procesul valului. ecuația de undă

Unda este procesul de propagare a unei oscilații (sau a unui alt semnal) în spațiu.

Imaginați-vă, de exemplu, că în toate punctele avionului YOZ unii parametri fizici se modifică în timp conform legii armonice

Lăsați oscilațiile acestui parametru abstract să se propage de-a lungul axei BOU cu viteza v(Fig. 13.1.). Apoi în avionul cu coordonate X oscilațiile inițiale vor fi repetate din nou, dar cu o întârziere de secunde:

Orez. 13.1.

Funcția (13.1) se numește ecuație de undă plană. Această funcție importantă este adesea scrisă în această formă

Aici: E 0 și w - amplitudinea și frecvența oscilațiilor în undă,

(w t – kx+ - faza de undă,

a - faza inițială,

numărul de undă,

v- viteza de propagare a undelor.

Mulțimea tuturor punctelor din spațiu la care au loc oscilații în aceeași fază determină suprafața de fază. În exemplul nostru, acesta este un avion.

(w t – kx+ = F = const - ecuația de mișcare a suprafeței de fază în procesul de propagare a undelor. Să luăm derivata acestei ecuații în raport cu timpul:

w - k= 0.

Aici = vφ - viteza suprafeței fazei - viteza de fază.

= v f = .

Astfel, viteza de fază este egală cu viteza de propagare a undei.

Suprafața de fază care separă spațiul acoperit de procesul undelor de partea în care unda nu a ajuns încă se numește front de undă. Frontul de undă, ca una dintre suprafețele de fază, se mișcă de asemenea cu viteza fazei. Această viteză, de exemplu, a unei unde acustice în aer este de 330 m/s, iar a unei unde luminoase (electromagnetice) în vid - 3×10 8 m/s.

ecuația de undă E = E 0 ×cos(w t – kx+ j) este o soluție ecuația de undă diferențială. Pentru a găsi această ecuație diferențială, diferențiem ecuația de undă (13.2) de două ori în timp și apoi de două ori în coordonate:

Comparând aceste două expresii, constatăm că

Dar numărul valului k= , deci

. (13.3)

Aceasta este ecuația diferențială a procesului undei - ecuația de undă.

Încă o dată, observăm că ecuația de undă(13.2) există o soluție ecuația de undă (13.3).

Ecuația de undă poate fi, desigur, scrisă ca

Acum este evident că în ecuația undei coeficientul derivatei a doua față de coordonată este egal cu pătratul vitezei de fază a undei.

Dacă, rezolvând problema mișcării, obținem o ecuație diferențială de tipul

aceasta înseamnă că mişcarea studiată este propriile oscilații amortizate…

Dacă, la rezolvarea unei probleme obișnuite, a apărut o ecuație diferențială

atunci aceasta înseamnă că studiul proces val, și viteza de propagare a acestei unde.

Notă de siguranță

Când faci lucrări de laborator

În interiorul instrumentelor electrice de măsură utilizate în lucrare există o tensiune alternativă de rețea de 220 V, 50 Hz, care pune viața în pericol.

Cele mai periculoase locuri sunt întrerupătorul de alimentare, prizele de siguranță, cablul de alimentare al dispozitivelor, firele de conectare care sunt sub tensiune.

Elevii care au fost instruiți în domeniul măsurilor de siguranță în timpul lucrului de laborator au voie să efectueze lucrări de laborator în laboratorul de învățământ cu înregistrarea obligatorie în jurnalul de protocoale de testare a cunoștințelor privind măsurile de siguranță în timpul muncii de laborator.

Înainte de a efectua lucrări de laborator, studenții
necesar:

Învață metodologia de realizare a lucrărilor de laborator, regulile pentru implementarea în siguranță a acesteia;

Familiarizați-vă cu configurația experimentală; cunoaște metode și tehnici sigure de manipulare a instrumentelor și echipamentelor în timpul efectuării acestei lucrări de laborator;

Verificați calitatea cablurilor de alimentare; asigurați-vă că toate părțile care transportă curent ale dispozitivelor sunt închise și inaccesibile la atingere;

Verificați fiabilitatea conexiunii bornelor de pe carcasa instrumentului cu magistrala de masă;

În cazul unei defecțiuni, raportați imediat profesorului sau inginerului;

Obțineți permisiunea profesorului pentru implementarea acesteia, confirmând asimilarea materialului teoretic. Un student care nu a primit permisiunea de a efectua lucrări de laborator nu este permis.

Includerea dispozitivelor este efectuată de un profesor sau inginer. Numai după ce este convins de funcționalitatea dispozitivelor și corectitudinea asamblarii lor, puteți trece la munca de laborator.

Când efectuează lucrări de laborator, studenții ar trebui:

Nu lăsați dispozitivele pornite nesupravegheate;

Nu vă aplecați aproape de ele, nu treceți niciun obiect prin ele și nu vă sprijiniți de ele;

Când lucrați cu greutăți, fixați-le bine cu șuruburi de fixare pe osii.

înlocuirea oricărui element al instalării, conectarea sau deconectarea conexiunilor detașabile trebuie efectuată numai atunci când sursa de alimentare este oprită sub supravegherea clară a unui profesor sau inginer.

Raportați profesorului sau inginer orice deficiențe constatate în timpul lucrărilor de laborator

La sfârșitul lucrării, echipamentele și dispozitivele sunt deconectate de la rețea de către un profesor sau inginer.

Laboratorul #5

DETERMINAREA VELOCITĂȚII SUNETELOR ÎN AER PRIN METODEA UNDELOR STAȚIONARE

Scopul lucrării:

familiarizează-te cu principalele caracteristici ale proceselor ondulatorii;

pentru a studia condițiile de formare și caracteristicile unui val staționar.

Sarcini de lucru

determinarea vitezei sunetului în aer folosind metoda undelor staţionare;

determinați raportul dintre capacitatea termică izobară și cea izocorică pentru aer.

Conceptul de valuri.

Un corp care efectuează vibrații mecanice transferă căldură către mediu datorită forțelor de frecare sau rezistență, ceea ce îmbunătățește mișcarea aleatorie a particulelor mediului. Cu toate acestea, în multe cazuri, datorită energiei sistemului oscilant, apare o mișcare ordonată a particulelor învecinate ale mediului - acestea încep să efectueze oscilații forțate față de poziția lor inițială sub acțiunea forțelor elastice care leagă particulele între ele. Volumul spațiului în care apar aceste oscilații crește cu timpul. Astfel de procesul de propagare a oscilațiilor într-un mediu se numește mișcare ondulatorie sau pur și simplu mișcare ondulatorie.
În cazul general, prezența proprietăților elastice într-un mediu nu este necesară pentru propagarea undelor în acesta. De exemplu, undele electromagnetice și gravitaționale se propagă și în vid. Prin urmare, în fizică, undele sunt numite orice perturbație a stării materiei sau a câmpului care se propagă în spațiu. Perturbația este înțeleasă ca abaterea cantităților fizice de la stările lor de echilibru.

În solide, o perturbație este înțeleasă ca o deformare în schimbare periodică, generată de acțiunea unei forțe periodice și care determină deviația particulelor mediului de la poziția de echilibru - vibrațiile lor forțate. Când se iau în considerare procesele de propagare a undelor în corpuri, se ignoră de obicei structura moleculară a acestor corpuri și se consideră corpurile ca un mediu continuu distribuit continuu în spațiu. O particulă dintr-un mediu care efectuează vibrații forțate este înțeleasă ca un element mic al volumului mediului, ale cărui dimensiuni sunt în același timp de multe ori mai mari decât distanța intermoleculară. Datorită acțiunii forțelor elastice, deformația se va propaga în mediu cu o anumită viteză, numită viteza undei.

Este important de reținut că particulele mediului nu sunt antrenate de unda în mișcare. Viteza mișcării lor oscilatorii diferă de viteza undei. Traiectoria particulei este o curbă închisă, iar abaterea lor totală pe o perioadă este zero. Prin urmare, propagarea undelor nu provoacă transferul de materie, deși energia este transferată de la sursa de oscilații în spațiul înconjurător.

În funcție de direcția în care apar oscilațiile particulelor, se vorbește de unde de polarizare longitudinală sau transversală.

Undele se numesc longitudinale dacă deplasarea particulelor mediului are loc de-a lungul direcției de propagare a undei (de exemplu, în timpul compresiei elastice periodice sau a tensiunii unei tije subțiri de-a lungul axei sale). Undele longitudinale se propagă în medii în care apar forțe elastice în timpul compresiei sau tensiunii (adică în solid, lichid și gaz).

Dacă particulele oscilează într-o direcție perpendiculară pe direcția de propagare a undelor, atunci undele se numesc transversale. Se propagă numai în medii în care deformarea prin forfecare este posibilă (doar în solide). În plus, undele de forfecare se propagă pe suprafața liberă a unui lichid (de exemplu, undele de pe suprafața apei) sau la interfața dintre două lichide nemiscibile (de exemplu, la limita apei dulce și sărată).

Într-un mediu gazos, undele sunt regiuni alternante de presiune și densitate mai mare și mai mică. Ele apar ca urmare a oscilațiilor forțate ale particulelor de gaz care apar cu diferite faze în puncte diferite. Sub influența presiunii în schimbare, membrana timpanică a urechii efectuează vibrații forțate, care, prin sistemul complex unic al aparatului auditiv, provoacă biocurenți care curg către creier.

Ecuația undelor plane. Viteza fazei

suprafața valului numit locul punctelor care oscilează în aceeași fază. În cele mai simple cazuri, au forma unui plan sau a unei sfere, iar unda corespunzătoare se numește undă plană sau sferică. frontul de val este locul punctelor la care ajung oscilațiile la un moment dat. Frontul de undă separă regiunile spațiului deja implicate în procesul undelor și care nu sunt încă implicate. Există un număr infinit de suprafețe de undă și sunt nemișcate, iar frontul de undă este unul și se mișcă în timp.

Luați în considerare o undă plană care se propagă de-a lungul axei x. Lasă particulele mediului să se așeze în plan X= 0 , începe în acest moment t=0 să oscileze conform legii armonice relativ la poziția inițială de echilibru. Aceasta înseamnă că deplasarea particulelor din poziția lor inițială f modificări în timp conform legii sinusului sau cosinusului, de exemplu:

Unde f este deplasarea acestor particule din poziția lor inițială de echilibru în momentul de timp t, A- valoarea maximă a offsetului (amplitudinea); ω - frecvența ciclică.

Neglijând amortizarea în mediu, obținem ecuația pentru oscilația particulelor situate într-un plan corespunzător unei valori arbitrare. X>0). Lăsați unda să se propage în direcția coordonatei crescătoare X. A pleca departe de avion X=0 la planul specificat, valul are nevoie de timp

Unde v- viteza de deplasare a suprafeţei fazei constante (viteza de fază).

Prin urmare, oscilațiile particulelor aflate în plan X, va începe în acest moment t = τ și se va produce conform aceleiași legi ca în planul x=0, dar cu un decalaj de timp de τ , și anume:

(3)

Cu alte cuvinte, deplasarea particulelor care au fost în acest moment t\u003d 0 în planul x, în acest moment t va fi la fel ca în avion X=0, dar la un moment anterior

t1= (4)

Ținând cont de (4), expresia (3) se transformă:

(5)

Ecuația (5) este ecuația unei unde plane care se propagă de-a lungul direcției pozitive a axei X. Din aceasta, se poate determina abaterea particulelor mediului de la echilibru în orice punct din spațiu cu coordonatele Xși în orice moment tîn timpul propagării acestui val. Ecuația (5) corespunde cazului în care viteza inițială a fost dată particulelor în momentul inițial. Dacă, la momentul inițial, particulele sunt informate despre o abatere de la poziția de echilibru fără un mesaj de viteză, în (5) în loc de sinus, trebuie pus cosinusul. Argumentul cosinusului sau sinusului se numește faza oscilației. Faza determină starea procesului oscilator la un moment dat de timp (semnul și valoarea absolută a abaterii relative a particulelor de la poziția lor de echilibru). Din (5) se poate observa că faza de oscilații a particulelor situate în plan X, mai mică decât valoarea corespunzătoare pentru particulele situate în plan X=0, cu o valoare egală cu .

Dacă o undă plană se propagă în direcția descrescătoare X(la stânga), apoi ecuația (5) se transformă în forma:

(6)

Dat fiind

scriem (6) sub forma:

(8)

Unde T- perioada de oscilatie, ν - frecvență.

Distanța λ pe care se propagă unda într-o perioadă T, se numește lungime de undă.

De asemenea, puteți defini lungimea de undă și distanța dintre cele mai apropiate două puncte, ale căror faze de oscilație diferă cu 2π (Fig. 1).

După cum sa menționat mai sus, undele elastice din gaze sunt regiuni alternative de presiune și densitate mai mare și mai mică. Acest lucru este ilustrat în Figura 1, care arată pentru un anumit moment de timp deplasarea particulelor (a), viteza lor (b), presiunea sau densitatea (c) în diferite puncte din spațiu. Particulele mediului se mișcă cu o viteză (a nu se confunda cu viteza de fază v). Stânga și dreapta punctelor A 1, A 3, A5 iar alte viteze ale particulelor sunt direcționate către aceste puncte. Prin urmare, în aceste puncte se formează maxime de densitate (presiune). Dreapta și stânga punctelor A2, A4, A6 iar alte viteze ale particulelor sunt direcționate departe de aceste puncte și în ele se formează minime de densitate (presiune).

Deplasarea particulelor mediului în timpul propagării unei unde care călătorește în acesta în diferite momente de timp este prezentată în Fig. 2. După cum se poate observa, există o analogie cu undele de pe suprafața unui lichid. Maximele și minimele abaterilor de la poziția de echilibru se deplasează în spațiu în timp cu viteza de fază v. Maximele și minimele densității (presiunii) se deplasează cu aceeași viteză.

Viteza de fază a undei depinde de proprietățile elastice și densitatea mediului. Să presupunem că există o tijă elastică lungă (Fig. 3) cu o suprafață a secțiunii transversale egală cu S, în care perturbația longitudinală se propagă de-a lungul axei X cu un front de undă plat Fie pentru un interval de timp de la t0 inainte de t0+Δt frontul se va deplasa din punct A până la punctul ÎN de la distanță AB = v Δt, Unde v este viteza de fază a undei elastice. Durata intervalului Δt o luăm atât de mică încât viteza particulelor în întregul volum (adică între secțiunile care trec perpendicular pe axa X prin puncte AȘi ÎN) vor fi aceleași și egale u. Particule dintr-un punct A mutați o distanță într-un interval de timp dat u Δt. Particule situate într-un punct ÎN, pe moment t0+Δtîncepeți doar să vă mișcați și deplasarea lor în acest moment va fi egală cu zero. Fie lungimea inițială a secțiunii AB este egal cu l. Până în momentul de față t0+Δt se va schimba în u Δt, care va fi valoarea deformarii Δl. Masa secțiunii barei între puncte AȘi ÎN este egal cu ∆m =ρSvΔt. Modificarea impulsului acestei mase pe o perioadă de timp de la t0 inainte de t0+Δt egală

Δр = ρSvuΔt(10).

Forța care acționează asupra masei ∆m, poate fi determinat din legea lui Hooke:

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, sau. echivala

în partea dreaptă a ultimei expresii și expresii (10), obținem:

de unde urmeaza:

Viteza undei de forfecare

Unde G- modulul de forfecare.

Undele sonore din aer sunt longitudinale. Pentru lichide și gaze, în loc de modulul lui Young, formula (1) include raportul abaterii presiunii ΔΡ la modificarea relativă a volumului

(13)

Semnul minus înseamnă că o creștere a presiunii (procesul de comprimare a mediului) corespunde unei scăderi de volum și invers. Presupunând că modificările de volum și presiune sunt infinitezimale, putem scrie

(14)

Când undele se propagă în gaze, presiunea și densitatea cresc și scad periodic (respectiv, în timpul compresiei și rarefării), drept urmare temperatura diferitelor părți ale mediului se modifică. Compresia și rarefacția apar atât de repede încât secțiunile adiacente nu au timp să facă schimb de energie. Procesele care au loc într-un sistem fără schimb de căldură cu mediul se numesc adiabatice. Într-un proces adiabatic, schimbarea stării gazului este descrisă de ecuația Poisson

(15)

Parametrul γ se numește exponent adiabatic. Este egal cu raportul dintre capacitățile termice molare ale gazului la presiune constantă C p și volum constant C v:

Luând diferența ambelor părți ale egalității (15), obținem

de unde urmeaza:

Înlocuind (6) în (4), obținem modulul elastic al gazului

Înlocuind (7) în (1), găsim viteza undelor elastice în gaze:

Din ecuația Mendeleev-Clapeyron poate exprima densitatea gazului

, (19)

Unde - Masă molară.

Înlocuind (9) în (8), obținem formula finală pentru găsirea vitezei sunetului într-un gaz:

Unde R este constanta universală a gazului, T- temperatura gazului.

Măsurarea vitezei sunetului este una dintre cele mai precise metode de determinare a exponentului adiabatic.

Transformând formula (10), obținem:

Astfel, pentru a determina exponentul adiabatic, este suficientă măsurarea temperaturii gazului și a vitezei de propagare a sunetului.

În cele ce urmează, este mai convenabil să folosiți cosinusul în ecuația de undă. Ținând cont de (19 și 20), ecuația undei de călătorie poate fi reprezentată astfel:

(22)

unde este numărul de undă care arată câte lungimi de undă se potrivesc pe o distanță egală cu 2π metri.

Pentru o undă care se propagă împotriva direcției pozitive a axei x, obținem:

(23)

Un rol special îl au undele armonice (vezi, de exemplu, ecuațiile (5, 6, 22, 23)). Acest lucru se datorează faptului că orice oscilație care se propagă, indiferent de forma ei, poate fi întotdeauna considerată ca rezultat al suprapunerii (adăugării) undelor armonice cu frecvențe, amplitudini și faze selectate corespunzător.

valuri stătătoare.

Un interes deosebit este rezultatul interferenței a două unde cu aceeași amplitudine și frecvență care se propagă una spre alta. Experimental, acest lucru se poate face dacă o barieră bine reflectantă este plasată pe calea undei care se deplasează perpendicular pe direcția de propagare. Ca urmare a adunării (interferenței) undelor incidente și reflectate, va apărea așa-numita undă staționară.

Fie descrisă unda incidentă prin ecuația (22), iar unda reflectată, prin ecuația (23). Conform principiului suprapunerii, deplasarea totală este egală cu suma deplasărilor create de ambele unde. Adăugarea expresiilor (22) și (23) dă

Această ecuație, numită ecuația undei staționare, poate fi analizată convenabil sub următoarea formă:

, (25)

unde este multiplicatorul

(26)

este amplitudinea undei staţionare. După cum se poate observa din expresia (26), amplitudinea undei staţionare depinde de coordonatele punctului, dar nu depinde de timp. Pentru o undă plană care se deplasează, amplitudinea nu depinde nici de coordonată, nici de timp (în absența atenuării).

Din (27) și (28) rezultă că distanța dintre nodurile vecine, precum și distanța dintre antinodurile vecine, este egală cu , iar distanța dintre nodurile și antinodurile vecine este egală cu .

Din ecuația (25) rezultă că toate punctele mediului situat între două noduri învecinate oscilează în aceeași fază, iar valoarea fazei este determinată numai de timp. În special, ei ating în același timp abaterea maximă. Pentru o undă care se deplasează, după cum urmează din (16), faza este determinată atât de timp, cât și de coordonatele spațiale. Aceasta este o altă diferență între valurile stătătoare și cele care călătoresc. La trecerea prin nod, faza undei staţionare se modifică brusc cu 180 o.

Deplasarea de la poziția de echilibru pentru diferite momente de timp într-o undă staționară este prezentată în Fig. 4. Momentul în care particulele mediului sunt deviate maxim de la poziția inițială de echilibru este luat ca moment inițial de timp (curba 1).

Și , reprezentate de curbele 6, 7, 8 și 9, coincid cu abaterile în momentele corespunzătoare ale primului semiciclu (adică, curba 6 coincide cu curba 4 etc.). După cum se poate observa, din momentul în care deplasarea particulelor își schimbă din nou semnul.

Când undele sunt reflectate la limita a două medii, apare fie un nod, fie un antinod (în funcție de așa-numita impedanță acustică a mediului). Rezistența acustică a mediului se numește valoare , unde . este densitatea mediului, este viteza undelor elastice în mediu. Dacă mediul din care se reflectă unda are o rezistență acustică mai mare decât cel în care această undă este excitată, atunci la interfață se formează un nod (Fig. 5). În acest caz, faza undei la reflexie se schimbă la opus (cu 180°). Când o undă este reflectată dintr-un mediu cu o rezistență acustică mai mică, faza de oscilație nu se modifică.

Spre deosebire de unda care călătorește, care transportă energie, nu există transfer de energie într-o undă staționară. O undă care călătorește se poate deplasa spre dreapta sau spre stânga, dar o undă staționară nu are direcție de propagare. Termenul „undă staționară” ar trebui înțeles ca o stare oscilativă specială a mediului format din unde interferente.

În momentul în care particulele mediului trec de poziția de echilibru, energia totală a particulelor captate de oscilație este egală cu cea cinetică. Este concentrat în vecinătatea antinodurilor. Dimpotrivă, în momentul în care abaterea particulelor de la poziția de echilibru este maximă, energia lor totală este deja potențială. Este concentrat în apropierea nodurilor. Astfel, de două ori în timpul perioadei are loc o tranziție a energiei de la antinoduri la nodurile învecinate și invers. Ca rezultat, fluxul de energie mediat în timp în orice secțiune a undei staționare este zero.

Ca manuscris

Fizică

Note de curs

(Partea a 5-a. Valuri, undă optică)

Pentru studenții direcției 230400

„Sisteme și tehnologii informaționale”

Resursă educațională electronică

Alcătuit de: Candidat la Științe Fizice și Matematice, Conf. univ. V.V. Konovalenko

Proces-verbal nr.1 din data de 04.09.2013

Procese ondulatorii

Concepte de bază și definiții

Luați în considerare un mediu elastic - solid, lichid sau gazos. Dacă vibrațiile particulelor sale sunt excitate în orice loc al acestui mediu, atunci datorită interacțiunii dintre particule, vibrațiile, fiind transmise de la o particulă a mediului în alta, se vor propaga în mediu cu o anumită viteză. Proces propagarea vibrațiilor în spațiu se numește val .

Dacă particulele din mediu oscilează în direcția de propagare a undei, atunci se numește longitudinal. Dacă oscilațiile particulelor apar într-un plan perpendicular pe direcția de propagare a undei, atunci unda se numește transversal . Undele mecanice transversale pot apărea numai într-un mediu cu un modul de forfecare diferit de zero. Prin urmare, în medii lichide și gazoase, numai unde longitudinale . Diferența dintre undele longitudinale și transversale se vede cel mai clar în exemplul de propagare a oscilațiilor într-un arc - vezi figura.

Pentru a caracteriza oscilațiile transversale, este necesar să se stabilească poziția în spațiu plan care trece prin direcția de oscilație și direcția de propagare a undei - planuri de polarizare .

Se numește regiunea spațiului în care toate particulele mediului oscilează câmp de undă . Se numește granița dintre câmpul de undă și restul mediului frontul de val . Cu alte cuvinte, front de undă - locul punctelor la care oscilațiile au atins un anumit moment în timp. Într-un mediu omogen și izotrop, direcția de propagare a undei perpendicularîn fața valului.

Atâta timp cât există o undă în mediu, particulele mediului oscilează în jurul pozițiilor lor de echilibru. Fie aceste oscilații să fie armonice, iar perioada acestor oscilații este egală cu T. Particule separate între ele printr-o distanță

de-a lungul direcției de propagare a undelor, oscilează în același mod, adică. în orice moment dat, deplasările lor sunt aceleași. Distanța se numește lungime de undă . Cu alte cuvinte, lungime de undă este distanța parcursă de o undă într-o perioadă de oscilație .

Locul punctelor care oscilează într-o fază se numește suprafața valului . Frontul de undă este un caz special al suprafeței de undă. Lungime de undă – minim distanța dintre două suprafețe de undă în care punctele oscilează în același mod, sau putem spune asta fazele oscilaţiilor lor diferă prin .

Dacă suprafețele undelor sunt plane, atunci unda se numește apartament , iar dacă prin sfere, atunci sferic. O undă plană este excitată într-un mediu continuu omogen și izotrop în timpul oscilațiilor unui plan infinit. Excitația unei suprafețe sferice poate fi reprezentată ca rezultat al pulsațiilor radiale ale unei suprafețe sferice și, de asemenea, ca rezultat al acțiunii punctul sursă, ale căror dimensiuni în comparaţie cu distanţa până la punctul de observaţie pot fi neglijate. Deoarece orice sursă reală are dimensiuni finite, la o distanță suficient de mare de ea, unda va fi aproape sferică. În același timp, secțiunea suprafeței de undă a unei unde sferice, pe măsură ce dimensiunea acesteia scade, devine în mod arbitrar apropiată de secțiunea suprafeței de undă a unei unde plane.

Ecuația unei unde plane care se propagă

În orice direcție

Vom primi. Fie oscilațiile într-un plan paralel cu suprafețele undei și care trec prin originea coordonatelor au forma:

Într-un plan separat de origine printr-o distanţă l, oscilațiile vor rămâne în urmă în timp cu . Prin urmare, ecuația oscilațiilor în acest plan are forma:

Din geometria analitică se știe că distanța de la originea coordonatelor până la un anumit plan este egală cu produsul scalar al vectorului rază a unui anumit punct al planului și al vectorului unitar al normalei la plan: . Figura ilustrează această situație pentru cazul bidimensional. Înlocuiți valoarea lîn ecuația (22.13):

(22.14)

Se numește vectorul egal în valoare absolută cu numărul de undă și îndreptat de-a lungul normalei la suprafața undei vector val . Ecuația undelor plane poate fi acum scrisă astfel:

Funcția (22.15) oferă abaterea de la poziția de echilibru a unui punct cu un vector rază în momentul de timp t. Pentru a reprezenta dependența de coordonate și timp într-o formă explicită, este necesar să se țină seama de faptul că

. (22.16)

Acum ecuația undelor plane ia forma:

Adesea util reprezentați ecuația de undă în formă exponențială . Pentru a face acest lucru, folosim formula lui Euler:

unde , scriem ecuația (22.15) sub forma:

. (22.19)

ecuația de undă

Ecuația oricărei undă este o soluție la o ecuație diferențială de ordinul doi numită val . Pentru a stabili forma acestei ecuații, găsim derivatele secunde față de fiecare dintre argumentele ecuației de undă plană (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Adăugăm primele trei ecuații cu derivate în raport cu coordonatele:

. (22.24)

Exprimăm din ecuația (22.23): , și luați în considerare că:

(22.25)

Reprezentăm suma derivatelor secunde din partea stângă a (22.25) ca rezultat al acțiunii operatorului Laplace asupra , iar în forma finală reprezentăm ecuația de undă la fel de:

(22.26)

Este de remarcat faptul că în ecuația de undă, rădăcina pătrată a reciprocei derivatei în timp dă viteza de propagare a undei.

Se poate arăta că ecuația de undă (22.26) este satisfăcută de orice funcție de forma:

Și fiecare dintre ei este ecuația de undă și descrie o undă.

Energia undelor elastice

Considerăm că într-un mediu în care se propagă o undă elastică (22.10), un volum elementar este suficient de mic, astfel încât deformarea și viteza particulelor din el să poată fi considerate constante și egale:

Datorită propagării undelor în mediu, volumul are o energie elastică de deformare

(22.38)

În conformitate cu (22.35), modulul lui Young poate fi reprezentat ca . De aceea:

. (22.39)

Volumul luat în considerare are și energie cinetică:

. (22.40)

Volumul total de energie:

Și densitatea de energie:

, A (22.43)

Înlocuiți aceste expresii în (22.42) și luați în considerare că:

Prin urmare, densitatea energiei este diferită în diferite puncte ale spațiului și variază în timp conform legii sinusului pătrat.

Valoarea medie a pătratului sinusului este 1/2, ceea ce înseamnă in medie în timp, valoarea densității de energie în fiecare punct al mediului , în care unda se propagă:

. (22.45)

Expresia (22.45) este valabilă pentru toate tipurile de unde.

Asa de, mediul în care se propagă valul are o sursă suplimentară de energie. Prin urmare, valul transportă energie .

X.6 Radiație dipol

Dipol electric oscilant, adică un dipol al cărui moment electric se modifică periodic, de exemplu, după o lege armonică, este cel mai simplu sistem care emite unde electromagnetice. Un exemplu important de dipol oscilant este un sistem format dintr-o sarcină negativă care oscilează în jurul unei sarcini pozitive. Este această situație care se realizează atunci când o undă electromagnetică acționează asupra unui atom al unei substanțe, când, sub acțiunea câmpului de undă, electronii oscilează în vecinătatea nucleului atomic.

Să presupunem că momentul dipolar se modifică conform legii armonice:

unde este raza vectorului sarcinii negative, l- amplitudinea oscilației, - vector unitar îndreptat de-a lungul axei dipolului.

Ne mărginim să luăm în considerare dipol elementar , ale căror dimensiuni sunt mici în comparaţie cu lungimea de undă emisăși luați în considerare zona undelor dipol, adică o regiune a spațiului pentru care modulul vectorului rază al punctului este . În zona de undă a unui mediu omogen și izotrop, frontul de undă va fi sferic - Figura 22.4.

Un calcul electrodinamic arată că vectorul de undă se află într-un plan care trece prin axa dipolului și vectorul rază a punctului considerat. Amplitudini și depind de distanță rși unghiul dintre și axa dipolului. în vid

De la vectorul Poynting, atunci

, (22.33)

și se poate susține că dipolul radiază mai ales în direcțiile corespunzătoare lui , și model de radiație dipolul are forma prezentată în figura 22.5. model de radiație numită reprezentare grafică a distribuției intensității radiației în diferite direcții sub forma unei curbe construite astfel încât lungimea segmentului de fascicul trasat de la dipol într-o anumită direcție până la punctul curbei să fie proporțională cu intensitatea radiației.

Calculele arată și asta putere R radiația dipol este proporțională cu pătratul derivatei a doua temporală a momentului dipol :

Deoarece

, (22.35)

Acea putere medie

se dovedește proporţional cu pătratul amplitudinii momentului dipolar şi a patra frecvență de putere.

Pe de altă parte, având în vedere că și , înțelegem asta puterea radiației este proporțională cu pătratul accelerației:

Această afirmație este adevărată nu numai pentru oscilațiile sarcinii, ci și pentru o mișcare arbitrară a sarcinii.

optica undelor

În această secțiune, vom lua în considerare astfel de fenomene luminoase în care se manifestă natura ondulatorie a luminii. Amintiți-vă că lumina este caracterizată de dualismul undelor corpusculare și există fenomene care pot fi explicate doar pe baza conceptului de lumină ca flux de particule. Dar vom lua în considerare aceste fenomene în optica cuantică.

Informații generale despre lumină

Deci ne gândim la lumină ca la o undă electromagnetică. Într-o undă electromagnetică și oscilează. S-a stabilit experimental că efectele fiziologice, fotochimice, fotoelectrice și alte efecte ale luminii sunt determinate de vectorul undei luminoase, de aceea se numește lumină. În consecință, vom presupune că unda luminoasă este descrisă de ecuația:

unde este amplitudinea,

- numărul de undă (vector de undă),

Distanța de-a lungul direcției de propagare.

Planul în care oscilează se numește planul de vibrație. O undă luminoasă se deplasează cu o viteză

, (2)

numit indicele de refracție și caracterizează diferența dintre viteza luminii într-un mediu dat și viteza luminii în vid (vid).

În cele mai multe cazuri, substanțele transparente au permeabilitate magnetică și aproape întotdeauna se poate presupune că indicele de refracție este determinat de constanta dielectrică a mediului:

Sens n folosit pentru a caracteriza densitatea optică a mediului: cu cât n este mai mare, cu atât mediul este mai dens din punct de vedere optic .

Lumina vizibilă are lungimi de undă în vid în interval si frecventa

Receptoarele reale de lumină nu sunt capabile să țină evidența unor astfel de procese trecătoare și să se înregistreze fluxul energetic mediu în timp . A-prioriu , intensitatea luminii se numește modulul valorii medii în timp a densității fluxului de energie transportată de unda luminoasă :

(4)

Deoarece într-o undă electromagnetică

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

I~A2(8)

Raze vom numi liniile de-a lungul cărora se propagă energia luminoasă.

Vectorul fluxului mediu de energie este întotdeauna direcționat tangențial la fascicul. În medii izotrope coincide în direcție cu normala la suprafețele undei.

În lumina naturală, există unde cu orientări foarte diferite ale planului de oscilație. Prin urmare, în ciuda transversalității undelor de lumină, radiația surselor de lumină obișnuite nu dezvăluie asimetrie în raport cu direcția de propagare. Această caracteristică a luminii (naturale) se explică prin următoarele: unda luminoasă rezultată a sursei este compusă din unde emise de diverși atomi. Fiecare atom emite o undă în câteva secunde. În acest timp se formează spațiul tren de valuri (secvență de „cocoașe și văi”) lungime de aproximativ 3 metri.

Planul de oscilație al fiecărui tren este destul de definit. Dar, în același timp, un număr imens de atomi își radiază trenurile, iar planul de oscilații al fiecărui tren este orientat independent de ceilalți, într-un mod aleatoriu. De aceea în valul rezultat din corp oscilaţiile de direcţii diferite sunt reprezentate cu probabilitate egală. Înseamnă că, dacă se folosește un dispozitiv pentru a investiga intensitatea luminii cu orientări diferite ale vectorului, atunci în lumina naturală intensitatea nu depinde de orientare. .

Măsurarea intensității este un proces lung în comparație cu perioada undelor, iar ideile luate în considerare despre natura luminii naturale sunt convenabile pentru a descrie procese suficient de lungi.

Cu toate acestea, la un moment dat în timp, într-un anumit punct din spațiu, ca urmare a adunării vectorilor trenurilor individuale, se formează unul specific. Din cauza atomilor individuali aleatoriu „pornit” și „dezactivat”. o undă luminoasă excită la un punct dat o oscilație apropiată de armonică, dar amplitudinea, frecvența și faza oscilațiilor depind de timp și se modifică aleatoriu. Orientarea planului vibrațional se schimbă, de asemenea, aleatoriu. uy. Astfel, oscilațiile vectorului lumină într-un punct dat din mediu pot fi descrise prin ecuația:

(9)

Mai mult, și există funcții care variază haotic în timp ii. O astfel de concepție a luminii naturale este convenabilă dacă sunt luate în considerare intervale de timp comparabile cu perioada unei unde luminoase.

Se numește lumină în care direcțiile oscilațiilor vectoriale sunt ordonate într-un fel polarizat.

Dacă apar oscilaţiile vectorului luminos doar într-un singur plan trecând prin fascicul, atunci se numește lumina apartament - sau polarizat liniar. Cu alte cuvinte, în lumina polarizată plană, planul de oscilație are o poziție strict fixă. Sunt posibile și alte tipuri de ordonare, adică tipuri de polarizare a luminii.

Principiul Huygens

În aproximarea opticii geometrice, lumina nu trebuie să pătrundă în regiunea umbrei geometrice. În realitate, lumina pătrunde în această zonă, iar acest fenomen devine cu atât mai semnificativ, cu atât dimensiunea obstacolelor este mai mică. Dacă dimensiunile găurilor sau fantelor sunt comparabile cu o lungime de undă lungă, atunci optica geometrică nu este aplicabilă.

Calitativ, comportamentul luminii din spatele barierei este explicat de principiul Huygens, care face posibilă construirea frontului de undă în momentul de față din poziția cunoscută în momentul de față.

Conform principiului lui Huygens, fiecare punct atins de mișcarea undei devine o sursă punctuală de unde secundare. Învelișul de-a lungul fronturilor undelor secundare dă poziția frontului de undă.

Interferență luminoasă

Lasă, la un moment dat al mediului, două unde (polarizate în plan) să excite două oscilații aceeași frecvență și aceeași direcție:

Și . (24.14)

Amplitudinea oscilației rezultate este determinată de expresia:

Pentru undele incoerente, se schimbă aleatoriu și toate valorile sunt la fel de probabile. Prin urmare, din (24.15) rezultă:

6 Dacă undele sunt coerente și , atunci

Dar depinde de , sunt lungimile căilor de la sursele de undă la punctul dat și diferite pentru diferite puncte ale mediului. Prin urmare, atunci când sunt suprapuse unde coerente, fluxul luminos este redistribuit în spațiu, drept urmare intensitatea luminii crește în unele puncte ale mediului și scade în altele -. Acest fenomen se numește interferență.

Absența interferenței în viața de zi cu zi la utilizarea mai multor surse de lumină se explică prin acestea incoerenţă. Atomii individuali emit impulsuri pentru c, iar lungimea trenului este ≈ 3 metri. Pentru noul tren, nu numai că orientarea planului de polarizare este aleatorie, dar și faza este imprevizibilă.

Unde cu adevărat coerente se obțin prin împărțirea radiației unei surse în două părți. La suprapunerea părților, pot fi observate interferențe. Dar, în același timp, separarea lungimii optice nu ar trebui să fie de ordinul lungimii trenului. Altfel, nu va exista nicio interferență, pentru că se suprapun diverse trenuri.

Fie ca separarea să aibă loc în punctul O și suprapunerea în punctul P. Oscilațiile sunt excitate în P.

Și (24.17)

Vitezele de propagare a undelor în mediile corespunzătoare.

Răspândiți fazele într-un punct R:

unde este lungimea de undă a luminii în vid.

Valoare, adică egală cu diferența de lungimi ale căilor optice dintre punctele considerate se numește diferența de cale optică.

atunci , în (24.16) este egal cu unu, iar intensitatea luminii în va fi maximă.

(24.20)

Acea , oscilațiile într-un punct apar în antifază, ceea ce înseamnă că intensitatea luminii este minimă.

COERENŢĂ

coerență - flux coordonat a două sau mai multe procese ondulatorii. Consecvența absolută nu se întâmplă niciodată, așa că putem vorbi despre diferite grade de coerență.

Faceți distincția între coerența temporală și cea spațială.

Coerență temporală

Ecuația undelor reale

Am luat în considerare interferența undelor descrise prin ecuații de forma:

(1)

Cu toate acestea, astfel de unde sunt o abstractizare matematică, deoarece unda descrisă de (1) trebuie să fie infinită în timp și spațiu. Numai atunci mărimile pot fi constante definite.

O undă reală, formată ca urmare a suprapunerii trenurilor din diferiți atomi, conține componente ale căror frecvențe se află într-un interval de frecvență finit (respectiv, vectori de undă în ), și A și experimentează schimbări haotice continue. Oscilații excitate la un moment dat prin suprapuse real unde, pot fi descrise prin expresia:

Și (2)

Mai mult, modificările haotice ale funcțiilor cu timpul în (2) sunt independente.

Pentru ușurința analizei, presupunem că amplitudinile undelor sunt constante și identice (experimental, această condiție este implementată destul de simplu):

Schimbările de frecvență și fază pot fi reduse doar la schimbări de frecvență sau doar de fază. Într-adevăr, să presupunem că inarmonicitatea funcțiilor (2) se datorează salturilor de fază. Dar, conform celor dovedite la matematică Teorema Fourier, orice funcție nearmonică poate fi reprezentată ca o sumă de componente armonice ale căror frecvențe sunt închise în unele . În cazul limitativ, suma intră într-o integrală: orice funcție finită și integrabilă poate fi reprezentată prin integrala Fourier:

, (3)

Unde este amplitudinea componentei de frecvență armonică, determinată analitic de relația:

(4)

Deci, o funcție nearmonică datorată unei schimbări de fază poate fi reprezentată ca o suprapunere a componentelor armonice cu frecvențe în unele .

Pe de altă parte, o funcție cu frecvență și fază variabile poate fi redusă la o funcție cu doar fază variabilă:

Prin urmare, pentru a îmblânzi analizele ulterioare, presupunem:

adică implementăm abordare pe fază la conceptul de „Coerență temporală”.

Dungi de panta egala

Lasă o placă subțire plan-paralelă să fie iluminată prin difuzie monocromatic ușoară. Să plasăm o lentilă convergentă paralelă cu placa, în planul său focal – ecranul. Lumina împrăștiată conține raze de diferite direcții. Razele incidente la un unghi dau 2 raze reflectate, care vor converge într-un punct. Acest lucru este valabil pentru toate razele incidente pe suprafața plăcii la un unghi dat, în toate punctele plăcii. Lentila asigură că toate aceste raze converg către un punct, deoarece razele paralele care cad pe lentilă la un anumit unghi sunt colectate de aceasta într-un punct al planului focal, adică. pe ecran. În punctul O, axa optică a lentilei intersectează ecranul. În acest moment, sunt colectate raze care rulează paralel cu axa optică.

Razele incidente într-un unghi, dar nu în planul figurii, ci în alte planuri, se vor aduna în puncte situate la aceeași distanță de punct cu punctul. Ca urmare a interferenței acestor raze, la o anumită distanță de punct, se formează un cerc cu o anumită intensitate a luminii incidente. Razele incidente la un unghi diferit formează un cerc pe ecran cu o iluminare diferită, care depinde de diferența lor de cale optică. Ca urmare, pe ecran se formează benzi alternative întunecate și luminoase sub formă de cercuri. Fiecare dintre cercuri este format din raze care cad la un anumit unghi și se numesc dungi de panta egala. Aceste benzi sunt localizate la infinit.

Rolul lentilei poate fi jucat de lentilă, iar ecranul - retina. În acest caz, ochiul trebuie să fie acomodat la infinit. În lumină albă, se obțin dungi multicolore.

Dungi de grosime egală

Să luăm o farfurie sub formă de pană. Lasă-o să cadă fascicul de lumină paralel. Luați în considerare razele reflectate de pe fețele superioare și inferioare ale plăcii. Dacă aceste raze sunt reunite de o lentilă într-un punct, atunci ele vor interfera. Cu un unghi mic între fețele plăcii, diferența în calea razelor poate fi calculată din forma
le pentru o placă plan-paralelă. Razele formate de la căderea fasciculului în alt punct al plăcii vor fi colectate de lentilă în punctul . Diferența în cursul lor va fi determinată de grosimea plăcii în locul corespunzător. Se poate demonstra că toate punctele de tip P se află în același plan care trece prin vârful panei.

Dacă ecranul este poziționat astfel încât să fie conjugat cu suprafața în care se află punctele P, P 1 P 2, atunci pe el va apărea un sistem de dungi luminoase și întunecate, fiecare dintre acestea fiind formată din cauza reflexiilor de pe placă în locuri de o anumită grosime. Prin urmare, în acest caz, dungile sunt numite dungi de grosime egală.

Când sunt privite în lumină albă, benzile vor fi colorate. Dungile de grosime egală sunt localizate lângă suprafața plăcii. Sub incidența normală a luminii - la suprafață.

În condiții reale, la observarea colorării peliculelor de săpun și ulei, se observă benzi de tip mixt.

Difracția luminii.

27.1. Difracția luminii

Difracţienumit un set de fenomene observate într-un mediu cu neomogenități optice ascuțite și asociate cu abateri în propagarea luminii de la legile opticii geometrice .

Pentru a observa difracția, o barieră opacă este plasată pe calea unei unde luminoase de la o anumită sursă, acoperind o parte a suprafeței undei emise de sursă. Modelul de difracție emergent este observat pe un ecran situat pe continuarea razelor.

Există două tipuri de difracție. Dacă razele care vin de la sursă și de la obstacol până la punctul de observație pot fi considerate aproape paralele, atunci ei spun că existăDifracția Fraunhofer sau difracția în fascicule paralele. Dacă nu sunt îndeplinite condițiile de difracție Fraunhofer,vorbind despre difracția Fresnel.

Trebuie să se înțeleagă clar că nu există nicio diferență fizică fundamentală între interferență și difracție. Ambele fenomene se datorează redistribuirii energiei undelor luminoase coerente suprapuse. De obicei, când se consideră un număr finit surse discrete lumina, despre care vorbesc interferență . Dacă luăm în considerare suprapunerea undelor din surse coerente distribuite continuu în spațiu , apoi vorbesc despre difracţie .

27.2. Principiul Huygens-Fresnel

Principiul lui Huygens face posibilă în principiu explicarea pătrunderii luminii în regiunea unei umbre geometrice, dar nu spune nimic despre intensitatea undelor care se propagă în direcții diferite. Fresnel a completat principiul Huygens cu o indicație despre modul de calculare a intensității radiației de la un element al suprafeței undei în diferite direcții, precum și o indicație că undele secundare sunt coerente și când se calculează intensitatea luminii la un anumit punct, este necesar să se țină cont de interferența undelor secundare. .

Procese ondulatorii

Concepte de bază și definiții

Ecuații de undă plană și sferică

ecuația de undă este o expresie care determină deplasarea unui punct oscilant, în funcție de coordonatele poziției de echilibru a punctului și a timpului:

Dacă sursa o face periodic fluctuații, atunci funcția (22.2) trebuie să fie o funcție periodică atât a coordonatelor, cât și a timpului. Periodicitatea în timp decurge din faptul că funcția descrie oscilațiile periodice ale unui punct cu coordonate; periodicitatea în coordonate - din faptul că punctele situate la distanță de-a lungul direcției de propagare a undelor fluctuează in acelasi fel

Să ne limităm să luăm în considerare undele armonice, când punctele mediului realizează oscilații armonice. Trebuie remarcat faptul că orice funcție nearmonică poate fi reprezentată ca rezultat al suprapunerii undelor armonice. Prin urmare, luarea în considerare numai a undelor armonice nu conduce la o deteriorare fundamentală a generalității rezultatelor obținute.

Luați în considerare un val plan. Alegem un sistem de coordonate astfel încât axa Oh coincide cu direcția de propagare a undei. Apoi suprafețele undelor vor fi perpendiculare pe axă Ohși, deoarece toate punctele suprafeței undei oscilează în același mod, deplasarea punctelor mediului de la pozițiile de echilibru va depinde doar de x și t:

Fie ca oscilațiile punctelor situate într-un plan să aibă forma:

(22.4)

Oscilații într-un plan la distanță X de la originea coordonatelor, rămâne în urmă oscilațiilor în timp cu intervalul de timp necesar pentru ca valul să depășească distanța X,și sunt descrise de ecuație

care este ecuația unei unde plane care se propagă în direcția axei Ox.

Când derivăm ecuația (22.5), am presupus că amplitudinea oscilațiilor este aceeași în toate punctele. În cazul unei unde plane, acest lucru este adevărat dacă energia undei nu este absorbită de mediu.

Luați în considerare o valoare a fazei din ecuația (22.5):

(22.6)

Ecuația (22.6) oferă relația dintre timp t si loc - X, în care valoarea de fază specificată este implementată în prezent. Determinând din ecuația (22.6) , găsim viteza cu care se mișcă valoarea fazei dată. Diferențiând (22.6), obținem:

De unde urmează (22.7)

ecuația de undă este o ecuație care exprimă dependența deplasării unei particule oscilante care participă la procesul undei de coordonatele poziției și timpului ei de echilibru:

Această funcție trebuie să fie periodică atât în ceea ce privește timpul cât și în ceea ce privește coordonatele. În plus, punctele care sunt la distanță l unul de altul, fluctuează în același mod.

Să găsim tipul de funcție X în cazul unei unde plane.

Luați în considerare o undă armonică plană care se propagă de-a lungul direcției pozitive a axei într-un mediu care nu absoarbe energie. În acest caz, suprafețele undelor vor fi perpendiculare pe axă. Toate mărimile care caracterizează mișcarea oscilativă a particulelor mediului depind doar de timp și coordonate. Offset-ul va depinde numai de și: . Fie oscilația punctului cu coordonata (sursa oscilațiilor) să fie dată de funcția . Sarcină: găsiți tipul de fluctuație a punctelor din plan corespunzător unei valori arbitrare a . Este nevoie de timp pentru ca un val să călătorească dintr-un avion în acel avion. În consecință, oscilațiile particulelor aflate în plan vor rămâne în urmă în fază cu un timp de la oscilațiile particulelor din plan. Atunci ecuația oscilațiilor particulelor într-un plan va arăta astfel:

Ca rezultat, am obținut ecuația unei unde plane care se propagă în direcția creșterii:

. (3)

În această ecuație, este amplitudinea undei; – frecventa ciclica; este faza inițială, care este determinată de alegerea punctului de referință și ; este faza undei plane.

Fie faza de undă o valoare constantă (fixăm valoarea fazei în ecuația de undă):

Să reducem această expresie cu și să diferențiem. Ca rezultat, obținem:

sau .

Astfel, viteza de propagare a unei unde în ecuația undei plane nu este altceva decât viteza de propagare a unei faze fixe a undei. Această viteză se numește viteza de fază .

Pentru o undă sinusoidală, rata de transfer de energie este egală cu viteza de fază. Dar o undă sinusoidală nu poartă nicio informație, iar orice semnal este o undă modulată, adică. nu sinusoidal (nu armonic). La rezolvarea unor probleme, se dovedește că viteza fazei este mai mare decât viteza luminii. Nu există paradox aici, pentru că viteza de deplasare a fazelor nu este viteza de transmitere (propagare) a energiei. Energia, masa nu se pot mișca mai repede decât viteza luminii c .

De obicei, ecuației de undă plană i se dă o formă care este simetrică în raport cu și. Pentru a face acest lucru, introduceți valoarea , Care e numit numărul de undă . Să transformăm expresia pentru numărul de undă. O scriem sub formă (). Înlocuiți această expresie în ecuația de undă plană:

În sfârșit, obținem

Aceasta este ecuația unei unde plane care se propagă în direcția creșterii. Direcția opusă de propagare a undelor va fi caracterizată printr-o ecuație în care semnul din fața termenului se va schimba.

Este convenabil să scrieți ecuația de undă plană în următoarea formă.

De obicei semnează Re sunt omise, ceea ce implică faptul că este luată numai partea reală a expresiei corespunzătoare. În plus, este introdus un număr complex.

Acest număr se numește amplitudine complexă. Modulul acestui număr dă amplitudinea, iar argumentul dă faza inițială a undei.

Astfel, ecuația unei unde plane neamortizate poate fi reprezentată în următoarea formă.

Tot ceea ce s-a considerat mai sus se referea la un mediu în care nu exista atenuarea undelor. În cazul atenuării undei, în conformitate cu legea lui Bouguer (Pierre Bouguer, om de știință francez (1698 - 1758)), amplitudinea undei va scădea pe măsură ce se propagă. Atunci ecuația de undă plană va avea următoarea formă.

A este coeficientul de atenuare al undei. A0 este amplitudinea oscilației în punctul cu coordonatele . Aceasta este inversul distanței la care amplitudinea undei scade e o singura data.

Să găsim ecuația unei unde sferice. Vom considera sursa de oscilații ca fiind o sursă punctuală. Acest lucru este posibil dacă ne limităm la a considera valul la o distanță mult mai mare decât dimensiunile sursei. O undă dintr-o astfel de sursă într-un mediu izotrop și omogen va fi sferic . Punctele situate pe suprafața undei de rază vor oscila odată cu faza

Amplitudinea oscilației în acest caz, chiar dacă energia undei nu este absorbită de mediu, nu va rămâne constantă. Descreste cu distanta fata de sursa conform legii. Prin urmare, ecuația undelor sferice are forma:

În virtutea ipotezelor făcute, ecuația este valabilă doar pentru , depășind semnificativ dimensiunile sursei de undă. Ecuația (6) nu este aplicabilă pentru valori mici ale , deoarece amplitudinea ar tinde spre infinit, ceea ce este absurd.

În prezența atenuării în mediu, ecuația pentru o undă sferică se scrie după cum urmează.

viteza de grup

O undă strict monocromatică este o secvență nesfârșită de „cocoașe” și „jgheaburi” în timp și spațiu.

Viteza de fază a acestei unde sau (2)

Cu ajutorul unei astfel de unde este imposibil să se transmită un semnal, deoarece. în orice punct al valului, toate „cocoașele” sunt la fel. Semnalul trebuie să fie diferit. Fii un semn (etichetă) pe val. Dar atunci unda nu va mai fi armonică și nu va fi descrisă de ecuația (1). Semnalul (impulsul) poate fi reprezentat conform teoremei Fourier ca o suprapunere de unde armonice cu frecvențe cuprinse într-un anumit interval. Dw . O suprapunere de unde care diferă puțin unele de altele ca frecvență

numit pachet de val sau grup de valuri .

Expresia pentru un grup de valuri poate fi scrisă după cum urmează.

(3)

Pictogramă w subliniază că aceste mărimi depind de frecvență.

Acest pachet de unde poate fi o sumă de unde cu frecvențe ușor diferite. Acolo unde fazele undelor coincid, are loc o creștere a amplitudinii, iar acolo unde fazele sunt opuse, are loc o amortizare a amplitudinii (rezultatul interferenței). O astfel de imagine este prezentată în figură. Pentru ca suprapunerea undelor să fie considerată ca un grup de unde, trebuie îndeplinită următoarea condiție Dw<< w 0 .

Într-un mediu nedispersiv, toate undele plane care formează un pachet de undă se propagă cu aceeași viteză de fază v . Dispersia este dependența vitezei de fază a undei sinusoidale într-un mediu de frecvență. Vom lua în considerare fenomenul de dispersie mai târziu în secțiunea Wave Optics. În absența dispersiei, viteza de deplasare a pachetului de undă coincide cu viteza de fază v . Într-un mediu dispersiv, fiecare undă se dispersează cu propria sa viteză. Prin urmare, pachetul de undă se răspândește în timp, lățimea acestuia crește.

Dacă dispersia este mică, atunci răspândirea pachetului de undă nu are loc prea repede. Prin urmare, mișcării întregului pachet i se poate atribui o anumită viteză U .

Viteza cu care se deplasează centrul pachetului de undă (punctul cu valoarea maximă a amplitudinii) se numește viteza de grup.

Într-un mediu dispersiv v¹ U . Odată cu mișcarea pachetului de val în sine, există o mișcare de „cocoașe” în interiorul pachetului însuși. „Cocoașe” se mișcă în spațiu cu o viteză v , și pachetul în ansamblu cu viteza U .

Să luăm în considerare mai detaliat mișcarea unui pachet de unde folosind exemplul unei suprapuneri a două unde cu aceeași amplitudine și frecvențe diferite. w (lungimi de undă diferite l ).

Să scriem ecuațiile a două unde. Să luăm pentru simplitate fazele inițiale j0 = 0.

Aici

Lăsa Dw<< w , respectiv Dk<< k .

Adăugăm fluctuațiile și efectuăm transformări folosind formula trigonometrică pentru suma cosinusurilor:

În primul cosinus, neglijăm Dwt Și Dkx , care sunt mult mai mici decât alte cantități. Învățăm asta cos(–a) = cosa . Să o scriem în cele din urmă.

(4)

Factorul dintre paranteze pătrate se modifică în timp și coordonează mult mai lent decât al doilea factor. Prin urmare, expresia (4) poate fi considerată ca o ecuație de undă plană cu o amplitudine descrisă de primul factor. Grafic, unda descrisă prin expresia (4) este prezentată în figura prezentată mai sus.

Amplitudinea rezultată se obține ca urmare a adunării undelor, prin urmare se vor observa maximele și minimele amplitudinii.

Amplitudinea maximă va fi determinată de următoarea condiție.

(5)

m = 0, 1, 2…

xmax este coordonata amplitudinii maxime.

Cosinusul ia valoarea maximă modulo prin p .

Fiecare dintre aceste maxime poate fi considerat centru al grupului corespunzător de unde.

Rezolvarea (5) cu privire la xmax obține.

Deoarece viteza de fază numită viteza de grup. Amplitudinea maximă a pachetului de undă se mișcă cu această viteză. În limită, expresia pentru viteza de grup va avea următoarea formă.

(6)

Această expresie este valabilă pentru centrul unui grup de un număr arbitrar de unde.

Trebuie remarcat faptul că atunci când toți termenii expansiunii sunt luați în considerare cu acuratețe (pentru un număr arbitrar de unde), expresia amplitudinii se obține în așa fel încât să rezulte din aceasta că pachetul de undă se răspândește în timp.
Expresia pentru viteza de grup poate fi dată într-o formă diferită.

În absenţa dispersării

Maximul de intensitate cade pe centrul grupului de unde. Prin urmare, rata de transfer de energie este egală cu viteza grupului.

Conceptul de viteză de grup este aplicabil numai cu condiția ca absorbția undei în mediu să fie mică. Odată cu o atenuare semnificativă a undelor, conceptul de viteză de grup își pierde sensul. Acest caz se observă în regiunea de dispersie anormală. Vom lua în considerare acest lucru în secțiunea Wave Optics.

Portal pentru student. Autoinstruire

ARTICOLE SIMILARE