Pagina 1 din 2

Intrebarea 1. Demonstrați că două drepte paralele cu a treia sunt paralele.
Răspuns. Teorema 4.1. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele.
Dovada. Fie dreptele a și b paralele cu dreapta c. Să presupunem că a și b nu sunt paralele (Fig. 69). Atunci ele nu se intersectează într-un punct C. Prin urmare, două drepte trec prin punctul C și sunt paralele cu dreapta c. Dar acest lucru este imposibil, deoarece printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trasa cel mult o dreaptă paralelă cu dreapta dată. Teorema a fost demonstrată.

Intrebarea 2. Explicați ce unghiuri se numesc interne unilaterale. Ce unghiuri se numesc culcare internă în cruce?
Răspuns. Perechile de unghiuri care se formează atunci când liniile AB și CD se intersectează cu AC au nume speciale.
Dacă punctele B și D se află în același semiplan în raport cu dreapta AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc unilaterale interne (Fig. 71, a).
Dacă punctele B și D se află în semiplanuri diferite față de dreapta AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc așezare transversală internă (Fig. 71, b).

Orez. 71

Întrebarea 3. Demonstrați că, dacă unghiurile interioare încrucișate ale unei perechi sunt egale, atunci unghiurile interioare încrucișate ale celeilalte perechi sunt de asemenea egale, iar suma unghiurilor interne unilaterale ale fiecărei perechi este 180°.
Răspuns. Secanta AC formează cu liniile AB și CD două perechi de unghiuri interne unilaterale și două perechi de unghiuri interne transversale. Colțurile interioare încrucișate ale unei perechi, de exemplu, unghiul 1 și unghiul 2, sunt adiacente unghiurilor interioare încrucișate ale altei perechi: unghiul 3 și unghiul 4 (Fig. 72).

Orez. 72

Prin urmare, dacă unghiurile interioare încrucișate ale unei perechi sunt egale, atunci unghiurile interioare încrucișate ale celeilalte perechi sunt de asemenea egale.
O pereche de colțuri interioare încrucișate, cum ar fi unghiul 1 și unghiul 2, și o pereche de colțuri interioare unilaterale, cum ar fi unghiul 2 și unghiul 3, au un unghi comun, unghiul 2, și alte două unghiuri adiacente, unghiul 1 și unghiul 3.
Prin urmare, dacă unghiurile interioare încrucișate sunt egale, atunci suma unghiurilor interioare este de 180°. Și invers: dacă suma unghiurilor interioare încrucișate este egală cu 180°, atunci unghiurile interioare încrucișate sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 4. Demonstrați criteriul pentru drepte paralele.
Răspuns. Teorema 4.2 (test pentru drepte paralele). Dacă unghiurile interioare încrucișate sunt egale sau suma unghiurilor interioare unilaterale este de 180°, atunci liniile sunt paralele.
Dovada. Fie ca liniile a și b să formeze unghiuri transversale interne egale cu secanta AB (Fig. 73, a). Să presupunem că dreptele a și b nu sunt paralele, ceea ce înseamnă că se intersectează într-un punct C (Fig. 73, b).

Orez. 73

Secanta AB împarte planul în două semiplane. Punctul C se află într-una dintre ele. Să construim triunghiul BAC 1 , egal cu triunghiul ABC, cu vârful C 1 în celălalt semiplan. Prin condiție, unghiurile interioare încrucișate pentru paralela a, b și secanta AB sunt egale. Deoarece unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor ABC și BAC 1 cu vârfurile A și B sunt egale, ele coincid cu unghiurile interioare încrucișate. Prin urmare, linia AC 1 coincide cu linia a, iar linia BC 1 coincide cu linia b. Se dovedește că două drepte diferite a și b trec prin punctele C și C 1. Și acest lucru este imposibil. Deci liniile a și b sunt paralele.
Dacă liniile a și b și secantele AB au suma unghiurilor interne unilaterale egală cu 180°, atunci, după cum știm, unghiurile interioare încrucișate sunt egale. Prin urmare, prin cele demonstrate mai sus, dreptele a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 5. Explicați ce unghiuri se numesc corespunzătoare. Demonstrați că dacă unghiurile interioare încrucișate sunt egale, atunci unghiurile corespunzătoare sunt de asemenea egale și invers.

Răspuns. Dacă o pereche de unghiuri interioare încrucișate are un unghi înlocuit cu unul vertical, atunci se va obține o pereche de unghiuri, care se numesc unghiurile corespunzătoare ale liniilor date cu o secantă. Ceea ce trebuia explicat.
Din egalitatea unghiurilor interioare încrucișate rezultă egalitatea unghiurilor corespunzătoare și invers. Să presupunem că avem două drepte paralele (deoarece prin condiție unghiurile interioare încrucișate sunt egale) și o secantă, care formează unghiurile 1, 2, 3. Unghiurile 1 și 2 sunt egale ca încrucișări interne. Și unghiurile 2 și 3 sunt egale cu verticale. Se obține: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 și \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Prin proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Afirmația inversă se dovedește în mod similar.
Acest lucru are ca rezultat un semn de linii paralele la unghiurile corespunzătoare. Și anume, liniile sunt paralele dacă unghiurile corespunzătoare sunt egale. Q.E.D.

Întrebarea 6. Demonstrați că printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu acesta. Câte drepte paralele cu o dreaptă pot fi trasate printr-un punct care nu este pe această dreaptă?

Răspuns. Problema (8). Având în vedere o dreaptă AB și un punct C care nu se află pe această dreaptă. Demonstrați că prin punctul C se poate trasa o dreaptă paralelă cu dreapta AB.
Decizie. Linia dreaptă AC împarte planul în două semiplane (Fig. 75). Punctul B se află într-una dintre ele. Din semilinia CA, să trasăm unghiul ACD egal cu unghiul CAB în celălalt semiplan. Apoi liniile AB și CD vor fi paralele. Într-adevăr, pentru aceste drepte și secantele AC, unghiurile BAC și DCA sunt transversal interior. Și deoarece sunt egale, liniile AB și CD sunt paralele. Q.E.D.
Comparând enunțul problemei 8 și axioma IX (proprietatea principală a dreptelor paralele), ajungem la o concluzie importantă: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trage o dreaptă paralelă cu aceasta, și numai una.

Întrebarea 7. Demonstrați că dacă două drepte se intersectează cu o a treia linie, atunci unghiurile interioare încrucișate sunt egale, iar suma unghiurilor interioare unilaterale este 180°.

Răspuns. Teorema 4.3(conversați cu Teorema 4.2). Dacă două drepte paralele se intersectează cu o a treia linie, atunci unghiurile interioare încrucișate sunt egale, iar suma unghiurilor interioare unilaterale este de 180°.
Dovada. Fie a și b drepte paralele și c drept dreapta care le intersectează în punctele A și B. Să trasăm o dreaptă a 1 prin punctul A, astfel încât unghiurile interioare încrucișate formate de secanta c cu dreptele a 1 și b să fie egal (Fig. 76).
După criteriul paralelismului dreptelor, dreptele a 1 și b sunt paralele. Și întrucât doar o singură dreaptă trece prin punctul A, paralelă cu dreapta b, atunci linia a coincide cu dreapta a 1 .
Aceasta înseamnă că unghiurile interioare încrucișate formate de secanta cu
drepte paralele a și b sunt egale. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 8. Demonstrați că două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.
Răspuns. Din teorema 4.2 rezultă că două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele.
Să presupunem că oricare două drepte sunt perpendiculare pe a treia dreaptă. Prin urmare, aceste linii se intersectează cu a treia linie la un unghi egal cu 90°.
Din proprietatea unghiurilor formate la intersectia dreptelor paralele printr-o secanta, rezulta ca daca o dreapta este perpendiculara pe una dintre drepte paralele, atunci este si perpendiculara pe cealalta.

Întrebarea 9. Demonstrați că suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Răspuns. Teorema 4.4. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
Dovada. Fie ABC triunghiul dat. Desenați o dreaptă prin vârful B paralelă cu dreapta AC. Marcați punctul D pe acesta, astfel încât punctele A și D să se afle pe părțile opuse ale dreptei BC (Fig. 78).
Unghiurile DBC și ACB sunt egale ca interior transversal, formate din secantele BC cu drepte paralele AC și BD. Prin urmare, suma unghiurilor triunghiului la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD.
Și suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale pentru paralele AC și BD și secante AB, suma lor este 180°. Teorema a fost demonstrată.

Întrebarea 10. Demonstrați că orice triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite.
Răspuns.Într-adevăr, să presupunem că un triunghi are un singur unghi ascuțit sau nu are deloc unghiuri ascuțite. Atunci acest triunghi are două unghiuri, fiecare dintre ele fiind de cel puțin 90°. Suma acestor două unghiuri nu este mai mică de 180°. Dar acest lucru este imposibil, deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este 180°. Q.E.D.

Semne de paralelism a două drepte

Teorema 1. Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante:

unghiurile situate în diagonală sunt egale sau

unghiurile corespunzătoare sunt egale sau

atunci suma unghiurilor unilaterale este 180°

liniile sunt paralele(Fig. 1).

Dovada. Ne limităm la proba din cazul 1.

Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB peste unghiurile situate sunt egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.

Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează într-un punct M și, în consecință, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Fie, pentru certitudine, ∠ 4 colțul exterior al triunghiului ABM și ∠ 6 cel interior. Din teorema unghiului exterior al unui triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar aceasta contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.

Corolarul 1. Două drepte distincte într-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).

Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul raționamentului se face o presupunere opusă (opusă) a ceea ce se cere a fi demonstrat. Se numește reducere la absurd datorită faptului că, argumentând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care se cerea a fi dovedită.

Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.

Decizie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).

Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.

Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trage întotdeauna o dreaptă paralelă cu dreapta dată..

Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.

Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat, care nu se află pe o dreaptă dată, există o singură linie paralelă cu dreapta dată.

Luați în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.

1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează pe cealaltă (Fig. 4).

2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).

Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt încrucișate de o secantă, atunci:

unghiurile culcate sunt egale;

unghiurile corespunzătoare sunt egale;

suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Consecința 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.(vezi Fig.2).

Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărată, atunci teorema inversă poate fi falsă.

Să explicăm acest lucru cu exemplul teoremei unghiurilor verticale. Această teoremă poate fi formulată astfel: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi următoarea: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie deloc verticale.

Exemplul 1 Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți acele unghiuri.

Decizie. Figura 6 îndeplinește condiția.

Nu se intersectează, indiferent cât de mult vor continua. Paralelismul liniilor în scris este indicat după cum urmează: AB|| CuE

Posibilitatea existenței unor astfel de linii este dovedită printr-o teoremă.

Teorema.

Prin orice punct luat în afara unei linii date, se poate trasa o paralelă cu această dreaptă..

Lasa AB această linie și Cu un punct luat în afara lui. Se cere să se demonstreze că Cu poți trage o linie dreaptă paralelAB. Să trecem mai departe AB dintr-un punct Cu perpendicularCuDși atunci vom face CuE^ CuD, ce este posibil. Drept CE paralel AB.

Pentru demonstrație, presupunem contrariul, adică că CE se intersectează AB la un moment dat M. Apoi de la punct M la o linie dreaptă CuD am avea două perpendiculare diferite MDși DOMNIȘOARĂ, ceea ce este imposibil. Mijloace, CE nu se poate intersecta cu AB, adică CuE paralel AB.

Consecinţă.

Două perpendiculare (CEșiD.B.) la o linie dreaptă (СD) sunt paralele.

Axioma dreptelor paralele.

Prin același punct este imposibil să se deseneze două linii diferite paralele cu aceeași linie.

Deci, dacă o linie dreaptă CuD, tras prin punct Cu paralel cu o linie dreaptă AB, apoi orice altă linie CuE prin acelasi punct Cu, nu poate fi paralel AB, adică continuă ea se intersectează cu AB.

Dovada acestui adevăr nu tocmai evident se dovedește a fi imposibilă. Se acceptă fără dovezi ca o presupunere necesară (postulatum).

Consecințe.

1. Dacă Drept(CuE) se intersectează cu una dintre paralel(SW), apoi se intersectează cu celălalt ( AB), pentru că altfel prin același punct Cu două linii drepte diferite, paralele AB, ceea ce este imposibil.

2. Dacă fiecare dintre cele două direct (AșiB) sunt paralele cu aceeași a treia linie ( Cu) , atunci ei sunt paraleleîntre ei.

Într-adevăr, dacă presupunem că Ași B se intersectează la un moment dat M, apoi două drepte diferite, paralele între ele, ar trece prin acest punct. Cu, ceea ce este imposibil.

Teorema.

În cazul în care un linia dreaptă este perpendiculară pe una dintre drepte paralele, atunci este perpendiculară pe cealaltă paralel.

Lasa AB || CuDși EF ^ AB.Se cere să se demonstreze că EF ^ CuD.

PerpendicularEF, intersectându-se cu AB, cu siguranță se va intersecta și CuD. Fie punctul de intersecție H.

Să presupunem că acum CuD nu perpendicular pe EH. Apoi o altă linie, de exemplu HK, va fi perpendicular pe EHși deci prin același punct H Două drept paralel AB: unu CuD, după condiție, iar cealaltă HK așa cum s-a dovedit mai înainte. Deoarece acest lucru este imposibil, nu se poate presupune că SW nu era perpendicular pe EH.

Clasă: 2

Scopul lecției:

• formați conceptul de paralelism a 2 drepte, luați în considerare primul semn al dreptelor paralele;
• dezvolta capacitatea de a aplica semnul în rezolvarea problemelor.

Sarcini:

1. Educativ: repetarea și consolidarea materialului studiat, formarea conceptului de paralelism de 2 linii, dovada primului semn de paralelism de 2 linii.
2. Educativ: pentru a cultiva capacitatea de a ține notițe cu acuratețe într-un caiet și de a respecta regulile de construire a desenelor.
3. Sarcini de dezvoltare: dezvoltarea gândirii logice, a memoriei, a atenției.

Echipament pentru lecție:

• proiector multimedia;
• ecran, prezentări;
• instrumente de desen.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Salutări, verificând pregătirea pentru lecție.

II. Pregătire pentru UPD activ.

Etapa 1.

În prima lecție de geometrie, am luat în considerare poziția relativă a 2 drepte pe plan.

Întrebare. Câte puncte comune pot avea două drepte?
Răspuns. Două linii pot avea fie un punct comun, fie nu pot avea mai mult de un punct comun.

Întrebare. Cum vor fi situate cele 2 linii una față de alta dacă au un punct comun?
Răspuns. Dacă liniile au un punct comun, atunci se intersectează

Întrebare. Cum sunt situate cele 2 linii una față de alta dacă nu au puncte comune?
Răspuns.În acest caz, liniile nu se intersectează.

Etapa 2.

În ultima lecție, ți s-a dat sarcina de a face o prezentare în care ne întâlnim cu linii care nu se intersectează în viața noastră și în natură. Acum ne vom uita la aceste prezentări și ne vom alege pe cea mai bună dintre ele. (Juriul a inclus studenți cărora, din cauza inteligenței scăzute, le este greu să-și creeze propriile prezentări.)

Vizualizarea prezentărilor făcute de elevi: „Paralelismul liniilor în natură și viață”, și alegerea celor mai bune dintre ele.

III. UPD activ (explicarea materialului nou).

Etapa 1.

Poza 1

Definiție. Două drepte dintr-un plan care nu se intersectează se numesc paralele.

Acest tabel prezintă diferite cazuri de aranjare a 2 drepte paralele pe un plan.

Luați în considerare ce segmente vor fi paralele.

Figura 2

1) Dacă linia a este paralelă cu b, atunci segmentele AB și CD sunt și ele paralele.

2) Un segment de linie poate fi paralel cu o linie dreaptă. Deci segmentul MN este paralel cu dreapta a.

Figura 3

3) Segmentul AB este paralel cu raza h. Raza h este paralelă cu fasciculul k.

4) Dacă linia a este perpendiculară pe dreapta c, iar dreapta b este perpendiculară pe dreapta c, atunci liniile a și b sunt paralele.

Etapa 2.

Unghiuri formate din două drepte paralele și o transversală.

Figura 4

Două drepte paralele intersectează o a treia dreaptă în două puncte. În acest caz, se formează opt colțuri, indicate în figură prin cifre.

Unele perechi ale acestor unghiuri au denumiri speciale (vezi Figura 4).

Exista trei semne, paralelismul a două drepte asociate acestor unghiuri. În această lecție, ne vom uita la primul semn.

Etapa 3.

Să repetăm ​​materialul necesar pentru a demonstra această caracteristică.

Figura 5

Întrebare. Care sunt numele colțurilor prezentate în Figura 5?
Răspuns. Unghiurile AOC și COB sunt numite adiacente.

Întrebare. Ce unghiuri se numesc adiacente? Dați o definiție.
Răspuns. Două unghiuri se numesc adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte două sunt prelungiri unul celuilalt.

Întrebare. Care sunt proprietățile unghiurilor adiacente?
Răspuns. Unghiurile adiacente se adaugă până la 180 de grade.
AOC + COB = 180°

Întrebare. Cum se numesc unghiurile 1 si 2?
Răspuns. Unghiurile 1 și 2 se numesc vertical.

Întrebare. Care sunt proprietățile unghiurilor verticale?
Răspuns. Unghiurile verticale sunt egale între ele.

Etapa 4.

Dovada primului semn de paralelism.

Teorema. Dacă la intersecția a două drepte cu o transversală, unghiurile de culcare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

Figura 6

Dat: a și b sunt drepte
AB - secant
1 = 2
Dovedi: a//b.

primul caz.

Figura 7

Dacă 1 și 2 sunt drepte, atunci a este perpendicular pe AB și b este perpendicular pe AB, atunci a//b.

al 2-lea caz.

Figura 8

Luați în considerare cazul când 1 și 2 nu sunt drepte. Împărțim segmentul AB la jumătate la punctul O.

Întrebare. Care va fi lungimea segmentelor AO și OB?
Răspuns. Segmentele AO și OB au lungime egală.

1) Din punctul O trasăm o perpendiculară pe dreapta a, OH este perpendiculară pe a.

Întrebare. Care va fi unghiul 3?
Răspuns. Colțul 3 va fi corect.

2) Din punctul A de pe dreapta b, punem deoparte segmentul AH 1 = BH cu un compas.

3) Să desenăm un segment OH 1.

Întrebare. Ce triunghiuri s-au format ca rezultat al demonstrației?
Răspuns. Triunghiul ONV și triunghiul OH 1 A.

Să demonstrăm că sunt egali.

Întrebare. Ce unghiuri sunt egale conform ipotezei teoremei?
Răspuns. Unghiul 1 este egal cu unghiul 2.

Întrebare. Care laturi sunt egale în construcție.
Răspuns. AO = OB și AN 1 = VN

Întrebare. Pe ce bază sunt triunghiurile congruente?
Răspuns. Triunghiurile sunt egale pe două laturi și unghiul dintre ele (primul semn al egalității triunghiurilor).

Întrebare. Ce proprietate au triunghiurile congruente?
Răspuns. Triunghiurile egale au unghiuri egale opuse laturilor egale.

Întrebare. Ce unghiuri vor fi egale?
Răspuns. 5 = 6, 3 = 4.

Întrebare. Cum se numesc 5 si 6?
Răspuns. Aceste unghiuri se numesc verticale.

De aici rezultă că punctele: H 1 , O, H se află pe o singură linie dreaptă.
pentru că 3 este drept și 3 = 4, apoi 4 este drept.

Întrebare. Cum sunt situate liniile a și b față de dreapta HH 1 dacă unghiurile 3 și 4 sunt drepte?
Răspuns. Dreptele a și b sunt perpendiculare pe HH 1 .

Întrebare. Ce putem spune despre două perpendiculare pe o dreaptă?
Răspuns. Două perpendiculare ale unei drepte sunt paralele.

Deci a//b. Teorema a fost demonstrată.

Acum voi repeta toată dovada de la început, iar tu mă vei asculta cu atenție și vei încerca să înțelegi totul de reținut.

IV. Consolidarea materialului nou.

Lucrați în grupuri cu diferite niveluri de inteligență, urmat de o verificare pe ecran și pe tablă. La tablă lucrează 3 elevi (câte unul din fiecare grupă).

№1 (pentru elevii cu un nivel redus de dezvoltare intelectuală).

Dat: a și b sunt drepte
c - secant
1 = 37°
7 = 143°
Dovedi: a//b.

Decizie.

7 = 6 (vertical) 6 = 143°
1 + 4 = 180° (adiacent) 4 =180° – 37° = 143°
4 \u003d 6 \u003d 143 ° și se află în cruce a//b 5 \u003d 48 °, 3 și 5 sunt unghiuri transversale, sunt egale cu a//b.

Figura 11

V. Rezumatul lecției.

Rezultatul lecției se realizează folosind figurile 1-8.

Se evaluează activitatea elevilor la lecție (fiecare elev primește o emoticon adecvată).

Teme pentru acasă: preda - pp. 52-53; rezolva nr. 186 (b, c).

Paralelismul este o proprietate foarte utilă în geometrie. În viața reală, laturile paralele vă permit să creați lucruri frumoase, simetrice, care sunt plăcute oricărui ochi, așa că geometria a avut întotdeauna nevoie de modalități de a verifica acest paralelism. Despre semnele liniilor paralele vom vorbi în acest articol.

Definiție pentru paralelism

Să evidențiem definițiile pe care trebuie să le cunoașteți pentru a demonstra semnele paralelismului a două drepte.

Dreptele se numesc paralele dacă nu au puncte de intersecție. În plus, în soluții, liniile paralele merg de obicei împreună cu o dreaptă secantă.

O linie secantă este o dreaptă care intersectează ambele drepte paralele. În acest caz, unghiurile culcate, corespunzătoare și unilaterale sunt formate transversal. Perechile de unghiuri 1 și 4 vor fi întinse peste tot; 2 și 3; 8 și 6; 7 și 5. Corespondente vor fi 7 și 2; 1 și 6; 8 și 4; 3 și 5.

Unilateral 1 și 2; 7 și 6; 8 și 5; 3 și 4.

Când este formatat corespunzător, se scrie: „Unghiuri încrucișate cu două linii paralele a și b și o secanta c”, deoarece pentru două linii paralele poate exista un număr infinit de secante, așa că trebuie să specificați la ce secante vă referiți.

De asemenea, pentru demonstrație, avem nevoie de teorema asupra unghiului extern al unui triunghi, care afirmă că unghiul extern al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale unui triunghi care nu sunt adiacente acestuia.

semne

Toate semnele dreptelor paralele sunt legate de cunoașterea proprietăților unghiurilor și de teorema asupra unghiului exterior al unui triunghi.

Caracteristica 1

Două drepte sunt paralele dacă unghiurile care se intersectează sunt egale.

Se consideră două drepte a și b cu o secanta c. Unghiurile de culcare transversală 1 și 4 sunt egale. Să presupunem că dreptele nu sunt paralele. Aceasta înseamnă că liniile se intersectează și ar trebui să existe un punct de intersecție M. Apoi se formează un triunghi AVM cu un unghi exterior de 1. Unghiul extern trebuie să fie egal cu suma unghiurilor 4 și AVM ca neadiacent acestuia conform teorema unghiului exterior dintr-un triunghi. Dar apoi se dovedește că unghiul 1 este mai mare decât unghiul 4, iar acest lucru contrazice condiția problemei, ceea ce înseamnă că punctul M nu există, dreptele nu se intersectează, adică sunt paralele.

Orez. 1. Desen pentru dovadă.

Caracteristica 2

Două drepte sunt paralele dacă unghiurile secante corespunzătoare sunt egale.

Se consideră două drepte a și b cu o secanta c. Unghiurile corespunzătoare 7 și 2 sunt egale. Să fim atenți la unghiul 3. Este vertical pentru unghiul 7. Prin urmare, unghiurile 7 și 3 sunt egale. Deci unghiurile 3 și 2 sunt de asemenea egale, deoarece<7=<2 и <7=<3. А угол 3 и угол 2 являются накрест лежащими. Следовательно, прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Orez. 2. Desen pentru dovadă.

Caracteristica 3

Două drepte sunt paralele dacă suma unghiurilor unilaterale este de 180 de grade.

Orez. 3. Desen pentru dovadă.

Se consideră două drepte a și b cu o secanta c. Suma unghiurilor unilaterale 1 și 2 este de 180 de grade. Să fim atenți la unghiurile 1 și 7. Sunt adiacente. adica:

$$<1+<7=180$$

$$<1+<2=180$$

Scădeți a doua din prima expresie:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$$

$$<1+<7-<1-<2=0$$

$$<7-<2=0$$

$<7=<2$ - а они являются соответственными. Значит, прямые параллельны.

Ce am învățat?

Am analizat în detaliu ce unghiuri se obțin la tăierea liniilor paralele cu o a treia linie, am identificat și descris în detaliu dovada a trei semne de paralelism de drepte.

Test cu subiecte

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.1. Evaluări totale primite: 220.