finit de planuri. Suprafața unui poliedru este formată dintr-un număr finit de poligoane.

M
poliedrul obţinut prin intersectarea unui poliedru cu un plan se numeşte secțiune transversală poliedru de planul indicat .

III. Aplicarea cunoștințelor într-o situație standard.

Folosind cunoștințele dobândite, le vom aplica la construcția de secțiuni de poliedre pe baza axiomaticii.

Exemplele și soluțiile acestora sunt date de către elevi (sub îndrumarea profesorului).

IV. Construirea de secțiuni folosind proprietățile planelor paralele.

Profesor: Pentru a rezolva următorul grup de probleme, trebuie să repetăm ​​proprietățile planurilor paralele.

V. O modalitate de a dobândi cunoștințe noi: „Metoda Urmei”.

Vizionarea unui film educativ.

Ediție electronică

Aplicarea cunoștințelor dobândite (elevii rezolvă două probleme la tablă și apoi vizualizează soluția corectă și înregistrează designul).

VI- Muncă independentă

urmată de verificare reciprocă (folosind un slide cu o soluție gata preparată).

VII. Rezumând lecția

1. Ce nou ai învățat la lecție?

2. Cum este construită secțiunea transversală a unui tetraedru?

3. Ce poligoane pot fi o secțiune a unui tetraedru?

4. Ce poligoane se pot obține în secțiunea unui paralelipiped?

5. Ce poți spune despre metoda urmei?

Teme creative. Compune două probleme pentru construirea secțiunilor de poliedre folosind cunoștințele dobândite.

Surse folosite

Prototipul acestei lecții a fost lecția autorului Legkoshur Irina Mikhailovna , modificări suplimentare și prezentarea pentru lecție au fost făcute cu permisiunea ei în 2008. Link:

Atanasyan L.S. si altele.Geometrie clasele 10-11. Tutorial.

Ediție electronică „1C: școală. Matematică, clasele 5-11. Atelier"

editie electronica" Caiet de lucru geometrie. Ghid pentru solicitanți. Curs complet pentru clasele 7-11"

Sarcini pentru construirea secțiunilor

Definiții. 1. Planul secant al unui tetraedru (paralepiped) este orice plan pe ambele părți ale căruia există puncte ale unui tetraedru (paralepiped) dat. 2. Un poligon ale cărui laturi sunt segmente care intersectează fețele unui tetraedru (paralepiped) se numește secțiune a unui tetraedru (paralepiped).

Secțiuni ale unui tetraedru și paralelipiped

A B C S Sarcina 1. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele date D, E, K. D E K M F Construcție: 2. EK 3. EK ∩ AC = F 4 . FD 5. FD ∩ B C = M 6. KM 1. DE D E K M – secțiune obligatorie

Explicații pentru construcție: 1. Conectați punctele K și F aparținând aceluiași plan A 1 B 1 C 1 D 1. A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 2. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele date E, F, K. K L M Construcție: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ A B = L EFKNM – secțiunea necesară F E N 4 . LN ║ FK 6. EM 5. LN ∩ AD = M 7 . KN Explicații pentru construcție: 2. Leagă punctele F și E, aparținând aceluiași plan AA 1 B 1 B. Explicații pentru construcție: 3. Dreptele FE și AB, situate în același plan AA 1 B 1 B, se intersectează în punctul L . Explicații pentru construcție: 4. Desenăm linie dreaptă LN paralelă cu FK (dacă planul de tăiere intersectează fețe opuse, atunci le intersectează de-a lungul segmentelor paralele). Explicații pentru construcție: 5. Linia LN intersectează muchia AD în punctul M. Explicații pentru construcție: 6. Conectăm punctele E și M aparținând aceluiași plan AA 1 D 1 D. Explicații pentru construcție: 7. Conectăm punctele K și N, aparținând aceluiași plan ВСС 1 В 1.

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 3. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele K, L, M. K L M Construcție: 1. ML 2. ML ∩ D 1 A 1 = E 3. EK M LFKPG – secțiune necesară F E N P G T 4 . EK ∩ A 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7. E K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9. NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11. PK

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele T, H, M, M∈AB. N T M Construcție: 1. NM 1. MT 1. N T Alegeți opțiunea corectă:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele T, H, M, M∈AB. N T M Construcție: 1. NM Comentarii: Aceste puncte aparțin unor fețe diferite! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele T, H, M, M∈AB. N T M Construcție: 1. M T Comentarii: Aceste puncte aparțin unor fețe diferite! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E 2. NT ∩ B C = E Alegeți corect opțiune:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Sarcina 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ BC = E Înapoi Comentarii: Aceste drepte se intersectează ! Nu se pot intersecta!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3. ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B C = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Alegeți opțiunea corectă:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Sarcina 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 3. ME ∩ AA 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Înapoi Comentarii: Aceste linii drepte sunt încrucișate! Nu se pot intersecta!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Sarcina 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 3. ME ∩ CC 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Înapoi Comentarii: Aceste linii drepte sunt încrucișate! Nu se pot intersecta!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. N F 4. V F 4. MT Alegeți opțiunea corectă:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Comentarii: Aceste puncte aparțin unor fețe diferite! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Comentarii: Aceste puncte aparțin unor fețe diferite! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K 5. T F ∩ B 1 B = K Alegeți varianta corectă:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K Comentarii: Aceste linii drepte se încrucișează! Nu se pot intersecta! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L 6. N K ∩ A D = L 6. T K ∩ A D = L Alegeți varianta corectă:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. N K ∩ A D = L Comentarii: Aceste drepte sunt încrucișate! Nu se pot intersecta! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. T K ∩ A D = L Comentarii: Aceste linii drepte sunt încrucișate! Nu se pot intersecta! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Alegeți varianta corectă:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L T Comentarii: Aceste puncte aparțin unor fețe diferite! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LF Comentarii: Aceste puncte aparțin unor fețe diferite! Înapoi

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Problema 4. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele H, M, T. N T M Construcție: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L N NT F M L – secțiunea necesară

A B C S Problema 5. Construiți o secțiune cu un plan care trece prin punctele date K, M, P, P∈ABC K M P Construcție:

A B C S Sarcina 5. Construiți o secțiune după un plan care trece prin punctele date K, M, P, P∈ABC K M R E N F Construcție: 1. KM 2. KM ∩ CA = E 3. E P 4 . EP ∩ AB = F EP ∩ B C = N 5 . L F 6. N K KM FN – tronson necesar

Vă mulțumim pentru atenție!

Mulți artiști, distorsionând legile perspectivei, pictează imagini neobișnuite. Apropo, aceste desene sunt foarte populare printre matematicieni. Pe Internet puteți găsi multe site-uri unde sunt publicate aceste obiecte imposibile. Artiștii populari Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey și alții i-au surprins pe matematicieni cu picturile lor.Este interesant!

Jos de Mey „Acest lucru poate fi desenat doar de cineva care realizează un design fără să cunoască perspectiva...”

„Cei care se îndrăgostesc de practică fără teorie sunt ca un marinar care se îmbarcă pe o navă fără cârmă sau busolă și, prin urmare, nu știe niciodată unde navighează.” Leonardo da Vinci

A construi o secțiune a unui poliedr cu un plan înseamnă a indica punctele de intersecție a planului de tăiere cu marginile poliedrului și a lega aceste puncte cu segmente aparținând fețelor poliedrului. Pentru a construi o secțiune a unui poliedru cu un plan, trebuie să indicați în planul fiecărei fețe 2 puncte aparținând secțiunii, să le conectați cu o dreaptă și să găsiți punctele de intersecție ale acestei drepte cu marginile poliedrului. .

AXIOME Planimetrie stereometrie 1. Fiecare linie conține cel puțin două puncte 2. Există cel puțin trei puncte care nu se află pe aceeași linie 3. O linie trece prin oricare două puncte și numai unul. Caracterizați poziția relativă a punctelor și a liniilor drepte Conceptul de bază al geometriei este „a se afla între” 4. Dintre cele trei puncte ale unei drepte, unul și doar unul se află între celelalte două. A1. Prin oricare trei puncte care nu se află pe aceeași linie, trece un plan și, în plus, un singur A2. Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate punctele dreptei se află în acest plan A3. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care se află toate punctele comune ale acestor planuri.

În acest caz, este necesar să țineți cont de următoarele: 1. Puteți conecta doar două puncte situate în planul unei fețe. Pentru a construi o secțiune, trebuie să construiți punctele de intersecție ale planului de tăiere cu marginile și să le conectați cu segmente. 2. Un plan de tăiere intersectează fețe paralele de-a lungul segmentelor paralele. 3. Dacă în planul feței este marcat un singur punct, aparținând planului de secțiune, atunci trebuie construit un punct suplimentar. Pentru a face acest lucru, este necesar să găsiți punctele de intersecție ale liniilor deja construite cu alte linii situate pe aceleași fețe.

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 N H K Cele mai simple probleme D R O M A B C

O A B C D O A B C D

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Secțiuni diagonale A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1

Metoda axiomatică Metoda urmelor Esența metodei este construirea unei linii auxiliare, care este o imagine a liniei de intersecție a planului de tăiere cu planul oricărei fețe a figurii. Cel mai convenabil este să construiți o imagine a liniei de intersecție a planului de tăiere cu planul bazei inferioare. Această linie se numește urma planului de tăiere. Folosind o urmă, este ușor să construiți imagini ale punctelor planului de tăiere situate pe marginile laterale sau pe fețele figurii.

A B C D K L M N F G Desenați o linie dreaptă FO prin punctele F și O. O Segmentul FO este o tăietură a feței KLBA printr-un plan de tăiere. În mod similar, segmentul FG este o tăietură a feței LMCB. Axiomă Dacă două plane diferite au un punct comun, atunci ele se intersectează de-a lungul unei drepte care trece prin acest punct (și chiar avem 2 puncte). Teoremă Dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci întreaga dreaptă aparține acestui plan. De ce suntem siguri că am făcut tăieturi pe margini? Construiți o secțiune a prismei care trece prin punctele O, F, G Pasul 1: tăiați fețele KLBA și LMCB

A B C D K L M N F G Pasul 2: cautati urma planului de taiere pe planul de baza Desenati dreapta AB pana se intersecteaza cu dreapta FO. O Obținem punctul H, care aparține atât planului de tăiere, cât și planului de bază. În mod similar obținem punctul R. Axioma Dacă două plane diferite au un punct comun, atunci ele se intersectează de-a lungul unei drepte care trece prin acest punct (și chiar avem 2 puncte). Teoremă Dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci întreaga dreaptă aparține acestui plan. H R Prin punctele H și R trasăm o linie dreaptă HR - urma planului de tăiere.De ce suntem siguri că dreapta HR este urma planului de tăiere pe planul de bază?

E S A B C D K L M N F G Pasul 3: faceți tăieturi pe alte fețe Deoarece dreapta HR intersectează fața inferioară a poliedrului, obținem punctul E la intrare și punctul S la ieșire. O Astfel, segmentul ES este o tăietură a feței ABCD. Axiomă Dacă două plane diferite au un punct comun, atunci ele se intersectează de-a lungul unei drepte care trece prin acest punct (și chiar avem 2 puncte). Teoremă Dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci întreaga dreaptă aparține acestui plan. H R Desenăm segmentele OE (tăierea feței KNDA) și GS (tăierea feței MNDC). De ce suntem siguri că facem totul bine?

A1A1 A B B1B1 C C1C1 D D1D1 M N 1. Construiți secțiuni ale unui paralelipiped cu un plan care trece prin punctele B 1, M, N O K E P Reguli 1. MN 2. Continuați MN, BA 4. B 1 O 6. KM 7. Continuați MN și BD. 9. B 1 E 5. B 1 O A 1 A=K 8. MN BD=E 10. B 1 E D 1 D=P, PN 3.MN BA=O

Reguli pentru autocontrol: vârfurile secțiunii sunt situate numai pe margini. Laturile secțiunii sunt doar pe marginea poliedrului. Un plan de tăiere intersectează o singură dată o față sau un plan de față.

44 1. Atanasyan L.S., ş.a. Geometrie - M.: Enlightenment, Litvinenko V.N., Polyhedra. Probleme și soluții. – M.: Vita-Press, Smirnov V.A., Smirnova I.M., Examenul Unificat de Stat 100 puncte. Geometrie. Secțiune de poliedre. – M.: Examen, Supliment educațional și metodologic la ziarul „Primul septembrie” „Matematică”. Fedotova O., Kabakova T. Lecție integrată „Construcția secțiunilor unei prisme”, 9/ Ziv B.G. Materiale didactice despre geometrie pentru clasa a 10-a. – M., Educație, Publicația electronică „1C: Școala. Matematică, clasele 5-11. Atelier" 7. ml