Dintre toate secvențele de numere, progresia geometrică, care este considerată la cursul de algebră de clasa a IX-a, este una dintre cele mai cunoscute. Ce este și cum se rezolvă o progresie geometrică - la aceste întrebări se răspunde în acest articol.

O succesiune de numere care se supune unei legi matematice

Titlul acestui paragraf este o definiție generală a unei progresii geometrice. Legea prin care este descris este destul de simplă: fiecare număr următor diferă de cel precedent printr-un factor, care se numește „numitor”. Îl poți desemna cu litera r. Apoi putem scrie următoarea egalitate:

Aici un n este un membru al progresiei cu numărul n.

Dacă r este mai mare decât 1, atunci progresia va crește în valoare absolută (poate scădea dacă primul său termen are semn negativ). Dacă r este mai mic de unu, atunci întreaga progresie va tinde spre zero sau de jos (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). În cazul unui numitor negativ (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Un exemplu de tip de progresie luat în considerare este dat mai jos:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Aici primul termen este 2, iar numitorul este 1,5.

Formule importante

Cum se rezolvă o progresie geometrică în clasa a 9-a? Pentru a face acest lucru, ar trebui să cunoașteți nu numai definiția sa și să înțelegeți despre ce este vorba, ci și să vă amintiți două formule importante. Prima dintre acestea este prezentată mai jos:

Expresia vă permite să găsiți cu ușurință un element arbitrar al secvenței, dar pentru aceasta trebuie să cunoașteți două numere: numitorul și primul element. Este ușor să demonstrați această formulă, trebuie doar să vă amintiți definiția unei progresii geometrice: al doilea element se obține prin înmulțirea primului cu numitorul la gradul I, al treilea element prin înmulțirea primului cu numitorul la al doilea. grad, și așa mai departe. Utilitatea acestei expresii este evidentă: nu este nevoie să restabilim secvenţial întreaga serie de numere pentru a afla ce valoare va lua al n-lea element al său.

Următoarea formulă este, de asemenea, utilă pentru a răspunde la întrebarea cum se rezolvă o progresie geometrică. Vorbim despre suma elementelor sale, începând cu primul și terminând cu al n-lea. Expresia corespunzătoare este dată mai jos:

S n \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1).

Merită să acordați atenție particularității sale: ca și în formula pentru găsirea celui de-al n-lea element, aici este suficient să cunoașteți aceleași două numere (a 1 și r). Acest rezultat nu este surprinzător, deoarece fiecare termen al progresiei este asociat cu numerele marcate.

Restabilirea progresiei

Primul exemplu, cum se rezolvă o progresie geometrică, are următoarea condiție: se știe că cele două numere 10 și 20 formează genul de progresie luată în considerare. În acest caz, numerele sunt al optulea și al cincisprezecelea elemente ale seriei. Este necesar să restabiliți întreaga serie, știind că trebuie să fie în scădere.

Această condiție oarecum confuză a problemei trebuie analizată cu atenție: întrucât vorbim de o serie descrescătoare, numărul 10 ar trebui să fie în poziția 15, iar 20 în 8. Începând să rezolve, scrieți egalitățile corespunzătoare pentru fiecare dintre numere:

a 8 = a 1 *r 7 și a 15 = a 1 *r 14 .

Ai două egalități cu două necunoscute. Rezolvați-le exprimând din primul a 1 și înlocuindu-l în al doilea. Obține:

a 1 = a 8 *r -7 și a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r= 7 √ (a 15 / a 8).

Acum rămâne să înlocuiți valorile corespunzătoare din condiție și să calculați a șaptea rădăcină. Obține:

r \u003d 7 √ (a 15 / a 8) \u003d 7 √ (10 / 20) ≈ 0,9057.

Înlocuind numitorul rezultat în oricare dintre expresiile pentru al n-lea element cunoscut, obținem un 1:

a 1 \u003d a 8 * r -7 \u003d 20 * (0,9057) -7 ≈ 40,0073.

Astfel vei găsi primul termen și numitorul, ceea ce înseamnă că vei restabili întreaga progresie. Primii câțiva membri:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Trebuie remarcat faptul că la efectuarea calculelor s-a folosit rotunjirea la 4 zecimale.

Găsirea unui membru necunoscut al unei serii

Acum merită să luăm în considerare un alt exemplu: se știe că al șaptelea element al seriei este 27, care este al treisprezecelea termen dacă numitorul r \u003d -2. Cum se rezolvă o progresie geometrică folosind aceste date? Foarte simplu, trebuie să scrieți formula pentru al 7-lea element:

Deoarece numai numărul a 1 este necunoscut în această egalitate, exprimați-l:

Utilizați ultima ecuație substituind-o în formula pentru al 13-lea termen pe care doriți să-l găsiți. Obține:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 .

Rămâne să înlocuiți numerele și să scrieți răspunsul:

a 13 \u003d a 7 * r 6 \u003d 27 * (-2) 6 \u003d 1728.

Numărul rezultat arată cât de repede crește progresia geometrică.

Sarcina pentru suma

Ultima sarcină, care dezvăluie întrebarea cum se rezolvă o progresie geometrică, este legată de găsirea sumei mai multor elemente. Fie a 1 \u003d 1,5, r \u003d 2. Suma termenilor acestei serii ar trebui calculată, începând cu a 5-a și terminând cu a 10-a.

Pentru a obține răspunsul la întrebarea pusă, ar trebui să aplicați formula:

Adică, mai întâi trebuie să găsiți suma a 10 elemente, apoi suma primelor 4 și să le scădeți între ele. Urmând algoritmul specificat, se va dovedi:

S 10 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 10 -1) / (2-1) \u003d 1534,5;

S 4 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 4 -1) / (2-1) \u003d 22,5;

S 5 10 \u003d 1534,5 - 22,5 \u003d 1512.

Este de remarcat faptul că în formula finală a fost scăzută suma a exact 4 termeni, deoarece al cincilea, în funcție de condiția problemei, ar trebui să participe la sumă.

9 octombrie 2018

Progresia geometrică este una dintre cele mai interesante serii de numere care este luată în considerare în cursul de algebră școlară. Acest articol este dedicat unui caz special al seriei menționate: o progresie geometrică infinită descrescătoare și suma membrilor săi.

Despre ce serie de numere vorbim?

O progresie geometrică este o succesiune unidimensională de numere reale care sunt legate între ele prin următoarea relație:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Generalizând expresiile de mai sus, putem scrie următoarea egalitate:

a n = a 1 *r n-1

După cum reiese din intrările de mai sus, un n este elementul progresiei cu numărul n. Parametrul r, prin care n-1 elemente ar trebui înmulțite pentru a obține al n-lea element, se numește numitor.

Care sunt proprietățile secvenței descrise? Răspunsul la întrebare depinde de valoarea și semnul lui r. Sunt posibile următoarele opțiuni:

• Numitorul r este pozitiv și mai mare decât 1. În acest caz, progresia va crește întotdeauna în valoare absolută, în timp ce valoarea absolută a membrilor săi poate scădea și dacă un 1 este negativ.
• Numitorul r este negativ și mai mare decât 1. În acest caz, termenii progresiei vor apărea cu semn alternativ (+ și -). Astfel de serii sunt de puțin interes practic.
• Modulul numitorului r este mai mic decât 1. Această serie se numește descrescătoare, indiferent de semnul lui r. Această progresie este de mare interes practic și va fi discutată în acest articol.

Formula pentru suma

Mai întâi, să obținem o expresie care ne va permite să calculăm suma unui număr arbitrar de elemente ale unei progresii date. Să începem să rezolvăm această problemă din față. Noi avem:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Egalitatea de mai sus poate fi utilizată dacă este necesar să se calculeze rezultatul pentru un număr mic de termeni (3-4 termeni), fiecare dintre care este determinat de formula pentru al n-lea termen (a se vedea paragraful anterior). Cu toate acestea, dacă există o mulțime de termeni, atunci este incomod să contați pe frunte și puteți face o greșeală, așa că folosesc o formulă specială.

Înmulțim ambele părți ale egalității de mai sus cu r, obținem:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Acum scădem părțile din stânga și din dreapta acestor două expresii în perechi, avem:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Exprimând suma S n și folosind formula pentru termenul a n+1 , obținem:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Astfel, am obținut o formulă generală pentru suma primilor n termeni ai tipului considerat al seriei de numere. Rețineți că formula este validă dacă r≠1. În acest din urmă caz, există o serie simplă de numere identice, a căror sumă se calculează ca produsul unui număr și numărul lor.

Videoclipuri asemănătoare

Cum se găsește suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite?

Pentru a răspunde la această întrebare, ar trebui să reamintim că seria va fi în scădere când |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Rețineți că orice număr al cărui modul este mai mic decât 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la o putere mare, adică r ∞ -> 0. Puteți verifica acest fapt pe orice exemplu:

r = -1/2, apoi (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 și așa mai departe.

După ce am stabilit acest fapt, să acordăm atenție expresiei pentru suma: pentru n->∞ se va rescrie astfel:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

S-a obținut un rezultat interesant: suma unei progresii infinite a unui geometric descrescător tinde către un număr finit, care nu depinde de numărul de termeni. Este determinat doar de primul termen și numitor. Rețineți că semnul sumei este determinat în mod unic de semnul a 1, deoarece numitorul este întotdeauna un număr pozitiv (1-r>0).

Suma pătratelor unei progresii geometrice descrescătoare infinite

Titlul itemului definește problema de rezolvat. Pentru a face acest lucru, folosim o tehnică care este complet similară cu cea folosită pentru a deriva formula generală pentru S n . Avem prima expresie:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Înmulțiți ambele părți ale egalității cu r 2, scrieți a doua expresie:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Acum găsim diferența dintre aceste două egalități:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Exprimăm M n și folosim formula pentru al n-lea element, obținem egalitatea:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

În paragraful anterior s-a arătat că r ∞ -> 0, atunci formula finală va lua forma:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Comparația a două sume primite

Să comparăm două formule: pentru o sumă infinită și o sumă infinită de pătrate folosind exemplul următoarei probleme: suma unei progresii geometrice infinite este 2, se știe că vorbim despre o succesiune descrescătoare la care numitorul este 1 /3. Este necesar să găsim suma infinită a pătratelor acestei serii de numere.

Să folosim formula pentru sumă. Exprimați un 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Inlocuim aceasta expresie in formula pentru suma patratelor, avem:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Am obținut formula dorită, acum putem înlocui datele cunoscute din condiția:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Astfel, am obținut aceeași valoare pentru suma infinită de pătrate ca și pentru suma simplă. Rețineți că acest rezultat este valabil numai pentru această problemă. În general, M ∞ ≠ S ∞ .

Sarcina de a calcula aria unui dreptunghi

Fiecare elev cunoaște formula S = a * b, care determină aria unui dreptunghi în funcție de laturile sale. Puțini oameni știu că problema găsirii ariei acestei figuri poate fi rezolvată cu ușurință folosind suma unei progresii geometrice infinite. Să arătăm cum se face.

Să împărțim mental dreptunghiul în jumătate. Suprafața unei jumătăți este luată ca unitate. Acum împărțim din nou cealaltă jumătate în jumătate. Obținem două jumătăți, dintre care una o vom împărți în jumătate. Vom continua această procedură pe termen nelimitat (vezi figura de mai jos).

Ca urmare, aria dreptunghiului din unitățile pe care le-am ales va fi egală cu:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Se poate observa că acești termeni sunt elemente ale unei serii descrescătoare, în care a 1 = 1 și r = 1/2. Folosind formula pentru o sumă infinită, obținem:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

În scara pe care am ales-o, jumătate din dreptunghi (o unitate) corespunde ariei a*b/2. Aceasta înseamnă că aria întregului dreptunghi este:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Rezultatul obţinut este evident, cu toate acestea, a arătat cum se poate aplica o progresie descrescătoare pentru rezolvarea problemelor de geometrie.

Progresia geometrică este una dintre cele mai interesante serii de numere care este luată în considerare în cursul de algebră școlară. Acest articol este dedicat unui caz particular al seriei menționate: și suma membrilor săi.

Despre ce serie de numere vorbim?

O progresie geometrică este o succesiune unidimensională de numere reale care sunt legate între ele prin următoarea relație:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Generalizând expresiile de mai sus, putem scrie următoarea egalitate:

a n = a 1 *r n-1

După cum reiese din intrările de mai sus, un n este elementul progresiei cu numărul n. Parametrul r, prin care n-1 elemente ar trebui înmulțite pentru a obține al n-lea element, se numește numitor.

Care sunt proprietățile secvenței descrise? Răspunsul la întrebare depinde de valoarea și semnul lui r. Sunt posibile următoarele opțiuni:

• Numitorul r este pozitiv și mai mare decât 1. În acest caz, progresia va crește întotdeauna în valoare absolută, în timp ce valoarea absolută a membrilor săi poate scădea și dacă un 1 este negativ.
• Numitorul r este negativ și mai mare decât 1. În acest caz, termenii progresiei vor apărea cu semn alternativ (+ și -). Astfel de serii sunt de puțin interes practic.
• Modulul numitorului r este mai mic decât 1. Această serie se numește descrescătoare, indiferent de semnul lui r. Această progresie este de mare interes practic și va fi discutată în acest articol.

Formula pentru suma

Mai întâi, să obținem o expresie care ne va permite să calculăm suma unui număr arbitrar de elemente ale unei progresii date. Să începem să rezolvăm această problemă din față. Noi avem:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Egalitatea de mai sus poate fi utilizată dacă este necesar să se calculeze rezultatul pentru un număr mic de termeni (3-4 termeni), fiecare dintre care este determinat de formula pentru al n-lea termen (a se vedea paragraful anterior). Cu toate acestea, dacă există o mulțime de termeni, atunci este incomod să contați pe frunte și puteți face o greșeală, așa că folosesc o formulă specială.

Înmulțim ambele părți ale egalității de mai sus cu r, obținem:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Acum scădem părțile din stânga și din dreapta acestor două expresii în perechi, avem:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Exprimând suma S n și folosind formula pentru termenul a n+1 , obținem:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Astfel, am obținut o formulă generală pentru suma primilor n termeni ai tipului considerat al seriei de numere. Rețineți că formula este validă dacă r≠1. În acest din urmă caz, există o serie simplă de numere identice, a căror sumă se calculează ca produsul unui număr și numărul lor.

Cum se găsește suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite?

Pentru a răspunde la această întrebare, ar trebui să reamintim că seria va fi în scădere când |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Rețineți că orice număr al cărui modul este mai mic decât 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la o putere mare, adică r ∞ -> 0. Puteți verifica acest fapt pe orice exemplu:

r = -1/2, apoi (-1/2)**10 ≈ 9,7*10 -4, (-1/2)**20 ≈ 9,5*10 -7 și așa mai departe.

După ce am stabilit acest fapt, să acordăm atenție expresiei pentru suma: pentru n->∞ se va rescrie astfel:

S ∞ = a 1 *(r ∞ - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

S-a obținut un rezultat interesant: suma unei progresii infinite a unui geometric descrescător tinde către un număr finit, care nu depinde de numărul de termeni. Este determinat doar de primul termen și numitor. Rețineți că semnul sumei este determinat în mod unic de semnul a 1, deoarece numitorul este întotdeauna un număr pozitiv (1-r>0).

Suma pătratelor unei progresii geometrice descrescătoare infinite

Titlul itemului definește problema de rezolvat. Pentru a face acest lucru, folosim o tehnică care este complet similară cu cea folosită pentru a deriva formula generală pentru S n . Avem prima expresie:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Înmulțiți ambele părți ale egalității cu r 2, scrieți a doua expresie:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Acum găsim diferența dintre aceste două egalități:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Exprimăm M n și folosim formula pentru al n-lea element, obținem egalitatea:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

În paragraful anterior s-a arătat că r ∞ -> 0, atunci formula finală va lua forma:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2)

Comparația a două sume primite

Să comparăm două formule: pentru o sumă infinită și o sumă infinită de pătrate folosind exemplul următoarei probleme: suma unei progresii geometrice infinite este 2, se știe că vorbim despre o succesiune descrescătoare la care numitorul este 1 /3. Este necesar să găsim suma infinită a pătratelor acestei serii de numere.

Să folosim formula pentru sumă. Exprimați un 1:

S ∞ = a 1 /(1-r) => a 1 = S ∞ *(1-r)

Inlocuim aceasta expresie in formula pentru suma patratelor, avem:

M ∞ = a 1 2 */(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r)

Am obținut formula dorită, acum putem înlocui datele cunoscute din condiția:

M ∞ = S ∞ 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Astfel, am obținut aceeași valoare pentru suma infinită de pătrate ca și pentru suma simplă. Rețineți că acest rezultat este valabil numai pentru această problemă. În general, M ∞ ≠ S ∞ .

Sarcina de a calcula aria unui dreptunghi

Fiecare elev cunoaște formula S = a * b, care determină aria unui dreptunghi în funcție de laturile sale. Puțini oameni știu că problema găsirii ariei acestei figuri poate fi rezolvată cu ușurință folosind suma unei progresii geometrice infinite. Să arătăm cum se face.

Să împărțim mental dreptunghiul în jumătate. Suprafața unei jumătăți este luată ca unitate. Acum împărțim din nou cealaltă jumătate în jumătate. Obținem două jumătăți, dintre care una o vom împărți în jumătate. Vom continua această procedură pe termen nelimitat (vezi figura de mai jos).

Ca urmare, aria dreptunghiului din unitățile pe care le-am ales va fi egală cu:

S ∞ = 1+1/2+1/4+1/8+...

Se poate observa că acești termeni sunt elemente ale unei serii descrescătoare, în care a 1 = 1 și r = 1/2. Folosind formula pentru o sumă infinită, obținem:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

În scara pe care am ales-o, jumătate din dreptunghi (o unitate) corespunde ariei a*b/2. Aceasta înseamnă că aria întregului dreptunghi este:

S ∞ = 2*a*b/2 = a*b

Rezultatul obţinut este evident, cu toate acestea, a arătat cum se poate aplica o progresie descrescătoare pentru rezolvarea problemelor de geometrie.

Dintre toate secvențele de numere, progresia geometrică, care este considerată la cursul de algebră de clasa a IX-a, este una dintre cele mai cunoscute. Ce este și cum se rezolvă o progresie geometrică - la aceste întrebări se răspunde în acest articol.

O succesiune de numere care se supune unei legi matematice

Titlul acestui paragraf este o definiție generală a unei progresii geometrice. Legea prin care este descrisă este destul de simplă: fiecare număr următor diferă de cel precedent printr-un factor, care se numește „numitor”. Îl poți desemna cu litera r. Apoi putem scrie următoarea egalitate:

Aici an este membrul progresiei cu numărul n.

Dacă r este mai mare decât 1, atunci progresia va crește în valoare absolută (poate scădea dacă primul său termen are semn negativ). Dacă r este mai mic de unu, atunci întreaga progresie va tinde spre zero sau de jos (a1<0), либо сверху (a1>0). În cazul unui numitor negativ (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Un exemplu de tip de progresie luat în considerare este dat mai jos:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Aici primul termen este 2, iar numitorul este 1,5.

Formule importante

Cum se rezolvă o progresie geometrică în clasa a 9-a? Pentru a face acest lucru, ar trebui să cunoașteți nu numai definiția sa și să înțelegeți despre ce este vorba, ci și să vă amintiți două formule importante. Prima dintre acestea este prezentată mai jos:

Expresia vă permite să găsiți cu ușurință un element arbitrar al șirului, dar pentru aceasta trebuie să cunoașteți două numere: numitorul și primul element. Este ușor să demonstrați această formulă, trebuie doar să vă amintiți definiția unei progresii geometrice: al doilea element se obține prin înmulțirea primului cu numitorul la gradul I, al treilea element prin înmulțirea primului cu numitorul la al doilea. grad, și așa mai departe. Utilitatea acestei expresii este evidentă: nu este nevoie să restabilim secvenţial întreaga serie de numere pentru a afla ce valoare va lua al n-lea element al său.

Următoarea formulă este, de asemenea, utilă pentru a răspunde la întrebarea cum se rezolvă o progresie geometrică. Vorbim despre suma elementelor sale, începând cu primul și terminând cu al n-lea. Expresia corespunzătoare este dată mai jos:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

Merită să acordați atenție particularității sale: ca și în formula pentru găsirea celui de-al n-lea element, aici este suficient să cunoașteți aceleași două numere (a1 și r). Acest rezultat nu este surprinzător, deoarece fiecare termen al progresiei este asociat cu numerele marcate.

Restabilirea progresiei

Primul exemplu, cum se rezolvă o progresie geometrică, are următoarea condiție: se știe că cele două numere 10 și 20 formează genul de progresie luată în considerare. În acest caz, numerele sunt al optulea și al cincisprezecelea elemente ale seriei. Este necesar să restabiliți întreaga serie, știind că trebuie să fie în scădere.

Această condiție oarecum confuză a problemei trebuie analizată cu atenție: întrucât vorbim de o serie descrescătoare, numărul 10 ar trebui să fie în poziția 15, iar 20 în 8. Începând să rezolve, scrieți egalitățile corespunzătoare pentru fiecare dintre numere:

a8 = a1*r7 și a15 = a1*r14.

Ai două egalități cu două necunoscute. Rezolvați-le exprimând din primul a1 și înlocuindu-l în al doilea. Obține:

a1 = a8*r-7 și a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Acum rămâne să înlocuiți valorile corespunzătoare din condiție și să calculați a șaptea rădăcină. Obține:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) ≈ 0,9057.

Înlocuind numitorul rezultat în oricare dintre expresiile pentru al n-lea element cunoscut, se obține a1:

a1 = a8*r-7 = 20*(0,9057)-7 ≈ 40,0073.

Astfel vei găsi primul termen și numitorul, ceea ce înseamnă că vei restabili întreaga progresie. Primii câțiva membri:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Trebuie remarcat faptul că la efectuarea calculelor s-a folosit rotunjirea la 4 zecimale.

Găsirea unui membru necunoscut al unei serii

Acum merită să luăm în considerare un alt exemplu: se știe că al șaptelea element al seriei este 27, care este al treisprezecelea termen dacă numitorul r \u003d -2. Cum se rezolvă o progresie geometrică folosind aceste date? Foarte simplu, trebuie să scrieți formula pentru al 7-lea element:

Deoarece numai numărul a1 este necunoscut în această egalitate, exprimați-l:

Utilizați ultima ecuație substituind-o în formula pentru al 13-lea termen pe care doriți să-l găsiți. Obține:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

Rămâne să înlocuiți numerele și să scrieți răspunsul:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Numărul rezultat arată cât de repede crește progresia geometrică.

Sarcina pentru suma

Ultima sarcină, care dezvăluie întrebarea cum se rezolvă o progresie geometrică, este legată de găsirea sumei mai multor elemente. Fie a1 = 1,5, r = 2. Ar trebui să calculați suma termenilor acestei serii, începând cu a 5-a și terminând cu a 10-a.

Pentru a obține răspunsul la întrebarea pusă, ar trebui să aplicați formula:

S510 = S10 - S4.

Adică, mai întâi trebuie să găsiți suma a 10 elemente, apoi suma primelor 4 și să le scădeți între ele. Urmând algoritmul specificat, se va dovedi:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(210-1)/(2-1) = 1534,5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(24-1)/(2-1) = 22,5;

S510 = 1534,5 - 22,5 = 1512.

Este de remarcat faptul că în formula finală a fost scăzută suma a exact 4 termeni, deoarece al cincilea, în funcție de condiția problemei, ar trebui să participe la sumă.

Sancțiunile de către Statele Unite împotriva sectorului energetic rusesc pot duce la consecințe critice - până la prăbușirea sistemului energetic european. Așa spune Robert, șeful companiei britanice de petrol și gaze BP.

„Nu cred că se va întâmpla. Dacă impuneți sancțiuni lui Rosneft sau impuneți sancțiuni precum cele aplicate Rusal, atunci de fapt veți opri sistemele energetice ale Europei, iar acest lucru este deja puțin prea mult.”

- a spus Dudley, vorbind la conferința Oil & Money 2018 din Londra (citat din).

Furnizarea de datorii și capital propriu întreprinderilor din Rusia a fost limitată, precum și furnizarea de echipamente pentru explorarea și producția de petrol pe raft la o adâncime de peste 150 de metri și pentru dezvoltarea rocilor de șist.

În august 2017, Statele Unite au înăsprit sancțiunile financiare, au introdus interdicții suplimentare privind furnizarea de bunuri și tehnologii pentru producție și au legiferat, de asemenea, posibilitatea de a impune restricții asupra conductelor de export. Din cauza sancțiunilor, aproape toate proiectele comune cu străini pentru dezvoltarea petrolului offshore și de șist au fost și ele suspendate.

Experții au remarcat în mod repetat că, în viitor, aceste restricții pot duce la o scădere a nivelului de producție în Federația Rusă dacă țara nu acordă mai multă atenție explorării geologice și dezvoltării propriilor tehnologii.

Evident, dacă cel mai dur pachet de restricții este adoptat în noiembrie, interacțiunea poate fi complicată, dar este puțin probabil ca aceasta să intre în categoria opririi complete,

se gândește Zharsky.

Dacă așteptările ar fi diferite, atunci aceeași știre tulburătoare ar începe să vină de la cealaltă parte interesată, dar petroliștii nu se bâlbâie de astfel de prognoze, atrage atenția expertul.

Impunerea de sancțiuni dure nu este doar o problemă pentru Rusia, ci și o bătaie de cap pentru contrapărțile noastre străine, care includ cei mai apropiați aliați ai SUA, este de acord cu strategul de investiții BCS Premier.

Potrivit analistului, în cazul întăririi sancțiunilor, măsurile restrictive pot fi mai degrabă de natură selectivă și este puțin probabil să fie direcționate către întreaga industrie.

Rusia ocupă mai mult de 10% din piața mondială a petrolului, plecarea bruscă a unui astfel de jucător important va însemna o creștere rapidă a petrolului citate: posibil aceasta nu este doar o lovitură pentru europeni, ci și pentru toți ceilalți consumatori de petrol.

Astfel, în septembrie, producția de petrol din Rusia s-a ridicat la 11,35 milioane de barili pe zi (b/d). Potrivit CDU al Complexului Combustibil și Energetic al Ministerului Energiei, în ianuarie-septembrie 2018, Rusia a furnizat 190,212 milioane de tone de petrol țărilor din afara CSI.

În ceea ce privește piața de gaze, situația pentru UE este și mai gravă: Rusia reprezintă aproximativ 34% din totalul livrărilor de gaz către Europa. În același timp, anul trecut Gazprom a livrat aproximativ 195 de miliarde de metri cubi de gaz către țările din afara CSI (UE plus Turcia). Anul acesta, conform previziunilor experților și a monopolistului însuși, această cifră va depăși 200 de miliarde de metri cubi.

Este foarte dificil să înlocuiți rapid astfel de volume. Ca să nu mai vorbim de faptul că din punct de vedere economic gazul din Federația Rusă este mai profitabil pentru țările europene decât același gaz natural lichefiat (GNL).

Mai devreme am raportat că este imposibil să se impună sancțiuni împotriva Rusiei conform scenariului dur al Iranului sau Coreei de Nord, țara este prea profund integrată în economia mondială. În noiembrie va fi introdus un embargo asupra aprovizionării cu petrol din Iran, iar piața va pierde aproximativ 1-2 milioane de barili. Doar așteptarea acestui lucru a adus cotațiile la nivelul de 80-85 dolari pe baril de Brent.

Cu toate acestea, administrația nu ia în considerare riscurile, declanșând războaie comerciale cu UE și China. Secretarul de Interne al SUA, Ryan Zinke, a declarat recent că SUA ar putea impune o blocada navală a Rusiei. Deci nu poate fi exclus un singur scenariu, chiar și cel mai improbabil.