Familia lui Georg Kantor (1845-1918) s-a mutat din Rusia în Germania când acesta era încă copil. Acolo a început să studieze matematica. În 1868 și-a susținut disertația despre teoria numerelor și și-a luat doctoratul la Universitatea din Berlin. La vârsta de 27 de ani, Kantor a publicat un articol care conținea o soluție generală a unei probleme matematice foarte complexe - și idei care au devenit ulterior celebra sa teorie - teoria mulțimilor. În 1878, el a introdus și formulat un număr semnificativ de concepte noi, a dat definiția unei mulțimi și prima definiție a unui continuum și a dezvoltat principiile comparării mulțimilor. El a prezentat o prezentare sistematică a principiilor doctrinei sale despre infinit în 1879-1884.

Insistența lui Cantor de a considera infinitul ca pe ceva dat efectiv a fost o veste mare pentru acea vreme. Kantor s-a gândit la teoria sa ca la un calcul complet nou al matematicii infinite, „transfinite” (adică „superfinite”). Conform ideii sale, crearea unui astfel de calcul trebuia să revoluționeze nu numai matematica, ci și metafizica și teologia, care l-au interesat pe Cantor aproape mai mult decât cercetarea științifică în sine. A fost singurul matematician și filozof care credea că infinitul actual nu numai că există, ci este și înțeles de om în sensul deplin, iar această înțelegere îi va ridica pe matematicieni, iar după ei pe teologi, mai sus și mai aproape de Dumnezeu. Și-a dedicat viața acestei sarcini. Omul de știință credea ferm că a fost ales de Dumnezeu pentru a face o mare revoluție în știință, iar această credință era susținută de viziuni mistice. Totuși, încercarea titanică a lui Georg Cantor s-a încheiat în mod ciudat: în teorie au fost descoperite paradoxuri insurmontabile, care pun la îndoială semnificația ideii preferate a lui Cantor - „scara alefelor”, o serie secvențială de numere transfinite. (Aceste numere sunt cunoscute pe scară largă în denumirea pe care a adoptat-o: sub forma literei aleph - prima literă a alfabetului ebraic.)

Neașteptarea și originalitatea punctului său de vedere, în ciuda tuturor avantajelor abordării, au dus la o respingere bruscă a lucrării sale de către majoritatea oamenilor de știință. Timp de zeci de ani, a purtat o luptă încăpățânată cu aproape toți contemporanii săi, filozofii și matematicienii, care au negat legitimitatea construirii matematicii pe fundația actualului-infinit. Acest lucru a fost luat drept o provocare de unii, deoarece Cantor și-a asumat existența unor mulțimi sau secvențe de numere care au infinit de elemente. Celebrul matematician Poincaré a numit teoria numerelor transfinite o „boală” de care matematica trebuie să se vindece cândva. L. Kronecker - profesorul lui Cantor și unul dintre cei mai respectați matematicieni din Germania - l-a atacat chiar și pe Cantor, numindu-l „șarlatan”, „renegat” și „pătrunitor al tinereții”! Abia în 1890, când s-au obținut aplicații ale teoriei mulțimilor în analiză și geometrie, teoria lui Cantor a fost recunoscută ca o ramură independentă a matematicii.

Este important de menționat că Kantor a contribuit la crearea unei asociații profesionale - Societatea Germană de Matematică, care a contribuit la dezvoltarea matematicii în Germania. El credea că cariera sa științifică suferise din cauza prejudecăților față de munca sa și spera că o organizație independentă va permite tinerilor matematicieni să judece în mod independent idei noi și să le dezvolte. El a fost și inițiatorul convocării primului Congres Internațional de Matematică la Zurich.

Kantor a avut greutăți cu contradicțiile teoriei sale și cu dificultatea de a o accepta. Din 1884 suferea de o depresie profunda si dupa cativa ani s-a retras din activitatea stiintifica. Kantor a murit de insuficiență cardiacă într-un spital de psihiatrie din Halle.

Kantor a dovedit existența unei ierarhii de infinitate, fiecare dintre ele „mai mare” decât precedenta. Teoria lui despre mulțimi transfinite, care a supraviețuit ani de îndoială și atac, a devenit în cele din urmă o forță revoluționară grandioasă în matematica secolului al XX-lea. și a devenit piatra ei de temelie.

Începutul secolului al XIX-lea a fost marcat de descoperirea geometriei non-euclidiene. În 1825 - Nikolai Vasilyevich Lobachevsky, puțin mai târziu, în 1831 - Janos Bolyai. Iar soarta acestor descoperiri a fost foarte tragică. Nici una, nici a doua descoperire nu a fost recunoscută. Până în anii 1860, înainte de descoperirile altor geometrii non-euclidiene - Riemann și alții.Și descoperitorii geometriei non-euclidiene au murit deja! Și acum - teoria mulțimilor, care, de asemenea, nu este recunoscută, certată ... Oh, acest ciudat secol al XIX-lea ...

Cantor), Georg (3 martie 1845 - 6 ianuarie 1918) - matematician și gânditor, creator al teoriei mulțimilor, care are propria bază. obiect de mulţimi infinite. Gen. La Petersburg. Din 1872 - prof. Universitatea din Halle. A murit la Halle, într-un spital de psihiatrie. clinica. La crearea teoriei mulțimilor (1870), el a fost condus de studii de trigonometrie. rânduri. Perioada creativă din viața lui K., care a durat până în 1897 (întreruptă de o criză spirituală în 1885), este marcată de Op. „Despre varietăți de puncte liniare infinite” („?ber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten”, 1879–84), „Despre justificarea teoriei mulțimilor transfinite” („Beitr?ge zur Begr?ndung der transfiniten Mengenlehre”, 1895–97). ), etc. K. a pus bazele ca o teorie abstractă a mulţimilor [studiind mulţimile numai din punct de vedere. „numerele” lor (cardinalitatea mulțimii) și relațiile de ordine dintre elementele lor (tipuri de ordine ale mulțimilor)] și teoria mulțimilor de puncte (adică mulțimi formate din puncte ale dreptei numerice și, în general, numărul n- spațiu dimensional). K. a fost unul dintre primii care au construit teoria numerelor reale, care este încă (împreună cu teoriile oamenilor de știință germani R. Dedekind și K. Weierstrass) folosită de obicei ca bază pentru construcția matematicii. analiză. Teoria mulţimilor a lui Cantor a marcat un pas important înainte în studiul conceptului de infinit; crearea sa a fost o revoluție în tot ceea ce era matematic. cunoştinţe. La început. Secolului 20 toată matematica a fost restructurată pe baza teoriei mulțimilor; dezvoltarea și pătrunderea ei în diverse domenii ale matematicii au dus la apariția unor noi științifice. discipline, de exemplu. topologie, algebră abstractă etc. Mai târziu, paradoxurile au fost descoperite în teoria mulțimilor, care a dat un nou impuls studiului logicii. bazele matematicii și a condus la apariția unor noi tendințe în filosofia acesteia. interpretare (de exemplu, intuitionism). Unul dintre primele paradoxuri de acest fel (asociat cu conceptul de putere a multimii tuturor multimilor) a fost descoperit de insusi K. in 1899. Matematica, bazata pe aplicarea neconditionata a teoriei multimilor a lui K., in prezent. timpul este adesea numit clasic. Vezi Matematică, Teoria mulțimilor, Infinitul matematic. Philos. aspect al ideilor lui K. a constat în recunoașterea deplinei legitimități a conceptului de infinit de fapt. K. a distins două tipuri de matematică. infinit: infinitul impropriu (potenţial, sau sincategorematic, infinit) şi infinitul propriu (de fapt infinit), înţeles de K. ca ceva complet, ca întreg strict limitat. În legătură cu problema realității, cea matematică conceptele K. au distins: realitatea lor intrasubiectivă sau imanentă (logica lor internă. consistența) și realitatea lor transsubiectivă, sau trecătoare, prin care înțelegea corespondența dintre matematică. concepte și procese ale lumii reale. Spre deosebire de Kronecker, care a respins acele metode de a demonstra existența matematicii. obiecte, care nu sunt asociate cu construcția sau calculul lor, K. a prezentat teza: „esența matematicii – în libertatea sa”, DOS. sensul to-rogo a fost redus la presupunerea construcției oricărei matematici abstracte consistente din punct de vedere logic. sisteme, problema „realității tranzitorii” to-rykh este rezolvată prin compararea acestora cu procesele realității. Fecunditatea acestei gândiri a lui K. a fost confirmată de dezvoltarea matematicii în secolul al XX-lea, care a adus numeroase exemple de aplicare a conceptelor matematice abstracte nou apărute. si logic. teorii în fizică, tehnologie, lingvistică și alte domenii. Prin filozofia lor. vederi K. a fost un idealist obiectiv. El considera infinitul actual în matematică ca fiind doar una dintre formele existenței infinitului efectiv în general; acesta din urmă dobândește „cea mai înaltă completitudine” într-o existență complet independentă, în afara lumii – în Dumnezeu; Dumnezeu este absolut infinit sau absolut; în plus, infinitul actual, după K., există în mod obiectiv în lumea exterioară. K. l-a criticat pe Hegel, respingându-i dialectica pe motiv că miezul ei este o contradicție. Prin urmare, atenție, mai ales în ultima perioadă a vieții sale, K. a acordat teologiei. Filosofia lui religioasă. vederile s-au conturat sub influența lui Aristotel, Platon și a scolasticii. Op.: Gesammelte Abhandlungen..., V., 1932. Lit.: Fraenkel?., Georg Cantor, Lpz., 1930. A. Konoplyankin. Moscova.

Mare Definitie

Definiție incompletă ↓

KANTOR Georg (1845-1918)

Matematician, logician, teolog german, creator al teoriei mulțimilor transfinite (infinite), care a avut o influență decisivă asupra dezvoltării științelor matematice la cumpăna dintre secolele XIX și XX. Absolvent al Universității din Berlin (1867), profesor la Universitatea din Halle (1879-1913). Lucrare principală: „Fundamentele doctrinei generale a soiurilor” (1902). Cercetările lui K., inițiate de nevoia de a rezolva probleme stringente în teoria serii infinite Fourier, au devenit baza unor cercetări fundamentale ulterioare în direcția teoriei mulțimilor numerice, unde a introdus: definiția generală a unei mulțimi, numere transfinite, conceptul general de „putere a unei mulțimi” (ca număr de elemente ale unei mulțimi), cardinalități ale diferitelor mulțimi transfinite. Sub ansamblu, K. a înțeles „... în general, orice multe lucruri care pot fi gândite ca una, adică orice set de anumite elemente care pot fi conectate într-un întreg cu ajutorul unei legi...” . Fundamental pentru conceptul de mulțime este actul de a combina diferite obiecte într-un singur întreg, definit ca o mulțime. Elementele setului pot fi orice obiecte ale realității reale, intuiția umană sau intelectul. Prezența în definiția lui K. a sintagmei „... un set de anumite elemente care pot fi conectate într-un întreg cu ajutorul unei legi...” determină complet ansamblul elementelor sau legii sale (trăsături caracteristice, proprietăți), conform cărora actul combinării diverselor obiecte are loc într-un singur întreg - o multitudine. Prin urmare, conceptul fundamental al teoriei mulțimilor nu este conceptul de mulțime în sine, ci relația de apartenență a obiectelor la o mulțime. Tradiția împărțirii infinitului în actual și potențial se întoarce la Aristotel: „Rămâne alternativa, conform căreia infinitul are o existență potențială... De fapt infinitul nu există” (Aristotel, „Fizica”). Această tradiție a fost continuată de Descartes („Infinitul este recognoscibil, dar nu cognoscibil”) și chiar și pe vremea lui K. Gauss („În matematică, o valoare infinită nu poate fi folosită niciodată ca ceva final; infinitul nu este altceva decât facon de parle). / mod de exprimare - С.С / , adică limita la care tind unele cantități, când altele scad la infinit"). K., după cum scria M. Kline, s-a îndepărtat de o tradiție îndelungată „deja prin faptul că a considerat seturile infinite ca entități unice, în plus, entități accesibile minții umane”. În dezacord puternic cu colegii săi matematicieni în părerile sale despre infinitul matematic, K. a motivat nevoia de a introduce mulțimi de fapt infinite prin faptul că „infinitul potențial depinde de fapt de infinitul actual care îl precede în mod logic”. Un exemplu clasic de mulțime de fapt infinită conform K. sunt expansiunile zecimale ale numerelor iraționale, deoarece fiecare „segment finit al unei astfel de descompunere oferă doar o aproximare finită a unui număr irațional”. Până în 1873, K. a început cercetările privind clasificarea mulțimilor de fapt infinite. Puțin mai târziu, K. a definit o mulțime infinită ca o mulțime pentru care există o corespondență unu-la-unu cu propria sa submulțime (adică diferită de întreaga mulțime). Una dintre consecințele acestei abordări a fost, de exemplu, posibilitatea de a stabili o corespondență unu-la-unu între punctele unei linii drepte și punctele unei varietăți de orice dimensiune. Pe baza propriei definiții a mulțimilor infinite, K. a putut stabili pentru fiecare pereche a acestora relația de echivalență (putere egală). In 1874 K. a dovedit nenumarabilitatea multimii tuturor numerelor reale, stabilind existenta perechilor de multimi infinite cu cardinalitati diferite (multimi neechivalente). Sistematic fundamentele teoriei sale a infinitului matematic K. conturate în 1879-1884. Baza ierarhiei infinitilor K. a fost dovedita in prima jumatate a anilor 1890 prin binecunoscuta teorema a lui K.-Bernstein: „daca doua multimi A si B sunt astfel incat sa existe o corespondenta unu-la-unu intre multimea A si o submultime a multimii B si intre multimea B si submultimea multimii A , atunci se poate stabili si o corespondenta unu-la-unu intre multimea A si multimea B”, i.e. stabiliți echivalența (echivalența) mulțimilor A și B. În același timp, K. a stabilit că dacă mulțimea A poate fi pusă în corespondență unu-la-unu cu propria sa submulțime B, iar mulțimea B nu poate fi pusă în corespondență unu-la-unu cu propria sa submulțime A, atunci mulțimea B conform definiției este mai mare decât mulțimea A. Potrivit lui M. Klein, o astfel de definiție generalizează în cazul mulțimilor infinite ceea ce este „imediat evident în cazul de mulțimi finite”. Urmând această abordare, K. a demonstrat că pentru orice „mulțime dată există întotdeauna o mulțime mai mare decât cea originală” (de exemplu, mulțimea tuturor submulțimii unei mulțimi date este mai mare decât mulțimea inițială). Faptul că între două puteri se pot stabili relații „egalitate”, „mai mult” și „mai puțin”, i-a dat lui K. există motive de a numi „numere” simbolurile pentru desemnarea cardinalităților mulțimilor infinite (pentru mulțimile finite, simbolurile pentru desemnarea cardinalităților acestora sunt numerele seriei naturale care determină numărul de elemente din fiecare dintre mulțimile finite echivalente). Spre deosebire de numerele seriei naturale [numerele ordinale / de la el. Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - numerale ordinale - C.C.I, K. numite numere cardinale (din germană Die Kardinalzahl - numerale cantitative)] „numere” care desemnează puterea mulțimilor infinite. K. credea că aria anumitor valori nu se limitează la valori finite, tk. despre „infinitul actual este și cunoaștere demonstrativă posibilă”. Dacă conceptul de cardinalitate a fost un concept extins de „cantitate” pentru mulțimi infinite, atunci conceptul de număr cardinal a devenit o generalizare extinsă a conceptului de „numere în general”. K. extinderea conceptului de „număr” în domeniul Infinitului a marcat trecerea matematicii la un nivel de gândire calitativ nou. De fapt, puterea multimilor dupa K. reflecta in mintea unui cercetator uman anumite relatii de multimi, i.e. cardinalitatea multimilor in K. este caracteristica cea mai generala a multimilor infinite echivalente. Bolzano la începutul secolului al XIX-lea. s-a ajuns la conceptul de corespondență unu-la-unu între mulțimi (și, în consecință, la conceptul de cardinalități ale mulțimilor și exprimarea lor prin numere cardinale). Cu toate acestea, sub „cantitatea” până la mijlocul secolului al XIX-lea. mărimea a fost înțeleasă. Și întrucât este posibil să se exprime fiecare cantitate prin intermediul unității de măsură alese printr-un număr, ideea de cantitate a fost asociată cu conceptul de număr. Poetul Bolzano a fost nevoit să se retragă în fața dificultăților grave care decurg din conceptul de „cantitate”. Matematica din acea vreme a fost definită în general ca o știință care studiază relațiile dintre cantități și numerele care le exprimă. Cu toate acestea, după cum scrie VA Volkov, „oricât de importante sunt tipurile diferite de cantități și relații dintre ele pentru aplicațiile practice ale matematicii, ele nu acoperă toată bogăția diferitelor relații cantitative și forme spațiale ale lumii reale”. K. a introdus și conceptul de „punct limită al unei mulțimi derivate” în matematică, a construit un exemplu de mulțime perfectă („mulțimea K.”) și a formulat una dintre axiomele de continuitate („axioma K.”). Consecințele din teoria lui K. au relevat contradicții în domenii destul de serios studiate ale fundamentelor matematicii. Conducătorii matematicii din acea vreme au numit aceste contradicții paradoxuri (antinomii) pentru singurul motiv că paradoxul „poate fi explicat, iar matematicienii nu și-au lăsat speranța că vor putea în cele din urmă să rezolve toate dificultățile pe care le-au întâmpinat”. Teoria infinitității matematice a lui K., spre deosebire de majoritatea matematicienilor de frunte din acea vreme, a fost susținută de Russell și Hilbert. Russell, considerându-l pe K. unul dintre marii gânditori ai secolului al XIX-lea, a scris în 1910 că rezolvarea problemelor K., „care au învăluit de mult misterul infinitului matematic, este probabil cea mai mare realizare pe care ar trebui să o fie secolul nostru/secolul XX. mândru de - S.S ./". Hilbert în 1926 credea că teoria lui K. – este „cea mai încântătoare floare a gândirii matematice și una dintre cele mai mari realizări ale activității umane în domeniul gândirii pure”. Și E. Borel și A. Lebesgue deja chiar la începutul secolului al XX-lea. a generalizat conceptul de integrală și a dezvoltat teoria măsurării, care s-a bazat pe teoria lui K. Până în 1897, K. a fost forțat să oprească cercetările matematice active din cauza rezistenței puternice la ideile sale (în special de la L. Kronecker, care l-a numit pe K. șarlatan), propunând numită „legea conservării ignoranței”: „nu este ușor să infirmi vreo concluzie greșită, odată ce s-a ajuns la ea și a devenit suficient de răspândită, și cu atât mai puțin. este înțeles, cu atât este mai încăpățânat să adere.” K. a împărtășit întotdeauna ideile filozofice ale lui Platon și a crezut că în lumea din jurul nostru "ideile există independent de om. Și pentru a realiza realitatea acestor idei, trebuie doar să te gândești la ele". K., fiind un luteran zelos în conformitate cu îndelungata tradiție religioasă a familiei sale, a folosit adesea argumente teologice în declarațiile sale. Acest lucru a fost evident mai ales după plecarea lui de la matematică.

Georg Cantor (fotografia este dată mai târziu în articol) este un matematician german care a creat teoria mulțimilor și a introdus conceptul de numere transfinite, infinit de mari, dar diferite unele de altele. De asemenea, a definit numerele ordinale și cardinale și a creat aritmetica acestora.

Georg Kantor: o scurtă biografie

Născut la Sankt Petersburg la 03.03.1845. Tatăl său era un danez de credință protestantă, Georg-Valdemar Kantor, care era angajat în comerț, inclusiv la bursă. Mama sa Maria Bem era catolică și provenea dintr-o familie de muzicieni de seamă. Când tatăl lui Georg s-a îmbolnăvit în 1856, familia sa mutat mai întâi la Wiesbaden și apoi la Frankfurt în căutarea unui climat mai blând. Talentele matematice ale băiatului au apărut chiar înainte de a împlini 15 ani, în timp ce studia la școlile private și la gimnaziile din Darmstadt și Wiesbaden. În cele din urmă, Georg Cantor și-a convins tatăl de intenția sa fermă de a deveni matematician, nu inginer.

După un scurt studiu la Universitatea din Zurich, în 1863 Kantor s-a transferat la Universitatea din Berlin pentru a studia fizica, filozofia și matematica. Acolo a fost învățat:

• Karl Theodor Weierstrass, a cărui specializare în analiză a fost probabil cea mai mare influență a lui Georg;
• Ernst Eduard Kummer, care a predat aritmetica superioară;
• Leopold Kronecker, teoreticianul numerelor care s-a opus ulterior lui Cantor.

După ce a petrecut un semestru la Universitatea din Göttingen în 1866, în anul următor Georg a scris o teză de doctorat intitulată „În matematică arta de a pune întrebări este mai valoroasă decât a rezolva probleme”, referitoare la o problemă pe care Carl Friedrich Gauss a lăsat-o nerezolvată în Disquisitiones Arithmeticae. (1801). După ce a predat pentru scurt timp la Școala de Fete din Berlin, Kantor a început să lucreze la Universitatea din Halle, unde a rămas până la sfârșitul vieții, mai întâi ca profesor, din 1872 ca asistent și din 1879 ca profesor.

Cercetare

La începutul unei serii de 10 lucrări din 1869 până în 1873, Georg Cantor a luat în considerare teoria numerelor. Lucrarea a reflectat pasiunea lui pentru subiect, studiile lui Gauss și influența lui Kronecker. La sugestia lui Heinrich Eduard Heine, colegul lui Cantor la Halle, care i-a recunoscut talentul matematic, a apelat la teoria serielor trigonometrice, în care a extins conceptul de numere reale.

Pe baza lucrării asupra funcției unei variabile complexe a matematicianului german Bernhard Riemann în 1854, în 1870 Kantor a arătat că o astfel de funcție poate fi reprezentată într-un singur mod - prin serii trigonometrice. Luarea în considerare a unui set de numere (puncte) care nu ar contrazice o asemenea reprezentare l-a condus, în primul rând, în 1872 la o definiție în termeni de numere raționale (fracții de numere întregi) și apoi la începutul lucrării asupra operei sale vieții, set teoria și conceptul numere transfinite.

teoria multimilor

Georg Cantor, a cărui teorie a mulțimilor își are originea în corespondența cu matematicianul Institutului Tehnic din Braunschweig Richard Dedekind, a fost prieten cu el încă din copilărie. Ei au ajuns la concluzia că mulțimile, fie ele finite sau infinite, sunt colecții de elemente (de exemplu numere, (0, ±1, ±2...) care au o anumită proprietate păstrându-și în același timp individualitatea. Dar când Georg Cantor a folosit o corespondență unu-la-unu (de exemplu, (A, B, C) cu (1, 2, 3)) pentru a le studia caracteristicile, și-a dat seama rapid că acestea diferă în ceea ce privește gradul de apartenență, chiar dacă ar fi mulțimi infinite, adică mulțimi, o parte sau submulțime a cărora include tot atâtea obiecte cât ea însăși. Metoda lui a dat curând rezultate uimitoare.

În 1873, Georg Cantor (matematician) a arătat că numerele raționale, deși infinite, sunt numărabile deoarece pot fi puse în corespondență unu-la-unu cu numerele naturale (adică 1, 2, 3 etc.). El a arătat că mulțimea numerelor reale, formată din cele iraționale și raționale, este infinită și de nenumărat. Mai paradoxal, Cantor a demonstrat că mulțimea tuturor numerelor algebrice conține tot atâtea elemente cât și mulțimea tuturor numerelor întregi și că numerele transcendentale non-algebrice, care sunt o submulțime de numere iraționale, sunt nenumărabile și, prin urmare, mai numeroase decât numerele întregi. și ar trebui tratat ca infinit.

Adversari și susținători

Dar lucrarea lui Kantor, în care a prezentat pentru prima dată aceste rezultate, nu a fost publicată în revista Krell, deoarece unul dintre recenzori, Kronecker, a fost categoric împotrivă. Dar după intervenția lui Dedekind, a fost publicat în 1874 sub titlul Despre proprietățile caracteristice ale tuturor numerelor algebrice reale.

Știința și viața personală

În același an, în luna de miere cu soția sa Valli Gutman, Kantor l-a cunoscut pe Dedekind, care a vorbit favorabil despre noua sa teorie. Salariul lui George era mic, dar cu banii tatălui său, care a murit în 1863, a construit o casă pentru soția și cei cinci copii. Multe dintre lucrările sale au fost publicate în Suedia în noua jurnală Acta Mathematica, editată și fondată de Gesta Mittag-Leffler, care a fost printre primii care au recunoscut talentul matematicianului german.

Legătura cu metafizica

Teoria lui Cantor a devenit un subiect de studiu complet nou în ceea ce privește matematica infinitului (de exemplu, seria 1, 2, 3 etc. și mulțimi mai complexe), care depindea în mare măsură de corespondența unu-la-unu. Dezvoltarea de către Cantor a unor noi metode de a pune întrebări privind continuitatea și infinitul a conferit cercetării sale un caracter ambiguu.

Când a susținut că numerele infinite există cu adevărat, s-a îndreptat către filozofia antică și medievală cu privire la infinitul actual și potențial, precum și la educația religioasă timpurie pe care i-au dat-o părinții săi. În 1883, în cartea sa Foundations of General Set Theory, Cantor și-a combinat conceptul cu metafizica lui Platon.

Kronecker, care a susținut că doar numerele întregi „există” („Dumnezeu a creat numerele întregi, restul este opera omului”), timp de mulți ani și-a respins cu ardoare raționamentul și a împiedicat numirea lui la Universitatea din Berlin.

numere transfinite

În 1895-97. Georg Cantor și-a format pe deplin noțiunea de continuitate și infinit, inclusiv numere ordinale și cardinale infinite, în cea mai faimoasă lucrare a sa, publicată ca Contribuții la stabilirea teoriei numerelor transfinite (1915). Acest eseu conține conceptul său, la care a fost condus demonstrând că o mulțime infinită poate fi pusă într-o corespondență unu-la-unu cu una dintre submulțimile sale.

Prin numărul cardinal cel mai puțin transfinit, el a înțeles cardinalitatea oricărei mulțimi care poate fi pusă într-o corespondență unu-la-unu cu numerele naturale. Cantor a numit-o aleph-null. Se notează mulțimi mari transfinite etc. El a dezvoltat în continuare aritmetica numerelor transfinite, care era analogă cu aritmetica finită. Astfel, el a îmbogățit conceptul de infinit.

Opoziția pe care a întâlnit-o și timpul necesar pentru ca ideile sale să fie pe deplin acceptate se explică prin dificultatea reevaluării vechii întrebări despre ce este un număr. Cantor a arătat că setul de puncte de pe o dreaptă are o cardinalitate mai mare decât aleph-zero. Acest lucru a condus la binecunoscuta problemă a ipotezei continuumului - nu există numere cardinale între aleph-zero și puterea punctelor de pe linie. Această problemă în prima și a doua jumătate a secolului al XX-lea a stârnit un mare interes și a fost studiată de mulți matematicieni, printre care Kurt Gödel și Paul Cohen.

Depresie

Biografia lui Georg Kantor din 1884 a fost umbrită de boala mintală, dar a continuat să lucreze activ. În 1897 a contribuit la organizarea primului congres internațional de matematică la Zurich. Parțial pentru că i s-a opus Kronecker, el a simpatizat adesea cu tinerii aspiranți la matematicieni și a căutat să găsească o modalitate de a-i salva de hărțuirea profesorilor care se simțeau amenințați de idei noi.

Mărturisire

La începutul secolului, munca sa a fost pe deplin recunoscută ca bază pentru teoria funcțiilor, analiză și topologie. În plus, cărțile lui Cantor Georg au servit ca un impuls pentru dezvoltarea ulterioară a școlilor intuiționiste și formaliste ale fundamentelor logice ale matematicii. Acest lucru a schimbat semnificativ sistemul de predare și este adesea asociat cu „noile matematice”.

În 1911, Kantor a fost printre cei invitați la celebrarea a 500 de ani de la Universitatea din St. Andrews din Scoția. A mers acolo în speranța de a se întâlni cu care, în Principia Mathematica, recent publicată, s-a referit în repetate rânduri la matematicianul german, dar acest lucru nu s-a întâmplat. Universitatea i-a acordat lui Kantor o diplomă onorifică, dar din cauza unei boli, acesta nu a putut accepta personalul premiul.

Kantor s-a pensionat în 1913, a trăit în sărăcie și a fost foame în timpul Primului Război Mondial. Sărbătorile în cinstea celei de-a 70 de ani de naștere în 1915 au fost anulate din cauza războiului, dar o mică ceremonie a avut loc la el acasă. A murit la 01.06.1918 la Halle, intr-un spital de psihiatrie, unde si-a petrecut ultimii ani din viata.

Georg Kantor: biografie. Familie

La 9 august 1874, matematicianul german s-a căsătorit cu Wally Gutman. Cuplul a avut 4 fii si 2 fiice. Ultimul copil s-a născut în 1886 într-o casă nouă cumpărată de Kantor. Moștenirea tatălui său l-a ajutat să-și întrețină familia. Starea de sănătate a lui Kantor a fost puternic afectată de moartea fiului său cel mic în 1899 - de atunci depresia nu l-a părăsit.

Ed., Gesammelte Abhandlungen matematic und filozofic inhalează, mit erlä uternden anmerkungen sowie mit ergä nzungen aus dem briefwechsel Cantor- Dedekind, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932

1. Perioada de dezvoltare (1845−1871)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor, creatorul teoriei multimilor, unul dintre cele mai mari fenomene noi din lumea științei, s-a născut la Sankt Petersburg pe 19 februarie, o.s. stil (3 martie, stil nou) 1845. Tatăl său Georg Voldemar Kantor, originar din Copenhaga, a sosit la Sankt Petersburg în tinerețe; a ținut acolo o casă de brokeraj sub nume propriu, uneori sub numele „Kantor și K”. Om de afaceri harnic și de succes, a obținut un mare succes și a lăsat după moartea sa (1863) o avere foarte însemnată; se pare că s-a bucurat de un mare respect atât la Sankt Petersburg, cât și mai târziu în Germania. Din cauza unei boli pulmonare, în 1856 s-a mutat cu familia în Germania; acolo a ales curând să rămână la Frankfurt pe Main, unde a trăit în postura de rentier. Mama lui Kantor, Maria, născută Boehm, provenea dintr-o familie ai cărei mulți membri erau talentați în diverse domenii ale artei; influența ei era evidentă, fără îndoială, în fantezia bogată a fiului ei. Bunicul său, Ludwig Böhm, era director de trupă; fratele bunicului, Joseph, care locuia la Viena, a fost profesorul celebrului virtuoz violoncelist Joachim; Fratele Mariei Kantor era și muzician, iar sora ei Annette avea o fiică artistă care preda la Școala de Meserii Artistice din München. O venă artistică se remarcă și la fratele lui Georg Kantor, Konstantin, care era un pianist talentat, și la sora sa Sophia, care era în mod special pasionată de desen.

Un băiat talentat, care a urmat școala primară în Sankt Petersburg, și-a arătat deja foarte devreme o dorință pasională de a începe studiul matematicii. Tatăl său, însă, nu a fost de acord cu acest lucru, considerând că profesia de inginer este mai promițătoare din punct de vedere al câștigurilor. Fiul la început a ascultat; de ceva vreme a urmat gimnaziul din Wiesbaden, precum și școlile private din Frankfurt pe Main; apoi a intrat, în primăvara anului 1859, în școala reală provincială a Marelui Ducat de Hesse din Darmstadt, unde predau și latină; de acolo s-a mutat în 1860 la cursul general al Școlii superioare de meserii (mai târziu Școala tehnică superioară). Tatăl său și-a îndreptat educația cu standarde neobișnuit de înalte; a acordat o importanță deosebită educației energiei, fermității caracterului și religiozității, pătrunzând în toată viața; în special, el a subliniat importanța unei stăpâniri complete a principalelor limbi moderne. Tatăl său l-a instruit (în scrisoarea sa de confirmare din 1860) să rămână ferm, în ciuda oricărei vrăjmășii, și să-și ia mereu drumul; această chemare a fost amintită nu o dată de fiu în orele încercărilor grele și, poate, acestei creșteri paterne îi datorăm faptul că spiritul său creator nu a fost rupt prematur și roadele lui nu s-au pierdut pentru posteritate.

De-a lungul timpului, atracția profundă a fiului pentru matematică nu a putut decât să-și afecteze tatăl, ale cărui scrisori mărturisesc și respectul său pentru știință. Într-o scrisoare de la Darmstadt, din 25 mai 1862, reprezentând prima scrisoare supraviețuitoare de la Kantor, fiul putea deja să-i mulțumească tatălui său pentru aprobarea planurilor sale: „Dragă tată! Vă puteți imagina cât de bucuroasă m-a făcut scrisoarea dumneavoastră; îmi determină viitorul. Am petrecut ultimele zile în îndoială și incertitudine; și nu a putut lua nicio decizie. Datoria și atracția erau în permanență în război. Acum sunt fericit să văd că nu te voi întrista urmându-mi propria înclinație în alegerea mea. Sper, dragă părinte, că tot voi putea să-ți aduc bucurie, căci sufletul meu, toată ființa mea trăiește în chemarea mea; o persoană face ceea ce vrea și poate și la ce îl duce vocea sa necunoscută și misterioasă! .. "

În toamna anului 1862, Kantor și-a început studiile la Zurich, din care, însă, a plecat după primul semestru din cauza morții tatălui său. Încă din toamna anului 1863 a studiat matematica, fizica și filosofia la Berlin, unde triumviratul lui Kummer, Weierstrass și Kronecker a atras cele mai bune talente, entuziasmând mințile cercului (pe atunci încă destul de restrâns) de ascultători în cele mai diverse direcții. A petrecut doar semestrul de primăvară al anului 1866 la Göttingen. Weierstrass a avut, fără îndoială, cea mai puternică influență asupra dezvoltării sale științifice. Este remarcabil și caracteristic pentru amploarea opiniilor lui Weierstrass, pentru judecata sa fără prejudecăți și perspicace, cu ce înțelegere simpatică și cât de devreme a apreciat ideile neconvenționale ale elevului său, răspunzând astfel respectului profund pe care i l-a arătat invariabil de-a lungul vieții sale, în ciuda certurilor trecătoare. În anii săi de la Berlin, Kantor nu a fost doar membru al Societății de Matematică, ci și un cerc mai restrâns de tineri colegi care se întâlneau săptămânal la taverna lui Remel; acest cerc includea, în afară de oaspeții ocazionali, Henoch (viitorul editor al Fortschritte (Succeses), Lampe, Mertens, Max Simon, Thoma; ultimul dintre ei era deosebit de apropiat de Kantor. Mai departe, G A. Schwartz, care avea doi ani mai în vârstă, mai târziu, însă, a întâlnit ideile lui Cantor cu cea mai puternică neîncredere, spre deosebire de profesorul său Weierstrass, și până la sfârșitul vieții, ca și Kronecker, și-a avertizat în mod special studenții împotriva lor.14 decembrie 1867 Cei douăzeci - student în vârstă de doi ani a finalizat o teză la Universitatea din Berlin, care a rezultat dintr-un studiu aprofundat al Disquisitiones arithmeticae (Studii de aritmetică) a lui Legendre și Teoria numerelor lui Legendre și a fost evaluată de facultate drept „ dissertatio docta et ingeniosa " (Raționament savant și ingenios) * Această lucrare se alătură formulelor Gauss pentru rezolvarea ecuației diofantine topor 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; în ea se stabilește o relație care nu este dată explicit de Gauss. O discuție detaliată despre opera lui Cantor este cuprinsă într-o biografie detaliată pe care am scris-o despre el, publicată în Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, vol. 39 (1930), pp. 189−266, precum și într-o carte separată: Georg Kantor, Leipzig și Berlin , 1930; l-a dedicat tutorilor săi (în același timp și gardienilor fratelui și surorii sale). La examenul oral a primit „magna cum laude” („cu distincție specială”). Dintre cele trei teze pe care și-a propus să le susțină, a treia este deosebit de caracteristică: „In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi” (În matematică, arta de a pune întrebări este mai importantă decât arta de a le rezolva.) Poate că. chiar și rezultatele pe care le-a obținut în teoria mulțimilor sunt inferioare ca valoare problemelor formulărilor revoluționare care ajung până acum în influența lor dincolo de propriile sale scrieri.

Se pare că Kantor a predat pentru o perioadă scurtă de timp la o școală de fete din Berlin; în orice caz, în 1868, după ce a promovat examenul de stat, a intrat în binecunoscutul Seminar Schelbach, care a pregătit profesori de matematică.

Teza de doctorat, care i-a oferit lui Kantor posibilitatea de a deveni Privatdozent la Universitatea din Halle în primăvara anului 1869, aparține, împreună cu câteva note scurte publicate în 1868-72, primului său cerc de interese, aritmetic, căruia i-a fost rar. a revenit mai târziu.Aceste studii de teoria numerelor sub îndrumarea și cu aprobarea lui Kronecker, nu au fost, totuși, pentru Cantor doar un episod accidental. Dimpotrivă, el a experimentat impactul interior profund al acestei discipline, cu puritatea și grația ei deosebită. Acest lucru este evidențiat, alături de prima, de a treia teză prezentată de el pentru apărare: „Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” („Numerele întregi, ca corpurile cerești, trebuie interpretate ca un singur întreg, legat de legi și relații”). Stabilirea legăturilor între diferitele funcții teoretice ale numerelor și funcția zeta Riemann (adiacentă lucrării lui Riemann asupra numerelor prime) aparține de asemenea unei timpuri timpurii, posibil deja acestei perioade; această lucrare a fost publicată de Kantor abia în 1880, sub influența notei lui Lipschitz din Comptes Rendus („Rapoarte”) de la Paris. Alte interese teoretice ale numerelor ale lui Cantor sunt, pe lângă tabelul său numeric, păstrat și până în 1884, dar neimplementat, planul de a publica în Acta Mathematica, o lucrare despre formele pătratice.

E. Heine, care era un profesor obișnuit la Halle pe vremea când Kantor și-a susținut disertația acolo, și-a dat imediat seama că la tânărul său coleg o extraordinară ascuțime a minții se îmbina în mod fericit cu cea mai bogată imaginație. De o importanță decisivă a fost faptul că, la scurt timp după mutarea lui Cantor la Halle, Heine l-a determinat să studieze teoria serielor trigonometrice. Munca zeloasă pe acest subiect nu numai că a dus la o serie de realizări semnificative, dar l-a condus și pe Cantor pe calea către teoria mulțimilor de puncte și a numerelor ordinale transfinite. Lucrările , , și sunt dedicate rafinamentului uneia dintre afirmațiile lui Riemann despre seriile trigonometrice (și controversei aferente cu Appel, în care conceptul de convergență uniformă a fost luat în considerare în detaliu); în lucrarea sa, Kantor demonstrează o teoremă privind unicitatea reprezentării trigonometrice * Este surprinzător faptul că Kronecker, care la început a avut o atitudine pozitivă față de teorema unicității a lui Cantor (cf. ), ignoră ulterior complet acest rezultat; de exemplu, în „Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” („Prelegeri despre teoria integralelor simple și multiple”) (1894) el prezintă problema unicității ca fiind încă deschisă!. El caută să generalizeze acest rezultat renunțând la orice presupuneri despre comportamentul seriei pe un set excepțional; aceasta îl obligă să prezinte în lucrare o scurtă schiță de idei „care poate fi utilă pentru clarificarea relațiilor care apar în toate cazurile când mărimile numerice sunt date într-un număr finit sau infinit. Aici, pentru mulțimi de puncte, puncte limită și derivate ( de ordin finit) sunt introduse. În acest scop, Cantor, pe de o parte, își dezvoltă teoria numerelor iraționale * . În Elementele lui Heine ale teoriei funcţiilor (J. Math., 74, pp. 172-188, 1872), numerele iraţionale sunt introduse într-o manieră care urmează exact ideile lui Cantor; cf. o introducere la articolul lui Heine, precum și la lucrarea lui Kantor „Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” („Către doctrina transfinitului”), urmând teoria mulțimilor i-a imortalizat numele, unde numerele iraționale sunt considerate serii fundamentale. Pe de altă parte, pentru trecerea la geometrie, el introduce o axiomă specială (axioma lui Cantor), care a apărut simultan și independent într-o formulare puțin diferită în cartea lui Dedekind Continuity and Irrational Numbers.