Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o tehnică bazată pe calcularea determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția, este mai ales convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci niște parametri. Dezavantajul său este greoaiele calculelor în cazul unui număr mare de ecuații, în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda Gauss.
Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. În mod evident, setul de soluții ale unui sistem liniar nu se va schimba dacă vreo ecuație este schimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero, sau dacă o ecuație este adăugată la alta.
metoda Gauss (metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor) constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul se reduce la un sistem treptat echivalent. În primul rând, cu ajutorul primei ecuații, X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gauss directă, continuă până când rămâne doar o necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceea, se face Revers gaussian– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n-1 etc. Ultimul găsim X 1 din prima ecuație.
Transformările gaussiene sunt efectuate în mod convenabil prin efectuarea de transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:
numit sistem de matrice extinsă, deoarece pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de membri liberi. Metoda Gauss se bazează pe aducerea matricei principale a sistemului într-o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.
Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:
Decizie. Să scriem matricea augmentată a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom seta restul elementelor la zero:
primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:
Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu -4/7 și adăugați la a treia linie. Totuși, pentru a nu ne ocupa de fracții, vom crea o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai
Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să eliminați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia, pentru aceasta puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile al 3-lea și al 4-lea și al 3-a și al 4-lea coloane și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când coloanele sunt rearanjate, variabilele corespunzătoare sunt schimbate și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!
Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:
De aici, folosind cursul invers al metodei Gauss, găsim din a patra ecuație X 3 = -1; din a treia X 4 = -2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca
Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau nedeterminat.
Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:
Decizie. Scriem și transformăm matricea augmentată a sistemului
Scriem un sistem simplificat de ecuații:
Aici, în ultima ecuație, s-a dovedit că 0=4, adică. contradicţie. Prin urmare, sistemul nu are soluție, adică. ea este incompatibil. à
Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:
Decizie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:
Ca urmare a transformărilor s-au obținut doar zerouri în ultima linie. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:
Astfel, după simplificări, rămân două ecuații, și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Lasă „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X 4 . Apoi
Presupunând X 3 = 2Ași X 4 = b, primim X 2 = 1–Ași X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice
O soluție scrisă în acest fel se numește general, din moment ce, prin darea parametrilor Ași b valori diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A
metoda Gauss excelent pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE). Are mai multe avantaje față de alte metode:
- în primul rând, nu este necesară investigarea prealabilă a sistemului de ecuații pentru compatibilitate;
- în al doilea rând, metoda Gaussiană poate fi folosită pentru a rezolva nu numai SLAE-uri în care numărul de ecuații coincide cu numărul de variabile necunoscute și matricea principală a sistemului este nedegenerată, ci și sisteme de ecuații în care numărul de ecuații nu nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau determinantul matricei principale este egal cu zero;
- în al treilea rând, metoda Gauss conduce la un rezultat cu un număr relativ mic de operații de calcul.
Scurtă recenzie a articolului.
În primul rând, dăm definițiile necesare și introducem unele notații.
În continuare, descriem algoritmul metodei Gauss pentru cel mai simplu caz, adică pentru sistemele de ecuații algebrice liniare, numărul de ecuații în care coincide cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero. La rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații este cel mai clar vizibilă esența metodei Gauss, care constă în eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute. Prin urmare, metoda Gaussiană este numită și metoda eliminării succesive a necunoscutelor. Să arătăm soluții detaliate ale mai multor exemple.
În concluzie, luăm în considerare soluția gaussiană a sistemelor de ecuații algebrice liniare a căror matrice principală este fie dreptunghiulară, fie degenerată. Soluția unor astfel de sisteme are câteva caracteristici, pe care le vom analiza în detaliu folosind exemple.
Navigare în pagină.
Definiții și notații de bază.
Considerăm un sistem de p ecuații liniare cu n necunoscute (p poate fi egal cu n):
Unde sunt variabile necunoscute, sunt numere (reale sau complexe), sunt membri liberi.
În cazul în care un 
, atunci sistemul de ecuații algebrice liniare se numește omogen, in caz contrar - eterogen.
Setul de valori ale variabilelor necunoscute, în care toate ecuațiile sistemului se transformă în identități, se numește Decizia SLAU.
Dacă există cel puțin o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare, atunci se numește comun, in caz contrar - incompatibil.
Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit. Dacă există mai multe soluții, atunci sistemul este apelat incert.
Se spune că sistemul este scris forma de coordonate dacă are forma
.
Acest sistem în formă matriceală records are forma , unde 
- matricea principală a SLAE, - matricea coloanei de variabile necunoscute, - matricea membrilor liberi.
Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică 
Matricea pătrată A se numește degenerat dacă determinantul său este zero. Dacă , atunci se numește matricea A nedegenerat.
Trebuie remarcat următorul punct.
Dacă se execută următoarele acțiuni cu un sistem de ecuații algebrice liniare
- schimbați două ecuații,
- înmulțiți ambele părți ale oricărei ecuații cu un număr real (sau complex) arbitrar și diferit de zero k,
- la ambele părți ale oricărei ecuații adăugați părțile corespunzătoare ale celeilalte ecuații, înmulțite cu un număr arbitrar k,
atunci obținem un sistem echivalent care are aceleași soluții (sau, ca și cel original, nu are soluții).
Pentru o matrice extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare, aceste acțiuni vor însemna transformări elementare cu rânduri:
- schimbând două șiruri
- înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând al matricei T cu un număr diferit de zero k ,
- adunând la elementele oricărui rând al matricei elementele corespunzătoare din alt rând, înmulțite cu un număr arbitrar k .
Acum putem trece la descrierea metodei Gauss.
Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute și matricea principală a sistemului este nedegenerată, prin metoda Gauss.
Ce am face la școală dacă ni s-ar da sarcina de a găsi o soluție la un sistem de ecuații 
.
Unii ar face asta.
Rețineți că, adăugând partea stângă a primei ecuații în partea stângă a celei de-a doua ecuații și partea dreaptă în partea dreaptă, puteți scăpa de variabilele necunoscute x 2 și x 3 și puteți găsi imediat x 1: 
Înlocuim valoarea găsită x 1 \u003d 1 în prima și a treia ecuație a sistemului: 
Dacă înmulțim ambele părți ale celei de-a treia ecuații a sistemului cu -1 și le adăugăm la părțile corespunzătoare ale primei ecuații, atunci scăpăm de variabila necunoscută x 3 și putem găsi x 2: 
Înlocuim valoarea obținută x 2 \u003d 2 în a treia ecuație și găsim variabila necunoscută rămasă x 3: 
Alții ar fi procedat altfel.
Să rezolvăm prima ecuație a sistemului în raport cu variabila necunoscută x 1 și să substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație a sistemului pentru a exclude această variabilă din ele: 
Acum să rezolvăm a doua ecuație a sistemului în raport cu x 2 și să înlocuim rezultatul din a treia ecuație pentru a exclude variabila necunoscută x 2 din aceasta: 
Din a treia ecuație a sistemului se poate observa că x 3 =3. Din a doua ecuație găsim 
, iar din prima ecuație obținem .
Soluții familiare, nu?
Cel mai interesant lucru aici este că a doua metodă de soluție este în esență metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, adică metoda Gauss. Când am exprimat variabile necunoscute (prima x 1 , următoarea x 2 ) și le-am substituit în restul ecuațiilor sistemului, le-am exclus astfel. Am efectuat excepția până în momentul în care ultima ecuație a lăsat o singură variabilă necunoscută. Procesul de eliminare secvenţială a necunoscutelor se numeşte metoda Gauss directă. După ce trecerea înainte este finalizată, avem posibilitatea de a calcula variabila necunoscută din ultima ecuație. Cu ajutorul ei, din penultima ecuație, găsim următoarea variabilă necunoscută și așa mai departe. Procesul de a găsi succesiv variabile necunoscute în timp ce trece de la ultima ecuație la prima este numit metoda Gauss inversă.
Trebuie remarcat faptul că atunci când exprimăm x 1 în termeni de x 2 și x 3 în prima ecuație și apoi substituim expresia rezultată în a doua și a treia ecuație, următoarele acțiuni conduc la același rezultat:
Într-adevăr, o astfel de procedură ne permite, de asemenea, să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului: 
Nuanțe cu eliminarea variabilelor necunoscute prin metoda Gauss apar atunci când ecuațiile sistemului nu conțin unele variabile.
De exemplu, în SLAU 
în prima ecuație, nu există o variabilă necunoscută x 1 (cu alte cuvinte, coeficientul din fața acesteia este zero). Prin urmare, nu putem rezolva prima ecuație a sistemului în raport cu x 1 pentru a exclude această variabilă necunoscută din restul ecuațiilor. Calea de ieșire din această situație este schimbarea ecuațiilor sistemului. Deoarece luăm în considerare sisteme de ecuații liniare ale căror determinanți ai matricelor principale sunt diferiți de zero, există întotdeauna o ecuație în care variabila de care avem nevoie este prezentă și putem rearanja această ecuație la poziția de care avem nevoie. Pentru exemplul nostru, este suficient să schimbați prima și a doua ecuație a sistemului 
, atunci puteți rezolva prima ecuație pentru x 1 și o puteți exclude din restul ecuațiilor sistemului (deși x 1 este deja absent în a doua ecuație).
Sperăm că înțelegeți esențialul.
Să descriem Algoritmul metodei Gauss.
Să rezolvăm un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute de forma 
, iar determinantul matricei sale principale să fie diferit de zero.
Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde un 
.
Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.
În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură 
Pentru a face acest lucru, adăugați a doua ecuație înmulțită cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați a doua înmulțită cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați a doua înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde un 
. Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.
În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură 
Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma 
Din acest moment, începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.
Să analizăm algoritmul cu un exemplu.
Exemplu.
metoda gaussiana.
Decizie.
Coeficientul a 11 este diferit de zero, deci să trecem la cursul direct al metodei Gauss, adică la eliminarea variabilei necunoscute x 1 din toate ecuațiile sistemului, cu excepția primei. Pentru a face acest lucru, la părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua, a treia și a patra ecuație, adăugați părțile din stânga și din dreapta primei ecuații, înmulțite cu , respectiv, 
și : 
Variabila necunoscută x 1 a fost eliminată, să trecem la excluderea x 2 . La părțile din stânga și dreapta ale celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului, adunăm părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu 
și 
:
Pentru a finaliza cursul înainte al metodei Gauss, trebuie să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Adaugă la stânga și la dreapta celei de-a patra ecuații, respectiv, laturile stânga și dreapta ale celei de-a treia ecuații, înmulțite cu 
:
Puteți începe cursul invers al metodei Gauss.
Din ultima ecuație avem 
,
din a treia ecuație obținem,
din a doua
din prima.
Pentru a verifica, puteți înlocui valorile obținute ale variabilelor necunoscute în sistemul original de ecuații. Toate ecuațiile se transformă în identități, ceea ce înseamnă că soluția prin metoda Gauss a fost găsită corect.
Răspuns:
Și acum vom oferi soluția aceluiași exemplu prin metoda Gauss sub formă de matrice.
Exemplu.
Găsiți o soluție a sistemului de ecuații metoda gaussiana.
Decizie.
Matricea extinsă a sistemului are forma 
. Deasupra fiecărei coloane sunt scrise variabile necunoscute, care corespund elementelor matricei.
Cursul direct al metodei Gauss aici implică aducerea matricei extinse a sistemului într-o formă trapezoidală folosind transformări elementare. Acest proces este similar cu excluderea variabilelor necunoscute pe care am făcut-o cu sistemul sub formă de coordonate. Acum te vei convinge de asta.
Să transformăm matricea astfel încât toate elementele din prima coloană, începând de la a doua, să devină zero. Pentru a face acest lucru, la elementele din al doilea, al treilea și al patrulea rând, adăugați elementele corespunzătoare din primul rând înmulțite cu , și respectiv pe: 
În continuare, transformăm matricea rezultată astfel încât în a doua coloană, toate elementele, începând de la a treia, să devină zero. Aceasta ar corespunde excluderii variabilei necunoscute x 2 . Pentru a face acest lucru, adăugați la elementele din al treilea și al patrulea rând elementele corespunzătoare din primul rând al matricei, înmulțite cu și :
Rămâne să excludem variabila necunoscută x 3 din ultima ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la elementele ultimului rând al matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din penultimul rând, înmulțite cu :
Trebuie remarcat faptul că această matrice corespunde sistemului de ecuații liniare 
care a fost obţinut mai devreme după mutarea directă.
E timpul să te întorci. În forma matriceală a notației, cursul invers al metodei Gauss implică o astfel de transformare a matricei rezultate astfel încât matricea marcată în figură 
a devenit diagonală, adică a luat forma 
unde sunt niste numere.
Aceste transformări sunt similare cu cele ale metodei Gauss, dar sunt efectuate nu de la prima linie la ultima, ci de la ultima la prima.
Adăugați elementelor din al treilea, al doilea și primul rând elementele corespunzătoare din ultimul rând, înmulțite cu 
, iar si iar 
respectiv: 
Acum să adăugăm elementelor din al doilea și din primul rând elementele corespunzătoare ale celui de-al treilea rând, înmulțite cu și, respectiv, cu: 
La ultima etapă a mișcării inverse a metodei gaussiene, adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând, înmulțite cu , la elementele primului rând: 
Matricea rezultată corespunde sistemului de ecuații 
, din care găsim variabilele necunoscute.
Răspuns:
NOTĂ.
Când utilizați metoda Gauss pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare, calculele aproximative ar trebui evitate, deoarece acest lucru poate duce la rezultate absolut incorecte. Vă recomandăm să nu rotunjiți zecimale. Este mai bine să treceți de la fracțiile zecimale la fracțiile obișnuite.
Exemplu.
Rezolvarea sistemului de trei ecuații prin metoda gaussiană 
.
Decizie.
Rețineți că în acest exemplu, variabilele necunoscute au o denumire diferită (nu x 1 , x 2 , x 3 , ci x, y, z ). Să trecem la fracțiile obișnuite: 
Eliminați necunoscutul x din a doua și a treia ecuație a sistemului: 
În sistemul rezultat, nu există o variabilă necunoscută y în a doua ecuație și y este prezent în a treia ecuație, prin urmare, schimbăm a doua și a treia ecuație: 
În acest moment, cursul direct al metodei Gauss s-a încheiat (nu trebuie să excludeți y din a treia ecuație, deoarece această variabilă necunoscută nu mai există).
Să ne întoarcem.
Din ultima ecuație găsim 
,
din penultimul 
din prima ecuație pe care o avem 
Răspuns:
X=10, y=5, z=-20.
Soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată, prin metoda Gauss.
Sistemele de ecuații a căror matrice principală este dreptunghiulară sau pătrată degenerată pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă un număr infinit de soluții.
Acum vom înțelege cum metoda Gauss ne permite să stabilim compatibilitatea sau inconsecvența unui sistem de ecuații liniare și, în cazul compatibilității acestuia, să determinăm toate soluțiile (sau o singură soluție).
În principiu, procesul de eliminare a variabilelor necunoscute în cazul unor astfel de SLAE rămâne același. Cu toate acestea, merită să ne oprim în detaliu asupra unor situații care pot apărea.
Să trecem la cel mai important pas.
Așadar, să presupunem că sistemul de ecuații algebrice liniare după finalizarea executării înainte a metodei Gauss ia forma 
și niciuna dintre ecuații nu sa redus la (în acest caz, am concluziona că sistemul este inconsecvent). Apare o întrebare logică: „Ce să faci în continuare”?
Scriem variabilele necunoscute care se află pe primul loc al tuturor ecuațiilor sistemului rezultat: 
În exemplul nostru, acestea sunt x 1 , x 4 și x 5 . În părțile din stânga ecuațiilor sistemului, lăsăm doar acei termeni care conțin variabilele necunoscute scrise x 1, x 4 și x 5, transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor cu semnul opus: 
Să atribuim valori arbitrare variabilelor necunoscute care se află în partea dreaptă a ecuațiilor, unde 
- numere arbitrare: 
După aceea, numerele se găsesc în părțile corecte ale tuturor ecuațiilor SLAE-ului nostru și putem trece la cursul invers al metodei Gauss.
Din ultima ecuație a sistemului pe care o avem, din penultima ecuație găsim, din prima ecuație obținem 
Soluția sistemului de ecuații este setul de valori ale variabilelor necunoscute 
Dând numere valori diferite, vom obține soluții diferite ale sistemului de ecuații. Adică, sistemul nostru de ecuații are infinite de soluții.
Răspuns:
Unde - numere arbitrare.
Pentru a consolida materialul, vom analiza în detaliu soluțiile mai multor exemple.
Exemplu.
Rezolvarea unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare 
metoda gaussiana.
Decizie.
Să excludem variabila necunoscută x din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugați părțile din stânga și din dreapta primei ecuații, respectiv, la părțile din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu , iar la părțile din stânga și din dreapta celei de-a treia ecuații, părțile din stânga și din dreapta ale ecuației. prima ecuație, înmulțită cu: 
Acum excludem y din a treia ecuație a sistemului de ecuații rezultat: 
SLAE rezultat este echivalent cu sistemul 
.
Lăsăm doar termenii care conțin variabilele necunoscute x și y în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm termenii cu variabila necunoscută z în partea dreaptă: 
Astăzi ne ocupăm de metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. Puteți citi despre ce sunt aceste sisteme în articolul anterior dedicat rezolvării aceluiași SLAE prin metoda Cramer. Metoda Gauss nu necesită cunoștințe specifice, sunt necesare doar atenție și consecvență. În ciuda faptului că din punct de vedere al matematicii, pregătirea școlară este suficientă pentru aplicarea ei, stăpânirea acestei metode provoacă adesea dificultăți elevilor. În acest articol, vom încerca să le reducem la nimic!
metoda Gauss
M metoda Gauss este cea mai universală metodă de rezolvare a SLAE (cu excepția sistemelor foarte mari). Spre deosebire de cel discutat mai devreme, este potrivit nu numai pentru sistemele care au o soluție unică, ci și pentru sistemele care au un număr infinit de soluții. Există trei opțiuni aici.
- Sistemul are o soluție unică (determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero);
- Sistemul are un număr infinit de soluții;
- Nu există soluții, sistemul este inconsecvent.
Deci, avem un sistem (lăsați-l să aibă o soluție) și îl vom rezolva folosind metoda Gaussiană. Cum functioneaza?
Metoda Gauss constă din două etape - directă și inversă.
Metoda Gauss directă
Mai întâi, scriem matricea augmentată a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugăm o coloană de membri liberi la matricea principală.
Întreaga esență a metodei gaussiene este de a aduce matricea dată într-o formă în trepte (sau, după cum se spune, triunghiulară) prin intermediul transformărilor elementare. În această formă, ar trebui să existe doar zerouri sub (sau deasupra) diagonalei principale a matricei.
Ce se poate face:
- Puteți rearanja rândurile matricei;
- Dacă există rânduri identice (sau proporționale) în matrice, puteți șterge toate, cu excepția unuia;
- Puteți înmulți sau împărți un șir cu orice număr (cu excepția zero);
- Liniile zero sunt eliminate;
- Puteți adăuga un șir înmulțit cu un număr diferit de zero la un șir.
Metoda Gauss invers
După ce transformăm sistemul în acest fel, unul necunoscut xn devine cunoscut și este posibil să găsim toate necunoscutele rămase în ordine inversă, substituind x-urile deja cunoscute în ecuațiile sistemului, până la prima.
Când internetul este întotdeauna la îndemână, puteți rezolva sistemul de ecuații folosind metoda Gauss pe net . Tot ce trebuie să faceți este să introduceți cotele în calculatorul online. Dar trebuie să recunoști, este mult mai plăcut să realizezi că exemplul a fost rezolvat nu de un program de calculator, ci de propriul tău creier.
Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații folosind metoda Gauss
Și acum - un exemplu, pentru ca totul să devină clar și de înțeles. Să fie dat un sistem de ecuații liniare și este necesar să-l rezolvăm prin metoda Gauss:
Mai întâi, să scriem matricea augmentată:
Acum să aruncăm o privire asupra transformărilor. Amintiți-vă că trebuie să obținem o formă triunghiulară a matricei. Înmulțiți primul rând cu (3). Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm al 2-lea rând la primul și să obținem:
Apoi înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Înmulțiți primul rând cu (6). Înmulțiți al 2-lea rând cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:
Voila - sistemul este adus în forma corespunzătoare. Rămâne de găsit necunoscutele:
Sistemul din acest exemplu are o soluție unică. Vom lua în considerare soluția sistemelor cu un set infinit de soluții într-un articol separat. Poate că la început nu veți ști de unde să începeți cu transformările matriceale, dar după o practică adecvată veți pune mâna pe ea și veți face clic pe SLAE gaussian ca pe nuci. Și dacă dați brusc peste un SLAU, care se dovedește a fi o nucă prea dură de spart, contactați autorii noștri! puteți lăsând o cerere în Corespondență. Împreună vom rezolva orice problemă!
Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare, care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor хi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).
Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:
1) Nu au soluții (fi incompatibil).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o soluție unică.
După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz conduce-ne la raspuns! Algoritmul metodei în toate cele trei cazuri funcționează în același mod. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci aplicarea metodei Gauss necesită cunoașterea doar a operațiilor aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.
Transformări matrice extinse ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:
1) cu troky matrici poate sa rearanja locuri.
2) dacă există (sau sunt) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci urmează șterge din matrice, toate aceste rânduri cu excepția unuia.
3) dacă în matrice a apărut un rând zero în timpul transformărilor, atunci urmează și acesta șterge.
4) rândul matricei poate înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.
5) la rândul matricei, puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.
În metoda Gauss, transformările elementare nu modifică soluția sistemului de ecuații.
Metoda Gauss constă din două etape:
- „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a sistemului de ecuații algebrice liniare într-o formă în trepte „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasarea de sus în jos) ). De exemplu, la acest tip:
Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:
1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul la x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termeni liberi) la coeficientul pentru necunoscut x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceea, scădem prima din a doua ecuație ( coeficienţi pentru necunoscute şi termeni liberi). Obținem la x 1 din a doua ecuație coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație, deci până când toate ecuațiile, cu excepția primei, cu necunoscut x 1 nu vor avea coeficient 0.
2) Treceți la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul de la x 2 este egal cu M. Cu toate ecuațiile „subordonate”, procedăm așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 în toate ecuațiile vor fi zerouri.
3) Trecem la următoarea ecuație și așa mai departe până rămâne un ultim termen liber necunoscut și transformat.
- „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n \u003d B. În exemplul de mai sus, x 3 \u003d 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 - 4 \u003d 1, adică x 2 \u003d 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.
Exemplu.
Rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:
Să scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Acolo ar trebui să avem o unitate. Problema este că nu sunt deloc nimeni în prima coloană, așa că nimic nu poate fi rezolvat prin rearanjarea rândurilor. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Hai să o facem așa:
1 pas
. La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu -1 și am efectuat adăugarea primei și a doua rânduri, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.
Acum în stânga sus „minus unu”, care ni se potrivește perfect. Cine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).
2 pas . Prima linie înmulțită cu 5 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.
3 pas . Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. A fost schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și mutat pe locul doi, astfel, la a doua „treaptă, am avut unitatea dorită.
4 pas . La a treia linie, adăugați a doua linie, înmulțită cu 2.
5 pas . A treia linie este împărțită la 3.
Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 | 23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o greșeală în timpul elementului transformări.
Efectuăm o mișcare inversă, în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează „de jos în sus”. În acest exemplu, cadoul a rezultat:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, prin urmare x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Răspuns:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Împărțiți a treia ecuație la 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Scădeți a doua ecuație din a treia ecuație, obținem matricea augmentată „în trepte”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Astfel, deoarece o eroare acumulată în procesul de calcule, obținem x 3 \u003d 0,96, sau aproximativ 1.
x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d -1.
Rezolvând astfel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.
Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.
Iti doresc noroc! Ne vedem la ore! Tutore.
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
Fie dat sistemul, ∆≠0. (unu)metoda Gauss este o metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor.
Esența metodei Gauss este de a transforma (1) într-un sistem cu o matrice triunghiulară, din care valorile tuturor necunoscutelor sunt apoi obținute succesiv (invers). Să luăm în considerare una dintre schemele de calcul. Acest circuit se numește circuit cu o singură diviziune. Deci, să aruncăm o privire la această diagramă. Fie un 11 ≠0 (element conducător) să împartă la 11 prima ecuație. obține
(2)
Folosind ecuația (2), este ușor să excludem necunoscutele x 1 din ecuațiile rămase ale sistemului (pentru aceasta, este suficient să scădem ecuația (2) din fiecare ecuație înmulțită preliminar cu coeficientul corespunzător la x 1), că este, la primul pas obținem
.
Cu alte cuvinte, la pasul 1, fiecare element al rândurilor următoare, începând de la al doilea, este egal cu diferența dintre elementul original și produsul „proiecției” acestuia pe prima coloană și primul rând (transformat).
După aceea, lăsând în pace prima ecuație, peste restul ecuațiilor sistemului obținut la primul pas, vom efectua o transformare similară: alegem dintre ele o ecuație cu un element conducător și o folosim pentru a exclude x 2 din ecuațiile rămase (pasul 2).
După n pași, în loc de (1) obținem un sistem echivalent 
(3)
Astfel, în prima etapă, vom obține un sistem triunghiular (3). Acest pas este numit înainte.
La a doua etapă (deplasare inversă) găsim secvenţial din (3) valorile x n , x n -1 , …, x 1 .
Să notăm soluția obținută ca x 0 . Atunci diferența ε=b-A x 0 se numeste rezidual.
Dacă ε=0, atunci soluția găsită x 0 este corectă.
Calculele prin metoda Gauss sunt efectuate în două etape:
- Prima etapă se numește cursul direct al metodei. În prima etapă, sistemul original este convertit într-o formă triunghiulară.
- A doua etapă se numește inversă. La a doua etapă se rezolvă un sistem triunghiular echivalent cu cel inițial.
La fiecare pas, sa presupus că elementul conducător este diferit de zero. Dacă nu este cazul, atunci orice alt element poate fi folosit ca lider, ca și cum ar rearanja ecuațiile sistemului.
Scopul metodei Gauss
Metoda Gauss este destinată rezolvării sistemelor de ecuații liniare. Se referă la metode directe de soluție.Tipuri de metoda Gauss
- Metoda Gauss clasică;
- Modificări ale metodei Gauss. Una dintre modificările metodei gaussiene este circuitul cu alegerea elementului principal. O caracteristică a metodei Gauss cu alegerea elementului principal este o astfel de permutare a ecuațiilor, astfel încât la pasul k-lea elementul principal este cel mai mare element din k-a coloană.
- metoda Jordan-Gauss;
Ilustrați diferența metoda Jordan-Gauss din metoda Gauss pe exemple.
Exemplu de soluție Gauss
Să rezolvăm sistemul: 
Pentru confortul calculelor, schimbăm liniile: 
Înmulțiți al 2-lea rând cu (2). Adăugați a treia linie la a doua 
Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Adăugați al 2-lea rând la primul 
Din prima linie exprimăm x 3:
Din a doua linie exprimăm x 2:
Din a treia linie exprimăm x 1: 
Un exemplu de soluție prin metoda Jordan-Gauss
Vom rezolva același SLAE folosind metoda Jordano-Gauss. 
Vom alege secvenţial elementul de rezoluţie al RE, care se află pe diagonala principală a matricei.
Elementul de activare este egal cu (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - element de activare (1), A și B - elemente de matrice care formează un dreptunghi cu elemente de STE și RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elementul de activare este egal cu (3).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.
| x 1 | x2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elementul de activare este (-4).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Răspuns: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
