Probabilitatea unui eveniment este înțeleasă ca o caracteristică numerică a posibilității apariției acestui eveniment. Există mai multe abordări pentru a determina probabilitatea.

Probabilitatea unui eveniment A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile care formează un grup complet. Deci probabilitatea unui eveniment A este determinat de formula

Unde m este numărul de rezultate elementare care favorizează A, n- numărul tuturor rezultatelor elementare posibile ale testului.

Exemplul 3.1.În experimentul cu aruncarea unui zar, numărul tuturor rezultatelor n este 6 și toate sunt la fel de posibile. Lasă evenimentul Aînseamnă apariția unui număr par. Apoi, pentru acest eveniment, rezultatele favorabile vor fi apariția numerelor 2, 4, 6. Numărul lor este 3. Prin urmare, probabilitatea evenimentului A este egal cu

Exemplul 3.2. Care este probabilitatea ca cifrele dintr-un număr de două cifre alese aleatoriu să fie aceleași?

Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99, sunt în total 90 de astfel de numere. 9 numere au aceleași numere (acestea sunt numerele 11, 22, ..., 99). Întrucât în ​​acest caz m=9, n=90, atunci

Unde A- eveniment, „un număr cu aceleași cifre”.

Exemplul 3.3. Există 7 piese standard într-un lot de 10 părți. Găsiți probabilitatea ca între șase părți alese aleatoriu să existe 4 părți standard.

Numărul total de rezultate elementare posibile ale testului este egal cu numărul de moduri în care 6 părți pot fi extrase din 10, adică numărul de combinații a 10 elemente a 6 elemente. Determinați numărul de rezultate care favorizează evenimentul care ne interesează A(dintre cele șase părți luate, 4 sunt standard). Patru părți standard pot fi luate din șapte părți standard în moduri; în același timp, restul de 6-4=2 părți trebuie să fie non-standard, dar puteți lua două părți non-standard din 10-7=3 părți non-standard în moduri diferite. Prin urmare, numărul de rezultate favorabile este de .

Atunci probabilitatea dorită este egală cu

Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:

1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu.

Într-adevăr, dacă evenimentul este de încredere, atunci fiecare rezultat elementar al testului favorizează evenimentul. În acest caz m=n, deci

2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Într-adevăr, dacă evenimentul este imposibil, atunci niciunul dintre rezultatele elementare ale procesului nu favorizează evenimentul. În acest caz înseamnă

3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.

Într-adevăr, doar o parte din numărul total de rezultate elementare ale testului favorizează un eveniment aleatoriu. În acest caz< m< n, înseamnă 0 < m/n < 1, adică 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Construcția unei teorii a probabilității complete logic se bazează pe definiția axiomatică a unui eveniment aleatoriu și a probabilității acestuia. În sistemul de axiome propus de A. N. Kolmogorov, conceptele nedefinite sunt un eveniment și probabilitate elementare. Iată axiomele care definesc probabilitatea:

1. Fiecare eveniment A atribuit un număr real nenegativ P(A). Acest număr se numește probabilitatea evenimentului. A.

2. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu.

3. Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele incompatibile în perechi este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Pe baza acestor axiome, proprietățile probabilităților și relațiile dintre ele sunt derivate ca teoreme.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Cum se numește caracteristica numerică a posibilității unui eveniment?

2. Ce se numește probabilitatea unui eveniment?

3. Care este probabilitatea unui anumit eveniment?

4. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?

5. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?

6. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?

7. Ce definiție a probabilității se numește clasică?

Inițial, fiind doar o colecție de informații și observații empirice ale jocului de zaruri, teoria probabilității a devenit o știință solidă. Fermat și Pascal au fost primii care i-au oferit un cadru matematic.

De la reflecții asupra eternului la teoria probabilității

Doi indivizi cărora teoria probabilității le datorează multe formule fundamentale, Blaise Pascal și Thomas Bayes, sunt cunoscuți ca oameni profund religioși, acesta din urmă a fost un pastor presbiterian. Aparent, dorința acestor doi oameni de știință de a dovedi eroarea opiniei despre o anume Avere, dând noroc favoriților ei, a dat impuls cercetărilor în acest domeniu. La urma urmei, de fapt, orice joc de noroc, cu victoriile și pierderile sale, este doar o simfonie a principiilor matematice.

Datorită entuziasmului Chevalier de Mere, care era în egală măsură un jucător de noroc și o persoană care nu era indiferentă față de știință, Pascal a fost nevoit să găsească o modalitate de a calcula probabilitatea. De Mere a fost interesat de această întrebare: „De câte ori trebuie să arunci două zaruri în perechi, astfel încât probabilitatea de a obține 12 puncte să depășească 50%?”. A doua întrebare care l-a interesat extrem de pe domn: „Cum să împărțim pariul între participanții la jocul neterminat?” Desigur, Pascal a răspuns cu succes la ambele întrebări ale lui de Mere, care a devenit inițiatorul involuntar al dezvoltării teoriei probabilității. Interesant este că persoana lui de Mere a rămas cunoscută în acest domeniu, și nu în literatură.

Anterior, niciun matematician nu a încercat încă să calculeze probabilitățile evenimentelor, deoarece se credea că aceasta era doar o soluție de presupuneri. Blaise Pascal a dat prima definiție a probabilității unui eveniment și a arătat că aceasta este o cifră specifică care poate fi justificată matematic. Teoria probabilității a devenit baza pentru statistici și este utilizată pe scară largă în știința modernă.

Ce este aleatorietatea

Dacă luăm în considerare un test care poate fi repetat de un număr infinit de ori, atunci putem defini un eveniment aleatoriu. Acesta este unul dintre posibilele rezultate ale experienței.

Experienta este implementarea unor actiuni specifice in conditii constante.

Pentru a putea lucra cu rezultatele experienței, evenimentele sunt de obicei notate cu literele A, B, C, D, E...

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu

Pentru a putea trece la partea matematică a probabilității, este necesar să definiți toate componentele acesteia.

Probabilitatea unui eveniment este o măsură numerică a posibilității de apariție a unui eveniment (A sau B) ca rezultat al unei experiențe. Probabilitatea este notată cu P(A) sau P(B).

Teoria probabilității este:

• de încredere evenimentul este garantat ca rezultat al experimentului Р(Ω) = 1;
• imposibil evenimentul nu se poate întâmpla niciodată Р(Ø) = 0;
• Aleatoriu evenimentul se află între cert și imposibil, adică probabilitatea apariției lui este posibilă, dar nu este garantată (probabilitatea unui eveniment aleatoriu este întotdeauna în intervalul 0≤P(A)≤1).

Relațiile dintre evenimente

Atât unul cât și suma evenimentelor A + B sunt luate în considerare atunci când evenimentul este numărat în implementarea a cel puțin uneia dintre componente, A sau B, sau ambele - A și B.

În relație între ele, evenimentele pot fi:

• La fel de posibil.
• compatibil.
• Incompatibil.
• Opus (se exclud reciproc).
• Dependent.

Dacă două evenimente se pot întâmpla cu probabilitate egală, atunci ele la fel de posibil.

Dacă apariția evenimentului A nu anulează probabilitatea de apariție a evenimentului B, atunci aceștia compatibil.

Dacă evenimentele A și B nu au loc niciodată în același timp în același experiment, atunci ele sunt numite incompatibil. Aruncarea unei monede este un bun exemplu: a veni în sus cozi nu înseamnă automat a veni în sus.

Probabilitatea pentru suma unor astfel de evenimente incompatibile constă din suma probabilităților fiecăruia dintre evenimente:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Dacă apariția unui eveniment face imposibilă apariția altuia, atunci ele sunt numite opuse. Apoi unul dintre ei este desemnat ca A, iar celălalt - Â (a se citi „nu A”). Apariția evenimentului A înseamnă că Â nu a avut loc. Aceste două evenimente formează un grup complet cu o sumă de probabilități egală cu 1.

Evenimentele dependente au influență reciprocă, scăzând sau crescând reciproc probabilitatea.

Relațiile dintre evenimente. Exemple

Este mult mai ușor de înțeles principiile teoriei probabilităților și combinarea evenimentelor folosind exemple.

Experimentul care va fi efectuat este de a scoate bilele din cutie, iar rezultatul fiecărui experiment este un rezultat elementar.

Un eveniment este unul dintre posibilele rezultate ale unei experiențe - o minge roșie, o minge albastră, o minge cu numărul șase etc.

Testul numărul 1. Sunt 6 bile, dintre care trei sunt albastre cu numere impare, iar celelalte trei sunt roșii cu numere pare.

Testul numărul 2. Sunt 6 bile albastre cu numere de la unu la șase.

Pe baza acestui exemplu, putem numi combinații:

• Eveniment de încredere. In spaniola Nr. 2, evenimentul „obține mingea albastră” este de încredere, deoarece probabilitatea apariției sale este 1, deoarece toate bilele sunt albastre și nu poate fi ratată. În timp ce evenimentul „primiți mingea cu numărul 1” este aleatoriu.
• Eveniment imposibil. In spaniola Nr. 1 cu bile albastre și roșii, evenimentul „obține mingea violet” este imposibil, deoarece probabilitatea apariției sale este 0.
• Evenimente echivalente. In spaniola Nr. 1, evenimentele „primiți mingea cu numărul 2” și „primiți mingea cu numărul 3” sunt la fel de probabile, iar evenimentele „primiți mingea cu numărul par” și „primiți mingea cu numărul 2”. ” au probabilități diferite.
• Evenimente compatibile. Obținerea unui șase în procesul de a arunca un zar de două ori la rând sunt evenimente compatibile.
• Evenimente incompatibile.În aceeași spaniolă Evenimentele nr. 1 „primiți mingea roșie” și „primiți mingea cu un număr impar” nu pot fi combinate în aceeași experiență.
• evenimente opuse. Cel mai izbitor exemplu în acest sens este aruncarea monedelor, în care tragerea capetelor este la fel cu a nu trage cozi, iar suma probabilităților lor este întotdeauna 1 (grup complet).
• Evenimente dependente. Deci, în spaniolă Nr. 1, vă puteți stabili obiectivul de a extrage o minge roșie de două ori la rând. Extragerea sau neextragerea lui prima dată afectează probabilitatea de a-l extrage a doua oară.

Se poate observa că primul eveniment afectează semnificativ probabilitatea celui de-al doilea (40% și 60%).

Formula probabilității evenimentului

Trecerea de la ghicire la date exacte are loc prin transferarea subiectului în planul matematic. Adică, judecățile despre un eveniment aleatoriu precum „probabilitate mare” sau „probabilitate minimă” pot fi traduse în date numerice specifice. Este deja permisă evaluarea, compararea și introducerea unui astfel de material în calcule mai complexe.

Din punct de vedere al calculului, definiția probabilității unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate pozitive elementare și numărul tuturor rezultatelor posibile ale experienței cu privire la un anumit eveniment. Probabilitatea este notată cu P (A), unde P înseamnă cuvântul „probabilitate”, care este tradus din franceză ca „probabilitate”.

Deci, formula pentru probabilitatea unui eveniment este:

Unde m este numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A, n este suma tuturor rezultatelor posibile pentru această experiență. Probabilitatea unui eveniment este întotdeauna între 0 și 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Calculul probabilității unui eveniment. Exemplu

Să luăm spaniola. Nr. 1 cu bile, care este descris mai devreme: 3 bile albastre cu numerele 1/3/5 și 3 bile roșii cu numerele 2/4/6.

Pe baza acestui test, pot fi luate în considerare mai multe sarcini diferite:

• A - picătură de minge roșie. Sunt 3 bile roșii, și sunt în total 6 variante.Acesta este cel mai simplu exemplu, în care probabilitatea unui eveniment este P(A)=3/6=0,5.
• B - eliminarea unui număr par. Există 3 (2,4,6) numere pare în total, iar numărul total de opțiuni numerice posibile este 6. Probabilitatea acestui eveniment este P(B)=3/6=0,5.
• C - pierderea unui număr mai mare de 2. Există 4 astfel de opțiuni (3,4,5,6) din numărul total de rezultate posibile 6. Probabilitatea evenimentului C este P(C)=4/6= 0,67.

După cum se poate observa din calcule, evenimentul C are o probabilitate mai mare, deoarece numărul de rezultate pozitive posibile este mai mare decât în ​​A și B.

Evenimente incompatibile

Astfel de evenimente nu pot apărea simultan în aceeași experiență. Ca în spaniolă Nr. 1, este imposibil să obții o minge albastră și una roșie în același timp. Adică puteți obține fie o minge albastră, fie o minge roșie. În același mod, un număr par și un număr impar nu pot apărea într-un zar în același timp.

Probabilitatea a două evenimente este considerată probabilitatea sumei sau produsului lor. Suma unor astfel de evenimente A + B este considerată a fi un eveniment care constă în apariția unui eveniment A sau B, iar produsul AB lor - în apariția ambelor. De exemplu, apariția a două șase deodată pe fețele a două zaruri dintr-o aruncare.

Suma mai multor evenimente este un eveniment care presupune apariția a cel puțin unuia dintre ele. Produsul mai multor evenimente este apariția în comun a tuturor.

În teoria probabilității, de regulă, utilizarea uniunii „și” denotă suma, uniunea „sau” - înmulțire. Formulele cu exemple vă vor ajuta să înțelegeți logica adunării și înmulțirii în teoria probabilităților.

Probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile

Dacă se consideră probabilitatea evenimentelor incompatibile, atunci probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților acestora:

P(A+B)=P(A)+P(B)

De exemplu: calculăm probabilitatea ca în spaniolă. Nr.1 cu bile albastre și roșii va scădea un număr între 1 și 4. Vom calcula nu într-o singură acțiune, ci prin suma probabilităților componentelor elementare. Deci, într-un astfel de experiment există doar 6 bile sau 6 dintre toate rezultatele posibile. Numerele care îndeplinesc condiția sunt 2 și 3. Probabilitatea de a obține numărul 2 este 1/6, probabilitatea numărului 3 este de asemenea 1/6. Probabilitatea de a obține un număr între 1 și 4 este:

Probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile ale unui grup complet este 1.

Deci, dacă în experimentul cu un cub adunăm probabilitățile de a obține toate numerele, atunci ca rezultat obținem unul.

Acest lucru este valabil și pentru evenimente opuse, de exemplu, în experimentul cu o monedă, unde una dintre fețele sale este evenimentul A, iar cealaltă este evenimentul opus Ā, după cum este cunoscut,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Probabilitatea producerii unor evenimente incompatibile

Înmulțirea probabilităților este utilizată atunci când se ia în considerare apariția a două sau mai multe evenimente incompatibile într-o observație. Probabilitatea ca evenimentele A și B să apară în el în același timp este egală cu produsul probabilităților lor sau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

De exemplu, probabilitatea ca în Nr. 1 în urma a două încercări, o minge albastră va apărea de două ori, egală cu

Adică probabilitatea ca un eveniment să se producă atunci când, în urma a două încercări cu extragerea de bile, vor fi extrase doar bile albastre, este de 25%. Este foarte ușor să faci experimente practice pe această problemă și să vezi dacă acesta este de fapt cazul.

Evenimente comune

Evenimentele sunt considerate comune atunci când apariția unuia dintre ele poate coincide cu apariția celuilalt. În ciuda faptului că sunt comune, se ia în considerare probabilitatea unor evenimente independente. De exemplu, aruncarea a două zaruri poate da un rezultat când pe ambele cade numărul 6. Deși evenimentele au coincis și au apărut în același timp, ele sunt independente unul de celălalt - doar unul șase ar putea cădea, al doilea zar nu are. influență asupra acesteia.

Probabilitatea evenimentelor comune este considerată probabilitatea sumei lor.

Probabilitatea sumei evenimentelor comune. Exemplu

Probabilitatea sumei evenimentelor A și B, care sunt comune unul în raport cu celălalt, este egală cu suma probabilităților evenimentului minus probabilitatea produsului lor (adică implementarea lor comună):

Articulația R. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Să presupunem că probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,4. Apoi evenimentul A - lovirea țintei în prima încercare, B - în a doua. Aceste evenimente sunt comune, deoarece este posibil ca ținta să fie lovită atât din prima cât și din a doua lovitură. Dar evenimentele nu sunt dependente. Care este probabilitatea ca evenimentul să lovească ținta cu două lovituri (cel puțin una)? Conform formulei:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Răspunsul la întrebare este: „Probabilitatea de a lovi ținta cu două lovituri este de 64%.

Această formulă pentru probabilitatea unui eveniment poate fi aplicată și evenimentelor incompatibile, unde probabilitatea producerii comune a unui eveniment P(AB) = 0. Aceasta înseamnă că probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile poate fi considerată un caz special. a formulei propuse.

Geometria probabilității pentru claritate

Interesant este că probabilitatea sumei evenimentelor comune poate fi reprezentată ca două zone A și B care se intersectează una cu cealaltă. După cum puteți vedea din imagine, aria unirii lor este egală cu aria totală minus aria intersecției lor. Această explicație geometrică face formula aparent ilogică mai ușor de înțeles. Rețineți că soluțiile geometrice nu sunt neobișnuite în teoria probabilității.

Definiția probabilității sumei unui set (mai mult de două) de evenimente comune este destul de greoaie. Pentru a-l calcula, trebuie să utilizați formulele furnizate pentru aceste cazuri.

Evenimente dependente

Evenimentele dependente sunt numite dacă apariția unuia (A) dintre ele afectează probabilitatea apariției celuilalt (B). Mai mult, se ia în considerare atât influența apariției evenimentului A, cât și a neapariției acestuia. Deși evenimentele sunt numite dependente prin definiție, doar unul dintre ele este dependent (B). Probabilitatea obișnuită a fost notată ca P(B) sau probabilitatea unor evenimente independente. În cazul dependenților se introduce un nou concept - probabilitatea condiționată P A (B), care este probabilitatea evenimentului dependent B cu condiția ca evenimentul A (ipoteza) să fi avut loc, de care depinde.

Dar evenimentul A este, de asemenea, aleatoriu, deci are și o probabilitate care trebuie și poate fi luată în considerare în calcule. Următorul exemplu va arăta cum să lucrați cu evenimente dependente și o ipoteză.

Exemplu de calcul al probabilității evenimentelor dependente

Un bun exemplu pentru calcularea evenimentelor dependente este un pachet standard de cărți.

Pe exemplul unui pachet de 36 de cărți, luați în considerare evenimentele dependente. Este necesar să se determine probabilitatea ca a doua carte extrasă din pachet să fie un costum de diamant, dacă prima carte extrasă este:

1. Tamburină.
2. Un alt costum.

Evident, probabilitatea celui de-al doilea eveniment B depinde de primul A. Deci, dacă prima opțiune este adevărată, adică cu 1 carte (35) și 1 diamant (8) mai puțin în pachet, probabilitatea evenimentului B:

PA (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Dacă a doua opțiune este adevărată, atunci există 35 de cărți în pachet și numărul total de tamburine (9) este încă păstrat, atunci probabilitatea următorului eveniment este B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Se poate observa că dacă evenimentul A este condiționat de faptul că prima carte este un diamant, atunci probabilitatea evenimentului B scade și invers.

Înmulțirea evenimentelor dependente

Pe baza capitolului anterior, acceptăm primul eveniment (A) ca fapt, dar, în esență, are un caracter aleatoriu. Probabilitatea acestui eveniment, și anume extragerea unei tamburine dintr-un pachet de cărți, este egală cu:

P(A) = 9/36=1/4

Deoarece teoria nu există de la sine, ci este chemată să servească scopuri practice, este corect să remarcăm că cel mai adesea este nevoie de probabilitatea de a produce evenimente dependente.

Conform teoremei produsului probabilităților evenimentelor dependente, probabilitatea de apariție a evenimentelor dependente în comun A și B este egală cu probabilitatea unui eveniment A, înmulțită cu probabilitatea condiționată a evenimentului B (în funcție de A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Apoi, în exemplul cu un pachet, probabilitatea de a extrage două cărți cu o suită de diamante este:

9/36*8/35=0,0571 sau 5,7%

Și probabilitatea de a nu extrage mai întâi diamante și apoi diamante este egală cu:

27/36*9/35=0,19 sau 19%

Se poate observa că probabilitatea de apariție a evenimentului B este mai mare, cu condiția ca mai întâi să fie extrasă o carte de culoare diferită de un diamant. Acest rezultat este destul de logic și de înțeles.

Probabilitatea totală a unui eveniment

Când o problemă cu probabilități condiționate devine multifațetă, nu poate fi calculată prin metode convenționale. Când există mai mult de două ipoteze, și anume A1, A2, ..., A n , .. formează un grup complet de evenimente cu condiția:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Deci, formula pentru probabilitatea totală pentru evenimentul B cu un grup complet de evenimente aleatoare A1, A2, ..., A n este:

O privire în viitor

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este esențială în multe domenii ale științei: econometrie, statistică, fizică etc. Deoarece unele procese nu pot fi descrise în mod determinist, deoarece ele însele sunt probabiliste, sunt necesare metode speciale de lucru. Teoria probabilității unui eveniment poate fi utilizată în orice domeniu tehnologic ca o modalitate de a determina posibilitatea unei erori sau defecțiuni.

Se poate spune că, recunoscând probabilitatea, facem cumva un pas teoretic în viitor, privindu-l prin prisma formulelor.

ACADEMIA RUSĂ A ECONOMIEI NAȚIONALE ȘI SERVICIULUI PUBLIC SUB PREȘEDINTELE FEDERATIEI RUSE

SUCURSALA OREL

Departamentul de Sociologie și Tehnologia Informației

Calcul tipic nr. 1

la disciplina „Teoria probabilității și statistică matematică”

pe tema „Fundamentele teoriei probabilităților”

Vultur - 2016.

Scopul lucrării: consolidarea cunoștințelor teoretice pe tema fundamentelor teoriei probabilității, prin rezolvarea unor probleme tipice. Stăpânirea conceptelor principalelor tipuri de evenimente aleatoare și dezvoltarea abilităților de operații algebrice pe evenimente.

Cerințe pentru depunerea postului: lucrarea se realizează în formă scrisă de mână, lucrarea trebuie să conţină toate explicaţiile şi concluziile necesare, formulele trebuie să conţină o decodare a denumirilor acceptate, paginile trebuie numerotate.

Numărul variantei corespunde numărului de ordine al elevului din lista grupului.

Informații teoretice de bază

Teoria probabilității- o ramură a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatorii.

Conceptul de eveniment. Clasificarea evenimentelor.

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților este conceptul de eveniment. Evenimentele sunt indicate cu majuscule latine. A, ÎN, CU,…

Eveniment- acesta este un posibil rezultat (rezultat) al unui test sau experiență.

Testarea este înțeleasă ca orice acțiune intenționată.

Exemplu : trăgătorul trage în țintă. O lovitură este un test, lovirea unei ținte este un eveniment.

Evenimentul este numit Aleatoriu , dacă în condițiile unui experiment dat poate să apară și să nu apară.

Exemplu : Impușcat dintr-o armă - test

Inc. A- lovirea țintei

Inc. ÎN– dor – evenimente aleatoare.

Evenimentul este numit autentic dacă în urma testului trebuie neapărat să apară.

Exemplu : Aruncați nu mai mult de 6 puncte când aruncați un zar.

Evenimentul este numit imposibil dacă, în condiţiile experimentului dat, nu se poate produce deloc.

Exemplu : Mai mult de 6 puncte aruncate la aruncarea unui zar.

Evenimentele sunt numite incompatibil dacă apariţia unuia dintre ele împiedică apariţia oricărui altul. În caz contrar, evenimentele se numesc comune.

Exemplu : Se aruncă un zar. O aruncare de 5 elimină o aruncare de 6. Acestea sunt evenimente incompatibile. Un student care primește note „bune” și „excelent” la examene la două discipline diferite este un eveniment comun.

Sunt numite două evenimente incompatibile, dintre care unul trebuie neapărat să apară opus . Eveniment opus evenimentului A desemna Ā .

Exemplu : Apariția „stemei” și apariția „cozilor” la aruncarea unei monede sunt evenimente opuse.

Mai multe evenimente din această experiență sunt numite la fel de posibil dacă există motive să credem că niciunul dintre aceste evenimente nu este mai posibil decât celelalte.

Exemplu : trageți as, zeci, dame dintr-un pachet de cărți - evenimentele sunt la fel de probabile.

Se formează mai multe evenimente grup complet dacă, în urma testului, unul și numai unul dintre aceste evenimente trebuie să se producă în mod necesar.

Exemplu : Scăderea numărului de puncte 1, 2, 3, 4, 5, 6 atunci când aruncați un zar.

Definiția clasică a probabilității unui eveniment. Proprietăți de probabilitate

Pentru activitățile practice, este important să se poată compara evenimentele în funcție de gradul de posibilitate de apariție a acestora.

Probabilitate Un eveniment este o măsură numerică a gradului de posibilitate obiectivă a producerii unui eveniment.

Hai sa sunăm rezultat elementar fiecare dintre rezultatele testelor la fel de probabile.

Exodul se numește favorabil eveniment (favorabil). A, dacă producerea ei atrage după sine producerea unui eveniment A.

Definiție clasică : probabilitatea evenimentului A este egal cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru un anumit eveniment și numărul total de rezultate posibile.

(1) unde P(A) este probabilitatea unui eveniment A,

m- numărul de rezultate favorabile,

n este numărul tuturor rezultatelor posibile.

Exemplu : Există 1000 de bilete la loterie, dintre care 700 nu sunt câștigătoare. Care este probabilitatea de a câștiga la un bilet achiziționat.

Eveniment A- a cumpărat un bilet câștigător

Numărul de rezultate posibile n=1000 este numărul total de bilete de loterie.

Numărul de rezultate care favorizează evenimentul A este numărul de bilete câștigătoare, adică m=1000-700=300.

Conform definiției clasice a probabilității:

Răspuns:
.

Notă proprietățile probabilității evenimentului:

1) Probabilitatea oricărui eveniment este între zero și unu, adică. 0≤ P(A)≤1.

2) Probabilitatea unui anumit eveniment este 1.

3) Probabilitatea unui eveniment imposibil este 0.

Pe lângă cele clasice, există și definiții geometrice și statistice ale probabilității.

Elemente de combinatorie.

Formulele combinatorice sunt utilizate pe scară largă pentru a calcula numărul de rezultate favorabile evenimentului în cauză sau numărul total de rezultate.

Să fie un set N din n diverse elemente.

Definiția 1: Combinații, fiecare dintre ele le include pe toate n se numesc elemente şi care diferă între ele numai prin ordinea elementelor permutări din n elemente.

P n=n! (2), unde n! (n-factorial) - produs n primele numere ale seriei naturale, i.e.

n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n

Deci, de exemplu, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Definiția 2: m elemente ( m≤n) și se deosebesc între ele fie prin alcătuirea elementelor, fie prin ordinea lor plasamente din n De m elemente.

(3) 
Definiția 3: Combinații, fiecare conținând m elemente ( m≤n) și care se deosebesc între ele numai prin alcătuirea elementelor se numesc combinatii din n De m elemente.

(4)
Cometariu: modificarea ordinii elementelor în cadrul aceleiași combinații nu are ca rezultat o nouă combinație.

Formulăm două reguli importante care sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor combinatorii

Regula sumei: dacă obiect A poate fi ales m moduri și obiectul ÎN – n moduri, atunci alegerea este fie A sau ÎN poate fi facut m+n moduri.

Regula produsului: dacă obiect A poate fi ales m moduri și obiectul ÎN după fiecare astfel de alegere, se poate alege n moduri, apoi o pereche de obiecte AȘi ÎN poate fi selectat în această ordine. m ∙ n moduri.

Probabilitatea arată posibilitatea unui eveniment cu un anumit număr de repetări. Acesta este numărul de rezultate posibile cu unul sau mai multe rezultate împărțit la numărul total de evenimente posibile. Probabilitatea mai multor evenimente este calculată prin împărțirea problemei în probabilități separate și apoi înmulțirea acestor probabilități.

Pași

Probabilitatea unui singur eveniment aleatoriu

1. Alegeți un eveniment cu rezultate care se exclud reciproc. Probabilitatea poate fi calculată numai dacă evenimentul în cauză are loc sau nu are loc. Este imposibil să obții orice eveniment și rezultatul opus în același timp. Un exemplu de astfel de evenimente este aruncarea unui 5 pe un zar de joc sau câștigarea unui anumit cal într-o cursă. Cinci fie vor apărea, fie nu; un anumit cal fie va veni primul, fie nu.

   • De exemplu, este imposibil să se calculeze probabilitatea unui astfel de eveniment: într-o singură aruncare a zarului, 5 și 6 se vor arunca în același timp.

2. Identificați toate evenimentele și rezultatele posibile care ar putea apărea. Să presupunem că trebuie să determinăm probabilitatea ca un trei de un fel să apară atunci când un zar cu 6 numere este aruncat. „Trei de un fel” este un eveniment și, din moment ce știm că oricare dintre cele 6 numere poate apărea, numărul de rezultate posibile este de șase. Astfel, știm că în acest caz există 6 rezultate posibile și un eveniment a cărui probabilitate dorim să o determinăm. Mai jos sunt încă două exemple.

   • Exemplul 1. În acest caz, evenimentul este „selectarea unei zile care cade în weekend”, iar numărul de rezultate posibile este egal cu numărul de zile ale săptămânii, adică șapte.
   • Exemplul 2. Evenimentul este „tragerea mingii roșii”, iar numărul de rezultate posibile este egal cu numărul total de bile, adică douăzeci.

3. Împărțiți numărul de evenimente la numărul de rezultate posibile.În acest fel determinați probabilitatea unui singur eveniment. Dacă luăm în considerare cazul unui 3 la o aruncare de zar, numărul de evenimente este 1 (trei sunt doar pe o parte a zarului), iar numărul total de rezultate este 6. Rezultatul este un raport de 1/6, 0,166 sau 16,6%. Probabilitatea unui eveniment pentru cele două exemple de mai sus se găsește după cum urmează:

   • Exemplul 1. Care este probabilitatea ca la întâmplare să alegeți o zi care cade într-un weekend? Numărul de evenimente este 2, deoarece există două zile libere într-o săptămână, iar numărul total de rezultate este de 7. Astfel, probabilitatea este de 2/7. Rezultatul obținut poate fi scris și ca 0,285 sau 28,5%.
   • Exemplul 2. O cutie conține 4 bile albastre, 5 roșii și 11 albe. Dacă extragi o minge aleatorie din cutie, care este probabilitatea ca aceasta să fie roșie? Numărul de evenimente este 5, deoarece există 5 bile roșii în casetă, iar numărul total de rezultate este 20. Aflați probabilitatea: 5/20 = 1/4. Rezultatul obținut poate fi scris și ca 0,25 sau 25%.

4. Adunați probabilitățile tuturor evenimentelor posibile și vedeți dacă totalul este 1. Probabilitatea totală a tuturor evenimentelor posibile ar trebui să fie de 1 sau 100%. Dacă nu obțineți 100%, sunt șanse să fi făcut o greșeală și să fi ratat unul sau mai multe evenimente posibile. Verificați-vă calculele și asigurați-vă că luați în considerare toate rezultatele posibile.

   • De exemplu, probabilitatea de a arunca un 3 la aruncarea unui zar este de 1/6. În acest caz, probabilitatea ca orice alt număr să cadă din restul de cinci este, de asemenea, egală cu 1/6. Ca rezultat, obținem 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, adică 100%.
   • Dacă, de exemplu, uitați de numărul 4 de pe zar, adăugarea probabilităților vă va oferi doar 5/6, sau 83%, ceea ce nu este egal cu unul și indică o eroare.

5. Exprimați probabilitatea unui rezultat imposibil ca 0. Aceasta înseamnă că evenimentul dat nu se poate întâmpla și probabilitatea sa este 0. În acest fel, puteți lua în considerare evenimente imposibile.

   • De exemplu, dacă ați calcula probabilitatea ca Paștele să cadă într-o zi de luni în 2020, ați obține 0, deoarece Paștele este sărbătorit întotdeauna duminica.

   Probabilitatea mai multor evenimente aleatoare

   1. Când luați în considerare evenimente independente, calculați fiecare probabilitate separat. Odată ce ați determinat care sunt probabilitățile evenimentelor, acestea pot fi calculate separat. Să presupunem că vrem să știm probabilitatea de a arunca un zar de două ori la rând cu un 5. Știm că probabilitatea de a arunca un cinci este 1/6, iar probabilitatea de a arunca al doilea cinci este, de asemenea, 1/6. Primul rezultat nu are legătură cu al doilea.

      • Sunt numite mai multe role de cinci evenimente independente, pentru că ceea ce se întâmplă prima dată nu afectează al doilea eveniment.

   2. Luați în considerare influența rezultatelor anterioare atunci când calculați probabilitatea pentru evenimente dependente. Dacă primul eveniment afectează probabilitatea celui de-al doilea rezultat, se spune că calculează probabilitatea evenimente dependente. De exemplu, dacă alegi două cărți dintr-un pachet de 52 de cărți, după ce prima carte este extrasă, compoziția pachetului se modifică, ceea ce afectează alegerea celei de-a doua cărți. Pentru a calcula probabilitatea celui de-al doilea dintre cele două evenimente dependente, scădeți 1 din numărul de rezultate posibile atunci când calculați probabilitatea celui de-al doilea eveniment.

      • Exemplul 1. Luați în considerare următorul eveniment: Două cărți sunt extrase aleatoriu din pachet, una după alta. Care este probabilitatea ca ambele cărți să aibă un costum de club? Probabilitatea ca prima carte să aibă un costum club este 13/52, sau 1/4, deoarece există 13 cărți cu același culoare în pachet.
        • După aceea, probabilitatea ca a doua carte să fie un costum de club este 12/51, deoarece nu mai există o singură carte de club. Acest lucru se datorează faptului că primul eveniment îl afectează pe al doilea. Dacă trageți 3 de trefte și nu îl puneți înapoi, va fi o carte mai puțin în pachet (51 în loc de 52).
      • Exemplul 2. Într-o cutie sunt 4 bile albastre, 5 roșii și 11 albe. Dacă trei bile sunt extrase la întâmplare, care este probabilitatea ca prima să fie roșie, a doua să fie albastră și a treia să fie albă?
        • Probabilitatea ca prima minge să fie roșie este de 5/20 sau 1/4. Probabilitatea ca a doua minge să fie albastră este de 4/19, deoarece a rămas o minge mai puțin în cutie, dar tot 4 albastru minge. În cele din urmă, probabilitatea ca a treia bilă să fie albă este de 11/18, deoarece am extras deja două bile.

   3. Înmulțiți probabilitățile fiecărui eveniment individual. Indiferent dacă aveți de-a face cu evenimente independente sau dependente, precum și cu numărul de rezultate (pot fi 2, 3 sau chiar 10), puteți calcula probabilitatea globală înmulțind probabilitățile tuturor evenimentelor în cauză între ele. . Ca rezultat, veți obține probabilitatea mai multor evenimente, următoarele unul câte unul. De exemplu, sarcina este Găsiți probabilitatea de a arunca un zar de două ori la rând cu un 5.. Acestea sunt două evenimente independente, probabilitatea fiecăruia fiind de 1/6. Astfel, probabilitatea ambelor evenimente este 1/6 x 1/6 = 1/36, adică 0,027 sau 2,7%.

      • Exemplul 1. Două cărți sunt extrase la întâmplare din pachet, una după alta. Care este probabilitatea ca ambele cărți să aibă un costum de club? Probabilitatea primului eveniment este 13/52. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment este 12/51. Găsim probabilitatea totală: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, adică 0,058, sau 5,8%.
      • Exemplul 2. O cutie conține 4 bile albastre, 5 roșii și 11 albe. Dacă trei bile sunt extrase aleatoriu din cutie, una după alta, care este probabilitatea ca prima să fie roșie, a doua să fie albastră și a treia să fie albă? Probabilitatea primului eveniment este 5/20. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment este 4/19. Probabilitatea celui de-al treilea eveniment este 11/18. Deci probabilitatea totală este 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, sau 3,2%.

Pentru activitatea practică, este necesar să se poată compara evenimentele în funcție de gradul de posibilitate al apariției lor. Să luăm în considerare cazul clasic. O urnă conține 10 bile, dintre care 8 sunt albe și 2 sunt negre. Evident, evenimentul „din urnă va fi extrasă o bilă albă” și evenimentul „din urnă va fi extrasă o bilă neagră” au grade diferite de posibilitate de apariție. Prin urmare, pentru a compara evenimente, este nevoie de o anumită măsură cantitativă.

O măsură cantitativă a posibilității ca un eveniment să se producă este probabilitate . Cele mai utilizate sunt două definiții ale probabilității unui eveniment: clasică și statistică.

Definiție clasică probabilitatea este legată de noţiunea de rezultat favorabil. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Lăsați ca rezultatele unui test să formeze un grup complet de evenimente și să fie la fel de probabile, de ex. sunt în mod unic posibile, inconsecvente și la fel de posibile. Astfel de rezultate se numesc rezultate elementare, sau cazuri. Se spune că testul se reduce la diagramă de caz sau " schema de urne", deoarece orice problemă probabilistică pentru un astfel de test poate fi înlocuită cu o problemă echivalentă cu urne și bile de diferite culori.

Exodul se numește favorabil eveniment A dacă survenirea acestui caz atrage după sine producerea evenimentului A.

Conform definiţiei clasice probabilitatea evenimentului A este egal cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează acest eveniment și numărul total de rezultate, adică

,

(1.1)

Unde P(A)- probabilitatea unui eveniment A; m- numărul de cazuri favorabile evenimentului A; n este numărul total de cazuri.

Exemplul 1.1. Când aruncați un zar, sunt posibile șase rezultate - o pierdere de 1, 2, 3, 4, 5, 6 puncte. Care este probabilitatea de a obține un număr par de puncte?

Soluţie. Toate n= 6 rezultate formează un grup complet de evenimente și sunt la fel de probabile, i.e. sunt în mod unic posibile, inconsecvente și la fel de posibile. Evenimentul A - „apariția unui număr par de puncte” - este favorizat de 3 rezultate (cazuri) - pierderea a 2, 4 sau 6 puncte. Conform formulei clasice pentru probabilitatea unui eveniment, obținem

P(A) = = . ◄

Pe baza definiției clasice a probabilității unui eveniment, notăm proprietățile acestuia:

1. Probabilitatea oricărui eveniment se află între zero și unu, adică.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu.

3. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

După cum am menționat mai devreme, definiția clasică a probabilității este aplicabilă numai pentru acele evenimente care pot apărea ca rezultat al încercărilor care au simetrie a rezultatelor posibile, de exemplu. reductibilă la schema cazurilor. Cu toate acestea, există o clasă mare de evenimente ale căror probabilități nu pot fi calculate folosind definiția clasică.

De exemplu, dacă presupunem că moneda este aplatizată, atunci este evident că evenimentele „apariția unei steme” și „apariția cozilor” nu pot fi considerate la fel de posibile. Prin urmare, formula de determinare a probabilității conform schemei clasice nu este aplicabilă în acest caz.

Cu toate acestea, există o altă abordare pentru evaluarea probabilității evenimentelor, bazată pe cât de des va apărea un anumit eveniment în testele efectuate. În acest caz, se utilizează definiția statistică a probabilității.

Probabilitate statisticăevenimentul A este frecvența relativă (frecvența) apariției acestui eveniment în n teste efectuate, i.e.

,

(1.2)

Unde R * (A) este probabilitatea statistică a unui eveniment A; w(A) este frecvența relativă a evenimentului A; m este numărul de încercări în care a avut loc evenimentul A; n este numărul total de încercări.

Spre deosebire de probabilitatea matematică P(A) considerată în definiţia clasică, probabilitatea statistică R * (A) este o caracteristică cu experienta, experimental. Cu alte cuvinte, probabilitatea statistică a unui eveniment A se numește numărul, raportat la care frecvența relativă este stabilizată (stabilită) w(A) cu o creștere nelimitată a numărului de teste efectuate în același set de condiții.

De exemplu, când se spune despre un trăgător că lovește o țintă cu o probabilitate de 0,95, asta înseamnă că din o sută de focuri trase de el în anumite condiții (aceeași țintă la aceeași distanță, aceeași pușcă etc.). ), în medie sunt aproximativ 95 de reușite. Desigur, nu fiecare sută va avea 95 de lovituri reușite, uneori vor fi mai puține, alteori mai multe, dar în medie, cu repetarea repetată a tragerii în aceleași condiții, acest procent de lovituri va rămâne neschimbat. Cifra 0,95, care servește ca un indicator al îndemânării trăgătorului, este de obicei foarte grajd, adică procentul de lovituri în cele mai multe împușcături va fi aproape același pentru un anumit trăgător, doar în cazuri rare abaterea într-un mod semnificativ de la valoarea medie a acestuia.

Un alt dezavantaj al definiției clasice a probabilității ( 1.1 ), ceea ce limitează aplicarea sa este că presupune un număr finit de rezultate posibile ale testului. În unele cazuri, acest neajuns poate fi depășit prin utilizarea definiției geometrice a probabilității, adică găsirea probabilității de a lovi un punct dintr-o anumită zonă (segment, parte a unui plan etc.).

Lasă o figură plată g face parte dintr-o figură plată G(Fig. 1.1). Pe figură G un punct este aruncat la întâmplare. Aceasta înseamnă că toate punctele din zonă G„egal” în raport cu lovirea lui cu un punct aruncat la întâmplare. Presupunând că probabilitatea unui eveniment A- lovirea unui punct aruncat pe o figură g- proporțional cu suprafața acestei cifre și nu depinde de locația sa în raport cu G, nici din formă g, găsi